Нескінченновимірні простори та відображення в категорній топології

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут математики НАН України

01.01.04 - геометрія і топологія

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук

НЕСКІНЧЕННОВИМІРНІ ПРОСТОРИ ТА ВІДОБРАЖЕННЯ В КАТЕГОРНІЙ ТОПОЛОГІЇ

Радул Тарас

Миколайович

Київ - 2008

Дисеpтацією є рукопис.

Роботу виконано на кафедpі геометрії і топології

Львівського національного університету ім. Івана Франка

Міністерство освіти і науки України.

Науковий консультант:

доктоp фізико-математичних наук, пpофесоp Зарічний Михайло Михайлович декан механіко-математичного факультету Львівського національного університету ім. Івана Франка

Офіційні опоненти:

доктоp фізико-математичних наук, пpофесоp Агеєв Сергій Михайлович, професор кафедри геометрії, топології і методики викладання математики Білоруського державного університету доктоp фізико-математичних наук Микитюк Ігор Володимирович, завідувач відділу нелінійного аналізу Інституту прикладних проблем механіки і математики ім.Я.С.Підстригача НАН України доктоp фізико-математичних наук, пpофесоp Пришляк Олександр Олегович, Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка, професор кафедри геометрії.

Захист відбудеться ``28'' жовтня 2008 pоку о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої Ради Д 26.206.03 в Інституті математики НАН України (01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3; т. 234-51-50).

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України (м. Київ, вул. Терещенківська, 3).

Автоpефеpат pозіслано ``23'' вересня 2007 p.

Вчений секpетаp спеціалізованої вченої pади Сергейчук В.В.

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Нескінченновимірна топологія сформувалась як окремий напрямок на початку 60-их років XX-го століття, проте вона бере свій початок з одного боку від теорії вимірів нескінченновимірних просторів, а з другого -- з проблеми топологічної характеризації топологічних лінійних просторів.

Класична теорія вимірів фокусувала увагу на скінченновимірних просторах, причому всі нескінченновимірні простори потрапляли в один клас, якому присвоювався вимір ? . Але досить швидко стало зрозуміло, що нескінченновимірні простори можуть сильно відрізнятись за своїми властивостями і виникла потреба в тоншій теорії, яка дозволяла би досліджувати ці відмінності. Вже в 1928 році, коли ще тільки закладались основи теорії вимірів, В. Гуревич увів поняття зліченновимірного простору і трансфінітного продовження функції числа вимірів, чим поклав початок стратифікації класу нескінченновимірних топологічних просторів {Hu}. Але, якщо скінченновимірна теорія в класі просторів зі зліченною базою була в основному сформована протягом 20-их -- 40-их років XX-го століття, то інтенсивні дослідження нескінченновимірних просторів проводились протягом усього минулого століття (ці дослідження знайшли своє відображення в монографіях {EG1} та {AP}), а деякі ключові питання залишаються відкритими на даний час (див., наприклад, список проблем {Po1}).

На відміну від топологічної теорії асимптотична теорія вимірів виникла зовсім недавно. Асимптотичний вимір asdim ввів М.Громов для вивчення дискретних груп, зокрема фундаментальних груп многовидів {Gr}. Після того як Г.Ю довів кілька гіпотез для асимптотично скінченновимірних груп, зокрема відому гіпотезу Новікова про вищі сигнатури {Yu}, зусиллями багатьох дослідників була створена загальна теорія, що дістала назву асимптотична топологія (див. наприклад огляд {Dr1}). Асимптотична топологія вивчає глобальні властивості (необмежених) метричних просторів, нехтуючи малими (обмеженими) фрагментами цих просторів. Тобто властивості та інваріанти метричних просторів, які вивчає асимптотична топологія, мають граничний характер, при переході до нескінченності. При такому підході виникають як аналогії, так і відмінності з локальними теоріями, де границя береться в точці. Значна частина топології присв'ячена вивченню локальних властивостей просторів; теорія вимірів може бути прикладом. Тому важливо є вивчити можливість перенесення топологічних теорій на асимптотичний вимір. Як і у випадку топологічної теорії, виникла потреба ввести певну градацію серед асимптотично нескінченновимірних просторів. А. Дранішніков ввів поняття асимптотичної властивості C {Dr1} і узагальнив ряд результатів для асимптотично скінченновимірних просторів на простори з асимптотичною властивістю C.

З іншого боку, на початку 30-х років минулого століття С. Банах і М. Фреше поставили проблему топологічної класифікації нескінченновимірних топологічних лінійних просторів та їх опуклих підмножин. У 1955 р. В. Клі довів, що кожен нескінченновимірний метризовний опуклий компакт в локально опуклому просторі гомеоморфний гільберовому кубові {Kl}. У 60-х роках Р.Д. Андерсон {An} та М.Й. Кадець {Ka} довели, що всі нескінченновимірні простори Фреше гомеоморфні гільбертовому простору.

На фоні цих досліджень, які стосувались лише просторів з лінійною чи опуклою структурою, несподіваним виявився результат Д.В. Куртіса і Р.М. Шорі 1978 року про те, шо гіперпростір кожного невиродженого континууму Пеано гомеоморфний гільбертовому кубу {CS}.

Зауважмо, що топологічна конструкція гіперпростору не має природної лінійної чи опуклої структури, а є топологічною напівґраткою. Стало зрозуміло, що цей напрям досліджень все більш топологізується і виходить далеко за рамки лінійних просторів та їх опуклих підмножин.

У 60-70 роки XX сторіччя активно досліджувались топологічні многовиди, модельовані на гільбертовому кубі та гільбертовому просторі. Вершиною цих досліджень стали характеризаційні теореми Г. Торуньчика для таких многовидів ({To1} та {Tor}), сформульовані в топологічних термінах, причому від лінійної чи опуклої структури залишається лише топологічне поняття абсолютного (околового) ретракту, що робить теорію ретрактів К. Борсука {Bk} ще однією основою нескінченновимірної топології.

Підсумок цього періоду в розвитку нескінченновимірної топології підбитий в монографії Ч.Бессаги та А.Пелчинського {BP}, разом з тим в книжці присутні дослідження неповних просторів методами скелетоїдів та cap-множин Андерсона, чим був покладений початок дослідження неповних просторів. У 1986 р. М. Бествіна і Є. Могільський, узагальнивши cap-множини Андерсона і скелетоїди Бессаги-Пелчинського, викристалізували поняття поглинаючої множини {BM}. Центральним поняттям в означенні поглинаючих множин є властивість сильної універсальності відносно деякого класу просторів. (Зауважимо, що базою характеризаційних теорем Торуньчика є сильна універсальність гільбертового кубу відносно компактів і гільбертового простору відносно польських просторів). Кожна поглинаюча множина може бути модельним простором для відповідних многовидів, для яких доведені характеризаційні теореми, аналоги теорем Торунчика. Ці дослідження знайшли своє відображення в монографіях {BP}, {Chp}, {vM} та {BRZ}.

В роботах Є.В.Щепіна {SH} та А.Ч.Чігогідзе {Chg} були побудовані теорії неметризовних многовидів модельованих над тихоновськими кубами та незліченними степенями дійсних прямих та доведені характеризаційні теореми. В цих теоріях важливу роль відіграє метод обернених спектрів, який дозволяє апроксимувати неметризовні простори просторами зі зліченною базою. Цьому напряму нескінченновимірної топології присвячена монографія {FC}.

Також методи нескінченновимірної топології застосовуються для відображень. При чому пошаровим аналогом базового поняття характеризаційних теорем -- абсолютного ретракту є м'яке відображення, а пошаровим аналогом нескінченновимірних многовидів є (локально) тривіальні розшарування.

Бествіна та Могільський також побудували поглинаючі множини для всіх борелівських адитивних та мульплікативних класів. Усі ці поглинаючі множини містять гільбертів куб, тобто є сильно нескінченновимірні. Крім того були відомі поглинаючі множини для скінченновимірних просторів, які є сильно зліченновимірні. Між цими класами є велика прогалина, і виникла проблема її заповнити -- відповідна проблема була поставлена Добровольським і Могільським (див. список проблем {DM}). Зауважимо, що в цей ж час в теорії вимірів досліджувались питання існування універсальних просторів для цих класів.

Іншу загальну проблему поставив Дж. Вест {Wes}: знайти більше нескінченновимірних многовидів і, зокрема, модельних просторів "в природі"; тобто, які топологічні (чи тополого-алгебраїчні) конструкції приводять до цих просторів.

Багато топологічних конструкцій мають функторіальну природу: вони визначені не тільки для просторів, а й для відображень. Починаючи з 70-х років велися дослідження функторів у підкатегоріях категорії топологічних просторів і неперервних відображень. Цей напрям є однією з складових частин категорної топології. В.В. Федорчук означив наступну проблему: наскільки певні функтори зберігають чи поліпшують властивості просторів та відображень, зокрема властивості простору: бути абсолютним ретрактом; бути гомеоморфним гільбертовому чи тихоновському кубу та відповідні пошарові версії для відображень {Fe}. Зусиллями багатьох дослідників було отримано значну кількість результатів стосовно як загальної теорії функторів, так і окремих функторів, таких як функтор гіперпростору, ймовірносних мір, суперрозширення та інших. Цим дослідженням присв'ячені оглядові статті {Fe}, {Fe1}, {ZF} та монографія {TZ}. Отже комбінуючи ці підходи, отримуємо наступну проблему: результатом дії яких функторів є нескінченновимірні многовиди, чи модельні простори. Аналогічна задача виникає для відображень.

Багато топологічних конструкцій несуть на собі ще й певну алгебраїчну структуру. Цей аспект в категорній топології формалізується за допомогою загальнокатегорного поняття монади (трійки) в сенсі Ейленберга-Мура. Системне дослідження монад в категоріях топологічних просторів і неперервних відображень започаткували М.М. Зарічний та В.В. Федорчук. Кожній монаді відповідає категорія її алгебр, що описує певну тополого-алгебраїчну структуру. Зокрема, монаді ймовірнісних мір відповідає категорія опуклих компактів, монаді гіперпростору - категорія напівґраток Лоусона, гіперпростору включення - ґраток Лоусона тощо. Цей напрям категорної топології описаний в огляді {RZ} та монографії {TZ}.

Також варто згадати загальну теорію опуклостей, яка застосовується до багатьох розділів математики: лінійні простори, впорядковані множини, теорія граток та напівграток і, мабуть, найбільш повно відображена в монографії {vV}. Класична афінна опуклість є невід'ємною частиною досліджень функтора ймовірнісних мір (див. наприклад огляд {Fe1}). Нелінійні опуклості з'явились в дослідженнях функтора суперрозширення в роботах де Гроота {dG}, ван Мілла та ван де Вела {vMvV}. Варто при цьому зауважити, що донедавна теорія опуклості застосовувалась тільки в окремих випадках.

У дисертаційній роботі знайшли відображення всі згадані вище аспекти нескінченновимірної топології та категорної топології. Основними завданнями дисертації є знаходження нових поглинаючих множин, використовуючи при цьому теорію вимірів; розпізнавання нескінченновимірних просторів та відображень в топології функторів та формулювання загального підходу, що пов'яже монади в категорії компактів та загальні опуклості.

Зв'язок з науковими програмами, планами, темами. Ця робота є складовою частиною досліджень проведених за держбюджетними темами кафедри топології і геометрії Львівського національного університету ім. Івана Франка МГ-100Ф ``Асимптотичні властивості аналітичних функцій, випадкових рядів, топологічних і алгебраїчних структур та їх застосування'', номер державної реєстрації 0104U0022127 та спільної словенсько-української теми "Методи нескінченно-вимірної топології в алгебрі, геометрії та аналізі", номер державної реєстрації 0107U010509. Також дослідження, які увійшли в цю роботу, підтримані грантом фонду "Відродження" для молодих вчених за 1998 рік, стипендією НАТО для стажування в Докуз Ейлюл університеті (Ізмір, Туреччина), грантом Colciencias CFM 7/0872 за 2001-2002 роки (Колумбія), та грантом FONDECYT P-3-13089 за 2005 рік (Чілі).

Мета та задачі дослідження.

Мета досліджень даної роботи:

дослідити співвідношення між трансфінітними вимірами та проблему існування універсальних просторів в класах породжених цими вимірами;

застосувати трансфінітні продовження для асимптотичних вимірів;

побудувати поглинаючі простори для борелівських класів зліченновимірних просторів;

дослідити існування поглинаючих просторів, пов'язаних з трансфінітними вимірами;

використовуючи характеризаційні теореми для поглинаючих просторів дослідити борелівські всюди щільні підмножини в зліченних добутках абсолютних ретрактів;

дослідити підпростір в гіперпросторі евклідового простору, що складається з компактів, для яких відображення найближчої точки є неоднозначним на всюди щільній множині, зокрема визначити його борелівський тип та встановити, чи гомеоморфний він поглинаючому простору у даному борелівському класі;

класифікувати простори ймовірнісних мір над борелівськими підмножинами гільбертового кубу;

знайти пошарову версію характеризаційної теореми для поглинаючих просторів та використати її для класифікації відображень ймовірнісних мір;

знайти нормальний функтор, що є природною компактифікацією конструкції Гартмана-Мицельського та дослідити його властивості;

знайти слабо нормальну монаду, що б містила монади ймовірнісних мір та гіперпросторів включення;

описати клас монад, функторіальні частини яких можна представити у вигляді просторів функціоналів;

знайти метод співставлення монадам абстрактних опуклих структур і використати його для дослідження топологічних властивостей монад;

описати клас барицентрично м'яких компактів.

Об'єктом дослідження є нескінченновимірні простори та відображення з нескінченновимірними шарами, вимірнісні функції та їх трансфінітні продовження, нескінченновимірні абсолютні ретракти, нескінченні добутки, гіперпростори, простори та відображення ймовірнісних мір, конструкція Гартмана-Мицельського, монади в категорії Comp, абстрактні теорії опуклості.

Предметом дослідження є існування універсальних просторів та поглинаючих просторів в класах, породжених трансфінітними вимірами, трансфінітні продовження асимптотичних вимірів, розпізнавання поглинаючих просторів в нескінченних добутках в гіперпросторах, класифікація просторів та відображень ймовірнісних мір та просторів Гартмана-Мицельського, функціональне представлення монад, зв'язок між властивостями монад та породжених ними опуклостей.

Методи дослідження. Для розв'язування задач, сформульованих вище, використовуються методи теорії вимірів нескінченновимірних просторів, асимптотичної теорії вимірів, категорної топології, теорії нескінченновимірних многовидів, абстрактні опуклості.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації отримано такі нові результати.

· знайдено трансфінітну функцію, що задає співвідношення між вимірами trInd та dimC, що дає часткову відповідь на питання П. Борста {Bo};

· доведено, що не існує універсальних просторів, пов'язаних з вимірами dimW та dimC для граничних ординалів;

· доведено, що трансфінітне продовження асимптотичного виміру asInd є тривіальним, що підтверджує гіпотезу М.М.Зарічного;

· побудоване нетривіальне трансфінітне продовження асимптотичного виміру asdim;

· побудовані поглинаючі простори для борелівських класів зліченновимірних просторів;

· доведено, що не існує поглинаючих просторів для класів просторів з dimC?в для деяких граничних ординалів;

· доведено існування поглинаючих просторів для класів компактів з dimC<в для деяких граничних ординалів, що є відповіддю на питання Добровольського та Могільського (питання 5.18 з {DM});

· охарактеризовані борелівські всюди щільні підмножини в зліченних добутках абсолютних ретрактів ,гомеоморфні поглинаючим просторам Щ2 та Л3;

· доведено, що підпростір в гіперпросторі евклідового простору, що складається з компактів, для яких відображення найближчої точки є неоднозначним на всюди щільній множині гомеоморфний гільбертовому простору;

· дана повна класифікація просторів та відображень ймовірнісних мір над борелівськими підмножинами гільбертового кубу; відповідна проблема була запропонувана В.В. Федорчуком;

· побудований нормальний функтор H на базі конструкції Гартмана-Мицельського;

· доведено відкритість функтора H та охарактеризовані компакти X, для яких HX гомеоморфний тихоновському кубу;

· побудована слабо нормальна монада O функціоналів, що зберігають порядок;

· введений клас L-монад і показано, що кожна така монада має функціональне представлення;

· побудована L-монада, алгебри якої не вкладаються в добуток відрізків;

· знайдена конструкція, що співставляє кожній алгебрі довільної L-монади структуру опуклості, причому ці структури зберігаються морфізмами алгебр;

· доведено м'якість відкритих відображень з опуклими шарами для бінарних опуклостей;

· доведено відкритість функтора O та охарактеризовані компакти X, для яких OX гомеоморфний тихоновському кубу, а відображення множення mO X м'яке;

· досліджено клас барицентрично м'яких компактів, при чому розв'язані два питання В.В. Федорчука з {Fe1};

Особистий внесок здобувача. Всі основні результати, що викладені у дисертації, отримані самостійно. У {RZ1} М.М. Зарічному належить постановка задачі та обговорення отриманих результатів. Стаття {RZ} хоча має оглядовий характер, також містить нові результати. Зокрема автору належить Теорема 5.1, яка є основоположною для розділу 6 даної роботи. У статті {BR} Т.Банахові належать результати 2.8 -- 2.13 та розділи 3, 4 та 5. У статті {BR1} Т.Банахові належать результати розділу 1 та 2. У статті {RR} Д.Реповшу належить обговорення та остаточне оформлення результатів.

У статті {BR3} Т.Банахові належить Теорема 2.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідались на

- міжнародній конференції присв'яченій К.Борсуку та К.Куратовському у Варшаві (22-25 травня 1996);

- Дев'ятому Колумбійському математичному симпозіумі з математики, Богота, Колумбія (січень 2000);

- Четвертій міжнародній конференції з алгебри в Україні, Львів ( липень 2003);

- міжнародній конференції ``Геометрична топологія: нескінченно-вимірна топологія, абсолютні екстензори, застосування'', Львів (26-30 травня 2004);

- міжнародній конференції присв'яченій 125-й річниці з дня народження Гана,

Чернівці, (червень 27 - липень 3, 2004);

- Третьому спільному японсько-мексиканському засіданні з топології та її застосувань , Оахака, Мексика (6-10 грудня 2004);

- XV Конгресі з математики Капрікорніо, Антофагаста, Чилі (3-6 серпня, 2005);

- LXXVII зустрічі математичного товариства Чилі, Олмуе (3-5 листопада, 2005);

- 10-й міжнародній конференції з дискретної математики, Дортмунд, Німеччина (14-18 липня 2007);

- міжнародній конференції ``Аналіз і топологія'', Львів (2-7 червня 2008);

- наукових семінарах в Докуз-Ейлул університеті, Ізмір, Туреччина (1998,1999), Національному університеті Колумбії (2000-2003), Інституті математики університету Любляни (керівник Д. Реповш), Словенія (2003), Університеті Консепсіон, Чилі (2005), в Інституті математики НАН України (керівник семінару В.В.Шарко) (2007,2008), на міжвузівських семінарах з топології Львівського національного університету (керівники М.М.Зарічний і І.Й.Гуран).

Публікації. Основні результати, які містяться в дисертації, опубліковано в 25 друкованих роботах, з них 22 статті у фахових виданнях з переліку ВАК України та провідних закордонних журналах і 1 монографія.

Стpуктуpа та обсяг pоботи. Дисеpтація складається зі вступу, огляду літеpатуpи та pезультатів дисеpтації, п'яти pозділів, pозбитих на підpозділи, висновків і списку викоpистаних джеpел. Обсяг дисеpтації - 288 стоpінки. Список викоpистаних джеpел включає 167 найменувань.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Основна частина дисертації складається з шести розділів. У першому розділі ми даємо огляд літератури за темою дисертації, наводимо попередні відомості з теорії вимірів, нескінченновимірної топології, категорної топології та основні результати дисертації.

Одним з основних напрямків дисертації є дослідження існування та побудова поглинаючих множин, пов'язаних з теорією вимірів нескінченновимірних просторів. В другому розділі ми досліджуємо вимірнісні аспекти цієї проблеми. Всі простори в цьому розділі вважаються метризовними та сепарабельними.

У підрозділі 2.1 досліджується зв'язок між трансфінітними вимірами trInd та dimC. Для цього ми означаємо функцію h наступним чином. Для кожного ординалу в?щ через ф(в) ми позначаємо ординал, означений рівністю щ+ф(в)=в. Покладемо h(в)=щ+щЧф(в) для ординалу в?щ та h(в)=в для скінченного ординалу в<щ.

Основним результатом цього підрозділу є наступна теорема.

Теорема 2.1. Для кожного простору X, такого що trInd X?б справджується нерівність dimC X? h(б).

Базовою проблемою для існування поглинаючої множини для деякого класу C є існування універсального простору в класі C, або хоча б існування простору з класу Csigma, який би містив всі топологічні копії просторів з класу C. Ці питання досліджуються в підрозділі 2.2 для вимірів dimW та dimC.

Теорема 2.2. Нехай л є довільним граничним ординалом. Тоді не існує метризовного сепарабельного простору Y, такого що містить всі метризовні компакти X, для яких dimW X? л, та dimW Y?л.

Теорема 2.3. Нехай л є довільним граничним ординалом. Тоді не існує метризовного сепарабельного простору Y, такого що містить всі метризовні компакти X, для яких dimC X? л, та dimC Y?л.

Зауважимо, що Теорема 2.1. (Теорема 2.2.) стверджує, зокрема, про неіснування універсального простору в класі всіх метризовних сепарабельних просторів X, для яких dimW X? л (dimC X? л), для довільного граничного ординалу л.

Разом з тим для виміру dimC можливо знайти компакти з властивостями дещо слабшими, ніж універсальність.

Ці компакти будуть використані в наступному розділі для доведення існування відповідних поглинаючих множин.

Лема 2.10. Існує неспадна функція k:щ1>щ1, така що для кожного компакту X, для якого dimCX?б і для кожного натурального числа ninN справджується нерівність dimCX ? k(б).

Позначимо через D(в) клас компактів, вимір dimC є меншим ніж в.

Теорема 2.5. Для кожного зліченного ординалу б існує ординал в, в?б і компакт Kв, такі що dimCKв=h(в)=в, KвЄу-D(в) і Kв містить всі компакти з класу D(в).

В підрозділі 2.3 ми досліджуємо трансфінітні продовження для вимірнісних функцій asInd та asdim, введених в асимптотичній топології. В процесі цього дослідження отримані дві теореми, що описують фундаментальні властивості виміру asINd: теорема підпростору та теорема суми.

Теорема 2.7. Нехай X є власний метричний простір та Y??? X. Тоді asINd Y?asINd X.

Теорема 2.8. Нехай X є власний метричний простір та X=Y? Z, де Y та Z є необмеженими множинами. Тоді asINd X?asINd Y+asINd Z.

Трансфінітне продовження trasINd X ми можемо означити за аналогією з trINd: trasINd X=-1, коли X є обмеженим простором; trasINd X?б, де б є довільним ординалом, коли для будь-яких двох асимптотично диз'юнктних множин A, B? X існує асимптотичне розбиття C, таке що trasINd C? в для деякого ординалу в<б. Звичним чином ми покладаємо trasINd X=б, коли trasINd X? б і не виконується trasINd X? в для жодного в<б. Також ми покладаємо trasINd X=?, якщо для жодного ординалу б не виконується нерівність trasINd X? б.

Наступна теорема доводить гіпотезу М. Зарічного, про те, що це продовження є тривіальним, тобто воно не виходить за межі скінченних чисел.

Теорема 2.10. Нехай X є власний метричний простір, для якого trasINd X<?. Тоді asINd X<?.

Тепер ми означимо нетривіальне трансфінітне продовження виміру asdim.

Покладемо trasdim X=Ord A(X,d) і trasdim X=-1, якщо X є обмеженим. Трансфінітний вимір trasdim є трансфінітним продовженням виміру asdim: trasdim X? n тоді й лише тоді, коли asdim X? n для кожного nЄN.

Твердження 2.2. Метричний простір X має асимптотичну властивість C тоді й лише тоді, коли trasdim X<?.

В підрозділі 2.3 побудовані два приклади: власний метричний простір Lщ, такий що trasdim Lщ=щ (цей приклад показує, що це продовження є нетривіальним) та власний метричний простір L?, такий що trasdim L?=?.

В розділі 3 увага зосереджена на поглинаючих просторах. В підрозділі 3.1 ми розглядаємо клас зліченновимірних просторів.

Позначимо через Mоcd(Aоcd) перетин абсолютних борелівських класів Mо(Aо) з класом зліченновимірних просторів. В підрозділі 3.1 побудовані Aоcd-універсальні простори Nо для кожного зліченного ординалу о? 2 та

Mоcd-універсальні простори Gо для кожного зліченного ординалу о? 3. Основним результатом підрозділу є наступна теорема.

Теорема 3.4. Простір Лоcd=W(Nо,*) є Aоcd-поглинаючим простором для кожного зліченного ординалу о? 2; простір Щоcd=W(Gо,*) є Mоcd-поглинаючим простором для кожного зліченного ординалу о? 3.

В підрозділі 3.2 досліджується проблему існування поглинаючих просторів пов'язаних з трансфінітними вимірами dimW та dimC.

Для кожного ординалу о і кожного класу просторів C покладемо C(dim,о)= { XЄC|dim X?о}, де dim означає один з трансфінітних вимірів dimW або dimC.

Теорема 3.6. Для кожного зліченного граничного ординалу о не існує C(dim,о)-поглинаючої множини.

Тепер розглянемо клас D(в), що складається з компактів, вимір dimC є меншим ніж в.

Теорема 3.7. Для кожного зліченного ординалу б існує зліченний ординал в, в?б і передгільбертів простір Dв, такий що Dв є D(в)-поглинаючим.

Р.Поль побудував незліченновимірний C-компакт P {Po2}. Існує зліченний ординал в0, такий що dimCP=в0. Таким чином всі простори Eв з в>в0 є незліченновимірними. З іншого боку, оскільки гільбертів куб Q не є C-компактом, простори Eв відмінні від простору У, що містить копію Q. Отже вищенаведена теорема є відповіддю на питання Добровольського та Могільського (питання 5.18 з {DM}).

В четвертому розділі ми застосовуємо характеризаційні теореми нескінченновимірної топології для дослідження просторів та відображень, що виникають в топології різних функторів. Всі простори, що розглядаються в підрозділах 4.1-4.4, є метризовними та сепарабельними. Натомість в підрозділі 4.5 досліджуються і неметризовні простори.

Підрозділ 4.1 присв'ячений нескінченним добуткам абсолютних ретрактів. Більш точно, ми досліджуємо пари вигляду W(K,A), де K -- AR-компакт, а A -- гомотопійно щільна підмножина.

Головними результатами цього підрозділу є наступні дві теореми.

Теорема 4.1. Нехай K довільний AR-компакт і A його гомотопійно щільна

G-підмножина. Тоді пара (K^щ,W(K,A)) гомеоморфна парі (Q^щ,Q^щ\У^щ).

Теорема 4.2. Нехай K довільний AR-компакт і A його довільна гомотопійно щільна підмножина, така що де кожна Ai є Z-підмножиною в A. Тоді пара (K^щ,W(K,A)) гомеоморфна парі (Q,Л3).

В підрозділі 4.2 досліджується підпростір гіперпростору евклідового простору, породженого відображенням найближчої точки. Через exp R^n ми позначаємо гіперпростір, тобто простір всіх непорожніх компактних підмножин в R^n, наділений метрикою Гаусдорфа dH, що може бути означена за допомогою формули dH(K1,K2)=inf{eЄR| K1? Be(K2) та K2? Be(K1)}.

Ми розглядаємо для кожного компакту KЄexpR^n відображення найближчої точки pK означене на R^n як багатозначне відображення, визначене наступним чином: pK(x)={yЄ K| d(x,y)=min{zЄ Kd(x,z), для кожної точки xЄR^n.

Позначимо через Kp простір всіх компактних підмножин K в R^n, для яких відображення pK є неоднознозначним для всюди щільної в R^n множини точок.

Теорема 4.3. Пара (expR^n,Kp) гомеоморфна парі (Q\*,s).

В.В.Федорчук поставив проблему дослідити топологію пар просторів ймовірнісних мір вигляду (P(X),HP(Y)), де X - нескінченний метризовний компакт, Y? X - його всюди щільна борелівська підмножина, а підпростір HP(Y) простору ймовірнісних мір P(X) означається наступним чином: HP(Y)={мЄ P( X)| 1=м(Y)}. В підрозділі 4.3 дається топологічна класифікація таких пар в наступних двох теоремах.

Теорема 4.4. Нехай Y -- всюди щільна власна Gд-підмножина нескінченного метризовного компакту X. Тоді пара (P(X),HP(Y)) гомеоморфна парі (Q,s).

Теорема 4.5. Нехай б?1 -- зліченний ординал, X - метризовний компакт і YЄMб - всюди щільна підмножина в X. Якщо Y -- берівський простір, тоді пара (P(X),HP(Y)) гомеоморфна парі (Q,Q\Лб(Q)); в протилежному випадку, пара (P(X),HP(Y)) гомеоморфна парі (Q,Щб(Q)).

В підрозділі 4.4 ми модифікуємо техніку поглинаючих множин для дослідження відображень ймовірнісних мір. Головними результатами цього підрозділу є дві наступні теореми.

Теорема 4.6. Нехай f:X> Y - досконале всюди локально оборотне відображення метризовних сепарабельних абсолютно борелівських просторів. Якщо прообраз кожної точки yЄ Y нескінченний, то відображення HP(f):HP(X)>HP(Y) гомеоморфно тривіальному Q-розшаруванню HP(Y)Ч Q>HP(Y).

Нехай p:X> B -- розшарування (мы ототожнюємо терміни "розшарування" та "відображення"). Якщо Y? X і q:Y> B - таке відображення, що q=p| Y, ми кажемо, що q -підрозшарування розшарування p и позначаємо через q? p. Далі вважаємо, що Y? X и q=p| Y.

Через pr^X:XЧ B>B, pr^Y:YЧ B> B, prB:XЧ B> B ми позначаємо відповідні проекції; таким чином, pr^X=prB і pr^Y?pr^X.

Теорема 4.9. Нехай б?1 -- зліченний ординал, B -- сепарабельний метризовний абсолютно борелівський простір, X - метризовний компакт і YЄMбbscup{о<бMо - всюди щільна підмножина в X. Пара розшарувань (HP(pr^X),HP(pr^Y)) гомеоморфна:

(i) парі (pr^Q,pr^{OMб(Q)), якщо Y - підмножина десь першої категорії в X;

(ii) парі (pr^Q,pr^{Q\LAб(Q)), якщо Y - підмножина ніде не першої категорії в X.

Зауважимо, що Теорема 4.9 є пошаровою версією Теореми 4.5.

Оскільки для кожного нескінченного компакту F простір HP(F)=P(F) гомеоморфний гільбертовому кубові Q, з Теореми 4.6 випливає, що для кожного тривіального розшарування f:BЧ F> B з нескінченним компактним шаром F відображення HP(f) гомеоморфно тривіальному розшаруванню з шаром HP(F). Цей факт допускає узагальнення.

Теорема 4.7. Нехай f:BЧ F> B -- тривіальне розшарування над сепарабельною метричною абсолютно борелівською базою з шаром, що є нескінченним абсолютним борелівським простором. Тоді відображення HP(f):HP(BЧ F)> HP(B) гомеоморфно тривіальному розшаруванню HP(B)ЧHP(F)>HP(B).

Підрозділ 4.5 повністю присв'ячений конструкції Гартмана-Мицельського. Спочатку ми вирішуємо проблему, поставлену М. Зарічним: побудувати нормальний функтор в категорії Comp, базований на конструкції Гартмана-Мицельського (сам простір HMX не є компактним).

Для XЄComp означимо рівномірність на HMX. Для кожної функції цЄ C(X) і a,bЄ [0,1], таких що a<b, ми означаємо функцію ц (a,b):HMX> R за допомогою формули ц (a,b)= 1/(b-a)?a^bцcircб(t)dt. Покладемо S{HM(X)={ц{(a,b)| цЄ C(X) і (a,b)? [0,1)}.

Твердження 4.4. Сім'я псевдометрик S{HM(X) визначає цілком обмежену рівномірність UHMX на HMX.

Для кожного компакту X розглянемо рівномірний простір (HX,UHX), що є поповненням рівномірного простору (HMX,UHMX) і топологічний простір HX з топологією породженою рівномірністю UHX. Оскільки UHMX є цілком обмеженою, простір HX є компакт.

Лема 4.15. Для довільного неперервного відображення f:X> Y відображення HMf:(HMX,UHMX)>(HMY,UHMY) є рівномірно неперервним.

Отже існує неперервне відображення Hf:HX> HY, таке що Hf|HMX=HMf. Тоді H:Comp>Comp є функтором в категорії Comp.

Теорема 4.10. Функтор H є нормальним.

Далі в підрозділі досліджуються топологічні властивості простору HX та пари (HX,HMX). Важливими інструментами в цьому дослідженні є дві структури еквізв'язності на HX. На просторі HMX є природна еквізв'язність задана відображенням e1:HMXЧ HMXЧ I> HMX, що задається наступним чином: e1(б1,б2,t)(l) рівне б1(l), якщо l<t, і б2(l) в протилежному випадку, де б1,б2Є HMX, tЄ I і lЄ [0,1).

Лема 4.19. Відображення e1:HMXЧ HMXЧ I> HMX є рівномірно неперервне.

Таким чином існує неперервне відображення e:HXЧ HXЧ I> HX, що задає структуру еквізв'язності на HX.

Лема 4.18. HX є опуклою підмножиною в добутку ?ц(a,b)Є SHM(X)Iц(a,b). поглинаючий простір функціонал барицентричний

Опуклість є іншою структурою еквізв'язності на HX. Ці дві структури відіграють важливу роль в доведенні наступних результатів, що описують топологічні властивості HX.

Теорема 4.12. Пара (HX,HMY) гомеоморфна парі (Q,у) для кожного невиродженого метризовного компакту X та його щільної у-компактної сильно зліченно-вимірної підмножини Y.

Нагадаємо, що у є поглинаючим простором для класу скінченновимірних компактів. Конструкція Гартмана-Мицельського також дає поглинаючі множини для класів компактів, вимір dimC є меншим ніж в для деяких зліченних ординалів. Поглинаючі простори для цих класів Dв введені в підрозділі 3.2, а компакти Kв -- в підрозділі 2.2.

Теорема 4.12. Простір HM(Kв) гомеоморфний простору Dв.

Основним результатом для неметризовних компактів є наступні теореми:

Теорема 4.13. Компакт HX є абсолютним ретрактом тоді й лише тоді, коли X є відкрито-породженим компактом ваги ?щ1.

Теорема 4.15. Компакт HX гомеоморфний кубу Тихонова тоді й лише тоді, коли X є відкрито-породженим ч-однорідним компактом ваги щ1.

Вони базуються на відкритості функтора H.

Теорема 4.14. Відображення Hf є відкритим тоді й лише тоді, коли f є відкритим відображенням.

П'ятий розділ присв'ячений монадам в категорії Comp. Більшість досліджень монад проводились для конкретних монад зокрема. Основною перепоною для отримання загальних результатів для монад була їх різна природа. Метою п'ятого розділу є уніфікувати відомі монади, зобразивши їх функторіальні частини FX у вигляді множин функціоналів на просторі C(X). Зауважимо, що ми називаємо функціоналом довільне відображення н:C(X)>R, не вимагаючи a priori ніяких додаткових властивостей.

В підрозділі 5.1 ми вводимо слабо нормальну монаду функціоналів, що зберігають порядок, яка буде містити в якості підмонад монади ймовірнісних мір, гіперпростору, суперрозширення, гіперпросторів включення та інші.

Функціонал н:C(X)>R називається it слабо адитивним, якщо для кожної константи cЄR та функції цЄ C(X) виконується н(ц+cX)=н(ц)+c; зберігаючим порядок, якщо для кожних функцій ц, шЄ C(X), таких що ц?ш виконується н(ц)?н(ш). Функціонал н:C(X)>R називається it нормованим, якщо н(1X)=1. Для компакту X через OX ми позначаємо множину всіх слабо адитивних нормованих функціоналів, що зберігають порядок.

Ми розглядаємо OX як підпростір добутку P=?цЄ C(X)[minц,maxц], який можемо розглядати як простір всіх функціоналів н:C(X)>R з відповідними обмеженнями в області значень.

Нехай X та Y є компактами та f:X> Y неперервне відображення. Означимо відображення Of:OX> OY за допомогою формули (Of(м))(ц)=м(цcirc f), де мЄ OX і цЄ C(Y). Таким чином O є коваріантним функтором в категорії Comp.

Підмножина L? C(X) називається A-it підпростором, якщо 0XЄ L і для кожної функції цЄ L та константи cЄR справджується ц+cXЄ L. Головним інструментом в дослідженні функтора O є наступна теорема, що може бути трактована в якості аналогу теореми Гана-Банаха.

Теорема 5.1. Для кожного A-підпростору L? C(X) і для кожного слабо адитивного функціоналу, що зберігає порядок н:L>R існує слабо адитивний функціонал, що зберігає порядок н':C(X)>R, такий що н'|L=н.

Теорема 5.3. Функтор O є слабо нормальним.

Тепер доповнимо функтор O до монади O=(O,hO,mO). Означимо відображення mO X:O^2(X)> O(X) за допомогою формули mO X(б)(g)=б(g), де бЄ O^2(X), gЄ C(X), а відображення g:O(X)> R визначається наступним чином g(м)=м(g), мЄ O(X).

Покладемо hO X=дx для кожної точки xЄ X, де дx -- міра Дірака в точці x.

Теорема 5.4. Трійка O=(O,hO,mO) утворює монаду в категорії Comp.

В підрозділі 5.2 ми вводимо клас L-монад, кожна з яких має функціональне зображення. Для цього спершу вводиться монада V, яка буде відігравати роль універсальної.

Для компакту X покладемо VX=?цЄ C(X)[minц,maxц]. Тобто, VX є простором всіх функціоналів н:C(X)>R з відповідними обмеженнями в області значень.

Для функції цЄ C(X) через рц (або р(ц)) ми позначаємо відповідну проекцію рц:VX> R.

Для відображення f:X> Y означимо відображення Vf:VX> VY умовою рц? Vsf=рц? f для кожної цЄ CY. Легко бачити, що V є функтором в категорії Comp.

Побудуємо природні перетворення h:IdComp> V та m:V^2> V, які доповнять функтор V до монади V=(V,h,m). Для компакту X означимо відображення hX та mX наступними умовами рц? hX=ц і рц? mX=р(рц) для всіх цЄ CX.

Твердження 5.6. Трійка V=(V,h,m) є монадою в категорії Comp.

Означення 5.1. Монада F=(F,з,м) в категорії Comp називається L-монадою, якщо для кожних t1,t2ЄR, таких що t1? t2, існує відображення о[t1,t2]:F[t1,t2]> [t1,t2], таке що пара ([t1,t2],о[t1,t2]) є F-алгеброю; для кожних t1, t2, t3, t4ЄR, таких що t1?q t2?q t3?q t4, тотожне вкладення j:[t2,t3]>[t1,t4] є морфізмом відповідних F-алгебр і для кожного XЄ Comp існує сім'я морфізмів F-алгебр {fб:(FX,м X)>([t1(б),t2(б)],о[t1(б),t2(б)])|бЄ A}, що відокремлює точки.

Основним результатом цього підрозділу є наступна теорема, яка дає нам функціональне зображення L-монад.

Теорема 5.5. Нехай F=(F,з,м) є монадою в категорії Comp. Існує вкладення монад l:F>V тоді й лише тоді, коли F є L-монадою.

Завершують підрозділ 5.2 два результати, які описують образи гіперпростору та простору гіперпросторів включення при вкладенні l з попередньої теореми. Зауважимо, що lX(exp X) та lX(GX) є підмножинами OX, що природно лежить в VX.

Наслідок 5.3. Множина lX(exp X) складається зі всіх функціоналів, що є нормованими, слабо адитивними, зберігають max та слабо зберігають min.

Теорема 5.6. Для кожного XЄComp, підмножина lX(GX) в VX складається зі всіх нЄ OX, які слабо зберігають min та max.

В підрозділі 5.3 ми досліджуємо алгебри L-монад. Спочатку дається опис категорії V-алгебр.

Означимо категорію ?. Об'єктами цієї категорії є добутки замкнених інтервалів ?бЄ A [t1(б),t2(б)], де t1(б),t2(б)ЄR. Тепер опишемо морфізми. Розглянемо довільний об'єкт ?бЄ A [t1(б),t2(б)] категорії ? та замкнений інтервал [t1,t2]. Функція f:?бЄ A [t1(б),t2(б)]> [t1,t2] називається it зберігаючою добуток, якщо існує індекс бЄ A, такий що [t1(б),t2(б)]?[t1,t2] і f=j[t1(б),t2(б)]^[t1,t2]? pб, де pб:?вЄ A[t1(в),t2(в)]> [t1(б),t2(б)] є природньою проекцією.

Розглянемо довільні два об'єкти ?бЄ A [t1(б),t2(б)] та ?вЄ B [t1(в),t2(в)] в ?. Функція f:?бЄ A [t1(б),t2(б)]>?в Є B [t1(в),t2(в)] є морфізмом в категорії ?, якщо для кожного індексу вЄ B функція pв? f:?бЄ A [t1(б),t2(б)]> [t1(в),t2(в)] зберігає добуток. Легко бачити, що для кожного XЄComp ми можемо розглядати VX в якості об'єкта категорії ?. Також відображення Vf задовільняє означення морфізму в категорії ? для кожного морфізму f в категорії Comp. Таким чином ми можемо означити функтор F:Comp>?, змінивши область значення функтора V:Comp>Comp. Через U:?>Comp ми позначаємо забуваючий функтор. Тоді ми отримуємо рівність U? F=V. Також ми маємо природне перетворення h:IdComp> U? F.

Для кожного об'єкту P=?бЄ A [t1(б),t2(б)]Є? розглянемо відображення e P:FU(P)> P, визначене рівностями pб?e P=р(j[t1(б),t2(б)]? pб){[t1(б),t2(б)] для кожного індексу бЄ A. Легко перевірити, що четвірка <F,U,h,e> є спряженням і виконується рівність м=Ue F. Отже монада V є визначеною спряженням <F,U,h,e> та існує порівняльний функтор K:?>Comp^V.

Теорема 5.6. Функтор K є еквіваленцією категорій ? та Comp^V.

Кожна вільна F-алгебра вигляду (FX,м X) може бути вкладена в добуток інтервалів згідно з означення L-монади. Більш того, для багатьох відомих монад, таких як гіперпростору, ймовірнісних мір, суперрозширення, гіперпростору включення тощо, кожна алгебра може бути вкладена в якості підалгебри в добуток інтервалів (див. наприклад {TZ} або {RZ}).

Отже природнім видається наступне запитання. Для кожного добутку замкнених інтервалів P=?{бЄ A}[t1(б),t2(б)] ми можемо означити структуру F-алгебри оP:FP> P за допомогою формули pб?о=о{t(б)}? F(pб). Чи кожну F-алгебру можна вкласти за допомогою деякого морфізму F-алгебр в (P,оP) для деякого добутку замкнених інтервалів P=?{бЄ A}[t1(б),t2(б)]?

Підрозділ 5.3 завершується побудовою L-монади S, для якої це не так.

На просторах ймовірнісних мір існує структура лінійної опуклості, яка визначає багато топологічних властивостей просторів та відображень ймовірнісних мір. При дослідженні суперрозширень та гіперпросторів включення також використовувались абстрактні (нелінійні) опуклості. В підрозділі 6.1 ми узагальнюємо ці методи для всіх L-монад.

Нехай (X,о) є F-алгеброю монади F=(F,з,м) і A є замкненою підмножиною X. Позначимо через fA факторизаційне відображення fA:X> X/A і покладемо a=fA(A). Означимо F- опуклу оболонку CF(A) множини A наступним чином CF(A)=о((FfA)^{-1}(з(X/A)(a))). Означимо сім'ю CF(X,о)={A? X|A є замкненою і CF(A)=A}. Елементи сім'ї CF(X,о) називаємо F- опуклими.

Введені структури мають категорний характер: вони зберігаються морфізмами алгебр. Нехай (X,C), (Y,D) два компакти із заданими опуклостями. Неперервне відображення називається f:X> Y називається CP-відображенням{vV}, якщо f^{-1}(D)ЄC для кожного DЄD.

Теорема 6.1. Нехай h:(X,о)>(X',о') є морфізмом F-алгебр. Тоді h є CP-відображенням.

Кажемо, що опуклість C породжує топологію X якщо C є замкненою передбазою X. Опуклість C на X називають T2 якщо для кожних x1, x2ЄX існує T1, T2ЄC такі, що T1U T2=X, x1Є T2 і x2Є T1.

Означення 6.1. L-монада F=(F,з,м) слабо зберігає прообрази, якщо для кожного відображення f:X> Y і замкненої підмножини A? Y справджується рц(н)Є[mЄц(f^{-1}(A)),maxц(f^{-1}(A))] для кожних нЄ (Ff)^{-1}(A) і цЄ CX.

Легко бачити, що якщо L-монада зберігає прообрази, то вона слабко зберігає прообрази.

Теорема 6.2. Нехай F L-монада, що слабко зберігає прообрази. Тоді для кожного компакту X опуклість CF(FX,м X) є T2 і породжує топологію.

Далі в підрозділі розглядаються опуклості з властивістю бінарності. Нехай S деяка сім'я підмножин компакта X. Кажемо, що S є зчепленою, якщо перетин кожних її двох елементів є непорожній. S називається бінарною, якщо перетин кожної її зчепленої підсистеми є непорожній. Ми називаємо монаду F бінарною, якщо сім'я CF(X,о) є бінарною для кожної F-алгебри (X,о).

Теорема 6.3. Нехай F=(F,з,м) L-монада, що слабко зберігає прообрази. Тоді F є бінарною тоді і лише тоді, коли існує вкладення монад i:L>F.

Теорема 6.4. Нехай F бінарна L-монада, що слабко зберігає прообрази і X компакт, такий що FX є відкрито-породженим (зв'язним) компактом. Тоді кожне відкрите відображення f:FX> Y з F-опуклими шарами є 0-м'яким(м'яким).

Зауважимо, що остання теорема демонструє, що властивості "бути AR-компактом", чи "бути м'яким відображенням" в топології монад залежать від властивостей опуклості, яку породжує дана монада.

В підрозділі 5.2 ми застосовуємо отримані загальні результати до дослідження топології монади O. Основні результати стосуються топології простору O(X) та відображення множення mO X монади O.

Теорема 6.5. Нехай f:X> Y неперервне відображення. Відображення O(f) є відкритим тоді й лише тоді, коли f є відкритим.

Теорема 6.6. O(X)Є AR тоді й лише тоді, коли X є відкрито-породженим компактом.

Зауважимо, що достатність Теореми 6.6 випливає безпосередньо з Теореми 6.4 та Теореми 6.5.

Теорема 6.7. Компакт O(X) гомеоморфний гільбертовому кубу для кожного невиродженого компакту зі зліченною базою; O(X) гомеоморфний кубу Тихонова I^ф для незліченного кардиналу ф тоді й лише тоді, коли X є ч-однорідним відкрито-породженим компактом ваги ф.

Теорема 6.8. Відображення mO X відкрите для кожного компакту X.

Теорема 6.9. Відображення mO X м'яке тоді й лише тоді, коли X відкрито-породжений компакт.

Достатність Теореми 6.9 також випливає безпосередньо з Теореми 6.4 та Теореми 6.5.

В підрозділі 6.3 ми досліджуємо топологію відображення барицентра ймовірнісних мір. Зауважимо, що лінійна опуклість просторів ймовірнісних мір не є бінарною, в зв'язку з цим топологічні властивості просторів та відображень ймовірнісних мір в неметризовному випадку є гіршими ніж в бінарних монад. Основним результатом підрозділу є відповідь на питання В.В.Федорчука.

Теорема 6.12. Якщо опуклий компакт K є барицетрично м'яким, то він є AR-компактом ваги ?щ1.

Далі ми досліджуємо барицентричну м'якість AR-компактів ваги ?щ1. Відомо, що опуклі компакти вигляду PX, де X є відкрито-породженими компактами ваги щ1 є AR-компактами, але не є барицетрично м'якими {Ra3}. З іншого боку В.В.Федорчук довів, що афінні ретракти добутків потужності щ1 барицентрично м'яких компактів є барицентрично м'якими {Fe5}. Спочатку ми показуємо, що цей клас зводиться просто до добутків потужності щ1 барицентрично м'яких компактів.

Теорема 6.13. Довільний афінний ретракт щ1-добутку опуклих метризовних компактів є афінно гомеоморфний щ1-добутку опуклих метризовних компактів.

Також ми показуєм, що існують барицентрично м'які компакти поза цим класом. Нехай (K,*) опуклий компакт з відміченою базовою точкою. Через Con K ми позначаємо опуклу замкнену оболонку {0}Ч KU[0,1]Ч {*} в опуклому компакті [0,1]Ч K. Ми розглядаємо тихоновський куб I^б=[0,1]^б як опуклий компакт з базовою точкою 0^бЄ I^б. Оскільки Con I^{щ1} є неметризовним компактом з першою аксіомою у вершині, це дає нам приклад компакту, що не є афінним ретрактом щ1-добутку опуклих метризовних компактів.

Теорема 6.14. Опуклий компакт Con I^{щ1} є барицентрично м'яким.

ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена подальшому розвитку проблеми топологічної класифікації нескінченновимірних просторів та застосуванні методів нескінченновимірної топології до дослідження тополого-алгебраїчних конструкцій.

Другий розділ даної роботи присв'ячений деяким проблемам теорії вимірів нескінченновимірних просторів: ми досліджуєм класи нескінченновимірних просторів, що пов'язані з трансфінітними продовженнями вимірнісних функцій. Зокрема, в підрозділі 2.1 ми знаходимо зв'язок між трансфінітними вимірами trInd та dimC, даючи часткову відповідь на питання, поставлене П.Борстом в {Bo}. В підрозділі 2.2 досліджується питання існування універсальних просторів в класах, пов'язаних з трансфінітними вимірами dimW та dimC; результати цього підрозділу є базовими для розділу 3, де досліджується проблема існування поглинаючих просторів для цих ж класів. В підрозділі 2.3 досліджено існування трансфінітних продовжень для асимптотичних вимірів. Зокрема доведено гіпотезу М.Зарічного, про те що трансфінітне продовження виміру asInd тривіальне. В процесі цього дослідження отримані дві теореми, що описують фундаментальні властивості виміру asInd: теорема підпростору та теорема суми. Для виміру asdim означено нетривіальне трансфінітне продовження trasdim, яке класифікує метричні простори з асиптотичною властивістю C, що введена А.Дранішніковим {Dr1}.

Третій розділ присв'ячений питанню існування поглинаючих просторів для класів, що виникають в теорії вимірів нескінченновимірних просторів. В підрозділі 3.1 дано побудову поглинаючих просторів для абсолютних борелівських класів зліченновимірних просторів, існування яких було доведене М.Зарічним {Za1}. В підрозділі 3.2 поряд з негативними результатами про існування поглинаючих просторів, пов'язаних з трансфінітними вимірами dimW та dimC, доведено існування поглинаючих множин для класів компактів з dimC<в для деяких граничних ординалів. Серед цих поглинаючих множин є незліченновимірні, що дає часткову відповідь на проблему про заповнення прогалини між сильно нескінченновимірними та зліченновимірними поглинаючими множинами, поставлену Т. Добровольським та Є. Могільським {DM1}.

В четвертому розділі ми застосовуємо техніку нескінченно-вимірної топології, зокрема поглинаючих множин, для дослідження просторів та відображень, що виникають в топології різних функторів. В підрозділах 4.1 та 4.2 ми досліджуємо добутки та гіперпростори. Зауважимо, що при дослідженні гіперпросторів ми використовуємо природну півграткову структуру. В підрозділі 4.3 ми розв'язуємо проблему, поставлену В.В. Федорчуком, даючи повну класифікацію просторів ймовірнісних мір над абсолютними борелівськими просторами. Техніку поглинаючих множин також можна модифікувати для характеризації многовидів з нескінченновимірними шарами. Така модифікація здійснюється в підрозділі 4.4 для дослідження відображень ймовірнісних мір. В цих підрозділах суттєвою для досліджень є структура опуклості.

Підрозділ 4.5 присв'ячений конструкції Гартмана-Мицельського HM та функтору, дія якого на компактах є природною компактифікацією цієї конструкції. Конструкція Гартмана-Мицельського, взагалі кажучи, виводить за межі компактів. М.Зарічний поставив проблему побудови нормального функтора в категорії Comp, що базується на цій конструкції.

Окрім побудови такого функтора H ми досліджуємо, коли HX є гомеоморфний гільбертовому чи тихоновському кубові та знаходимо компакти X, такі що простори HMX є гомеоморфні поглинаючим множинам, існування яких доведено в підрозділі 3.2. Ці доведення базуються на спеціальній структурі еквізв'язності.

Розпізнавання просторів засобами нескінченновимірної топології може бути застосовано для різних тополого-алгебраїчних структур, а не лише для лінійних просторів, як це було на початках становлення нескінченновимірної топології. Цей аспект досить детально висвітлений, серед інших джерел, в монографії {BRZ}; частковою ілюстрацією є результати четвертого розділу даної роботи.

...