Стабілізація та оптимізація динамічних систем з напівмарковськими коефіцієнтами

, ,

то для системи різницевих рівнянь (4.11) існують основні функції Ляпунова (4.13), які задовольняють умову , де - розв'язок системи рівнянь

.

Теорема 4.12. Якщо система рівнянь (4.13) має додатно визначений розв'язок при виконанні умови (4.12), то збігається метод послідовних наближень

і при цьому виконано нерівності

тобто послідовності функцій монотонно зростають і обмежені зверху функціями .

Теорема 4.13. Якщо при всіх х виконуються нерівності

,

то із існування розв'язку системи (4.13) випливає існування розв'язку системи функціональних рівнянь

(4.14)

та умова .

Теорема 4.14. Якщо нульовий розв'язок системи (4.11) L2--стійкий і для функції виконано умову (4.12), то для системи (4.11) існують основні функції Ляпунова .

Теорема 4.15. Нехай функція задовольняє умову (4.12). Якщо для системи рівнянь (4.11) існують додатно визначені основні функції Ляпунова , то нульовий розв'язок системи (4.11) L2_ стійкий.

Для системи різницевих рівнянь (4.11) зі стрибками розв'язків

при і за умови, що вектор_функції задовольняють умови Ліпшиця і , система рівнянь (4.14) набуває більш складного вигляду

. (4.15)

Аналогічні рівняння отримано у випадку, коли розв'язок системи різницевих рівнянь (4.11) зазнає випадкових перетворень в моменти і для систем різницевих рівнянь з правою частиною, які залежать від марковського ланцюга.

У п'ятому розділі розглянуто задачі синтезу оптимального керування для різних класів лінійних та нелінійних систем керування, праві частини яких залежать від марковських або напівмарковських процесів. За допомогою функцій Ляпунова побудовано матричні диференціальні і різницеві рівняння типу Ріккати, інтегрування яких дає можливість знайти оптимальне керування.

У підрозділі 5.1 розглянуто системи лінійних диференціальних і різницевих рівнянь з коефіцієнтами при фазових змінах і керуванні, які залежать від марковського скінченнозначного процесу. Знайдено необхідні умови існування оптимального керування.

У підрозділі 5.2 розглянуто лінійну систему керування в обмеженій області G

(5.1)

з напівмарковськими коефіцієнтами, де вектор належить множині допустимих керувань U. На просторі введено функціонал

, (5.2)

де і - симетричні додатно визначені матриці з напівмарковськими елементами, який названо критерієм якості керування U

Означення. Вектор

,

де - матриця з напівмарковськими елементами, на якому досягається мінімум критерію якості J(X,U) називатимемо оптимальним керуванням.

Припустимо також, що для кожного стрибка випадкового процесу у момент часу розв'язок системи рівнянь (5.1) має стрибок виду (3.2).

Теорема 5.1. Нехай коефіцієнти системи керування (5.1) є напівмарковськими функціями і в кожній із реалізацій напівмарковського процесу визначаються рівностями

, .

Тоді множина оптимальних керувань є непорожньою підмножиною простору U, яка збігається із сукупністю розв'язків системи рівнянь

,

де матриці визначаються із системи рівнянь типу Ріккаті

Досліджено також частинний випадок, коли система керування має випадкові кусково_сталі коефіцієнти, і системи зі скінченим часом перебування у кожному стані.

У підрозділі 5.3 знайдено необхідні умови оптимальності для дискретної системи керування

(5.3)

з напівмарковськими коефіцієнтами. Розв'язки оптимізованої системи різницевих рівнянь мають стрибки виду (2.7).

Знайдено керування

за умови мінімуму критерію якості

, (5.4)

де , - симетричні додатно визначені матриці, - матриці з напівмарковськими коефіцієнтами.

Теорема 5.2. Нехай коефіцієнти системи рівнянь (5.3) і функціонала (5.4) при , визначаються виразами

, , ,

, ,

де , , , , - детерміновані матриці, що залежать від аргументу . Тоді необхідні умови оптимальності розв'язків визначаються системою різницевих рівнянь

,

де

У підрозділі 5.4 досліджено оптимізацію розв'язків системи нелінійних різницевих рівнянь з напівмарковською правою частиною

, (5.5)

яка задовольняє умови Ліпшиця:

.

Критерій якості визначено функціоналом

, (5.6)

де - напівмарковська, додатно визначена функція, така що

Знайдено оптимальне керування

, (5.7)

яке мінімізує значення функціонала (5.6).

Теорема 5.3. Нехай права частина системи рівнянь (5.5) є напівмарковською функцією. Тоді множина оптимальних керувань є непорожньою і збігається із сукупністю розв'язків системи рівнянь

 (5.8)

Якщо в системі рівнянь (5.5) - марковський ланцюг, який набуває значення з ймовірностями , що задовольняють систему рівнянь

,

то система рівнянь (5.8) типу Беллмана набуває вигляду

.

На ймовірнісному базисі розглянуто систему нелінійних диференціальних рівнянь

(5.9)

де - напівмарковський процес, який набуває значення з матрицею інтенсивностей (2.2). Для системи (5.9) знайдено оптимальне керування за умови мінімуму функціонала

.Теорема 5.4. Нехай права частина системи рівнянь (5.9), вектор_функція і функція є напівмарковськими, вектор-функції неперервні відносно t, і задовольняють умови Ліпшиця відносно , а також, функції - неперервні відносно t та двічі диференційовані відносно і обмежені зверху.

Тоді необхідні умови оптимальності мають вигляд:

. (5.10)

Теорема 5.5. Нехай в умовах теореми 5.4 розв'язки системи диференціальних рівнянь (5.9) зазнають випадкових перетворень, що відбуваються одночасно зі стрибками випадкового процесу тобто виконується співвідношення

,

де _ вектор-функції, які задовольняють умови Ліпшиця, .

Тоді необхідні умови оптимальності (5.10) набувають вигляду

Якщо - марковський скінченнозначний процес, необхідні умови оптимальності (5.10) набувають вигляду:

.Аналогічно розглянуто системи диференціальних рівнянь з випадковими перетвореннями розв'язків, які виникають одночасно зі стрибками марковського процесу .

У додатках розв'язано ряд модельних задач, зокрема задачі моделювання ситуації, пов'язаної з повторними виборами, задачі стабільності добробуту країни залежно від уряду, задачі знаходження умов стабільного прибутку банків та інші.

Висновки

Дисертацію присвячено розв'язанню проблем теорії динамічних систем з напівмарковськими збуреннями, а саме: розробці методів встановлення та аналізу умов стійкості і керованості диференціальних та різницевих систем рівнянь, коефіцієнти яких є випадкові функції від часу, а випадковий розв'язок зазнає стрибків або випадкових перетворень.

Автором вперше отримано такі нові результати:

1. Обґрунтовано властивості послідовності випадкових перетворень, що залежать від скінченнозначних напівмарковських процесів. Знайдено моментні рівняння у випадку, коли випадкові перетворення є лінійними, а також досліджено стійкість їх розв'язків.

2. Розвинуто ідеї А.М. Колмогорова, В.І. Зубова про аналітичне визначення випадкових процесів. В основу нових результатів покладено поняття стохастичного оператора. Запропоновано способи визначення скінченнозначних і нескінченнозначних випадкових процесів.

3. Побудовано моментні рівняння для розв'язків систем лінійних диференціальних та різницевих рівнянь, коефіцієнти яких залежать від напівмарковського процесу, а розв'язки мають стрибки, що відбуваються одночасно зі стрибками випадкового процесу.

Для систем лінійних різницевих рівнянь з випадковими коефіцієнтами, що залежать від скінченнозначного напівмарковського ланцюга і умовою, що одночасно зі стрибками випадкового ланцюга відбуваються випадкові перетворення розв'язків, отримано рівняння для моментів першого і другого порядку. Побудовано та обґрунтовано метод отримання моментних рівнянь для випадкового розв'язку системи нелінійних диференціальних рівнянь, права частина яких залежить від скінченнозначного марковського або напівмарковського процесу.

Побудовано моментні рівняння для системи лінійних диференціальних рівнянь з випадковими коефіцієнтами у разі, коли неоднорідна частина системи містить випадкові процеси типу білого шуму.

Для системи нелінійних різницевих рівнянь з випадковою правою частиною, яка залежить від марковського або напівмарковського ланцюга отримано рівняння, які визначають моменти першого та другого порядку випадкового розв'язку. Для системи лінійних різницевих рівнянь проведено порівняння з відомими результатами. Розглянуто випадки наявності стрибків розв'язків таких систем.

4. Обґрунтовано дослідження стійкості нульового розв'язку лінійних систем диференціальних та різницевих рівнянь за допомогою знайдених відповідних моментних рівнянь.

Отримано необхідні та достатні умови стійкості та стійкості у середньому квадратичному розв'язків лінійних диференціальних рівнянь з коефіцієнтами, що залежать від напівмарковського процесу та випадковими перетвореннями розв'язків, які відбуваються одночасно зі стрибками напівмарковського процесу.

Знайдено необхідні і достатні умови стійкості, стійкості у середньому і середньому квадратичному розв'язків систем лінійних різницевих рівнянь з випадковими коефіцієнтами, що залежать від скінченнозначного напівмарковського ланцюга і умовою, що одночасно зі стрибками випадкового ланцюга відбуваються випадкові перетворення розв'язків.

Отримано достатні умови стійкості розв'язків систем нелінійних диференціальних та різницевих рівнянь з правою частиною, яка залежить від напівмарковських збурень та стрибками фазових траєкторій.

5. Побудовано рівняння для функцій Ляпунова для систем лінійних та нелінійних диференціальних та різницевих рівнянь з напівмарковськими коефіцієнтами та умовою, що їх розв'язки зазнають випадкових перетворень.

Отримано необхідні і достатні умови стійкості розв'язків систем лінійних диференціальних та різницевих рівнянь з напівмарковськими коефіцієнтами з випадковими перетвореннями розв'язків за допомогою функцій Ляпунова. Отримано достатні умови стійкості розв'язків систем нелінійних диференціальних та різницевих рівнянь з напівмарковською правою частиною та додатковими умовами на їх розв'язки.

6. Для різних класів лінійних і нелінійних систем керування, які залежать від напівмарковського або марковського скіченнозначного процесу та додатковими умовами на їх розв'язки отримано необхідні умови оптимальності.

При мінімізаціі критерія якості використано побудовані основні функції Ляпунова та ідеї динамічного програмування.

За допомогою основних функцій Ляпунова отримано матричні диференціальні і різницеві рівняння типу Ріккаті, інтегрування яких дозволяє здійснити синтез оптимального керування.

Розроблено чисельні методи оптимізації, які узагальнюють відомі методи для детерінованих систем.

7. На підгрунті запропонованої теорії розв'язано модельні задачі різної природи, зокрема прогнозування щодо повторних виборів, стабільності добробуту країни та інші.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Валєєв К.Г. Операційне числення та його застосування: монографія / К.Г. Валєєв, І.А. Джалладова. - К. : КНЕУ, 2003. - 295 с. [Загальний обсяг 17,2 друк. арк., особисто авторові належить 10,2 друк. арк.: підрозд. 1.6 "Підготовча теорема Вейєрштрасса"; розд. 2 "Застосування перетворення Лапласа"; розд. 5 "Стійкість розв'язків канонічної системи диференціальних рівнянь"; розд. 6 "Стохастичні системи різницевих та диференціальних рівнянь"].

2. Джалладова І.А. Оптимізація стохастичних систем: монографія / І.А. Джалладова. - К. : КНЕУ, 2005. - 221 с. - [18,17 друк. арк.].

3. Валєєв К.Г. Оптимізація випадкових процесів: монографія / К.Г. Валєєв, І.А. Джалладова. - К. : КНЕУ, 2008. - 222 с. [Загальний обсяг 18,13 друк. арк.; особисто автору належить - 11,2 друк. арк.: розд. 2 "Випадкові процеси в лінійних динамічних системах"; розд. 3. "Оптимізація лінійних систем диференціальних рівнянь, що залежать від напівмарковського випадкового процесу"; підрозд.: 1.3 "Немарковські випадкові процеси"; 1.4. "Напівмарковські випадкові процеси"; 4.3 "Оптимізація розв'язків лінійних різницевих рівнянь із напівмарковськими коефіцієнтами"; 5.1 "Асимптотична система диференціальних рівнянь для системи функціональних рівнянь"; 5.2 "Дослідження системи лінійних диференціальних рівнянь із відхиленим аргументом"].

4. Валеев К.Г. Об одном обобщении метода усреднения / К.Г. Валеев, И.А. Джалладова // Укр. мат. журн. - 1997. - Т. 49. - № 7. - С. 906--912. - [0,32 друк. арк.]. [Особисто авторові належить 0,3 друк. арк.: доведення достатніх умов збіжності і аналітичності рядів, що використовуються для побудови моментних рівнянь].

5. Джалладова И.А. Исследование стабилизации математической модели динамической системы со случайными воздействиями при резонансе / И.А. Джалладова // Укр. мат. журн. - 1997. - Т. 49. - № 9. - С. 1176--1181. - [0,27 друк. арк.].

6. Джалладова И.А. Построение периодической системы моментных уравнений / И.А. Джалладова // Укр. мат. журн. - 1998. - Т. 50. - № 6. - С. 774--781. - [0.36 друк. арк.].

7. Джалладова И.А. Исследование системы линейных дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами / И.А. Джалладова // Укр. мат. журн. - 1998. - Т. 50. - № 8. - С. 1137--1144. - [0,36 друк. арк.].

8. Джалладова І.А. Дослідження стійкості розв'язків лінійного диференціального рівняння з напівмарковськими коефіцієнтами / І.А. Джалладова // Вісник Держ. ун_ту "Львів. політехніка". Прикладна математика. - 1998. - № 337. - С. 101--103. - [0,14 друк. арк.].

9. Валеев К.Г. Оптимизация систем линейных дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами / К.Г. Валеев, І.А. Джалладова // Укр. мат. журн. - 1999. - Т. 51. - № 4. - С. 622--629. - [0,36 друк. арк.]. [Особисто авторові належить 0,32 друк. арк.: доведення необхідних умов оптимальності для розв'язків декількох класів лінійних диференціальних рівнянь з випадковими коефіцієнтами].

10. Джалладова И.А. Об одном методе разложения многочлена на множители / И.А. Джалладова // Укр. мат. журн. - 1999. - Т. 51. - № 9. - С. 1281--1287. - [0,32 друк. арк.].

11. Джалладова И.А. Об одном подходе к исследованию разностных уравнений со случайными коэффициентами / И.А. Джалладова // Крайові задачі для диференціальних рівнянь: зб. наук. пр. - К. : Ін-т математики НАН України, 1999. - Вип. 4. - С. 63--69. - [0,36 друк. арк.].

12. Джалладова И.А. О поведении решения дифференциального уравнения в окрестности особой точки / И.А. Джалладова // Крайові задачи для диференціальних рівнянь: зб. наук. пр. - К. : Ін-т математики НАН України, 2000. - Вип. 5. - С. 97--100.-- [0,18 друк. арк.].

13. Валеев К.Г.. Критерий асимптотической устойчивости решений динамических систем / К.Г. Валеев, І.А. Джалладова // Укр. мат. журн. - 2000. - Т. 52. - № 12. - С. 1702--1708. - [0,32 друк. арк.]. [Особисто авторові належить 0,3 друк.арк. : доведення критеріїв асимптотичної стійкості розв'язків різницевих та диференціальних рівнянь з випадковими впливами].

14. Валеев К.Г. Оптимизация стохастических разностных нелинейных систем уравнений / К.Г. Валеев, І.А. Джалладова // Укр. мат. журн. - 2002. - Т. 54. - № 1. - С. 3--14. - [0,54 друк. арк.]. [Особисто авторові належить 0,45 друк. арк.: доведення необхідних умов оптимальності розв'язків стохастичних різницевих нелінійних систем рівнянь та обґрунтування методу синтезу оптимального керування для такого класу систем].

15. Джалладова И.А. Стохастические функции Ляпунова для системы нелинейных разностных уравнений / И.А. Джалладова // Укр. мат. журн. - 2002. - Т. 54. - № 8. - С. 1126--1134. - [0,41 друк. арк.].

16. Валеев К.Г. Вывод моментных уравнений для решений дифференциальных уравнений, зависящих от полумарковского процесса / К.Г. Валеев, И.А. Джалладова // Укр. мат. журн. - Т. 54. - № 11. - С. 1569--1573. - [0,23 друк. арк.]. [Особисто авторові належить 0,2 друк. арк.: обґрунтування методу виводу моментних рівнянь для системи диференціальних рівнянь з напівмарковскими впливами].

17. Валеев К.Г. Вывод моментных уравнений для решения системы нелинейных разностных уравнений, зависящей от полумарковского процесса / К.Г. Валеев, И.А. Джалладова // Укр. мат. журн. - 2003. - Т. 55. - № 6. - С. 858--864. - [0,32 друк. арк.]. [Особисто авторові належить 0,3 друк. арк.: обґрунтування методу отримання моментних рівнянь для системи нелінійних різницевих рівнянь з напівмарковськими впливами та особливості методики порівняння з відомими результатами у частинних випадках].

18. Валеев К.Г. Моментные уравнения второго порядка для системы дифференциальных уравнений со случайной правой частью / К.Г. Валеев, И.А. Джалладова // Укр. мат. журн. - 2004. - Т. 56. - № 5. - С. 687--692. - [0,27 друк. арк.]. [Особисто авторові належить 0,23 друк. арк.: обґрунтування методу виводу моментних рівнянь для системи нелінійних диференціальних рівнянь з випадковими впливами].

19. Валеев К.Г. Исследование устойчивости решений системы линейных разностных уравнений со случайными коэффициентами / К.Г. Валеев, И.А. Джалладова // ДАН України. - 2006. - № 6. - С. 7--9 - [0,14 друк. арк.]. [Особисто авторові належить 0,12 друк. арк.: доведення необхідних і достатніх умов стійкості у середньому квадратичному розв'язків лінійних різницевих рівнянь з випадковими коефіцієнтами].

20. Джалладова І.А. Умови існування асимптотичних систем для рівнянь із запізненням / І.А. Джалладова // Вісник Київ. нац. ун-ту ім. Тараса Шевченка. Серія: Кібернетика. - 2007. - № 7. - С. 54--56. - [0,14 друк. арк.].

21. Джалладова І.А. Побудова функцій Ляпунова для системи нелінійних диференціальних рівнянь з випадковими коефіцієнтами / І.А. Джалладова // Журнал обчислювальної та прикладної математики. - 2007.-- № 2(95) - С. 36--42. - [0,32 друк. арк.].

22. Джалладова І.А. Побудова функцій Ляпунова для систем різницевих рівнянь / І.А. Джалладова // Вісник Київського національного університету імені Тараса Шевченка. Сер. : Кібернетика. - 2008. - №8. - С. 15--23. - [0,27 друк. арк.].

23. Джалладова І.А. Існування та побудова асимптотичних систем для рівнянь із запізнюванням / І.А. Джалладова // Вісник Київ. нац. ун-ту. Серія: Фізико-математичні науки. - 2008. - № 3. - С. 131--135. - [0,23 друк. арк.].

24. Джалладова І.А. Стабілізація розв'язків системи лінійних стохастичних різницевих рівнянь / І.А. Джалладова // Вісник Київ. нац. ун-ту ім. Тараса Шевченка. Серія: Фізико-- математичні науки. - 2008. - № 4. - С. 124--126. - [0,14 друк. арк.]

25. Джалладова И.А. Стабилизация динамической системы со случайными состояниями / И.А. Джалладова // Динамические системи: межведом. научн. сб. - 2008. - Вып. 25. - С. 23--36. - [0,64 друк. арк.].

Статті в інших виданнях, тези наукових доповідей

26. Джалладова І.А. Чисельний метод дослідження стійкості розв'язків стохастичного диференціального рівняння та його використання для розв'язування економічних задач / І.А. Джалладова // Машинна обробка інформації : міжвід.наук. зб. Вип. 59. - К.: КНЕУ, 1997. - С. 133--139. - [0,32 друк. арк.].

27. Джалладова І.А. Чисельне дослідження однієї стохастичної моделі керування / И.А. Джалладова // Машинна обробка інформації : міжвід. наук. зб. Вип. 61.-- К. : КНЕУ, 1998. - С. 149--153. - [0,23 друк. арк.].

28. Джалладова І.А. Параметричний резонанс в стохастичних системах / І.А. Джалладова // Формування ринкової економіки: зб. наук. пр. - 2006. - № 15. - С. 327--331. - [0,27 друк.арк.].

29. Валеев К.Г. Факторизация дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом / К.Г. Валеев, И.А. Джалладова // Труды СМО, Вып. 5. - 2005. С. 38--44. - [0,36 друк. арк.]. [Особисто авторові належить 0,3 друк. арк.: доведення умов зведення системи до асимптотичної системи].

30. Dzhalladova I.A. Difference approximation of stochastic differential equations / Dzhalladova I.A. // Proceedings, 9 - th Conference on Dynamical Systems (DSTA 2007), (Lodz, December 17-- 20, 2007). Poland, Lodz: - V.2. - P. 919--927. - [0,41 друк. арк.].

31. Джалладова І.А. Теорія многовидів в аналізі даних / І.А. Джалладова Моделювання та інформаційні системи в економіці: зб. наук. пр. - К. : КНЕУ, - 2008. - Вип.78. - С. 161--170. - [0,45. друк. арк.].

32. Джалладова І.А. Дослідження стійкості розв'язків лінійних диференціальних рівнянь з випадковими періодичними коефіцієнтами при параметричному резонансі / І.А. Джалладова // Всеукраїнська наукова конференцiя "Розробка та застосування математичних методів в науково-технічних дослідженнях", (Львів, 5_7 жовтня 1995). - Львів:-- 1995. - С. 21. - [0,05 друк. арк.].

33. Джалладова И.А. Метод исследования устойчивости решений систем линейных дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами / И.А. Джалладова / Еругинские чтения - 2, (Гродно, 11 - 13 мая 1995). - Гродно, 1995. - С. 19.-- [0,05 друк. арк.].

34. Джалладова И.А. Numerically investigating mean stability of solution of the system of linear differential equations/ И.А. Джалладова // 2_е республиканские научные чтения по обыкновенным дифференциальным уравнениям, посвященные 75_летию Ю.С. Богданова (Минск, 5_9 декабря 1995). - Минск, 1995. - С. 29. - [0,05 друк. арк.].

35. Джалладова И.А. Асимптотический метод для исследования стохастического регрессионного уравнения / И.А. Джалладова // Моделирование и исследование устойчивости систем (Киев, 20 - 24 мая 1996). - К., 1996. - С. 45. - [0,05 друк. арк.].

36. Джалладова И.А. Исследование стохастического уравнения спроса с дискретными возмущениями / И.А. Джалладова // Еругинские чтения--3 (Брест, 14_16 мая 1996). - Брест, 1996. - С. 31. - [0,05 друк. арк.].

37. Джалладова И.А. Условия существования решения дифференциального уравнения со случайными коэффициентами/ И.А. Джалладова // International Conference "Modeling and investigation of system stability" (Kiev, May 19_23, 1997). - K., 1997. - С. 33. - [0,05 друк. арк.].

38. Джалладова И.А. Оптимизация решений нелинейных дифференциальных уравнений с полумарковской правой частью/ И.А. Джалладова // International Conference "Modeling and investigation of system stability" (Kiev, May 22--25, 2001). - Kiev, 2001. - С. 49.-- [0,05 друк. арк.].

39. Джалладова И.А. Задача управления кадрами / И.А. Джалладова // Крымская международная математическая школа "Метод функций Ляпунова и его приложения" (МФЛ). - Алушта, 11_18 сентября 2004. - С. 55. - [0,05 друк. арк.].

40. Джалладова І.А. Принцип зведення для диференціально_різницевих рівнянь із запізненням / І.А. Джалладова // International Conference "Dynamical system modeling and stability investigation" (Kiev, May 22 - 25, 2007). - Kiev, 2007. - С. 41. - [0,05 друк. арк.].

41. Джалладова И.А. Оптимізація розв'язків системи лінійних диференціальних рівнянь з випадковими коефіцієнтами / И.А. Джалладова // Abstract of International Workshop "Problems of decisions making under uncertainties, September 18_23, 2007, Crimea (Novy Svit), Ukraine . - С. 57--58. - [0,1 друк. арк.].

42. Dzhalladova I.A. Necessary and enough conditions of stability of solutions of the stochastic systems/ Dzhalladova I.A. // Abstract of Conference on Differential and Difference Equations and Applications, Strechno, Slovak Republic, June 21_29, 2008. - P. 21. - [0,03 друк. арк.].

Размещено на Allbest.ru

...