Фрактальні розподіли ймовірностей і перетворення, що зберігають розмірність Хаусдорфа-Безиковича

причому довільний вектор може бути представлений у вигляді суми трьох взаємно ортогональних векторів , та .

При цьому сингулярно неперервний операторний спектр має наступну структуру:

В п.4.2.2 досліджується мультифрактальна структура операторів з сингулярно неперервним спектром. Нехай -- характеристична мультифрактальна міра першого порядку, що відповідає спектральній мірі .

Означення. Підпростір

(абсолютно неперервною, сингулярно неперервною) мірою}

називається дискретним (абсолютно неперервним, сингулярно неперервним) мультифрактальним підпростором підпростору сингулярної неперервності .

В п. 4.2.2 обговорюються проблеми існування (“нетривіальних”) операторів A, для яких підпростори , , є непорожніми; та дослідження структури підпросторів , , і їх ролі в структурі підпростору сингулярності .

Очевидно, що "тривіальні" приклади операторів A, для яких або побудувати легко, розглянувши оператори множення на незалежну змінну, що діють у просторах з відповідним вибором міри d. В п. 4.2.2 розглянуто інший підхід до побудови прикладів самоспряжених операторів з сингулярно неперервним спектром, для яких підпростори та є непорожніми.

Теорема 4.2.6. Підпростір сингулярної неперервності самоспряженого оператора A у сепарабельному гільбертовому просторі H можна представити у вигляді:

де , , -- замкнені лінійні підпростори , які є взаємно ортогональними і приводять A.

При цьому

ВИСНОВКИ

*Створено теоретичні основи та обгрунтовано методи БРФА СНІМ;

*знайдено загальні необхідні і достатні умови абсолютної неперервності і сингулрності ймовірнісних розподілів в термінах суттєвих носіїв щільності;

*знайдено умови збереження чистоти та взаємної сингулярності пар ймовірнісних мір при нелінійних відображеннях;

*запропоновано спектральну класифiкацiю одновимiрних та багатовимірних СНІМ та доведено теореми про структурне представлення таких мір;

*здійснено мультифрактальну класифiкацiю СНІМ та доведено теореми про канонічне представлення таких мір;

*повністю поглиблено теорему Джессена-Вінтнера в класі випадкових величин з незалежними -символами та їх узагальнень; проведено БРФА СНІМ з цього класу;

*повністю розв'язана задача про лебегівську структуру узагальнених нескiнченних згорток Бернуллi першого роду ("без перекриттів"), показано, що в даному класі ймовірнісних мір сингулярність є домінуючою; проведено БРФА СНІМ з цього класу;

*розв'язана задача про лебегівську структуру узагальнених нескiнченних згорток Бернуллi другого роду ("з перекриттями") з певних класів; досліджено метричні, топологічні та фрактальні властивості спектрів таких мір, досдіджено тонкі мультифрактальні властивостi мір;

*досліджено ергодичні властивості представлень дійсних чисел за допомогою рядів Остроградського першого виду; знайдено умови нуль-мірності (додатності міри) замкнених ніде не щільних множин чисел, заданих умовами на елементи їх розвинення в ряд Остроградського 1-го виду.

*досліджено структуру випадкових величин з незалежними рiзницями ряду Остроградського 1 виду, зокрема, доведено, що відповідні міри або чисто дискретні, або чисто сингулярно неперервні; вивчено топологічні, метричні та фрактальні властивості СНІМ з даного класу;

*вивчено властивості символьної динамічної системи, породженої перетвореннм T одностороннього зсуву по різницевому представленню Остроградського 1-го виду; зокрема, доведено, що не існує ймовірнісних мір, які були б інваріантними і ергодичними відносно T і абсолютно неперервними відносно міри Лебега;

*закладено основи теорії перетворень, що зберігають розмірність Хаусдорфа-Безиковича (DP-перетворень); запропоновано і обгрунтовано груповий погляд на фрактальну геометрiю; запропоновано і застосовано нові методи обчислення розмірності Хаусдорфа-Безиковича;

*досліджено клас неперервних DP-перетворень простору ; на основі запропонованого автором ймовiрнiсного пiдходу до вивчення DP-перетворень дослiджено класи перетворень, що породжені розподілами випадкових величин з незалежними s-адичними цифрами, Q-символами та класів нескінченних згорток Бернуллі;

*на основі розроблених методів БРФА СНІМ знайдено загальні необхідні умови і достатні умови збереження розмірності Хаусдорфа-Безиковича; в класах перетворень, які індуковані випадковими величинами з незалежними s-адичними цифрами, Q-символами знайдено критеріїї збереження розмірності; знайдено зв'язок між ентропією ймовірнісного розподілу, його розмірністю Хаусдорфа-Безиковича та належністю відповідної функції розподілу до DP-класу.

*застосовуючи методи БРФА СНІМ, досліджено топологічні, метричні та фрактальнi властивостi підмножин анормальних дійсних чисел, завершено класифікацію дійсних чисел за асимптотичними властивостями частот їх цифр в s-адичній системі числення; доведено, що множина суттєво анормальних дійсних чисел є всюди щільною суперфрактальною - множиною;

*досліджено топологічні, метричні та фрактальнi властивостi підмножин анормальних дійсних чисел, заданих в системах числення з нескінченним алфавітом; доведено, що множина -суттєво анормальних дійсних чисел є всюди щільною суперфрактальною - множиною;

*досліджено залежність топологічних, метричних та фрактальних властивостей квазінормальних, частково анормальних та суттєво анормальних дійсних чисел від вибраного способу представлення (системи числення); вивчено властивості с_нормальних та с_анормальних чисел;

*здійснено тонку спектральну та мультифрактальну класифікації самоспряжених операторів з сингулярно неперервним спектром.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1.Albeverio S., Pratsiovytyi M., Torbin G. Transformations preserving the Hausdorff-Besicovitch dimension // Central European Journal of Mathematics. -- 2008. -- 6, no. 1. -- P. 119-128.

2.Торбін Г. Про DP-властивості фрактальних ймовірнісних мір з незалежними Q-символами // Доповіді НАНУ. -- 2008. -- № 4. -- C. 44-50.

3.Барановський О., Працьовитий М., Торбін Г. Тополого-метричні властивості множин чисел з умовами на їх розклади в ряди Остроградського. // Укр.Матем.Журн. -- 2007. -- 59, no. 9. -- P. 1155-1168.

4.Torbin G. Probability distributions with independent Q-symbols and transformations preserving the Hausdorff dimension // Theory of Stochastic Processes. -- 2007. -- 13, no. 1-2. -- P. 281-293.

5.Albeverio S., Baranovskyi O., Pratsiovytyi M., Torbin G. The Ostrogradsky series and related Cantor-like sets // Acta Arithm. -- 2007. -- 130, no. 3. -- P. 215-230.

6.Торбін Г. Ймовірнісний підхід до перетворень, що зберігають фрактальну розмірність // Математичний вісник Наукового Товариства імені Т.Шевченка. -- 2007. -- 4, № 4. -- C. 275-283.

7.Albeverio S., Gontcharenko Ya., Pratsiovytyi M., Torbin G. Convolutions of distributions of random variables with independent binary digits // Random Operators and Stochastic Equations. -- 2007. -- 15, no. 1. -- P. 89-104.

8.Торбін Г. Bипадкові величини, пов'язані з рядами Остроградського 1-го виду та властивості відповідних динамічних систем // Наукові записки НПУ імені М.П.Драгоманова. Фізико-математичні науки. -- 2006. -- 7. -- C. 152-159.

9.Albeverio S., Koshmanenko V., Pratsiovytyi M., Torbin G. Spectral properties of image measures under the infinite conflict interactions // Positivity. -- 2006. -- 10, no. 1. -- P. 39-49.

10.Працьовитий М., Торбін Г. Про класифікацію одновимірних сингулярно неперервних ймовірнісних мір за їх спектральними властивостями // Науковий часопис НПУ імені М.П.Драгоманова. Фізико-математичні науки. -- 2006. -- 7. -- P. 140-151.

11.Albeverio S., Gontcharenko Ya., Pratsiovytyi M., Torbin G. Jessen-Wintner type random variables and fractal properties of their distributions // Mathematische Nachrichten. -- 2006. -- 279, no. 15. -- P. 1619-1635.

12.Іваненко Г., Нікіфоров Р., Торбін Г. Ергодичний підхід у дослідженні сингулярних імовірнісних мір // Наукові записки НПУ імені М.П.Драгоманова. Фізико-математичні науки. -- 2006. -- 7. -- P. 120-139.

13.Torbin G. On с-normality and non-normality of real numbers in different systems of numeration // Transactions of the National Pedagogical University of Ukraine. Mathematics. -- 2005. -- 6. -- P. 197-209.

14.Albeverio S., Torbin G. Fractal properties of singularly continuous probability distributions with independent Q*-digits // Bull. Sci. Math. -- 2005. -- 129, no. 4. -- P. 356-367.

15.Гончаренко Я., Працьовитий М., Торбін Г. Тополого-метричні і фрактальні властивості множини неповних сум знакододатного ряду та розподілів на них // Наукові записки НПУ імені М.П.Драгоманова. Фізико-математичні науки. -- 2005. -- 6. -- P. 210-224.

16.Albeverio S., Pratsiovytyi M., Torbin G. Singular probability distributions and fractal properties of sets of real numbers defined by the asymptotic frequencies of their s-adic digits // Ukrainian Math. J. -- 2005. -- 57, no. 9. -- P. 1361-1370.

17.Albeverio S., Pratsiovytyi M., Torbin G. Topological and fractal properties of subsets of real numbers which are not normal // Bull.Sci.Math. -- 2005. -- 129, no. 8. -- P. 615-630.

18.Торбін Г. Мультифрактальний аналіз сингулярно неперервних ймовірнісних мір // Укр. Матем. Журн. -- 2005. -- 57, № 5. -- C. 837-857.

19.Альбеверіо С., Барановський О., Працьовитий М., Торбін Г. Дві випадкові величини, пов'язані з рядами Остроградського першого виду // Наукові записки НПУ імені М. П. Драгоманова. Фізико-математичні науки. -- 2005. -- 6. -- P. 181-196.

20.Albeverio S., Pratsiovytyi M., Torbin G. Fractal probability distributions and transformations preserving the Hausdorff-Besicovitch dimension // Ergodic Theory and Dynamical Systems. -- 2004. -- 24, no. 1. -- P. 1-16.

21.Albeverio S., Torbin G. Image measures of infinite product measures and generalized Bernoulli convolutions // Transactions of the National Pedagogical University of Ukraine. Mathematics. -- 2004. -- 5. -- P. 228-241.

22.Albeverio S., Koshmanenko V., Torbin G. Fine structure of the singular continuous spectrum // Methods Funct. An. Topology. -- 2003. -- 9, no. 2. -- P. 101-119.

23.Працьовитий М. В., Торбін Г. М. Аналітичне (символьне) представлення неперервних перетворень , що зберігають розмірність Хаусдорфа-Безиковича // Наукові записки НПУ імені М.П.Драгоманова. Фізико-математичні науки. -- 2003. -- 4. -- P. 207-215.

24.Працьовитий М. В., Торбін Г. М. Фрактальна геометрія та перетворення, що зберігають розмірність Хаусдорфа-Безиковича // Матеріали першого українського метематичного конгресу "Динамічні системи". -- 2003. -- С. 77-93.

25.Торбін Г.М. Фрактальні властивості розподілів випадкових величин з незалежними -знаками // Наукові записки НПУ імені М.П.Драгоманова. Фізико-математичні науки. -- 2002. -- 3. -- C. 363-375.

26.Гончаренко Я. В., Працьовитий М. В., Торбін Г. М. Тополого-метричні та фрактальні властивості згортки двох сингулярних розподілів випадкових величин з незалежними двійковими цифрами // Теор. Ймовір. та Матем. Стат. -- 2002. -- 67. -- P. 9-19.

Размещено на Allbest.ru