Фрактальні розподіли ймовірностей і перетворення, що зберігають розмірність Хаусдорфа-Безиковича

Размещено на http://allbest.ru

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук

Фрактальні розподіли ймовірностей і перетворення, що зберігають розмірність Хаусдорфа-Безиковича

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

сингулярний теорема оператор

Актуальність теми. Як відомо, довільна ймовірнісна міра d може бути представлена у вигляді опуклої комбінації дискретної, абсолютно неперервної та сингулярно неперервної (відносно міри Лебега) ймовірнісних мір. Сімейство сингулярно неперервних мір вивчене значно слабше за два інші вищезгадані сімейства. Серед основних причин такого стану речей можна виділити як методологічні (широко розповсюджену думку про те, що сингулярні міри цікаві виключно з теоретичної точки зору і дуже рідко з'являються "на практиці"), так і технічні (нерозробленість методів дослідження таких мір).

Варто відзначити, що інтерес до вивчення властивостей сингулярно неперервних імовірнісних мір (СНІМ) то дещо згасав, то відновлювався протягом всього XX століття. Значне зростання активності в дослідженні СНІМ пов'язане з так званим “фрактальним бумом”, що розпочався в науці в 80-х роках XX століття та бурхливим розвитком теорії динамічних систем. Відзначимо також, що під кінець XX-го століття відбулося певне переусвідомлення ролі і значення сингулярно неперервних мір. З'ясувалося, зокрема, що сингулярність є домінуючою для багатьох класів випадкових величин. Крім того, T.Zamfirescu довів, що майже всі (у топологічному розумінні) неперервні монотонні функції є сингулярними, оскільки множина сингулярно неперервних монотонних функцій є множиною другої категорії Бера у метричному просторі всіх неперервних монотонних функцій із супремум-метрикою.

Протягом останнього десятиліття проводяться досить інтенсивні дослідження із загальної теорії СНІМ та методів встановлення сингулярності, створення нових методів фрактального та мультифрактального аналізу та їх реалізація в певних класах СНІМ, класифікації сингулярних мір, згорток сингулярних мір та узагальнень нескінченних згорток Бернуллі. Значна кількість робіт присвячена створенню індивідуальної теорії певних класів сингулярних мір та дослідженню їх властивостей. Варто відзначити, що нетривіальні складнощі на цьому шляху виникають навіть для класів самоподібних та самоафінних мір. Вищезгадані дослідження та їх застосування пов'язані як з іменами вітчизняних математиків (М. Працьовитий, О. Барановський, Я. Виннишин, Я. Гончаренко, О. Константинов, В. Королюк, В. Кошманенко, Д. Кюрчев, О. Лещинський, А. Литвинюк, М. Маламуд, Р. Нікіфоров, Г. Торбін, О. Школьний), так із широким колом закордонних математиків (K. Dajani, D. Damanik, M. Das, K. Falconer, D. Feng, M. Iosifescu, S. Jitomirskaya, Yu. Kifer, R. Killip, A. Kiselev, C. Kraaikamp, D. Krutikov, N. Makarov, Yu. Peres, R. del Rio, Ch. Remling, E. Olivier, L. Olsen, W. Schlag, B. Simon, K. Simon, B. Solomyak, B. Weiss).

Відзначимо також, що стереотип про “практичну незастосовність” сингулярно неперервних мір поступово зникає. Сучасні дослідження зі спектральної теорії самоспряжених операторів демонструють, що чисто сингулярно неперервний спектр виникає для багатьох класів різницевих та диференціальних операторів і дослідження властивостей (у тому числі фрактальних) відповідних сингулярно неперервних спектральних мір відіграє важливу роль в аналізі динамічних властивостей відповідних квантових систем.

Застосування властивостей СНІМ в метричній та розмірнісній теорії чисел, в теорії динамічних систем та у фрактальній геометрії забезпечують додаткову мотивацію інтенсивних досліджень сингулярно неперервних ймовірнісних мір.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана у рамках досліджень математичних об'єктів зі складною локальною будовою, що проводяться у відділі фрактального аналізу Інституту математики НАН України та на кафедрі вищої математики Національного педагогічного університету імені М.П. Драгоманова. Автор дисертації брав участь у створенні та реалізації таких наукових проектів:

*держбюджетних тем «Дослідження фрактальних об'єктів алгебри, геометрії, функціонального аналізу і теорії ймовірностей» (номер держ. реєстрації 0104U004017) та «Фрактальна геометрія і її місце в професійній підготовці вчителя» (номер держ. реєстрації 0101U002748);

*наукового проекту «Топологічні та метричні характеристики атракторів динамічних систем, що породжуються еволюційними задачами» (грант Державного фонду фундаментальних досліджень Міністерства освіти і науки України, проект № 01.07/00081);

*українсько-німецького наукового проекту «Singular probability distributions via fractal approach and their applications» ( DFG 436 UKR 113/53).

*загальноєвропейського наукового проекту INTAS 00-257 «Spectral problems for Schrodinger-type operators: noncommutative analysis, coherent transform, averaging, semiclassical approximation and complex geometry».

*українсько-німецького наукового проекту «Structure of spectral measures and singular continuous spectra of Schrцdinger type operators» ( DFG 436 UKR 113/78).

*українсько-німецького наукового проекту «Singular probability distributions and transformations preserving the fractal dimensions» ( DFG 436 UKR 113/80).

Мета і завдання дослідження. Основними завданнями дисертаційного дослідження є:

1. розвиток існуючих та створення нових методів встановлення чистоти, сингулярності та абсолютної неперервності ймовірнісних розподілів; застосування цих методів для дослідження структури розподілів спеціальних класів випадкових величин;

2. створення теорії і методології багаторівневого фрактального аналізу (БРФА) СНІМ;

3. здійснення спектральної та мультифрактальної класифікації СНІМ;

4. дослідження топологічних, метричних, спектральних, фрактальних та мультифрактальних властивостей класів ймовірнісних мір, що, зокрема, породжені розподілами випадкових величин типу Джессена-Вінтнера;

5. розвиток метричної та ергодичної теорії -представлень і представлень Остроградського дійсних чисел та їх застосування до дослідження класів ймовірнісних розподілів та символьних динамічних систем, що пов'язані з даними представленнями;

6. створення загальної теорії перетворень, що зберігають розмірність Хаусдорфа-Безиковича (DP-перетворень) і на цій основі розвиток нових методів обчислення фрактальних розмірностей та розвиток групового підходу до фрактальної геометрії;

7. застосування методів БРФА СНІМ до дослідження клісів неперервних DP-перетворень;

8. застосування методів БРФА СНІМ в теорії чисел;

9. застосування методів БРФА СНІМ в спектральній теорії самоспряжених операторів.

Методи дослідження. В роботі використовувались методи власне теорії ймовірностей, теорії динамічних систем, загальної теорії міри, теорії чисел, теорії функцій дійсної та комплексної змінної, методи інтегральних перетворень, ергодичної теорії, розроблені автором конструктивні прийоми та методи багаторівневого фрактального аналізу.

Наукова новизна одержаних результатів. Основними науковими результатами, що виносяться на захист, є наступні:

*створено теоретичні основи та обгрунтовано методи БРФА СНІМ;

*знайдено загальні необхідні і достатні умови абсолютної неперервності і сингулярності ймовірнісних розподілів в термінах суттєвих носіїв щільності;

*знайдено умови збереження чистоти та взаємної сингулярності пар ймовірнісних мір при нелінійних відображеннях;

*запропоновано спектральну класифiкацiю одновимiрних та багатовимірних СНІМ та доведено теореми про структурне представлення таких мір;

*здійснено мультифрактальну класифiкацiю СНІМ та доведено теореми про канонічне представлення таких мір;

*повністю поглиблено теорему Джессена-Вінтнера в класі випадкових величин з незалежними -символами та їх узагальнень; проведено БРФА СНІМ з цього класу;

*повністю розв'язана задача про лебегівську структуру узагальнених нескiнченних згорток Бернуллi першого роду ("без перекриттів"), показано, що в даному класі ймовірнісних мір сингулярність є домінуючою; проведено БРФА СНІМ з цього класу;

*розв'язана задача про лебегівську структуру узагальнених нескiнченних згорток Бернуллi другого роду ("з перекриттями") з певних класів; досліджено метричні, топологічні та фрактальні властивості спектрів таких мір, досліджено тонкі мультифрактальні властивостi мір;

*досліджено ергодичні властивості представлень дійсних чисел за допомогою рядів Остроградського першого виду; знайдено умови нуль-мірності (додатності міри) замкнених ніде не щільних множин чисел, заданих умовами на елементи їх розвинення в ряд Остроградського 1-го виду.

*досліджено структуру випадкових величин з незалежними рiзницями ряду Остроградського 1 виду, зокрема, доведено, що відповідні міри або чисто дискретні, або чисто сингулярно неперервні; вивчено топологічні, метричні та фрактальні властивості СНІМ з даного класу;

*вивчено властивості символьної динамічної системи, породженої перетвореннм T одностороннього зсуву по різницевому представленню Остроградського 1-го виду; зокрема, доведено, що не існує ймовірнісних мір, які були б інваріантними і ергодичними відносно T і абсолютно неперервними відносно міри Лебега;

*закладено основи теорії перетворень, що зберігають розмірність Хаусдорфа-Безиковича (DP-перетворень); запропоновано і обгрунтовано груповий погляд на фрактальну геометрiю; запропоновано і застосовано нові методи обчислення розмірності Хаусдорфа-Безиковича;

*досліджено клас неперервних DP_перетворень простору ; на основі запропонованого автором ймовiрнiсного пiдходу до вивчення DP_перетворень дослiджено класи перетворень, що породжені розподілами випадкових величин з незалежними s-адичними цифрами, Q-символами та класів нескінченних згорток Бернуллі;

*на основі розроблених методів БРФА знайдено загальні необхідні умови і достатні умови збереження розмірності Хаусдорфа-Безиковича; в класах перетворень, які індуковані випадковими величинами з незалежними s-адичними цифрами, Q-символами знайдено критеріїї збереження розмірності; знайдено зв'язок між ентропією ймовірнісного розподілу, його розмірністю Хаусдорфа-Безиковича та належністю відповідної функції розподілу до DP-класу.

*застосовуючи методи БРФА СНІМ, досліджено топологічні, метричні та фрактальнi властивостi підмножин анормальних дійсних чисел, завершено класифікацію дійсних чисел за асимптотичними властивостями частот їх цифр в s-адичній системі числення; доведено, що множина суттєво анормальних дійсних чисел є всюди щільною суперфрактальною множиною;

*досліджено топологічні, метричні та фрактальнi властивостi підмножин анормальних дійсних чисел, заданих в системах числення з нескінченним алфавітом; доведено, що множина -суттєво анормальних дійсних чисел є всюди щільною суперфрактальною множиною;

*досліджено залежність топологічних, метричних та фрактальних властивостей квазінормальних, частково анормальних та суттєво анормальних дійсних чисел від вибраного способу представлення (системи числення); вивчено властивості с_нормальних та с_анормальних чисел;

*здійснено тонку спектральну та мультифрактальну класифікації самоспряжених операторів з сингулярно неперервним спектром.

Практичне значення одержаних результатів. Робота носить в основному теоретичний характер. Розвинені в дисертації методи БРФА СНІМ становлять самостійний науковий інтерес, оскільки можуть бути застосованими для широкого класу математичних об'єктів зі складною локальною структурою. Досліджені в дисертації класи розподілів випадкових величин збагачують загальну теорію розподілів ймовірностей і демонструють ефективність розроблених автором методів БРФА мір. Розвинені в дисертації методи дослідження перетворень простору, що зберігають розмірність Хаусдорфа-Безиковича, закладають нові напрямки досліджень з фрактальної геометрії і є базою для створення аксіоматичного підходу до неї.

Отримані в роботі ймовірнісні результати і методи мають високий потенціал застосовності в суміжних розділах математики, про що свідчать, зокрема, запропоновані в дисертації застосування в теорії чисел, спектральній теорії самоспряжених операторів, теорії динамічних систем та власне у фрактальній геометрії. Вони також можуть бути використані в дослідженнях з теорії функцій, теорії випадкових процесів, математичної фізики, теорії перколяції тощо, які ведуться сьогодні в наукових математичних центрах України та за її межами, зокрема, в Інституті математики НАН України, Інституті прикладної математики і механіки НАН України, Національному університеті імені Тараса Шевченка, Національному педагогічному університеті імені М.Драгоманова, Національному технічному університеті України «КПІ», Боннському університеті, математичному інституті імені Ф.Хаусдорфа (Бонн, Німеччина), Інституті Макса Планка (MPIM, Бонн, Німеччина), університеті м. Білефельд (Німеччина), IZKS (Бонн, Німеччина), університеті м. Utrecht (Голландія), технічному університеті м. Delft (Голландія), університеті м. St.Andrews (Шотландія) тощо.

Започатковані в роботі дослідження породжують низку нових напрямів і цікавих задач, які можуть стати темами дисертаційних досліджень, магістерських, дипломних та курсових робіт. Частина розділів та підрозділів дисертації може слугувати основою для читання спецкурсів аспірантам та студентам старших курсів.

Особистий внесок здобувача. Основні результати, що виносяться на захист, отримані автором самостійно. Зі статей, опублікованих у співавторстві, до дисертації включені лише ті результати, що належать автору.

Апробація результатів дисертації. Всі основні результати дисертації доповідалися на наукових конференціях різного рівня та наукових семінарах. Зокрема, результати дисертаційного дослідження доповідались на наступних конференціях:

*Workshop W1 “Stochastic Processes and Algorithms”, Bonn, Hausdorff Research Institute for Mathematics, September 2007.

*International Conference “Skorokhod's Spaces. 50 years later on”, Kyiv, June 2007.

*International Conference “Modern Stochastics: Theory and Applications”, Kyiv, June 2006.

*Workshop “Probabilistic methods in the theory of non-normal numbers”, Bonn, April 2006.

*Міжнародній науковій конференції ім. акад. М.Кравчука, Київ, Україна, 2000, 2002, 2004, 2006.

*International Conference “Modern Problems and New Trends in Probability Theory”, Chernivtsi, Ukraine, June 2005.

*Міжнародній конференції пам'яті В.Я. Буняковського, Київ, Україна, 2004.

*“5-th International Algebraic Conference”, Ukraine, Odessa, 2005.

*INTAS Conference “Spectral problems for Schrodinger-type operators II” , Berlin, Germany, November 2003.

*INTAS Conference “Spectral problems for Schrodinger-type operators I”, ICTP, Trieste, Italy, March 2003.

*International conference “Algebraic methods of discrete mathematics”, Section “Fractal and discrete systems”, Lugansk, Ukraine, September 2002.

*International Gnedenko conference, Kyiv, June 2002.

*First Ukrainian Mathematical Congress, Kyiv, August 2001.

Основні результати дисертаційної роботи також доповідались на засіданнях наступних наукових семінарів:

*відділу теорії випадкових процесів Інституту математики НАН України (керівники семінару: чл.-кор. НАН України докт. фіз.-мат. наук Портенко М.І., докт. фіз.-мат. наук Дороговцев А.А.);

*відділу фрактального аналізу (керівник семінару: докт. фіз.-мат. наук Працьовитий М.В.);

*кафедри теорії ймовірностей та математичної статистики КНУ імені Тараса Шевченка (керівники семінару: докт. фіз.-мат. наук Мішура Ю.С., докт. фіз.-мат. наук Козаченко Ю.В.);

*кафедри теорії ймовірностей та математичного аналізу Національного технічного університету “КПІ” (керівник семінару: докт. фіз.-мат. наук Булдигін В.В.);

*відділу теорії ймовірностей та математичної статистики Інституту прикладної математики та механіки НАН України (керівник семінару: докт. фіз.-мат. наук Махно С. Я.);

*“Исчисление Маллявена” (керівник семінару: докт. фіз.-мат. наук Дороговцев А.А.);

*відділу теорії динамічних систем (керівник семінару: академік НАН України доктор фіз. - мат. наук О.М. Шарковський);

*відділу математичної фізики (керівник семінару: доктор фіз.-мат. наук О.Ю. Ребенко);

*спільному семінарі відділу функціонального аналізу, відділу математичної фізики Інституту математики НАНУ та кафедри вищої математики НПУ імені М.П. Драгоманова “Фрактальний аналіз та оператори математичної фізики” (керівники семінару: академік НАН України доктор фіз.-мат. наук Ю.М. Березанський, чл.-кор. НАН України доктор фіз.-мат. наук Ю.С. Самойленко, доктори фіз.-мат. наук М.В. Працьовитий, В.Д. Кошманенко, О.Ю. Ребенко);

*“Number Theory Lunch Seminar”, Max Planck Institute for Mathematics, Bonn, (керівник семінару - директор MPIM, Prof. Dr D. Zagier);

*“Stochastics Colloquium”, Utrecht, (керівники семінару - Prof. Dr. A. Gnedin, Prof. Dr. K. Dajani);

*“Colloquium Kansrekening en Statistiek”, Delft (керівники семінару - Prof. Dr. M. Dekking, Prof. Dr. C. Kraaikamp) ;

*“Bielefeld Stochastics Afternoon”, BiBoS-AG Stochastische Analysis, (керівники семінару - Prof. Dr. Goetze, Prof. Dr. Yu. Kondratiev, Prof. Dr. M. Roeckner);

*“Oberseminar Stochastik”, Institut fьr Angewandte Mathematik, Bonn Universitдt, (керівник семінару: Prof. Dr. S. Albeverio).

Цикл наукових праць "Фрактальний аналіз сингулярних розподілів ймовірностей та перетворення, що зберігають розмірність Хаусдорфа_Безиковича" автора дисертації відзначений премією Президента України для молодих вчених за 2005 рік.

Публікації. Основні результати роботи викладено в 30 статтях 1-30 та додатково відображено в 15 препринтах та матеріалах міжнародних конференцій 31-45.

Структура дисертації. Робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел. Загальний обсяг дисертації становить 404 сторінки машинописного тексту. Список використаних джерел (683 найменування) та список публікацій автора займають 68 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовується актуальність теми, формулюється мета і завдання дослідження, проводиться огляд результатів з тематики дослідження та використаних методів, висвітлюються питання про наукову новизну, теоретичне і практичне значення, апробацію отриманих результатів та кількість публікацій.

Перший розділ "Багаторівневий фрактальний аналіз сингулярно неперервних імовірнісних мір" присвячений розвитку методів встановлення взаємної сингулярності ймовірнісних мір, їх класифікації, створенню теоретичних основ та обгрунтованню методів БРФА СНІМ.

У підрозділі 1.1. досліджується структура нескінченних добутків ймовірнісних мір. Для абстрактних ймовірнісних просторів (f,F,r) та (f,F,с) вивчаються проблеми збереження взаємної сингулярності та абсолютної неперервності ймовірнісних мір під дією вимірного відображення f: де міри та є образ-мірами, тобто З метою подальшого застосування при дослідженні ймовірнісних розподілів типу Джессена-Вінтнера вводиться наступне

Означення 1.1.2. Бівимірне відображення f називається -відображенням, якщо

Теорема 1.1.3. Якщо f є -відображенням, то

Теорема 1.1.4. Нехай (f,F,d) та (f,F,b) -- ймовірнісні простори, f є -відображенням з f в і міра є абсолютно неперервною відносно n-мірної міри Лебега . Тоді тоді і тільки тоді, коли d<<b.

Зокрема, якщо та , то при виконанні умов теореми тоді і тільки тоді, коли

Підрозділ 1.2 присвячений спектрально-фрактальному аналізу одновимiрних та багатовимірних сингулярно неперервних ймовiрнiсних мiр, їх класифікації та доведенню теорем про структурне представленн таких мір.

У пункті 1.2.1 вводяться наступні означення.

Означення 1.2.1. Сингулярно неперервна ймовірнісна міра d на називається мірою чистого GC-типу (узагальненого канторівського типу), якщо існує ніде не щільна множина E така, що і -- множина нульової міри Лебега.

Зауважимо, що спектр сингулярно неперервної міри чистого GC-типу може мати як нулеву, так і додатну міру Лебега.

Означення 1.2.2. Сингулярно неперервна ймовірнісна міра d називається мірою чистого GP-типу, якщо існує ніде не щільна множина E така, що і -- множина додатної міри Лебега.

Означення 1.2.3. Сингулярно неперервна ймовірнісна міра d називається мірою чистого GS-типу, якщо існує послідовність (неперекривних) відрізків таких, що і

У цьому ж пункті наводиться значна кількість прикладів СНІМ всіх вищенаведених типів і доводиться наступна

Теорема 1.2.1. Довільна сингулярно неперервна ймовірнісна міра d на може бути представлена у вигляді

(1.3)

де , , , ; , і -- сингулярно неперервні ймовірнісні міри GS-, GC- та GP-типу відповідно.

Пункт 1.2.2 присвячений узагальненню результатів пункту 1.2.1 на багатовимірний випадок.

Отже, на першому рівні аналізу СНІМ вивчаються метричні та топологічні властивості спектра і розклад міри в лінійну комбінацію простіших (у метричному і топологічному розумінні) мір. Цей рівень також включає визначення глобальної та локальної розмірностей Хаусдорфа-Безиковича спектра.

У підрозділі 1.3 здійснюється фрактальний аналіз носіїв щільності та суттєвих носіїв щільності СНІМ. Фрактальні властивості топологічного носія сингулярно неперервної міри d є адекватними характеристиками лише для «рівномірних» сингулярних розподілів канторівського типу. Більш тонко властивості розподілу в.в. k характеризує множина

яку називають носієм щільності розподілу в.в. k, та множина

(1.11)

яка називається суттєвим носієм щільності розподілу в.в. k.

Носій щільності та суттєвий носій щільності відображають локальні властивості сингулярно неперервної міри значно точніше, ніж спектр. Крім того, дослідженн носіїв щільності мір можна застосувати як для дослідження сингулярності (абсолютної неперервності), так і для отримання нижніх оцінок розмірностей Хаусдорфа -Безиковича спектрів.

Теорема 1.3.1. Для того щоб неперервно розподілена випадкова величина k мала сингулярний розподіл, необхідно і достатньо, щоб

(1.12)

Теорема 1.3.2. Для того щоб випадкова величина k мала абсолютно неперервний розподіл, необхідно і достатньо, щоб

(1.16)

На відміну від сингулярних, абсолютно неперервні функції завжди асоціюються з "гарними" диференціальними властивостями, що, до деякої міри, підтверджується теоремою . Але навіть для абсолютно неперервних випадкових величин множина може бути досить ”масивною” в смислі розмірності Хаусдорфа-Безиковича . Нехай

Теорема 1.3.3. Існують випадкові величини k, які мають абсолютно неперервний розподіл і разом з цим:

З іншого боку, для класичної сингулярної міри Кантора маємо Отже, звичайна похідна є «занадто чутливою», щоб бути повністю адекватним інструментом для характеризації «істотних» ознак СНІМ. Тому «фрактальна масивність» суттєвого носія щільності не відображає належним чином багато важливих властивостей міри.

В п. 1.4 обгрунтовано необхідність введення в розгляд і розвинено третій рівень фрактального аналізу сингулярно неперервних мір, який полягає у вивченні глобальних і локальних розмірностей Хаусдорфа мір та їх мінімальних розмірнісних носіїв.

Розмірність Хаусдорфа ймовірнісної міри d означається наступним чином:

де B -- борелівська a-алгебра підмножин, B(d) -- клас всеможливих борелівських носіїв ймовірнісної міри d, тобто B(d)={E: d(E)=1}.

Якщо d є дискретною, то . Якщо d є абсолютно неперервною, то . Для сингулярно неперервного випадку маємо . Визначення розмірності Хаусдорфа сингулярно неперервної ймовірнісної міри є зазвичай досить нетривіальною задачею навіть для самоподібних мір, але важливою не лише з точки зору чистої теорії міри, але також з точки зору можливих застосувань в теорії динамічних систем, фрактальній геометрії, спектральній теорії, теорії чисел .

Розмірність Хаусдорфа міри досить тонко характеризує глобальні властивості міри, але не відображає локальної поведінки міри в околі «легких точок» Отже, виникає необхідність введення в розгляд і вивчення властивостей локальної розмірності Хаусдорфа

міри d в точці x.

Лема 1.4.1. Для довільної міри d існує мінімальний розмірнісний носій , тобто такий носій, для якого

Третій рівень також включає дослідження сім'ї всіх мінімальних розмірнісних носіїв сингулярно неперервної міри, тобто сім'ї

і відшукання елементів з M(d) з додатковими струткурними властивостями.

У цьому ж пункті проаналізовано різні підходи до означення ймовірнісної міри точної розмірності Хаусдорфа і показано, що не всі вони еквівалентні між собою, але є еквівалентними до двох наступних означень.

Означення. Міра d називається мірою зовнішньо точної розмірності , якщо для довільної точки виконується умова:

Означення. Міра n називається мірою внутрішньо точної розмірності n, якщо для d-майже всіх x виконується умова

Теорема 1.4.3. Будь-яка міра d внутрішньо точної розмірності n є мірою зовнішньо точної розмірності n.

Наслідок 1.4.1. Якщо для міри d існує множина A така, що d(A)=1 i mxvA: , то множина A є мінімальним розмірнісним носієм міри d i .

Підрозділ 1.5 присвячений мультифрактальному аналізу сингулярно неперервних ймовірнісних мір і містить опис ймовірнісних розподілів за ”рівнем складності локальної будови”. Якщо міра d сингулярно неперервна і має внутрішньо точну розмірність n, то для d-майже всіх x. При цьому міру d називатимемо n-монофрактальною.

Найпростішими серед n-монофрактальних сингулярних мір є міри, для яких умова виконується для x-майже всіх точок топологічного носія. Прикладом такої міри може бути симетрична міра Кантора. Значно складніші і цікавіші для фізичних застосувань n-монофрактальні сингулярні міри, для яких множини мають фрактальну структуру для континуальної кількості значень параметра x. Прикладом таких мір можуть служити несиметричні канторівські міри та несиметричні салемівські міри. Основною проблемою у цьому випадку є дослідження функції , а основним методом дослідження є так званий ”мультифрактальний формалізм”.

Для класифікації сингулярних мір, які не є n-монофрактальними, вводиться в розгляд наступне поняття. Нехай d -- довільна СНІМ на 0,1. Розглянемо функцію дійсної змінної n: Очевидно, що при n?0; при n>1; є зростаючою функцією, яка неперервна зліва. Отже, -- функція розподілу, яка визначає на борелівських підмножинах одиничного відрізка ймовірнісну міру :

(1.24)

де -- характеристична функція множини E.

Міру називають характеристичною мультифрактальною мірою (х.м.м.) першого порядку для сингулярної міри d.

Означення. СНІМ d назвемо мірою з дискретним (абсолютно неперервним, сингулярно неперервним) мультифрактальним спектром, якщо х.м.м. є чисто дискретною мірою з більш ніж одним атомом (абсолютно неперерною, сингулярно неперервною).

Теорема 1.5.5. Довільна СНІМ d єдиним чином може бути представлена у виді

де , , -- попарно різні числа, , ; -- сингулярно неперервні монофрактальні міри, () -- СНІМ з абсолютно неперервним (сингулярним) мультифрактальним спектром.

Розділ 2 присвячений багаторівневому фрактальному аналізу випадкових величин типу Джессена-Вінтнера, тобто випадкових величин, що є сумами м.н. збіжних рядів незалежних дискретно розподілених випадкових величин та їх узагальнень.

У підрозділі 2.1 вивчаються розподіли випадкових величин з незалежними -символами, тобто випадкових величин виду

(2.4)

де -послідовність незалежних випадкових величин з наступними розподілами: , з , , які виступають в ролі символів -представлення. Якщо стохастична матриця , яка визначає -представлення, має однакову скінченну кількість елементів у кожному стовпчику, то говорять про -представлення. Якщо ж всі стовпчики матриці є нескінченними і рівними, то говорять про -представлення. Випадкова величина k може бути представлена як сума збіжного ряду дискретно розподілених випадкових величин, які, взагалі кажучи, не є незалежними. Незважаючи на це, має місце

Теорема 2.1.1. Випадкова величина k має розподіл чистого типу, причому

1) є чисто абсолютно неперервною тоді і тільки тоді, коли

(2.5)

2) є чисто дискретною тоді і тільки тоді, коли

(2.6)

3) є чисто сингулярно неперервною у всіх інших випадках.

Теорема 2.1.2. Сингулярно неперервно розподілена випадкова величина з незалежними - символами має чистий тополого-метричний тип.

1) має чистий GS-тип тоді і тільки тоді, коли матриця містить лише скінченну кількість стовпчиків, що містять нулеві елементи.

2) має чистий GC-тип тоді і тільки тоді, коли матриця містить нескінченну кількість стовпчиків, що містять нулеві елементи, і

(2.14)

3) має чистий GP-тип тоді і тільки тоді, коли матриця містить нескінченну кількість стовпчиків, що містять нулеві елементи і

(2.15)

Фрактальні властивості розподілів випадкових величин з незалежними символами вивчаються в п.2.1.3. Позначимо

Теорема 2.1.6. Якщо , то розмірність Хаусдорфа розподілу випадкової величини k з незалежними -знаками дорівнює

Нехай і

Теорема 2.1.7. Якщо , то розмірність Хаусдорфа-Безиковича спектра випадкової величини k з незалежними -символами дорівнює

де

В пункті 2.1.4 проаналізовано властивості деяких динамічних систем, для яких СНІМ з незалежними символами виступають в ролі інваріантних мір.

Пункт 2.1.5 присвячений розвитку методів доведення сингулярності ймовірнісних мір та дослідження їх фрактальних властивостей за допомогою методів ергодичної теорії динамічних систем та методів багаторівневого фрактального аналізу. У ньому вивчаються фрактальні властивості розподілів випадкових величин з незалежними однаково розподіленими символами.

Теорема 2.1.12. 1) Якщо , то k рівномірно розподілена на 0,1. В усіх інших випадках k сингулярно розподілена.

2) Якщо стохастичний вектор має скінченну ентропію, то міра є мірою точної розмірності Хаусдорфа і для довільної точки x спектра має місце рівність:



Підрозділ 2.2 присвячений знаходженню умов сингулярності та дослідженню тонких фрактальних властивостей нескінченних згорток Бернуллі, тобто ймовірнісних мір , що відповідають випадковим величинам

(2.31)

де -- збіжний знакододатний ряд; -- незалежні випадкові величини, які приймають значення 0 та 1 з ймовірностями і відповідно. Наведено історію досліджень і застосувань мір такого виду, їх узагальнень і відкритих проблем. В п. 2.2.1 вивчено топологічні і фрактальні властивості спектрів узагальнених нескінченних згорток Бернуллі.

Теорема 2.2.2. Для довільної послідовності розмірність Хаусдорфа-Безиковича топологічного носія задовольняє нерівність

Якщо додатково ще для всіх достатньо великих k, то

(2.39)

В п. 2.2 вивчено тонкі фрактальні властивості узагальнених нескінченних згорток Бернуллі для наступного класу:

Теорема 2.2.3. Якщо для всіх достатньо великих k, то розмірність Хаусдорфа міри d дорівнює

(2.44)

де

Множина називається циліндричним відрізком рангу n з основою .

Теорема 2.2.4. Нехай виконується для всіх достатньо великих k, і незалежні однаково розподілені випадкові величини набувають значень 0 та 1 з ймовірностями та . Тоді наступні множини

є мінімальними розмірнісними носіями міри d.

В п. 2.2.3 вивчаються властивості так званих нескінченних узагальнених згорток Бернуллі з “суттєвими перекриттями”, тобто згорток Бернуллі, для яких існують точки x спектра, для яких рівність можлива для нескінченної кількості послідовностей . Методи дослідження таких мір продемонстровано на класі розподілів, що породжуються таким рядом , що задовольняє умови:

Нехай

Теорема 2.2.6. Випадкова величина k має або чисто дискретний (M>0), або чисто сингулярно неперервний (M=0) розподіл.

Теорема 2.2.7. Неперервно розподілена випадкова величина k (M=0) має

- сингулярний розподіл GS-типу тоді і тільки тоді, коли існує таке, що і матриця містить лише скінченну кількість нулів.

– сингулярний розподіл GC-типу тоді і тільки тоді, коли

(2.66)

де при наявності хоча б одного нуля в стовпчиках 3k-2, 3k-1, 3k матриці і в протилежному випадку.

- сингулярний розподіл GP-типу тоді і тільки тоді, ряд (2.66) збігається і містить при цьому нескінченну кількість додатних елементів.

Теорема 2.2.8 показує, що міри з даного класу є монофрактальними і дає формулу для обчислення розмірності Хаусдорфа міри. Наслідок після теореми 2.2.8 демонструє, що розмірність Хаусдорфа міри відокремлена від одиниці, хоча спектр може бути відрізком.

Підрозділ 2.3 присвячений дослідженню випадкових величин та динамічних систем, пов'язаних з рядами Остроградського 1 виду.

Для кожного дійсного числа з одиничного інтервала існує послідовність натуральних чисел така, що

(2.73)

Останній запис називається _представленням числа xv(0,1) (різницеве представлення числа у вигляді ряду Остроградського першого виду). Числа називаються _символами числа x.

В п. 2.3.2 розвивається метрична теорія представлень Остроградського. Основна увага приділена вивченню метричних і фрактальних властивостей множини , яка є замиканням множини усіх ірраціональних чисел виду , -символи яких задовольняють умову для всіх nvN, .

Теорема 2.3.1. Нехай , . Якщо то множина має додатну міру Лебега.

Теорема 2.3.2. Якщо , , причому

то міра Лебега .

Теорема 2.3.3. Якщо , , причому то .

Теорема 2.3.4. Якщо в послідовності множин існує підпослідовність така, що , де , -- деяка фіксована послідовність натуральних чисел і то міра Лебега множини дорівнює 0.

При виконанні умов нульмірності, наступним етапом дослідження властивостей множини є знаходження її розмірності Хаусдорфа-Безиковича. Аналігічна задача для ланцюгового представлення і досліджувалась багатьма авторами протягом останніх 60 років. Нехай

Теорема 2.3.5. Для довільного nvN розмірність Хаусдорфа-Безиковича множини дорівнює нулю.

Наслідок 2.3.13. Множина дійсних чисел з обмеженими -символами є аномально фрактальною множиною.

Нехай - кількість символів "i" в -представленні числа x до k-го місця включно.

Теорема 2.3.6. Для майже всіх (в смислі міри Лебега) дійсних чисел x та для довільного ivN має місце рівність:



В п. 2.3.3 досліджуються випадкові величини з незалежними різницями ряду Остроградського 1 виду, тобто в.в. виду

(2.84)

-символи якої є незалежними випадковими величинами, що набувають значень 1, 2, z, m, z з ймовірностями , , z, , z відповідно. Основним результатом цього пункту є

Теорема 2.3.10. Нехай - послідовність незалежних випадкових величин, які набувають значень 1,2,3,... з імовірностями . Припустимо, що для хоча б одного ivN виконується рівність

Тоді випадкова величина r, яка задана рівністю (2.84), має:

1) або дискретний розподіл (якщо );

2) або сингулярно неперервний розподіл (в усіх інших випадках).

В п. 2.3.4 досліджуються властивості символьних динамічних систем, породжених одностороннім зсувом по -представленню.

Теорема 2.3.11. Не існує ймовірнісних мір, які були б інваріантними і ергодичними відносно перетворення зсуву T по -представленню, і одночасно абсолютно неперервними відносно міри Лебега.

В п. 2.3.5 вивчаються нескінченні згортки Бернуллі, породжені рядами Остроградського 1 виду, тобто розподіли випадкових величин виду

(2.97)

де і -- послідовність незалежних випадкових величин, які набувають значень 0 і 1 з імовірностями і відповідно.

Теорема 2.3.14. Випадкова величина u має дискретний розподіл тоді і тільки тоді, коли

(2.98)

В усіх інших випадках u має сингулярно неперервний аномально фрактальний розподіл канторівського типу.

Знайдено явний вираз перетворення Фур'є-Стілтьєса міри. Досліджується також асимптотика коефіцієнтів Фур'є-Стілтьєса відповідної функції розподілу.

Теорема 2.3.15. Має місце рівність

Розділ 3 присвячений розвитку загальної теорії перетворень, що зберігають розмірність Хаусдорфа-Безиковича (DP-перетворень); обгрунтуванню групового погляду на фрактальну геометрiю; розвитку нових методів обчислення розмірності Хаусдорфа-Безиковича та застосуванню отриманих результатів для фрактального аналізу СНІМ. Як вже зазначалось, значне зростання активності в дослідженні СНІМ пов'язане з так званим “фрактальним бумом”, що розпочався в науці в 80-х роках XX століття. Незважаючи на значний розвиток фрактальної геометрії протягом останніх 20 років, однією з основних її проблем залишається проблема обчислення розмірності Хаусдорфа-Безиковича. Навіть у найбільш вивчених класах самоподібних та самоафінних множин труднощі обчислення розмірності Хаусдорфа-Безиковича є досить нетривіальними. Тому задача створення нових методів обчислення фрактальних розмірностей (чи отримання їх оцінок) є актуальною задачею розвитку фрактального аналізу. Іншою мотивацією досліджень, які представлені у цьому розділі, є переусвідомлення ролі та місця фрактальної геометрії серед інших математичних структур та створення її аксіоматики.

Означення. Перетворення (тобто взаємно однозначне відображення в себе) метричного простору (M,w), яке зберігає розмірність Хаусдорфа-Безиковича кожної підмножини EqM називається DP_перетворенням простору (M,w).

Показано, що група G всіх DP-перетворень є значно ширшою, ніж група біліпшицевих перетворень. Запропоновано підхід до фрактальної геометрії як до математичної дисципліни, що вивчає інваріанти перетворень з DP-групи. Група G має багато цікавих підгруп. Зокрема, якщо , то G містить групу всіх афінних перетворень (і, таким чином, афінну геометрію можна розглядати як частину фрактальної геометрії). В підрозділі 3.1 обгрунтовано, що задача вивчення неперервних DP-перетворень простору еквівалентна задачі дослідження DP-властивостей строго зростаючих функцій розподілу на одиничному відрізку.

В підрозділі 3.2 продемонстровано суть ймовірнісного підходу до дослідження DP-перетворень на прикладі аналізу збереження розмірності Хаусдорфа-Безиковича функціями розподілу випадкових величин з незалежними s-адичними цифрами , що набувають значень 0,1,...,s-1 з імовірностями .

Нехай -- ентропія випадкової величини , kvN.

Теорема 3.2.1. Нехай , mkvN. Тоді функція зберігає фрактальну розмірність на 0,1 тоді і тільки тоді, коли

(3.2)

Суттєвість умов теореми проілюстрована контрприкладами. У п. 3.2.2 знайдено умови збереження розмірності Хаусдорфа-Безиковича функціями розподілу випадкових величин з незалежними Q-символами.

Нехай і

Теорема 3.2.4. Нехай . Якщо

(3.7)

то функція розподілу випадкової величини k з незалежними Q-символами зберігає розмірність Хаусдорфа будь-якої підмножини одиничного відрізка.

Теорема 3.2.5. Якщо функція розподілу випадкової величини k з незалежними Q-символами зберігає розмірність Хаусдорфа-Безиковича будь-якої підмножини одиничного відрізка, то

(3.12)

В п.3.2.3 знайдено загальні достатні умови збереження розмірності Хаусдорфа-Безиковича підмножин одиничного відрізка строго зростаючою неперервною функцією розподілу (без будь-яких додаткових обмежень на міру d).

Нехай s-адичний відрізок k-го рангу, що містить точку x і x- міра Лебега.

Теорема 3.2.6. Нехай

Якщо , то функція розподілу зберігає розмірність Хаусдорфа-Безиковича на 0,1.

Теорема 3.2.7. Нехай функція розподілу має скінченну ненульову похідну у всіх точках множини .

Якщо , то функція розподілу зберігає розмірність Хаусдорфа-Безиковича на 0,1.

Наслідок 3.2.5. Якщо функція розподілу має скінченну ненульову похідну у всіх точках за виключенням точок не більш як зчисленної множини, то є DP-перетворенням одиничного відрізка.

Наслідок 3.2.6. Довільна строго зростаюча абсолютно неперервна функція розподілу в.в. з незалежними s-адичними символами зберігає розмірність Хаусдорфа-Безиковича на одиничному відрізку.

Наслідок 3.2.7. Існують сингулярно неперервні функції розподілу в.в. з незалежними s-адичними символами, які зберігають розмірність Хаусдорфа-Безиковича на одиничному відрізку.

Грунтуючись на попередній теоремі, показано, що біліпшицевість і гладкість є досить грубими достатніми умовами збереження розмірності Хаусдорфа-Безиковича.

Теорема 3.2.8. Існують абсолютно неперервні функції розподілу , які зберігають розмірність Хаусдорфа-Безиковича всіх підмножин одиничного відрізка і разом з цим:

де

У цьому ж пункті досліджено арифметичні властивості DP-перетворень та спростовано гіпотези про DP-властивість довільної строго зростаючої абсолютно неперервної функції розподілу.

Теорема 3.2.10. Існують строго зростаючі абсолютно неперервні функції розподілу і , кожна з яких зберігає розмірність Хаусдорфа-Безиковича на одиничному відрізку, але функція не є DP-функцією на 0,1.

П. 3.2.4 присвячений вивченню залежності розмірності Хаусдорфа-Безиковича від допустимого запасу покриттів та аналітичному заданню DP-перетворень .

У підрозділі 3.3 методи багаторівневого фрактального аналізу СНІМ застосовуються для дослідження класів неперервних DP- перетворень та знаходження загальних необхідних умов збереження розмірності.

Теорема 3.3.1. Якщо функція розподілу зберігіає розмірність Хаусдорфа-Безиковича, то відповідна ймовірнісна міра d є мірою зовнішньо точної розмірності 1.

Теорема 3.3.2. Неперервна строго зростаюча функція розподілу випадкової величини з незалежними s-адичними цифрами зберігає розмірність Хаусдорфа-Безиковича всіх підмножин одиничного відрізка тоді і тільки тоді, коли

де . , і , .

У п. 3.3.3 попередня теорема узагальнена на клас функцій розподілу випадкових величин з незалежними Q-символами.

У п. 3.3.4 досліджується питання збереження розмірності Хаусдорфа-Біллінгслі функціями розподілу нескінченних згорток Бернуллі, породжених рядами Остроградського.

Розділ 4 присвячений розвитку застосувань багатофакторного фрактального аналізу СНІМ. Підрозділ 4.1 цілком присвячений дослідженню фрактальних, метричних та топологічних властивостей підмножин анормальних дійсних чисел. Елемент xvM, для якого виконується деяка властивість, називають “нормальними”, якщо ця властивість виконується для “майже всіх” елементів з M. Існує багато математичних понять (потужність, міра, розмірність Хаусдорфа-Безиковича, категорія Бера), відносно яких слова “майже всі” можна розуміти в строгому математичному сенсі. Властивості нормальності дійсних чисел пов'язані з “частотами” їх цифр в системах числення.

Для класичного s-адичного розкладу числа xv0,1:

нехай -- кількість цифр «i» серед перших k цифр s-адичного розкладу x, ivA. Якщо границя існує, то число називається асимптотичною частотою цифри «i» в s-адичному розкладі x.

Множина

називається множиною s-нормальних чисел (або множиною дійсних чисел, які є слабо нормальними відносно основи s). Добре відомо (E.Borel, 1909), що множини і є множинами повної міри Лебега.

Одиничний відрізок 0,1 можна природним чином розкласти таким чином: , де і Множина називається множиною анормальних дійсних чисел. Властивості підмножин анормальних чисел інтенсивно вивчалися протягом останніх років (див., наприклад, 16, 17 та відповідну бібліографію).

Множина називається множиною квазінормальних чисел.

Множина називається множиною суттєво анормальних чисел.

Множина не існує, і називається множиною частково анормальних чисел.

Звичайно, множини та є малими з точки зору міри Лебега, і головною проблемою є оцінка їхньої «масивності» з фрактальної та топологічної точки зору.

Теорема 4.1.1. Для довільного додатного цілого s ? 2 множина суттєво анормальних чисел є суперфракталом, тобто розмірність Хаусдорфа-Безиковича множини дорівнює 1.

Теорема 4.1.3. Для довільного цілого числа s ? 2 множина суттєво анормальних дійсних чисел є множиною другої категорії Бера, тобто, майже всі (в топологічному розумінні) дійсні числа є суттєво анормальними.

Крім того, доведено, що множина містить всюди щільну -множину. Отже, множини , , мають першу категорію Бера. З цих результатів випливає, що суттєво анормальні s-адичні числа є характерними як в топологічному розумінні, так і в розумінні фрактальної геометрії.

Теорема 4.1.4. Для довільно натурального s ? 3 множина частково анормальних чисел є суперфракталом, тобто розмірність Хаусдорфа-Безиковича множини дорівнює 1.

Доведення теорем 4.1.1 та 4.1.4 суттєво грунтується на методах і результатах першого та третього рівнів багаторівневого фрактального аналізу СНІМ з незалежними s-адичними цифрами.

Результати досліджень, які містяться в пунктах 4.1.1. - 4.1.5., наведено в наступній таблиці:

	Міра Лебега	Розмірність Хаусдорфа	Категорія Бера
Ns	1	1	перша
Ws	0	1	перша
Ts	0	1	перша
Ls	0	1	друга

яка дає повну (метричну, фрактальну і топологічну) класифікацію дійсних чисел за поведінкою асимптотичних частот їхніх цифр у s-адичному розкладі (s>2). При s=2 отримуємо аналогічні результати, але розмірність Хаусдорфа-Безиковича множини рівна 0, оскільки у цьому випадку є порожньою.

У п. 4.1.6 досліджується залежність властивостей "нормальних" чисел від вибраної системи числення. Зокрема, наводяться приклади таких представлень дійсних чисел зі скінченним алфавітом, для яких відповідна множина суттєво анормальних чисел має повну міру Лебега.

Пункт 4.1.7 присвячений дослідженню властивостей підмножин анормальних та квазінормальних чисел в системах числення з нескінченним алфавітом. Введено поняття -нормальних та -анормальних чисел та, користуючись методами ергодичної теорії та розвиненими методами БРФА СНІМ, досліджено їх фрактальні, метричні та топологічні властивості.

П. 4.1.8 присвячений узагальненням поняття нормальності та анормальності дійсних чисел та отриманню узагальнених аналогів результатів, що викладені в п. 4.1.1.-4.1.4.

Підрозділ 4.2 присвячений застосуванню отриманих в дисертації результатів для аналізу структури сингулярно неперервного операторного спектру.

Нехай A -- самоспряжений оператор у сепарабельному гільбертовому просторі H, і {E(x)} -- відповідний розклад одиниці. Позначимо через спектральну міру, що відповідає заданому вектору vH, і через x - міру Лебега. Нехай



Якщо , то оператор A називають оператором з сингулярно неперервним спектром. Традиційною вимогою до гамільтоніанів в квантовій фізиці є відсутність сингулярно неперервного спектра, і значні зусилля були витрачені для доведення того, що така властивість має місце для певних класів операторів. На відміну від абсолютно неперервного та дискретного, сингулярно неперервні спектри все ще не мають адекватної фізичної інтерпретації і вони є суттєво нестабільними під дією збурень. Незважаючи на це, протягом останнього десятиліття інтерес до операторів з сингулярно неперервним спектром суттєво виріс, оскільки після побудови деяких конкретних прикладів було показано, що оператори Шредінгерівського типу із сингулярно неперервними спектрами є типовими для деяких класів таких операторів. Крім того, використовуючи фрактальний аналіз відповідних спектральних сингулярно неперервних мір, можна аналізувати динамічні властивості відповідних квантових систем (див. 22 та відповідну бібліографію).

У пункті 4.2.1 вивчається тонка спектральна класифікація операторів з сингулярно неперервним спектром. Припустимо, що самоспряжений оператор A має чисто сингулярно неперервний спектр, тобто

Означення. Підпростір

GC-типу(чистого GS-типу, чистого GP-типу)}

називається GC-(GS-, GP-)підпростором підпростору сингулярної неперервності .

Теорема 4.2.3. Підпростір сингулярної неперервності самоспряженого оператора A у сепарабельному гільбертовому просторі H можна представити у вигляді:

...