Середні коливання, обернені нерівності та рівновимірні переставлення функцій

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук

СЕРЕДНІ КОЛИВАННЯ, ОБЕРНЕНІ НЕРІВНОСТІ ТА РІВНОВИМІРНІ ПЕРЕСТАВЛЕННЯ ФУНКЦІЙ

Кореновський Анатолій Олександрович

Київ - 2006

Анотації

Доведений багатовимірний ваговий аналог леми Ф. Рісса про сонце, що сходить. Отримані точна оцінка рівновимірного переставлення функції з обмеженими середніми коливаннями по паралелепіпедам та відповідний аналог нерівності Джона - Ніренберга з точною сталою в показнику експоненти. Отримана точна оцінка рівновимірного переставлення функції з класу Гурова - Решетняка. Знайдені точні показники класів Макенхаупта та Геринга, в які вкладений анізотропний клас Гурова - Решетняка. Знайдені точні границі самопокращення показників класів Макенхаупта та Геринга, а також точні співвід-ношення між показниками у вкладеннях цих класів одного в інший. Отримана точна оцінка рівновимірного переставлення функції, яка задовольняє обернену вагову нерівність Йєнсена. Знайдені точні границі самопокращення показників класів функцій, які задовольняють обернену вагову нерівність Гельдера.

Ключові слова: леми про покриття, рівновимірні переставлення функцій, середні коливання, BMO, нерівності Джона - Ніренберга, Гурова - Решетняка, класи Макенхаупта, Геринга, обернена нерівність Гельдера, самопокращення показників.

Кореновский А.А. Средние колебания, обратные неравенства и равноизмеримые перестановки функций. - Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. Ин-т математики НАН Украины, Киев, 2006.

Диссертация посвящена исследованию экстремальных свойств классов функций, определяемых в терминах относительных локальных характеристик.

В диссертации приводится новое доказательство леммы Ф. Рисса о восходящем солнце, которое переносится также на многомерный случай, если вместо одномерных интервалов использовать многомерные параллелепипеды. Доказан также весовой вариант этой леммы для произвольной абсолютно непрерывной меры. Эта лемма в дальнейшем служит основой для получения точных оценок равноизмеримых перестановок функций. В свою очередь, точные оценки равноизмеримых перестановок позволяют устанавливать некоторые экстремальные свойства функций из соответствующих классов.

С помощью полученного обобщения леммы о восходящем солнце установлена точная оценка скорости роста равноизмеримой перестановки функции с ограниченными средними колебаниями по всевозможным многомерным параллелепипедам. Эта оценка дала возможность получить соответствующий аналог известного неравенства Джона - Ниренберга с точной постоянной в показателе экспоненты. Получены в ряде случаев неулучшаемые оценки сверху и снизу норм в BMO и в BLO преобразования Харди, сопряженного преобразования Харди и преобразования Кальдерона.

Получена точная оценка равноизмеримой перестановки функции, удовлетворяющей условию Гурова - Решетняка. Показана возможность повышения показателя суммируемости функции из класса Гурова - Решетняка при любом значении параметра этого класса. Исследован весовой случай для произвольной абсолютно непрерывной меры. Установлена возможность повышения показателя суммируемости функции, удовлетворяющей весовому аналогу условия Гурова - Решетняка в терминах максимальных функций при достаточно общих условиях на абсолютно непрерывную меру. Найдены точные показатели классов Макенхаупта и Геринга, в которые вложен данный класс Гурова - Решетняка, если условие принадлежности функции классу предполагается выполненным по всевозможным параллелепипедам.

Найдена точная граница самоулучшения отрицательного показателя суммируемости монотонной функции одной переменной, удовлетворяющей условию Макенхаупта. Найдены точные оценки раноизмеримых перестановок функций, удовлетворяющих условиям Макенхаупта и Геринга. С помощью этих оценок получены точные границы самоулучшения показателей классов Макенхаупта и Геринга.

В предположении, что исходная функция удовлетворяет обратному весовому неравенству Йенсена по всевозможным параллелепипедам, получена точная оценка равноизмеримой перестановки функции. При этом для меры предполагается только лишь условие абсолютной непрерывности. На основании этой оценки найдены точные границы самоулучшения показателей класов функций, удовлетворяющих обратному весовому неравенству Гельдера для произвольных ненулевых параметров.

Ключевые слова: леммы о покрытии, равноизмеримые перестановки функций, средние колебания, BMO, неравенства Джона - Ниренберга, Гурова - Решетняка, классы Макенхаупта, Геринга, обратное неравенство Гельдера, самулучшение показателей.

Korenovskyy A.A. Mean oscillations, reverse inequalities, and equimeasurable rearrangements of functions. - Manuscript. Thesis for doctor degree in Physics and Mathematics speciality 01.01.01 - mathematical analysis. Institute of mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2006.

A multidimensional weight analogue of sun rising lemma of F. Riesz's is proved. There are obtained the sharp estimate of the equimeasurable rearrangement of a function of bounded mean oscillation over multidimensional parallelepipeds and a corresponding analogue of the John - Nirenberg inequality with the sharp constant in the power of the exponent. The sharp estimate of the equimeasurable rearrangement of a function satisfying the Gurov - Reshetnyak condition is obtained. The are founded the sharp bounds of the self-improvement of the exponents of the Muckenhoupt and Gehring classes, as well as the sharp relations between the exponents in embeddings of one of these classes into another. There is obtained the sharp estimate of the equimeasurable rearrangement of a function satisfying the reverse weighted Jensen inequality. There are found the sharp bounds of the self-improvement of the exponents of classes of functions satisfying the reverse weighted Hцlder inequality.

Key words: covering lemmas, equimeasurable rearrangements of functions, mean oscillations, BMO, John - Nirenberg's and Gurov - Reshetnyak's inequalities, classes of Muckenhoupt and Gehring, reverse Hцlder inequality, self-improvement of exponents.

1. Загальна характеристика роботи

В роботі вивчаються екстремальні властивості класів функцій, що означаються в термінах відносних локальних характеристик. Такі класи мають численні застосування в гармонічному аналізі, теорії квазіконформних відображень, диференціальних рівнянь з частинними похідними та в багатьох інших питаннях.

Актуальність теми. В праці Джона і Ніренберга 1961 р. був започаткований клас BMO функцій з обмеженим середнім коливанням. Основна властивість функції з BMO, яка встановлена Джоном і Ніренбергом, полягає в експоненціальній сумовності цієї функції. В 1971 р. Ч. Фефферман встановив, що BMO є спряженим до Re H¹ класом. Цей факт став потужним поштовхом для подальшого вивчення властивостей функцій з обмеженим середнім коливанням та подібних класів функцій. Ч. Фефферман та Стейн в 1972 р. ввели максимальну функцію, яка вимірює середні коливання, та встановили її зв'язок з максимальною функцією Харді - Літтлвуда. Інтерполяційні властивості, що встановлені Беннеттом, Де Вором та Шарплі в 1981 р., надали класу BMO ще більше застосувань в різних питаннях теорії інтерполяції операторів. Наразі класи функцій, що визначаються середніми коливаннями, застосовуються в багатьох розділах аналізу. Вивчення властивостей таких класів є невід'ємною складовою частиною гармонічного аналізу і продовжується в працях багатьох авторів. В дисертації розглядається питання, що пов'язане з основною властивістю функції з BMO - її експоненціальною сумовністю. А саме, в одновимірному випадку знайдена точна стала в показнику експоненти в нерівності Джона - Ніренберга, або, інакше кажучи, встановлений точний показник експоненціальної сумовності функції з обмеженим середнім коливанням. Залежність цієї сталої від вимірності простору вивчалась в працях різних авторів. Через цю сталу можуть бути виражені інші екстремальні властивості функції з BMO. Наприклад, в працях Гарнетта і Джонса саме через цю сталу визначається відстань від BMO до класу істотно обмежених функцій, тобто точна оцінка наближення функції з обмеженим середнім коливанням обмеженою функцією. В дисертації розглянуте також питання про показник експоненціальної сумовності в багатовимірному просторі. Показано, що для функції, середні коливання якої обмежені по всім паралелепіпедам, цей показник залишається таким же, як і в одновимірному випадку. Поведінка різних операторів в BMO має важливе значення, наприклад, в зв'язку з інтерполяційними властивостями цього класу. В дисертації отримані оцінки коливань перетворень типу Харді та перетворення Кальдерона, причому основна увага приділяється оберненим оцінкам, які, як правило, складніші порівняно з прямими.

В праці Гурова 1975 р. при дослідженні квазіконформних відображень був започаткований клас, що визначався співвідношенням між середніми коливаннями функції та її середніми значеннями. Роком пізніше Гуров та Решетняк опубліковали працю, що була присвячена детальному дослідженню цього класу, який надалі став називатись класом Гурова - Решетняка. Основна властивість функції цього класу, що обумовлює його численні застосування, полягає в підвищенні показника сумовності функції. Ця властивість вивчалась в працях Боярського, Іванця, Віка та інших авторів. Але навіть в одновимірному випадку було невідомо чи при всіх значеннях параметра класу Гурова - Решетняка можна підвищити показник сумовності функції. Позитивна відповідь на це запитання наводиться в даній дисертації, причому ця властивість справедлива не лише в одновимірному, а й в багатовимірному просторі. Друге питання, яке залишалось відкритим, полягало в знаходженні точного граничного показника сумовності функції з класу Гурова - Решетняка. Такий граничний показник знайдений в дисертації в одновимірному випадку. Більш того, показано також, що за припущенням умови Гурова - Решетняка по всім паралелепіпедам, граничний показник сумовності функції в багатовимірному просторі такий же самий, як і в одновимірному. Розглянуті також вагові аналоги при мінімальних умовах на міру, які останнім часом знаходять все більше застосувань.

Основу сучасної теорії вагових просторів складають класи Макенхаупта. В праці Макенхаупта 1972 р. було показано, що саме за умови Макенхаупта на вагову функцію максимальний оператор Харді - Літтлвуда обмежений у ваговому просторі. Хант, Макенхаупт та Віден в 1973 р. встановили подібний результат для оператора Гільберта. Надалі в працях різних авторів було показано, що умови типу Макенхаупта є саме тими умовами на вагу, які гарантують обмеженість в вагових просторах багатьох класичних операторів теорії функцій. При цьому доведення базуються, як правило, на основній властивості функції з класу Макенхаупта - самопокращенню показника класу, до якого належить вагова функція. Ця властивість досліджувалась багатьма авторами. Задача знаходження граничного самопокращення показника класу Макенхаупта поставлена Боярським в 1985 р. В праці Геринга 1973 р. при дослідженні властивостей квазіконформних відображень був започаткований клас функцій, що задовольняють обернену нерівність Гельдера, або, як стали потім називати - нерівність Геринга. Пізніше в працях Боярського, Іванця та інших авторів ці класи застосовувались також при дослідженні поведінки розв'язків диференціальних рівнянь в частинних похідних. Як і для класів Макенхаупта, основна властивість функції з класу Геринга, яка спричиняє його численні застосування, полягає в самопокращенні показника. Тісний зв'язок між класами Макенхаупта та Геринга був встановлений в праці Койфмана і Ч. Феффермана 1974 р. А саме, було показано, що кожен клас Макенхаупта міститься в деякому класі Геринга і навпаки, кожен клас Геринга міститься в деякому класі Макенхаупта. Цей зв'язок між класами Геринга та Макенхаупта дає можливість переносити властивості одного класу на інший. Але для встановлення точних властивостей потрібно знати точне співвідношення між класами Макенхаупта та Геринга. В дисертаційній роботі отримані границі самопокращення показників класів Макенхаупта та Геринга, а також встановлена точна залежність між показниками у вкладеннях цих класів один в один в одновимірному випадку. Більш того, отримані точні границі самопокращення показників класів функцій, що задовольняють більш загальну обернену нерівність Гельдера при будь-яких значеннях ненульових параметрів. Показано також, що в анізотропному багатовимірному випадку ці показники залишаються такими ж, як і в одновимірному.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконува-лась на кафедрі математичного аналізу Одеського національного університету ім. І.І. Мечникова та на кафедрі математичного аналізу Київського національного університету імені Тараса Шевченка. Дослідження проводились в рамках науково-дослідної роботи за наступними темами:

- № 0187 002910 ВНДІ Центр "Метричні та апроксимативні властивості функціональних просторів", 1986 - 1995 рр., Одеський національний університет ім. І. І. Мечникова, кафедра математичного аналізу в співробітництві з кафедрою математичного аналізу Сегедського університету (Угорщина);

- № 229 "Теорія наближення функцій та теорія сингулярних операторів зі зсувом", 2001 - 2005 рр., Одеський національний університет ім. І. І. Мечникова, наказ № 550-18 від 26.03.2001;

- № Ф7/329-2001 "Оптимiзацiя нерiвностей в гармонiчному аналiзi та в теорії апроксимації", 2001 - 2006 рр., Державний фонд фундаментальних досліджень (ДФФД) Міністерства освіти і науки України;

- № 03ДФ038 "Формозберiгаюча апроксимацiя, оптимiзацiя нерiвностей в гармонiчному аналiзi та аналiз моделей в механiцi суцiльних середовищ", 2002 - 2003 рр., Київський національний університет імені Тараса Шевченка (в рамках українсько-французької Програми науково-технологічного співробітництва "Днiпро");

- № 108 "Методи теорії функцiй у гармонiчному аналiзi та iнтегральнi оператори зі зсувом", 2006 - 2010 рр., Одеський національний університет ім. І. І. Мечникова, наказ № 3859-11 від 20.12.2005 (номер держреєстрації - 0106U001415).

Ціль та задачі дослідження. Об'єкт дослідження - класи функцій, що визначаються в термінах відносних локальних характеристик. Мова йде про класи функцій з обмеженим середнім коливанням, Гурова - Решетняка, Макенхаупта, Геринга та їх різновидності і узагальнення.

Предмет дослідження - точні співвідношення між названими класами, екстремальні властивості функцій з цих класів. Ціллю дисертаційної роботи є:

- встановлення багатовимірних лем про покриття, які забезпечують можливість знаходити точні оцінки рівновимірних переставлень функцій;

- знаходження точних оцінок рівновимірних переставлень функцій з названих класів;

- знаходження точної швидкості спадання функції розподілу для функції з обмеженим середнім коливанням;

- отримання нових та уточнення відомих оцінок коливань перетворень типу Харді та перетворення Кальдерона;

- вивчення можливості підвищення показника сумовності функції, що задовольняє умову Гурова - Решетняка, при будь-якому значенні параметра класу;

- знаходження точних граничних показників класів Макенхаупта та Геринга, в які вкладений даний клас Гурова - Решетняка;

- вивчення можливості підвищення показника сумовності функції, яка задовольняє аналог умови Гурова - Решетняка в термінах максимальних функцій;

- знаходження точних границь самопокращення показників класів Геринга та Макенхаупта;

- знаходження точних границь самопокращення показників для класів функцій, що задовольняють обернену нерівність Гельдера.

Методи дослідження. Всюди в роботі використовуються методи теорії функцій дійсної змінної, вагових просторів, вкладення функціональних просторів, диференціювання інтегралів, максимальних функцій, рівновимірних переставлень функцій, інтерполяції операторів, мажоризації, опуклих функцій. Задачі, що розглядаються в роботі, зводяться до випадку монотонних функцій за допомогою екстремальних властивостей рівновимірних преставлень. В свою чергу, для встановлення таких екстремальних властивостей переставлень застосовуються так звані леми про покриття.

Наукова новизна отриманих результатів. Основні результати роботи є новими і полягають у наступному.

1. Наведене нове доведення леми Ф. Рісса про сонце, що сходить. Це доведення перенесене на випадок багатовимірних сегментів для будь-якої абсолютно неперервної міри.

2. В анізотропному випадку отримана точна оцінка рівновимірного переставлення функції з обмеженим середнім коливанням. На основі цієї оцінки знайдена точна стала в показнику експоненти в анізотропній нерівності Джона - Ніренберга.

3. Отримані оцінки коливань перетворень типу Харді та перетворення Кальдерона, в більшості випадків непокращувані.

4. Показана можливість підвищення показника сумовності функції, що задовольняє ізотропну умову Гурова - Решетняка, при будь-якому значенні параметра класу та для будь-якої абсолютно неперервної міри. Вивчені властивості функції, яка задовольняє аналог умови Гурова - Решетняка в термінах максимальних функцій.

5. Для функції, що задовольняє анізотропну умову Гурова - Решетняка, отримана точна оцінка рівновимірного переставлення. На основі цієї оцінки знайдені точні граничні показники класів Макенхаупта та Геринга, в які вкладений даний клас Гурова - Решетняка.

6. В одновимірному випадку знайдені точні границі самопокращення показників класів Геринга та Макенхаупта.

7. Знайдені точні границі самопокращення показників для класів функцій, що задовольняють обернену анізотропну нерівність Гельдера у випадку довільної абсолютно неперервної міри.

Всі ці результати не були представленими в кандидатській дисертації здобувача.

Практичне значення отриманих результатів. Робота носить теоретичний характер. Її результати можуть бути використаними в Інституті математики НАН України, в Дніпропетровському, Донецькому, Київському, Львівському, Одеському університетах для подальших досліджень властивостей класів, що розглядаються в даній роботі, в теорії вагових просторів, диференціювання інтегралів, максимальних функцій, рівновимірних переставлень, квазіконформних відображень та при дослідженні поведінки розв'язків диференціальних рівнянь в частинних похідних.

Апробація результатів. Результати роботи доповідались автором більш як на 30 конференціях, школах, конгресах в Києві, Дніпропетровську, Львові, Одесі, Дрогобичі, Рівному, Кам'янці - Подільському, Луцьку, Москві, Саратові, Вороніжі, Тулі, Калузі, Баку, Єревані, Будапешті (Угорщина), Марселі (Франція), Клуж - Напоці (Румунія), Бедлєво (Міжнародний математичний центр ім. С. Банаха, Польща) та на наступних семінарах:

- в Universitб Degli Studi di Napoli Federico II, Dipartimento di Matematica e Applicazioni "Renato Cacciopoli" (Італія) на семінарі під керівництвом К. Сбордоне (Неаполь, 1994);

- в Московському державному університеті на семінарі з теорії функцій під керівництвом Б. С. Кашина (Москва, 1992, 2001);

- в Московському державному університеті на семінарі з теорії функцій під керівництвом М. К. Потапова (Москва, 1992);

- в МІАН ім. В. А. Стєклова на семінарі під керівництвом С. О. Теляковського (Москва, 1992);

- в МІАН ім. В. А. Стєклова на семінарі під керівництвом С. М. Нікольського та О. В. Бєсова (Москва, 1992);

- в Інституті Математики НАН України на семінарі під керівництвом О. І. Степанця (Київ, 2001, 2006);

- в Інституті Математики НАН України на семінарі під керівництвом Ю. М. Березанського та М. Л. Горбачука (Київ, 2006);

- в Одеському національному університеті на семінарі з теорії функцій кафедри математичного аналізу під керівництвом Е. О. Стороженко (Одеса, 1991, 1994, 1996, 2002, 2004, 2005);

- в Донецькому національному університеті на семінарі кафедри математичного аналізу та теорії функцій під керівництвом Р. М. Тригуба (Донецьк, 2005);

- в Київському національному університеті на семінарі під керівництвом В. М. Коновалова, І. О. Шевчука (Київ, 2001);

- в University of Helsinki, Department of Mathematics and Statistics (Фінляндія) на семінарі з математичного аналізу факультету математики та статистики під керівництвом О. Мартіо та М. Вуорінена (Helsinki, 2005);

- в Дніпропетровському національному університеті на семінарі з теорії функцій під керівництвом В.П. Моторного та В.Ф. Бабенка (Дніпропетровськ, 2006);

- в Львівському національному університеті на семінарі з теорії функцій під керівництвом А.А. Кондратюка та О.Б. Скасківа (Львів, 2006).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 20 працях [1 - 20] з фахових видань. Опублікована депонована праця [21] та тези доповідей [22 - 40], що були представлені на різних наукових конференціях.

Особистий внесок здобувача. Всі представлені в дисертації результати отримані автором особисто. В трьох працях, що написані в співавторстві, особистий внесок здобувача є наступним:

- в спільній праці [16] здобувачеві належить один з основних технічних результатів -лема 9 та теорема 10, яка випливає з цієї леми;

- в спільній праці [19] здобувачеві належить постановка задачі та доведення частини (і)

основної теореми 1 з цієї праці;

- в спільній праці [20] здобувачеві належить постановка задачі та побудова конструкції, яка застосовується при доведенні основного результату цієї праці.

Структура і обсяг дисертації. Дисертація загальним обсягом 323 сторінки складаєть-ся з вступу, чотирьох розділів, які поділяються на підрозділи, висновків, списка використаних джерел, що містить 144 найменування, та чотирьох додатків, в яких зібрані доведення деяких використаних тверджень.

2. Огляд основних результатів роботи

У вступі обгрунтована актуальність теми дисертації, визначено об'єкт і предмет дослідження, сформульовані ціль і задачі, визначаються методи дослідження, наукова новизна, теоретичне і практичне значення, коментується повнота викладення матеріалу в наукових працях та ступінь його апробації, наведена структура дисертаційної роботи та огляд основних результатів.

Фундамент всієї роботи складає її перший розділ. Він присвячений дослідженню так званих лем про покриття, які надалі є основою для оцінок рівновимірних переставлень функцій. В свою чергу, оцінки рівновимірних переставлень надають можливість описувати властивості функції, з якими пов'язане вивчення того чи іншого кола питань. Ефективність застосування рівновимірних переставлень обумовлена тим, що вони в ряді випадків зберігають властивості оригінальної функції і в той же час мають більш простий вигляд. Для заданої міри dм незростаюче рівновимірне переставлення м-вимірної на множині E функції f може бути означене рівністю f^v_м(t)=sup_м(e)=tinf_xєe|f(x)|, 0<t<м(E).

Функція f^v_м однієї змінної незростаюча на (0,м(E)) і рівновимірна з | f |, тобто функції розподілу | f | і f^v_м співпадають: л_f(y)=м{x є E: |f(x)|>y}=|{t є [0,|E|]: f^v_м(t)>y}|, y>0.

Аналогічно означається неспадне рівновимірне переставлення f^{^}_м. Важливу роль надалі відіграватимуть наступні функції f^vv_м(t)=t^-1?₀^tf^v_м(u)du,f^{^^}_м(t)=t^-1?₀^tf^{^}_м(u)du, t>0.

У випадку, коли dм - міра Лебега, індекс м будемо опускати.

Огляд різноманітних лем про покриття та їх застосування в теорії диференціювання інтегралів можна знайти, наприклад, в монографії М. Гусмана. Класичним прикладом леми про покриття є наступна так звана лема про сонце, що сходить.

Лема 1 (Ф. Рісс). Нехай функція f сумовна на інтервалі I?(a,b) і число б??_a^bf(x)dx/(b-a). Позначимо F(x)=?_a^xf(y)dy-б(x-a), x є I.. Тоді множина E таких точок x є I, для яких існує таке y є I, що F(y)>F(x), є об'єднанням не більш, ніж зчисленного набору інтервалів I_k?(a_k,b_k), що попарно не перетинаються, F(a_k)=F(b_k), k=1,2,… і f(x)?б для майже всіх xєI\E.

Ця лема відіграє надзвичайно важливу роль в гармонічному аналізі, зокрема, при дослідженні сингулярних інтегралів та максимальних функцій. Огляд застосувань цієї леми та її багатовимірного аналога - леми Кальдерона - Зигмунда - наведений, наприклад, в праці І. Стейна 1998 р. В еквівалентній формі лема Ф. Рісса про сонце, що сходить, може бути представлена наступним чином.

Лема 2 (Клемес). Нехай функція f сумовна на інтервалі I?(a,b) і число б??_a^bf(x)dx/(b-a). Тоді існує не більш, ніж зчисленний набір інтервалів I_k?(a_k,b_k), що попарно не перетинаються, ?_ak^bkf(x)dx/(b_k-a_k)=б, k=1,2,…. (1) і f(x)?б для майже всіх x є I \ (U_k?1(a_k,b_k)).

Зауважимо, що доведення цих лем опирається на представлення відкритої множини на дійсній осі у вигляді складових інтервалів і не може бути перенесеним на багатовимірний випадок. Багатовимірним аналогом леми Ф. Рісса є

Лема 3 (Кальдерон, Зигмунд). Нехай функція f сумовна на кубі Q₀ С R^d і число б??_Q0f(x)dx/|Q₀|. Тоді знайдеться не більш, ніж зчисленний набір кубів Q_j С Q₀, j=1,2,…, внутрішності яких попарно не перетинаються, таких, що б<?_Qj|f(x)|dx/|Q_j|?2^d б,j=1,2,…, (2) |f(x)|?б для майже всіх x є Q₀\(U_j?1Q_j). (3)

Для доведення цієї леми використовується техніка моментів зупинки, яка застосову-ється до диадичних кубів. Істотна відмінність леми Кальдерона - Зигмунда від попередньої леми полягає в тому, що замість точної рівності (1) можемо гарантувати лише двохсторонню оцінку (2) середнього значення функції (середнє значення сумовної на множині E додатної лебегової міри | E | функції f позначається через f_E=?_E|f(x)|dx/|E|). Саме ця відмінність проявляється при оцінках рівновимірних переставлень функцій, що проводяться за допомогою цих лем. Тому є природним бажання поширити лему 2 на багатови-мірний випадок, або, інакше кажучи, вдосконалити доведення леми 3 так, щоб замість двохсторонньої оцінки (2) гарантувати рівність ?_Qj|f(x)|dx/|Q_j|= б,j=1,2,…,(2)

Але нескладний приклад, який наводиться в першому розділі, показує, що в лемі Кальдерона - Зигмунда не можна гарантувати рівність (4). Суть справи полягає в тому, які саме багатовимірні множини використовуються замість одновимірних інтервалів. Основний результат першого розділу складає модифікація методу техніки моментів зупинки, що застосовувалась при доведенні леми Кальдерона - Зигмунда. А саме, замість детермінованої сукупності диадичних кубів, з яких вибираються куби в лемі 3, на кожному кроці методу техніки моментів зупинки проводиться корегування, яке замість кубів приводить до багатовимірних сегментів (паралелепіпедів), середнє значення функції на яких дорівнює заданому числу б. Така модифікація дала змогу спростити відомі раніше доведення леми 2, а також у визначеному сенсі перенести цю лему на багатовимірний випадок. Достатньо застосувати міркування, подібні до тих, що використовуються при доведенні відомої теореми Лебега про диференціювання інтегралів. Точніше, розглядаючи спеціальний базис, що задовольняє так звану "диадичну" властивість, для відповідної максимальної функції отримана слабка оцінка типу (1 - 1), за допомогою якої встановлене наступне твердження.

Лема 4. Нехай сегмент R₀ C R^d, функція f є L(R₀) і число б? f_R0. Тоді існує сімейство сегментів R _j С R₀, j=1,2,…, внутрішності яких попарно не перетинаються, таких, що f_Rj = б, j=1,2,…, і f(x)?б для майже кожної точки x є R₀ \ (U_j?1R_j)..

Цю лему також можна вважати одним з основних результатів першого розділу. Цікаво відзначити, що при доведенні цієї леми диференціальний базис, за яким відбувається диференціювання інтегралів, залежить від самої функції. В першому розділі наведений також важливий для застосувань ваговий аналог леми 4, причому для міри припускається лише умова абсолютної неперервності.

В другому підрозділі розглядається інша лема про покриття типу Безиковича. Точніше, в 2000 р. Метью, Маттіла, Ніколау та Оробіг довели ваговий аналог леми Безиковича для міри, що не задовольняє умову подвоєння. Ми наводимо більш просте доведення такого вагового аналогу леми Безиковича і за його допомогою отримуємо відповідну вагову нерівність типу Харді - Літтлвуда - Стейна - Герца, яка використовується в наступних розділах.

Другий розділ дисертації присвячений класам функцій з обмеженими коливаннями. Середнім коливанням сумовної на множині E функції f називається Щ(f;E)=|E|-1?E|f(x)-fE|dx.

Лема 5. Нехай незростаюча функція ц локально сумовна на [0,+?). Для t>0 позначимо F(t) = t^-1?₀^tц(u) du. Тоді для будь-якого числа a>1 справедлива нерівність F(t/a) - F(t) ? (2t)^-1?₀^t|ц(u) - F(t)| du,t > 0.(5)

В правій частині нерівності (5) записане середнє коливання монотонної функції ц. Тому лема 5 дає можливість оцінювати швидкість росту при t>0 функції ц, причому параметр a>1 можна вибирати довільним. Застосовуючи лему 5 з оптимальним параметром a до рівновимірного переставлення функції, далі ми знаходимо точну сталу в нерівності Джона - Ніренберга та точний показник сумовності функції, яка задовольняє умову Гурова - Решетняка. Відзначимо, що різновидності нерівності (5) при фіксованому a>1 раніше застосовувалась іншими авторами для оцінок швидкості росту функції через її коливання. Але лише поєднання точних оцінок коливань рівновимірного переставлення функції з оптимальним вибором параметра a надало можливість отримати точні оцінки швидкості росту функції з відповідного класу.

Далі в першому підрозділі наведені точні співвідношення між деякими різновидами коливань, які бувають корисними в застосуваннях. Встановлені також непокращувані оцінки коливань Щ_p(f;E)= {|E|^-1?_E|f(x)-f_E|^pdx}^1/p,p > 1, через істотну точну верхню межу функції f.

Наступна дуже корисна властивість, яка встановлена в першому підрозділі, показує, що для обчислення верхньої межі коливань монотонної функції достатньо розглядати лише такі інтервали, один із кінців яких співпадає з кінцем початкового інтервалу, на якому задана функція. При p=1 вона доведена Клемесом в 1985 р.

Властивість 6. Нехай функція f є L^p, 1?p<?, монотонна на відрізку I₁?[б₁,в₁] і відрізок I₁?[б,в] C I₁ такий, що f_I = f_I1. Тоді Щ_p(f;I) ? Щ_p(f;I₁).

В другому підрозділі наведені деякі еквівалентні означення класу BMO (Bounded Mean Oscillation) функцій з обмеженим середнім коливанням та розглянута низка прикладів, що в багатьох випадках використовуються надалі як контрприклади в різних твердженнях. Говорять, що сумовна на кубі Q₀ C R^d функція f має обмежене середнє коливання (f є BMO ? BMO(Q₀)), якщо ||f||_* ?sup_{Q C Q0}Щ(f;Q) < ?, де точна верхня межа береться по всім кубам Q C Q₀. Клас BMO функцій з обмеженим середнім коливанням започаткований в 1961 р. Джоном і Ніренбергом. Наразі цей клас має величезну кількість різноманітних застосувань. Зокрема, як показано в працях Ч. Феффермана і Стейна, він є спряженим до Re H¹.

Якщо в означенні BMO-норми (6) точну верхню межу коливань брати не лише по кубам, а по всім багатовимірним сегментам, то отриману норму позначатимемо через ||f||_*,R, а відповідний клас через BMO^R. Наведений в другому підрозділі приклад показує, що клас BMO істотно ширший, ніж BMO^R. Далі, розглянутий започаткований Койфманом і Рохбергом клас BLO (Bounded Lower Oscillation) функцій з обмеженим нижнім коливанням, що складається з усіх таких істотно обмежених знизу функцій f, для яких ||f||_BLO ?sup_Q L(f;Q) < ?, де нижнє коливання L(f;Q) =| Q|^-1?_Qf(x)dx - ess inf_{x є Q} f(x), а точна верхня межа береться по всім кубам Q. Наведений приклад, який показує, що клас BMO істотно ширший, ніж BLO, навіть для істотно обмежених знизу функцій. З іншого боку, для незростаючих на R₊ функцій класи BMO і BLO співпадають. Це випливає з наступної теореми, яка доведена в другому підрозділі.

Теорема 7. Нехай локально сумовна функція f не зростає на R₊. Тоді справедлива нерівність 1/2 ||f||_BLO ? ||f||_*? 2/e ||f||_BLO, причому, взагалі кажучи, сталу 1/2 зліва не можна збільшити, а 2/e справа не можна зменшити.

В третьому підрозділі досліджуються оцінки рівновимірного переставлення функції f є BMO. Це оцінки, що мають вигляд ||f ^v||_*?c ||f ||_*, де стала c не залежить від функції f. В одновимірному випадку вони були отримані Гарсіа і Родемічем, а в багатовимірному - Беннетом, Де Вором та Шарплі. Як вже було сказано раніше, за допомогою цих оцінок і леми 5 можна оцінювати швидкість росту при t>0+ рівновимірного переставлення (f - f_Q0)^v(t) функції з обмеженим середнім коливанням. В працях зазначених та деяких інших авторів для доведення нерівності (7) застосовувалась лема 3 Кальдерона - Зигмунда. Але, принаймні в одновимірному випадку, ця лема неточна і тому її застосування призводили до завищеного значення сталої c в нерівності (7). В праці Клемеса 1985 р. для оцінки рівновимірного переставлення функції з обмеженим середнім коливанням замість леми Кальдерона -Зигмунда була застосована більш точна лема Рісса. Це дало змогу в одновимірному випадку отримати точну оцінку ||f ^[d]||_*? ||f ||_*, де неспадне переставлення f^[d], на відміну від f^v, рівновимірне з f, а не з | f |. Звідси легко отримати, що || f^v ||_*? 2 || f ||_* але ця нерівність не є точною. Справді, в третьому підрозділі доведена

Теорема 8. Нехай функція f є BMO([a₀,b₀]). Тоді || f^v ||_*? || f ||_*.

Основу доведення цієї теореми складає наступна нерівність || | f | ||_*? || f ||_*, яка в одновимірному випадку доведена в третьому підрозділі. Відзначимо, що при d ? 2 точні сталі c' і c'' в нерівностях || | f | ||_*? c'|| f ||_* і || f^v ||_*? c'' || f ||_* нам невідомі. Якщо ж використовувати встановлений в першому розділі багатовимірний аналог леми Рісса - лему 4, то отримуємо наступне твердження, яке складає один з основних результатів третього підрозділу.

Теорема 9. Нехай функція f є BMO^R(R₀), де сегмент R₀ C R^d. Тоді справедливі наступні нерівності || f ^[d] ||_*? || f ||_*,R, || | f | ||_*? || f ||_*,R, || f^v ||_*? || f ||_*,R.

Четвертий підрозділ присвячений дослідженню фундаментальної в BMO нерівності Джона - Ніренберга. Основна властивість функції f є BMO полягає в тому, що її функція розподілу має експоненціальну швидкість спадання. Точніше, існують такі сталі B і b, які залежать хіба що від вимірності простору d, що для будь-якої функції f є BMO справедлива нерівність Джона - Ніренберга |{x є Q₀: |f(x) - f_Q0|>л}| ? B |Q₀| exp (- b л / || f ||_*), л > 0.

В термінах рівновимірного переставлення нерівність (9) має такий вигляд (f - f_Q0)^v(t) ? (|| f ||_*/b) ln (B|Q₀|/t),0<t?|Q₀|.

Вона означає, що при прямуванні t>0+ рівновимірне переставлення зростає не швидше, ніж логарифмічна функція.

Різні доведення нерівності Джона - Ніренберга, зокрема, за допомогою оцінок рівнови-мірних переставлень, наводились багатьма авторами. Але відсутність точних оцінок норм рівновимірних переставлень не давала змоги отримати точні значення сталих B і b в цій нерівності. В праці Гарнетта і Джонса, а також в відомій монографії Гарнетта, в термінах найбільшого значення сталої b визначаються деякі характеристики функції f, наприклад, точна оцінка відстані від функції f є BMO до класу істотно обмежених функцій. Тому визначення цієї сталої представляє важливу для застосувань задачу. Основний результат четвертого підрозділу полягає в наступній теоремі.

Теорема 10. Нехай функція f є BMO^R(R^d). Тоді для будь-якого сегмента R₀ C R^d |{x є R₀: |f(x) - f_R0|>л}| ? B |R₀| exp (- (2/e) л / || f ||_*,R), л > 0, де B=exp(1+2/e), а стала 2/e у показнику експоненти, взагалі кажучи, не може бути збільшена.

Доведення цієї теореми базується на використанні леми 5 та зазначеної вище точної оцінки рівновимірного переставлення функції з обмеженим середнім коливанням (теореми 8). Нерівність (10) представляє собою анізотропну нерівність Джона - Ніренберга з точною сталою в показнику експоненти. Вона відрізняється від нерівності Джона - Нірен-берга (9) тим, що замість || f ||_*,R в (9) записана || f ||_*. Оскільки в одновимірному випадку || f ||_*,R = || f ||_*, то при d=1 ми отримуємо нерівність Джона - Ніренберга (9) з точною сталою b=2/e. Відзначимо, що точне значення сталої b в показнику експоненти багатовимірної нерівності (9) нам невідоме.

В п'ятому підрозділі вивчаються оцінки коливань перетворення Харді, спряженого перетворення Харді та перетворення Кальдерона, які означаються рівностями Pf(t)=t^-1?₀^tf(u) du (t?0),P*f(t)=?_t^+?f(u) du/u (t>0), та Sf(t)=Pf(t)+P^*f(t) (t>0) відповідно. Обмеженість оператора P в L^p при p > 1 є наслідком відомої нерівності Харді ?₀^+?|Pf(x)|^p dx?(p/(p-1))^p?₀^+?|f(x)|^p dx, в якій стала справа точна. Також відома оцінка || Pf ||_* ? || f ||_*. В п'ятому підрозділі наводиться узагальнення цієї оцінки для норми в класах BMO_p(R) ? {f: || f ||_*,p ? sup_{I C R}Щ_p(f;I)<?}, 1?p<?, і в BLO. А саме, справедлива

Теорема 11. При 1? p < ? справедливі нерівності || Pf ||_*,p ? || f ||_*,p, || Pf ||_BLO ? || f ||_BLO, причому множник 1 справа в обох нерівностях не можна зменшити.

Легко бачити, що обернені оцінки, взагалі кажучи, не мають місця. Якщо ж додатково припустити, що функція f не зростає на R₊, то, як показав Jie Xiao в 2000 р., нерівність || Pf ||_*? c || f ||_* справедлива при c=1/17. Ми доводимо наступне уточнення цієї нерівності.

Теорема 12. Нехай 1? p < ? і функція f не зростає на R₊. Тоді справедливі нерівності || Pf ||_*,p ? || f ||_*.p ? 2/(3 - v7) || Pf ||_*,p, 1/e || f ||_BLO ? || P f ||_BLO ? || f ||_BLO, причому сталі в останній подвійній нерівності точні.

Далі ми уточнюємо першу нерівність в цій теоремі при p=1, тобто сталу в правій частині нерівності (11). Найбільше значення c_* сталої c в (11) знайти не вдалось. Для неї отримана лише наступна оцінка eб₀/4 ? c_* ? б₀, де б₀ = || Pf₀ ||_* ? 0.52, f₀(x) = ч_[0,1](x), ч_E - характеристична функція множини E.

Оператори P^* і S, на відміну від P, не обмежені в BMO. Але справедлива

Теорема 13. Нехай невід'ємна, локально сумовна на R₊ функція f така, що збігається інтеграл ?₁^+?f(x) dx/x. Тоді справедливі співвідношення ||P^*f ||_BLO = ||Pf ||_?, || Sf ||_BLO ? || P(Pf) ||_?, 1/2 ||P^*f ||_? ? ||P^*f ||_* ? 2/e ||Pf ||_?, 1/2 ||P(Pf) ||_? ? || Sf ||_* ? 2/e || P(Pf) ||_?.

При цьому всі сталі в нерівностях точні, за виключенням, хіба що, сталої 1/2 зліва в останній нерівності. Нам невідомо чи можна збільшити цю сталу. Якщо ж додатково припустити, що функція f не зростає на R₊, то отримаємо таку рівність ||P^*f ||_* = || Sf ||_* = 2/e || f ||_?.

В третьому розділі розглядається клас GR ? GR(е) невід'ємних на кубі Q₀ C R^d функцій f, що задовольняють умову Гурова - Решетняка Щ(f;Q) ? е f_Q, Q C Q₀, в якій стала 0 < е < 2 не залежить від куба Q. Зрозуміло, що умову (12) при е = 2 задовольняє будь-яка невід'ємна функція f. Тому умова (12) є змістовною лише при е < 2. Фундаментальна властивість функції f, яка задовольняє умову Гурова - Решетняка (12) при малих е, полягає в тому, що f сумовна в деякому степені p > 1. Саме ця властивість і обумовлює численні застосування класу Гурова - Решетняка в теорії квазіконформних відображень, диференціальних рівнянь в частинних похідних тощо. Згадана властивість класу GR вперше була відзначена в праці Гурова 1975 р., а перше детальне дослідження цієї властивості проведене в праці Гурова та Решетняка 1976 р. Щодо застосувань, в першу чергу слід відзначити праці Гурова, Іванця та Боярського, а також подальші праці інших авторів. Різні доведення, узагальнення та уточнення цієї властивості згодом були отримані в працях Боярського, Франціозі, Мілмана, Віка та ін.

В дисертаційній роботі вивчається така характеристика функції fн (f;у) ? sup_l(Q)?уЩ(f;Q)/ f_Q,0<у? l(Q₀), де верхня межа береться по всім кубам Q C Q₀, довжина сторони l(Q) яких не перевищує у. Деякі властивості функції f, виражені в термінах н(f;у), розглядались також в працях Франціозі. Один з основних результатів першого підрозділу полягає в наступній оцінці рівновимірного переставлення.

Теорема 14. Нехай куб Q₀ C R^d, невід'ємна функція f є L(Q₀). Тоді t^-1?₀^t| f^v(u) - f^vv(t) | du ? 3·2^d н(f;2t^1/d) f^vv(t),0<t? 2^-d| Q₀|.

З цієї нерівності випливає наступна оцінка швидкості росту рівновимірного переставлення функції f через н(f;у).

Теорема 15. Існують такі сталі c₁=c₁(d) і c₂=c₂(d), що для будь-якого куба Q₀ C R^d і для будь-якої невід'ємної функції f є L(Q₀) справедлива нерівність f^vv(t) ? c₁ f_Q0 exp (c₂?_t1/d^l(Q0) н(f;у)dу/у),0<t?|Q₀|. (13)

Звідси, як простий наслідок, випливає згадувана вище основна властивість функції, що задовольняє умову Гурова - Решетняка (12) при достатньо малому е.

Наслідок 16 (теорема Гурова - Решетняка). Для будь-якого е, 0 < е < е₀(d) ? d/c₂, знайдеться таке p₀ ? p₀(е,d) > 1, що умова (12) тягне приналежність функції f до класу L^p(Q₀) при будь-якому p < p₀.

Як вже відзначалось, раніше справедливість теореми Гурова - Решетняка (наслідку 16) була встановлена лише для достатньо малих е. В той же час сама умова (12) нетривіальна при будь-якому е < 2. В зв'язку з цим виникає природне питанння: при яких е < 2 умова (12) гарантує можливість підвищення показника сумовності функції f ? Відповідь на це питання дозволяє дати наступна теорема, яка також складає один з основних результатів третього розділу.

Теорема 17. Нехай невід'ємна на кубі Q₀ C R^d функція f є L(Q₀). Тоді (i) якщо при деякому е, 0 < е < 2, функція f задовольняє умову Гурова - Решетняка (12), то знайдуться такі у і и, 0 < у,и < 1, що залежать лише від е, для яких |{x є Q: f(x) > у f_Q}| > и |Q|, Q C Q₀; (ii) якщо при деяких у і и, 0 < у,и < 1, функція f задовольняє умову (14), то Щ(f;Q) ? 2(1- уи)f_Q, Q C Q₀.

Умова (14) є однією з декількох відомих різновидностей так званої A_?-умови Макенхаупта. Але відома теорема Койфмана - Феффермана стверджує, що з A_?-умови (14) випливає нерівність {|Q|^-1?_Q f ^1+r(x) dx}^1/(1+r) ? c |Q|^-1 ?_Q f(x) dx,Q C Q_0, при деякому r ? r(у,и,d)>0, де c=c(у,и,d,r). Отже, це й означає, що при будь-якому е < 2 умова Гурова - Решетняка гарантує підвищення показника сумовності функції f.

Нерівність (15) називається нерівністю Геринга, або оберненою нерівністю Гельдера. Клас G_1+r ? G_1+r(c) функцій, які задовольняють умову (15), був вперше досліджений в праці Геринга 1973 р. До нього ми повернемося пізніше. Поки що лише відзначимо, що в першомі підрозділі доведена наступна теорема, яка разом з попереднім висновком встановлює, що об'єднання всіх класів Геринга співпадає з об'єднанням всіх класів Гурова - Решетняка.

Теорема 18. Нехай невід'ємна на кубі Q₀ C R^d функція f задовольняє умову Геринга (15) при деяких r>0, c>1. Тоді знайдеться таке е, 0 < е < 2, яке залежить лише від r і від c, що справедлива нерівність Гурова - Решетняка (12).

Зауважимо, що теорему 18 можна також отримати як наслідок теореми 17, застосовуючи відомі властивості класів Геринга та Макенхаупта, про які мова піде пізніше. В дисертації наведені два різних прямих доведення теореми 18.

Далі неведені вище результати уточнюються в одновимірному випадку. А саме, уточнений аналог теореми 14 при d=1 має такий вигляд.

Теорема 19. Нехай невід'ємна функція f сумовна на відрізку I₀ C R. Тоді t^-1?₀^t| f^v(u) - f^vv(t) | du ? н(f;t^1/d) f^vv(t),0<t? | I₀|.

Подальша деталізація одновимірного випадку проводиться в двох наступних напрямках. По-перше, це уточнення теореми 15, тобто сталих в нерівності (13), а по-друге - уточнення теореми Гурова - Решетняка, тобто наслідку 16. Уточнення теореми 15 виглядає наступним чином.

Теорема 20. Нехай невід'ємна функція f сумовна на відрізку I₀ C R. Тоді f^vv(t) ? c f_Q0 exp (e/2 ·?_t^l(I0) н(f;у)dу/у),0<t?|I₀|, де c=exp(1+e), а сталу e/2 у показнику експоненти, взагалі кажучи, не можна зменшити.

Один з основних результатів третього розділу полягає в точній оцінці рівновимірного переставлення функції, яка задовольняє умову Гурова - Решетняка (12) при будь-якому е < 2. А саме, справедлива наступна теорема.

Теорема 21. Нехай задане е, 0 < е < 2, а число p”₀ ? p”₀ (е) > 1 визначене як корінь рівняння p^p(p-1)^1-p = 2/е. Тоді (i) якщо невід'ємна на відрізку I₀ C R функція f задовольняє умову Гурова - Решетняка (12) із заданим е, то f^vv(t) ? c f^vv(| I₀|) (t/|I₀|)^-1/p”0,0 < t ? |I₀|, де стала залежить лише від е (ii) існує така функція f₀ є L([0,1]), яка задовольняє умову (12), що t^1/p”0f^vv(t) ? c > 0,0 < t ? 1.

З цієї теореми миттєво випливає, що непокращуваний граничний показник p”₀ (е) > 1 сумовності функції f, яка задовольняє умову Гурова - Решетняка (12), визначається як корінь рівняння (17). Легко бачити, що p”₀ (е) ? 2/(eе) при е>0. Відзначимо, що доведення теореми 21 базується на застосуванні теореми 19 та нерівності (5). При цьому параметр a в цій нерівності вибирається найкращим чином, що і дає можливість отримати непокращувану оцінку рівновимірного переставлення функції з класу Гурова - Решетняка. В свою чергу, доведення теореми 19 засноване на застосуванні леми 2 про сонце, що сходить. Як вже відзначалось, ця лема точніша в порівнянні з відповідною багатовимірною лемою Кальдерона - Зигмунда. Отже застосування точної леми про сонце, що сходить, дає можливість в одновимірному випадку отримати точну оцінку (16) рівновимірного переставлення.