Стабілізація та оптимізація динамічних систем з напівмарковськими коефіцієнтами

Размещено на http://www.allbest.ru/

Київський національний університет

імені Тараса Шевченка

УДК 519.7

Спеціальність 01.05.04 - системний аналіз і теорія оптимальних рішень

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Стабілізація та оптимізація динамічних систем з напівмарковськими коефіцієнтами

Джалладалова Ірада Агаверді-кизи

Київ 2009

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Київський національний економічний університет імені Вадима Гетьмана.

Науковий консультант доктор фізико-математичних наук, професор, Валуєв Кім Галямович ДВНЗ Київський національний економічний університет імені Вадима Гетьмана, завідувач кафедри вищої математики

Офіційні опоненти:

академік НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор, Королюк Володимир Семенович Інститут математики НАН України, радник при дирекції;

доктор фізико-математичних наук, професор, Слюсарчук Василь Юхимович Національний університет водного господарства та природокористування, професор кафедри вищої математики

доктор фізико-математичних наук, професор, Ясинрикий Володимир Кирилович Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, завідувач кафедри математичної і прикладної статистики;

Захист відбудеться "10" грудня 2009 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.26 Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: МСП 01601, м. Київ, вул. Володимирська, б. 60, ауд. 314.

З дисертацією можна ознайомитись в науковій бібліотеці імені М.О. Максимовича Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: МСП 01601, м. Київ, вул. Володимирська, б. 60, ауд. 314.

Автореферат розісланий 10.11.2009 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради В.А. Стоян

Анотації

Джалладова І.А. Стабілізація та оптимізація динамічних систем з напівмарковськими коефіцієнтами. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.04 - системний аналіз і теорія оптимальних рішень. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2009.

Дисертація присвячена актуальному напрямку розвинення теорії динамічних систем, а саме: розробці методів встановлення умов стійкості і керованості диференціальних та різницевих систем рівнянь, коефіцієнти яких є випадкові функції від часу, а випадковий розв'язок зазнає стрибків або випадкових перетворень. Цей напрямок знаходиться на межі математичних дисциплін теорії ймовірностей, диференціальних рівнянь, теорії стійкості та стабілізації. Конструктивними для практичної реалізації є розвинуті в роботі методи побудови функцій Ляпунова та моментних рівнянь для широких класів динамічних систем з випадковими коефіцієнтами і додатковими умовами на розв'язки. Отримано системи різницевих рівнянь для визначення дискретних скінченнозначних напівмарковських процесів і інтегральні рівняння для неперервних процесів.

Вперше побудовано моментні рівняння для різних класів нелінійних диференціальних та різницевих рівнянь з випадковими коефіцієнтами і додатковими умовами на розв'язки.

Вперше отримано необхідні і достатні умови _стійкості розв'язків систем лінійних диференціальних та різницевих рівнянь, коефіцієнти яких залежать від напівмарковського процесу, а розв'язки зазнають випадкових перетворень. Обґрунтовано та розроблено метод побудови функцій Ляпунова для систем лінійних та нелінійних диференціальних та різницевих рівнянь, праві частини яких залежать від напівмарковського процесу. Отримано необхідні умови оптимальності розв'язків систем лінійних диференціальних та різницевих рівнянь, коефіцієнти яких залежать від напівмарковського процесу, а розв'язки зазнають випадкових перетворень. Розв'язано задачі синтезу оптимального керування для систем лінійних і нелінійних диференціальних та різницевих рівнянь, праві частини яких залежать від напівмарковського процесу при додаткових умовах на їх розв'язок.

Ключові слова: стохастичний оператор, немарковські процеси, напівмарковська функція, моментні рівняння, _стійкість, основні функції Ляпунова, синтез оптимального керування.

Джалладова И.А. Стабилизация и оптимизация динамических систем с полумарковскими коэффициентами. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.05.04 - системный анализ и теория оптимальных решений. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2009.

Диссертация посвящена разработке методов исследования устойчивости и оптимизации динамических систем с немарковскими возмущениями. рівняння математичний ймовірність

В диссертации рассмотрены методы аналитического задания конечнозначных непрерывных и дискретных процессов. Для стохастических дифференциальных уравнений предложены разностная аппроксимация уравнений и численные методы интегрирования. Развиты идеи А.Н. Колмогорова и В.И. Зубова по аналитическому заданию случайных процессов. Выведены интегро-дифференциальные, дифференциально-разностные уравнения с запаздывающим аргументом для описания немарковских случайных процессов. Получены условия сведения систем с запаздыванием к системам без запаздывания.

Впервые построены моментные уравнения для широких классов дифференциальных и разностных уравнений со случайными коэффициентами и случайными преобразованиями решений. Для системы линейных дифференциальных и разностных уравнений c полумарковскими и марковскими коэффициентами проведено сравнение с известными результатами, а также построены моментные уравнения для случаев, когда неоднородная часть содержит случайные процессы типа белого шума.

Разработан и обоснован метод исследования устойчивости в среднем квадратичном систем линейных дифференциальных и разностных уравнений с коэффициентами, зависящими от полумарковского случайного процесса, при условии, что одновременно со скачками полумарковских процессов происходят случайные преобразования решений. Получены необходимые и достаточные условия _устойчивости решений для этих классов систем.

Выведены уравнения для основных функций Ляпунова для систем линейных дифференциальных уравнений, коэффициенты которых зависят от полумарковского процесса, а решения претерпевают случайные преобразования в момент скачков полумарковского процесса.

Обоснован метод исследования асимптотической устойчивости динамических систем с помощью свойств монотонных операторов.

В работе получили развитие метод функций Ляпунова для систем нелинейных дифференциальных и разностных уравнений с правой частью, зависящей от полумарковского процесса. С помощью моментных уравнений предложен метод построения функций Ляпунова.

С использованием функций Ляпунова получены уравнения для синтеза оптимального управления для систем линейных и нелинейных дифференциальных и разностных уравнений со случайными возмущениями. Эти уравнения обобщают уравнения Риккати для детерминированного случая.

Получены необходимые условия оптимальности решений для систем линейных дифференциальных и разностных уравнений случайной структуры. Выведены уравнения для основных функций Ляпунова и получен критерий устойчивости на основе этих функций. Разработаны численные методы в задачах стохастической оптимизации. Доказаны необходимые условия оптимальности решений для систем нелинейных дифференциальных и разностных уравнений со случайными возмущениями.

Изучены прикладные задачи, связанные с различными ситуациями в социологии, политологии, банковском деле, стохастических финансах.

Ключевые слова: стохастический оператор, немарковские процессы, полумарковская функция, моментные уравнения, _ устойчивость, основные функции Ляпунова, синтез оптимального управления.

Dzhalladova I.A. Stabilization and optimization of dynamic system with semi--Markov coefficients. - Manuscript.

Dissertation for the Degree of Physics and Mathematics in specialty 01.05.04 - systems analysis and optimal decision theory. - Kyiv National Taras Shevchenko University, Kyiv, 2009.

The dissertation is devoted to the research of dynamical system with Non_Markov influence stability and optimization. The consideration is given to the technique of analytic continuous and discrete process.

At first there are constructed moment equations for different classes of differential and difference equations with random coefficients and random transformations of solutions. There are obtained necessary and enough conditions of _stability of solutions for these classes of dynamic systems.

In this work we develop the Lyapunov functions methods for systems of non_linear differential and difference equations with right-hand part depending on Semi_Markov process. Construction of the Lyapunov functions through moment equations for stochastic equations is performed. There are obtained equations for synthesis of optimal control through the Lyapunov functions for the systems of linear and non_linear equations with random influence. That equation is more general than Riccati equation in deterministic case.

There are proved necessary conditions of solutions optimality for the different classes of dynamic systems with random influence.

We solved different practical problems in sociology, politology, business and stochastic finance.

Key words: Stochastic operator, Non_Markov process, Markov and Semi_Markov functions, Moment equations, _stability, Lyapunov function, synthesis of optimal control.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. У сучасних прикладних дослідженнях широко застосовуються ймовірнісні моделі, які достатньо повно та точно описують реальні процеси в техніці, природі, суспільстві, економіці тощо. Серед таких моделей практично важливими є класи систем звичайних диференціальних та різницевих рівнянь, коефіцієнтами яких є випадкові процеси. При цьому основна увага приділяється проблемам стійкості і керованості систем, які розуміються в різних сенсах. Тому вивчення ймовірнісних моделей обумовило створення різних актуальних напрямків у теорії стійкості та тісно пов'язаної з нею теорії оптимального керування випадковими процесами.

Теоретичні засади дослідження стійкості для систем диференціальних рівнянь з випадковими процесами були започатковані А.М. Колмогоровим. Надалі підходи А.М. Колмогорова розвинули у своїх працях Д. Бертран, А.Я. Хінчін, Й.І. Гіхман, В.І. Зубов, М.М. Красовський, В.С. Королюк, І.М. Коваленко, Р.Л. Стратонович, Р.Е. Сараген, К. Іто, А.М. Тихонов, Д.Г. Коренівський, В.Б. Колмановський, Р.З. Хасьмінський, А.В. Скороход, І.Є. Казаков, Є.Ф. Царков, В.Ю. Слюсарчук, В.К. Ясинський, О.К. Закусило, К.Г. Валєєв, Г.М. Мільштейн та інші. Праці більшості дослідників грунтуються або на вивченні рівняння типу Фокера-Планка-Колмогорова та ймовірнісних властивостей розв'язків стохастичних диференціальних рівнянь, або на аналізі моментних рівнянь з наступним застосуванням методів О.М. Ляпунова.

В теорії оптимального керування велике значення мають праці Р. Беллмана та Л.С. Понтрягіна, ідеї яких для оптимального керування випадковими процесами були розвинуті Є.Б. Динкіним, М.М. Красовським і І.Я. Кацем, Г. Дж. Кушнером, Є.А. Лідським, В. Вінером, В.І. Зубовим, Р.Е. Калманом, М.Ф. Кириченко, Ф.Г. Гаращенко, П.С. Кноповим та іншими.

У сучасній теорії керованих випадкових процесів розглядають задачі керування або траєкторіями випадкових процесів, або ймовірнісними мірами, що задані на траєкторіях певних випадкових процесів. Обидва підходи дають можливість встановити принцип оптимальності Беллмана, побудувати рівняння Беллмана для деяких класів випадкових процесів, аналоги принципу максимуму Понтрягіна, у деяких випадках необхідні та достатні умови існування оптимального розв'язку. У цьому напрямку відзначимо праці Й.І. Гіхмана, А.В. Скорохода, Г.М. Мільштейна, В.М. Артем'єва, О.Г. Наконечного, Є.О. Лебедєва, К. Острема, А.М. Самойленко, Л.Є. Шайхета та інших. Дослідженню керованих процесів дифузійного типу присвятили свої праці такі вчені, як Р.Л. Стратонович, Г.Є. Колосов, Ф.М. Черноусько, В.Б. Колмановський та інші. При цьому найбільш розробленою є теорія систем з білими шумами та марковськими процесами.

Сучасна теорія оптимального керування системами, що залежать від немарковських, зокрема напівмарковських процесів, з якою пов'язані відомі роботи В.С. Королюка, А.Ф. Турбіна, К.Г. Валєєва та їх учнів, потребує розв'язання багатьох проблем в умовах невизначеності. Саме цим проблемам присвячена дана дисертаційна робота.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота є частиною теми "Дослідження стійкості і чисельно-аналітичні методи побудови розв'язків диференціальних та інтегральних рівнянь із застосуванням ЕОМ", номер державної реєстрації 0198U004274.

Мета і задачі дослідження. Дисертаційна робота присвячена дослідженням проблем аналізу та синтезу систем будь-якої природи на основі системного підходу та методів оптимізації за умов невизначеності (випадковості). Метою роботи є розробка теоретико-алгоритмичних положень в задачах стабілізації та оптимізації динамічних систем при наявності марковських або напівмарковських збурень, а також розробка конструктивного апарату досліджень з використанням сучасних комп'ютерних технологій.

Досягнення цієї мети полягає в розв'язанні таких задач:

_ обґрунтуванні властивостей послідовності випадкових перетворень, які залежать від скінченнозначних напівмарковських процесів; знаходженні моментних рівнянь для випадкових перетворень, у разі коли випадкові перетворення є лінійними, а також дослідженні стійкості їхніх розв'язків; знаходженні та обґрунтуванні аналітичного визначення випадкових процесів за допомогою поняття стохастичного оператора;

_ побудові моментних рівнянь для стохастичних систем рівнянь, спеціального виду;

_ побудові моментних рівнянь для систем лінійних диференціальних та різницевих рівнянь з випадковими коефіцієнтами, що залежать від скінченнозначного напівмарковського процесу, за умови одночасності стрибків випадкового процеса та випадкових перетворень їх розв'язків;

_ побудові моментних рівнянь для розв'язку системи нелінійних диференціальних рівнянь, права частина яких залежить від скінченнозначного марковського або напівмарковського процесу, зокрема системи лінійних диференціальних рівнянь з випадковими коефіцієнтами, у випадку коли неоднорідна частина системи містить випадкові процеси типу білого шуму;

_ знаходженні необхідних і достатніх умов стійкості у середньому і середньому квадратичному розв'язків систем лінійних різницевих рівнянь з випадковими коефіцієнтами, що залежать від скінченнозначного напівмарковського ланцюга, і умовою, що одночасно зі стрибками випадкового ланцюга відбуваються випадкові перетворення розв'язків;

_ знаходженні за допомогою побудованих моментних рівнянь умов стійкості нульового розв'язку лінійних систем диференціальних та різницевих рівнянь з випадковими коефіцієнтами, які залежать від скінченнозначного напівмарковського ланцюга, за умови одночасності стрибків випадкового ланцюга та випадкових перетворень їх розв'язків;

_ побудові рівнянь для функцій Ляпунова для системи лінійних диференціальних та різницевих рівнянь з напівмарковськими коефіціентами, за умови одночасності стрибків випадкового ланцюга та випадкових перетворень їх розв'язків;

_ побудові рівнянь для функцій Ляпунова для системи нелінійних диференціальних та різницевих рівнянь, права частина яких залежить від скінченнозначного марковського або напівмарковського випадкового процесу, за умови одночасності стрибків напівмарковського процесу і випадкових перетворень розв'язків системи;

_ отриманні необхідних і достатніх умови стійкості розв'язків систем лінійних та нелінійних диференціальних та різницевих рівнянь з напівмарковськими коефіцієнтами та стрибками фазових траєкторій за допомогою рівнянь для функцій Ляпунова;

- знаходженні необхідних умов оптимальності для керованих систем нелінійних диференціальних і різницевих рівнянь, які залежать від напівмарковського або марковського випадкового процесу у сукупності з умовою, що одночасно зі стрибками випадкового ланцюга відбуваються випадкові перетворення розв'язків.

Об'єкт дослідження - класи стохастичних систем спеціального виду та систем диференціальних та різницевих рівнянь з напівмарковськими коефіцієнтами і випадковими перетвореннями їх розв'язків.

Предмет дослідження - стійкість, стабілізація та оптимізація динамічних систем випадкової структури.

Методи дослідження. В роботі використовується математичний апарат методу моментних рівнянь, методи функцій і функціоналів Ляпунова, загальної теорії випадкових процесів, теорії диференціальних, різницевих та інтегральних рівнянь.

Наукова новизна одержаних результатів. В роботі вперше отримано наступні результати:

? побудовано моментні рівняння для послідовності випадкових перетворень, що залежать від скінченнозначних напівмарковських процесів, а також досліджено стійкість розв'язків у різних ймовірнісних трактовках;

? отримано моментні рівняння для розв'язків систем лінійних диференціальних та різницевих рівнянь, коефіцієнти яких залежать від напівмарковських процесів, при наявності у їх розв'язків стрибків, що відбуваються одночасно зі стрибками випадкового процесу;

? отримано рівняння для моментів першого і другого порядку для розв'язків систем лінійних різницевих рівнянь з випадковими коефіцієнтами, що залежать від скінченнозначного напівмарковського ланцюга, за умови одночасності стрибків випадкового ланцюга та випадкових перетворень їх розв'язків; знайдено необхідні і достатні умови стійкості розв'язків у середньому і середньому квадратичному;

? отримано необхідні та достатні умови стійкості та стійкості у середньому квадратичному розв'язків систем лінійних диференціальних рівнянь з коефіцієнтами, що залежать від напівмарковського процесу, за умови одночасності стрибків напівмарковського процесу і випадкових перетворень розв'язків системи;

? отримано умови стійкості нульового розв'язку нелінійних систем диференціальних та різницевих рівнянь за допомогою побудованих моментних рівнянь;

? обґрунтовано метод моментних рівнянь для випадкового розв'язку системи нелінійних диференціальних рівнянь, права частина яких залежить від скінченнозначного марковського або напівмарковського процесу;

? отримано рівняння для моментів випадкового розв'язку системи нелінійних різницевих рівнянь з випадковою правою частиною, яка залежить від напівмарковського ланцюга за наявності стрибків її розв'язків, що відбуваються одночасно зі стрибками випадкового ланцюга;

? отримано рівняння для функцій Ляпунова, що дозволило знайти необхідні і достатні умови -стійкості розв'язків систем лінійних і нелінійних диференціальних та різницевих рівнянь з напівмарковськими коефіцієнтами та стрибками фазових траєкторій або випадкових перетворень розв'язків;

? для керованих систем нелінійних та лінійних диференціальних і різницевих рівнянь з напівмарковськими коефіцієнтамиі знайдено необхідні умови оптимальності та побудовано оптимальне керування;

? на основі функцій Ляпунова отримано матричні диференціальні і різницеві рівняння типу Ріккаті, інтегрування яких дозволяє здійснити синтез оптимального керування системами нелінійних диференціальних і різницевих рівнянь, які залежать від напівмарковського або марковського процесів.

В роботі розвинуто:

_ ідеї А.М. Колмогорова та В.І. Зубова про аналітичне визначення випадкових процесів за допомогою поняття стохастичного оператора;

_ ідеї аналітичного визначення скінченнозначних і нескінченнозначних випадкових процесів;

_ алгоритмізацію одержаних теоретичних результатів для розв'язання модельних задач різної природи: економічної, соціологічної, технічної тощо.

Теоретична та практична цінність. Розроблені теоретичні, методологічні та прикладні рекомендації даної дисертації дають змогу розширити сучасний математичний апарат оптимізації динамічних систем в умовах невизначеності та конфліктних ситуацій. Зокрема, відповідно до запропонованої в дисертації концепції, розв'язано низку задач, що стосуються політичних технологій, банківської справи, у тому числі й задачі прогнозування щодо різних ситуацій, пов'язаних з виборами. Окремі результати дисертаційного дослідження використовуються у викладанні лекцій кафедри вищої математики факультету інформаційних систем і технологій ДВНЗ "Київський національний економічний університет ім. В. Гетьмана" з дисципліни "Багатовимірний аналіз даних" (довідка № 11.04 від 5.03.09). Основні наукові положення, узагальнення та висновки, які містяться в дисертації, є підґрунтям для проведення майбутніх наукових досліджень, розробки навчальних програм та методичного забезпечення навчального процесу у вищих учбових закладах.

Особистий внесок здобувача. Усі результати, що винесено на захист здобуто автором самостійно. Наукові розробки, положення, висновки і пропозиції, що виносяться на захист, є результатом наукової роботи автора.

З ідей та пропозиції, що відображені у наукових працях, опублікованих у співавторстві, у роботі використано лише ті, що є результатом особистої праці здобувача.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідалися на Всеукраїнських та Міжнародних конференціях, а саме: Вторые республиканские научные чтения по обыкновенным дифференциальным уравнениям, посвященные 75_летию Ю.С. Богданова (Минск, 5_9 декабря 1995), Всеукраїнська конференція (Львів, 5_7 жовтня 1995); International Conference "Dynamical system modeling and stability investigation" (Kyiv, 1996, 1997, 1999, 2001, 2005, 2007, 2009); Международная математическая конференция "Еругинские чтения" (Гродно, 1995, Брест, 1996, Витебск, 1997, Могилев, 1998, Гомель, 1999, Гродно, 2001, Брест, 2002); International Conference "Problems of decisions making under uncertainties" (PDMU, Chernivtsі, 2007, Novy_Svit, 2007, Kyiv_Rivne, 2008, Skhidnytsia, 2009); Міжнародна наукова конференція ім. академіка М. Кравчука (Київ, 2000, 2002); Міжнародна конференція "Класичні задачі динаміки твердого тіла" (9_13 июня 2007, Донецк); 9_th Conference on Dynamical Systems (DSTA 2007, Lodz, December 17_20, 2007, Poland); Conference on Differential and Difference Equations and Applications (Strechno, Slovak Republic, June 23_27, 2008); Міжнародна математична школа "Метод функцій Ляпунова" (Алушта, 2000, 2002, 2008); міжнародна конференція "Інтегральні рівняння" (Київ, січень 2009), Conference on Differential Equations (Еquadiff_12) (Brno, Czech Republic, July 20_24, 2009); на науковому семінарі факультету інформаційних систем і технологій ДВНЗ "Київський національний економічний університет імені Вадима Гетьмана", наукових семінарах факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка (2007_2009) і науковому семінарі "Стійкість, стабілізація та оптимізація стохастичних динамічних систем" Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича (2008-2009).

Публікації. Основні результати дисертації надруковані в 42 працях загальним обсягом 55,03 друк. арк. : 3 монографіях (39,57 друк. арк.), 22 статтях в наукових журналах, які відповідають вимогам ВАК України до публікацій результатів дисертаційних робіт у фахових виданнях (10,04 друк. арк.), 17 тезах наукових конференцій та статтях у інших виданнях (5,2 друк. арк.). Спільні праці написано за безпосередньої участі здобувача.

Обсяг та структура роботи. Дисертація складається зі вступу, п'яти розділів, висновків і списку використаних джерел. Загальний обсяг 380 сторінок комп'ютерного тексту. Дисертація містить 6 таблиць на 8 сторінках, 12 рисунків на 6 сторінках і 8 додатків на 68 сторінках. Список використаних джерел містить 186 найменувань і надрукований на 15 сторінках.

Зміст дисертаційної роботи

У вступі описано стан проблеми, обґрунтовано актуальність вибраної теми роботи, визначено мету дослідження, наведено загальну характеристику роботи та основні результати дисертації.

У першому розділі подано огляд робіт з теорії стійкості та теорії оптимального керування для систем з випадковими параметрами. Наведено необхідні відомості з теорії випадкових процесів, які застосовуються в подальших дослідженнях. Введено поняття стохастичного оператора та досліджено його властивості. Це поняття є основним інструментом у дослідженнях даної роботи. Введено також поняття напівмарковської функції, яка дає змогу розв'язувати основні задачі з побудови функцій Ляпунова та знаходження оптимального керування нелінійними системами диференціальних та різницевих рівнянь.

У другому розділі викладено метод побудови моментних рівнянь для випадкового розв'язку систем нелінійних диференціальних та різницевих рівнянь, права частина яких залежить від скінченнозначного марковського або напівмарковського випадкового процесу. Побудовано моментні рівняння при наявності стрибків розв'язків. Для системи лінійних диференціальних рівнянь з випадковими коефіцієнтами розглянуто випадок, коли неоднорідна частина системи містить випадкові процеси типу білого шуму.

Розвинуто ідеї А.М. Колмогорова і В.І. Зубова про аналітичне визначення випадкових процесів. Зокрема досліджено немарковські процеси, які визначаються системами лінійних диференціальних рівнянь із запізненням аргументу.

У підрозділі 2.1 за допомогою стохастичних операторів отримано принципово нові результати для немарковських випадкових процесів, з яких випливають основні відомі результати для марковських процесів. Запропоновано методи і алгоритми аналітичного визначення скінченнозначних і нескінченнозначних випадкових процесів.

Наведено методи дослідження поведінки матриці других моментів деяких важливих класів стохастичних систем рівнянь, бо багато задач оптимізації зводиться до мінімізаії такої матриці. Проведено обґрунтування різницевої апроксимації для розв'язування деяких типів диференціальних рівнянь, що застосовується для числового розв'язування задач.

В підрозділі 2.2 на ймовірнісному базисі розглянуто систему нелінійних диференціальних рівнянь для

(2.1)

з початковою умовою , де - скінченнозначний напів-марковський процес з матрицею інтенсивностей

:. (2.2)

Теорема 2.1. Нехай системи диференціальних рівнянь в кожному із станів напівмарковського процесу

мають розв'язки у формі Коші, що продовжуються для

.

Тоді моменти першого порядку і другого порядку випадкового розв'язку системи рівнянь (2.1) знаходяться відповідно за формулами

де вектор-функції задовольняють систему рівнянь

, ,

а матриці других частинних моментів задовольняють систему рівнянь

.Якщо система рівнянь (2.1) лінійна і розв'язок має стрибки, які визначено лінійними перетвореннями

де _ відомі не вироджені квадратні матриці, - відомі вектори, то система моментних рівнянь набуває вигляду

.

Отримано моментні рівняння, у випадку коли напівмарковський процес перетворюється в марковський, а також коли права частина системи рівнянь (2.1) лінійна.

У підрозділі 2.3 на ймовірнісному просторі розглянуто систему нелінійних різницевих рівнянь

(2.3)

з початковою умовою , де - скінченнозначний напівмарковський ланцюг, який набуває значення і має стрибки в моменти часу .

Теорема 2.2. Нехай напівмарковський ланцюг визначений інтенсивностями , які задовольняють умови

. (2.4)

Тоді для частинних моментів першого порядку розв'язку системи рівнянь (2.3) система різницевих рівнянь має вигляд

.

Матриці других частинних моментів

задовольняють систему рівнянь

.

Якщо знайдено вектори , то вектори перших моментів розв'язку знаходяться за формулою

.

Якщо знайдено матриці , то матриці других моментів розв'язку знаходяться за формулою

.

Теорема 2.3. Нехай в системі різницевих рівнянь (2.3) розв'язок має стрибки, які відбуваються одночасно зі стрибками випадкового ланцюга

. (2.5)

Тоді система рівнянь для частинних моментів першого порядку має вигляд

. (2.6)

Якщо система різницевих рівнянь (2.3) лінійна, а стрибки розв'язків (2.5) мають лінійну форму , то система моментних рівнянь (2.6) набуде вигляду

. (2.7)

Теорема 2.4. Для детермінованої системи нелінійних різницевих рівнянь

з відомим розв'язком у формі Коші і з випадковими стрибками розв'язку, що відбуваються одночасно зі стрибками напівмарковського дискретного процесу, система рівнянь (2.6) набуває вигляду

.

Теорема 2.5. Нехай в системі різницевих рівнянь (2.3) напівмарковський процес вироджується в марковський процес тобто

, .

Тоді системи моментних рівнянь (2.6) і (2.7) відповідно набувають вигляду

,

.

У підрозділі 2.4 запропоновано аналітичне визначення немарковських процесів, побудовано рівняння, якому задовольняє стохастичний оператор для немарковських випадкових процесів, отримано умови зведення немарковських випадкових процесів до марковських. Будь-який напівмарковський процес визначається звичайною системою диференціальних рівнянь із запізненням. Тому цілком логічним є виклад у додатках отриманих результатів щодо знаходження розв'язків систем диференціальних рівнянь із запізненням.

У третьому розділі досліджено стійкість розв'язків декількох класів систем лінійних диференціальних та різницевих рівнянь з випадковими коефіцієнтами та випадковими перетвореннями розв'язків.

У підрозділі 3.1 на ймовірнісному базисі розглянуто систему лінійних диференціальних рівнянь для

(3.1)

з початковою умовою , де - скінченнозначний напівмарковський процес з матрицею інтенсивностей (2.2) та умовою одночасності стрибків напівмарковського процесу і стрибків розв'язків, що визначаються з рівняння

, . (3.2)

Для аналітичного визначення випадкового процесу отримано рівняння для стохастичного оператора. Побудовано моментні рівняння для розв'язку системи (3.1) при умовах (3.2), які використано для дослідження стійкості у середньому та середньому квадратичному.

Означення. Нульовий розв'язок системи рівнянь (3.1) називається _стійким, якщо для будь-якого випадкового розв'язку системи рівнянь (3.1) збігається невласний інтеграл

.

Отримано необхідні та достатні умови_стійкості розв'язків системи рівнянь (3.1).

У підрозділі 3.2 проведено дослідження для систем лінійних диференціальних рівнянь з кусково_сталими напівмарковськими коефіцієнтами, а також для систем лінійних диференціальних рівнянь зі стрибками та коефіцієнтами, що залежать від марковського процесу. Досліджено стійкість розв'язків лінійного диференціального рівняння з напівмарковськими коефіцієнтами у випадках наявності у розв'язків стрибків і без них. В явному вигляді отримано умови _стійкості, побудовано межі області нестійкості. При дослідженні системи лінійних диференціальних рівнянь із марковськими коефіцієнтами показано, що випадкові зміни коефіцієнтів можуть викликати параметричний резонанс. Зокрема, доведено, що параметричний резонанс виникає, якщо частота переходів марковського процесу з одного стану в інший досить велика.

У підрозділі 3.3 розглянуто більш широкий клас систем диференціальних рівнянь з напівмарковськими коефіцієнтами типу (3.1) з додатковою умовою: в момент розв'язок системи (3.1) зазнає випадкове перетворення вигляду

, (3.3)

де - випадкові незалежні величини, які набувають значення з ймовірностями

:

і вектор-функції обернені до вектор-функцій , .

Теорема 3.1. Нехай коефіцієнти системи лінійних диференціальних рівнянь (3.1) залежать від напівмарковського скінченнозначного процесу з матрицею інтенсивностей (2.2) і виконано умову (3.3). При цьому між двома послідовними стрибками випадкового процесу при , система рівнянь (3.1) збігається із системою

. (3.4)

Тоді частинні щільності випадкового процесу знаходяться за формулами

(3.5)

, (3.6)

де стохастичні оператори відповідають випадковим перетворенням (3.3) і мають вигляд

,

стохастичні оператори визначають зсув на час впродовж розв'язків системи рівнянь (3.6)

,

а _ фундаментальні матриці розв'язків систем (3.4).

Рівняння для стохастичного оператора в матричній формі має вигляд

(3.7)

де

,

Розв'язок рівняння (3.7) можна подати у вигляді

(3.8)

де оператор є розв'язком інтегрального рівняння

Теорема 3.2. Нехай виконано теорему 3.1. Тоді система рівнянь для частинних моментів першого порядку має вигляд

(3.9)

, ,

а система матричних інтегральних рівнянь для матриці моментів другого порядку

,

набуває вигляду

(3.10)

.

Теорема 3.3. Для того щоб розв'язок системи (3.1) в умовах (3.3) був _стійкім, необхідно, щоб збігалися невласні інтеграли

. (3.11)

Теорема 3.4. Нехай коефіцієнти системи рівнянь (3.1) залежать від напівмарковського процесу розв'язок зазнає випадкових перетворень вигляду (3.3) і виконано умови (3.11). Для того щоб нульовий розв'язок системи (3.1) був _стійким, необхідно і достатньо, щоб за умови система рівнянь

,

(3.12)

мала розв'язок

Вивчено взаємозв'язок асимптотичної стійкості у середньому квадратичному і _стійкості. Встановлено необхідні і достатні умови _стійкості, тобто встановлено умови збіжності невласного інтеграла

. (3.13)

Встановлено умови, які разом з (3.13) забезпечують асимптотичну стійкість нульового розв'язку системи рівнянь (3.1) у середньому квадратичному.

Теорема 3.5. Для того щоб нульовий розв'язок системи лінійних диференціальних рівнянь (3.1) був _стійким, необхідно, щоб збігалися матричні невласні інтеграли

Теорема 3.6. Якщо нульовий розв'язок системи лінійних диференціальних рівнянь (3.1) _стійкий, а елементи матриці інтенсивностей (2.2) напівмарковського процесу задовольняють умови

, ,

то нульовий розв'язок системи (3.1) асимптотично стійкий у середньому квадратичному.

У підрозділі 3.4 на ймовірнісному просторі розглянуто систему лінійних різницевих рівнянь

, (3.14)

з початковою умовою , де - напівмарковський ланцюг, що набуває скінченої кількості значень з інтенсивностями переходу зі стану у стан , що задовольняють умови (2.4).

Теорема 3.7. Нехай розв'язок системи лінійних різницевих рівнянь (3.14), зазнає стрибків які визначаються рівняннями

, ,

, , (3.15)

, .

Тоді вектор частинних щільностей розподілу визначається для з рівняння

,

де стохастичний оператор задовольняє рівняння

,,, (3.16) , , ,

, - фундаментальні матриці розв'язків систем (3.14) у кожній з реалізацій напівмарковського процесу. Розв'язок рівняння (3.16) визначається рівнянням

,

де оператор задовольняє рівняння

.

Теорема 3.8. Нехай виконуються умови теореми 3.7. Тоді вектор моменту першого порядку розв'язку системи рівнянь (3.14) визначається системою рівнянь

,

, (3.17)

а матриця моментів другого порядку

- системою матричних рівнянь

, (3.18)

.Якщо коефіцієнти системи рівнянь (3.14) є випадковими, кусково_сталими функціями

, , (3.19)

то системи рівнянь (3.17) набувають вигляду

,

, (3.20)

а системи рівнянь (3.18) подаються так

, (3.21)

.

Показано, що використання методу моментних рівнянь для системи різницевих рівнянь (3.14) з напівмарковськими коефіцієнтами дає ефективний спосіб отримання моментних рівнянь у випадку марковських коефіцієнтів.

На ймовірнісному просторі розглянуто систему лінійних різницевих рівнянь

(3.22)

з напівмарковськими коефіцієнтами, де одночасно зі стрибком випадкового процесу з ймовірністю

відбувається випадкове перетворення розв'язку системи (3.22)

. (3.23)

Для системи (3.22) в умовах (3.23) побудовано рівняння стохастичного оператора для аналітичного визначення процесу .

Теорема 3.9. Нехай коефіцієнти системи лінійних різницевих рівнянь (3.22) залежать від напівмарковського ланцюга , який набуває скінчене число значень з ймовірностями

і інтенсивностями , що задовольняють умови (2.4). Тоді частинні моменти першого і другого порядку випадкового розв'язку системи різницевих рівнянь (3.22) задовольняють відповідно системи рівнянь

, (3.24)

, . (3.25)

Для дослідження стійкості розв'язків у середньому можна використовувати систему моментних рівнянь (3.24). Для дослідження стійкості розв'язків у середньому квадратичному можна використовувати систему рівнянь (3.25).

Поряд з означеннями асимптотичної стійкості у середньому, асимптотичної стійкості у середньому квадратичному, вводиться поняття _стійкості розв'язків системи рівнянь (3.22).

Означення. Нульовий розв'язок системи (3.22) називається _стійким, якщо для розв'язку системи (3.22) збігається ряд

.

Доведено, що нульовий розв'язок системи (3.22) буде _стійким, якщо збігається матричний ряд

, .

Якщо нульовий розв'язок системи (3.22) _стійкий, то він асимптотично стійкий у середньому квадратичному.

Теорема 3.10. Якщо збігаються матричні ряди

, ,

то _стійкість розв'язків системи різницевих рівнянь (3.22) еквівалентна обмеженості симетричних матриць .

Теорема 3.11. Нехай виконуються умови теорем 3.9 і 3.10. Тоді для того щоб нульовий розв'язок системи різницевих рівнянь з випадковими коефіцієнтами (3.22) і випадковими стрибками розв'язків (3.23) був _стійким, необхідно і достатньо, щоб виконувалась одна з таких еквівалентних умов:

1. Система матричних рівнянь

,

(3.26)

при мала додатно визначений розв'язок .

2. Система рівнянь (3.26) при мала додатно визначений розв'язок .

Для _стійкості розв'язків системи (3.26) достатньо, щоб при деяких симетричних матрицях виконувалися нерівності

.

Знайдено умови асимптотичної стійкості систем типу (3.22) за допомогою властивостей монотонного оператора.

У четвертому розділі побудовано рівняння для функції Ляпунова для систем лінійних та нелінійних диференціальних і різницевих рівнянь, праві частини яких залежать від напівмарковського процесу. Припускається, що одночасно зі стрибками випадкового процесу виконуються стрибки розв'язків системи рівнянь або розв'язок зазнає випадкових перетворень. За допомогою функцій Ляпунова досліджуено _стійкість розв'язків системи лінійних диференціальних та різницевих рівнянь з коефіцієнтами, які залежать від напівмарковського процесу. Знайдено необхідні і достатні умови існування функцій Ляпунова для кожного з вказаних класів динамічних систем.

У підрозділі 4.1 для ілюстрації ефективності запропонованих методів дослідження наведено результати щодо побудови функції Ляпунова для відомих класів систем.

Розглянуто систему лінійних диференціальних рівнянь (3.1) з умовами (3.2). Для розв'язку X=X(t) системи рівнянь (3.1) знайдено величину

,

де -

квадратична форма. Величина V задовольняє класичні вимоги до функцій Ляпунова. Поряд з функцією Ляпунова, введено функції частинних її значень у кожному із станів випадкового процесу, які названо основними функціями Ляпунова:

.

Зауважимо, що функції з огляду на лінійність системи рівнянь (3.1) є квадратичними формами від х:

.

Теорема 4.1. Нехай для системи лінійних диференціальних рівнянь (3.1), коефіцієнти якої залежать від напівмарковського процесу з матрицею інтенсивності (2.2), в моменти стрибків розв'язок системи (3.1) має стрибки (3.2). Тоді основні функції Ляпунова визначаються системою рівнянь

. (4.1)

Теорема 4.2. Для того щоб нульовий розв'язок системи рівнянь (3.1) з випадковими стрибками (3.2) був асимптотично стійким у середньому квадратичному достатньо, щоб виконувалась одна із еквівалентних умов:

1. Система рівнянь (4.1) для будь-яких матриць має додатно визначений розв'язок .

2. Система рівнянь (4.1) для певних матриць має додатно визначений розв'язок .

3. Збігається метод послідовних наближень

.

4. Для блочної матриці лінійний оператор

має спектр, що лежить в одиничному колі.

Теорема 4.3. Для того щоб нульовий розв'язок системи (3.1) у випадку, коли - марковський процес, який набуває значення з ймовірностями

, що зодовольняють систему рівнянь

,

був асимптотично стійкий у середньому квадратичному, достатньо, щоб для певних матриць система рівнянь

мала додатно визначений розв'язок .

Побудовано функції Ляпунова для лінійних диференціальних рівнянь з напівмарковськими коефіцієнтами та випадковими перетвореннями їх розв'язків.

Для системи диференціальних рівнянь (3.1) за умови, що в момент , коли випадковий процес переходить зі стану в стан з ймовірністю , розв'язок зазнає лінійне перетворення

, (4.2)

якому відповідає стохастичний оператор

,,

отримано систему інтегральних рівнянь для матриці

(4.3)

де допоміжні матриці задовольняють систему інтегральних рівнянь

. (4.4)

Теорема 4.4. Якщо для будь-яких значень розв'язок системи рівнянь (4.3), (4.4) задовольняє умову , то нульовий розв'язок системи (3.1) за умови (4.2) буде асимптотично стійким у середньому квадратичному.

Теорема 4.5. Для того щоб система рівнянь (4.1) мала додатно визначений розв'язок при , необхідно і достатньо, щоб система рівнянь

,

де

мала додатно визначений розв'язок при

У підрозділі 4.2 на ймовірнісному базисі розглянуто систему нелінійних диференціальних рівнянь

(4.5)

з початковою умовою , де - скінченнозначний напівмарковський процес з матрицею інтенсивностей (2.2), _ напівмарковська вектор_функція. Система (4.5) визначає супроводжуючі системи: n різних систем диференціальних рівнянь у кожному із станів напівмарковського процесу:

, , (4.6)

де вектор_функції задовольняють умови Ліпшиця:

.

Загальний розв'язок систем рівнянь (4.6) має вигляд: . Для розв'язку Х(t) знайдено функціонал Ляпунова:

, (4.7)

де невласний інтеграл збігається, а функція задовольняє умову

. (4.8)

Доведено, що якщо виконується нерівність (4.8), то для системи (3.1) з L2_стійким нульовим розв'язком існує функціонал Ляпунова (4.7). Значення функціонала V знайдено за формулою

,

де -

основні функції Ляпунова,

для яких побудовано функціональні рівняння

. (4.9)

Теорема 4.6. Нехай виконано умови

,

Тоді для системи диференціальних рівнянь (4.5) існують основні функції Ляпунова (4.9), які задовольняють умови

де - розв'язок системи рівнянь

.

Якщо спектральний радіус матриці менше одиниці, то основні функції Ляпунова знаходяться методом послідовних наближень

(4.10)

При цьому метод послідовних наближень збігається і виконано нерівності тобто послідовності функцій монотонно зростають та обмежені зверху функціями .

Теорема 4.7. Якщо нульовий розв'язок системи (4.5) L2_стійкий, то існують основні функції Ляпунова .

Теорема 4.8. Нехай функція задовольняє умови (4.8). Якщо існують додатно визначені основні функції Ляпунова , то нульовий розв'язок системи (4.5) L2_ стійкий.

Теорема 4.9. Нехай напівмарковський процес в системі рівнянь (4.5) має стрибки в моменти , і в моменти процесу виконується рівняння стрибка для його розв'язку

де _ деякі неперервні вектор_функції, що задовольняють умови Ліпшиця. Тоді система рівнянь (4.9) набуває вигляду

.

Ці рівняння можуть бути розв'язані методом послідовних наближень.

Теорема 4.10. Якщо права частина системи нелінійних диференціальних рівнянь (4.5) залежить від марковського скінченнозначного випадкового процесу , то основні функції Ляпунова задовольняють систему лінійних диференціальних рівнянь у частинних похідних:

.

Розглянуто систему різницевих рівнянь

, (4.11)

де - скінченнозначний напівмарковський ланцюг, визначений інтенсивностями , що задовольняють умови (2.4).

Праві частини системи (4.11) в кожній із реалізацій напівмарковського процесу задовольняють умови Ліпшиця:

.

Введено напівмарковську функцію , яка задовольняє умови

, (4.12)

функціонал

і основні функції Ляпунова:

.

Якщо функції існують, то значення функціоналу знаходиться за формулою

.

Для знаходження функції Ляпунова отримано системи лінійних функціональних рівнянь:

, (4.13)

де - загальний розв'язок різницевих рівнянь (4.11).

Теорема 4.11. Нехай для системи різницевих рівностей (4.5) напівмарковський ланцюг визначений інтенсивностями , що задовольняють умови (2.4) і функція задовольняє умову (4.12).

Якщо виконано умови

...