Высшая математика

Размещено на http://www.allbest.ru/

Белорусский национальный технический университет

Лекции

Высшая математика

Минск 2004

Матрицы

В математике и ее приложениях часто бывает удобным использовать таблицы чисел, которые называются матрицами.

Матрицы используются при решении систем линейных уравнений, теории вероятности, аналитической геометрии и так далее.

Def: матрицей размерностью называется прямоугольная таблица действительных чисел, состоящая из строк и столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами.

Для доступа к элементам матрицы используются два индекса: первый - номер строки, второй - номер столбца.

Обозначаются матрицы, как правило прописными латинскими буквами или

В развернутой форме матрица записывается как таблица:

Иногда -

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной.

Матрицы А и В одинаковой размерности считаются равными, если все элементы одной матрицы равно элементам другой матрицы.

Рассмотрим некоторые специальные виды матриц:

1) Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нуль - матрицей.

матрица вектор плоскость предел

2) Квадратная матрица, диагональные элементы которой равны единице, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной матрицей или , то есть:

3) Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы, расположенные ниже (выше) главной диагонали, равны нулю:

4) Прямоугольная матрица называется трапециевидной, если она представляет собой следующую таблицу:

Линейные операции над матрицами.

1) Умножение числа на матрицу:

Произведением действительного числа на матрицу называется матрица , то есть каждый элемент матрицы умножен на .

2) Сложение матриц:

Суммой матрицы А и матрицы В одинаковой размерности называется матрица , то есть элементы суммы матриц равны суммам соответствующих элементов данных матриц.

Матрицу называют матрицей, противоположной данной.

Свойства операций над матрицами аналогичны свойствам действительных чисел, то есть, например:

3) Произведение матриц:

Умножать можно только согласованные матрицы.

Матрица А согласована с матрицей В, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Обозначим строку с номером матрицы А через , столбец с номером матрицы В через . Произведением на столбец согласованных матриц называют число , то есть произведение строки на столбец равно сумме произведений их элементов с одинаковым номером.

Произведением согласованных матриц называют матрицу , то есть элементы произведения матриц равны произведениям строк первой матрицы на столбцы второй матрицы.

Произведение матриц обладает как свойствами, аналогичными числам, так и специальными свойствами, например:

Общий случай:

Квадратная матрица А называется симметричной, если все элементы этой матрицы равны своим симметрично относительно главной диагонали.

Квадратную матрицу А называют кососимметричной, если все элементы этой матрицы равны своим симметрично относительно главной диагонали с противоположным знаком:



Пример:

Доказать, что

В отличие от чисел из неравенства не следует, что одна из матриц равна нулю.

Рассмотрим примеры, показывающие что алгебра матриц сложнее алгебры чисел.

Определители матриц и их свойства.

При вычислении определителей рассмотрим перестановки:

Перестановкой “n” натуральных чисел 1, 2,….n называется любое упорядоченное расположение этих чисел.

Обозначать перестановку будем как строку , где - это неповторяемые числа ряда 1, 2,….n.

Две перестановки считают равными, если они имеют одну длину или все элементы одной перестановки равны элементам другой перестановки.

Так как первым элементом перестановки может быть любое из “n” чисел, вторым - любое из оставшихся “n-1” чисел, третьим - любое из “n-2” чисел и так далее, то общее количество различных перестановок равно (факториал).

Основные свойства перестановок:

Два числа при перестановке образуют инверсию, если большее из них расположено левее меньшего.

Перестановка называется четной, если в ней количество инверсий четно и наоборот - если количество инверсий нечетно, то и перестановка - нечетная.

Рассмотрим квадратную матрицу порядка “n”:

Вычислим произвольно произведение элементов этой матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем для удобства будем считать, что номера строк (первые индексы) расположены в естественном порядке, тогда вторые индексы, то есть номера столбцов образуют некоторую перестановку , такое произведение мы можем записать в виде:

Общее число этих произведений равно количеству различных перестановок, то есть n! (факториал).

Обозначим через число инверсий в данной перестановке.

Def: сумма всевозможных произведений , взятых по одному из каждого столбца и имеющих знак “+”, если число инверсий четно, и знак “-”, если число инверсий нечетно, называется определителем или детерминантом данной матрицы и обозначается через:

или , или в развернутой форме:

Рассмотрим частные случаи:

1) n=2 (в данном случае существует две перестановки).

Данный определитель равен:

2) n=3

Данный определитель третьего порядка равен:

Для упрощения вычислений определителя третьего порядка можно использовать правило треугольника.



Свойства определителя:

1) Если какой либо столбец или строка состоит из нулей, то и определитель равен нулю (свойство следует из определения определителя )

2) Общий множитель элементов какой либо строки или столбца можно выносить за знак определителя.

3) Если переставить соответствующие элементы двух каких - либо строк или столбцов определителя, то определитель поменяет знак на противоположный. Это следует из того, что при перестановке четность соответствующей перестановки вторым индексом каждого произведения изменится на противоположную, то есть четная перестановка станет нечетной, и наоборот, следовательно, каждое произведение определителя изменит знак на противоположный.

3') Если в определителе элементы какой - либо строки или столбца равны элементам другой строки или столбца, то этот определитель равен нулю.

Действительно, с одной стороны определитель не изменился, но с другой стороны по предыдущему свойству его знак изменен на противоположный, следовательно, этот определитель равен нулю.

4) Если все элементы какой - нибудь строки или столбца определителя равны суммам двух слагаемых, то данный определитель равен сумме двух определителей в которых в указанной строке или столбце стоят соответственно первые и вторые слагаемые, а остальные элементы обоих определителей такие же, как и в исходном определителе.

5) Определитель не изменится, если к элементам какой - нибудь строки или столбца прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженные на одно и тоже число.

Это свойство следует из предыдущих, так как в этом случае полученный определитель можно представить в виде суммы двух определителей, один из которых равен исходному, а в другом имеются две пропорциональные строки или столбцы, и поэтому он равен нулю.

6) Разложение определителя по элементам строки или столбца.

Введем сначала определение алгебраического дополнения элемента матрицы. Алгебраическим дополнением элемента матриц называют определитель порядка , полученный вычеркиванием i - й строки и j - го столбца, где он расположен и взятый со знаком “+” если сумма индексов данного элемента четная, и со знаком “-”, в противном случае.

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки или столбца на соответствующие алгебраические дополнения, то есть если обозначить алгебраическое дополнение через , то:

Таким образом, вычисление определителя можно проводить рекуррентно, то есть его вычисление сводится к вычислению определителей меньшего порядка.

При практическом использовании этого свойства следует естественно выбирать ту строку, где находится много нулей.

Из предыдущего свойства следуют два свойства, которые мы будем использовать при нахождении матриц, обратных к данным.

7) Сумма произведений “n” действительных чисел на алгебраические дополнения к элементам какой-нибудь строки или столбца равна определителю, в котором в показанной строке или столбце расположены данные числа, а все остальные элементы совпадают с соответствующими элементами исходного определителя.

8) Сумма произведений элементов какой - нибудь строки или столбца на алгебраические дополнения к элементам какой - нибудь другой строки или столбца определителя равна нулю.

Действительно, по предыдущему свойству эта сумма произведений равна определителю с двумя совпадающими строчками или столбцами, а такой определитель равен нулю.

9) Если множатся матрицы, то множатся и их определители.

Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц.

Обратная матрица.

Обратной матрицей к квадратной матрице А называется матрица В, такая что

,

где Е - единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Обратная матрица обозначается -

Из определения обратной матрицы следует, что обратной обратной матрице является исходная матрица.

Из определения обратной матрицы следует, так же, что:

Аналогично:



Сформулируем и докажем критерий существования обратной матрицы, то есть выясним условия, при которых обратная матрица существует:

Теорема: Для того, что бы существовала матрица, обратная данной матрице, необходимо и достаточно, что бы данная матрица была невырожденной, то есть ее определитель не должен быть равен нулю.

Доказательство:

Необходимо предположить, что для матрицы А существует обратная и тогда по определению , вычисляя определитель матрицы в левой и правой частях данного равенства, получим:

Отсюда:

, следовательно матрица А - невырожденная.

Достаточность условия.

Предположим, что матрица А невырожденная, то есть ее определитель не равен нулю. Построим матрицу, обратную данной, для этого рассмотрим так называемую союзную матрицу (элементы которой являются алгебраическими дополнениями к элементам данной матрицы, причем в строках этой матрицы записываются алгебраические дополнения к элементам столбцов). Строим союзную матрицу:



Найдем произведение исходной матрицы на союзную.

Элементами произведения матрицы А на матрицу S являются суммы произведений элементов выбранной строки исходной матрицы на алгебраическое дополнения к элементам другой строки данной матрицы .

Произведение А на S равен:

Отсюда следует, что если , то (свойство 8), если же , то (свойство 6).

Таким образом:

.

Аналогично можно показать, что , отсюда следует, что матрицей, обратной к данной является матрица

Критерии существования обратных матриц.

С помощью обратной матрицы удается решить матричные уравнения в случаях, когда матрица, на которую происходит умножение, является невырожденной.

Можно решать уравнения вида:

Например:

В случае невырожденной матрицы А достаточно умножить обе части этого уравнения на матрицу, обратную матрице А. В результате получим:

решением , если , является матрица

Аналогично

Пример:

Решением матричного уравнения в случае и , является матрица

Элементарные преобразования матриц.

Ранг матрицы.

Элементарными преобразованиями произвольной матрицы являются следующие преобразования:

1) Умножение всех элементов строки или столбца на ненулевое число.

2) Перестановка каких-нибудь строк или столбцов в матрице.

3) Добавление к элементам какой-нибудь строки или столбца элементов другой строки или столбца, умноженных на любое число.

Рассмотрим

Минором порядка “k” называется определитель, стоящий на пересечении выбранных “k” строк и “k” столбцов данной матрицы А.

Def: Рангом матрицы А называется наибольший из порядков (размерность) ненулевых миноров этой матрицы. Обозначается

Простейшие свойства ранга матрицы:

1)

2) Ранг не меняется, если в этой матрице отбросить все нулевые строки и столбцы.

3) Ранг матрицы не изменится, если из нее выбросить строку или столбец, равную сумме двух строчек или столбцов.

Эти свойства следуют из определения ранга матрицы и соответствуют свойствам определителя.

Пример:

- минор второго порядка.

Все миноры третьего порядка равны нулю, так как последняя строка является суммой первых двух:

Вычисление ранга матрицы по определению требует большого количества вычислений. Для эффективного вычисления ранга матрицы используются элементарные преобразования.

Теорема: ранг матрицы не меняется пи ее элементарных преобразованиях.

Для вычисления ранга матрицы следует ее с помощью элементарных преобразований привести к трапециевидной матрице с ненулевыми дополнительными элементами.

Перестановкой строк или столбцов поместим ненулевой элемент матрицы в ее верхний левый угол. Далее превращаем в нули все элементы данной матрицы, расположенные ниже диагонали , для этого достаточно из строки (каждой) с номером “i” вычесть первую строку, умноженную на число .

В результате из матрицы мы получим матрицу:

Аналогично полученной матрице за счет перестановки строк или столбцов помещаем вторым диагональным элементом ненулевое число и далее по аналогии с предыдущим шагом превращаем в нули все элементы этой матрицы, расположенные ниже диагонального элемента . Продолжаем этот процесс насколько это возможно, придем к трапециевидной матрице после конечного числа шагов, то есть в результате получим матрицу вида:

В этой матрице все диагональные элементы - ненулевые. Очевидно, что ранг трапециевидной матрицы равен “r”, следовательно, по теореме ранг исходной матрицы равен “r”:

Системы линейных алгебраических уравнений

Системой линейных алгебраических уравнений с неизвестными называется следующая система уравнений:

где: - неизвестные

- действительные числа или правые части уравнения.

- коэффициенты системы.

“n” действительных чисел составляют решение данной системы линейных алгебраических уравнений, если при подстановке этих чисел в систему каждое из ее уравнений обращается в равенство.

Если все правые части системы равны нулю, то такая система называется однородной.

Представим систему линейных алгебраических уравнений в матричной форме, для чего введем обозначение:

- матрица системы.

- столбец неизвестных.

- столбец правых частей системы.

В этих обозначениях систему можно записать виде матричного уравнения:

Решение невырожденных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

СЛАУ называется невырожденной, если в ней число уравнений равно числу неизвестных и определитель матрицы этой системы не равен нулю.

, где матрица А - квадратная и ее определитель :

Рассмотрим два метода решения невырожденной СЛАУ:

1) Матричный:

Так как определитель матрицы невырожденной системы отличен от нуля, то для матрицы А существует обратная матрица . Умножим обе части матричного уравнения слева на обратную матрицу, получим:

Таким образом, решение невырожденной системы уравнений в матричной форме находится по формуле

2) Формулы Крамера.

Воспользовавшись матричным представлением решения невырожденной системы, запишем в явном виде значения неизвестных:

По свойству (7), сумма произведений, стоящих в скобках, равна определителю, который получается из определителя матрицы системы, если в нем столбец с номером “j” заменить столбцом правых частей. Обозначим этот определитель с номером “j”:

В этих обозначениях решение СЛАУ можно вычислить (найти) по формулам:

-

формула Крамера.

Замечание: невырожденная матрица имеет единственное решение.

Решение произвольных СЛАУ.

Рассмотрим произвольную СЛАУ:



Матрица, которая получается из основной матрицы системы, если к ней добавить столбец правых частей, называется расширенной матрицей системы:

Элементарные преобразования над строками расширенной матрицы приводят к матрице, для которой соответствующая система линейных уравнений будет эквивалентна исходной системе линейных уравнений, то есть множества решений этой системы будут совпадать.

Метод исключения неизвестных. (Метод Гаусса).

Решение линейных систем уравнений. Поскольку элементарные преобразования над строками расширенной матрицы приводят к эквивалентным системам, то с помощью этих преобразований мы можем упростить расширенную матрицу, привязав ее к трапециевидной. Для системы уравнений это означает, что мы в ней последовательно и насколько это возможно исключаем неизвестные в уравнениях. В результате элементарных преобразований расширенная матрица системы приводится к виду:

Таким образом, исходная система линейных уравнений эквивалентна следующей системе:

Из вида последней системы следует, что если по крайней мере одно из чисел не равно нулю, то данная система линейных уравнений несовместна, то есть у нее нет решения.

Пусть теперь все числа . Тогда последнюю в уравнении можно отбросить и таким образом получим трапециевидную систему:



Из этой системы, двигаясь снизу вверх, мы можем найти неизвестные , которые будут выражаться через неизвестные . Неизвестные называются свободными неизвестными и они могут принимать произвольные значения. Таким образом, для того, что бы записать множество всех решений данной системы, следует придавать свободным неизвестным произвольные значения, а остальные неизвестные выражать через свободные из последней укороченной системы.

Если , то свободных неизвестных нет и система имеет единственное решение. Если же , то данная система имеет бесконечное множество решений, которые выражаются через свободных неизвестных .

Замечание: метод Гаусса является универсальным методом решения систем линейных уравнений. С другой стороны этот метод является более эффективным чем матричный метод решения систем невырожденных линейных уравнений или правило Крамера.

Сформулируем критерий совместности СЛАУ:

Теорема (Кронекера - Капелли): для того, что бы СЛАУ была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы был равен рангу расширенной матрицы:

.

Доказательство этой теоремы следует из алгоритма Гаусса - действительно, как уже отмечалось, матрицу системы можно привести к следующему виду:

Предположим, что данная система уравнений совместна, тогда необходимо все числа равны нулю, тогда:

.

Предположим, что . Следовательно, тоже равны нулю. Следовательно, система совместна.

Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.

Заметим прежде всего, что если матрица А - невырожденная, то СЛАУ с этой матрицей имеет единственное решение и расширенную матрицу такой системы можно привести к виду:

Тогда последний столбец этой расширенной матрицы представляет собой решение невырожденной СЛАУ

Матричное уравнение в качестве своего решения имеет обратную матрицу .

Следовательно, для того, что бы найти обратную матрицу, мы можем поступить следующим образом: запишем расширенную матрицу и с помощью элементарных преобразований над ее строками приведем матрицу А к единичной матрице. В результате получим: .



Векторная алгебра

Вектором на плоскости или в пространстве называют направленный отрезок прямой.

Длина отрезка, представляющего вектор, называется длиной вектора.

Вектор, у которого начальная и конечная точки совпадают, называется нулевым вектором.

Два вектора считаются равными, если соединив начальную и конечную точки одного вектора с соответствующими точками другого вектора, мы получим параллелограмм.

Линейные операции над векторами.

1) Умножение числа на вектор:

называется вектор, длина которого равна и направленный в ту сторону, что и вектор “a”, если , и в противоположную, если .

Если , то

2) Сложение векторов:

Суммой двух векторов называется вектор , который находится по правилу треугольника или параллелограмма.

3) Разность векторов:

Разностью векторов называется вектор

Под углом между двумя векторами понимается меньший из углов между соответствующими отрезками.

Два вектора называются ортогональными, если угол между ними равен

Величина отрезка равно длине , умноженный на , называется проекцией на : .

Пусть вектор . Для того, чтобы превратить этот вектор в единичный, следует его пронормировать, то есть разделить его на собственную длину.

Векторы называются коллинеарными, если параллельны отрезки, их представляющие: .

Для того, чтобы два вектора были коллинеарными, необходимо и достаточно, что бы они были линейно связаны, то есть .

1)

2)

Три вектора называются комплонарными, если, будучи приведенными к общему началу, они будут располагаться в одной плоскости.

Базис на плоскости и в пространстве.

Координатные вектора.

Базисом на плоскости называется любая пара неколлинеарных векторов.

Базисом в пространстве называется любая тройка некомпланарных векторов.

Базис обладает тем свойством, что любой другой вектор можно однозначно разложить по этому базису, то есть для базиса в пространстве любой вектор можно представить в виде:



,

где - координаты вектора в данном базисе.

.

В приложениях чаще всего используются так называемые ортонормированные базисы.

Базис называется ортонормированным, если все векторы этого базиса попарно ортогональны и имеют единичную длину.

Данный базис имеет положительную ориентацию, если после приведения базисных векторов в общему началу мы будем наблюдать кратчайший поворот от вектора к вектору со стороны вектора , совершаемый против часовой стрелки.

Положительноориентированный ортогональный базис в пространстве.

Разложим произвольный вектор по этому базису:

, то есть .

Координаты вектора в ортогональном базисе представляют собой проекции данного вектора на соответствующие орты:



Если данный вектор - единичный, то его координаты соответствующим косинусам углов:

Декартова система координат.

Деление отрезка в заданном соотношении.

Свяжем каким - либо образом с ортогональным базисом декартовую или прямоугольную систему координат:

Координатой точки в пространстве называется координата её радиус - вектора в данном ортонормированном базисе :

Найдем координаты вектора по координатам его начальной и конечной точек:

;

Найдем теперь координаты точки , которая делит данный отрезок в заданном соотношении : .

Очевидно, что:

Из предыдущего равенства следует, что:



Координаты точки, делящей данный отрезок в заданном отношении :

Если отрезок делится пополам, то . Тогда координаты находятся по формулам:

Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением векторов называется число , так как (проекция вектора “b” на вектор “a”).

Скалярное произведение:

.

Отметим некоторые свойства скалярного произведения векторов:

1)

2)

3)

4)

Найдем выражение для скалярного произведения, в случае, когда векторы заданы своими координатами в ортогональном базисе:

Найдем скалярное произведение векторов, пользуясь свойствами скалярного произведения векторов:

Скалярное произведение вычисляется по формуле:

Если , то

С помощью скалярного произведения можно вычислять угол между векторами и проекцию одного вектора на другой.

Векторное произведение.

Векторным произведением векторов называется вектор , по длине равный , где - угол между векторами и направленный перпендикулярно плоскости векторов , причем так, что тройка векторов имеет положительную ориентацию.

Как следует из определения, длина векторного произведения равна площади параллелограмма, построенного на данных векторах:

Отметим простейшие свойства векторного произведения:

1)

2)

3)

4)

Найдем выражение для векторного произведения в случае, когда векторы заданы своими координатами в некотором, положительноориентрованном, ортонормированном базисе . Как следует из определения векторного произведения, для ортов векторные произведения равны:

Пусть:

Тогда, использовав свойство векторного произведения, мы можем записать следующее:



Легко заметить, что векторное произведение можно вычислять с помощью следующего символического определителя:

Смешанное произведение векторов.

Смешанным произведением тройки векторов называется число, равное .

Рассмотрим свойства смешанного произведения векторов:

1)

2)

3)

4)

5) - комплонарны.

Пусть - комплонарны:

Точно так же это утверждение проверяется в обратную сторону.

Из последнего свойства смешанного произведения векторов следует, что для того, что бы векторы составляли базис в пространстве всех векторов, необходимо и достаточно, что бы их смешанное произведение было бы не равно нулю.

Выясним геометрический смысл смешанного произведения:

Таким образом, объем параллелограмма, построенного на трех данных векторах , равен абсолютной величине их векторного произведения.

Точнее, объем параллелограмма равен смешанному произведению, если тройка векторов - положительно ориентирована, и равен смешанному произведению со знаком “-”, если тройка векторов - отрицательно ориентирована:

.

Найдем формулу для вычисления смешанного произведения в координатах:

Пользуясь формулой для вычисления векторного и скалярного произведения, запишем следующее:

Аналитическая геометрия

Плоскость в пространстве. Различные уравнения плоскости.

Положение плоскости в пространстве полностью определяется точкой, расположенной в этой плоскости и ненулевым вектором, перпендикулярным этой точке.

Вектор, перпендикулярный данной плоскости, называется нормальный вектор этой плоскости (вектор нормали).

Найдем уравнение этой плоскости, то есть уравнение, которое связывает координаты произвольной точки этой плоскости.

Возьмем произвольную точку этой плоскости для вектора нормали , что равносильно тому, что .

Так как , то уравнением плоскости является следующее уравнение:

- уравнение плоскости, которая проходит через точку перпендикулярно вектору .

Раскрыв скобки в получаемом уравнении, придем к уравнению вида:

- общее уравнение плоскости в пространстве.

Рассмотрим частные случаи общего уравнения плоскости:

1) - данная плоскость проходит через начало координат.

2) Если в общем уравнении плоскости отсутствует какая - нибудь переменная, то эта плоскость параллельна той оси, которой соответствующая переменная отсутствует.

3) Если в общем уравнении плоскости нет каких - нибудь двух переменных, то данная плоскость перпендикулярна оси третьей переменной.

4) Предположим, что данная плоскость не проходит через начало координат и непараллельная ни одной из осей. Следовательно, . В этом случае уравнение плоскости представить в виде:

,

где

- представляют собой величины отрезков, которые отсекает данная прямая на координатных осях.

Полученное уравнение называется уравнением плоскости в отрезках.

Нахождение уравнения плоскости по трем элементам.

1) Плоскость, проходящая через три точки не лежащие на одной прямой . Если точка расположена в плоскости трех данных точек, то векторы - комплонарны, следовательно, их смешанное произведение равно нулю:

Осталось записать это уравнение в координатах:

Раскрыв этот определитель, получим уравнение этой плоскости.

2) Плоскость, проходящая через две точки параллельно вектору.

Предположим, что известны две точки и вектор , параллельный данной плоскости. Найдем уравнение данной плоскости:

Вектор непараллелен . Векторы - комплонарны, следовательно:

3) Плоскость, которая проходит через данную точку параллельно двум данным векторам.

Задана точка и два вектора .

- комплонарны, следовательно:

Замечание: во всех трех случаях уравнения плоскости можно найти, вычислив предварительно нормальный вектор данной плоскости. Например, для последнего случая для нормального вектора можно взять векторное произведение

Расстояние от точки до плоскости.

Найдем расстояние от точки до плоскости.

Пусть - основание перпендикуляра, опущенного из точки на данную плоскость. Векторы - коллинеарные.

Найдем их скалярное произведение:

Таким образом, расстояние от данной точки до данной плоскости определяется по формуле:

Очевидно, что угол между двумя плоскостями:

Равен углу между их нормальными векторами:

Следовательно, он может быть вычислен по формуле:

.

Две данные плоскости параллельны, если их нормальные векторы коллинеарны:



.

Две данные плоскости перпендикулярны, если их нормальные векторы ортогональны, то есть:

Две плоскости перпендикулярны, если их нормальные векторы ортогональны:



Прямая на плоскости

Берем на плоскости декартовую систему координат . Теория прямой на плоскости строится на аналогии с теорией плоскости в пространстве. Как и в случае плоскости положение прямой на плоскости однозначно фиксируется точкой, через которую проходит эта прямая и вектором, который ей перпендикулярен, то есть нормальным вектором.

В данных на чертеже обозначается:

- уравнение прямой, которая проходит через точку перпендикулярно вектору .

Раскрывая скобки в полученном уравнении, найдем общее уравнение прямой на плоскости:

.

Если прямая на плоскости отсекает на координатных осях ненулевые отрезки с величинами , то ее уравнение можно записать в следующем виде:

- уравнение прямой в отрезках.

По аналогии с уравнением прямой в пространстве можно находить уравнение прямой на плоскости по двум элементам:

1) Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору (каноническое уравнение):

Для точек данной прямой и только для них вектор , следовательно, координаты этих векторов пропорциональны:

Вектор , которому параллельна данная прямая, называется направленным вектором этой прямой.

2) Уравнение прямой, проходящей через две точки .

В данном случае в качестве направляющего вектора этой прямой возьмем вектор :

, следовательно, каноническое уравнение этой прямой можно записать так:

Найдем параметрическое уравнение прямой на плоскости:

,

где - действительный параметр.

Если меняется в пределах , то точка пробегает всю прямую.

Переходя к координатам, полученным в векторном уравнении, запишем параметрическое уравнение на плоскости:

, .

По аналогии с формулой для расстояния от точки до плоскости может быть получена и формула для вычисления расстояния от точки до прямой на плоскости:

Угол между двумя прямыми, которые заданы общими уравнениями, может быть найден, как угол между соответствующими нормальными векторами. Возьмем еще одно уравнение прямой на плоскости - уравнение прямой с угловыми коэффициентами.

Пусть прямая на плоскости непараллельна оси . Тогда вторая координата ее нормального вектора не равна нулю:

В этом случае данное уравнение мы можем записать в виде - уравнение прямой с угловыми коэффициентами.

Выясним геометрический смысл величин :

Для двух точек, лежащих на данной прямой величина представляет собой отрезок , который отсекает данная прямая на оси :



Найдем формулу для вычисления тангенса угла между двумя прямыми, которые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами:

В случае, когда , где - угол между прямыми, их угловые коэффициенты связаны равенством: .

Действительно, нормальный вектор первой прямой - , нормальный вектор второй прямой - . Они ортогональны:

Положение прямой в пространстве.

Положение прямой в пространстве определяется точкой и вектором, ей параллельным, то есть направляющим.

- каноническое уравнение.

Как и для прямой на плоскости, можно найти параметрическое уравнение прямой в пространстве:

Переходя в полученном векторном уравнении к координатам, запишем параметрическое уравнение прямой в пространстве:

, где

Прямую в пространстве можно задать также как линию пересечения двух плоскостей. Тогда система из двух уравнений плоскостей называется общим уравнением прямой в пространстве:

Вектор непараллелен вектору .

Для того, что бы перейти от общего уравнения плоскости к каноническому, достаточно, найти две точки этой прямой и по этим двум точкам записать конечное уравнение или определить одну точку этой прямой и выделить ее направляющий вектор, для которого можно взять векторное произведение нормальных векторов плоскостей.

Чтобы перейти от канонического уравнения к общему, достаточно взять канонические уравнения и записать их как систему:



Найдем формулу для определения расстояния от точки до прямой в пространстве:

Найдем площадь параллелограмма :

Из рисунка следует, что , то есть .

Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

Пусть они заданы каноническими уравнениями:



Угол между прямыми равняется углу между их направляющими векторами:

Две прямые параллельны, если их направляющие векторы коллинеарны:

Если две прямые в пространстве непараллельны, то они или пересекаются, или скрещиваются. Для того, что бы проверить, пересекаются ли данные прямые, можно попытаться найти точку пересечения этих прямых, решив систему из канонических уравнений данных прямых. Если данная система несовместна, то прямые скрещиваются, в противном случае мы найдем точку пересечения.

Расстояние между скрещивающимися прямыми есть расстояние между параллельными плоскостями, в которых расположены эти прямые.

- расстояние между скрещивающимися прямыми.

Расстояние между данными скрещивающимися прямыми равно высоте параллелограмма, построенного на векторах:

Если окажется, что смешанное произведение , то это будет означать, что данные прямые расположены в одной плоскости и будут пересекаться, если их направляющие векторы коллинеарны.

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

Пусть прямая задана каноническим уравнением:

А площадь - общим уравнением:

.

Вычислим угол между прямой и плоскостью.

Найдем угол между данной прямой и плоскостью:

.

.

Таким образом

.

Очевидно, что:



Кривые второго порядка

Рассмотрим на плоскости линии, уравнения которых являются алгебраическими уравнениями второй степени относительно двух переменных: если на плоскости введена декартова система координат , то в общем виде уравнения таких кривых можно записать следующим образом:

.

Замечание: существует ровно три кривых второго порядка: эллипс гипербола, парабола.

Эллипс.

Эллипсом называется множество точек на плоскости, для каждой из которых сумма расстояний от этой точки до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная. Найдем уравнение эллипса, обозначим расстояние между фокусами , а постоянную суммы расстояний от точек эллипса до фокусов через . Очевидно, что . Выберем систему координат следующим образом: направлена по прямой, проходящей через фокусы, а начало системы координат выберем посередине между фокусов.

По определению эллипса:

-

величина постоянная, так как:



- каноническое уравнение эллипса.

Построим эллипс в выбранной системе координат. Так как переменные входят в уравнение в четных степенях, то эллипс симметричен относительно начала координат и обеих осей координат. Поэтому достаточно построить его в первой четверти и отразить от осей координат.

При , очевидно, что эта функция является убывающей при . Эта кривая является выпуклой вверх.

- вершины эллипса.

- большая ось эллипса.

- малая ось эллипса.

Если фокусы эллипса находятся на оси , то его уравнение сохраняет вид, только в нем , следовательно, постоянное расстояние не , а .

Форма эллипса характеризуется с помощью эксцентриситета.

Эксцентриситетом называется число, равное отношению расстояния между фокусами к длине большой оси эллипса:

, то

Из этой формулы следует, что если , то , следовательно, по форме эллипс мало отличается от окружности. Если , то эллипс является вытянутым по оси .

Прямые, параллельные малой оси эллипса и находящиеся от него на расстоянии равном называются директрисами эллипса. Директрисы эллипса обладают следующим свойством: для любой точки эллипса отношение к соответствующей директрисе равно :

Гипербола.

Гипербола - представляет собой множество точек на плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек (фокусов) есть величина постоянная.

Найдем уравнение гиперболы. Здесь также обозначим расстояние между фокусами через , а постоянную абсолютную величину разности расстояний через .

Из неравенства треугольников следует, что в данном случае .

Выберем систему координат точно такими, как и при выводе уравнения эллипса.

Для произвольной точки гиперболы по определению:

.

Избавляясь здесь от корней, как и при выводе уравнения эллипса, придем к следующему уравнению:

.

Обозначим , тогда:

.

Деля обе части последнего уравнения на , получим каноническое уравнение гиперболы:

.

Построим гиперболу в выбранной системе координат. Достаточно построить ее только в одной координатной четверти и отобразить ее относительно осей координат. В первой четверти . Эта функция очевидна при . Она является возрастающей и при больших значениях мало отличается от прямой , оставаясь ниже этой прямой. Таким образом - асимптота для гиперболы. Гипербола в первой координатной четверти выглядит следующим образом.

- вершины; - действительная ось;

- мнимая ось;

- асимптоты гиперболы.

Как и для эллипса, форму гиперболы формирует эксцентриситет:

, то ,

следовательно, если , то - большое, то есть угол, под которым расположена гипербола, тоже большой.

Прямые, параллельные мнимой оси гиперболы и находящиеся от нее на расстоянии равном называются директрисами гиперболы.

Для всех точек гиперболы отношение расстояния от этой точки до фокуса к расстоянию до ближайшей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету гиперболы:



Замечание: также определяет гиперболу с действительной осью, расположенной на оси .

Парабола.

Параболой называется множество точек на плоскости, каждая из которых находится на одинаковых расстояниях от некоторой фиксированной точки (фокуса) и некоторой фиксированной прямой (директрисы).

Выберем систему координат следующим образом: ось направим через фокус перпендикулярно директрисе, а начало отсчета выберем посередине, между фокусом и директрисой. Обозначим расстояние между фокусом и директрисой через .

По определению параболы: .

Переходя к координатам, получим:

Возводим обе части полученного уравнения в квадрат и проводим необходимые преобразования:

- каноническое уравнение параболы.



Очевидно, что парабола симметрична относительно оси и расположена в правой полуплоскости.

Очевидно уравнение и уравнение также являются уравнениями соответствующих парабол:

Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.

Покажем, что это уравнение является уравнением одной из кривых второго порядка, если не считать некоторых вырожденных случаев.

Предположим, что по крайней мере один из коэффициентов при старших степенях не равен нулю . Будем различать три случая:

1) - одного знака (для определения будем считать их положительными). Выделяя в этом случае по необходимости полные квадраты по соответствующим переменным, приведем это уравнение к виду:

,

где - некоторые константы.

Для этого уравнения при в качестве множества решений получаем ?. Если , то данному уравнению удовлетворяет единственная точка .

При данное уравнение приводится к виду:

.



Полученное уравнение является каноническим уравнением эллипса, центр которого смещен в точку .

Проведем преобразование по формулам:

- координаты точки в новой системе координат.

Таким образом, , то есть точки являются координатами точки в системе координат, полученной из данной системы координат параллельным переносом в точку , следовательно, в новой системе координат полученное уравнение принимает стандартный вид:

.

Действительно, это эллипс с центром в точке .

2) Положим, что центры имеют противоположные знаки. Выделяя в уравнении полные квадраты, мы также придем к уравнению

.

Если , то это уравнение определяет пару прямых:

Если , то уравнение приводится к виду

.

Полученное уравнение является каноническим уравнением параболы с центом в точке .

Положим теперь, что один из коэффициентов квадрата в исходном уравнении равен нулю , тогда после выделения полного квадрата по переменной придем к уравнению:

.

Если в этом уравнении , то возможно два случая:

1) - одного знака. В этом случае данное уравнение не имеет решения.

2) - противоположного знака. В этом случае мы получим 2 параллельные прямые:

Если , то полученное уравнение можно привести к виду:

. Это уравнение определяет параболу с вершиной в точке , ось симметрии которой параллельна оси .

Аналогично параболу получим в том случае, если .

Замечание: если алгебраическое уравнение второй степени содержит слагаемые произведения, то это уравнение также определяет кривую второго порядка, только в этом случае кроме параллельного переноса следует повернуть систему координат на некоторый угол.

Например, является уравнением равносторонней гиперболы, действительная ось которой совпадает с биссектрисой первой координатной четверти.

Каноническим уравнением этой гиперболы, повернутой на , является следующее уравнение:

.

Поверхности второго порядка.

Алгебраическое уравнение второй степени относительно трех переменных определяет одну из следующих поверхностей:

1) Эллипсоид.

2) Гиперболоид (однополосный или двухполосный).

3) Параболоид (эллиптический или гиперболический).

4) Цилиндр.

5) Конус.

Рассмотрим каноническое уравнение каждой поверхности и определим их вид:

Эллипсоид - уравнение поверхности в пространстве задается уравнением:

.

Для того, что бы определить вид этой поверхности, будем пересекать ее плоскостями, параллельными координатным плоскостям:

, то есть .

При , при пересечении эллипса с осью получаем эллипс

.

Будем теперь увеличивать . В этом случае в сечениях будут также находиться эллипсы, уравнения которых имеют вид:

,

то есть с увеличением эти эллипсы будут сужающимися.

При плоскость будет касаться в точке , если , то плоскость уже не пересекает эллипсоид. Аналогичные пересечения мы будем получать, если будем опускать плоскость . Аналогичные сечения получаются в том случае, если в качестве секущих плоскостей мы будем выбирать плоскости с другими координатами.

Если две из множества величин равны, то данный эллипсоид получается вращением некоторого эллипса вокруг соответствующей координатной оси.

Если , то этот эллипсоид получается вращением эллипса

вокруг оси . Если в уравнении эллипсоида, то данный эллипсоид совпадает с центром в начале координат и радиусом .

Гиперболоид. Однополосные гиперболоиды.

Это поверхность с уравнением



.

Исследуем его форму с помощью сечений плоскостями, параллельными координатным. При пересечении плоскостями в сечении получаются эллипсы. Сечением плоскости получаем эллипс

.

При удалении секущих плоскостей по оси получаем расширяющиеся эллипсы, центры которых находятся на оси .

В сечениях этой поверхности плоскостями, параллельными другим координатным находятся гиперболы. Например, если пересечь плоскостью ось , в сечении получим гиперболу

.

В случае, когда получаем однополосный гиперболоид вращением вокруг оси , так как в этом случае в сечениях плоскостями, параллельными , находятся окружности.

Поверхности



являются однополосными гиперболоидами с осями соответственно.

Двухполосный гиперболоид.

Уравнение двухполосного гиперболоида

.

Будем пересекать поверхность .

При эта плоскость не пересекает данную поверхность.

- секущая поверхность касается этой поверхности в точках . При секущая плоскость пересекает гиперболоид по расширяющимся эллипсам.

В сечениях другими плоскостями, параллельными начальным, находятся гиперболы. Например, если или , то получаем:

Таким образом общий вид этого гиперболоида будет следующим:

Если в уравнении , то гиперболоид является поверхностью, образованной путем вращения гиперболы вокруг

Уравнения двухполосных гиперболоидов с осями симметрии имеют вид:



Параболоиды.

1) Эллиптический параболоид - это поверхность с уравнением

.

При пересечении этой поверхности , в сечениях получаются расширяющиеся эллипсы при увеличении . При плоскость не пересекает гиперболоид. В сечениях плоскостями, параллельными другим координатным осям, находятся параболы.

Если в уравнении , то поверхность получается вращением параболы вокруг оси .

- эллиптический гиперболоид.

2) Гиперболический параболоид.

.

При пересечении этой поверхности оси получаем параболу

При сечении этой поверхности осью получаем параболу

Будем пересекать эту поверхность плоскостями , в сечениях получаются параболы, вершины которых располагаются в точках и осями симметрии, параллельными оси .

Если , то получаем гиперболы, кроме случая .

При получим гиперболы, действительные оси которых параллельны оси , а вершины находятся в точках параболы .

При пересечении этой поверхности плоскостью получаем пересечение:

Уравнения:

Эти уравнения определяют гиперболоиды, только они расположены относительно разных плоскостей.



Цилиндрическая поверхность.

Цилиндр - это поверхность которая получается при перемещении некоторой прямой, которая называется образующей, вдоль некоторой линии, которая называется направляющей, параллельно некоторому вектору.

Рассмотрим частный случай цилиндрической поверхности, а именно цилиндры, в которых образующие параллельны координатным осям.

Найдем уравнение цилиндрической поверхности. Образующая параллельна оси , а направляющая находится в плоскости с уравнением .

- произвольная точка цилиндра.

Так как точка расположена на образующей, то ее проекция на координатную плоскость принадлежит направляющей и следовательно, координаты точки удовлетворяют уравнению направляющей . Из этого следует, что уравнением цилиндра, образующая которого параллельна оси , а направляющая находится в плоскости , является уравнение направляющей.

Если направляющей является эллипс, то получится эллиптический цилиндр, например,

.

-

определяет гиперболический цилиндр, образующей которого параллельна ось .

является уравнением параболического цилиндра с образующей, параллельной оси .

Аналогично уравнения определяют цилиндрическое уравнение, только у первой образующая параллельна оси , а у второй - образующая параллельна оси .

Коническая поверхность.

Конусом называется поверхность, которая получается при перемещении прямой (образующей), имеющей одну неподвижную точку (вершина конуса) вдоль некоторой линии (направляющей).

Найдем уравнение конуса, вершина которого находится в начале координат, а направляющей является эллипс , находящийся в плоскости .

Точка принадлежит некоторой прямой, которая проходит через начало координат, и некоторую точку направляющей, поэтому координаты точки удовлетворяют следующему условию:

.

Так как точка принадлежит направляющей, то ее координаты удовлетворяют уравнению:

.

Исключив из полученной системы уравнений , мы найдем уравнение данного конуса:



.

Обе части умножим. В результате получим:

-

каноническое уравнение конуса второго порядка с вершиной в начале координат с осью .

Если в уравнении конуса , то этот конус является круговым.

Уравнения

также уравнения конуса с вершинами в начале координат с осями соответственно.

Замечание: если уравнение поверхности с квадратами переменных содержит и соответствующие линейные слагаемые, то после определения полных квадратов мы придем к уравнению одной из рассмотренных поверхностей, смещенных относительно начала координат.

Математический анализ

Математический анализ (МА) занимается изучением свойств функции методами, в основе которых лежит понятие предела.

1) Обозначения и определения.

Введем обозначения для некоторых числовых множеств, которые часто будут встречаться в дальнейшем:

- множество натуральных чисел.

- множество целых чисел.

- множество рациональных чисел.

- множество действительных или вещественных чисел. Очевидны включения .

- интервал

- отрезок

- промежуток

- промежуток

Подмножество называют ограничением сверху (снизу), если существует действительное число , такое, что для всех элементов множества выполняется неравенство:

или

Числа называются соответственно верхними и нижними гранями данного множества .

Наименьшая из верхних граней данного множества называется точной верхней гранью данного множества и обозначается через , аналогично меньшая из нижних граней данного множества называется точной нижней гранью данного множества и обозначается . Точная верхняя и точная нижняя грани могут как принадлежать данному множеству, так и не принадлежать.

Def: закономерность, по которой каждому числу множества ставится в соответствие определенное действительное число , называется функцией и отображением множества в множество чисел

. Обозначают функцию

- область определения данной функции.

В дальнейшем мы будем пользоваться аналитическим способом задания функций, то есть функция будет составляться с помощью некоторой формулы, которая позволяет для каждого числа вычислить значение этой функции.

Функция называется возрастающей (неубывающей), если для всех чисел выполняется неравенство:

.

Аналогично, данная функция называется убывающей (невозрастающей) если для всех чисел выполняется неравенство:

.

Свойства: убывающая или возрастающая или убывающая функция называется монотонной.

Последовательность и ее пределы.

Def: функция, определенная на множестве натуральных чисел, называется числовой последовательностью, таким образом в этом случае каждому натуральному числу становится соответственное некоторое действительное число, которое обозначим через , обозначают также последовательности через

Введем понятие предела последовательности. Действительное число называют пределом последовательности , если для всякого существует номер, такой, что при всех выполняется неравенство:

.

...