Комп’ютерні моделі синтетичної геометрії

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ БУДІВНИЦТВА І АРХІТЕКТУРИ

УДК 514.18

05.01.01 - прикладна геометрія, інженерна графіка

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

КОМП'ЮТЕРНІ МОДЕЛІ СИНТЕТИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ

НЕСВІДОМІН

Віктор Миколайович

Київ

2008



ДИСЕРТАЦІЄЮ Є РУКОПИС

Роботу виконано в Національному аграрному університеті України

Науковий доктор технічних наук, професор

консультант Обухова Віолетта Сергіївна,

професор кафедри нарисної геометрії,

комп'ютерної графіки та дизайну,

Національний аграрний університет (м. Київ)

Офіційні опоненти: Заслужений працівник освіти України,

доктор технічних наук, професор,

Ванін Володимир Володимирович,

декан фізико-математичного факультету,

завідувач кафедри нарисної геометрії,

інженерної та комп'ютерної графіки,

Національний технічний університет України

"Київський політехнічний інститут" (м. Київ)

доктор технічних наук, професор

Скідан Іван Андрійович,

завідувач кафедри нарисної геометрії та

інженерної графіки,

Донецький національний технічний

університет (м. Донецьк)

доктор технічних наук, професор

Бадаєв Юрій Іванович,

завідувач кафедри інформаційних технологій,

Київська державна академія водного транспорту

ім. гетьмана Петра Конашевича-Сагайдачного (м. Київ)

Захист відбудеться " 5 " листопада 2008 р. о 13⁰⁰ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д26.056.06 у Київському національному університеті будівництва і архітектури за адресою: 03680, м.Київ, Повітрофлотський проспект, 31, КНУБА, зала Вченої ради університету, а.466

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного університету будівництва і архітектури за адресою: 03680, м.Київ, Повітрофлотський проспект, 31, КНУБА

Автореферат розісланий " 3 " жовтня 2008 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради В.О.Плоский

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Сутність наукової проблеми. Графічні побудови та геометричні відповідності є конструктивним фундаментом прикладної синтетичної геометрії. Методи геометричного моделювання на цій основі обумовлюють особливі вимоги до їх використання та комп'ютерної формалізації. Пояснюється це тим, що методи інциденцій піддаються аналітичному опису тільки в найпростіших випадках. Застосування ж традиційних графічних технологій потребує значних ручних зусиль для здійснення точних побудов. Тому постала науково-прикладна проблема - створити обчислювальні основи комп'ютерної реалізації методів інциденцій, які в середовищах комп'ютерної графіки знімають трудомісткість графічних побудов, забезпечують їх точність та усувають складність аналітичного опису.

Сучасний стан проблеми. За останні десятиріччя (в період появи та розвитку комп'ютерних технологій) суттєвих змін в автоматизації методів інциденцій не відбулося, оскільки рішення цієї проблеми вимагає формалізації складних взаємовідношень великої кількості геометричних абстракцій різних ступенів та порядків. Тому дослідження в цьому напрямі носили несистемний характер, і головне, не мали узагальненої алгорититмічно-обчислювальної основи конструктивно-синтетичної геометрії.

Значимість проблеми. Створення комп'ютерної конструктивно-синтетичної геометрії як цілісного напрямку в прикладній геометрії визначає два вектори її подальшого розвитку: в теоретичних дослідженнях - органічне поєднання з комп'ютерними засобами для їх здійснення; у вирішенні практичних задач - пошук підходів та створення геометричних моделей об'єктів, процесів та систем в середовищах комп'ютерної графіки. Цим напрямкам сприяє зростання обчислювальних та графічних можливостей сучасної комп'ютерної техніки, засобів аналізу, проектування та програмування. Таким чином, відкриваються нові можливості утворення та дослідження алгебраїчних багатовидів вищих порядків через їх унаочнені моделі, які переважно існують у вигляді формальних описів. Причому, такі пріоритетні вимоги до моделей комп'ютерної графіки, як можливість наочного відстеження зміни багатовиду, керування його формою за допомогою геометричної частини визначника, прогнозування кінцевого результату, цілком можуть бути забезпечені методами конструктивно-синтетичної геометрії.

Актуальність роботи. Розробка обчислювальних основ комп'ютерної реалізації методів конструктивно-синтетичної геометрії потребує вирішення низки питань теоретичного і практичного характеру, які складають актуальність досліджень. Насамперед, це розробка ієрархічної структури множини взаємозв'язаних геометричних форм (рядів, пучків, полів, в'язок тощо). Для її створення розгляд конструктивно-синтетичної геометрії виконується з позицій складної системи із залученням об'єктного аналізу, проектування та програмування.

Сутність конструктивно-синтетичної геометрії проявляється через її алгоритмічну складову. Дослідження внутрішньої структури алгоритмів, точності, швидкості дозволяє відшукати раціональний перехід від синтетичного опису геометричної форми до її алгоритмічного подання, а від нього вже - до обчислювальної моделі.

Алгебраїчні багатовиди, як неперервні сукупності точок, прямих, площин, що утворюють криві лінії, поверхні, конгруенції, комплекси тощо, завжди привертали та будуть привертати увагу дослідників завдяки передбачуваності особливостей форми, синтетичності опису, врахуванню вихідних геометричних умов. Тому актуальними є: дослідження зі створення моделей алгебраїчних багатовидів вищих порядків; виявлення властивостей багатовидів; відшукання характерних умов їх задання, інцидентних точкам, прямим, площинам, кривим перерізу; побудова заданих відсіків цих багатовидів тощо. Це забезпечує використання алгебраїчних багатовидів вищих порядків у вигляді графічних об'єктів систем комп'ютерної графіки з можливістю інтерактивного діалогу конструювання та редагування.

Також вкрай вагомою є проблема візуального забезпечення конструктивно-синтетичної геометрії, оскільки знання в цій області тривалий час накопичувалися у вигляді теорем, тверджень, властивостей, словесних описів, окремих креслень. Їх доповнення наочними моделями з можливістю інтерактивного варіювання дозволяє глибше і швидше розкрити потенціал синтетичних методів, забезпечити подальший системний розвиток на новому комп'ютерно-технологічному рівні.

Таким чином, розв'язання поставленої в дисертаційній роботі проблеми, пов'язаної із застосуванням сучасних комп'ютерних технологій в області конструктивно-синтетичної геометрії, є актуальним як в теоретичному напрямку - розширення методів інциденцій на основі обчислювальних методів, так і в практичному - використання створених моделей багатовидів для конструювання технічних форм та моделювання процесів в середовищах комп'ютерної графіки.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційні дослідження проводились в рамках тематики наукових робіт кафедри нарисної геометрії, комп'ютерної графіки та дизайну Національного аграрного університету за темою "Конструювання поверхонь технічних форм та їх автоматизоване проектування" у відповідності із галузевими науково-дослідними роботами. Наукові пошуки стосовно геометричного моделювання взаємодії поверхонь робочих органів із ґрунтовим середовищем здійснювались в рамках теми "Дослідження напружено-деформованого стану ґрунтового півпростору з метою забезпечення наперед заданих показників якості обробітку ґрунту при мінімальних енерговитратах" (№ держреєстрації 0196U005216).

Напрямок дослідження - методи конструктивно-синтетичної геометрії та сучасні комп'ютерно-технологічні концепції їх здійснення.

Мета досліджень - розробити алгоритмічні та обчислювальні основи комп'ютерної реалізації конструктивно-синтетичних способів конструювання багатовидів вищих порядків.

Для досягнення мети розв'язуються наступні основні задачі:

1. Виконати системний аналіз конструктивно-синтетичної геометрії з виявлення взаємовідношень її основних абстракцій в їх ієрархічній структурі та встановлення зв'язків між собою - включення, успадкування, розширення.

2. Розробити структуру комп'ютерних моделей геометричних форм конструктивно-синтетичної геометрії, для кожної із яких визначити основні методи (операції), запропонувати їх ідентифікатори, виконати аналітичну, алгоритмічну та програмну реалізацію.

3. Розкрити можливості створеного комп'ютерно-синтетичного інструментарію в автоматизованому конструюванні алгебраїчних багатовидів вищих порядків 1, 2 і 3-го ступенів на основі розгляду:

- плоских та просторових точкових рядів 2, 3 та 4-го порядків за різними визначниками їх задання та синтетичного утворення;

- лінійчатих косих поверхонь 2, 3 та 4-го порядків, торсових поверхонь до 8-го порядку включно, утворених обкаткою двох напрямних конік;

- нелінійчатих поверхонь 2 та 3-го порядків, утворених в перетині в'язки площин з конгруенцією прямих;

- криволінійних тривимірних тіл в перетині пучка в'язки прямих з осьовим пучком площин.

4. Провести комп'ютерні експерименти та проаналізувати їх результати з дослідження впливу геометричних визначників створених моделей алгебраїчних багатовидів на особливості їх форми.

5. Створити програмні додатки до систем комп'ютерної графіки з конструювання графічних об'єктів 1, 2 та 3-го ступенів, опрацювати набір програмних процедур їх аналізу, редагування та застосування.

6. Підтвердити практичне значення отриманих результатів досліджень на прикладах застосування комп'ютерних моделей алгебраїчних багатовидів в конструюванні технічних форм різного призначення та моделюванні технологічних процесів. Також результати досліджень використати в навчальному процесі, як інформаційну базу знань з алгебраїчних багатовидів вищих порядків та їх комп'ютерного конструювання.

Об'єкт дослідження:

· конструктивно-синтетична геометрія, як предметна область алгоритмічної, обчислювальної та комп'ютерної формалізації;

· технічні форми та процеси, які моделюються методами інциденцій.

Предмет дослідження:

· комп'ютерні технології моделювання геометричних форм (рядів, пучків, полів, в'язок, конгруенцій) та відповідностей (колінеарних, кореляційних, квадратичних) між їх елементами;

· обчислювальні експерименти з дослідження властивостей алгебраїчних багатовидів вищих порядків методами інциденцій.

Методи дослідження базуються на положеннях аналітичної, афінної, проективної, алгебраїчної, нарисної, диференціальної, обчислювальної геометрії, теорії кривих ліній, поверхонь, конгруенцій, а також сучасних комп'ютерних технологій - об'єктного аналізу, проектування та програмування в системах комп'ютерної графіки, проведення обчислювальних експериментів.

Теоретичною базою проведених досліджень слугували праці вчених:

· з синтетичної та проективної геометрії, теорії зображень: Staudt G., Steiner S., Sturm R., Reye T., Андрєєва К.А., Валькова К.І., Глаголєва А.А., Джапаридзе І.С., Колотова С.М., Фінікова С.П., Четверухіна М.Ф. та інших;

· з прикладної геометрії кривих ліній і поверхонь, геометричного моделювання процесів та явищ: Бадаєва Ю.І., Борисенка В.Д., Ваніна В.В., Верещаги В.М., Власюк Г.Г., Грибова С.М., Гумена М.С., Дворецького О.Т., Дорошенка Ю.О., Іванова Г.С., Ковальова С.М., Ковальова Ю.М., Корчинського В.М., Куценка Л.М., Лі В.Г., Малкіної В.М., Мартина Є.В., Михайленка В.Є., Надолинного В.О., Найдиша В.М., Найдиша А.В., Обухової В.С., Павлова А.В., Підгорного О.Л., Пилипаки С.Ф., Підкоритова А.М., Плоского В.О., Пугачова Є.В., Рижова М.М., Скідана І.А., Тормосова Ю.М., Юрчука В.П., Яковлєва М.І. та інших;

· з проектування, програмування та створення комп'ютерних графічних систем: Буча Г., Котова І.І., Осіпова В.А., Сазонова К.О., Страуструпа Б., Полозова В.С., Тевліна А.М., Фролова С.А., Якуніна В.І. та інших.

Визначальну роль відіграли дослідження з конструктивно-синтетичних способів відображень та геометричних відповідностей, графічної побудови алгебраїчних кривих ліній та поверхонь, знаходження їх властивостей (Джапаридзе І.С., Обухова В.С., Підгорний О.Л., Іванов Г.С.).

Наукову новизну досліджень складають розроблені обчислювальні основи комп'ютерної реалізації методів конструктивно-синтетичної геометрії, за допомогою яких вперше алгебраїчні багатовиди вищих порядків формуються та досліджуються в інтерактивному режимі в системах комп'ютерної графіки.

1. Вперше в прикладній геометрії виконано аналітичну, алгоритмічну та програмну формалізацію основних форм 1, 2 та 3-го ступенів на основі задання загальних геометричних визначників та внутрішньої координації для побудови та вибірки елементів, які заміщують графічні операції методів інциденцій. Цим закладено обчислювальний фундамент конструктивно-синтетичної геометрії.

2. Вперше в прикладній геометрії створено цілісну структуру комп'ютерних засобів конструювання алгебраїчних багатовидів вищих порядків методами інциденцій, чим започатковано новий етап їх дослідження - комп'ютерного синтезу багатовиду та обчислювальних експериментів аналізу його форми.

3. Вперше розроблено ряд оригінальних комп'ютерних моделей алгебраїчних багатовидів вищих порядків за їх конструктивно-синтетичним описом:

- плоских точкових рядів 2, 3 та 4-го порядків на основі формування ланцюга інциденцій геометричних форм 1-го ступеня 1 та 2-го порядків;

- лінійчатих косих поверхонь 2, 3 та 4-го порядків в перетині та з'єднанні відповідних елементів геометричних форм 1-го ступеня;

- торсових поверхонь 2...4-го класів 2...8-го порядків обкаткою двох напрямних конік з виявленням інваріантів побудови їх твірних;

- нелінійчатих поверхонь 2-го порядку в перетині в'язки прямих з в'язкою площин, відповідність між якими встановлена за допомогою поляритету в площині конічного перерізу квадрики;

- нелінійчатих поверхонь 3-го порядку в перетині: 1) конгруенції прямих 1-го порядку 1-го класу з в'язкою площин за полярною відповідністю в площині конічного перерізу поверхні; 2) трьох в'язок площин в проективній відповідності;

- тривимірних криволінійних тіл, обмежених нелінійчатими поверхнями 3-го порядку, внутрішній простір яких заповнений конгруенцією конічних рядів та пучком точкових полів.

4. Запропоновано низку характерних геометричних визначників кривих ліній, поверхонь та криволінійних тіл, обґрунтування яких виконано засобами інтерактивної графіки. Передбачено їх використання у вигляді бібліотеки графічних об'єктів в системах автоматизованого проектування.

5. Створено програмний комплекс геометричного моделювання технічних форм та технологічних процесів методами інциденцій.

Практичне значення досліджень складає створений комп'ютерний інструментарій (геометричні алгоритми, обчислювальні методи та програмні додатки до систем комп'ютерної графіки) методів конструктивно-синтетичної геометрії, який дозволяє:

· моделювати технічні форми та візуалізувати процеси, які мають синтетичний опис і в кінцевих аналітичних рівняннях практично не виводяться, зокрема, ґрунтообробних поверхонь, процесу їх дії на ґрунт, обприскування криволінійних тіл тощо;

· унаочнити алгебраїчні багатовиди вищих порядків для навчальних цілей, забезпечуючи інтерактивний режим їх конструювання.

На захист виносяться основні положення, що складають наукову новизну та практичне значення роботи.

Вірогідність та обґрунтованість результатів досліджень підтверджуються доведеними твердженнями, зіставленням результатів тестових прикладів із вже відомими, комп'ютерною візуалізацією алгебраїчних багатовидів за створеними алгоритмами, практичним впровадженням.

Впровадження одержаних результатів виконано на шести підприємствах: 1) заводі комунального машинобудування "Коммаш" (м. Київ) - твердотільне моделювання бункера машини КО-444, автоматизація розкрою листових заготовок та їх згинання в задані конструктивні елементи, що здійснюється в плані творчої співпраці кафедри нарисної геометрії, комп'ютерної графіки та дизайну НАУ з інжиніринговим центром ВАТ "Коммаш"; 2) ВАТ "Карлівський механічний завод" (м.Карлівка, Полтавська обл.) - автоматизація формування обшивок автоцистерн АЦМ, Г6-ОТА; 3) ТОВ "Агромаш" - комп'ютерне моделювання процесу обприскування складних криволінійних поверхонь в обґрунтуванні положень розпилювача в обприскувачі "Спрейс Макс"; 4) ВАТ "АМР Інвест" - автоматизоване обґрунтування конструктивних параметрів ґрунтообробних робочих органів за допомогою візуальних моделей дії в ґрунтовому середовищі; 5) ТОВ "Хмільниксільмаш" - твердотільне моделювання та конструктивно-кінематичний аналіз ротора мульчатора МПР-3.6; 6) ВАТ "Богуславська сільгосптехніка" - комп'ютерний аналіз дії на ґрунт лап культиваторів. Створені моделі геометричних форм вищих порядків, алгоритмічне та програмне забезпечення використовуються в навчальному процесі кафедри нарисної геометрії, комп'ютерної графіки та дизайну Національного аграрного університету при викладанні дисциплін: "Нарисна геометрія", "Комп'ютерна графіка", "Інформатика та комп'ютерні технології".

Особистий внесок здобувача полягає в: узагальненні існуючих наукових положень за темою дисертаційної роботи; постановці проблеми досліджень, обранні шляхів її вирішення; розробці основних принципів, проведенні об'єктного аналізу синтетичної геометрії; створенні математичного, алгоритмічного та програмного забезпечень комп'ютерних моделей алгебраїчних багатовидів вищих порядків; проведенні обчислювальних експериментів з комп'ютерного аналізу геометричних властивостей багатовидів. Результати виконаних досліджень, які виносяться на захист і складають наукову новизну роботи, викладені в основних працях [1-40] та додаткових [41-60]. Особистий внесок здобувача у роботах, опублікованих у співавторстві, полягає в: розробці аналітичного описання, алгоритмів та комп'ютерних програм розрахунків [5, 9, 15, 19, 23, 41, 42, 45, 46, 48]; формуванні моделей та обчислювальному аналізі багатовидів [34, 35, 37, 38]; удосконаленні алгоритмічного забезпечення процесів згинання [2, 27-30]; виконанні автоматизації графічних побудов [52]; аналізі геометрії технічних форм с.г. машин, технологічних процесів, рекомендацій [53-60].

Апробація результатів дисертації. Основні результати досліджень та окремі їх положення пройшли апробацію на 31 зібранні різного рівня: двох Всесвітніх конференціях з інженерної та комп'ютерної графіки (м. Краків, 1996 р. та м. Київ, 2002 р.); міжнародних науково-практичних конференціях "Сучасні проблеми геометричного моделювання" (м. Харків, 2001, 2005, 2007 р.р.); міжнародній конференції "Геометричне моделювання. Інженерна та комп'ютерна графіка" (м. Львів, 2003 р.); міжнародних науково-практичних конференціях "Сучасні проблеми геометричного моделювання" (м. Мелітополь, 2003, 2004, 2007, 2008 р.р.), (м. Дніпропетровськ, 2006 р.), (м. Луцьк, 2008); міжвузівських докторантських семінарах з прикладної геометрії загальнотехнічного відділення Академії наук вищої школи України (м. Київ, 2001-2008 р.р.); щорічних науково-практичних конференціях Національного аграрного університету (м. Київ, 1996 - 2008 р.р.)

Публікації. Основний зміст і результати досліджень висвітлені в 60 публікаціях, із яких 40 у фахових виданнях ВАК України, із них 24 одноосібно.

Структура та об'єм дисертаційної роботи. Дисертація складається із вступу, семи розділів, висновків, списку використаних джерел із 305 найменувань та додатків. Робота містить 325 сторінок основного тексту, 4 таблиці, 112 рисунків.



ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі розкрито сутність та стан наукової проблеми, обґрунтовано актуальність дослідження, сформульовано мету, задачі дисертаційної роботи, її наукову новизну, практичне значення одержаних результатів, представлено інформацію про їх впровадження та апробацію роботи.

Перший розділ "Аналіз методів конструктивно-синтетичної геометрії та сучасних комп'ютерних технологій їх реалізації" присвячено: 1) визначенню основних геометричних абстракцій та їх взаємовідношень в ієрархічній структурі; 2) оцінці можливостей комп'ютерних технологій здійснення методів інциденцій та засобам їх проектування та програмування; 3) створенню інформаційного забезпечення в області конструктивно-синтетичної геометрії.

У підрозділі 1.1 "Характеристика методів інциденцій стосовно їх комп'ютерної формалізації" показано, що предмет конструктивно-синтетичної геометрії складають теорії та методи утворення геометричних форм, як впорядкованої сукупності із точок, прямих, площин, кривих ліній, поверхонь, конгруенцій, комплексів і т.д., положення яких в тривимірному просторі визначаються в перетині або ж з'єднанні відповідних точок, прямих, площин, кривих, поверхонь, конгруенцій і т.д.

Проведено аналіз: розроблених в прикладній геометрії конструктивно-синтетичних методів отримання кривих ліній та поверхонь в результаті перетину пучків ліній, площин та поверхонь різних порядків при m,n-значній відповідності; побудови та досліджень лінійчатих косих поверхонь 3 та 4-го порядків, торсових поверхонь 4-8 порядків (В.С.Обухова); відображення колінеацій (І.С.Джапаридзе); дуальних та похідних від них конгруенцій (О.Л.Підгорний); реалізації геометричних відповідностей (Г.С.Іванов).

Такі недоліки методу інциденцій, як велика трудомісткість, виконання графічних побудов за допомогою креслярських інструментів, їх невисока точність та неможливість виведення аналітичного рівняння багатовиду за його синтетичним означенням, значно ускладнюють його побудову. Усунути ці недоліки можливо тільки за допомогою використання сучасних комп'ютерних технологій. Причому, наявність в заданні багатовиду вихідних геометричних умов, реалізація інтерактивного діалогу за їх допомогою, передбачуваність форми багатовиду складають вже переваги застосування методів інциденцій в системах комп'ютерної графіки.

Проведений аналіз конструктивно-синтетичної геометрії привів до виявлення її елементної бази - окремих фігур та їх геометричних множин (форм, образів), які характеризуються такими поняттями як вид, порядок, клас, степінь, ступінь, параметричність, вимірність. Показано, що в ієрархічній структурі на вищому щаблі геометрична множина деяких елементів будується за заданими правилами (узагальнює, об'єднує, включає) простіші по структурі та поведінці геометричні множини цих або інших елементів. Всі побудови на перетин і з'єднання в синтетичній геометрії базуються на встановлених відповідностях між елементами двох і більше вихідних геометричних множин. Для формування відповідностей в ланцюзі відношень геометричних множин необхідно забезпечити можливість вибору: 1) виду носія множини - точка, пряма, площина, крива лінія, поверхня, тіло; 2) елементів множини, між якими встановлюється відповідність - точки, прямі, площини, криві, поверхні, тіла; 3) типу відповідності - проективна (колінеація, кореляція), афінна (як частковий випадок проективної) і т.д.; 3) значності відповідності.

У підрозділі 1.2 "Обґрунтування комп'ютерхних технологій стосовно реалізації методів інциденційї" показано, що для проведення комплексних досліджень в області конструктивно-синтетичної геометрії на новій технологічній базі потрібно використати низку комп'ютерних засобів та схем їх застосування. Це пов'язано з тим, що: 1) основу синтетичної геометрії складають геометричні алгоритми на перетин та з'єднання багатократного повторення, які в загальному випадку не виражаються в аналітичних рівняннях, тому неможливо побудувати математичну модель задачі в цілому; 2) методи конструктивно-синтетичної геометрії використовують широкий набір геометричних фігур для задання вихідних умов та їх взаємовідношень між собою, що обумовлює інтерактивний діалог їх управління; 3) наявність геометричної частини визначника в задачах конструювання алгебраїчного багатовиду та необхідність їх зображень передбачає застосування ефективних графічних систем візуалізації; 4) конструктивно-синтетична геометрія є складною системою взаємовідношень геометричних форм різних ступенів та порядків, що передбачає застосування об'єктно-орієнтованих методів їх проектування та програмування.

Через те, що методи конструктивно-синтетичної геометрії спираються на завчасно визначений набір елементарних геометричних фігур та їх основних множин, із яких створюють більш складніші форми, то при створенні об'єктної моделі багатовиду безпосередньо в середовищах комп'ютерної графіки необхідно забезпечити: 1) деякий базовий набір геометричних форм (словник); 2) механізми їх взаємовідношень між собою (синтаксис). Прийнято, що точки, прямі, площини, ряди, пучки, в'язки, поля, конгруенції, комплекси тощо є абстрактними типами даних конструктивно-синтетичної геометрії. Для їх ідентифікації в алгоритмічному та програмному забезпеченні їм надано імена: RangePoints - точковий ряд, PencilLines - пучок прямих, PencilPlanes - пучок площин, SurfPoints - точковий каркас криволінійної поверхні, FieldPoints - поле точок, FieldLines - поле прямих, CongrLines - конгруенція прямих, BundleLines - в'язка прямих, BundlePlanes - в'язка площин, ComplexLines - комплекс прямих і т.д. В ідентифікаторах моделей конкретних множин відображаються їх носії, наприклад, LinePoints - точковий ряд 1-го порядку (прямолінійний ряд точок), PointLines - пучок 1-го порядку прямих (плоский пучок прямих, інцидентних точці), LinePlanes - пучок 1-го порядку площин (осьовий пучок площин), ConicPoints - точковий ряд 2-го порядку (конічний ряд), ConicLines - пучок 2-го порядку прямих (конічний пучок прямих), ConеLines - пучок 2-го порядку прямих, інцидентних конусу, ConеPlanes - пучок 2-го порядку площин, дотичних конусу, HyparLines - регулярна множина 2-го порядку прямих, інцидентних гіпару, QuadricNonruledPoints - точковий каркас нелінійчатої квадрики, CubicRuledLines - лінійчата поверхня 3-го порядку і т.д. (рис.1).

В представлених дослідженнях формалізовано близько сорока геометричних абстракцій, з кожною із яких пов'язано десятки методів (функцій, процедур). Ці методи умовно можна розділити на декілька груп: задання вихідних умов та їх перевірка; аналіз інциденції довільної точки, прямої, площини відносно заданої геометричної форми; побудова супроводжуючих фігур, наприклад, напрямів дотичних, нормалей, полюсів, поляр і т.д.; побудова різних перетинів геометричної форми між собою або ж з фігурами, наприклад, intLine() - з прямою, intPlane() - з площиною, intConic() - з конікою і т.д. Тоді запис ConicPoints:polar() означає знаходження поляри для вихідної точки (полюса) відносно конічного перерізу; ConeLines:intLine() - побудова дійсних точок перетину лінійчатого конуса 2-го порядку з довільною прямою; HyparLines:make() - побудова лінійчатої множини на гіпарі і т.п.

У підрозділі 1.3 "Геометричні форми конструктивно-синтетичної геометрії як графічні примітиви систем комп'ютерної графіки" сформульовано вимоги до створення програмних додатків існуючих систем комп'ютерної графіки, в першу чергу AutoCAD і Компас, які розширюють базовий список (досить обмежений) їх графічних примітивів. Наголошується, що для будь-якої геометричної форми необхідно забезпечити можливість її формування за чималим переліком геометричних визначників. Причому вершини фігур, які входять у визначник геометричної форми, повинні відігравати роль керуючих точок. Створені реактори з використанням технології ActiveX в системі AutoCAD дозволяють візуально відслідковувати миттєву зміну форми об'єкта за рахунок переміщення вершин визначника за допомогою маніпулятора "миша".

У підрозділі 1.4 "Інформаційне забезпечення конструктивно-синтетичної геометрії" розкрито вигляд створеного help-довідника та його інформаційне наповнення. Структура довідника представляє собою окремі сторінки, доступ до яких виконується за ключовими словами. Кожна із цих сторінок поділена на логічні фрагменти. Так для всіх алгебраїчних багатовидів, наприклад, лінійчатої поверхні 4-го порядку загального виду, можна отримати: її назву українською, російською та англійською мовами; синтетичні означення; рівняння, якщо вони відомі; способи побудови; класифікацію; властивості; застосування; перелік літератури, в яких вона досліджується.

Другий розділ "Моделі основних геометричних форм 1-го ступеня та алгебраїчних багатовидів в ланцюзі їх відношень" присвячено створенню математичного, алгоритмічного та програмного забезпечень методу інциденцій форм 1-го ступеня, який включає: 1) побудову ієрархічної структури моделей геометричних форм 1-го ступеня на основі їх об'єктного розгляду, проектування та програмування; 2) аналіз та синтез допустимих відношень між моделями геометричних форм 1-го ступеня 1-го порядку в конструюванні алгебраїчних багатовидів вищих порядків; 3) моделі кривих ліній та лінійчатих поверхонь, як носіїв геометричних множин точок, прямих та площин 2, 3-го порядку з відповідними методами їх дослідження.

У підрозділі 2.1 "Обчислювальні методи геометричних форм 1-го ступеня 1-го порядку" створено моделі фігур: Point - точки, Line - прямої, Plane - площини, Triangle - тривершинника (тристоронника), Tetragon - чотиривершинника (чотиристоронника), Tetrahedr - тетраедра (чотиригранника) та їх найпростіших геометричних форм: LinePoints - прямолінійний ряд, PointLines - пучок 1-го порядку прямих та LinePlanes - пучок 1-го порядку площин (рис.2).

Для цих геометричних форм розроблено обчислювальні методи: формування їх елементів з можливістю управління кількістю, положенням та характером розподілу; реалізація різноманітних відповідностей, наприклад, ratioAnharm() - обчислення величини ангармонічного (складного) відношення; formAnharm() - знаходження положення елемента на носієві форми за величиною складного відношення; doubleForms() - знаходження подвійних елементів проективної відповідності і багато інших. Кількість створених методів для кожної геометричної форми нараховує більше тридцяти назв. Для більшості із цих методів проводився алгоритмічний аналіз, оскільки в класичних дослідженнях на основі графічних побудов, питання обчислювальної ефективності геометричних алгоритмів операцій взагалі не існували.

Проаналізовано можливі відношення основних геометричних форм 1-го ступеня з точкою, прямою та площиною, на основі чого був розширений перелік методів їх формування за рахунок введення невласних елементів через власні, умов паралельності та перпендикулярності, що є важливим етапом для візуалізації на моніторі комп'ютера невласних фігур. За допомогою проведених обчислювальних експериментів інциденцій двох геометричних форм 1-го ступеня 1-го порядку визначено основні напрями досліджень з утворення алгебраїчних багатовидів вищих порядків за рахунок задання значності відповідностей та кількості ланок ланцюга інциденцій.

У підрозділі 2.2 "Обчислювальні методи точкового ряду 2-го порядку, пучка 2-го порядку прямих, пучка 1-го порядку конічних перерізів" створено моделі ConicPoints - конічні точкові ряди, ConicLines - конічні пучки прямих та TetragonConics - пучок конік, інцидентних чотиривершиннику. Кожна із цих моделей нараховує більше двох десятків методів, створених за їх загальними визначниками. Зокрема, модель ConicPoints за вихідними п'ятьма точками А, В, С, D і E в площині АВС включає методи: :isType() - визначення виду конічного ряду s²(ABCDE); :isPointOn(F) - аналіз належності довільної точки F коніці s²; :isPointIn(G) - аналіз належності точки G внутрішній чи зовнішній частині площини, обмеженої конікою s²; p=polar(P) - побудова поляри p для полюса P (рис.3,а); Р=pole(FG) - побудова полюса Р для поляри FG; О=center() - побудова центра O коніки s²; t=rayTang(F) - побудова дотичної FG конічного ряду s² із його точки F (рис.3,б); LK=ray2Tang(F) - побудова дійсних дотичних FK, FL із зовнішньої точки F; G=intRay(EF) - побудова точки G перетину коніки s² з променем EF, який виходить із точки E; KL=intLine(FG) - побудова дійсних точок K, L (або ж визначення, що вони є уявними) перетину коніки s² з прямою FG (рис.3,в); G=intConic1() - побудова точки G перетину двох конічних рядів ABCDE і ABCD'F', які мають три спільні точки A, B і C; GH=intConic2() - побудова двох дійсних точок G,H (або ж визначення, що вони уявні) перетину двох конічних рядів ABCDE і ABC'D'F', які мають дві спільні точки A і B та багато інших. Для більшості із цих методів проведено алгоритмічний аналіз простоти реалізації, надійності, швидкості тощо. Зокрема, при побудові поляри p для полюса P - метод p=ConicPoints:polar(P) було проаналізовано всі можливі положення полюса Р по відношенню конічного ряду s²(ABCDE), після чого визначено ту чи іншу послідовність графічних операцій (рис.3,а).

Одним із недоліків методу інциденцій в побудові дискретної множини елементів, зокрема конічного ряду RangePoints=ConicPoints:make(ABCDE U), є нерівномірність розподілу вершин. Було досліджено вплив визначника ABCDE конічного ряду на таку нерівномірність та запропоновано адаптований алгоритм побудови точок вздовж коніки з більш рівномірним їх розподілом.

Також розроблено методи переходу до загального визначника ABCDE конічного ряду за різними комбінаціями його задання - центром, дотичними, діаметрами, осями, асимптотами, враховуючи його афінний вид - точковий ряд по колу, еліпсу, параболі чи гіперболі (з позицій об'єктного програмування ці ряди є дочірніми екземплярами конічного ряду за п'ятьма точками).

У підрозділі 2.3 "Обчислювальні методи геометричних форм 2-го порядку, інцидентних лінійчатим квадрикам" створено моделі множин: пучків 2-го порядку прямих, інцидентних конусу - ConeLines, циліндру - CylinderLines, однополому гіперболоїду - HyperboloidLines, гіпару - HyparLines; пучків 2-го порядку площин, дотичних конусу - ConePlanes та циліндру - CylinderPlanes. Для цього було виконано наступне: сформовано синтетичні означення цих множин, за якими обґрунтовано їх складові об'єкти із геометричних форм 1-го порядку та інциденцій між ними; визначені методи їх дослідження та застосування для утворення алгебраїчних багатовидів вищих порядків, зокрема встановлення афінної та проективної координації, що дозволяє вибирати елемент із множини та виконати його побудову за цими координатами і т.п. Так за вихідними п'ятьма твірними - загальним визначником SABCDE конуса Д² створено методи, як то: знаходження точок перетину довільного променя FG з конусом SABCDE - ConеLines:intLine(); побудова твірної на конусі за величиною k складного відношення - ::lineAnharm(); визначення величини k складного відношення 4-х твірних k=(SA,SB,SC,SF) конуса SABCDE, де SF - його змінна твірна; побудова перетину конуса з іншими формами, зокрема, просторового точкового ряду 3-го порядку в перетині з проективним пучком 1-го порядку площин (рис.4,а). Аналогічні методи складають модель ConePlanes - дотичні площини конуса. На рис.4,б побудовано просторовий ряд 4-го порядку в перетині проективно-відповідних пучка 2-го порядку площин S(бвгде) з пучком 2-го порядку твірних конуса S'A'B'C'D'E'. Передбачено різні визначники задання пучків прямих та площин, інцидентних конусу, наприклад, пучок 2-го порядку площин Д²(бвгде) за вершиною S і напрямною параболою p² (рис.4,б).

Конус в методах інциденцій використовується не тільки як носій пучків 2-го порядку прямих та площин, але є елементом їх пучків. На рис.5 побудовано три характерних пучки конусів за рахунок управління вершиною, формою конічного перерізу в основі та його положенням. Для кожного із цих пучків задана проективна координація, яка дозволяє, як обчислити проективну координату k поточного конуса Д_i в пучку конусів: k=(ДД'Д"Д_i), так і виконати побудову конуса Д_i за проективною координатою k: Д_i=(ДД'Д"k). За цими двома методами виконується, приміром, побудова нелінійчатих поверхонь 3-го порядку в перетині пучка площин та пучка конусів в 1,1-значній відповідності. Аналогічні методи формування, дослідження та застосування створено для циліндра, однополого гіперболоїда та гіпара.

У підрозділі 2.4 "Обчислювальні методи кубічних множин, інцидентних просторовій кривій 3-го порядку" створено моделі SpaceCubicPoints - просторовий кубічний ряд та SpaceCubicPlanes - просторовий виток площин. Досліджено чотири методи побудови заданої N-кількості точок P_i просторової кубіки s³, зокрема, в перетині двох лінійчатих квадрик із спільною твірною, трьох проективних осьових пучків площин (рис.6,а). Це дозволило за шістьма довільно розташованими в системі координат Oxyz точками А, B, C, D, E і F - загальним визначником просторової кубіки, розробити методи побудови дотичних PT, нормалей та бінормалей з її точок; стичних PTT', спрямних та нормальних площин; Кг(1,3) бісекант і т.д. За великим принципом двоїстості аналогічні методи розроблено для витка площин, зокрема, за трьома проективними прямолінійними рядами a(ABC)^b(A'B'C')^с(A"B"C") будується ребро звороту s³ (рис.6,б,в), обвідна поверхня торса Т(4,3), обчислюється положення площини за проективною координатою і таке інше.

Рис.6. Методи побудови кубічних множин прямих та площин

Третій розділ "Моделі точкових рядів, косих та торсових лінійчатих множин вищих порядків, утворених методами інциденцій" присвячено застосуванню виществорених обчислювальних методів основних геометричних форм для конструювання алгебраїчних багатовидів 1-го ступеня вищих порядків. Для кожного багатовиду за його синтетичним описом виконується: 1) формування загального визначника; 2) проектування моделі багатовиду із вже створених моделей геометричних форм 1-го ступеня 1 та 2-го порядків; 3) проведення обчислювальних експериментів з дослідження характеристик та застосування.

У підрозділі 3.1 "Моделі плоских точкових рядів 3-го порядку" наведено результати комп'ютерних інтерактивних досліджень властивостей плоских кубік (CubicPlanePoints) за чотирма конструктивно-синтетичними способами їх утворення. За першим способом побудови точок плоскої кубіки в перетині пучка 1-го порядку конік з пучком 1-го порядку прямих (TetragonConics PointLines) в 1,1-значній відповідності проведено їх дослідження за 8-ма умовами їх задання із точок та дотичних в різних варіантах. На рис.7,а визначником плоскої кубіки є вісім по три неколінійних точок в площині, а на рис.7,б - п'ять точок та три дотичні в трьох із них. В залежності від взаємних положень вихідних умов плоска кубіка може мати одну або дві її вітки, одну чи три асимптоти, проходити в різній послідовності керуючі точки. Так на рис.7,в побудовано плоский кубічний ряд із точок дотику до пучка [ABCD] конік, проведених із постійної точки H - центра пучка дотичних прямих. Плоска кубіка проходить через задані точки A, B, C, D, H та через діагональні точки Q, R і S чотиривершинника ABCD. Причому, конічний переріз q²(ABCDH) є конічною полярою точки H відносно плоскої кубіки, а пряма HH' - її прямолінійною полярою. Пряма HH' також є полярою коніки q², тобто в точці H дотикаються крива 3-го порядку, крива 2-го порядку та пряма. Таке інтерактивне унаочнення достатньо складних властивостей алгебраїчних багатовидів вищих порядків дозволяє глибше зрозуміти їх внутрішню сутність, зв'язки з геометричними визначниками.

Результати дослідження кубічних рядів, утворених перетином двох пучків прямих в 1,1-значній відповідності, один із яких 2-го порядку (рис.7,г,д,є), дозволяють сформувати залежність її подвійної точки та асимптот від положення центра F пучка 1-го порядку по відношенню коніки s² - носія пучка 2-го порядку прямих. Так, якщо у задання коніки s² та пучка прямих з центром в точці F встановити паралельність FA || t_A, то цим можна управляти напрямом однією із трьох асимптот (рис.7,д). Якщо ж виконати задання пучка 2-го порядку п'ятисторонником ABCDE (рис.7,є), то можливо управляти напрямом всіх трьох асимптот плоскої кубіки q³ заданням паралельності відповідних прямих пучків: FG||AB, FH||BC, FK||CD. Якщо ж взяти їх точки G', H', K' перетину, то плоска кубіка буде їм інцидентна. Зокрема, положення центра F пучка F(GHK) прямих у внутрішній області вписаної коніки s² приводить до уявної подвійної точки F.

Аналогічні результати досліджень одержано для плоского кубічного ряду, утвореного в перетині двох пучків 1-го порядку прямих з центрами P і P" в 1,2-значній відповідності (рис.7,ж,з,к). Знову ж таки, конструктивні особливості задання 1,2-значної відповідності пучків P і P" прямих за допомогою коніки s² та прямої AA', визначають наявність та положення подвійної точки, кількість та напрями асимптот плоскої кубіки. Зокрема, проведений комп'ютерний аналіз впливу взаємних положень коніки s² та прямої AA' засвідчив проходження плоскої кубіки q³ через точки перетину G,H=s²?AA', які можуть бути уявними, дійсними або ж збігатися (рис.7,ж,з,к). Також передбачено у визначниках плоских кубік застосовувати афінні криві 2-го порядку, зокрема, коло (рис.7,к).

Рис.7. Плоскі кубічні ряди, утворених методами інциденцій

У підрозділі 3.2 "Моделі плоских точкових рядів 4-го порядку" формалізовано три синтетичні способи побудови точкових рядів плоских квартик - QuarticPlanePoints. В перетині двох пучків 1-го порядку прямих в 2,2-значній відповідності форма плоскої квартики залежить від конструктивних умов задання 2,2-значності в пучках прямих. На рис.8,а,б задання такої відповідності пучків прямих з центрами S і S' виконано через проективну відповідність на спільній коніці s²(ABC)^(A'B'C'), а на рис.8,в - на різних коніках s² і q². Точкові ряди 4-го порядку в перетині дотичних прямих в проективно-відповідних точках двох конік s² і q² наведено на рис.8,г,д. Проективні пучки 2-го порядку можна задати п'тисторонниками, характерні положення яких приводять до особливих кривих (рис.8,є - криві а і б): r⁴ - слимак Паскаля та u⁴ - квартика з трьома асимптотами, дві із яких паралельні. Для цих кривих вихідними умовами є два конгруентні п'ятисторонники з афінною відповідністю їх сторін: для кривої r⁴ - в одному напрямку, а u⁴ - в протилежному (аналогічно побудові кола та гіперболи в перетині двох променів, які рівномірно обертаються). Створено також моделі побудови точкових рядів в перетині пучків 2-го порядку прямих в 1,2-значній та 2,2-значній відповідностях, які з'являються в торсових поверхнях 4-го класу як лінії їх перерізів січними площинами.

Зазначено, що створений комп'ютерний інструментарій, поки що не продукує нових знань в області алгебраїчних кривих, а тільки їх унаочнює.

У підрозділі 3.3 "Моделі косих поверхонь 3-го порядку" створено комп'ютерні моделі і експериментально досліджено лінійчаті поверхні 3-го порядку (лінійчаті кубіки - CubicRuled) методами інциденцій: 1) з'єднанням проективно-відповідних точок прямолінійного ряду та точкового ряду 2-го порядку; 2) в перетині проективно-відповідних площин пучка 1-го порядку площин та пучка 2-го порядку площин, які знаходяться в 1,1-значній відповідності; 3) в перетині проективно-відповідних площин двох пучків 1-го порядку. Зокрема, для лінійчатої поверхні 3-го порядку з'єднанням проективно-відповідних точок прямолінійного та конічного рядів до основних методів дослідження поверхні відносяться (рис.9,а): аналіз її форми, знаходження перерізів з площинами, побудова дотичних площин та нормалей, встановлення та реалізація відповідностей з твірними поверхні і т.п. Досліджено умови виродження лінійчатої кубіки в лінійчату квадрику, зокрема при збіганні одної із пар A'~A, B'~B або ж C'~C відповідних точок s(A'B'C')=s²(ABC)[DE] з точкою перетину носіїв їх рядів s?s². Показано можливість побудови лінійчатих кубік за характерним розподілом їх твірних. Зокрема, в перетині пучків площин 2-го і 1-го порядків одержимо твірні R_iR'_i лінійчатої кубіки Д³, дотичні до циліндра Д²(SABCDE) та інцидентні просторовій кубіці s³ на циліндрі (подібно коноїдам), якщо дотриматися умови Д²[S](ABC)DE ^ PQ](ABC), де Д²(SABCDE) - пучок дотичних площин до циліндра 2-го порядку (рис.9,б).

У підрозділі 3.4 "Моделі косих поверхонь 4-го порядку" виконано комп'ютерну реалізацію окремих видів лінійчатих поверхонь 4-го порядку (лінійчатих квартик - QuarticRuled): а) загального виду; б) одноосьову (рис.10).

Лінійчата поверхня 4-го загального виду синтетично визначається двома напрямними конічними рядами, між точками яких встановлена проективна відповідність. Для задання такої відповідності двох конічних рядів s² і t² в загальному випадку необхідно вказати будь-яку трійку точок на кожній із них. В створеному визначнику це виконується трьома довільними відрізками АА', BB' і CC', вершини яких А, B, C і А', B', C' одночасно встановлюють як положення площин АBC і А'B'C' конік s² і t², так і проективну відповідність (АBC)^(А'B'C') між точками s² і t². Ще дві пари D, E, D' і E' точок конік s² і t² визначають їх форму в площинах АBC і А'B'C'. За цими умовами створено методи дослідження лінійчатої поверхні 4-го порядку - побудова протилежних твірних, лінії самоперетину (просторової кубіки), торсових твірних, її перерізи тощо. Аналогічно розроблено модель одноосьової лінійчатої поверхні 4-го порядку.

У підрозділі 3.5 "Моделі торсів вищих порядків, утворених обкаткою двох конік" за допомогою інциденцій елементів геометричних множин 1 та 2-го порядків розроблено прийоми задання пучків площин та знаходження обвідної поверхні через пошук прямолінійних твірних торса в цих площинах. Ці дослідження виконано на торсах Т(2,2) 2-го порядку 2-го класу до Т(8,4) 8-го порядку 4-го класу включно. Зокрема, при створенні моделі торса Т(4,3), геометрія якого досліджена проф. Обуховою В.С., було використано вже створені моделі геометричних форм 1 та 2-го порядків, як його будівничі елементи. Показано, що дві вихідні коніки s² і t² із спільною дотичною AB потрібно перезадати п'ятьма дотичними прямими ab, c, d, f і g (пучками 2-го порядку) з трійками інцидентних точок ab(A,B,E), c(A,C,H), d(B,D,K), f(E,F,H) і g(E,G,K). За цим загальним визначником торса Т(4,3) здійснено всі обчислювальні методи побудови та дослідження його властивостей (рис.11,а). Зокрема виведено, що побудову торса Т(4,3) можна здійснити проективно-відповідними: 1) прямолінійними рядами а(A,B,Е)^c(C,A,H)^d(B,D,K) або ж а(A,B,E)^f(F,E,H)^g(E,G,K); 2) пучками 2-го порядку s²(a,c,f)^t²(d,b,g) прямих; 3) пучками 1-го порядку прямих B(C,A,F)^A(B,D,G) з центрами в точках B і A, які перетинають коніки s² і t² в точках твірних торса; 4) конічним рядам s²(C,B,F)^t²(A,D,G), де СА, BD і FG - твірні торса. Кожен із цих способів впливає на закон розподілу твірних одного і того ж самого полігонального каркасу торса (рис.11,б), що дозволяє цілеспрямовано виділяти його частини. За цими ж складовими елементами торса Т(4,3) створено основні методи його дослідження: перевірки належності довільної прямої твірній торса, дотичності площини до торса, побудови конічного ряду в перерізі торса дотичною площиною, ребра звороту торса (точок просторової кубіки), супроводжуючих конусів торса та інші. Прикладне застосування торса обумовлює розробку низки геометричних визначників їх задання. Розроблено алгоритми переходу до загального визначника торса Т(4,3) за такими умовами його задання: двома напрямними колами (рис.11,в), параболою та колом, двома параболами (рис.11,г) (параболічний торс), шістьма дотичними площинами та іншими комбінаціями із конік, дотичних площин та твірних торса в цих площинах.

...