Перетворення Грасманіанів

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Автореферат дисертації на здобуття наукового степеня доктора

фізико-математичних наук

01.01.04 --- геометрія і топологія

01.01.06 --- алгебра і теорія чисел

ПЕРЕТВОРЕННЯ ГРАСМАНІАНІВ

ПАНКОВ Марк Олександрович

Київ --- 2008

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті математики НАН України.

Науковий консультант

доктор фізико-математичних наук, професор,

член-кореспондент НАН України

Шарко Володимир Васильович,

Iнститут математики НАН України,

заступник директора з наукових питань.

Офіційні опоненти

доктор фізико-математичних наук

Міщенко Олександр Сергійович,

Московський державний університет ім. М. Ломоносова,

професор кафедри вищої геометрії і топології.

доктор фізико-математичних наук, професор

Боднарчук Юрій Вікторович,

Національний університет "Києво-Могилянська академія",

завідуючий кафедрою математики факультета Інформатики;

доктор фізико-математичних наук

Микитюк Ігор Володимирович

Інститут прикладних проблем механіки і математики

ім. Я.С. Підстригача НАН України, завідуючий відділом;

Захист відбудеться 23 грудня 2008 р. о 15.00 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.03 в Інституті математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий 21 листопада 2008 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Сергейчук В.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Комплекси Тітса (Tits buildings або просто buildings) були введені Дж. Тітсом у 1974 році. Історичною мотивацією цих об'єктів була добре відома картанівська класифікація простих груп Лі.

Комплекс Тітса може бути побудований для кожної групи, що має, так звану, BN-пару (тобто, пару підгруп, що задовольняють певним умовам). Завдяки цій конструкції ми можемо вивчати групи за допомогою комбінаторно-геометричних методів. Для кожної групи, що має BN-пару, відповідний комплекс Тітса визначає певну геометрію (множину точок з родиною прямих). Багато властивостей групи можуть бути переформульованими в термінах цієї геометрії.

На даний час комплекси Тітса використовуються для дослідження багатьох типів груп: класичних, простих алгебраїчних, Кац-Муді груп (відомо, що ці групи мають BN-пари).

В загальному випадку, абстрактний (не пов'язаний з BN-парою) комплекс Тітса визначається, як симплекціальний комплекс з родиною підкомплексів, які називаються апартаментами. Апартаменти ізоморфні копмлексу деякої системи Коксетера, яка визначає тип комплекса Тітса.Родина апартаментів повинна задовольняти певним технічним аксіомам; наприклад, для кожних двох симплексів знайдеться апартамент, що їх містить.

Одним з фундаментальних результатів цієї теорії є класифікація сферичних комплексів Тітса. Згідно з цією класифікацією існує сім типів незвідних сферичних комплексів Тітса (відповідна система Коксетера є скінченою і незвідною), ранг яких не менше ніж 3:

An, Cn, Dn, F4, E6, E7, E8.

Кожний комплекс Тітса типу An ізоморфним комплексу флагів деякого (n+1)-вимірного векторного ростора V, який є комплексом Тітса групи GL(V) (точніше, комплексом Тітса, визначеним BN-парою цієї групи).

Комплекси Тітса типів Cn, Dn, отримуються з полярних просторів, введенних Ф. Вельдкампом (1959). Полярні геометрії являються узагальненнями симплектичних, унітарних і ортогональних геометрій. Наприклад, симплектична група, діюча на 2n-вимірному векторному просторі, має комплекс Тітса типу Cn. Група ортогональної форми індекса n, визначеної на (2n)-вимірному векторному просторі, має комплекс Тітса типу Dn.

Виняткові групи мають комплекси Тітса виняткових типів. Ці комплекси пов'язуються з так званими метасимплектичними (тип F4) і параполярними (типи Eі, i=6,7,8) просторами. Дослідження цих просторів активно проводилося А. Коеном, Б. Куперштейном, Е. Шультом та іншими в кінці 80-х і на початку 90-х років.

Ще у 1974 році Дж. Тітсом було зазначено, що множину вершин комплекса Тітса можна природним чином поділити на Грасманіани. Якщо комплекс Тітса пов'язується з BN-парою деякої групи G, то Грасманіанами є орбіти дії групи G на множині вершин комплекса Тітса. У загальному випадку (для абстрактних комплексів Тітса) для визначення Грасманіанів використовується поняття маркерування симплекціального комплекса. Вершини комплекса Тітса маркеруються вершинами відповідної діаграми Коксетера (яка визначає тип комплекса Тітса); вершини, що відповідають одній вершині діаграми Коксетера, утворюють Грасманіан. Грасманіанами комплекса Тітса типу An є звичайні Грасманіани відповідного (n+1)-вимірного векторного простора. Грасманіанами комплексів Тітса типів Cn, Dn є полярні і напівспінорні Грасманіани.

На множні максимальних симплексів комплекса Тітса природним чином виникає відношення суміжності: два різних максимальних симплекса є суміжними, якщо їх перетин є максимально можливим (тобто, він є максимальною власною підмножиною в кожному з цих двох симплексів). Це відношення індукує відношення суміжності на Грасманіанах: два різних елемента Грасманіана є суміжними, якщо вони є вершинами деяких суміжних максимальних симплексів. Наприклад, два k-вимірних лінійних підпростора n-вимірного векторного простора V (елементи Грасманіана Gk(V)) є суміжними, якщо їх перетин є (k-1)-вимірним.

Описане вище відношення суміжності на Грасманіанах пов'язується із структурою часткового простора прямих; ці простори називають просторами Грасмана комплекса Тітса. Наприклад, просторами Грасмана, що відповідають Грасманіанам G1(V) i Gn-1(V) (де V - n-вимірний векторний простір), є проективний простір П_V та проективний простір дуальний до П_V.

Перетин Грасманіана з апартаментом називається апартаментом цього Грасманіана. Апартаментами G1(V) i Gn-1(V) є базиси П_V і дуального проективного простора, відповідно. В загальному випадку, апартамент Gk(V) складається з усіх k-вимірних лінійних підпросторів, утворених підмножинами деякого базиса V.

Отже, на Грасманіанах комплексів Тітса існує відношення суміжності і родина апартаментів. Питання про зв'язок між цими двома структурами є природним. А. Касікова, Б. Куперштейн, Е. Шульт (2005) наводять характеризацію апартаментів Грасманіанів векторних просторів та деяких полярних і напівспінорних Грасманіанів в термінах відношення суміжності. Ми отримуємо результати протилежного типу: характеризуємо відношення суміжності в термінах апартаментів для Грасманіанів комплексів Тітса класичних типів (An, Cn, Dn).

Останні десять років інтенсивно проводиться дослідження Грасманіанів комплексів Тітса; в основному у наступних двох напрямках:

-Класифікація і характеризація параболічних підпросторів у просторах Грасмана (А. Касікова, Б. Куперштейн, Е. Шульт). Якщо комплекс Тітса є пов'язаним з BN-парою, то ці підпростори відповідають параболічним підгрупам BN-пари.

-Клас проблем, по'язаних з вкладеннями просторів Грасмана в проективні простори (Р. Блок, Б. Де Бруен, А. Пасіні, Х. Пралле).

Ще один можливий напрямок дослідження був знайдений Дж. Тітсом у 1981 році. Це питання про можливість реконструкції комплекса Тітса з його Грасманіанів. Дана проблема мотивується відомими результатами класичної геометрії: основною теоремою проективної геометрії і теоремою Чоу.

Основна теорема проективної геометрії стверджує, що кожна колінеація (ізоморфізм) між проективними просторами векторних просторів індукується деяким напівлінійним ізоморфізмом між цими векторними просторами.

Аналогом цього твердження для інших Грасманіанів векторних просторів є наступна теорема В.Л. Чоу (1949): кожне бієктивне відображення Gk(V) в Gk(V') (де V i V' - n-вимірні векторні простори, 1<k<n-1), що зберігає відношення суміжності, індукується напівлінійним ізоморфізмом V на V' або на V'*; друга можливість може реалізуватися лише у випадку коли n=2k. На прикінці 90-х років були отримані різноманітні узагальнення цього результата (Г. Хавлічек, В-л. Хуанг, А. Кройцер).

Зрозуміло, що зазначені вище твердження (основна теорема проективної геометрії і теорема Чоу) можуть бути переформульованими в термінах продовження відображень Грасманіанів до відображень відповідних комп-лексів Тітса.

Дж. Тітсом (1981) було доведено наступне твердження: нехай G i G' -простори Грасмана комплексів Тітса одного сферичного типу, що відпові-дають одній і тій самій вершині діаграми Коксетера, тоді із ізоморфності G i G' випливає ізоморфність комплексів Тітса. Але проблема класифікації колінеацій (ізоморфізмів) просторів Грасмана лишилась актуальною в загальному випадку. Відповідні твердження про колінеації просторів Грасмана вектор-них просторів є наслідками основної теореми проективної геометрії і теореми Чоу. Колінеації деяких полярних і напівспінорних просторів Грасмана також були описані В.Л. Чоу (1949). Ми наводимо класифікацію колінеацій усіх просторів Грасмана, пов'язаних з комплексами Тітса класичних типів.

Основними об'єктами нашого дослідження будуть відображення Грасманіанів, що переводять апартаменти в апартаменти. Ми опишемо усі ці відображення для Грасманіанів комплексів Тітса класичних типів (An,Cn,Dn). Зокрема покажемо, що бієктивні відображення, які задовольняють цій умові, продовжуються до ізоморфізмів відповідних комплексів Тітса. Інакше кажучи, комплекс Тітса класичного типу може бути реконструйований з кожного із своїх Грасманіанів за допомогою родини апартаментів. Основним етапом в отриманні цих результатів є згадана вище характеризація відношення суміжності в термінах апартаментів.

Нагадаємо, що апартаментами G1(V) i Gn-1(V) (де V - n-вимірний векторний простір) є базиси проективного простора П_V і дуального проективного простора, відповідно. Основну теорему проективної геометрії можна переформулювати наступним чином: нехай V i V' - n-вимірні векторні простори, тоді кожне бієктивне відображення Gk(V) в Gk(V') (k=1,n-1), що переводить апартаменти в апартаменти, індукується деяким напівлінійним ізоморфізмом V в V'; зокрема, воно продовжується до ізоморфізма відповідних комплексів Тітса.Отже, описані вище результати узагальнюють основну теорему проек-тивної геометрії.

Багато Грасманіанів, не пов'язаних з комплесами Тітса, містять клас під-множин, структура яких є подібною до структури апартаментів. Ці підмно-жини називаються базисними. В деяких випадках вони мають дуже важливе значення.

Розглянемо, наприклад, множину (k,n-k)-інволюцій лінійної групи GL(V), де V - n-вимірний векторний простір над тілом, характеристика якого не дорівнює 2. Цю множину можна ототожнити з множиною пар

(S,U)єGk(V) XGn-k(V), S+U=V

(кожна (k,n-k)-інволюція однозначно визначається своїми (+)-інваріантним і (-)-інваріантним підпросторами, які мають розмірності k i n-k, відповідно). Базисна підмножина складається з усіх (k,n-k)-інволюцій, у яких (+)-інваріантний і (-)-інваріантний підпростори утворюються підмножинами деякого базиса векторного простора V. Ж. Дьєдонне було зазначено, що клас базис-них підмножин співпадає з класом максимальних комутативних підмножин. Тому бієктивне перетворення множини (k,n-k)-інволюцій зберігає комутатив-ність тоді і лише тоді, коли воно зберігає клас базисних підмножин. Відома теорема Ж. Дьєдонне і С. Рикарта (1951) стверджує, що у випадках коли k=1,n-1 (n>2), кожне бієктивне перетворення множини (k,n-k)-інволюцій, що зберігає комутативність, продовжується до регулярного автоморфізма групи GL(V). Цей результат був головним етапом в класифікації автоморфізмів групи GL(V). Аналогічні твердження мають місце для симплектичної і деяких інших класичних груп. Ми переносимо твердження теореми Дьєдонне-Рикарта на випадок 1<k<n-1. Подібним чином буде узагальнена симплектична версія цього результата.

Ми також досліджуємо бієктивні перетворення деяких інших Грасманіанів, що зберігають клас базисних підмножин. Будуть розглянуті Грасманіани нескінченновимірних векторних просторів і просторів Гільберта, спайн-простори і Грасманіани просторів, що задовольняють аксіомі заміни.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації пов'язана з науковими дослідженнями, що проводились в Інституті математики НАН України. Її результати були використані при виконанні наступних тем: держбюджетна дослідницька тема Nо I-9-06 "Топологія многовидів та їх відображень" (номер державної реєстрації 0106U000658), цільова програма НАН України "Сучасні методи дослідження математичних моделей в задачах природознавства та суспільних наук" (номер державної реєстрації 0107U00233).

Мета та завдання дослідження. Метою дисертації є

-дослідження відображень Грасманіанів комплексів Тітса класичних типів, що переводять апартаменти в апартаменти;

-характеризація відношення суміжності, визначеного на Грасманіанах комплексів Тітса класичних типів, в термінах апартаментів;

-дослідження бієктивних перетворень множин лінійних і сипплектичних інволюцій, що зберігають комутативність;

-характеризація відношень б-суміжності і щ-суміжності спайн-просторів в термінах базисних підмножин та дослідження перетворень спайн-просторів, що зберігають клас базисних підмножин;

-дослідження структури базисних підмножин деяких спеціальних Грасманіанів (Грасманіанів нескінченовимірних векторних просторів і просторів Гільберта, а також Грасманіанів просторів прямих, що задовольняють аксіомі заміни); дослідження перетворень цих Грасманіанів, що зберігають клас базисних підмножин;

-узагальнення класичних методів Чоу;

-дослідження перетворень полярних і напівспінорних Грасманіанів, що зберігають відношення суміжності, а також колінеацій відповідних просторів Грасмана.

Об'єкт дослідження. Грасманіани комплексів Тітса класичного типу (звичайні, полярні і напівспінорні Грасманіани) та відповідні простори Грасмана, Грасманіани просторів, що задовольняють аксіомі заміни, спайн-простори, множини лінійних і симплектичних інволюцій, Грасманіани нескінченновимірних векторних просторів і просторів Гільберта.

Предмет дослідження.

1) Структура апартаментів і базисних підмножин в різних типах Грасманіанів;

2) відношення суміжності і слабкої суміжності на Грасманіанах;

3) різні типи перетворень Грасманіанів.

Методи дослідження. В дисертації використовуються методи теорії комплексів Тітса, лінійної алгебри, геометрії лінійних груп, теорії графів та теорії операторів в гільбертовому просторі.

Наукова новизна одержаних результатів. Всі результати, отримані в дисертації, є новими.

В даній дисертаційній роботі була розроблена техніка неточних підмножин апартаментів і базисних підмножин. Вона була використана для отримання наступних результатів:

-опис відображень Грасманіанів комплексів Тітса класичних типів, що переводять апартаменти в апартаменти;

-узагальнення результатів Дьєдонне-Рікарта про продовження бієктивних перетворень множин інволюцій, що зберігають комутативність, до автоморфіз-мів відповідних груп;

-теореми про перетворення, що зберігають клас базисних підмножин, для Грасманіанів різних типів (спайн-просторів, Грасманіанів нескінченновимірних векторних просторів, просторів Гільберта та просторів прямих, що задовольняють аксіомі заміни).

Крім того, було отримано декілька узагальнень результатів Чоу: опис бієктивних перетворень усіх полярних і напівспінорних Грасманіанів, що зберігають відношення суміжності; аналог теореми Чоу для множин лінійних інволюцій та ін.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер. Вони можуть бути використані для дослідження класичних і алгебраїчних груп та інших груп, що мають комплекси Тітса класичного типу. Також результати можуть бути застосованими в сучасній теоретичній фізиці, де багато процесів моделюється за допомогою цих груп.

Особистий внесок дисертанта. Всі основні результати дисертаційної роботи отримані особисто здобувачем. До основних результатів відносяться:

1) теореми про відображення Грасманіанів комплексів Тітса класичних типів, що переводять апартаменти в апартаменти;

2) узагальнення результатів Дьєдонне-Рікарта (теореми про перетворення множин інволюцій, що зберігають комутативність);

3) усі теореми про перетворення Грасманіанів нескінченновимірних векторних просторів і просторів Гільберта;

4) теореми про перетворення, що зберігають клас базисних підмножин для Грасманіанів просторів прямих, що задовольняють аксіомі заміни;

5) твердження про перетворення спайн-просторів, що зберігають клас ба-зисних підмножин; цей результат, отриманий особисто здобувачем, був опублікований в роботі [9] (див. список праць здобувача за темою дисертації), яка написана у співавторстві з К. Пражмовськім і М. Жинелєм; інші результати цієї роботи були отримані співавторами і не війшли до дисертації.

Результати, отримані в [10, 13, 20], стосуються узагальнення методики Чоу і носять допоміжний характер. Ці праці були написані здобувачем у співавторстві.

Праця [10] написана у співавторстві з Г. Хавлічеком. Вона містить аналог теореми Чоу для множин лінійних інволюцій. Це твердження було доведено здобувачем. Співавтор отримав аналогічне твердження для декартового добутку Грасманіанів, яке не включається в дисертаційну роботу.

Праця [13] написана у співавторстві з К. Пражмовськім і М. Жинелєм. В ній доводяться твердження про перетворення полярних Грасманіанів, що зберігають відношення суміжності. Основна ідея методів дослідження (введення поняття слабкої суміжності і застосування її властивостей) належить здобувачеві.

Праця [20] написана у співавторстві з Я. Косьореком і А. Матрасьем. Постановка задачі і керівництво роботою належить здобувачеві.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи були апробовані на наступних конференціях:

-Український математичний конгрес (Київ 2001),

-31 Arbeitstagung \"{u}ber Geometrie und Algebra (Poland, B\c{e}dlewo, 2004),

-33 Arbeitstagung \"{u}ber Geometrie und Algebra (Germany, Hamburg, 2006),

-Buildings 2006 (Germany, M\"{u}nster, 2006),

-Buildings and Groups (Belgium, Gent, 2007),

-35 Arbeitstagung \"{u}ber Geometrie und Algebra, (Germany, Berlin 2008).

Вони також доповідалися на

-семінарі відділу топології Інституту математики НАН України,

-науковій раді Інституту математики НАН України,

-семінарі науково-дослідницької групи "Incidence Geometry" в університеті Гента (Бельгія),

-семінарі інституту дискретної математики і геометрії Віденського технічно-го університету,

-семінарі кафедри геометрії Гданьского університету (Польща),

-на семінарі кафедри алгебри і геометрії Ольштинського університету (Польща),

-на семінарі інституту математики Білостоцького університету (Польща).

Публікації. Результати дисертаційної роботи опубліковані в 20-и статтях, які входять до переліку ВАК України.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, основної частини, яка включає в себе шість розділів, висновків, які викладені на 277 сторінках основного тексту, а також містить список з 76 цитованих першоджерел. Загальний обсяг дисертації - 300 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

Дисертаційна робота починається із Вступу, який складається з трьох частин. В першій частині обґрунтовується актуальність обраної теми і окреслюється предмет дослідження. В другій частині формулюється мета і основні завдання дисертаційної роботи. В третій частині подається структура дисертаційної роботи; коротко описуються результати отримані в окремих розділах.

В Розділі 1 ми робимо огляд літератури за темою дисертації. Підрозділ 1.1 присвячується класифікації сферичних комплексів Тітса і відомим результатам про перетворення множини камер (максимальних симплексів комплекса Тітса), які були отримані Дж. Тітсом, П. Абраменко, Х. Ван Мальдехемом. В підрозділі 1.2 ми наводимо короткий огляд результатів, пов'язаних з Грас-маніанами комплексів Тітса класичних типів. В підрозділі 1.3 буде описана відома теорема Ж. Дьєдонне і С. Рикарта про продовження перетворень мно-жини (k,n-k)-інволюцій, які зберігають комутативність, до регулярних авто-морфізмів відповідної лінійної групи.

В Розділі 2 вивчаються основні поняття, з якими ми будемо працювати. Спочатку визначається комплекс Коксетера системи Коксетера і описуються усі три класичні комплекси Коксетера An,Cn,Dn (підрозділ 2.1). Нагадаємо, що система Коксетера - це пара (W,S), де W - група i S={s1,…, sn},

(sisj)^mij=1,

mii=1 і mij>1 якщо i?j є системою твірних і відношень. Тоді усі si є інволюціями. З системою Коксетера пов'язується граф, вершинами якого є елементи S і si з'єднується з sj ребром кратності mij-2 (якщо si комутує з sj, то mij=2 і відповідні вершини не з'єднуються. Цей граф називають діаграмою Коксетера. Комплексом Коксетера системи (W,S) є симплекціальний У(W,S), вершинами якого є підмножини спеціального типу wW^k i

W^k:=<S\{s_k}>, k=1,…,n;

спеціальні підмножини X1,…,Xm утворюють симплекс, якщо знайдеться wєW такий, що

X1=wW^j1,…,Xm=wW^jm.

Кожний максимальний симплекс цього комплекса має вид wW¹,…,wWⁿ і його можна ототожнити з елементом w. Усі скінчені системи Коксетера (тобто відповідна група W є скінченною) відомі:

An, Cn, Dn, F4, E6, E7, E8

Ми будемо працювати лише з першими трьома.

В підрозділі 2.2 ми розглядаємо комплекси Тітса, які визначаються BN-парами і будуємо комплекси Тітса лінійної, симплектичної та ортогональної груп. Підгрупи B і N групи G утворюють BN-пару, якщо BN є нормальною підгрупою в N і виконуються деякі технічні умови (які ми не наводимо). З цих умов випливає існування підмножини S={s₁,…, sn} в групі W:=N/(BN) такої, що (W,S) є системою Коксетера. Крім того, для кожного kє{1,…,n}

P^k:=BW^kB

є підгрупою G (W^k - підгруппа W, яку ми визначили раніше). Комплексом Тітса нашої BN-пари є симплекціальний комплекс Д(B,N), вершинами якого є підмножини спеціального типу gP^k, де gєG; спеціальні підмножини X1,…,Xm утворюють симплекс, якщо

X1=gP^j1,…,Xm=gP^jm

для деякого g.Комплекс Д(B,N) містить клас підкомплексів, ізоморфнихкомплек У (W,S); вони називаються апартаментами.

Аксіоматичне означення комплекса Тітса, як симплекціального комплекса с родиною підкомплексів (апартаментів), наводиться в підрозділі 2.3. Симплекціальний комплекс Д з родиною підкомплексів A (апартаментів) називає-ться абстрактним комплексом Тітса, якщо виконуються наступні аксіоми:

(1) усі апартаменти ізоморфні деякому комплексу Коксетера;

(2) для кожної пари симплексів знайдеться апартамент, що містить їх;

(3) якщо кожний з апартаментів У і У' містить симплекси A і B, то існує ізоморфізм У на У ', звуження якого на A i B є тотожним.

Коплекси Тітса, пов'язані з BN-парами, задовольняють цим аксіомам.

В цьому підрозділі ми також вводимо поняття Грасманіана комплекса Тітса. У випадку коли комплекс Тітса пов'язується з BN-парою деякої групи G, Грасманіани визначаються, як орбіти дії групи G на множині вершин комплека Тітса. В загальному випадку ми маркеруємо вершини комплекса Тітса множиною вершин відповідної діаграми Коксетера (яка визначається типом апартаментів); Грасманіан це множина усіх вершин, маркерованих однією вершиною діаграми. Симплекціальний комплекс Д називають маркерованим множиною X, якщо існує відображення f множини вершин комплекса Д на X таке, що звуження f на кожний максимальний симплекс є бієктивним і для кожних двох симплексів A,B з включення A в B виникає включення f(A) в f(B); відображення f називається маркеруванням комплекса Д. Відображення wW^ks_k є маркеруванням комплекса Коксетера У (W,S) множиною S. Якщо Д є комплексом Тітса, апартаменти якого ізоморфні У (W,S), то, спираючись на аксіому (3), ми можемо маркерувати Д множиною S. Нехай f буде деяким маркеруванням комплекса Д ?множиною S. Підмножини

f^-1(s), sєS

називають Грасманіанами комлекса Д. Розбиття множини вершин на Грасманіани не залежить від маркерування (оскільки кожні два маркерування Д множиною S співпадають з точністью до автоморфізма відповідної діаграми Коксетера).

В підрозділі 2.4 ми знайомимося з мовою "синтетичної" геометрії і елементарними властивостями просторів прямих і часткових просторів прямих.

Особлива увага надається, так званим, сигма-просторам. Крім того, в цьому підрозділі обговорюються поняття колінеації (ізоморфізма),напівколінеації і вкладення часткових просторів прямих.

Пара П=(P, L), де P - множина точок і L - родина власних підмножин, які називатимемо прямими, є частковим простором прямих, якщо виконуються наступні аксіоми:

(1) кожна пряма містить принаймні дві точки і кожна точка належить деякій прямій;

(2) для кожних двох різних точок існує не більше однієї прямої, що містить ці точки.

Точки, що належать одній прямій, називаються колінеарними. Якщо в частковому просторі прямих кожні дві точки є колінеарними, то його називають простором прямих.

Нехай П=(P, L) - частковий простір прямих. Підпростором називається підмножина S така, що для кожних двох різних колінеарних точок з S пряма, яка з'єднує ці точки, міститься в S. Говоримо, що підпростір є cингулярним, якщо кожні дві різні точки цього підпростора є колінеарними. Підпростір, утворений підмножиною X, позначається через <X> ; він є найменшим підпростором, що містить X. Підмножина X називається незалежною, якщо підпростір <X> не може бути утвореним власною підмножиною X. Незалежна підмножина, що утворює наш простір, є базисом П; розмірність П визначається, як найменше кардинальне число б, для якого існує базис П, що складається з б +1 точки. Подібним чином, ми визначаємо поняття базиса і розмірності для підпросторів П.

Розділ закінчується коротким підрозділом 2.5, в якому вивчається відно-шення суміжності на Грасманіанах комплексів Тітса. Нехай G - Грасманіан деякого комплекса Тітса Д. Два різних елемента a,b з G будуть називатися суміжними, якщо існують суміжні камери A і B (максимальні симплекси Д) такі, що aєA і bєB.Нагадаємо, що дві камери A і B є суміжними, якщо перетин A і B є максимальною власною підмножиною A і B; у цьому випадку цей перетин називають перегородкою. Відношення суміжності визначає на Грасманіані структуру часткового простора прямих. Нехай P- перегородка, що не перетинає G. Підмножина, яка складається з усіх xєG таких, що PU{x} є камерою, буде називатися прямою в G. Родину усіх таких прямих позначимо через L. Тоді пара (G, L) є частковим простором прямих, який називають просторами Грасмана комплекса Д.

В Розділі 3 досліджуються Грасманіани і простори Грасмана комплексів Тітса типу An. Кожний комплекс цього типу є ізоморфним комплексу флагів Д (V) деякого (n+1)-вимірного векторного простора V. Грасманіанами Д(V) є звичайні Грасманіани Gk(V), kє{1,…,n}. Кожний апартамент Gk(V) визначається деяким базисом B в V; він складається з усіх k-вимірних лінійних підпросторів, утворених підмножинами B. Два елемента Gk(V) є суміжними, якщо їх перетин є (k-1)-вимірним (у випадках k=1,n-1 кожні два різних елемента Gk(V) є суміжними).

Нехай V i V' - скінченновимірні векторні простори над тілами R і R', відпо-відно. Відображення l:VV' називається напівлінійним, якщо

l(x+y)=l(x)+l(y)

для довільних векторів x,yєV і існує гомоморфізм s:RR'

l(ax)= s(a)l(x)

для кожного скаляра aєR і кожного вектора xєV. Говорять, що напівлінійне відображення l:VV' є вкладенням, якщо воно є ін'єктивним і переводить лінійнонезалежні підмножини в лінійно-незалежні підмножини; крім того, якщо l є бієктивним, то відповідний гомоморфізм s:RR' є ізоморфізмом і відображення l називають напівлінійним ізоморфізмом між V i V'.

Тепер припустимо, що dim V= dim V'=n. Кожне напівлінійне вкладення l:VV' індукує відображення Gk(V) в Gk(V'), kє{1,…, n-1}, що переводить апартаменти в апартаменти. Це відображення є бієктивним тоді і лише тоді, коли l є напівлінійним ізоморфізмом. Основним результатом є наступне твердження.

Теорема 3.9 У випадку коли dim V= \dim V'=n і $1<k<n-1$ кожне відображення Gk(V) в Gk(V'), що переводить апартаменти в апартаменти, iндукується деяким напівлінійним вкладенням V в V' або в V'*; друга можливість може реалізуватися лише у випадку коли n=2k.

Для випадків k=1,n-1 це твердження не виконується (приклад Хуанг-Кройцера). Але ми можемо стверджувати, що кожне бієктивне відображення Gk(V) в Gk(V') (для кожного kє{1,…,n-1}), яке переводить апартаменти в апартаменти, індукується напівлінійним ізоморфізмом V в V' або в V'* (друга можливість може реалізуватися лише у випадку коли n=2k); тобто, це відображення продовжується до ізоморфізма між відповідними комплексами Тітса. Для k=1,n-1 це твердження є переформулюванням основної теореми проективної геометрії; а у випадку коли 1<k<n-1 воно є наслідком наведенного вище результата.

Підрозділі 3.1 має допоміжний характер. Ми починаємо з елементарних властивостей відношення суміжності і просторів Грасмана, пов'язаних із звичайними Грасманіанами (пункт 3.1.1). Потім (в пункті 3.1.2) ми вивчаємо напівлінійні відображення векторних просторів та індуковані ними відображення Грасманіанів. В пункті 3.1.3 ми доводимо декілька технічних лем про відстані в графах Грасмана (вершинами графа Грасмана є елементи Грасманіана, а ребрами пари суміжних елементів).

Підрозділі 3.2 присвячується різним типам відображень, що зберігають відношення суміжності. В пункті 3.2.1 формулюється і узагальнюється класична теорема Чоу. В пункті 3.2.2 отримане нами узагальнення застосовується для характеризації відображень Грасманіанів, індукованих полярними відображеннями. В пункті 3.2.3 ми модифікуємо класичні методи Чоу і описуємо відображення Gk(V) в Gk(V'), що зберігають відстань.

Слід підкреслити, що ми не вимагатимемо рівності dim V=dim V' і сюр'єктивності відображень. Встановлюється, що відображення Gk(V) в Gk(V'), які зберігають відстань, індукуються напівлінійними (2k)-вкладеннями V в V' або в лінійний підпростір дуального простора V'*. Результати цього підрозділу будуть застосовуватися для доведення основного результата (теореми 1); але вони також являють і самостійну цінність.

В підрозділі 3.3 ми формулюємо і доводимо основний результат Розділа 3. Доведення проводиться в два етапи. Спочатку ми характеризуємо відношення суміжності в термінах

максимальних неточних підмножин (підмножина апартамента називається неточною,якщо вона міститься більш ніж в одному апартаменті). З цієї характеризації випливає, що відображення Грасманіанів, які переводять апартаменти в апартаменти, зберігають відношення суміжності. Другим етапом доведення є модифікація методів Чоу.

В підрозділі 3.4 ми розглянемо Грасманіани простора прямих П=(P,L), що задовольняє наступній аксіомі заміни: для кожної підмножини X і довільних двох точок p,qє P\<X> маємо

pє<X, q> qє <X, p>

Ця аксіома виконується в проективних і афінних просторах. Вона гарантує, що кожну незалежну підмножину можна продовжити до базиса і кожні два базиса мають ту саму кількість елементів. Припустимо, що розмірність П дорівнює n>2. Для кожного kє{0,1,…,n-1} позначимо через Gk(П) Грасманіан, що складається з k-вимірних підпросторів. Він містить клас підмножин, структура яких є подібною до структури апартаментів Грасманіанів комплексів Тітса типу An. Такі підмножини називаються базисними. Базисна підмножина Gk(П) складається з усіх k-вимірних підпросторів П, утворених підмножинами деякого базиса П. Якщо П є проективним простором, пов'язаним з (n+1)-вимірним векторним простором V, то Gk(П) можна ототожнити з Грасманіаном Gk+1(V), а базисні підмножини --- з апартаментами.

Нехай П ' - ще один n-вимірний простір, що задовольняє аксіомі заміни. Ми будемо досліджувати відображення Gk(П) i Gk(П '), що переводять базисні підмножини в базисні підмножини вимагаючи, щоб кожна пряма просторів П і П ' містила не менше ніж три точки.

В загальному випадку, на відміну від Грасманіанів векторних просторів, існують пари елементів Gk(П), що разом не містяться в жодній базисній підмножині. Тому ми не можемо стверджувати, що відображення Gk(П) в Gk(П'), які переводять базисні підмножини в базисні підмножини, є ін'єктивними. Але для кожних двох суміжних елементів Gk(П) існує базисна підмножина, яка їх містить. Як і в попередньому підрозділі, ми характеризуємо відношення суміжності в термінах максимальних неточних підмножин (поняття неточної підмножини переноситься без змін) і встановлюємо наступне твердження.

Теорема 3.17 Нехай f : Gk(П) Gk(П ') - ін'єктивне відображення, що переводить базисні підмножини в базисні підмножини. Тоді для кожної пари суміжних елементів Gk(П) їх f-образи також є суміжними.

Користуючись теоремою ми отримуємо декілька результатів про відображення, що переводять базисні підмножини в базисні підмножини. Наприклад, має місце наступне твердження.

Теорема 3.14 Нехай f : Gk(П) Gk(П ') - бієктивне відображення таке, що f і f^-1 переводять базисні підмножини в базисні підмножини. Якщо n>2k+1, то f індукується деякою колінеацією П на П '.

Підрозділ 3.5 присвячується, так званим, спайн-просторам, які були введені К. Пражмовськім. Нехай V - n-вимірний векторний простір, W - лінійний підпростір V і mєN. Розглянемо підмножину

Fk,m(W):={ SєGk(V) : dim(SW)=m }.

Звуження простору Грасмана, пов'язаного з Gk(V), на підмножину Fk,m(W) є частковим простором прямих. Простори такого типу називають спайн-просторами. У випадку коли m=0 i dim W= n-k ми отримуємо добре відомий простір матриць порядку kx(n-k). В деяких вироджених випадках (наприклад, коли m=k i dim W>k) наш спайн-простір є ізоморфним простору Грасмана деякого векторного простора.

Два елемента S,Uє Fk,m(W) називаються суміжними, якщо вони є суміжними, як елементи Gk(V); в загальному випадку одна з наступних трьох можливостей реалізується:

(ф? dim((S U)W)=m, dim((S+U)W)=m+1;

(б) dim ((S U)W)=dim((S+U)W)=m;

(щ) dim ((SU)W)=m-1, dim((S+U)W)=m+1.

Отже, ми маємо три різні типи суміжності, які позначатимемо символами ф, б і щ.

Нехай B - базис векторного простора V такий, що

|BW|=dimW.

Перетин відповідного апартамента Gk(V) з Fk,m(W) буде називатися базисною підмножиною нашого спайн-простора. Ми характеризуємо відношення б-суміжності і щ-суміжності в термінах базисних підмножин майже в усіх випадках (базисні підмножини не містять ф -суміжних елементів, тому характеризація відношення ф-суміжності в термінах базисних підмножин неможлива). З цієї характеризації випливає, що перетворення множини Fk,m(W), які зберігають клас базисних підмножин, зберігають також відношення б-суміжності і щ-суміжності, або міняють їх місцями (Теорема 3.19). перетворення грасманіан апартамент чоу

Основним результатом Розділу 4 є класифікація усіх відображень Грасманіанів комплексів Тітса типів Cn i Dn, що переводять апартамети в апартаменти. Кожен комплекс Тітса цих двох типів може бути отриманий з деякого полярного простора ранга $n$.

В підрозділ 4.1 ми познайомимося з означенням, прикладами та елементарними властивостями полярних просторів. Крім того, ми покажемо яким чином комплекси Тітса типів Cn i Dn отримуються з полярних просторів. Ми визначаємо полярний простір (скінченого рангу), як частковий простір прямих П=(P,L), що задовольняє наступним аксіомам:

(P1) кожна пряма містить не менше ніж три точки,

(P2) якщо pєP і LєL, то точка p колінеарна з усіма або тільки з однією точкою прямої L (аксіома Буекенхота -- Шульта),

(P3) не існує точки, колінеарної з усіма точками простору П,

(P4) кожний флаг, що складається з сингулярних підпросторів, є скінченним (це гарантує, що розмірність кожного сингулярного підпростора є скінченною).

Усі максимальні сингулярні підпростори полярного простора є проективними просторами однієї розмірності m>1; m+1 відоме, як ранг полярного простора. Існують лише наступні два типи полярних просторів ранга n:

(Cn) кожний (n-2)-вимірний сингулярний підпростір міститься не менше ніж в трьох різних максимальних сингулярних підпросторах;

(Dn) кожний (n-2)-вимірний сингулярний підпростір міститься лише в двох максимальних сингулярних підпросторах.

Кожний комплекс Тітса типу Cn є комплексом флагів, що складаються з сингулярних підпросторів деякого полярного простора П. Грасманіанами цього комплекса є полярні Грасманіани Gk(П), kє{0,1,…,n-1} (елементами Грасманіана Gk(П) є k-вимірні сингулярні підпростори П).

Якщо П є полярним простором типу Dn, то Грасманіан Gn-1(П) є об'єднанням двох незв'язних підмножин O₊( П) i O_-( П), які називаються напівспінорними Грасманіанами. Вони характеризуються наступною властивістю: для кожних S,Uє Gn-1(П) число

n-dim (SU)-1

є парним тоді і лише тоді, коли S і U є елементами одного напівспінорного Грасманіана.

Розбиття Gn-1(П) на напівспінорні Грасманіани є однозначним (з точністью до знака).

Кожний комплекс Тітса типу Dn можна отримати з деякого полярного простора типу Dn;

Грасманіанами цього комплекса є полярні Грасманіани Gk(П), kє{0,1,…,n-3} і напівспінорні Грасманіани O_i(П), i=+,-.

Декілька слів про відношення суміжності і апартаменти полярних і напівспінорних Грасманіанів. Два елемента Gn-1(П) є суміжними, якщо їх перетин належить Gn-2(П). Якщо S,Uє Gk(П), k<n-1 є суміжними, то перетин S і U є елементом Gk-1(П) і кожна точка S є колінеарною з кожною точкою U. Два елемента O_i(П) (наш полярний простір повинен мати тип Dn), є суміжними, якщо їх перетин належить Gn-3(П).

Апартаменти визначаються реперами полярного простора П. Підмножина {p₁,..,p_2n} називається репером, якщо для кожного iє{1,…,2n} існує лише один s(i) є {1,…,2n} такий, що точки p_s(i) і p_i є неколінеарними. Репер є незалежною підмножиною і відповідний апартамент Gk(П) складається з усіх k-вимірних сингулярних підпросторів, утворених підмножинами репера. Подібним чином визначаються апартаменти напівспінорних Грасманіанів.

Позначимо через Gk(П) простір Грасмана, що відповідає полярному Грасманіану Gk(П).

У випадку коли $\Pi$ є полярним простором типу Dn ми позначатимемо через O_i(П) простір Грасмана напівспінорного Грасманіана O_i(П). Елементарні властивості цих просторів будуть вивчатися у підрозділі 4.2. Центральне місце займає класифікація максимальних сингулярних підпросторів в полярних і напівспінорних просторах Грасмана.

В останньому пункті цього підрозділа наводиться декілька важливих зауважень про полярні простори типу D4. Якщо П є полярним простором типу D4, то O_i(П) є полярним простором того самого типу. Крім того, G1(O_i(П))$ є ізоморфним G1(П), а відповідні напівспінорні простори Грасмана будуть ізоморфними П і O_-i(П). Це значить, що полярні простори П і O_i(П) мають ізоморфні комплекси Тітса.

В підрозділі 4.3 будуть описані колінеації полярних і напівспінорних просторів Грасмана. Нехай П і П ' - полярні простори одного типу Xn, де X=C,D i n>2

(у випадку коли X=D, вимагатимемо щоб n>3). Кожна колінеація П на П' індукує колінеацію Gk(П) на Gk(П '); а у випадку коли П є полярним простором типу Dn, маємо ще і колінеацію O_i(П) на O_j(П').

Наступні два твердження були доведені Чоу (1949): кожне бієктивне відображення

Gn-1(П) на Gn-1(П '), що зберігає відношення суміжності, є колінеацією Gn-1(П) на

Gn-1(П '), яка індукується колінеацією П на П'; а якщо наші полярні простори мають тип Dn і n>4, то кожне бієктивне відображення O_i(П) на O_j(П'), що зберігає відношення суміжності, є колінеацією O_i(П) на O_j(П'), яка індукується колінеацією П на П '. Ці результати були отримані лише для полярних просторів, пов'язаних з рефлексивними формами. Ми покажемо, що вони є справедливими і в загальному випадку.

Більше того, буде доведена наступна

Теорема 4.5 Нехай f - бієктивне відображення Gk(П) на Gk(П'), що зберігає відношення суміжності, і 0<k<n. Якщо

n??4 або k ?1,

f є колінеацією Gk(П) на Gk(П'), яка індукується колінеацією П на П' (f є колінеацією П на П', у випадку коли k=0).

Розглянемо випадок n=4,k=1. Припустимо, що наші полярні простори мають тип D4.Тоді відповідні напівспінорні простори Грасмана є полярними просторами типу D4.

Колінеації полярного простору П на полярний простір O_j(П') (якщо вони існують) індукують колінеації G1(П) на G1(П'). Крім того, кожна колінеація такого типу також індукує колінеацію між одним із напівспінорних просторів Грасмана полярного простора П і простором O-_j(П').

Теорема 4.6 Нехай n=4. Тоді кожне бієктивне відображення G1(П) на G1(П'), що зберігає відношення суміжності, є колінеацією G1(П) на G1(П'), яка індукується колінеацією П на П' або колінеацією П на один із напівспінорних просторів Грасмана полярного простора П'; друга можливість може реалізуватися лише у випадку коли наші полярні простори мають тип D4.

Теорема 4.7 Якщо П і П' є полярними просторами типу D4, то кожне бієктивне відображення O_i(П) на O_j(П'), що зберігає відношення суміжності, є колінеацією O_i(П) на O_j(П'), яка індукується колінеацією П на П ' або колінеацією П на O_j(П').

Доведення теореми 4.5 (пункти 4.3.3 і 4.3.4) спирається на властивості максимальних сингулярних підпросторів полярних просторів Грасмана і на відношення

слабкої суміжності (пункт 4.3.2), яке виникає на Gk(П)

у випадку коли k<n-1 (два елемента Gk(П) є слабо суміжними, якщо їх перетин належить Gk-1(П)). Доведення теореми 4.6 є значно складнішим, йому присвячується пункт 4.3.5. Теорема 4.7 є простим наслідком теореми 4.6.

В пунктi 4.3.6 ми наводимо декілька наслідків з теорем 4.5 - 4.7. Наприклад, доводиться наступне твердження (теорема 4.10): кожне бієктивне відображення Gk(П) на Gk(П') (k<n-1), що зберігає відношення слабкої суміжності, індукується колінеацією П на П '.

В підрозділі 4.4 формулюються і доводяться основні результати Розділу 4.

Теорема 4.11 Кожне сюр'єктивне відображення Gk(П) на Gk(П'), що переводить апартаменти в апартаменти, є колінеацією Gk(П) на Gk(П'). Якщо n>3 і наші простори мають тип Dn, то кожне бієктивне відображення Oi(П) на Oj(П'), що переводитьапартаменти в апартаменти, є колінеацією Oi(П) на Oj(П').

З цього твердження випливає, що бієктивні відображення полярних і напівспінорних Грасманіанів, які переводять апартаменти в апартаменти, продовжуються до ізоморфізмі відповідних комплексів Тітса.

Як і для Грасманіанів векторних просторів, ми характеризуємо відношення суміжності в термінах максимальних неточних підмножин. Але для деяких полярних Грасманіанів (навідміну від Грасманіанів векторних просторів) існує два різних типи максимальних неточних підмножин і нам треба научитися розрізняти ці два типи. Це робить наше доведення значно складнішим. З характеризації випливає, що відображення, які переводять апартаменти в апартаменти, зберігають відношення суміжності. Застосовуючи теореми 4 - 6 ми отримуємо теорему 7. Відношення слабкої суміжності також можна охарактеризувати в термінах максимальних неточних підмножин. Модифікуючи доведення теорем 4 - 6 ми отримуємо наступні узагальнення теореми 4.11.

Теорема 4.12 Припустимо, що одна з двох наступних можливостей реалізується:

-наші полярні простори мають тип Cn,

-наші полярні простори мають тип Dn і n??4 або k ?1.

Тоді кожне відображення f:Gk(П) Gk(П'), що переводить апартаменти в апартаменти, є вкладенням Gk(П) в Gk(П'), яке індукується сильним вкладенням П в П ' (f є сильним вкладенням П в П ', якщо k=0).

Теорема 4.13 Припусимо, що наші полярні простори мають тип Dn і n>4. Тоді кожне відображення Oi(П) в Oj(П '), що переводить апартаменти в апартаменти, є вкладенням Oi( П) в Oj(П '), яке індукується сильним вкладенням П в П '.

Теорема 4.14 Припустимо, що полярні простори мають тип D4. Тоді кожне відображення G1(П) в G1(П'), що переводить апартаменти в апартаменти, є вкладенням G1(П) в G1(П'), яке індукується сильним вкладенням П в П ' або в один із напівспінорних просторів Грасмана простора П '. Подібним чином, кожне відображення Oi(П)$ в Oj(П'), що переводить апартаменти в апартаменти, є сильним вкладенням Oi(П)$ в Oj(П'), яке індукується сильним вкладенням П в П ' або в O-j(П ').

В Розділі 5 ми розглянемо деякі геометричні властивості інволюцій лінійної і симплектичної групи. Основними результатами є узагальнення відомої теореми Дьєдонне- Рікарта про продовження перетворень множин інволюцій, що зберігають комутативність,

до автоморфізмів лінійних груп. У підрозділі 5.1 ми даємо основні означення і формулюємо результати.

Нехай V - n-вимірний лівий векторний простір над деяким тілом R, де n>2 і характеристика тіла R не дорівнює 2. Для кожної інволюції uєGL(V) існують два лінійних підпростора S₊(u) і S_-(u) таких, що

u(x)=x, x є S₊(u), u(x)=-x, x є S_-(u),

крім того,

V= S₊(u)+ S_-(u).

Якщо розмірності лінійних підпросторів S₊(u) і S_-(u) дорівнюють k і n-k (відповідно),

то u називається (k,n-k)-інволюцією. Надалі ми будемо ототожнювати інволюцію u з парою (S₊(u), S_-(u)). Отже множину усіх (k,n-k)-інволюцій Ik(V) можна розглядати, як множину пар

(S,U)єGk(V) XGn-k(V), S+U=V

Кожна базисна підмножина Ik(V) визначається деяким базисом B векторного простора V; вона складається з усіх (k,n-k)-інволюцій u, для яких підпростори S₊(u) і S_-(u) утворюються підмножинами базиса B. Відомо (Ж. Дьєдонне), що клас базисних підмножин співпадає з класом максимальних комутативних підмножин Ik(V). Тому бієктивне перетворення множини Ik(V) зберігає клас базисних підмножин тоді і лише тоді, коли воно зберігає комутативність.

Вище вже було зазначено, що у випадках k=1,n-1 кожне бієктивне перетворення множини Ik(V), яке зберігає комутативність, продовжується до регулярного автоморфізма групи GL(V) (теорема Дьєдонне --- Рикарта). Слід нагадати, що регулярні автоморфізми GL(V) задаються напівлінійними ізоморфізмами V на себе або на дуальний векторний простірV*; тобто, регулярний автоморфізм має один з наступних двох виглядів:

u\to l^-1u l

(l - напівлінійний автоморфізм V) і

u\to s^-1u*^-1s

(s - напівлінійний ізоморфізм V на V*). Ми доводимо наступне узагальнення цього результата.

Теорема 5.2 Якщо n?2k і виконується умова

(n-2k)²?n-2,

то кожне бієктивне перетворення Ik(V), що зберігає комутативність, індукується деяким регулярним автоморфізмом групи GL(V).

Крім того, ми наводимо приклад, який показує, що у випадку коли n=2k це твердження не виконується. Проте має місце наступна слабка версія теореми 5.2.

Теорема 5.3 Нехай n=2k>7 і f - бієктивне перетворення Ik(V), що зберігає комутативність. Тоді

f(u)=g(u) або f(u)=-g(u)

для кожного u є Ik(V), де g є регулярним автоморфізмом групи GL(V).

На множині Ik(V) природним чином виникає відношення суміжності. Дві (k,n-k)-інволюції u=(S,U) i u'=(S'U') називаються суміжними, якщо реалізується одна з наступних двох можливостей:

-S=S' i U є суміжним з U',

-U=U' i S є суміжним з S'.

Суміжність інволюцій має наступний алгебраїчний зміст: u i u' є суміжними тоді і лише тоді, коли uu' і u'u є трансвекціями.

Має місце наступний аналог теореми Чоу.

Теорема 5.4 Нехай f - бієктивне перетворення Ik(V), яке зберігає відношення суміжності.

Якщо n?2k, то f індукується деяким регулярним автоморфізмом групи GL(V). У випадку коли n=2k, існує регулярний автоморфізм g групи GL(V)

такий, що

f=ag| _Ik(V),

де скаляр a дорівнює 1 або -1.

Доведення теорем 5.2 і 5.3 проводиться в підрозділі 5.2. Воно базується на властивостях максимальних неточних підмножин. Але базисні підмножини не містять суміжних елементів. Тому ми не характеризуємо відношення суміжності в термінах базисних підмножин. Отже, наше доведення теорем 5.2 і 5.3 не спирається на теорему 5.4.

Теорема 5.4 отримується за допомогою модифікації методів Чоу (підрозділі 5.3).

В підрозділі 5.4 вивчаються множини інволюцій симплектичної групи. Нехай V - (2n)-вимірний векторний простір над деяким полем F, характеристика якого не дорівнює 2.

Припустимо, що F:VXVF - невироджена симплектична форма. Інволюція u є GL(V) є симплектичною (тобто, належить групі Sp(F)) тоді і лише тоді, коли лінійні підпростори S₊(u) і S_-(u) є невиродженими (тобто звуження форми F на S₊(u) і S_-(u) є невиродженими формами) і

S_-(u)= S₊(u)^o

(U ^o - ортогональне доповнення до підпростора U, що визначається формою F).

У цьому випадку, розмірності S₊(u) і S_-(u) повинні бути парними. Множину усіх симплектичних (2k, 2n-2k)-інволюцій будемо позначати через Hk(F). Кожну симплектичну (2k, 2n-2k)-інволюцію u можна ототожнити з невиродженим 2k-вимірним підпростором S₊(u). Тоді Hk(F) буде відповідати множині усіх невироджених (2k)-вимірних підпросторів.

Нехай B={P₁,…, P_2n} - базис проективного простору П_V; тобто, ненульові вектори x_{i} є P_i, i є {1,…, 2n} утворюють базис векторного простора V. Базис B буде називатися симплектичним, якщо для кожного $i є {1,…,2n} існує лише один s(i) є {1,…,2n} такий, що Pi не є перпендикулярним до Ps(i) (інакше кажучи B є репером полярного простору, що визначається нашою симплектичною формою). Відповідна базисна підмножина H1(F) складається з усіх лінійних підпросторів

...