Геометричне моделювання розбиття множин при територіальному плануванні в сфері цивільного захисту

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО АГРАРНОЇ ПОЛІТИКИ УКРАЇНИ

ТАВРІЙСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ АГРОТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

УДК 514.18

ГЕОМЕТРИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ РОЗБИТТЯ МНОЖИН ПРИ ТЕРИТОРІАЛЬНОМУ ПЛАНУВАННІ В СФЕРІ ЦИВІЛЬНОГО ЗАХИСТУ

Спеціальність 05.01.01 - Прикладна геометрія, інженерна графіка

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

СОБОЛЬ Олександр Миколайович

Мелітополь 2008

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано в Університеті цивільного захисту України Міністерства України з питань надзвичайних ситуацій та у справах захисту населення від наслідків Чорнобильської катастрофи.

Науковий консультант: доктор технічних наук, професор Комяк Валентина Михайлівна, професор кафедри фізико-математичних дисциплін, Університет цивільного захисту України (м. Харків).

Офіційні опоненти: - доктор технічних наук, професор Ковальов Сергій Миколайович, завідувач кафедри нарисної геометрії та інженерної графіки, Київський національний університет будівництва і архітектури (м. Київ);

- доктор технічних наук, професор Корчинський Володимир Михайлович, завідувач кафедри електронних засобів телекомунікацій, Дніпропетровський національний університет (м. Дніпропетровськ);

- доктор фізико-математичних наук, професор Хомченко Анатолій Никифорович, завідувач кафедри прикладної математики і математичного моделювання, Херсонський національний технічний університет (м. Херсон).

Захист відбудеться «23» жовтня 2008 р. о 10⁰⁰ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 18.819.02 в Таврійському державному агротехнологічному університеті за адресою: 72312, Запорізька обл., м. Мелітополь, просп. Б. Хмельницького, 18.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Таврійського державного агротехнологічного університету за адресою: 72312, Запорізька обл., м. Мелітополь, просп. Б. Хмельницького, 18.

Автореферат розісланий «20» вересня 2008 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради,

кандидат технічних наук, доцент О.Є. Мацулевич

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. В останні десятиріччя в усьому світі спостерігається безперервне зростання кількості техногенних і природних катастроф та надзвичайних ситуацій. Цей процес відбувається із одночасним зростанням обумовлених ним соціальних та економічних втрат. Велику роль в Україні у забезпеченні природної та техногенної безпеки відіграє Єдина державна система цивільного захисту населення і територій (ЄСЦЗ), причому більшість підсистем ЄСЦЗ являють собою територіально розподілені системи. Успішність дій територіально розподілених елементів системи цивільного захисту в значній мірі залежить від їх розташування та наявності достатньої кількості сил та засобів для ліквідації в найкоротший термін наслідків надзвичайних ситуацій різного характеру. Таким чином, раціональне територіальне планування в сфері цивільного захисту є актуальним в сучасних умовах реформування ЄСЦЗ і дозволяє, перш за все, підвищити оперативність та сформулювати вимоги до технічної оснащеності територіально розподілених елементів системи цивільного захисту, від дій яких напряму залежить людське життя, що є найбільш вагомим та безцінним ресурсом.

На теперішній час при територіальному плануванні в сфері цивільного захисту та в інших галузях діяльності людини для визначення районів функціонування територіально розподілених елементів використовувалися евристичні підходи або підходи, що пов'язані з певним усередненням (спрощенням). Так, наприклад, в обраній предметній області в якості районів виїзду пожежно-рятувальних підрозділів розглядалися кола нормованого радіусу, при цьому визначення їх раціональної кількості для захисту відповідної території здійснювалося за допомогою методів геометричного проектування (методів розв'язання задач розміщення та покриття). Але суттєвим недоліком використання спрощеного підходу є неможливість врахування реальних умов функціонування територіально розподілених елементів системи цивільного захисту, що мають вплив на формоутворення районів захисту (тобто на оперативність та необхідну кількість сил та засобів елементів ЄСЦЗ), наприклад таких, як існуюча сітка доріг, рельєф місцевості, розподіл населення на території, що підлягає захисту, поверховість забудови і т. ін., які, в свою чергу, можуть бути надані у вигляді як дискретних, так і неперервних (континуальних) геометричних моделей (характеристик відповідної території). Це, насамперед, було пов'язано з відсутністю методів геометричного моделювання розбиття територій (множин) на райони захисту (підмножини) з урахуванням системи дискретних та неперервних вимог, що пов'язані з характеристиками множин розбиття.

Таким чином, існує актуальна наукова проблема створення теоретичних основ та методів геометричного моделювання розбиття множин, на яких задано дискретні та неперервні характеристики, на підмножини, що не перетинаються.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Роботу виконано у відповідності до тематики та загального плану досліджень, проведених в Університеті цивільного захисту України Міністерства України з питань надзвичайних ситуацій та у справах захисту населення від наслідків Чорнобильської катастрофи, а також відповідно до планів науково-дослідних робіт за темами: «Вибір раціональних параметрів розміщення пожежно-технічного озброєння при створенні пожежних автомобілів» (№ державної реєстрації 0104U000678), «Розробка методів і засобів протипожежного захисту сільськогосподарських угідь» (№ д/р 0106U002303), «Розробка автоматизованої системи компоновки аварійно-рятувального обладнання в спеціальних автомобілях» (№ д/р 0107U003089), «Розробка автоматизованої системи оптимального розбивання території міста на райони обслуговування елементами системи цивільного захисту» (№ д/р 0107U003090).

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційного дослідження є розробка теоретичних основ та методів геометричного моделювання розбиття множин, на яких задано дискретні та неперервні характеристики, на підмножини, що не перетинаються, і впровадження їх (методів) в практику для підвищення ефективності територіального планування в сфері цивільного захисту.

Для досягнення мети дисертаційного дослідження розв'язуються наступні основні задачі:

- вдосконалення моделі функціонування Єдиної державної системи цивільного захисту населення і територій та визначення впливу параметрів, що характеризують територіальне планування в сфері цивільного захисту, на ефективність діяльності системи в цілому;

- розробка єдиного підходу до формалізації обмежень та їх геометрична інтерпретація в дискретно-неперервних задачах раціонального розбиття множин на підмножини;

- створення загальної математичної моделі раціонального розбиття множин на підмножини, що не перетинаються, дослідження її особливостей та геометричне моделювання областей припустимих рішень в задачах розбиття;

- розробка методів геометричного моделювання нерегулярного та регулярного раціонального розбиття множин, на яких задано дискретні та неперервні характеристики, на підмножини;

- геометричне та комп'ютерне моделювання раціонального розбиття множин на прикладах задач, які характерні для територіального планування в сфері цивільного захисту;

- визначення впливу параметрів розроблених моделей на раціональну кількість територіально розподілених елементів системи цивільного захисту.

Об'єкт дослідження. Об'єктом дослідження є клас дискретно-неперервних задач розбиття, який характерний для територіального планування в сфері цивільного захисту.

Предмет дослідження Предметом дослідження є моделі та методи геометричного моделювання раціонального розбиття множин на підмножини. геометричний моделювання множина розбиття

Методи дослідження. Розв'язання поставлених в роботі задач виконувалось на базі положень прикладної геометрії, системного підходу, теорії прийняття рішень, теорії корисності, елементів топології, методів математичного та геометричного моделювання, геометричного проектування, елементів функціонального аналізу, методів аналітичної, багатовимірної, обчислювальної геометрії, методів оптимізації, методів дискретної прикладної геометрії.

Теоретична база дослідження. Теоретичною базою досліджень є роботи вчених:

- з геометричного моделювання об'єктів і процесів: Ю.І. Бадаєва, В.Д. Борисенка, В.В. Ваніна, В.М. Верещаги, М.С. Гумена, О.Т. Дворецького, С.М. Ковальова, Ю.М. Ковальова, В.М. Корчинського, Л.М. Куценка, Є.В. Мартина, В.Є. Михайленка, В.М. Найдиша, А.В. Найдиша, В.С. Обухової, А.В. Павлова, С.Ф. Пилипаки, О.Л. Підгорного, А.М. Підкоритова, В.О. Плоского, Є.В. Пугачова, К.О. Сазонова, І.А. Скідана, А.Н. Хомченка, В.П. Юрчука та їх учнів;

- з геометричного проектування: М.І. Гіля, В.М. Комяк, Т.Є. Романової, Ю.Г. Стояна, С.В. Яковлєва та їх учнів;

- з математичного моделювання об'єктів і процесів: В.Г. Болтянського, І.Ц. Гохберга, О.М. Кисельової, М.М. Моісеєва, Е.Г. Петрова, В.П. Путятіна, В.Л. Рвачова, А.Г. Сухарєва, Н.З. Шора та ін.

Наукова новизна одержаних результатів:

- отримав подальший розвиток підхід до побудови моделі функціонування Єдиної державної системи цивільного захисту населення і територій, що базується на використанні системного підходу та положень теорії корисності;

- отримала подальший розвиток теорія раціонального розбиття множин на підмножини, що не перетинаються, шляхом дослідження класу дискретно-неперервних задач розбиття;

- вперше розроблено єдиний підхід до формалізації обмежень та надано їх геометричну інтерпретацію в дискретно-неперервних задачах раціонального розбиття множин на підмножини за допомогою введеного класу спеціальних функцій;

- вперше записано загальну математичну модель раціонального розбиття множини на підмножини, які не перетинаються, та досліджено її особливості, що дозволило здійснити геометричне моделювання областей припустимих рішень в задачах розбиття для створення обґрунтованих методів розв'язання зазначених задач;

- розроблено нові методи геометричного моделювання (ґрунтуються на геометричних властивостях областей припустимих рішень) нерегулярного та регулярного раціонального розбиття множин на підмножини;

- вперше здійснено геометричне та комп'ютерне моделювання (на основі розроблених методів геометричного моделювання) раціонального розбиття множин, на яких задані дискретні та неперервні характеристики, для прикладів задач, які характерні для територіального планування в сфері цивільного захисту;

- вперше, на основі геометричного та комп'ютерного моделювання раціонального розбиття множин, здійснено визначення впливу параметрів розроблених моделей на кількість територіально розподілених елементів системи цивільного захисту.

Обґрунтованість і достовірність результатів. Вірогідність та обґрунтованість результатів дисертаційного дослідження, сформульованих висновків, наукових положень та рекомендацій підтверджено доведенням тверджень, апробацією геометричних моделей в тестових прикладах та порівнянням отриманих результатів з відомими.

Практичне значення одержаних результатів. Розроблені моделі та методи геометричного моделювання розбиття множин, на яких задані дискретні та неперервні характеристики, дозволяють розв'язувати з позицій прикладної геометрії широке коло важливих практичних задач. Універсальність отриманих результатів дисертаційного дослідження підтверджено їх впровадженням у різних галузях. Так, результати наукових досліджень у вигляді математичних моделей, методів геометричного моделювання, алгоритмів та програмного забезпечення ПЕОМ, стосовно раціонального розбиття територій на райони функціонування елементів системи цивільного захисту, впроваджені в Департаменті цивільного захисту МНС України та в Головному управлінні МНС України в Харківській області. Програмне забезпечення, стосовно раціонального розбиття посівних площ, що ґрунтується на створеному математичному та геометричному апараті розв'язання задач розбиття, впроваджено на Державному підприємстві, дослідному господарстві «Елітне» інституту рослинництва ім. В.Я. Юр'єва Української академії аграрних наук. Також результати дисертаційного дослідження впроваджено в навчальний процес Університету цивільного захисту України та в навчальний процес Національного технічного університету «Харківський політехнічний інститут».

Особистий внесок здобувача. Всі наукові результати отримані особисто автором, який розробив всі теоретичні й прикладні питання, що становлять наукову новизну досліджень. Особистий внесок здобувача в роботах, опублікованих у співавторстві, наступний: в монографії [1] автором розроблено теоретичні основи геометричного моделювання розбиття множин, на яких задано дискретні та неперервні характеристики, на підмножини, що не перетинаються. Створено єдиний підхід до формалізації обмежень та надано його геометричну інтерпретацію в дискретно-неперервних задачах розбиття за допомогою введеного класу спеціальних функцій, побудовано загальну математичну модель розбиття множини на підмножини, досліджено її особливості та виконано геометричне моделювання областей припустимих рішень в задачах розбиття. Створено методи геометричного моделювання нерегулярного та регулярного розбиття множин, здійснено геометричне та комп'ютерне моделювання розбиття множин, на яких задано дискретні та неперервні характеристики, для прикладів задач, які характерні для територіального планування в сфері цивільного захисту, визначено вплив параметрів створених моделей на кількість територіально розподілених елементів системи цивільного захисту. В роботі [2] здійснено декомпозицію Єдиної державної системи цивільного захисту населення і територій. В роботах [3, 25] створено загальну математичну модель розбиття множин на підмножини, що не перетинаються. В [4] виконано дослідження однієї з підсистем системи цивільного захисту, а саме, підсистеми забезпечення пожежної безпеки. В роботі [5] здійснено аналітичне розв'язання задачі розбиття множини на підмножини з урахуванням обмежень у вигляді рівностей. В [6] виявлено та проаналізовано задачі геометричного моделювання, що характерні для підсистем Єдиної державної системи цивільного захисту населення і територій. В роботах [7, 8, 17, 19, 22] розроблено методи геометричного моделювання раціонального розбиття множин на підмножини. В роботах [9, 30-33] досліджено функціонування Єдиної державної системи цивільного захисту населення і територій та визначено вплив територіального планування на ефективність діяльності системи в цілому. В [29, 34] розроблено підхід до підвищення ефективності кадрового забезпечення системи цивільного захисту. В роботі [13] створено єдиний підхід до формалізації обмежень в задачах розбиття за допомогою спеціальних функцій. В [11, 12, 14, 23, 24] здійснено геометричне та комп'ютерне моделювання раціонального розбиття множин на прикладах практичних задач з різних галузей діяльності людини.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідалися та обговорювалися на: україно-російських науково-практичних конференціях «Сучасні проблеми геометричного моделювання» (м. Харків, 2005, 2007 рр.); науково-практичних конференціях «Геометричне і комп'ютерне моделювання: енергозбереження, екологія, дизайн» (м. Сімферополь, 2005-2007 рр.); міжнародних конференціях з математичного моделювання (м. Херсон, 2005-2007 рр.); 2-му міжнародному радіоелектронному форумі «Прикладна радіоелектроніка. Стан і перспективи розвитку» (м. Харків, 2005 р.); III міжнародній науково-практичній конференції «Чрезвычайные ситуации: предупреждение и ликвидация» (м. Мінськ, 2005 р.); VII Всеукраїнській науково-практичній конференції рятувальників «Пожежна безпека та аварійно-рятувальна справа: стан, проблеми і перспективи (Пожежна безпека - 2005)» (м. Київ, 2005 р.); міжнародній науково-практичній конференції «Пожежна та техногенна безпека» (м. Черкаси, 2005 р.); міжнародних науково-практичних конференціях «Сучасні проблеми геометричного моделювання» (м. Дніпропетровськ, 2006 р., м. Мелітополь, 2007-2008 р., м. Луцьк, 2008 р.); міжнародній науково-практичній конференції «Чрезвычайные ситуации: теория, практика, инновации» (м. Гомель, 2006 р.); науково-практичній конференції «МНС України: сучасний стан, проблеми та перспективи розвитку» (м. Харків, 2007 р.), науково-технічних семінарах Університету цивільного захисту України (2006-2008 рр.), міжвузівських докторантських семінарах з прикладної геометрії при кафедрі нарисної геометрії та інженерної графіки Київського національного університету будівництва і архітектури під керівництвом д.т.н., проф. В.Є. Михайленка (2005-2008 рр.).

Публікації. За темою дисертації опубліковано 34 роботи, з них 9 - без співавторів. Основний зміст і результати досліджень викладено в монографії, в 27 друкованих працях у наукових фахових виданнях, які рекомендовані ВАК України; 6 статей опубліковано у матеріалах конференцій.

Структура й обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, шести розділів, висновків, списку використаних джерел із 245 найменувань та додатків. Робота містить 271 сторінку основного тексту, 155 рисунків, 3 таблиці.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі розкрито сутність і стан наукової проблеми, її теоретичну та прикладну значущість, обґрунтовано необхідність проведення дослідження, сформульовано мету і задачі дослідження, показано наукову новизну і практичне значення одержаних результатів.

У першому розділі наведено огляд існуючих підходів до геометричного моделювання розбиття множин на підмножини, зокрема в задачах, які характерні для територіального планування в сфері цивільного захисту.

Розглянуто стан з надзвичайними ситуаціями різного характеру в Україні, законодавство України стосовно цивільного захисту населення і територій, що дало змогу підтвердити актуальність проблеми створення теоретичних основ та методів геометричного моделювання розбиття множин, на яких задані дискретні та неперервні характеристики, для територіального планування в сфері цивільного захисту.

Для визначення впливу територіального планування на ефективність функціонування системи цивільного захисту, було розглянуто основні положення системного підходу та, відповідно до зазначених положень, здійснено декомпозицію Єдиної державної системи цивільного захисту населення і територій на наступні підсистеми: запобігання виникненню надзвичайних ситуацій; ліквідації наслідків надзвичайних ситуацій; забезпечення ЄСЦЗ; підготовки кадрів та навчання населення способам захисту в разі виникнення надзвичайних ситуацій (підсистеми 1-го рівня); оповіщення та інформування; інженерного захисту; медичного захисту; радіаційного, хімічного та біологічного захисту; забезпечення пожежної безпеки (підсистеми 2-го рівня). Зроблено висновок про те, що Єдина державна система цивільного захисту являє собою складну динамічну систему відкритого типу.

Розглянуто приклади задач визначення раціональної кількості територіально розподілених елементів системи цивільного захисту. Дані задачі характерні для територіального планування в сфері цивільного захисту і, при цьому, мають вплив на ефективність діяльності ЄСЦЗ та сприяють здійсненню основних заходів цивільного захисту. Геометричною моделлю процесу визначення раціональної кількості територіально розподілених елементів системи цивільного захисту є оптимізаційне розбиття множин на підмножини, що має наступні особливості: полягає у побудові геометричних моделей підмножин розбиття з урахуванням системи обмежень дискретного і неперервного характеру та критерію якості формоутворення підмножин, тобто клас задач розбиття відноситься до класу задач геометричного моделювання (геометричного проектування); є багатокритеріальним, причому критерії розбиття залежать як від дискретних, так і неперервних характеристик, заданих на множині розбиття; є багатовимірним. Таким чином, задачі, які характерні для територіального планування в сфері цивільного захисту, відносяться до класу дискретно-неперервних задач розбиття множин на підмножини, що не перетинаються.

Здійснено огляд методів геометричного моделювання об'єктів та процесів щодо можливості їх застосування для розв'язання дискретно-неперервних задач розбиття множин на підмножини. Питанням формоутворення складних геометричних об'єктів присвячено величезну кількість наукових праць як вітчизняних, так і закордонних вчених. Але аналіз наявної літератури не виявив методів геометричного моделювання розбиття множин на підмножини, що не перетинаються, а також методів формоутворення геометричних об'єктів з одночасним урахуванням обмежень дискретного та континуального характеру.

Створенню методів розв'язання класу задач геометричного проектування, до якого відносяться задачі розміщення, покриття та розбиття геометричних об'єктів, присвячено велику кількість наукових праць Ю.Г. Стояна та його учнів. При цьому, було сформульовано основну задачу геометричного проектування, представлено в аналітичному вигляді обмеження в задачах розміщення та покриття, здійснено формалізацію поняття геометричної інформації стосовно певного геометричного об'єкту, розроблено методи розв'язання задач розміщення та покриття об'єктів різної фізичної природи і т. ін. Але задачі розбиття множин на підмножини як задачі геометричного проектування до теперішнього часу зовсім не досліджувалися. При цьому, незважаючи на досить великий арсенал методів геометричного проектування, застосувати їх для розв'язання класу задач розбиття неможливо, в силу наведених вище властивостей.

Розв'язанню класу неперервних задач розбиття множин на підмножини, що не перетинаються, присвячено велику кількість наукових праць О.М. Кисельової та її учнів. Так, створено єдиний підхід, що ґрунтується на використанні для розв'язання зазначеного класу задач різних варіантів _ алгоритмів, розроблених в Інституті кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України під керівництвом Н.З. Шора. Але зазначений підхід неможливо використати для розв'язання дискретно-неперервних задач розбиття множини на підмножини в силу, наприклад, наступних причин: не дозволяє одночасно врахувати дискретні та неперервні вимоги до формоутворення підмножин розбиття; для задач багатокритеріальної оптимізації можна отримати розв'язки лише по кожному критерію окремо.

Розглянуто також інші методи розв'язання як дискретних, так і неперервних задач раціонального розбиття множин на підмножини. Як правило, дані методи ґрунтуються на тріангуляції Делоне (рис. 1) та діаграмі Вороного (рис. 2.).

Таким чином, аналіз літературних джерел дозволив зробити висновок про те, що на теперішній час не існує методів, що враховували б особливості дискретно-неперервних задач розбиття множин на підмножини, тобто існуючі методи не дозволяють здійснити формоутворення геометричних об'єктів з урахуванням системи дискретних та неперервних (континуальних) вимог до розбиття. В зв'язку з цим, створення методів геометричного моделювання розбиття множин, на яких задано дискретні та неперервні характеристики, є доцільним і актуальним.

Другий розділ присвячено змістовним постановкам дискретно-неперервних задач розбиття множин на підмножини, зокрема задач, які характерні для територіального планування в сфері цивільного захисту.

Для цього, перш за все, було визначено основні параметри, що впливають на територіальний розподіл елементів системи цивільного захисту, а саме:

- час прибуття оперативних підрозділів елементів системи цивільного захисту до місця надзвичайної події;

- достатня кількість сил та засобів для ліквідації наслідків надзвичайних ситуацій різного характеру.

Що стосується таких параметрів, як вірогідність виходу із строю техніки, що повинна прибути до місця події, рівень підготовки персоналу і т. ін., то ці параметри характеризують повсякденне функціонування територіально розподілених елементів системи цивільного захисту і в даному дослідженні не розглядаються.

Для того, щоб визначити вплив вищенаведених основних параметрів на ефективність функціонування ЄСЦЗ в цілому, на основі теорії корисності було модифіковано підхід до побудови моделі функціонування системи цивільного захисту, причому у якості цільової функції розглядається узагальнений показник ефективності функціонування ЄСЦЗ:

де - кількість підсистем ЄСЦЗ 1-го рівня; - узагальнені показники ефективності діяльності підсистем 1-го рівня,.

Цільові функції діяльності підсистем 1-го рівня записано наступним чином:

де - узагальнені показники ефективності функціонування підсистем ЄСЦЗ 2-го рівня; - кількість підсистем ЄСЦЗ 2-го рівня.

Кожен з показників ефективності є цільовою функцією діяльності відповідної підсистеми ЄСЦЗ 2-го рівня. Якщо, наприклад, розглянути підсистему ліквідації наслідків надзвичайних ситуацій, то для обчислення показника ефективності даної підсистеми використовуються наступні вирази:

_ показник загибелі населення; _ показник матеріальних збитків;

Тут - це тип територіально розподілених елементів системи цивільного захисту (пожежно-рятувальні підрозділи, станції швидкої допомоги тощо); - кількість підрозділів -го типу; - максимальний час реагування -го підрозділу -го типу на надзвичайні ситуації різного характеру; - заданий час реагування підрозділів -го типу на надзвичайні ситуації різного характеру; - наявна кількість основних рятувальних засобів в -му підрозділі -го типу; - необхідна кількість основних рятувальних засобів в підрозділах -го типу.

Надалі було запропоновано в якості геометричних моделей множини та підмножин розбиття (територій, що підлягають захисту, та районів функціонування елементів системи цивільного захисту) розглядати ц-об'єкти, що введені в роботах Ю.Г. Стояна, і які являють собою канонічно замкнені або канонічно відкриті не порожні множини, причому внутрішність та замикання даних множин мають однаковий гомотопічний тип.

Для однозначного визначення будь-якого ц-об'єкта (геометричного об'єкта) у відповідному просторі використовується поняття геометричної інформації:

Компоненти геометричної інформації наступні: - форма геометричного об'єкта (коло, еліпс, багатокутник і т. ін.); - метричні характеристики геометричного об'єкта; - параметри розміщення, що характеризують положення власної (локальної) системи координат геометричних об'єктів відносно глобальної системи координат. Початок власної системи координат являє собою полюс ц-об'єкта. Так, для багатокутника (рис. 3) геометрична інформація записується наступним чином:.

В задачах розбиття, на відміну від інших задач геометричного проектування, метричні характеристики множин та підмножин розбиття мають наступні складові: - це, наприклад, координати вершин багатокутників в локальній системі координат, радіус кола і т. ін.; - це параметри дискретних та неперервних характеристик відповідної множини (підмножини) розбиття.

Слід зауважити, що компонента геометричної інформації являє собою параметри положення, а форма та метричні характеристики є аналогом параметрів форми. При цьому кількість параметрів геометричної інформації перевищує параметричне число відповідного геометричного об'єкта, наприклад, у просторі. Інакше кажучи, кількість параметрів, що складають геометричну інформацію про ц _ об'єкт, є надлишковою, але геометрична інформація у вигляді (5) використовується при розв'язанні класу задач геометричного проектування, до якого відносяться задачі розбиття множин на підмножини.

Як і будь які задачі геометричного проектування, дискретно-неперервні задачі розбиття множин на підмножини полягають у оптимізаційному перетворенні геометричної інформації (5), яка характеризує множину розбиття (територію, що підлягає захисту). При цьому відбувається побудова геометричних моделей підмножин розбиття, які являють собою ц _ об'єкти і задаються відповідною геометричною інформацією.

Розглянемо, яким чином відбувається оптимізаційне перетворення геометричної інформації в дискретно-неперервних задачах розбиття множини на підмножини, більш докладніше.

Нехай інформація утворює точкову множину у просторі, а інформація - точкову множину у просторі. Тоді, відображення вигляду являє собою задачу геометричного проектування, причому - оператор оптимізаційного перетворення геометричної інформації.

В задачах розбиття множини на підмножини, на відміну від задач розміщення та покриття геометричних об'єктів (в даних задачах відомі форми та метричні характеристики геометричних об'єктів), необхідно визначити як форму, так і метричні характеристики підмножин розбиття.

Приклад 1. Нехай у просторі задано множину. Необхідно розбити дану множину на підмножини таким чином, щоб кількість підмножин дорівнювала, підмножини не перетиналися та будь яка точка множини повинна належати певній підмножині,.

Компоненти геометричної інформації в даному прикладі визначаються наступними елементами:

де та - форма та метричні характеристики множини розбиття.

Інформація утворює простір, з елементами:

Тут - кількість метричних характеристик.

Здійснимо оптимізаційне перетворення інформації наступним чином:

де _ певна теоретико-множинна операція та - відповідно форми та метричні характеристики підмножин розбиття

В результаті отримуємо інформацію, тобто синтезується певна геометрична структура (рис. 4) при різних значеннях. Тут - кількість метричних характеристик.

Таким чином, задача розбиття множини на підмножини, являє собою визначення такого оптимізаційного перетворення вигляду (6), при якому:

Вирази (7)ч(9) являють собою вимогу розбиття і є, відповідно, умовами належності підмножин множині розбиття, розбиття всієї множини та неперетинання підмножин.

Аналіз особливостей дискретно-неперервних задач розбиття множин на підмножини зумовив вдосконалення класифікації задач раціонального розбиття множин, яка до теперішнього часу не враховувала зазначений клас задач, що є найбільш загальним і до теперішнього часу не досліджувався. Для цього були сформульовані наступні визначення.

Визначення 1. Регулярною задачею розбиття називається така, в якій певна множина розбивається на підмножини геометричними об'єктами з фіксованою формою, причому метричні характеристики даних об'єктів змінюються за наперед заданим законом.

Визначення 2. Нерегулярною задачею розбиття називається така, в якій певна множина розбивається на підмножини геометричними об'єктами з довільними формами та метричними характеристиками.

В роботі здійснено класифікацію задач розбиття як за множинами розбиття та їх характеристиками, так і за геометричними моделями підмножин розбиття.

Таким чином, визначення основних параметрів, що впливають на територіальний розподіл елементів системи цивільного захисту, і представлення геометричних моделей територій, що підлягають захисту, та районів функціонування територіально розподілених елементів системи цивільного захисту за допомогою геометричної інформації у вигляді (5), дозволили здійснити змістовну постановку дискретно-неперервної задачі розбиття множин на підмножини.

Нехай задано множину розбиття у просторі, що являє собою ц-об'єкт і може бути однозв'язною, багатозв'язною або незв'язною. Дана множина має як дискретні, ( _ кількість дискретних характеристик множини розбиття), так і неперервні (континуальні) характеристики, ( _ кількість неперервних характеристик множини розбиття). Необхідно розбити задану множину на підмножини, таким чином, щоб цільова функція досягала екстремуму та виконувалися додаткові вимоги розбиття.

Інакше кажучи:

з урахуванням обмежень (7)ч(9) та додаткових вимог розбиття (наприклад, пов'язаних з основними параметрами, що характеризують територіальне планування в сфері цивільного захисту). Тут та - форми та метричні характеристики підмножин розбиття.

Третій розділ присвячено побудові загальної моделі раціонального розбиття множини, на якій задано дискретні та неперервні характеристики, на підмножини у просторі та дослідженню її особливостей.

В зв'язку з тим, що на теперішній час відсутній апарат для формалізації обмежень в дискретно-неперервних задачах розбиття множин на підмножини, який дозволив би врахувати змінні форми та метричні характеристики підмножин розбиття, в роботі було введено клас спеціальних функцій та досліджено його особливості. Так, для дискретних та неперервних характеристик множини розбиття спеціальні функції мають наступний вигляд:

задані значення -тої дискретної та -тої неперервної характеристик; _ площа підмножини розбиття.

У частковому випадку спеціальну функцію можна записати наступним чином:

Досліджено особливості введеного класу спеціальних функцій та доведено наступні твердження.

Твердження 1. Значення _ функції не залежить від вибору полюсу _ об'єкта (підмножини).

Твердження 2. Якщо на множині розбиття задано лише неперервні характеристики, то _ функція є неперервною в області визначеності.

Твердження 3. - функція є обмеженою в області визначеності.

Сформульовано властивості введеного класу спеціальних функцій, зокрема характеристичну властивість _ функції.

Властивість 1. Характеристична властивість - функції (на прикладі виразу (13)):

За допомогою введеного класу функцій було створено єдиний підхід до формалізації обмежень в задачах розбиття множин на підмножини.

Умову належності підмножин множині розбиття записано наступним чином:

Необхідно відзначити, що - функція обчислення площі точкової множини. Графічне уявлення даної вимоги має наступний вигляд:

На рис. 8 а) наведено випадок, коли …, і навпаки, на рис. 8 б) наведено випадок, коли …..

Умова розбиття всієї множини має наступний вигляд:

Графічне уявлення даної вимоги наведено на рис. 9. Так, на рис. 9 а) наведено приклад виконання вимоги (15), в той час як на рис. 9 б) - приклад невиконання даної вимоги.

Умову взаємного неперетину підмножин записано наступним чином:

Графічне уявлення даної вимоги має наступний вигляд:

На рис. 10 а) наведено випадок, коли підмножини перетинаються. На рис. 10 б) наведено приклад виконання вимоги взаємного неперетину підмножин.

Нехай додаткова умова розбиття має наступний вигляд:

Тоді геометрична інтерпретація обмеження (17) має вигляд, наведений на рис. 11, 12.

В роботі показано зв'язок між задачами розбиття, розміщення та покриття геометричних об'єктів, що належать до класу задач геометричного проектування. При цьому обмеження, що пов'язані з розміщенням та покриттям геометричних об'єктів, також формалізовано за допомогою класу спеціальних функцій.

Таким чином, створення єдиного підходу до формалізації обмежень дозволило побудувати загальну математичну модель раціонального розбиття множини на підмножини, причому цільова функція має вигляд (10), а обмеження - вигляд (14)ч(17).

В роботі досліджено особливості математичної моделі (10), (14)ч(17) та вперше побудовано області припустимих рішень (варіативні області) для всіх задач, зазначених в класифікації. Принцип побудови областей припустимих рішень з використанням класу спеціальних функцій наведемо на наступному прикладі.

Приклад 2. Нехай задано множину розбиття у вигляді прямокутника зі сторонами , з яким пов'язана глобальна система координат (рис. 13). Необхідно розбити задану множину на 2 прямокутника (підмножини), що задані в глобальній системі координат, при цьому додаткові умови розбиття мають наступний вигляд:

Область припустимих рішень для умови (14), що являє собою вимогу належності відповідних підмножин множині розбиття, має вигляд паралелепіпеду, наведеного на рис. 14. При додаванні до умови (14) обмеження (15), що являє собою вимогу розбиття всієї множини, та обмеження (16) - умова неперетинання підмножин, область припустимих рішень являє собою відрізки (рис. 15).

Додаванню обмежень (18)ч(19) до умов (14)ч(16) відповідає область припустимих рішень, що являє собою точки(рис. 16).

Нехай обмеження (18) та (19) мають наступний вигляд:

Тоді область припустимих рішень матиме вигляд відрізків (рис. 17).

В загальному випадку області припустимих рішень є обмеженими, незв'язними та являють собою багатовиди у просторі ( - кількість підмножин розбиття, - кількість метричних характеристик -тої підмножини розбиття).

Таким чином, сформульована загальна математична модель та побудовані області припустимих рішень дозволили розробити обґрунтовані методи геометричного моделювання нерегулярного та регулярного раціонального розбиття множин на підмножини, що не перетинаються.

Четвертий розділ присвячено методам геометричного моделювання нерегулярного раціонального розбиття множин з кусочно-лінійною границею, на яких задано дискретні та неперервні характеристики, на підмножини.

В дискретно-неперервних задачах розбиття множин на підмножини, що характерні для територіального планування в сфері цивільного захисту, як правило, використовується наступна цільова функція:

за умови обмежень (14)ч(17). Тут - кількість підмножин розбиття; та форми та метричні характеристики підмножин розбиття.

Оскільки цільову функцію (22), що являє собою мінімум підмножин розбиття, неможливо записати в аналітичному вигляді, то застосування класичних методів оптимізації для розв'язання класу задач (14)ч(17), (22) є неможливим. Ускладнює розв'язання даних задач наявність системи нелінійних, кусочно-лінійних та дискретних обмежень (14)ч(17). В зв'язку з цим, єдине, чим можна оперувати при розробці методів розв'язання даного класу задач, це геометричні властивості множини розбиття та її дискретних і неперервних характеристик, а також геометричні властивості областей припустимих рішень.

Розглянемо метод нерегулярного раціонального розбиття однозв'язної множини на підмножини багатокутниками зі змінними метричними характеристиками (рис. 18).

Даний метод відноситься до методів комбінаторної оптимізації і являє собою модифікований метод гілок та границь. Для перебору припустимих варіантів розбиття використовується дерево рішень (перебір точок варіативних областей), що побудоване з урахуванням геометричних властивостей області припустимих рішень та множини розбиття (рис. 19).

Необхідно зазначити, що наведене на рис. 19 дерево рішень є «динамічним», тобто побудова кожного наступного рівня відбувається з урахуванням того, який елемент обрано на попередньому. Наприклад, нехай для побудови підмножини обрано елемент. Тоді рівень дерева рішень, що відповідає формоутворенню підмножини, будується з урахуванням геометрії множини, і т.д. Процес формування рівнів дерева рішень, наведеного на рис. 19, відбувається до тих пір, доки не будуть виконані обмеження задачі (14)ч(17).

В роботі отримано оцінку складності розробленого методу геометричного моделювання нерегулярного розбиття однозв'язної множини на підмножини багатокутниками зі змінними метричними характеристиками. Тут під «складністю» йдеться про кількість гілок (варіантів розбиття заданої множини), що необхідно проаналізувати для отримання раціонального розв'язку задачі.

Для отримання оцінки складності розглянемо рівень дерева рішень, що відповідає побудові підмножини. Так, на цьому рівні записано можливі сполучення номерів сторін, що необхідно для визначення всіх можливих варіантів побудови підмножини. Кількість елементів виду дорівнює кількості вершин багатокутника. Кількість елементів виду, дорівнює - і т.д. Таким чином, перший рівень дерева рішень містить елементів. Позначимо кількість сторін множини. Тоді кількість елементів другого рівня дерева рішень, що відповідають певному обраному елементу на першому рівні, дорівнює. Аналогічно можна визначити кількість елементів на інших рівнях дерева рішень.

Таким чином, кількість гілок дерева рішень (рис. 19), що необхідно проаналізувати при побудові підмножин, дорівнює:

Перебір всіх гілок дерева рішень (рис. 19) дозволяє побудувати раціональну кількість підмножин розбиття. Для того, щоб не аналізувати безперспективні гілки дерева рішень (не забезпечують побудову припустимих варіантів розбиття заданої множини), використовуються правила відтинання.

В роботі також розроблено методи геометричного моделювання нерегулярного раціонального розбиття множин на підмножини:

а) багатокутниками зі змінними метричними характеристиками для випадків розбиття багатозв'язної та незв'язної множини (рис. 20, 21);

Наведено оцінки складності зазначених методів та приклади правил відтинання.

Розроблені методи геометричного моделювання нерегулярного раціонального розбиття множин на підмножини можуть використовуватися в якості основи для розробки методів розв'язання практичних задач, що було підтверджено створенням методів розв'язання задач, характерних для територіального планування в сфері цивільного захисту.

Слід зауважити, що практичні задачі, які можуть бути зведеними до класу задач розбиття, мають, як правило, велику розмірність, тобто характеризуються великою кількістю підмножин розбиття. На рис. 25 наведено графік залежності оцінки (23) від кількості підмножин розбиття (при цьому множина розбиття - чотирикутник). Очевидно, що при кількість варіантів розбиття, що підлягають аналізу, перевищує . Таким чином, для розв'язання практичних задач було створено методи послідовного поодинокого розбиття, що базуються на створених методах геометричного моделювання. Інакше кажучи, здійснюється перебір всіх елементів, наприклад, на 1-му рівні дерева рішень, наведеного на рис. 19, та відбувається побудова геометричних моделей підмножини , що задовольняє обмеженням (14)ч(17). Після того, як обрано раціональний варіант , здійснюється побудова множини . Надалі, використовуючи геометричні властивості множини , відбувається процес формоутворення підмножини і т.д. Тобто на відміну від методів, що забезпечують повний аналіз варіантів побудови підмножин розбиття, кожен наступний рівень дерева рішень формується лише один раз, в залежності від обраного раціонального варіанту побудови відповідної підмножини на попередньому рівні. В цьому випадку залежність кількості варіантів розбиття , що підлягають аналізу, від кількості підмножин (при цьому множина розбиття - чотирикутник) буде лінійною (рис. 26).

Розроблені методи послідовного поодинокого розбиття було використано для розв'язання таких задач, що характерні при територіальному плануванні в сфері цивільного захисту, як раціональне розбиття територій на райони функціонування захисних споруд, станцій швидкої допомоги, пожежно-рятувальних підрозділів. Особливістю використання методу послідовного поодинокого розбиття для розв'язання задач раціонального розбиття територій на райони функціонування станцій швидкої допомоги та пожежно-рятувальних підрозділів є те, що на рівнях дерев рішень здійснюється перебір дискретних елементів (сітка доріг) із побудовою неопуклих оболонок для підмножин розбиття.

П'ятий розділ присвячено методам геометричного моделювання регулярного раціонального розбиття множин з кусочно-лінійною границею, на яких задано дискретні та неперервні характеристики, на підмножини з урахуванням цільових функцій виду (22).

Так, створено метод геометричного моделювання раціонального розбиття множин регулярною сіткою (рис. 27). Даний метод розв'язання відноситься до комбінаторних, в зв'язку з кінцевою кількістю прямих, що утворюють регулярну сітку, і являє собою модифікований метод гілок та границь.

Отримано оцінку складності розробленого методу геометричного моделювання. Так, при розбитті заданої множини на підмножин існує наступна кількість варіантів розбиття:

де - кількість дерев рішень, що необхідно побудувати для аналізу всіх можливих варіантів розбиття заданої множини на підмножин; - наступна функція:

Для зменшення кількості варіантів розбиття, що підлягають аналізу, використовується набір правил відтинання. Необхідно зазначити, що у якості правил відтинання, як правило, використовуються обмеження задачі.

Також в роботі наведено методи геометричного моделювання регулярного раціонального розбиття множин багатокутниками із заданими метричними характеристиками. При цьому виділено наступні випадки:

1. Форми багатокутників співпадають (прямокутник, гексагон тощо), метричні характеристики є фіксованими (відносно локальної системи координат, пов'язаної з полюсом багатокутника), параметри розміщення багатокутників змінюються за заданим законом (рис. 28).

2. Форми багатокутників співпадають, метричні характеристики одночасно всіх багатокутників змінюються за заданим (однаковим для всіх багатокутників) законом (відносно локальної системи координат), параметри розміщення багатокутників змінюються за заданим законом (рис. 29).

3. Форми багатокутників співпадають, метричні характеристики всіх багатокутників змінюються за заданим законом (відносно локальної системи координат), параметри розміщення багатокутників змінюються за заданим законом (рис. 30).

Слід відмітити, що для кожного з наведених випадків отримано оцінку кількості варіантів розбиття, що підлягають аналізу, та наведено приклади правил відтинання.

Розроблені методи геометричного моделювання регулярного раціонального розбиття множин на підмножини можуть використовуватися в якості основи для розробки методів розв'язання практичних задач, що було підтверджено створенням методу розв'язання задачі раціонального розбиття територій на райони функціонування датчиків моніторингу довкілля (постів контролю).

Шостий розділ присвячено геометричному та комп'ютерному моделюванню раціонального розбиття множин на підмножини на прикладах наступних задач:

1. Раціональне розбиття територій на райони функціонування датчиків моніторингу довкілля (постів контролю).

У якості вхідної інформації розглядалася наступна:

- геометрична інформація стосовно території, що підлягає захисту (багатокутник, що задається координатами вершин в глобальній системі координат; напрямок обходу вершин - проти годинникової стрілки);

- геометрична інформація стосовно областей заборони , (задається аналогічно території, що підлягає захисту);

- кількість та місця розташування джерел забруднення в глобальній системі координат, (джерела забруднення точкові та стаціонарні);

- поля та вид забруднення (континуальні або дискретні);

- основні технічні характеристики датчиків (поріг спрацьовування, похибка вимірювання);

- напрямок вітру.

Результат комп'ютерного моделювання зображено на рис. 31. Розбиття заданої множини здійснюється регулярною сіткою (для цього є свої підстави, а саме, регулярна сітка ефективна з обчислювального боку, легко може бути інтегрованою до сучасних геоінформаційних систем і т.д.), при цьому сітку орієнтовано так, щоб вісь абсцис глобальної системи координат співпадала з найбільш вірогідним для певної місцевості напрямком вітру.

На рис. 32 наведено моделювання поля забруднення, що отримано по даних від датчиків, які розташовані у вузлах регулярної сітки.

Для побудови поля забруднення використовувалася лінійна інтерполяція в межах комірки регулярної сітки датчиків. Використання лінійної інтерполяції обумовлено необхідністю обробки інформації, що надходить від датчиків, у найкоротший термін, та у зв'язку із великою похибкою вимірів сучасних датчиків (наприклад, похибка вимірювання датчиків радіаційного контролю становить ).

...