Середні коливання, обернені нерівності та рівновимірні переставлення функцій

Далі, за аналогією з BMO^R, означається анізотропний клас Гурова - Решетняка GR^R, який складається з усіх невід'ємних функцій f, що задовольняють умову Гурова -Решетняка (12), але не тільки по кубам, а по всім паралелепіпедам. Наведений приклад, який показує, що такий клас істотно вужчий, ніж звичайний клас GR. Точніше, для заданого е є (0,2) побудована функція f є GR(е), яка при будь-якому е₁ є (0,2) не належить до класу GR^R(е₁). Аналог теореми 19, тобто нерівності (16), для невід'ємної, сумовної на паралелепіпеді R₀ C R^d функції f має наступний вигляд t^-1?₀^t| f^v(u) - f^vv(t) | du ? н^R(f;t) f^vv(t),0<t? | R₀|, де н^R(f;у) = sup_|R|?у Щ(f;R) / f_R, 0<у?|R₀|, а точна верхня межа береться по всім сегментам R C R₀, міра яких не більша, ніж у.

Зауважимо, що точний граничний показник сумовності функції f є GR(е) в багатовимірному випадку нам невідомий. Точний граничний показник сумовності функції, що задовольняє анізотропну умову Гурова - Решетняка, встановлює наступна

Теорема 22. Нехай невід'ємна на сегменті R₀ C R^d функція f задовольняє умову Щ(f;R) ? е f_R, R C R₀, при деякому е < 2. Тоді нерівність Геринга {|R|^-1?_R f ^p(x) dx }^1/p ? c |R|^-1 ?_R f(x) dx, R C R_0, справедлива при будь-якому p<p”_0, де число p”₀ ? p”₀ (е) > 1 означене як корінь рівняння (17), а стала c=c(е,p) залежить лише від е і від p, і при цьому значення p”_0, взагалі кажучи, не можна збільшити.

Як вже відзначалось раніше, умовою (15) означається клас Геринга. З цим класом тісно пов'язаний ще один клас A_q? A_q(C) (q,C >1) невід'ємних на кубі Q₀ C R^d функцій f, що задовольняють A_q-умову Макенхаупта |Q|^-1?_Q f (x) dx { |Q|^-1?_Q f -^1/(q-1) (x) dx }^q-1 ? C, Q C Q₀.

Цей клас функцій використовувався в працях Макенхаупта 1972 р. та Ханта, Макенхаупта і Відена 1973 р. при дослідженні обмеженості максимального оператора Харді - Літтлвуда та оператора Гільберта в вагових просторах. В наступних працях різних авторів було показано, що подібні (18) умови на вагові функції описують ті вагові простори, в яких обмежені різноманітні оператори теорії функцій. Тому і дослідженню властивостей класів Макенхаупта з самого їх започаткування приділялась велика увага. Зв'язок між класами Геринга та Макенхаупта, встановлений Койфманом і Фефферманом в 1974 р., полягає в тому, що кожний клас Геринга вкладений в деякий клас Макенхаупта і навпаки. Але ж нами вже встановлено, що об'єднання всіх класів Гурова - Решетняка співпадає з об'єднанням всіх класів Геринга. Разом із зазначеним твердженням Койфмана і Феффермана це означає, що і об'єднання всіх класів Макенхаупта співпадає з об'єднанням всіх класів Гурова - Решетняка. Але такий підхід до дослідження зв'язку між класами Гурова - Решетняка і Макенхаупта не зовсім зручний для встановлення співвідношень між параметрами у вкладеннях цих класів. В дисертаційній роботі наведене пряме доведення вкладення класу Макенхаупта в клас Гурова - Решетняка, тобто наступна теорема.

Теорема 23. Нехай невід'ємна на кубі Q₀ C R^d функція f задовольняє умову Макенхаупта (18) при деяких q,C > 1. Тоді f належить до класу Гурова - Решетняка GR(е), де е = 2(1-(qC)^-1), 0 < е < 2.

На відміну від вкладення в клас Геринга, для дослідження вкладення в клас Макенхаупта істотними є оцінки неспадного рівновимірного переставлення функції. Така точна оцінка в одновимірному випадку міститься в наступній теоремі.

Теорема 24. Нехай невід'ємна на відрізку I₀ C R функція f задовольняє умову Гурова - Решетняка (12) при деякому е, 0 < е < 2. Тоді справедлива нерівність t^-1?₀^t| f^v(u) - f^vv(t) | du ? е f^vv(t),0<t? | I₀|.

Ця оцінка дає змогу отримати наступний аналог теореми 21, який складає один з основних результатів третього розділу.

Теорема 25. Нехай задане е, 0 < е < 2, а число q”₀ ? q”₀ (е) > 1 визначене як корінь рівняння (q-1)q^q/(1-q) = е/2.(19)

Тоді (i) якщо невід'ємна на відрізку I0 C R функція f задовольняє умову Гурова - Решетняка (12) із заданим е, то f^^t) ? c f^^(| I0|) (t/|I0|) q”0-1,0 < t ? |I0|, де стала c>0 залежить лише від е; (ii) існує така функція f0 є L([0,1]), яка задовольняє умову (12), що f^^(t) ? c1 tq”0-1,0 < t ? 1 де стала c1 не залежить від t.

В третьому підрозділі вивчається ваговий клас Гурова - Решетняка GR_м(е). Основу цього підрозділу складає наступна оцінка.

Теорема 26. Нехай міра dм абсолютно неперервна і при деякому 0 < е < 2 функція f є GR_м(е) невід'ємна на кубі Q₀ C R^d. Тоді для е < л < 2 і с < 1-л/2 справедлива нерівність f^vv_м(t) ? (B_d (л/с +1)е/(л-е)+1) f^v_м(t),0<t?с м(Q₀).

Цікаво відзначити, що в цій теоремі для міри припускається лише умова абсолютної неперервності, а звична в подібних питаннях умова подвоєння виявляється непотрібною. З цієї теореми легко отримати ваговий аналог теореми Гурова - Решетняка в багатовимірному випадку, причому для будь-якого е < 2 і з точним за порядком при е>0 показником сумовності.

В застосуваннях аналог умови Гурова - Решетняка (12) часто використовується в такому вигляді, коли коливання функції порівнюються з її середніми значеннями по різним кубам. У зв'язку з цим виникає наступне природне питання, яке було поставлене незалежно В. І. Колядою та Т. Іванцем.

Для невід'ємної на кубі Q₀ C R^d функції f максимальні функції Харді - Літтлвуда та Феффермана - Стейна відповідно означаються наступними рівностями M_Q0,мf (x) = sup_{x є Q, Q C Q0} (м(Q))^-1?_Q f(y) dм, f ^#_Q0,м (x) = sup_{x є Q, Q C Q0} (м(Q))^-1?_Q |f(y) - f _Q,м | dм,x є Q₀,

де точні верхні межі беруться по всім кубам Q C Q₀, які містять точку x. Зрозуміло, що f ^#_Q0,м ? 2M_Q0,мf для будь-якої f ? 0. Розглядаємо клас невід'ємних функцій f є L_м(Q₀), які при деякому е є (0,2) задовольняють максимальну умову Гурова - Решетняка f ^#_Q0,м (x) ? е M_Q0,мf (x).

для м-майже всіх x є Q₀. Легко показати, що умова (20) слабша, ніж звичайна умова Гурова - Решетняка (12). Тому цікаво було б з'ясувати, чи тягне умова (20) можливість підвищення показника сумовності функції f?

В дисертаційній роботі надана позитивна відповідь на це запитання для достатньо широкого класу мір. А саме, справедлива наступна теорема, яку можна назвати максимальною теоремою Гурова - Решетняка.

Теорема 27. Нехай абсолютно неперервна на кубі Q₀ C R^d міра dм задовольняє умову типу Буземана - Феллера ц_м(л) ? sup_E м({x є Q₀: M_Q0,мч_E (x) > л }) / м(E) < ?,0<л<1, і число 0 < е < 2. Припустимо, що невід'ємна функція f є L_м(Q₀) задовольняє максимальну умову Гурова - Решетняка (20). Тоді існує число p₀, яке залежить від dм, е і від d, таке, що для будь-якого 1 < p < p₀ справедлива нерівність {(м(Q₀))^-1?_Q0 f ^p(x) dм}^1/p ? c (м(Q₀))^-1?_Q0 f(x) dм, де стала залежить від dм, е, d і p.

Істотна відмінність цієї теореми від звичайної теореми Гурова - Решетняка полягає в тому, що нерівність Геринга (22) можна гарантувати лише на всьому кубі Q₀, і, як показано в роботі, це по суті. Справедливість нерівності Геринга (15) на кожному кубі Q C Q₀ умова (20) не гарантує.

Умова типу Буземана - Феллера (21) в теоремі 27 є достатньою. Нам невідомо, чи є вона необхідною. В дисертації проведений аналіз умови (21). Один з основних результатів складає приклад абсолютно неперервної міри, яка не задовольняє умову типу Буземана - Феллера (21).

В четвертому розділі вивчаються класи функцій, що задовольняють обернену нерів-ність Гельдера. Окремими випадками таких класів є клас Геринга G_p та клас Макенхаупта A_q, які означені умовами (15) та (18) відповідно. Фундаментальні властивості класів Геринга і Макенхаупта, що убумовлюють їх численні застосування, містяться в наступній теоремі.

Теорема 28 (Койфман, Фефферман).

a) Для будь-яких q>1, B>1 знайдуться q₁?q₁(q,B,d)>q і p₁?p₁(q,B,d)>1, такі, що включення G_q(B) C G_q' (B₁), G_q(B) C A_p' (B₂), справедливі при q < q' < q₁, p' > p₁, де B₁?B₁(q,B,q',d), B₂?B₂(q,B,p',d).

b) Для будь-яких p>1, B>1 знайдуться p₂?p₂(p,B,d)<p, (p₂>1) і q₂?q₂(p,B,d)>1, такі, що включення A_p(B) C A_p” (B₃), A_p(B) C G_q” (B₄), справедливі при p''>p₂, 1<q''<q₂, де B₃?B₃(p,B,p'',d), B₄?B₄(p,B,q'',d).

Включення (23) і (25) встановлюють так звану властивість самопокращення показників класів Геринга і Макенхаупта, а (24) і (26) показують зв'язок цих класів один з одним. Вивченню властивостей, відображених в теоремі 28, присвячена велика кількість праць різних авторів. Так, у працях Боярського і Віка знайдена точна асимптотична поведінка q₁(q,B,d) при B>1+0. Боярським була поставлена задача знаходження найбільш можливого значення q₁(q,B,d) у включенні (23). Ця задача була розв'язана Д'Апуццо, Сбордоне для підкласу з G_q(B), який складається з незростаючих функцій однієї змінної. Звичайно, цей результат підштовхує до думки, що задачу знаходження якомога кращих параметрів у вкладеннях (23) - (26) можна розбити на наступні два кроки. По-перше - це знаходження найкращих параметрів в названих вкладеннях для монотонних функцій, а по-друге - отримання якомога кращих оцінок рівновимірних переставлень функцій з відпо-відних класів.

Оцінка рівновимірного переставлення функції з класу Геринга в багатовимірному випадку була отримана Франціозі, Москарелло та Сбордоне, а для функції з класу Макенхаупта - Віком. Але ці оцінки завищені і тому вони непридатні для знаходження точних параметрів у вкладеннях (23) - (26). Щодо монотонних функцій однієї змінної, то, як зазначено вище, точний показник самопокращення параметру функції з класу Геринга встановлює наступна

Лема 29 (Д'Апуццо, Сбордоне). Нехай незростаюча на [0,b], невід'ємна функція g задовольняє умову {t^-1?₀^t g ^p(ф) dф }^1/p ? B t^-1?₀^t g (ф) dф, 0< t ? b, при деяких 1 < p < ?, B>1. Тоді для будь-якого е > 0, що задовольняє умову (p+е)^1/p-1е^-1/p-1(p+е-1) > B, знайдеться така стала B₁?B₁(p,B,е)>1, що {b^-1?₀^b g ^p+е(t) dt }^1/(p+е) ? B₁ b^-1?₀^b g (t) dt.

Основний результат першого підрозділу складає наступний аналог попередньої леми для функції з класу Макенхаупта.

Лема 30. Нехай неспадна на [0,b], невід'ємна функція g задовольняє умову t^-1?₀^t g (ф) dф {t^-1?₀^t g -^1/(q-1)(ф) dф }^q-1 ? C, 0< t ? b, при деяких 1<q<?, C>1. Тоді для будь-якого е > 0, 0 < е < q-1, яке задовольняє умову (q-1)^q-1е^1-q/(q-е) > C, знайдеться така стала C₁?C₁(q,C,е) > 1, що b^-1?₀^b g (t) dt {b^-1?₀^b g -^1/(q-е-1)(t) dt }^q-е-1 ? C₁.

В першому підрозділі проведений аналіз умов (27) і (28) та наведені приклади, які показують, що визначені цими умовами параметри у вкладеннях відповідних класів для монотонних функцій не можуть бути покращеними. Отже, оскільки для монотонних функцій точні границі самопокращення показників класів Геринга та Макенхаупта встановлені, то для знаходження точних параметрів у вкладеннях (23) і (25) треба ще встановити точні оцінки рівновимірних переставлень функцій з названих класів. Цьому питанню присвячений другий підрозділ. Основний результат цього підрозділу міститься в наступній теоремі.

Теорема 31. Нехай число p є (-?,0) U (1,+?). Тоді для будь-якої невід'ємної функції f є L([a,b]) sup_{K C [0,b-a]} {|K|^-1?_K (f ^v(ф)) ^p dф/{|K|^-1?_K f ^v(ф) dф}^p }= sup_{K C [0,b-a]} {|K|^-1?_K (f ^{^}(ф)) ^p dф/{|K|^-1?_K f ^{^}(ф) dф}^p } ? sup_{I C [a,b]} {|I|^-1?_I f ^p(x) dx/{|I|^-1?_I f (x) dx}^p}, де точні верхні межі беруться по всім підвідрізкам із відповідних відрізків.

Ця теорема, зокрема, надає змогу відкинути умови монотонності в лемах 29 і 30. Таким чином, в одновимірному випадку допустимі самопокращення показників класів Геринга і Макенхаупта визначаються умовами (27) і (28) відповідно не лише для монотонних, а для довільних функцій.

Означені вище класи Геринга G_p і Макенхаупта A_q можна розглядати як окремі випадки класів функцій, що задовольняють обернену вагову нерівність Гельдера{(м(Q))^-1?_Q f ^в(x) dм}^1/в ? B {(м(Q))^-1?_Q f ^б(x) dм}^1/б рівномірно по всім кубам Q C Q₀, де ненульові числа б < в. Якщо ж цю умову припускати виконаною не лише по кубам, а по всім сегментам, то відповідний клас функцій f будемо позначати через RH^б,в_dм(B). Більш того, започаткуємо клас RJ^ц_dм(B) невід'ємних на сегменті R₀ C R^d функцій f, які задовольняють обернену вагову нерівність Йєнсена (м(R))^-1?_R ц(f (x)) dм ? B ц((м(R))^-1?_R f (x) dм) рівномірно по всім сегментам R C R₀, де ц - додатна на (0,+?), опукла донизу функція. Зрозуміло, що при ц(u) = u^p (p>1) обернена нерівність Йєнсена обертається в умову Геринга, а при ц(u) = u^-1/(q-1) (q > 1) - в умову Макенхаупта з відповідними сталими.

Оцінка переставлення функції, що задовольняє обернену нерівність Йєнсена (29) по кубам, при деяких додаткових припущеннях на функцію ц була отримана Сбордоне. У цьому випадку питання про точність подібних оцінок, як правило, важкий. Нам невідомі роботи, в яких були б отримані точні оцінки рівновимірних переставлень функцій, що задовольняють умову (29) по кубам навіть для яких-небудь спеціального вигляду функцій ц. Наступна теорема, яка доведена в третьому підрозділі і складає його основний результат, надає точну оцінку рівновимірного переставлення функції, що задовольняє обернену вагову нерівність Йєнсена по всім сегментам.

Теорема 32. Нехай ц - додатна на (0,+?), опукла донизу функція, міра dм абсолютно неперервна на сегменті R₀ C R^d і невід'ємна на R₀ функція f задовольняє обернену нерівність Йєнсена (29). Тоді для будь-якого відрізка I C [0,м(R₀)] справедливі нерівності |I|^-1?_I ц(f ^v_м(t)) dt ? B ц(|I|^-1?_I f ^v_м(t) dt ),|I|^-1?_I ц(f ^{^}_м(t)) dt ? B ц(|I|^-1?_I f ^{^}_м(t) dt ), з тією ж самою сталою B > 1, що й в умові (29).

Зауважимо, що деведення цієї теореми, як і попередні точні оцінки рівновимірних переставлень, базується на застосуванні доведеного в першому розділі вагового аналога леми 4 - багатовимірного вагового аналогу леми Рісса про сонце, що сходить. Вагова оцінка рівновимірного переставлення функції в теоремі 32 корисна не лише своїм більш загальним виглядом, а насамперед тим, що при відповідному підборі вагових функцій вагова умова Геринга обертається в умову Макенхаупта і навпаки. Ця властивість вагових класів Геринга та Макенхаупта відзначалась, наприклад, в працях Пополі.

В четвертому підрозділі теорема 32 застосовується до дослідження вкладення класу RH^б,в_dм(B) в інший клас RH^б',в'_dм(B') з якомога кращими показниками б' і в'. В окремих випадках такі точні вкладення вже отримані в другому підрозділі. Користуючись термінологією теореми 28, наведемо ще деякі окремі випадки точних вкладень класів функцій, що задовольняють оберену нерівність Гельдера, які отримані раніше різними авторами. Опираючись на точну оцінку рівновимірного переставлення з [4], природне узагальнення точних вкладень (23) і (25) при d=1 отримав Пополі. Пополі довів також ваговий аналог вкладення (23) з максимальним показником q₁(q,B,1) і, як наслідок, отримав вкладення (25) з мінімальним показником p₂(p,B,1). Найкращі значення p₁(q,B,1) і q₂(p,B,1) у включеннях (24) і (26) знайдені Малаксіано. Васюнін для включень (25) і (26) знайшов не тільки екстремальні показники p₂(p,B,1) і q₂(p,B,1), але й найкращі значення сталих B₃ і B₄. Граничний додатний показник сумовності функції з класу RH^1,в_dx(B) при будь-якому d ? 1 був знайдений Кіннуненом.

Опираючись на точну оцінку рівновимірного переставлення функції з теореми 32, ми отримуємо основний результат четвертого розділу, який полягає у встановленні точних границь самопокращення показників у вкладеннях класів функцій, що задовольняють обернену вагову нерівність Гельдера. А саме, справедива наступна

Теорема 33. Нехай d ? 1, невід'ємна функція f рівномірно по всім сегментам R C R₀ задовольняє умову {(м(R))^-1?_R f ^в(x) dм}^1/в ? B {(м(R))^-1?_R f ^б(x) dм}^1/б, де фіксований сегмент R₀ C R^d, міра dм абсолютно неперервна на R₀, ненульові числа б <в, B > 1. Тоді для будь-якого г є (-?,min(0,б)) U (max(0,в),+?), такого, що (1-б/г)^1/б > B (1-в/г)^1/в,(30) знайдуться додатні B'?B'(б,в,B,г) і B''?B''(б,в,B,г), для яких нерівність (B')^-1{(м(R))^-1?_R f ^б(x) dм}^1/б ? {(м(R))^-1?_R f ^г(x) dм}^1/г ? B” {(м(R))^-1?_R f ^в(x) dм}^1/в справедлива для будь-якого сегмента R C R₀. Якщо ж dм=dx і число г є (-?,min(0,б)) U (max(0,в),+?) не задовольняє умову (30), то одна з двох нерівнос-тей (31), взагалі кажучи, втрачає силу, а саме, при г<б - ліва, а при г>в - права.

Ця теорема, зокрема, в одновимірному випадку дає можливість обчислити точні граничні значення параметрів у вкладеннях (23) - (26) теореми Койфмана - Феффермана. Вона також показує, що для анізотропних класів RH^б,в_dм(B) граничні значення самопокращення показників такі ж самі, як і в одновимірному випадку. Крім того, зрозуміло, що умови (27) і (28) є різними формами однієї умови (30). Отже, виявляється, що одна і та ж умова (30) визначає як найбільший, так і найменший можливі показники сумовності функції, що задовольняє обернену нерівність Гельдера.

Висновки

лема геринг кальдерон харді

Дисертація присвячена дослідженню екстремальних властивостей класів функцій, які означаються відносними локальними характеристиками. Основні результати роботи полягають у наступному.

1. Наведене нове доведення леми Ф. Рісса про сонце, що сходить. Це доведення перенесене на випадок багатовимірних сегментів для будь-якої абсолютно неперервної міри.

2. В анізотропному випадку отримана точна оцінка рівновимірного переставлення функції з обмеженим середнім коливанням. На підставі цієї оцінки знайдена точна стала в показнику експоненти в анізотропній нерівності Джона - Ніренберга.

3. Отримані оцінки коливань перетворень типу Харді та перетворення Кальдерона, що не покращуються у ряді випадків.

4. Показана можливість підвищення показника сумовності функції, яка задовольняє ізотропну умову Гурова - Решетняка, при будь-якому значенні параметра класу та для будь-якої абсолютно неперервної міри. Вивчені властивості функції, що задовольняє аналог умови Гурова - Решетняка в термінах максимальних функцій.

5. Для функції, що задовольняє анізотропну умову Гурова - Решетняка, отримана точна оцінка рівновимірного переставлення. На підставі цієї оцінки знайдені точні граничні показники класів Макенхаупта і Геринга, в які вкладений клас Гурова - Решетняка.

6. В одновимірному випадку знайдені точні границі самопокращення показників класів Геринга і Макенхаупта.

7. Знайдено точні границі самопокращення показників для класів функцій, які задовольняють обернену анізотропну нерівність Гельдера у випадку довільної абсолютно неперервної міри.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Кореновский А. А. О принадлежности максимальной функции f ^# классу Орлича// Матем. заметки. - 1989. - Т. 46, № 2. - С. 66-75.

2. Кореновский А. А. Средние колебания и преобразование Гильберта// Известия ВУЗов. Математика. - 1989. - № 2. - С. 28-40.

3. Кореновский А. А. О связи между средними колебаниями и точными показателями суммируемости функций// Матем. сборник. - 1990. - Т. 181, № 12. - С. 1721-1727.

4. Кореновский А. А. О точном продолжении обратного неравенства Гельдера и условия

Макенхаупта// Матем. заметки. - 1992. - Т. 52, № 6. - С. 32-44.

5. Кореновский А. А. Обратное неравенство Гельдера, условие Макенхаупта и равноизмеримые перестановки функций// Докл. АН СССР. - 1992. - Т. 323, № 2. - С. 229-232.

6. Кореновский А. А. Многомерный вариант леммы Рисса и некоторые его приложения// Волинський математичний вісник. - 1996. - Вип. 3. - С. 50-55.

7. Кореновский А. А. Об одном обобщении неравенства Гурова - Решетняка// Теорiя наближення функцiй та її застосування. Працi Iнституту математики НАН України. - 2000. - Т. 31. - С. 482-491.

8. Кореновский А. А. Оценки колебаний сопряженного преобразования Харди и преобразования Кальдерона// Исследования по линейным операторам и теории функций. 29. Записки научных семинаров ПОМИ, СПб. - 2001, - Т. 282. - С. 106-117.

9. Кореновский А. А. Оценки колебаний преобразования Харди// Матем. заметки. - 2002. - Т. 72, № 3. - С. 383-395.

10. Кореновский А. А. Об оценке снизу нормы в BMO_p преобразования Харди - Литтлвуда// Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання. Працi Iнституту математики НАН України. Математика та її застосування. - 2002. - Т. 35. - С. 81-95.

11. Кореновский А. А. О связи между классами функций Гурова - Решетняка и Макенхаупта// Матем. сборник. - 2003. - Т. 194, № 6. - С. 127-134.

12. Кореновский А. А. О вложении класса Геринга в класс Гурова - Решетняка// Вiсник Одеського держ. унiв. - 2003. - Т. 8, Вип. 2 (фiз. - мат. науки). - С. 15-21.

13. Кореновский А. А. О классе функций Гурова - Решетняка// Проблеми теорiї функцiй та сумiжнi питання. Збiрник праць Iнституту математики НАН України. - 2004. - Т. 1, № 1. - С. 189-206.

14. Кореновский А. А. Лемма Рисса "о восходящем солнце" для многих переменных и неравенство Джона - Ниренберга// Матем. заметки. - 2005. - Т. 77, № 1. - С. 53-66.

15. Кореновский А. А. Оценка перестановки функции, удовлетворяющей "обратному неравенству Йенсена"// Укр. мат. журн. - 2005. - Т. 57, № 2. - С. 158-169.

16. Didenko V. D., Korenovskyy A. A., Lee S. L. On the spectral radius of convolution dilation operators// J. Anal. Appl. (Zeitshrift fьr Analysis und ihre Anwendungen). - 2002. - Vol. 21, № 4. - P. 879-890.

17. Korenovskii A. One refinement of the Gurov - Reshetnyak inequality// Ricerche di Mat. - 1996. - Vol. 45, № 1. - P. 197-204.

18. Korenovskii A. On the one-dimensional Muckenhoupt condition A_?// C. R. Acad. Sci. Paris. - 1995. - Vol. 320, Ser. I. - P. 19-24.

19. Korenovskyy A. A., Lerner A. K., Stokolos A. M. A note on the Gurov - Reshetnyak condition// Math. Research Letters. - 2002. - Vol. 9, № 5-6. - P. 579-583.

20. Korenovskyy A. A., Lerner A. K., Stokolos A. M. On a multidimensional form of F. Riesz "rising sun" lemma// Proc. Amer. Math. Soc. - 2005. - Vol. 133, № 5. - P. 1437-1440.

21. Кореновский А. А. Средние колебания и точные показатели суммируемости функций// Одес. гос. ун-т. - Одесса, 1990. - 6 с. - Рус. - Деп. в УкрНИИНТИ 02.04.90, № 724 - УК 90.

22. Кореновский А. А. Многомерный вариант леммы Рисса и некоторые его приложения// Тез. докл. межд. конф. "Теория аппроксимаций и численные методы", посв. 100-летию со дня рождения Е. Ремеза. - Ровно. - 1996. - С. 39.

23. Кореновский А. А. Многомерный вариант леммы Рисса и некоторые его приложения// Тез. докл. межд. конф. по теории приближения функций, посв. памяти профессора П. П. Коровкина. - Калуга. - 1996. - Т. 1. - С. 121-122.

24. Кореновский А. А. Многомерный вариант леммы Рисса и некоторые его приложения// Сб. статей 1-й межд. научн. - практ. конф. "Математика и психология в педагогической системе "Технический университет", Одесский гос. политехн. унив. - Одесса. - 1996. - С. 65-67.

25. Кореновский А. А. О неравенстве Гурова - Решетняка// Тез. допов. конф. "Ряди Фур'є: теорія і застосування". - Кам'янець - Подільський, Київ. - 1997. - С. 62-63.

26. Кореновский А. А. О BMO-норме преобразования Харди// Тез. докл. Воронежской зимней матем. школы "Современные методы теории функций и смежные вопросы". -Воронеж. - 2001. - С. 315.

27. Кореновський А. О. Про точні оцінки рівновимірних переставлень та їх застосування// Тез. допов. Українського матем. конгр., присв. 200-річчю з дня народження М. В. Остроградського "Теорія наближень та гармонічний аналіз". - Київ. - 2001. - С. 31-32.

28. Кореновский А. А. Оценки операторов Харди в BMO// Abstr. Int. Conf. "Functional Methods in Approximation Theory, Operator Theory, Stochastic Analysis and Statistics". - Kyiv. - 2001. - P. 33.

29. Кореновский А. А. Оценки операторов Харди в BMO// Тез. докл. 11 Саратовской зимней школы. "Современные проблемы теории функций и их приложения". - Саратов: Изд-во ГосУНЦ "Колледж". - 2002. - С. 98-99.

30. Кореновский А. А. Одно замечание к теореме Гурова - Решетняка// Abstr. Int. Conf. "Functional Analysis and its Applications", dedicated to the 110-th anniversary of Stefan Banah. - Lviv. - 2002. - P. 114-115.

31. Кореновский А. А. О совпадении классов Макенхаупта, Геринга и Гурова - Решетняка// Тез. докл. Воронежской зимней матем. школы "Современные методы теории функций и смежные вопросы". - Воронеж. - 2003. - С. 130-131.

32. Кореновский А. А. О классах функций, удовлетворяющих обратному неравенству Гельдера// Тез. докл. 12 Саратовской зимней школы. "Современные проблемы теории функций и их приложения". - Саратов: Изд. ГосУНЦ "Колледж". - 2004. - С.103-104.

33. Кореновский А. А. Об обратном неравенстве Гельдера// Тез. допов. міжн. конф. пам'яті В. Я. Буняковського. - Київ. - 2004. - С. 79-80.

34. Кореновський А. О. Про обернену нерівність Гельдера// Тез. допов. міжн. матем. конф. ім. В. Я. Скоробагатька. - Дрогобич - Львів. - 2004. - С. 107.

35. Кореновский А. А. Об обратном неравенстве Гельдера// Abstr. Int. Conf. "Functional Methods in Approximation Theory, Operator Theory, Stochastic Analysis and Statistics II", dedicated to the memory of A. Ya. Dorogovtsev. - Kyiv. - 2004. - P. 65.

36. Кореновский А. А. О точных вложениях классов функций, удовлетворяющих обратному неравенству Гельдера// Тез. докл. межд. конф. "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ", посвященной столетию С. М. Никольского. - Москва. - 2005. - С. 133.

37. Кореновский А. А. Об одном аналоге теоремы Гурова - Решетняка в терминах максимальных функций// Тез. докл. межд. конф. "Современные проблемы математики, механики, информатики", посвященной 85-летию со дня рождения профессора С. Б. Стечкина и 75-летию ТулГУ. - Тула: Изд-во ТулГУ. - 2005. - С. 108-110.

38. Кореновский А. А. О классах функций, удовлетворяющих обратному неравенству Гельдера// Тез. докл. 13 Саратовской зимней школы. "Современные проблемы теории функций и их приложения". - Саратов: Изд-во ГосУНЦ "Колледж". - 2006. - С. 96-97.

39. Korenovskii A. A. Some sharp results for one-dimensional Muckenhoupt classes// Abstr. Int. Conf. on Approximation Theory and Functional Series, dedicated to Kбroly Tandory on his 70-th birthday. - Budapest. - 1995. - P. 22.

40. Korenovskii A. A. On Gehring and Muckenhoupt Classes of Functions// Abstr. Int. Conf. "Harmonic Analysis and Approximations, II". - Nor Amberd, Armenia. - 2001. - P. 43.

Размещено на Allbest.ru