Нескінченновимірні простори та відображення в категорній топології

Категорним засобом формалізації довільної тополого-алгебраїчної структури є поняття монади в сенсі Ейленберга-Мура. Багато робіт присв'ячено дослідженню монад в категорії Comp (загальний їх огляд можна знайти в {RZ} або в монографії {TZ}). Варто зауважити, що більшість досліджень стосуються окремих монад. Головною перещкодою в розвитку загальної теорії є різна природа монад. В розділі 5 ми вводимо метод, що дозволяє уніфікувати достатньо широкий клас монад, які ми називаємо L-монадами, представивши їх функторіальну частину у вигляді простору функціоналів. Зокрема ми описуємо таке представлення для гіперпросторів та гіперпросторів включення. В підрозділі 6.1 ми будуємо на кожній алгебрі довільної L-монади структуру опуклості таким чином, що морфізми алгебр зберігають цю структуру. Ця концепція дає змогу застосовувати методи теорії абстрактної опуклості до L-монад. Наприкінці підрозділу ми доводимо, що в топології L-монад властивості просторів бути абсолютним ретрактом та відображень бути м'якими базуються на властивості бінарності відповідних опуклостей. Цей результат застосовується в підрозділі 6.2, де досліджуються простори та відображення, які виникають в топології монади функціоналів, що зберігають порядок. Лінійна опуклість, що відповідає монаді ймовірнісних мір не має властивості бінарності. Це призводить до негативного результату в підрозділі 6.3 про те, що опуклий компакт ваги більшої ніж щ1 не може бути барицентрично м'яким. Результати підрозділів 6.2 та 6.3 ілюструють той факт, що топологічні властивості монад безпосередньо пов'язані з властивостями опуклостей, які вони генерують.

Результати дисертації можуть бути використані у нескінченновимірній топології, категорній топології, топологічній теорії вимірів та абстрактній теорії опуклості.

ЛІТЕРАТУРА

1. {An} Anderson R. D. Hilbert space is homeomorphic to the countable product of lines / R. D. Anderson // Bull. Amer. Math. Soc. -- 1966. -- Vol. 72. -- P. 515--519.

2. {BP} Bessaga C. Selected Topics in Infinite-dimensional Topology / C. Bessaga, A. Pelczynski -- Warsaw : PWN, 1975.

3. {BM} Bestvina M. Characterizing certain incomplete infinite-dimensional absolute retracts / M. Bestvina, J. Mogilski // Michigan Math. J. -- 1986. -- Vol. 33. -- P. 291--313.

4. {Bo} Borst P. Some remarks concerning C-spaces / P. Borst // Topology Appl. -- 2007. -- Vol. 154. -- P. 665--674.

5. {Bk} Borsuk K. Theory of Retracts / K. Borsuk -- Warsaw : PWN, 1967.

6. {Chp} Chapman T. Lectures on Hilbert cube manifolds / T. Chapman -- AMS, 1976.

7. {CS} Curtis D. W. Hyperspaces of Peano continua are Hilbert cubes / D.W. Curtis, R.M. Shori // Fund. Math. -- 1978. -- Vol. 101. -- P. 19--38.

8. {DM} Dobrowolski T. Problems on topological classification of incomplete metric spaces / T. Dobrowolski, J. Mogilski // Open Problems in Topology. -- J. van Mill and G.M. Reed (Editors), North Holland, 1990. -- P. 409--430.

9. {DM1} Dobrowolski T. Absorbing sets in the Hilbert cube related to transfinite dimension / T. Dobrowolski, J. Mogilski // Bull. of the Polish Acad. of sci. -- 1990. -- Vol. 38. -- P. 185--188.

10. {EM} Eilenberg S. Adjoint functors and triples / S. Eilenberg, J. Moore // Ill. J. Math. -- 1965. -- Vol. 9. -- P. 381--389.

11. {EG1} Engelking R. Dimension theory.Finite and infinite / R.Engelking -- Heldermann Verlag, 1995.

12. {Gr} Gromov M. Asymptotic invariants of infinite groups. Geometric group theory. v.2 / M. Gromov -- Cambridge University Press, 1993.

13. {dG} Groot J. de. Supercompactness and superextension / J.de Groot // Contributions to extension theory of topological structures. -- Deuche Ferlag der Wissenschaften, Berlin, 1967.

14. {Hu} Hurewicz W. Uber unendlich-dimensionale Punktmengen / W. Hurewicz // Proc. Acad. Amsterd. -- 1928. -- Vol. 31. -- P. 916--922.

15. {Kl} Klee V. Some topological properties of convex set / V. Klee // Trans. Amer. Math. Soc. -- 1955. -- Vol. 78. -- P. 30--45.

16. {vM} Mill J.van. Infinite-dimensional topology / J.van Mill -- Amsterdam : North-Holland, 1989.

17. {vMvV} Mill J.van. Convexity preserving mappings in subbase convexity theory / J.van Mill, M.vanderVel // Pr. Kon. Ned. Acad. Wet. -- 1978. -- Vol. 81. -- P. 76--90.

18. {Po1} Pol R. Questions in Dimension Theory / R. Pol // Open Problems in Topology. -- J. van Mill and G.M. Reed (Editors), North Holland, 1990. -- P. 279--291.

19. {Po2} Pol R. A weakly infinite-dimensional compactum which is not countable-dimensional / R. Pol // Proc. Amer. Math. Soc. -- 1981. -- Vol. 82. -- P. 634--636.

20. {TZ} Telejko A. Categorical Topology of Compact Hausdorff Spaces / A. Teleiko, M. Zarichnyi -- Lviv : VNTL, 1999.

21. {Tor} Torunczyk H. Concerning locally homotopy negligible sets and characterization of l_2-manifolds / H. Torunczyk // Fund. Math. -- 1978. -- Vol. 101. -- P. 93--110.

22. {To1}Torunczyk H. On CE-images of the Hilbert cube and characterization of Q-manifolds / H. Torunczyk // Fund. Math. -- 1980. -- Vol. 106. -- P. 31--40.

23. {vV} Vel M.vander. Theory of convex strutures / M.vanderVel -- Amsterdam : North-Holland, 1993.

24. {Wes} West J.E. Problems in Infinite-Dimensional Topology / J.E. West // Open Problems in Topology. -- J. van Mill and G.M. Reed (Editors), North Holland, 1990. -- P. 523--598.

25. {Yu} Yu G. The Novikov conjecture for groups with finite asymptotic dimension / G.Yu // Ann. Math. -- 1998. -- Vol. 147. -- P. 325--355.

26. {Za1} Zarichnyi M. Universal maps and absorbing sets for countable-dimensional spaces / M.M. Zarichnyi // Mat. Stud. -- 1995. -- Vol. 4. -- P. 85--94.

27. {AP} Александров П. С. Введение в теорию размерности / П.С.Александров, Б.А.Пасынков -- Москва : Наука, 1983.

28. {Dr1} Дранишников А. Асимптотическая топология / A. Дранишников // Успехи математических наук. -- 2000. -- Т. 55. -- С. 1085-1129.

29. {ZF} Заричный М. М. Абсолютные екстензоры и геометрия умножения монад в категории компактов / М. М. Заричный, В. В. Федорчук // Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия. -- Москва : ВИНИТИ, 1990. -- Т. 50. -- С. 47--94.

30. {Ka} Кадец М. И. Доказательство топологической эквивалентности всех сепарабельных бесконечномерных пространств Банаха / М. И. Кадец // Функ. анализ и его приложения. -- 1967. -- Т. 1. -- С. 61--70.

31. {Ra3} Радул Т. Н. Об отображении барицентра вероятностных мер / Т. Н. Радул // Вестн. Моск. ун-та.Сер. матем. -- 1994. -- N. 1. -- С. 3--6.

32. {Fe} Федорчук В. В. О некоторых геометрических свойствах ковариантных функторов / В. В. Федорчук // Успехи математических наук. -- 1984. -- Т. 39. -- С. 169--208.

33. {Fe1} Федорчук В. В. Вероятностные меры в топологии / В. В. Федорчук // Успехи математических наук. -- 1991. -- Т. 46. -- С. 41-80.

34. {Fe5} Федорчук В. В. Барицентрически открытые компактные хаусдорфовы пространства / В. В. Федорчук // Сибирский мат. журнал. -- 1992. -- Т. 33. -- С. 205--210.

35. {FC} Федорчук В. В. Абсолютные ретракты и бесконечномерные многообразия / В. В. Федорчук, А. Ч. Чигогидзе -- Москва : Наука, 1992.

36. {Chg} Чигогидзе А. Ч. Небикомпактные абсолютные екстензоры в размерности n, n-мягкие отображения и их применение / А. Ч.Чигогидзе // Изв. АН СССР. -- 1986. -- Т. 50. -- С. 156--180.

37. {SH} Щепин Е. В. О тихоновских многобразиях / Е. В. Щепин // Докл. АН СССР. -- 1979. -- Т. 246. -- С. 551--554.

38. Cпиcok oпублikobahиx poбit за temoю дисертацiї

39. {BRZ} Banakh T. Absorbing Sets in Infinite-Dimensional Manifolds / T.O. Banakh, T.M. Radul, M.M. Zarichnyi -- Lviv : VNTL, 1996.

40. {BR3} Banakh T. On barycentrically soft compacta and affine retracts of products of metrizable convex compacta / T.O. Banakh, T.M. Radul // Matem. Studii. -- 1996. -- Vol.6. -- P.99--104.

41. {Ra4} Radul T. The absorbing sets for countable-dimensional spaces / T. M. Radul // Matem. Studii. -- 1995. -- Vol. 4. -- P. 105--110.

42. {Ra5} Radul T. Absorbing spaces for C-compacta / T. M. Radul // Topology Appl. -- 1998. -- Vol. 83. -- P. 127--133.

43. {Ra6} Radul T. On universal spaces and absorbing sets related to a transfinite extension of covering dimension / T. M. Radul // Topology Appl. -- 2007. -- Vol. 154. -- P. 1794--1798.

44. {Ra7} Radul T. On connection between some transfinite dimensions / T. M. Radul // Topology Appl. -- 2003. -- Vol. 128. -- P. 49--53.

45. {Ra8} Radul T. Addition and subspace theorem for asymptotic large inductive dimension / T. M. Radul // Colloq. Math. -- 2006. -- Vol. 106. -- P. 57--67.

46. {Ra9} Radul T. On the space of compacta with dense set of points with non-single valued nearest point mapping / T. M. Radul // Arch. Math. -- 1997. -- Vol. 69. -- P. 338--342.

47. {Ra10} Radul T. A normal functor based on the Hartman-Mycielski construction / T. M. Radul // Matem. Studii. -- 2003. -- Vol. 19. -- P. 201--207.

48. {Ra11} Radul T. Absorbing spaces in Hartman-Mycielski construction / T. M. Radul // Matem. Studii. -- 2008. -- Vol. 29. -- P. 221--224.

49. {Ra12} Radul T. On the functor of order-preserving functionals / T. M. Radul // Commentat. Math. Univ. Carol. -- 1998. -- Vol. 39. -- P. 609--615.

50. {Ra13} Radul T. Functional representations of Lawson monads / T. M. Radul // Applied Categorical Structures. -- 2001. -- Vol. 9. -- P. 457--463.

51. {Ra14} Radul T. On strongly Lawson and I-Lawson monads / T. M. Radul // Boletin de Matematicas. -- 1999. -- Vol. 6. -- P. 69--76.

52. {Ra15} Radul T. A functional representation of the hyperspace monad / T. M. Radul // Commentat. Math. Univ. Carol. -- 1997. -- Vol. 38. -- P. 165--168.

53. {Ra16} Radul T. Algebras of Lawson monads / T. M. Radul // Matem. Studii. -- 2004. -- Vol. 22. -- P. 21--26.

54. {Ra17} Radul T. Categorical properties of iterated power / T. M. Radul // Revista Colombiana de matematicas. -- 2001. -- Vol. 35. -- P. 13--20.

55. {Ra19} Radul T. Topology of the space of ordering-preserving functionals / T. M. Radul // Bull. Pol. Acad. Sci., Math. -- 1999. -- Vol. 47. -- P. 53--60.

56. {Ra20} Radul T. On baricentrically soft compacta / T. M. Radul // Fund. Math. -- 1995. -- Vol. 148. -- P. 27--33.

57. {Ra21} Radul T. Transfinite extension of asymptotic dimension / T. M. Radul // Аналіз і топологія: Міжнародна конференція. Львів, 2-7 черв. 2008. С. 56-57.

58. {RR} Radul T. On topological properties of the Hartman-Mycielski functor / T. M. Radul, D.Repovs // Proceedings of the Indian Academy of Sciences. -- 2005. -- Vol. 115. -- P. 477--482.

59. {RZ1} Radul T. Nonexistence of absorbing sets for a transfinite extension of covering dimension / T. M. Radul, M. M. Zarichnyi // Matem. Studii. -- 1998. -- Vol. 9. -- P. 94--98.

60. {BR} Банах T. О. Топология пространств вероятностных мер / T. O. Банах, T. M. Радул // Математический сборник. -- 1997. -- Т. 188. -- С. 23-46.

61. {BR1} Банах T. О. Геометрия отображений пространств вероятностных мер / T. O. Банах, T. M. Радул // Матем. студії. -- 1999. -- Т. 11. -- С. 17--30.

62. {BR2} Банах T. О. Про функтор ймовірнісних радонівських мір / T. O. Банах, T. M. Радул // Доповіді АН України. -- 1994. -- N.8. -- С. 16--20.

63. {RZ} Заричный М. М. Монады в категории компактов / М. М. Заричный, T. M. Радул // Успехи математических наук. -- 1995. -- Т. 50. -- С. 83--108.

АНОТАЦІЇ

Радул Т.М. Нескінченновимірні простори та відображення в категорній топології. -- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.04 -- геометрія і топологія. -- Інститут математики НАН України, Київ, 2008.

У дисертації досліджена проблема існування поглинаючих просторів в деяких класах, що виникають в нескінченновимірній теорії вимірів. Техніка поглиначих просторів застосовується для вивчення топології багатьох тополого-алгебраїчних конструкцій. Також ці конструкції вивчаються з категорної точки зору, використовуючи поняття монади та абстрактні опуклості.

Ключові слова: трансфінітний вимір, асимптотичний вимір, поглинаючий простір, гіпепростір, простір ймовірнісних мір, конструкція Гартмана-Мицельського, монада, абстрактна опуклість.

Радул Т.Н. Бесконечномерные пространства и отображения в категорной топологии. -- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.04 -- геометрия и топология. -- Институт математики НАН Украины, Киев, 2008.

В диссертации исследуется проблема существования поглощающих пространств в классах, возникающих в бесконечномерной теории размерности. Техника поглощающих пространств применяется для исследования топологии многих тополого-алгебраических конструкций. Также эти конструкции исследуются с категорной точки зрения, используя понятия монады и абстрактные выпуклости.

Ключевые слова: трансфинитная размерность, асимптотическая размерность, поглощающее пространство, гиперпространство, пространство вероятностных мер, конструкция Гартмана-Мыцельського, монада, абстрактная выпуклость.

Radul T.M. Infinite-dimensional spaces and maps in categorical topology. -- Manuscript.

Thesis for the degree of Doctor of Physics and Mathematics in speciality 01.01.04 -- geometry and topology. -- Institute of Mathematics of National Academy of Science of Ukraine, Kyiv 2008.

We investigate transfinite extensions dimW and dimC of classical covering dimension dim in this thesis. In particular we obtain some negative and positive results about existing universal spaces. These results we use to investigate existing of absorbing spaces related to these dimensions. Also we build transfinite extension of asymptotic dimensions asdim.

Using infinite-dimensional technique, particularly absorbing spaces, we investigate topology of some functors: infinite products, hyperspaces, spaces of probability measures and Hartman-Mycielski construction.

We consider as well algebraical properties of functors which are based on the notion of monad or triple in the sense of S.Eilenberg and J.Moore. It seems that the main difficulty to obtain general results in the theory of monads is the different nature of functors. We introduce a class of L-monads which contains sufficiently wide class of monads. L-monads have a functional representation, i.e., their functorial part FX can be naturally imbedded in R^CX. Also we investigate algebras of L-monads.

We introduce a convexity structure on each F-algebra for any monad F in the category of compact Hausdorff spaces and continuous maps. Moreover, these convexities are preserved by F-algebras morphisms. These convexities are used to obtain some geometric results about monads with binary convexities. Finally we investigate multiplication map of the order-preserving functionals and probability measures monads using convexities generated by these monads.

Key words: transfinite dimension, asymptotic dimension, absorbing space, hyperspace, space of probability measures, Hartman-Mycielski construction, monad, abstract convexity.

Размещено на Allbest.ru