Математическое моделирование при помощи малых выборок

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Оренбургский государственный педагогический университет

Физико-математический факультет

Кафедра математического анализа и методики преподавания математики

Специальность - 230401.65 Прикладная математика

Квалификация - инженер-математик

Выпускная квалификационная работа

Тема:

Математическое моделирование при помощи малых выборок

Студентка И.В. Юртаева

Научный руководитель:

д.т.н., И.А. Акимов

Оренбург - 2015



ВВЕДЕНИЕ

Большинство задач инженерной деятельности человека связано с построением и использованием математических моделей. Теоретические основы, необходимые для изучения методов математического моделирования, закладываются при изучении дисциплины «Математика», а «Математическое моделирование» предполагает изучение специальных прикладных разделов математики, посвященных разработке математических моделей технических объектов и процессов. Моя работа состоит из трех глав, в первой главе будут рассматриваться следующие вопросы:

«Общеметодологические вопросы моделирования» посвящены изучению терминологии по дисциплине, классификации моделей, системного подхода к моделированию, свойств моделей и требований к ним, общих вопросов разработки и применения математических моделей;

«Выборочный анализ результатов натурных и вычислительных экспериментов» изучаются основы математической статистики, при этом происходит частичное повторение под практическим углом материала, изучаемого в курсе математики;

«Методы оптимизации» рассматриваются основы классических и поисковых методов отыскания минимальных и максимальных значений целевой функции;

«Имитационное моделирование и метод Монте-Карло» рассматриваются методы генерации и использования псевдослучайных чисел при решении задач инженерного проектирования;

«Статистическое моделирование» посвящен методам разработки математических моделей на основе статистической обработки экспериментальных данных, изучаются основы планирования экспериментов, корреляционного, регрессионного и дисперсионного анализа.



ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

1.1 Метод моделирования

При познании окружающего мира человек имеет дело не непосредственно с реальными объектами, а с их образами, сформированными с помощью органов чувств, измерительных приборов, аналитического оборудования, оргтехники и абстрактного мышления.

Все предметы, явления, процессы окружающего мира, на которые направлена человеческая деятельность, называются объектами.

Объекты материального мира существуют вне нашего сознания и взаимодействуют между собой и внешней средой. Познание осуществляется посредством ощущений, которые создают в нашем сознании образы материальных объектов. Объекты материального мира сложны и многообразны. Отражение всех их свойств в создаваемых, изучаемых и используемых образах весьма затруднительно, да и не нужно. Важно, чтобы образ объекта содержал черты, наиболее важные для его использования.

Методом моделирования называется замена объекта - оригинала объектом - заместителем, обладающим определенным сходством с оригиналом, с целью получения новой информации об оригинале.

Моделью называется объект-заместитель объекта - оригинала, предназначенный для получения информации об оригинале.

Наиболее важными свойствами моделей являются: сходство с оригиналом в важных для изучения чертах, простота разработки и использования, удобство изучения.

Методологическими основами построения моделей являются гипотезы и аналогии. Гипотезой называется обоснованное предположение, выдвигаемое с целью выяснения свойств и причин исследуемых явлений.

Гипотеза подлежит проверке. Проверка гипотезы, как правило, производится на основании сравнения ее положений с экспериментом. При построении моделей гипотезы часто формулируются на основе аналогий.

Аналогией называется сходство нетождественных объектов в некоторых сторонах, качествах, отношениях. Например, колебания математического маятника и электрические колебания в колебательном контуре сходны по их математическому описанию. Сходство математических описаний объектов называется математической аналогией.

Обнаружив аналогию в некоторых свойствах двух объектов, можно предположить (сформулировать гипотезу), что аналогия наблюдается и в других свойствах, и что один из объектов можно использовать в качестве модели другого. Далее, сформулированная гипотеза подлежит экспериментальной проверке. Если в результате проверки гипотеза отвергается, выделяется новая гипотеза. Если экспериментальные данные не противоречат гипотезе, это еще не значит, что она на 100% верна, возможно, она будет отвергнута в будущем. На основании эксперимента легко отвергнуть неправильную гипотезу, однако, для подтверждения правильной гипотезы требуется время и большое количество экспериментов.

1.2 Системный подход к моделированию

Изучаемые объекты, как правило, очень сложны. Для упрощения их изучения удобно разбить их на части, и изучать каждую из частей отдельно. При этом важно учитывать, что части находятся во взаимодействии и не являются независимыми друг от друга. Для правильного описания поведения взаимодействующих объектов используется системных подход, заключающийся представления сложного объекта в виде системы взаимодействующих элементов. При изучении систем, используемых в целенаправленной человеческой деятельности, особое внимание уделяется целенаправленным системам; в дальнейшем речь будет идти о целенаправленных системах.

Системой называется совокупность взаимодействующих элементов, объединенных наличием общей цели. Элементы системы имеют связи как между собой, так и с внешней средой (объектами, не принадлежащими к системе).

В системе могут быть выделены подсистемы. Подсистемой называется часть системы, имеющая собственную (локальную) цель, согласованную с целью системы. Подсистемы, в свою очередь, также могут разбиваться на подсистемы более низкого уровня. На нижнем уровне иерархии находятся элементы. Элементом называется неделимая часть системы. Иерархии подсистем соответствует иерархия целей, или дерево целей (схема, отражающая иерархию целей, напоминает перевернутое дерево).

Сущность системного подхода к моделированию заключается в единстве процессов декомпозиции и композиции.

Декомпозицией называется метод, основанный на использовании структуры системы и позволяющий заменить решение одной большой задачи решением нескольких более простых задач. Декомпозиция системы производится путем последовательного применения структурного и функционального подходов. Структурный подход заключается в моделировании структуры системы, т.е. разбиении ее на подсистемы и элементы; функциональный подход предполагает построение модели каждого элемента на основе анализа его поведения без использования информации о структуре.

Деление системы на подсистемы не всегда однозначно. При разбиении систем на подсистемы обычно руководствуются принципами:

· У каждой подсистемы должна быть своя локальная цель. Эта цель с одной стороны должна быть автономной, а с другой стороны должна быть согласована с общей целью, т. е. должна быть направлена на выполнение общей цели системы.

· Связи между элементами должны быть, в основном, сконцентрированы внутри подсистем. Это хорошо согласуется с разбиением на подсистемы по функциональным признакам. Например, приемник может быть разбит на УВЧ, преобразователь, УНЧ, эквалайзер и т.п.

Композицией называется моделирование связей подсистем и элементов между собой и с внешней средой. Связь между элементов осуществляется через множество параметров, которые для одних элементов являются входными (влияющими на их функционирование), а для других - выходными (описывающими результат их функционирования). Наибольшую эффективность при решении задачи композиции имеют компьютерные модели, способные хранить в памяти большие массивы информации о параметрах, описывающих связи между элементами.

Таким образом, чтобы построить модель системы, нужно:

· сформулировать цель системы;

· определить, что входит в систему (отделить ее от внешней среды); определить структуру системы, т.е. разбить ее на подсистемы и элементы;

· построить дерево целей в соответствии с иерархической структурой системы;

· построить модель каждого элемента; построить модель взаимосвязи между элементами.

Большинство систем обладают свойствами, основные из которых следующие.

· Системное единство.

· Действие подсистем и элементов подчинено общей цели системы.

· Информационность. Элементы и подсистемы связанны между собой информационными связями.

· Нелинейность. Свойства системы не являются суммой свойств входящих в нее элементов.

· Эмержентность (от англ. emergence -- возникающий, неожиданно появляющийся) - появление у системы неожиданных свойств, которыми элементы не обладают. Например, совместное подключение емкости и индуктивности к простой электрической цепи приводит к возникновению электрических колебаний, но ни емкость, ни индуктивность, взятые отдельно, колебаний в цепи не вызывают.

· Устойчивость. Правильно организованная система должна быть устойчивой к внешним воздействиям.

1.3 Классификация моделей

Одному и тому же объекту можно поставить в соответствие множество различных моделей, которые отличаются друг от друга по различным признакам. Основными видами моделей, используемых в инженерной деятельности, являются материальные (физические), и информационные (символьные) модели.

В качестве материальных моделей используются объекты материального мира. К ним относятся различные макеты, скульптуры, уменьшенные модели самолетов и кораблей, лабораторные установки. Наиболее точной материальной моделью можно считать сам объект, приспособленный для исследования.

Информационные модели представляют собой информацию об объекте, записанную на различных информационных носителях.

1.3.1 Физические (материальные) модели

Физические модели подразделяются на масштабные, подобные и аналоговые.

Масштабные модели - это макеты объектов, выполненные в определенном масштабе. Например, макет нового района города, макет самолета, макет моста. Другой пример: лабораторная установка, как модель промышленного оборудования. Особенностью масштабного моделирования является геометрическое подобие оригинала и модели, т.е. пропорциональность их геометрических размеров.

Подобные модели предполагают не только геометрическое подобие, но и пропорциональность других физических величин: параметров материалов, токов и напряжений, времени. В подобных моделях масштабы подобия по различным геометрическим параметрам могут быть разными. Определением условий подобия и возможных масштабов, связывающих параметры оригинала и модели, занимается специальный раздел математического моделирования - теория подобия.

Налоговые модели используются для моделирования физических объектов объектами, имеющими другую физическую природу. Аналоговое моделирование основано на том, что физические законы поведения объектов разной физической природы описываются математическими закономерностями одинакового вида. В частности, однотипные математические описания имеют: математический маятник и электрические колебания в колебательном контуре; ток в электрической цепи и движение жидкости по трубопроводам; диффузия атомов примеси при легировании полупроводника и процессы теплообмена. Существуют универсальные аналоговые модели - аналоговые вычислительные машины, позволяющие моделировать объекты различной физической природы, с помощью процессов в электрических цепях.

1.3.2 Информационные (символьные) модели

Графические модели предполагают представление информации об объекте в графической форме. К ним относятся рисунки, эскизы, чертежи, схемы, диаграммы, трехмерные компьютерные модели.

Вербальные (словесно-описательные) модели представляют собой описание объекта на естественном человеческом языке. Примерами вербальных моделей являются кулинарные рецепты, технологические инструкции, руководства по эксплуатации бытовых приборов.

Концептуальные модели - развитие вербальных моделей на основе описания структуры объекта и процессов преобразования информации. В концептуальных моделях описывается принцип действия приборов и устройств, могут использоваться диаграммы, графики, структурные и функциональные схемы.

Функционально-логические модели предполагают вербальное описание процесса с последующей формализацией с использованием аппарата математической логики. Например, нужно поддержать температуру в заданных пределах. Модель может представлять собой ряд инструкций типа:

если t > 50°С, то включить холодильник;

если t < 40°С, то выключить холодильник;

если t < 20°С, то включить нагреватель;

если t > 30°С, то выключить нагреватель.

Развитием функционально-логического моделирования является ситуационное моделирование, основано на классификации ситуаций. Для различных ситуаций, которые могут возникнуть в процессе управления объектом, определяется определенный алгоритм действий. При возникновении реальной ситуации она относится к определенному классу, после чего вступает в действие алгоритм, определенный для этой ситуации.

Математические модели относятся к символьным моделям и представляют собой описание объектов в виде математических символов, формул, выражений. При наличии достаточно точной математической модели можно путем математических расчетов прогнозировать результаты функционирования объекта при различных условиях, выбрать из множества возможных вариантов тот, который дает наилучшие результаты. При применении математических моделей целесообразно ориентироваться на использование современных компьютеров, позволяющих за короткое время произвести большое количество расчетов на математических моделях достаточно высокой сложности. Расширением математических моделей являются алгоритмические модели, представляющие собой последовательности математических действий, впоследствии реализуемые в виде компьютерных программ.

1.4 Классификация математических моделей

а) По способу построения модели подразделяются на аналитические (теоретические), статистические (эмпирические) и комбинированные.

Аналитические модели строятся на основе информации, содержащейся в известных законах природы, например, законах сохранения энергии, массы, импульса, электрического заряда, Ома, Кирхгофа, Архимеда и т.п. Объект, для которого строится аналитическая модель, должен быть хорошо изучен. При этом учет всех законов, описывающих функционирование объекта на практике затруднителен, поскольку приведет к очень высокой сложности модели с множеством различных параметров, значение которых часто не известно. По этому, как правило, при построении аналитических моделей используются различные допущения и упрощения, снижающие точность моделирования. Основным достоинством аналитических моделей является их универсальность.

Статистические модели строятся на основании обработки экспериментальных данных. Объект представляется в виде черного ящика, для которого определяются входные и выходные параметры. Затем проводится ряд экспериментов, при которых фиксируются значения входных и выходных параметров, после чего производится статистическая обработка результатов экспериментов, на основании которой подбирается математическое выражение, описывающее экспериментальные данные с достаточной точностью. Информация о структуре объекта и законах его функционирования при этом не используется. Основным достоинством статистических моделей является простота их построения, основным недостатком - низкая универсальность: модель, построенная по данным эксперимента на какой-либо установке, годится только для этой установки и может быть непригодна для такой же установки, установленной в соседней лаборатории (а тем более для оборудования с другими размерами и параметрами, для других материалов).

Наилучший результат дают комбинированные модели, сочетающие достоинства аналитических и статистических моделей. Сначала строится упрощенная аналитическая модель, которая может содержать как известные, так и не известные параметры. В модель вводятся корректирующие коэффициенты с целью уменьшения систематической погрешности модели. Вначале корректирующие коэффициенты задаются таким образом, чтобы они фактически не изменяли математическую модель. Например, если аналитическое выражение умножается на корректирующий коэффициент, то начальное его значение принимается равным единице. После проведения эксперимента значения неизвестных параметров и корректирующих коэффициентов пересчитываются на основе статистического анализа экспериментальных данных.

б) Одномерные и многомерные модели различают по количеству входных переменных, входящих в модель.

в) Линейные и нелинейные модели. Для линейных моделей справедлив принцип суперпозиции, согласно которому реакция объекта на суммарное воздействие равна сумме реакций объекта на элементарные воздействия:

(1.1)

г) Статические и динамические модели. В динамических моделях переменные зависят от времени, в статических - не зависят. Динамические модели проще статических, и при необходимости они иногда преобразуются в статические. Например, при напылении тонкопленочных слоев толщина слоя изменяется с течением времени, но если вместо толщины в качестве параметра выбрать скорость роста слоя, то она может быть и неизменной (статическая модель). Статические модели описывают также установившиеся режимы, когда переходные процессы закончились.

д) Стационарные и нестационарные модели. Стационарные модели описывают процессы, инвариантные относительно времени начала процесса. Нестационарные модели описывают процессы, течение которых зависит от времени их начала. Реакция стационарной системы на любой заданный тип возмущения зависит только от интервала времени между моментом начала действия входного возмущения и данным моментом времени, т.е. свойство стационарности означает, что процесс преобразования инвариантен относительно сдвига сигналов на входе во времени. Реакция нестационарной системы зависит как от текущего времени, так и от момента приложения входного возмущения. В этом случае при сдвиге воздействия на входе во времени выходные сигналы не только сдвигаются во времени, но и меняют свою форму. Статические модели являются частными случаями стационарных моделей и описывают функционирование системы в установившихся условиях.

е) Модели с параметрами, сосредоточенными или распределенными в пространстве.

В моделях с распределенными параметрами переменные зависят от пространственных координат, в моделях с сосредоточенными параметрами - не зависят. Динамические модели с сосредоточенными параметрами описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Динамические модели с распределенными параметрами описываются дифференциальными уравнениями с частными производными. Например, модель линейной электрической цепи с сосредоточенными параметрами описывается законами Ома и Кирхгофа; модель линейной электрической церии с распределенными параметрами - уравнениями Максвелла.

ж) Модели, дискретные и непрерывные (во времени). В дискретных моделях время принимает фиксированные значения, в непрерывных - любые значения. При использовании дискретных моделей ось времени разбивается на интервалы, границы которых называются опорными моментами времени. Расчет параметров модели производится для опорных моментов времени.

з) Детерминированные и стохастические (вероятностные) модели. Детерминированные модели являются воспроизводимыми: при одинаковых условиях модель всегда дает один и тот же результат. В стохастических моделях некоторые параметры являются случайными величинами, и результаты моделирования при каждой реализации отличаются друг от друга.

1.5 Свойства математических моделей и требования к ним

При разработке математической модели устанавливается ряд требований к ее свойствам, выполнение которых необходимо для ее эффективного использования. Рассмотрим основные из них.

Целенаправленность модели. В модели должны фигурировать параметры, описывающие цель объекта, а так же параметры, с помощью управления которыми можно добиться достижения цели.

Точность модели определяется величинами погрешности, с которыми рассчитываются выходные параметры. Погрешности подразделяются на систематические и случайные. Систематическая погрешность характеризует среднее отклонение между вычисленными и экспериментальными значениями выходного параметра, а случайная (среднеквадратичная) погрешность у - среднеквадратичное отклонение экспериментальных значений от вычисленных:

где n - число экспериментов;

- значение выходного параметра в i-ом эксперименте, вычисленное из математической модели;

Y* - экспериментальное значение выходного параметра в i-ом эксперименте.

Непротиворечивость модели характеризует отсутствие абсурдных ответов и выводов при использовании модели. При этом обычно рассматриваются крайние случаи (метод доведения до абсурда). Что произойдет, если какая-то переменная примет нулевое (отрицательное, бесконечно большое) значение? Модель проверяется также на противоречия между выводами, которые можно сделать из модели и из экспериментальных данных.

Для иллюстрации свойства непротиворечивости рассмотрим два примера.

Пример 1. На рисунке 1.1 точками изображены экспериментальные данные, сплошными кривыми - графики функций y1(x) и y2(x), построенные по двум математическим моделям. Из экспериментальных данных следует, что при увеличении параметра Х величина Y увеличивается; то же самое следует из модели y1(x). Из модели y2(x) следует, что при увеличении X величина Y уменьшается, что противоречит экспериментальным данным. Модель y1(x) является непротиворечивой (хотя и содержащей существенную систематическую погрешность), а модель y2(x) - противоречивой.

Рис. 1.1 Непротиворечивость модели

Пример 2. Имеется партия резисторов с номинальным сопротивлением Ro = 5 Ом и среднеквадратичной погрешностью у. Резисторы поочередно подключаются к источнику напряжения (рис. 1.3).

Рис. 1.2 Схема для измерения силы тока.

Нужно оценить силу тока в цепи, учитывая возможную погрешность сопротивления резисторов.

Типовое решение. При производстве резисторов на их сопротивление влияет большое количество возмущающих факторов. Количество факторов велико, а влияние каждого фактора мало, в связи с чем в силу центральной предельной теоремы можно считать, что сопротивление резисторов является случайной величиной с нормальным законом распределения:

Рис. 1.3 Нормальный закон распределения сопротивления в партии резисторов

Сила тока в цепи также является случайной величиной, вычисляемой по закону Ома, исходя из заданного напряжения и случайного сопротивления:



Для оценки непротиворечивости модели оценим среднее значение силы тока в цепи. Для этого вычислим его математическое ожидание, определяемое из теоремы о математическом ожидании функции случайной величины:

Анализ интеграла (1.5) показывает, что он расходится при любых значениях параметров распределения, т.е. оценка среднего значения тока в цепи бесконечно велика. Однако эксперимент показывает иное: при подключении резисторов к цепи сила тока в ней никогда не достигает бесконечного (и даже просто очень большого) значения. Причина расхождения интеграла в противоречивости математической модели, приводящей к абсурдным результатам. Дело в том, что в соответствии с нормальным законом распределения величина R может принимать (с малыми вероятностями) нулевые и даже отрицательные значения (что на практике, конечно, не наблюдается), и этого оказывается достаточно для полного искажения результатов моделирования. В данном случае, для повышения устойчивости модели можно воспользоваться не нормальным, а усеченным нормальным распределением (с «обрезанными хвостами»). При этом границы усечения нужно выбрать так, чтобы точка 0 находилась за границей. Например, ограничиться областью

Реалистичность модели оценивается путем также расчета типовых примеров, для которых заранее известен результат (точный или ориентировочный). Например, если тепловой расчет печатного узла дает в результате температуру микросхемы 1500°С, то модель не реалистична.

Устойчивостью модели называется слабая чувствительность к погрешностям ее параметров. Неустойчивость модели является ее свойством и не всегда свидетельствует о неустойчивости описываемых ею объектов. Рассмотрим пример неустойчивой модели. Модель представлена в виде системы линейных алгебраических уравнений:

Допустим, что коэффициенты при переменных определены из эксперимента с небольшими погрешностями, которые влияют на результат решения:

Из примера видно, что погрешности исходных данных в несколько процентов (типичная погрешность для экспериментальных данных) привела к существенному искажению результатов.

Причиной неустойчивости системы является близость уравнений, образующих систему, к линейно зависимым. Вследствие этого матрица, составленная из коэффициентов системы, является плохо обусловленной. Для построения устойчивой модели умножим обе части первого уравнения системы (1.7) на 11:

11X1 + 44 X2 = 88.

Вычтем это уравнение из второго уравнения системы (1.7) и включим полученное уравнение в систему вместо второго:

Получившаяся в результате модель является устойчивой к погрешностям коэффициентов системы.

Удобство использования является одним из основных свойств математических моделей, что обусловлено самим методом моделирования. Это требование, в частности, должно предусматривать удобство реализации в виде компьютерных программ.

Универсальность модели обеспечивает описание с помощью нее как можно более широкий класс объектов. Требование универсальности особенно важно в моделях, предназначенных для проектирования, т.к. они должны описывать еще не существующие объекты с заранее не известными (а лишь предполагаемыми) свойствами.

Адаптивность и возможность изменения. Модели, обладающие этими свойствами можно корректировать при изменении окружающих условий и совершенствовать для 33 улучшения ее свойств. Простейшим приемом обеспечения адаптивности модели является введение в нее корректирующих коэффициентов, значения которых можно изменять и уточнять по мере ее использования.

Экономичность, простота, физический смысл. Требование экономичности модели подразумевает минимизацию затрат на ее разработку и реализацию (в частности, время, необходимое для компьютерных расчетов). Наличие физического смысла полезно для изучения модели с целью избежания возможных ошибок. Принцип простоты заключается в том, что из нескольких моделей с одинаковыми другими свойствами нужно выбрать наиболее простую. При этом для разных целей можно использовать разные модели одного и того же объекта. Например, для проектирования используют сложные аналитические модели, обладающие высокой универсальностью и учитывающие большое число параметров; для управления объектами в реальном масштабе времени используются простые статистические модели, содержащие только управляющие параметры и просчитываемые на управляющих компьютерах за доли секунды.

Адекватность математической модели является ее интегральным свойствам, объединяющим другие наиболее важные свойства. Если свойства модели удовлетворяют требованиям, говорят, что она адекватна (оригиналу), в противном случае - не адекватна.

1.6 Разработка математических моделей

Разработка математической модели состоит из ряда этапов.

1. Уяснение и формулировка целей. На этом этапе нужно сформулировать требования к модели и определить ее выходные параметры.

2. Определение необходимых свойств модели, исходя из классификации (линейная или нелинейная, статическая или динамическая и т.п.).

3. Определение параметров, входящих в модель (входные, управляющие, состояния).

4. Представление объекта в виде системы. Составление структурной схемы модели и дерева целей.

5. Определение параметров для каждой подсистемы и каждого элемента.

6. Разработка математических моделей каждого элемента, устанавливающих связь между их параметрами.

7. Оценка устойчивости, непротиворечивости и реалистичности моделей элементов.

8. Экспериментальная проверка моделей элементов, оценка их адекватности.

9. Разработка модели системы на основе моделей элементов и с учетом взаимосвязи их параметров.

10. Оценка адекватности модели системы.

Порядок разработки математической модели является итерационным: с любого этапа при необходимости можно вернуться на любой из предыдущих этапов с целью внесения улучшений, уточнений и упрощений.

Упростить модель можно, выполнив одну из следующих операций:

· превратить некоторую переменную величину в постоянную;

· превратить динамическую модель в статическую, введя в модель вместо переменных, зависящих от времени, их производные;

· исключить или объединить некоторые переменные;

· ввести более жесткие ограничения и предположения; предположить, что модель является линейной, стационарной, детерминированной, с сосредоточенными параметрами.

1.7 Применение математических моделей

В инженерной деятельности математические модели используются для:

· получения новых знаний об объекте путем исследования модели;

· проектирования (создания новых или улучшения старых) объектов;

· диагностики неисправностей,

· решения задач о взаимодействии объекта с другими объектами.

Все задачи, основанные на использовании математических моделей, можно разбить на две разновидности: задачи анализа и задачи синтеза. Задачи анализа служат для прогнозирования поведения и свойств объекта в различных условиях. Задачи синтеза заключаются в определении условий, при которых объект обладает заданными свойствами или ведет себя заданным образом. Задачи анализа и синтеза могут решаться как аналитически, так и численными методами, с использованием компьютеров.



ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ СХЕМЫ ФОРМИРОВАНИЯ ВЫБОРОЧНОЙ СОВОКУПНОСТИ

Существуют следующие основные способы формирования выборочной совокупности:

· Типологическая выборка;

· Собственно - случайная выборка;

· Серийная выборка;

· Механическая выборка.

Разберем каждый вид выборки в отдельности.

2.1 Типологическая выборка

Под типологической выборкой понимается такой способ формирования выборочной совокупности, когда единицы генеральной совокупности предварительно объединятся в типические группы по какому - либо существенному признаку и непосредственный отбор единиц производятся в пределах отдельных типических групп.

Генеральная совокупность расчленяется на L типических групп с численностями . Для обеспечения реперезентативности (соответствие характеристик выборок характеристикам генеральной совокупности в целом) выборки используют различные схемы.

Равномерная выборка. Из каждой типической группы отбирается одинаковое число единиц, т.е. . Такой подход оправдан лишь при равенстве численностей исходных типических групп. В противном случае выборки могут оказаться нерепрезентативными.

Выборка, пропорциональная групповым численностям. Выборочная совокупность формируется таким образом, что численности частных выборок пропорциональны численностям типических групп то есть должно быть сохранено неизменным соотношение между численностями групп N и численностями выборок :

Отбор необходимо произвести пропорционально удельному весу каждой группы в генеральной совокупности.

Выборка, пропорциональная среднему квадратическому отклонению. Ошибка выборки зависит не только от численности, но и от вариации признака в типических группах. Поэтому более предпочтительной является схема выборки пропорционально значению среднего квадратического отклонения, то есть должно быть соблюдено равенство отношений:

Выборка, пропорциональная комбинированная. При формировании выборочной совокупности учитывают различия как в численности, так и в вариации признака в группах генеральной совокупности. Выборка формируется таким образом, чтобы оставить неизменными следующие отношения:

Объем частой выборки по j - й группе определяется как

Расчет средней ошибки при типологической выборке. Групповые средние отклонения от общей средней, и эту вариацию измеряет межгрупповая дисперсия:

В каждой типической группе имеет место остаточная внутригрупповая вариация, вызванная влиянием случайных факторов. Эта часть вариации должна рассматриваться как источник ошибки выборки.

Средняя арифметическая из групповых (частных) остаточных дисперсий называется внутригрупповой дисперсией

где групповая выборочная дисперсия.

Согласно теореме сложения дисперсий имеет место равенство:

и поэтому средняя ошибка топологической выборки меньше, чем при собственно случайной выборке. Формулы расчета средней ошибки, предельной ошибки и необходимой численности при типической выборке (по схеме повторного отбора) показаны в таблице:

Выборочная оценка	Средняя ошибка	Предельная ошибка	Необходимая численность выборки
Выборочная средняя
Выборочная доля

Пример 3: По трем типическим группам (таб. 2.1) известны значения: Тогда необходимая численность выборки по группам будет определяться следующим образом:

Таблица 2.1

Расчет необходимого объема частных выборок, пропорциональных групповым средним квадратическим отклонениям

Типичная группа	Численность типичных групп	Среднее квадратическое отклонение по группе	Относительный коэффициент по группе	Необходимый объем выборки по группе
I II III	300 500 200	5 7 8	0,25 0,35 0,40	25 35 40
	1000	20	1,00	100

2.2 Собственно случайная выборка

Под случайной выборкой понимается такой способ формирования выборочной совокупности, когда отбор единиц из генеральной совокупности производятся в случайном порядке.

Случайность обора заключается в соблюдении принципа равной возможности для всех единиц генеральной совокупности попасть в выборку.

Для полного и строгого обеспечения случайности процесса на практике применяются различные приемы и технические средства, например, урны с пронумерованными шарами, карточками, кубиками и т.д., которые являются как бы моделью генеральной совокупности. Тогда выборка формируется путем отбора необходимого числа единиц наугад или использованием таблиц случайных чисел. Случайная выборка часто применяется в сочетании с другими видами выборки.

Когда случайная выборка применяется как самостоятельный способ отбора, т.е. в чистом виде, то говорят о собственно - случайной выборке.

Случайная выборка может быть организованна либо по схеме повторного отбора, либо по схеме бесповторного отбора.

Особенность бесповторной выборки состоит в том, что отобранная один раз единица уже не возвращается в генеральную совокупность, для оставшихся единиц совокупности повышается вероятность попасть в выборку. Поэтому средняя ошибка при бесповторном отборе меньше, чем при повторном на следующую поправочную величину:

где численность единиц генеральной совокупности, объем выборки. При достаточно большом значении вместо достаточно взять . Тогда поправка имеет вид:

При повторной выборке отобранная единица после регистрации возвращается обратно в генеральную совокупность и в дальнейшем повторно может попасть в выборку. Средняя ошибка по выборке рассчитывается по формуле:

Определение предельной ошибки и необходимой численности выборки при собственно случайном отборе

Предельная ошибка зависит от достоверности уровня вероятности P, приемлемого для каждого конкретного случая. При заданном уровне вероятности определяется табличное значение критерия t. Предельная ошибка есть увеличенная в t раз средняя ошибка .

Формула расчета предельной ошибки при разных способах случайного отбора:

Выборочные оценки	Повторная выборка	Бесповторная выборка
Выборочная средняя
Выборочная доля

При практическом использовании этих формул значения заменяются их выборочными оценками.

Расчет необходимой численности собственно случайной выборки

При определении необходимой численности выборки допустимая величина заранее задается самим исследователем в зависимости от размерности изучаемого признака и ответственности решаемой задачи. Величина допустимой ошибки прежде всего определяется тем, какого порядка различия пытается уловить исследователь в своих наблюдениях. Например, при выборочном определении урожайности зерновых перед уборкой достаточно уловить различия порядка 0,5 ц, а при определении урожайности картофеля допустимы ошибки до 2 - 3 ц. Целесообразно, чтобы ошибка по отношению к средней не превышала принятого доверительного уровня значимости .

Необходимая численность собственно случайной выборки

Выборочные оценки	Повторная выборка	Бесповторная выборка
Выборочная средняя
Выборочная доля

2.3 Серийная выборка

В некоторых случаях характер размещения объектов в генеральной совокупности может быть таким, что объекты расположены сериями однородных объектов (например, продукция, упакованная в мешки или ящики). В таких случаях формирование выборочной совокупности путем отбора отдельных единиц практически нецелесообразно. Проще организовать отбор сериями и провести сплошное обследование отобранных серий. Следовательно, выборочная совокупность будет представлена некоторым числом отобранных серий.

Пусть число серий в генеральной совокупности, число отобранных серий (объем выборки). Отбор серий может быть произведен по схеме собственно случайной или механической выборки.

Поскольку отобранные серии подвергаются сплошному обследованию, то по каждой из них может быть вычислена серийная средняя Если серии в генеральной совокупности имеют равную численность, то общая средняя по всех выборке определяется как простая средняя арифметическая из серийных средних:

Если численности серий не равны, то требуется взвешивание серийных средних.

По каждой отобранной серии могут быть вычислены значения дисперсии признака Средняя арифметическая этих дисперсий представляет собой внутрисерийную (остаточную) дисперсию .

С другой стороны, колебание серийных средних около общей выборочной средней может быть охарактеризовано межсерийной дисперсией



Тогда согласно теореме сложения дисперсий общая вариация признака может быть представлена следующим образом:

Поскольку внутрисерийная дисперсия вычисляется на основе сплошного обследования отобранных серий, то ошибка репрезентативности зависит от межсерийной дисперсии. Поэтому формулы расчета средней ошибки, необходимой численности и предельной ошибки серийной выборки основаны на использовании межрерийной дисперсии (табл. 2.2). На практике, как правило, применяется бесповторная схема отбора серий.

Расчет средней ошибки и необходимой численности выборочной доли проводится по аналогичным формулам с той лишь разницей, что вместо берется межсерийная дисперсия доли

Таблица 2.2

Расчет средней ошибки и необходимой численности серийной выборки

	Повторная выборка	Бесповторная выборка
Средняя ошибка серийной выборки
Необходимая численность серийной выборки

Поскольку согласно теореме сложения дисперсий , то ошибка серийной выборки обычно меньше по сравнению с собственно случайной выборкой. Но в то же время число серий всегда значительно меньше числа единиц в генеральной совокупности, что действует в сторону завышения ошибки. Следовательно, в целом точность серийной выборки зависит от конкретных соотношений указанных величин.



2.4 Механическая выборка

Механическая выборка исходит из учета некоторых особенностей расположения объектов в генеральной совокупности, их упорядоченности. Упорядочение объектов может проводиться искусственно (например, расположение студентов курса по алфавиту) или же используется естественная упорядоченность объектов (например, расположение деревьев в рядах). Механическая выборка осуществляется путем отбора отдельных объектов генеральной совокупности через определенный интервал. Например, отбирается каждый десятый студент по списку, каждое двадцатое дерево в ряде. Таким образом, при этом способе выборки генеральная совокупность как бы механически расчленяется на n равных частей (интервалов) и из каждой такой части в определенном порядке отбирается один представитель. Совокупность, таким образом, расчленяется на столько частей, сколько объектов в выборке, и поэтому длина интервала определяется как:

Так, если предполагается отобрать 200 объектов из генеральной совокупности численностью 2000, то

т.е. следует отобрать по одному элементу из каждого десятка. Если отбор начинать от первого элемента, то в выборку попадут объекты с номерами 1, 11, 21 и т.д. Если же отбор начинать с седьмого элемента, то будут отобраны 7, 17, 27 и т.д. Вообще практически безразлично, с какого элемента первого интервала начинать отбор. Но для обеспечения случайности процесса целесообразно первую выборку из первого интервала произвести по жребию. Необходимо иметь в виду, что характер первоначальной упорядоченности может оказать существенное влияние на репрезентативность механической выборки.

Если расположение объектов в генеральной совокупности носит случайный характер, то механическая выборка по содержанию аналогична собственно случайной. Случайный характер распределения признака наблюдается в том случае, если расположение элементов (например, нумерация по порядку) не зависит от изучаемого признака. Например, расположение работников предприятия по алфавиту не связано с уровнем заработной платы, возрастом и т.д.

Если же расположение элементов в генеральной совокупности не является случайным и связано с изучаемым признаком, то интервалы будут систематически отличаться друг от друга и их можно тогда условно рассматривать как типические группы. В таком случае механическая выборка по содержанию приближается к топологической и ее репрезентативность будет выше, чем при собственно случайной выборке.

Особо следует отметить, случай, когда упорядоченность генеральной совокупности характеризуется некоторой цикличностью (периодичность изменения). Механический отбор через равные интервалы может привести к тому, что в выборку попадут элементы с признаками, связанными с одними и теми же моментами повторяющихся циклов. В связи с этим выборка крайне нерепрезентативной. Такое положение может иметь место при анализе явлений, изменяющихся во времени (рядов динамики). Поэтому в таких случаях более предпочтительной является типологическая выборка.

Ошибка репрезентативности механической выборки колеблется между ошибками собственно случайной и типологической выборки. В практических работах пользуются формулами собственно случайной повторной выборки. На практике чаще всего приходится сочетать различные виды и формы статистического наблюдения. Так, например, при переписи населения сплошной вид статистического наблюдения сопровождается дополнительными выборочными исследованиями. Часто одна форма выборки применяется в сочетании с другой. Например, типологическая выборка сочетается с механической и собственно случайной выборками. Таким образом, на практике обычно имеет место комбинированное статистическое наблюдение, что ведет к повышению надежности выводов.

вычислительный псевдослучайный имитационный статистический



ГЛАВА 3. МАЛЫЕ ВЫБОРКИ

На практике довольно часто приходится иметь дело с выборками весьма малого объема, численности которых значительно меньше двадцати - тридцати. Такие выборки в статистике получили название малых выборок. Необходимость специального рассмотрения малых выборок вызвана тем, что разобранные выше методы точечной и интервальной оценки выборочных характеристик предполагают достаточно большую численность выборок.

3.1 Понятие о малых выборках. Распределение Стьюдента

Выборочная средняя и, соответственно, ее ошибка распределены нормально, а поправка на величину смещения выборочной дисперсии очень близка к единице и не имеет практического значения. Ошибка выборки в этих условиях очень редко превышает величину . Иное дело при небольшом объеме выборки. При малых выборках выборочная дисперсия оказывается значительно смещенной. Поэтому применять функцию нормального распределения для вероятностных выводов о возможной величине ошибки было бы неправомерно. При малом объеме выборки всегда нужно пользоваться несмещенной оценкой дисперсии:

Следовательно, для получения несмещенной оценки дисперсии по данным малой выборки сумму квадратов отклонений нужно делить на величину . Эта величина называется числом степеней свободы вариации. В дальнейшем для краткости число степеней свободы вариации будет обозначаться греческой буквой (ню).

Проблема оценки выборочных характеристик на основе малых выборок впервые была исследована английским математиком статистиком В. Госсетом, публиковавшим свои работы под псевдонимов Стьюдент (1908 г.).

Исходя из предложения о нормальности распределения признака в генеральной совокупности и рассматривая вместо абсолютных отклонений их отношения к независимому стандарту, Стьюдент нашел распределение, которое зависит только от численности выборки. Позже (1925 г.) Р. Фишер дал более строгое доказательство этого распределения, которое получило название распределение Стьюдента.

Величина Стьюдента выражается как следующее отношение:

В числителе выражения фигурирует переменная величина , которая отражает возможные значения отклонений выборочных средних от генеральной средней. Величина распределена нормально с центром, равным нулю, и дисперсией, равной .

Следует особо подчеркнуть, что знаменатель выражения нельзя рассматривать как среднюю ошибку переменной . Величина рассматривается здесь как независимо распределенная от числителя переменная. означает среднее квадратическое (стандартное) отклонение данной выборки и не является оценкой генеральной совокупности, так как распределение Стьюдента не зависит ни от одного параметра генеральной совокупности. определяется по данным выборки как

Распределения независимы друг от друга. Только при этом условии и для выборок из нормальных совокупностей имеет место распределение Стьюдента.

Основное преимущество распределения Стьюдента состоит в том, что оно не зависит от параметров генеральной совокупности и имеет дело только с величинами, полученными непосредственно из выборки.

Дифференциальный закон распределение Стьюдента (плотность вероятности) имеет вид:

где объем выборки;

величина соответствующая максимальной ординате кривой распределения при t = 0.

Соответственно функция распределения Стьюдента выражается:

Иначе говоря,

где t_ф стандартизированная (нормированная) разность, вычисляемая по результатам малой выборки.



Величины Г() и Г() являются гамма- функциями. Для некоторого числа гамма - функция выражается несобственным интегралом:

В малых выборках всегда целое положительное число (объем выборки).

В этом случае гамма - функция всегда имеет конечную величину и выражается через факториалы:

следовательно:

При вычислении гамма - функции полезно знать следующие свойства:

1) При есть ;

2)

3) Например,

Используя это свойство, легко можно вычислить значения Г() и Г() в выражении плотности распределения;

4) Функция достигает минимума при дробном значении

Рис 3.1 Гамма - функция

Общий вид гамма - функции показан на рис. 3.1.

Из свойств распределения Стьюдента, рассматриваемых обычно в курсе теории вероятностей, обращается внимание на следующее:

1) Распределение Стьюдента замечательно тем, что зависит только от одного параметра - объема выборки и не зависит от средней и дисперсии генеральной совокупности (в отличие от нормального распределения, зависящего о этих двух параметров).

2) Распределение Стьюдента точно для любого объема выборки следовательно, и для малых выборок, что позволяет делать вероятностные выводы по малому числу наблюдений.

3) При увеличении объема выборки величина приближается к значению , а распределение Стьюдента приближается к нормальному. При распределение Стьюдента становится нормальным. Практически для нормального приближения считается достаточным .

4)

Рис 3.2 Распределение Стьюдента (1) и нормальное распределение (2)

На рис. 3.2 показаны соотношения между распределением Стьюдента и нормальным распределением.

Как видно из рис. 3.2, под концами кривой распределения Стьюдента, например или , расположена значительно большая часть площади, чем под кривой нормального распределения при тех же значениях . Это значит, что при малом объеме выборок вероятность допущения больших ошибок заметно увеличивается. Из рисунка видно, что при значениях нормированного отклонения , превышающих по абсолютному значению, площадь под кривой распределения Стьюдента гораздо больше, чем под кривой нормального распределения.

О величине расхождений между значениями функции распределения Стьюдента в зависимости от объема выборки и значениями нормальной функции распределения можно судить по данным табл. 3.2, где приведены значения площадей под кривой распределения от при разной численности выборки при .

Таблица 3.1

Значение нормальной функции распределения

...

x		x		x
-0,00	0,5000	-0,30	0,3821	-0,60	0,2743
-0,01	4960	-0,31	3783	-0,61	2709
-0,02	4920	-0,32	3745	-0,62	2676
-0,03	4880	-0,33	3707	-0,63	2643
-0,04	4840	-0,34	3669	-0,64	2611
-0,05	4801	-0,35	3632	-0,65	2578
-0,06	4761	-0,36	3594	-0,66	2546
-0,07	4721	-0,37	3557	-0,67	2514
-0,08	4681	-0,38	3520	-0,68	2483
-0,09	4641	-0,39	3480	-0,69	2451
-0,10	0,4602	-0,40	0,3446	-0,70	0,2420
-0,11	4562	-0,41	3409	-0,71	2389
-0,12	4522	-0,42	3372	-0,72	2358
-0,13	4483	-0,43	3336	-0,73	2327
-0,14	4443	-0,44	3300	-0,74	2297
-0,15	4404	-0,45	3264	-0,75	2266
-0,16	4363	-0,46	3228	-0,76	2236
-0,17	4325	-0,47	3192	-0,77	2206
-0,18	4286	-0,48	3156	-0,78	2177
-0,19	4247	-0,49	3121	-0,79	2148
-0,20	0,4207

Подобные документы

• Вычисление интегралов методом Монте-Карло

  Математическое обоснование алгоритма вычисления интеграла. Принцип работы метода Монте–Карло. Применение данного метода для вычисления n–мерного интеграла. Алгоритм расчета интеграла. Генератор псевдослучайных чисел применительно к методу Монте–Карло.
  
  курсовая работа [100,4 K], добавлен 12.05.2009
  

• Метод Монте-Карло и его применение

  Некоторые сведения теории вероятностей. Математическое ожидание, дисперсия. Точность оценки, доверительная вероятность. Доверительный интервал. Нормальное распределение. Метод Монте-Карло. Вычисление интегралов методом Монте-Карло. Алгоритмы метода.
  
  курсовая работа [112,9 K], добавлен 20.12.2002
  

• Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин

  Исследование способа вычисления кратных интегралов методом Монте-Карло. Общая схема метода Монте-Карло, вычисление определенных и кратных интегралов. Разработка программы, выполняющей задачи вычисления значений некоторых примеров кратных интегралов.
  
  курсовая работа [349,3 K], добавлен 12.10.2009
  

• Принципы использования моделирования

  Моделирование как метод научного познания, его сущность и содержание, особенности использования при исследовании и проектировании сложных систем, классификация и типы моделей. Математические схемы моделирования систем. Основные соотношения моделей.
  
  курсовая работа [177,9 K], добавлен 15.10.2013
  

• Застосування методу Монте-Карло для кратних інтегралів

  Метод Монте-Карло як метод моделювання випадкових величин з метою обчислення характеристик їхнього розподілу, оцінка похибки. Обчислення кратних інтегралів методом Монте-Карло, його принцип роботи. Приклади складання програми для роботи цим методом.
  
  контрольная работа [41,6 K], добавлен 22.12.2010
  

• Статистическое исследование свойств псевдослучайных чисел получаемых методом Джона фон Неймана

  Способы получения псевдослучайных чисел. Общая характеристика генератора псевдослучайных чисел фон Неймана. Сущность равномерного закона распределения. Понятие о критериях согласия. Анализ критериев Пирсона и Колмогорова.
  
  курсовая работа [176,9 K], добавлен 28.04.2010
  

• Математическое моделирование

  Моделирование как метод познания. Классификаций и характеристика моделей: вещественные, энергетические и информационные. Математическая модель "хищники-жертвы", ее сущность. Порядок проверки и корректировки модели. Решение уравнений методом Рунге-Кутта.
  
  методичка [283,3 K], добавлен 30.04.2014
  

• Матемитические основы моделирование 3d объектов

  Компьютерное моделирование в базовом курсе информатики. Роль компьютерного моделирования в процессе обучения. Методические рекомендации курса "Математические основы моделирования 3D объектов" базового курса "компьютерное моделирование".
  
  дипломная работа [284,6 K], добавлен 07.07.2003
  

• Математические методы и модели

  Математическое моделирование задач коммерческой деятельности на примере моделирования процесса выбора товара. Методы и модели линейного программирования (определение ежедневного плана производства продукции, обеспечивающей максимальный доход от продажи).
  
  контрольная работа [55,9 K], добавлен 16.02.2011
  

• Корректировка бутстраповской интервальной оценки математического ожидания равномерно распределенной случайной величины

  Получение интервальной оценки. Построение доверительного интервала. Возникновение бутстрапа или практического компьютерного метода определения статистик вероятностных распределений, основанного на многократной генерации выборок методом Монте-Карло.
  
  курсовая работа [755,6 K], добавлен 22.05.2015
  

• Математическое моделирование

  Особенности математических моделей и моделирования технического объекта. Применение численных математических методов в моделировании. Методика их применения в системе MathCAD. Описание решения задачи в Mathcad и Scilab, реализация базовой модели.
  
  курсовая работа [378,5 K], добавлен 13.01.2016
  

• Моделирование и формализация

  Сущность моделирования, значение и необходимость создания различных моделей, сферы их практического использования. Свойства объекта, существенные и несущественные для принятия решений. Граф как средство наглядного представления состава и структуры схемы.
  
  презентация [4,3 M], добавлен 26.06.2014
  

• Моделирование моделей

  Проведение численного моделирования системы, описанной системой дифференциальных уравнений первого порядка. Схемы моделирования методом последовательного (непосредственного) интегрирования, вспомогательной переменной и методом канонической формы.
  
  контрольная работа [550,9 K], добавлен 12.12.2013
  

• Математическое моделирование технических объектов

  Изучение понятия, классификации, свойств математических моделей. Особенности работы с функциями, переменными, графикой, программированием (интерполяция, регрессия) в системе MathCad. Проведение алгоритмического анализа задачи и аппроксимация результатов.
  
  курсовая работа [4,5 M], добавлен 15.02.2010
  

• Математическое моделирование и расчет систем управления техническими объектами

  Операторы преобразования переменных, классы, способы построения и особенности структурных моделей систем управления. Линейные и нелинейные модели и характеристики систем управления, модели вход-выход, построение их временных и частотных характеристик.
  
  учебное пособие [509,3 K], добавлен 23.12.2009
  

• Математическое и имитационное моделирование

  Исследование экономических задач методами дифференциального исчисления. Изучение экономических систем с помощью линейных балансовых моделей, сетевое планирование и управление. Эластичность производственных функций, элементы линейного программирования.
  
  методичка [418,9 K], добавлен 10.11.2015
  

• Статистические методы моделирования связи

  Прямолинейные, обратные и криволинейные связи. Статистическое моделирование связи методом корреляционного и регрессионного анализа. Метод наименьших квадратов. Оценка значимости коэффициентов регрессии. Проверка адекватности модели по критерию Фишера.
  
  курсовая работа [232,7 K], добавлен 21.05.2015
  

• Статистическое моделирование работы КЭНС для оценки ее точностных характеристик

  Назначение и принципы действия корреляционно-экстремальной навигационной системы, особенности ее программно-аппаратной реализации, целесообразность статистического моделирования. Описание технологического процесса разработки и отладки программы.
  
  магистерская работа [1,5 M], добавлен 06.12.2013
  

• Методы решения задач математического моделирования

  Основные понятия математического моделирования, характеристика этапов создания моделей задач планирования производства и транспортных задач; аналитический и программный подходы к их решению. Симплекс-метод решения задач линейного программирования.
  
  курсовая работа [2,2 M], добавлен 11.12.2011
  

• Математическое моделирование трансмиссии

  Сущность моделирования, его главные цели задачи. Конструктивная схема и общее описание исследуемой трансмиссии. Алгоритм реализации задачи и ее программная реализация. Результаты расчета и их анализ. Исследование характеристик полученной модели.
  
  курсовая работа [1,1 M], добавлен 01.01.2014
  

• главная
• рубрики
• по алфавиту
• вернуться в начало страницы
• вернуться к началу текста
• вернуться к подобным работам