Перетворення Грасманіанів

Si:=Pi+Ps(i).

Подібним чином, базисна підмножина Hk(F) складається з усіх підпросторів

Si₁+ … +Si_k

(де Si₁,…, Si_k є різними). Як і у випадку інволюцій групи GL(V), класи базисних підмножин і максимальних підмножин Hk(F) співпадають. Отже, бієктивне перетворення множини Hk(F) зберігає комутативність тоді і лише тоді, коли воно зберігає клас базисних підмножин.

Згідно з результатами Дьєдонне і Рікарта, у випадках k=1,n-1 кожне бієктивне перетворення Hk(F), що зберігає комутативність, індукується деяким напівлінійним автоморфізмом l : VV, який зберігає відношення ортогональності; тобто, це відображення має вигляд

u lul^-1.

З цієї теореми виводиться, що кожний автоморфізм симплектичної групи Sp(F) індукується напівлінійним автоморфізмом, який зберігає відношення ортогональності.

Ми доводимо наступні симплектичні аналоги теорем 5.2 і 5.3.

Теорема 5.8 Нехай n?2k і \max(k,n-k)>4. Крім того,

(n-2k)²?n-2.

Тоді кожне бієктивне перетворення Hk(F), що зберігає комутативність, продовжується до автоморфізмом групи Sp(F).

Ми будуємо приклад, який показує, що у випадку коли n=2k це твердження не виконується, i доводимо наступну слабку версію теореми 5.8

Теорема 5.9 Нехай n=2k>13 і f - бієктивне перетворення Hk(F), що зберігає комутативність. Тоді

f(u)=g(u) або f(u)=-g(u)

для кожного u є Hk(F), де g є деяким автоморфізмом групи Sp(F).

Ми доводимо ці результати в підрозділі 5.5 застосовуючи техніку неточних підмножин.

Основною ідеєю доведення є наступне спостереження: існує бієктивне відображення базисної підмножини Hk(F) на базисну підмножину Ik(W) (де W - n-вимірний векторний простір), яке встановлює взаємно однозначну відповідність між неточними підмножинами цих базисних підмножин. Це дає нам можливість використовувати методи, розроблені у підрозділі 5.2.

В Розділі 6 вивчаються Грасманіани нескінченновимірних векторних просторів і сепарабельних просторів Гільберта. Основні результати формулюються в підрозділі 6.1.

Нехай V - деякий векторний простір нескінченної розмірності, яку ми позначатимемо символом A. Грасманіанами цього простора будуть називатися орбіти групи GL(V) на множині усіх власних лінійних підпросторів V. Маємо наступні три типи Грасманіанів:

-G_a(V), a<A, елементи якого мають розмірність a і корозмірність A;

-G^a(V), a< A, елементи якого мають розмірність A і корозмірність a;

-G_A(V)=G^A (V), розмірність і корозмірність елементів цього Грасманіана дорівнюють A.

Нехай G - деякий Грасманіан векторного простору V і B - базис V. Підмножина G, яка складається з усіх лінійних підпросторів <X>, де X є підмножиною B, буде називатися базисною підмножиною G ( <X> є лінійним підпростором, утвореним підмножиною X, тобто, найменшим лінійним підпростором, що містить X).

Базисні підмножини G1(V) є базисами проективного простору П_V. Базисні підмножини G¹(V) є незалежними підмножинами дуального проективного простора П*_V, але вони не є його базисами.

Напівлінійні автоморфізми V індукують бієктивні перетворення Грасманіанів, які зберігають клас базисних підмножин.

Теорема 6.1 Якщо a < A, то кожне бієктивне перетворення Грасманіана G_a(V), що зберігає родину базисних підмножин, індукується деяким напівлінійним автоморфізмом V.

Для Грасманіанів G^a(V), a<A і G_A(V) подібне твердження не доведено. Це пов'язано з тим, що dim V < dim V* і принципи дуальності не виконуються для нескінченновимірних векторних просторів.

Але ситуація змінюється для Грасманіанів просторів Гільберта.

Нехай H буде комплексним або дійсним сепарабельним простором Гільберта.

Позначимо через G(H) решітку усіх замкнутих лінійних підпросторів H.

Грасманіани Гільберта визначаються, як орбіти дії групи зворотних обмежених операторів на решітці G(H). Маємо наступні три типи Грасманіанів:

-G_k(H) складається з k-вимірних підпросторів,

-G^k(H) складається з замкнутих підпросторів скінченної корозмірності k,

-G_inf(H) складається з усіх замктутих підпросторів нескінченної розмірності і корозмірності.

Нехай B --- базис простора H (взагалі кажучи не ортогональний), а G - деякий грасманіан Гільберта. Відповідна базисна підмножина складається з усіх підпросторів

S є G таких, що перетин S і B є базисом простора Гільберта S.

Кожний зворотний обмежений напівлінійний оператор в H індукує автоморфізм решітки G(H) (оператор може бути обмеженим лише у випадках коли відповідний автоморфізм C є тотожним або комплексним спряженням). З класичної теореми Макі і її узагальнення, отриманого Філлмором і Лонгстаффом випливає, що кожний автоморфізм G(H) індукується деяким зворотним обмеженим напівлінійним оператором. Отже, звуження усіх автоморфізмів G(H) на Грасманіан G_inf(H) зберігають клас базисних підмножин.

Позначимо через p перетворення G(H), що переводить кожний замкнутий підпростір

H в його ортогональне доповнення. Це перетворення є ізоморфізмом на дуальну решітку

G(H)*=G(H*). Воно переводить G_k(H) в G^k(H) і індукує бієктивне перетворення Грасманіана G_inf(H), що зберігає родину базисних підмножин.

Теорема 6.4 Нехай f - бієктивне перетворення G_inf(H), що зберігає родину базисних підмножин. Тоді f індукується деяким автоморфізмом решітки G(H) або є композицією перетворення p і перетворення, індукованого автоморфізмом решітки G(H); інакше кажучи f продовжується до автоморфізма G(H) або до ізоморфізма G(H) на дуальну решітку.

Тепер декілька слів про аналог теореми Чоу для Грсманіанів нескінченновимірних векторних просторів і просторів Гільберта.

Нехай V - нескінченновимірний векторний простір і G - один з його Грасманіанів. Два елемента S,U є G є суміжними, якщо

dim (S/(SU))=dim (U/(SU))=1.

Розглянемо граф, вершинами якого є елементи G, а вершинами --- пари суміжних елементів. Якщо елементи G мають нескінченні розмірність і корозмірність, то цей граф не буде зв'язним. У цьому випадку існують бієктивні перетворення G, що зберігають відношення суміжності, але не індукуються напівлінійними автоморфізмами V. Відповідний приклад було побудовано А. Блунк і Г. Хавлічеком.

Подібний приклад можна побудувати і для Грасманіана G_inf(H) (H - сепарабельний простір Гільберта). Грасманіан G_inf(H) частково упорядковується звичайним відношенням включення і ми маємо наступне твердження.

Теорема 6.5 Нехай f - бієктивне перетворення G_inf(H), що зберігає порядок (відношення включення): тобто S міститься в U тоді і лише тоді, коли f(S) міститься в f(U) для кожних S,U є G_inf(H). Тоді f продовжується до деякого автоморфізма решітки G(H).

Теореми 6.3 і 6.4 доводяться за допомогою техніки неточних підмножин (підрозділи 6.2, 6.3) без характеризації відношення суміжності в термінах максимальних неточних підмножин. Доведенню теореми 6.5 присвячується підрозділи 6.4.

ВИСНОВКИ

Були розглянуті Грасманіани комплексів Тітса класичних типів (An, Cn, Dn), тобто, Грасманіани скінченновимірних векторних просторів, полярні і напівспінорні Грасманіани. Ми розробили техніку максимальних неточних підмножин в апартаментах

цих Грасманіанів і використали її для опису відображень Грасманіанів, що переводять апартаменти в апартаменти. Було встановлено, що ці відображення індукуються напівлінійними вкладеннями відповідних векторних просторів (для Грасманіанів векторних просторів, тип An) і сильними вкладеннями відповідних полярних просторів (для полярних і напівспінорних Грасманіанів, типи Cn, Dn). Зокрема, ми показали, що кожне бієктивне відображення, яке переводить апартаменти в апартаменти, продовжується до ізоморфізма між відповідними комплексами Тітса.

Ми отримали декілька узагальнень класичних результатів Чоу про відображення Грасманіанів комплексів Тітса класичних типів, що зберігають відношення суміжності.

Головним нашим досягненням у цьому напрямку є опис усіх таких бієктивних відображень полярних і напівспінорних Грасманіанів. Чоу вони були описані лише у деяких випадках; зокрема, найскладніший випадок D4 ним не був розглянутий.

Також розглядаються деякі Грасманіани, не пов'язані з комплексами Тітса: Грасманіани нескінченновимірних векторних просторів і просторів Гільберта, спайн-простори, Грасманіани просторів прямих, що задовольняють аксіомі заміни, множини інволюцій в лінійних і симплектичних групах. Аналогами апартаментів в описаних вище Грасманіанах є базисні підмножини. Ми знову застосовуємо техніку максимальних неточних підмножин для опису бієктивних перетворень цих Грасманіанів, що зберігають клас базисних підмножин. Зокрема, розроблені нами медоти дать узагальнення відомих результатів Дьєдонне - Рікарта про продовження перетворень деяких множин інволюцій, що зберігають комутативність, до автоморфізмів відповідних груп. Ми показуємо, що бієктивні перетворення множини лінійних (k,n-k)-інволюцій векторного простора V (dim V=n>2 і характеристика відповідного тіла не дорівнює 2), які зберігають комутативність, майже в усіх випадках продовжуються до регулярних автоморфізмів групи GL(V). Дьєдонне і Рікартом це твердження було доведено лише для k=1,n-1.У випадку n=2k, ми отримуємо деяку слабку версію описаного вище твердження. Аналогічні результати отримуються також і для множин симплектичних інволюцій.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮДИСЕРТАЦІЇ

1 Pankov M. Irregular subsets of the Grassmannian manifolds and their maps/ M. Панков // Мат. Физика, Анализ, Геометрия. -2000, т. 7, С. 331--344.

2 Pankov M. Transformations of grassmannians and automorphisms of classical groups/ M. Pankov // Journal of Geometry. -2002. -Vol. 75. -P. 132--150.

3.Pankov M. Transformations of Grassmannians preserving the class of base sets/ M. Pankov // Journal of Geometry. -2004. -Vol. 79. -P. 169--176.

4. Pankov M.A characterization of geometrical mappings of grassmann spaces/ M. Pankov // Results in Mathematics -2004. -Vol. 45. -P. 319--327.

5. Pankov M. Chow's theorem and projective polarities/ M. Pankov // Geometriae Dedicata. -2004. -Vol. 107. -P. 17--24.

6. Pankov M. Mappings of the sets of invariant subspaces of null systems/ M. Pankov // Beitrage zur Algebra und Geometrie. -2004. -Vol. 45, N 2. -P. 389--399.

7. Pankov M. Base subsets in symplectic Grassmannians of small indices/ M. Pankov // Results in Mathematics. -2005. -Vol. 48. -P. 124--130.

8. Pankov M. On the geometry of linear involutions/ M. Pankov // Advances in Geometry. -2005. -Vol. 5. -P. 455--467.

9. Pankov M. Transformations preserving adjacency and base subsets of spine spaces/ M. Pankov, K. Prazmowski, M. Zynel // Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universitat Hamburg. -2005. -Vol. 75. -P. 21--50.

10. Havlicek H. Transformations on the product of Grassmann spaces/H. Havlicek, M. Pankov //

Demonstratio Mathematics. -2005. -Vol. 38. -P. 675--688.

11. Pankov M. On the geometry of symplectic involutions/ M. Pankov // Beitrage zur Algebra und Geometrie. -2006. -Vol. 47. -P. 435--446.

12. Pankov M. Geometrical mappings of Grassmannians of linear spaces satisfying the exchange axiom/ M. Pankov // Aequationes Mathematicae. -2006. -Vol. 72. -P. 254--268.

13. Pankov M. Geometry of polar grassmann spaces/ M. Pankov, K. Prazmowski, M. Zynel // Demonstratio Mathematics. -2006. -Vol. 39. -P. 625--637.

14. Pankov M. Base subsets of the Hilbert grassmannian/ M. Pankov // Innovations in Incidence Geometry. -2006. -Vol. 4. -P. 63--68.

15. Pankov M. Base subsets of Grassmannians: Infinite-dimensional case/ M. Pankov // European Journal of Combinatorics. -2007. -Vol. 28. -P. 26--32.

16. Pankov M. Base subsets of symplectic Grassmannians/ M. Pankov // Journal of Algebraic Combinatorics. -2007. -Vol. 26. -P. 143--159.

17. Pankov M. Base subsets of polar Grassmannians/ M. Pankov // Journal of Combinatorial Theory, Series A. -2007. -Vol. 114. -P. 1394--1406.

18. Pankov M. Order preserving transformations of the Hilbert grassmannian/ M. Pankov // Archiv der Mathematik (Basel). -2007. -Vol. 89. -P. 81--86.

19. Pankov M. Order preserving transformations of the Hilbert grassmannian (note on the complex case)/ M. Pankov // Archiv der Mathematik (Basel). -2008. -Vol. 90. -P. 528--529.

20. Kosiorek J. Distance preserving mappings of Grassmann graphs/ J. Kosiorek, A. Matras, M. Pankov // Beitrage zur Algebra und Geometrie. -2008. -Vol. 49. -P. 233--242.

АНОТАЦІЇ

Панков М.О. Перетворення Грасманіанів. - Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальностями 01.01.04 - геометрія і топологія та 01.01.06 - алгебра і теорія чисел. - Інститут математики НАН України, Київ, 2008.

В дисертації описуються відображення Грасманіанів комплексів Тітса класичних типів, що переводять апартаменти в апартаменти. Зокрема, встановлюється, що кожне бієктивне відображення, яке задовольняє цій умові, продовжується до ізоморфізма між відповідними комплексами Тітса. Для доведення цих результатів розробляється техніка неточних підмножин апартаментів. Деякі Грасманіани, не пов'язані з комплексами Тітса (Грасманіани нескінченновимірних векторних просторів і просторів Гільберта, множини лінійних і симплектичних інволюцій та ін.), містять клас підмножин, структура яких є подібною до структури апартаментів; ці підмножини називаються базисними. За допомогою техніки неточних підмножин отримується ряд результатів про перетворення цих Грасманіанів, що зберігають клас базисних підмножин. Зокрема, відомі результати Дьєдонне - Рікарта про перетворення множин екстремальних інволюцій переносяться на загальний випадок.

Ключеві слова: комплекси Тітса, Грасманіани комплексів Тітса, апартаменти, базисні підмножини.

Панков М.А. Преобразования Грассманианов. - Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальностям 01.01.04 - геометрия и топология, 01.01.06 - алгебра и теория чисел.- Институт математики НАН Украины, Киев, 2008.

В диссертации изучаются преобразования различных типов Грассманианов. Прежде всего, рассматриваются Грассманианы комплексов (строений) Титса классических типов (An, Cn, Dn): Грассманианы конечномерных векторных пространств, полярные и полуспинорные Грассманианы. Одним из основных результатов является описание отображений этих Грассманианов, переводящих апартаменты в апартаменты. В частности показано, что биективные отображения, удовлетворяющие этому условию, продолжаются до изоморфизмов соответствующих комплексов Титса.

Полученные результаты мотивируются идеями Титса, связанными с реконструкцией комплексов Титса из их Грассманианов. Согласно последнему утверждению, комплекс Титса классического типа однозначно восстанавливается из каждого Грассманиана и его системы апартаментов.

Для получения упомянутых выше результатов разрабатывается техника максимальных неточных подмножеств апартаментов (подмножество апартамента называется неточным, если оно содержится более чем в одном апартаменте). Основная идея используемого метода состоит в характеризации отношения смежности (соседства) между елементами Грассманиана в терминах максимальных неточных подмножеств. Для полярных Грассманианов данная характеризация является достаточно сложной; имеются два разных типа максимальных неточных подмножеств и мы находим инварианты, различающие эти типы. Из полученной нами характеризации следует, что отображения, переводящие апартаменты в апартаменты, сохраняют отношение смежности. После этого применяется модификация классических методов Чоу для исследования отображений, сохраняющих отношение смежности.

Обобщая методы Чоу мы получаем несколько утверждений о различных отображениях Грассманианов, сохраняющих отношение смежности. В частности, мы описываем биективные отображения всех полярных и полуспинорных Грассманианов (аналогичные результаты были получены Чоу только для некоторых полярных и полуспинорных Грассманианов). В настоящей работе эти результаты носят вспомогательный характер, однако они представляют и самостоятельный интерес.

Рассматриваются также некоторые Грассманианы, не связанные с комплексами Титса: Грассманианы бесконечномерных векторных пространств и пространств Гильберта, спайн-пространства, множества сопряженных инволюций в линейных и симплектических группах, а также Грассманианы пространств прямых, удовлетворяющих аксиоме замены Все вышеперечисленные Грассманианы содержат класс, так называемых, базисных подмножеств. Структура данных подмножеств в некотором смысле подобна структуре апартаментов Грассманианов конечномерных векторных пространств. Техника максимальных неточных подмножеств (понятие неточного подмножества переносится без изменений) адаптируется для описанных выше Грассманианов. Она позволяет получить ряд результатов о преобразованиях, сохраняющих класс базисных подмножеств.

Базисные подмножества в множествах сопряженных инволюций классической группы имеют замечательную алгебраическую интерпритацию. Согласно известному наблюдению Ж. Дьедонне, класс базисных подмножеств совпадает с классом максимальных коммутативных подмножеств. Таким образом, биективное преобразование множества инволюций сохраняет коммутативность тогда и только тогда, когда оно сохраняет класс базисных подмножеств. Мы переносим известные результаты Дьедонне - Рикарта о биективных преобразованиях множеств экстремальных инволюций линейных и симплектических групп, сохраняющих коммутативность, на случай произвольного множества сопряженных инволюций.

Ключевые слова: комплексы (строениея) Титса, Грассманианы комплексов Титса, Грассманианы векторных пространств, полярные Гра\-ссманианы, полуспинорные Грассманианы, Грассманианы пространств Гильберта, апартаменты, базисные множества, множества сопряженных инволюций классических групп, отношение смежности на Грассманианах.

Pankov M. Transformations of Grassmannians. - Manuscript. The thesis for habilitate doctor degree in mathematics by specialities 01.01.04 - geometry and topology, 01.01.06 - algebra and number theory. - Institute of Mathematics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kiev, 2007.

We describe apartment preserving mappings of Grassmannians of Tits buildings of classical types. In particular, it will be established that every apartment preserving bijection can be extended to an isomorphism between the associated Tits buildings. To prove these results technics of so-called inexact subsets in apartment will be exploited. We consider also some Grassmannians which are not related with buildings: Grassmannians of infinite-dimensional vector spaces and Hilbert spaces, sets of linear and symplectic involutions and other. These Grassmannians contain a family of subsets whose structure is similar to the apartment structures; elements of the family are called base subsets. We use the technics of inexact subsets and establish some results concerning transformations of these Grassmannians preserving the family of base subsets. In particular, well-known Dieudonne - Rickart's results on commutativity preserving transformations of sets of involutions will be generalized.

Key words: Tits buildings, Grassmannians of Tits buildings, apartments, base subsets.

Размещено на Allbest.ru