Высшая математика

Обозначается пределом .

Из определения предела следует, что какой то интервал с центром в предельной точке мы не взяли. Найдется номер, после которого все элементы последовательности попадут в этот интервал.

Докажем по определению, что при достаточно больших

В нашем случае:

Можно взять целую часть числа .

1) Рассмотрим некоторые свойства предела последовательности, если существует конечный предел , то он единственный.

Положим, что в данной последовательности два различных предела. Возьмем два непересекающихся интервала с центрами в точках

По определению предела существует номер, начиная с которого все элементы попадают в каждый из этих непересекающихся интервалов, что невозможно. Таким образом наше положение неверно и у последовательности единственный предел.

2) Если последовательность - монотонна и ограничена, то у нее существует предел, то есть если не убывает и ограничена сверху, то предел , если же последовательность не возрастает и ограничена снизу, то предел

3)

3.1) Если при всех , то

3.2) Если существует предел , то для любой предел

3.3) Если существуют пределы и , то .

3.4)

3.5)

Докажем свойство (3.3) для суммы.

Обозначим . Тогда по определению предела последовательности для любого существует номер , такой, что выполняется неравенство .

Сложим неравенства:

и это по определению означает, что

Предел последовательности может быть бесконечным. Будем говорить, что .

Если для всякого положительного числа существует номер , после которого модуль при .

При вычислении пределов последовательности могут возникнуть различные неопределенности, например, если вычисляется предел дроби , то могут возникнуть неопределенности: или если или

В этом случае неопределенность следует предварительно раскрыть (избавиться). В простейших случаях это делается с помощью тождественных преобразований.



Рассмотрим последовательность . Эта последовательность монотонно возрастает для любого и ограничена для любого , тогда по свойству (2) предела последовательности, существует предел данной последовательности, которая обозначается через :

Показательная функция с основанием называется экспонентой . Логарифм с основанием называется натуральным логарифмом



Предел функции и его свойства

Предположим, что функция определена в некотором интервале, содержащем точку , кроме, может быть, самой этой точки.

Действительное число называется пределом функции при , если для всякого положительного числа существует число , такое, что при всех оно удовлетворяет неравенству . Соответственно, значения функции удовлетворяют неравенству

Геометрически определение предела означает, что какую бы узкую полосу, симметричную относительно прямой мы ни взяли, найдется достаточно малый интервал на оси с центром в тоске , такой, что для всех из этого интервала соответствующие точки графика функции будут находиться в выбранной узкой полосе.

Аналогично можно дать определение следующих пределов:

Свойства предела функции:

1) Положим, что существуют и равные пределы функции:

и для всех с центром в точке выполняется неравенство:

, то есть зажата между , тогда также существует и равен общему пределу



Теорема по сжимающим функциям.

Доказательство: обозначим общий предел через . Тогда по определению предела для всякого существует , такое, что . Выполняются неравенства:

2) Если существует конечный предел , то:

2.1) . Если существуют пределы функции , .

2.2)

2.3)

2.4)

Два часто встречающихся в математическом анализе предела.

1) Тригонометрический предел.

Докажем, что .

Доказательство:

Так как функция - четная, то достаточно ограничиться малым положительным значением .

Так как , то по теореме по сжимающим функциям:

.

Используя тригонометрический предел, можно также вычислить следующие пределы:

Докажем, что . Для этого проведем подстановку:.

.

Тригонометрический предел используется, когда требуется найти предел функции с неопределенностью , которая содержит тригонометрические функции.

3) Показательный предел.

. В данной форме этот предел можно записать как .

Данный предел используется для раскрытия неопределенностей вида .

Бесконечно малые и их использование при вычислении пределов.

Пусть определена в некотором интервале, содержащем . называется бесконечно малой при , если .

Из определения бесконечно малой функции следует, что сумма, разность, произведение бесконечно малых функций являются бесконечно малыми.

При вычислении частного двух бесконечно малых возникает неопределенность вида . Если для двух бесконечно малых и существует конечный ненулевой предел , то есть бесконечно малые имеют одинаковый порядок малости, если , то эти бесконечно малые называются эквивалентными и обозначаются следующим образом: ~, .

Если для бесконечно малой , то говорят, что бесконечно малая имеет более высокий порядок малости относительно бесконечно малой .

.

Если бесконечно малая функция встречается в качестве множителя при вычислении предела, то ее можно заменить эквивалентной бесконечно малой.

Например, справедлива следующая теорема:

Если при и ~ при , то .



Бесконечно малые функции часто упрощают вычисление пределов.

Непрерывность функции.

Пусть определена в некотором интервале, содержащем точку .

Определение: данная функция называется непрерывной в точке , если существует предел , равный значению функции в данной точке.

Если непрерывна во всех точках некоторого множества , то говорят, что непрерывна на этом множестве.

Из определения непрерывности и свойств пределов следует, что все алгебраические операции обладают свойствами непрерывности, то есть сумма, разность, произведение и частное непрерывных функций являются непрерывными функциями. Таким образом, если непрерывны в точке , то функции тоже непрерывны в точке . Например, для частного:

.

Если данная функция не является непрерывной в точке , то эта точка называется точкой разрыва функции. Проведем классификацию точек разрыва. Различают устранимые точки разрыва, точки разрыва первого рода, точки разрыва второго рода.



1) Устранимый разрыв.

Если в точке функция не определена, но существует конечный предел , то - устранимая точка разрыва.

Если доопределить функцию в точке ее предельным значением, то данная функция становится непрерывной в этой точке и разрыв тем самым устраняется.

2) Точка разрыва первого рода.

Если в определении предела точка приближается к точке с одной стороны от этой точки, такой предел называется односторонним, если приближается к с левой стороны, называется левосторонним: .

Если приближается к справа, то такой предел называется правосторонним:

Если в точке существуют конечные односторонние, не равные друг другу пределы, то точка - точка разрыва первого рода, то есть в этом случае: .

3) Разрыв второго рода.

Если в точке хотя бы один односторонних пределов равен бесконечности или не существует, то точка называется точкой разрыва второго рода.

Непрерывность элементарных функций.

Пусть функция определена в некотором интервале, содержащем точку , а функция определена в некотором интервале, содержащем точку , тогда функция называется композицией функций или сложной функцией.

Например:

Основными элементарными функциями являются следующие:

- степенная функция.

- показательная функция.

- логарифмическая функция.

- тригонометрические функции.

- обратные тригонометрические функции.

Функции, которые получаются из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических операций и образующие композиции, называются элементарными.

Так как композиция двух непрерывных функций также является непрерывной функцией, то учитывая непрерывность всех основных элементарных функций, а также свойства непрерывности, алгебраических операций над непрерывными функциями, можно доказать, что любая элементарная функция непрерывна на своей области определения.

Некоторые свойства функции, непрерывной на отрезке: теорема о минимальном и максимальном значении непрерывной функции.

Пусть функция определяется во всех точках отрезка . Тогда она принимает на этом отрезке сове наименьшее и наибольшее значения, то есть существуют точки на этом отрезке, такие, что - минимум функции на отрезке , а - максимум функции на отрезке .



Теорема о нулях непрерывной функции.

Пусть непрерывная на отрезке функция принимает на концах этого отрезка значения противоположных знаков, то есть , когда внутри этого отрезка существует точка , в которой , то есть график функции пересекает ось в этой точке.

Эта теорема служит основой для приближенного решения уравнения , где - непрерывная функция.

Положим, что функция - принимает на концах отрезка противоположные знаки и внутри этого отрезка существует единственный корень, когда . Например, если - монотонна на этом отрезке, тогда искомый корень уравнения можно приближенно с любой степенью точности найти методом дихотомии или методом деления отрезка пополам.

Для нахождения корня уравнения с заданной степенью точности проводим последовательное деление отрезка пополам, отбрасывая на каждом шаге пустые точки. Процесс продолжается до тех пор, пока не получим отрезок, по длине не превышающий заданную точность. Выбрав произвольную точку последнего отрезка, мы получим приближенное значение корня с заданной точностью.

Производные.

Определение производной и ее геометрический смысл.

1) Пусть функция определена в некотором интервале, содержащем точку .

Определение: если существует конечный предел , то он называется производной данной функции:

.

Запишем определение производной в других обозначениях.

Обозначим - приращение аргумента в точке .

- приращение функции.

.

Таким образом, производная - это предел отношения приращения функции к приращению аргумента при .

Дадим геометрическую иллюстрацию производной:

Проведем секущую, проходящую через точки с координатами и точку с координатами .

Угловой коэффициент секущей равен:

.

В пределе, когда точка стремится к точке , секущая принимает некоторое предельное значение, которое называется касательной к графику функции в точке . Угловой коэффициент касательной равен

.

Таким образом, производная функции в точке представляет собой касательную к графику функции в точке .



Уравнение касательной имеет вид:

.

Прямая, которая проходит через точку перпендикулярно касательной, называется нормальной прямой.

Так как нормальным вектором касательной является вектор с координатами , то нормальным вектором нормальной прямой является вектор . Следовательно, общее уравнение нормальной прямой имеет вид:

.

Производной можно придать и механический смысл. Действительно, если функция представляет собой текущее состояние некоторого процесса, то отношение равно средней скорости изменения этого процесса на промежутке , тогда в пределе когда получим мгновенную скорость данного процесса. Таким образом, производная функции в данной точке равна мгновенной скорости изменения процесса в этой точке.

Пусть например известна зависимость перемещения материальной точки от времени, тогда производная равна мгновенной скорости этой точки в момент времени .

Правило дифференцирования.

Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием функции.

Докажем прежде всего, что из существования производной функции в данной точке следует ее непрерывность.

Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда она и непрерывна в этой точке.

Доказательство.

По определению производной:

.

Обозначим через разность , тогда:

Пусть - бесконечно малая при . Найдем из выражения величину приращения функции:

.

Таким образом, приращение функции в случае существования ее производной равно линейной части плюс бесконечно малая более высокого порядка, чем .

Линейная относительно часть приращения функции называют ее дифференциалом. Таким образом, - дифференциал функции.

Из полученной формулы для приращения функции следует, что



.

Таким образом,

,

что означает непрерывность функции в точке . Теорема доказана.

Свойство дифференцирования функции является более сильным, чем непрерывность, то есть из дифференцирования следует непрерывность, а из непрерывности в общем случае не следует дифференцирование.

Запишем правило дифференцирования:

1)

2)

3)

4)

Все эти свойства доказываются, используя определение производной и свойство непрерывности функции.

Докажем, например, последнее свойство.

По определению производной:

Правило дифференцирования композиции функций.

Пусть существует производная и существует производная , тогда:

Используя правила дифференцирования, найдем производные основных элементарных функций:

Найдем производную степенной функции

Прологарифмируем , возьмем производную из обеих частей последнего равенства:

Аналогично находим производную показательной функции :

Найдем производную :

Аналогично:

Рассмотрим:

. Дифференцируя обе части, получим:

Для функции:

Таблица производных.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

Производные неявных и параметрические заданные функции.

Кроме явного задания функции , позволяющего напрямую вычислять значение функции, существует и другие способы задания функции.

1) Неявная заданная функция, функция и ее производная.

Функция определяется уравнением , где - некоторая известная функция, называется неявно заданная функция.

Например:

- декартов лист

Для того, что бы найти производную функции, заданной неявно, следует продифференцировать обе части уравнения, определяющего эту функцию, причем следует воспользоваться правилом дифференцирования композиций функций, так как в это уравнение входит переменная , являющаяся функцией от .

В результате дифференцирования мы получим линейное уравнение относительно , из которого эта производная и находится.

Пример:

2) Параметрическое представление функции.

Введем сначала определение функции, обратной данной и найдем зависимость между производными данной функции и обратной ей.

Пусть задана функция , которая взаимно однозначно отображает некоторые множества на множество , то есть если и , то и соответствующие значения этой функции тоже не равны . Кроме того, для любого значения существует единственное значение , для которой значение данной функции совпадает с .

Определение: функция, по которой каждому числу ставится в соответствие , такое что , называется функцией, обратной данной.

Пример: . Обратная данной -

Если точка принадлежит графику , то точка принадлежит графику обратной функции . Таким образом графики функции и обратной к ней симметричны прямой .

Выясним, как связаны между собой производные данной функции и обратные к ней. Предположим, что в точке существует производная функции , тогда по определению производной:

Заметим, что для функции, обратной , приращение аргумента и приращение функции меняются местами, то есть приращение функции является приращением аргумента обратной к ней функции и наоборот. Следовательно:

.

Таким образом, производные данной функции и обратной к ней связаны обратной зависимостью: .

Пусть заданы две функции, , где параметр принадлежит некоторому интервалу числовой оси и для функции существует обратная . Тогда системой двух уравнений определяют некоторую зависимость, то есть функцию между переменными , такое представление называется параметрическим.

Что бы получить явную зависимость между , достаточно найти из первого уравнения функцию, обратную , и подставить параметр от второго уравнения, то есть в этом случае получаем .

Геометрически график параметрически заданной функции можно представить как траекторию движения точки на плоскости в зависимости от параметра .

Пример:

Эллипс -

Найдем производную функции, заданной параметрически. Для этого предположим, что функции - дифференцированы, причем производная сохраняет знак. Тогда для функции существует дифференцированная обратная функция . Подставив во второе уравнение для функции вместо ее выражение через , получим:

.

Теперь получим функцию :

Таким образом, производная параметрической функции определяется по формуле:



Теоремы о среднем значении для дифференциальной функции.

В математическом анализе большое значение имеет ряд теорем, которые гарантируют существование внутри некоторого отрезка точек, в которых производная функции обладает некоторыми полезными свойствами. Эти теоремы называются теоремами о среднем значении.

Рассмотрим три теоремы:

1) Теорема Ролля.

Пусть функция непрерывна на отрезке и дифференцируема внутри этого отрезка. Кроме того, значения на концах отрезка совпадают, то есть . Тогда внутри этого отрезка существует точка , в которой производная равна нулю:

Доказательство.

Так как данная функция непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

Если наименьшее и наибольшее значение достигается на концах отрезка, то они совпадают, следовательно, функция является постоянной на всем отрезке. В этом случае, поэтому в качестве искомой точки мы можем взять любую точку интервала .

Если наименьшее и наибольшее значения не совпадают, то по крайней мере одно из них, например, наибольшее, достигается внутри данного отрезка.

Покажем, что точка C- искомая. Для этого найдем знак отношения функции и приращения аргумента слева или справа от точки C.



при при

Отсюда:

.

Теорема доказана.

Геометрически теорема Ролля означает, что на графике функции, между крайними точками найдется точка С, касательная к которой параллельна оси .

Теорема Лагранжа.

Пусть функция непрерывна на отрезке и дифференцируема в интервале . Тогда внутри отрезка существует точка , для которой выполняется условие:

Доказательство:

Рассмотрим вспомогательную функцию . Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля.

Действительно, функция непрерывна на отрезке , дифференцируема внутри отрезка и .

По теореме Ролля существует точка , в которой и следовательно,

Дадим геометрическую демонстрацию теоремы Лагранжа.

Левая часть этого равенства представляет собой угловой коэффициент прямой, проходящей через точки А и Б, в правой части записан угловой коэффициент касательной к графику функции в точке С.

Таким образом, геометрическая теорема Лагранжа утверждает, что на графике функции между точками А и Б найдется точка С, касательная к которой параллельна хорде, соединяющей точки А и Б.

Теорема Коши.

Пусть функции и непрерывны на отрезке и дифференцируемы внутри этого отрезка, причем во всех точках из интервала . Тогда существует точка С внутри этого отрезка, в которой:

Доказательство: Здесь мы также рассмотрим вспомогательную функцию . Для этой функции также выполняются все условия теоремы Ролля. Поэтому существует точка С, на отрезке , в которой производная

.

Теорема доказана.

Геометрически теорема Коши иллюстрируется аналогично теореме Лагранжа, если только рассмотреть параметрическое задание функций формулами.

Правило Лопиталя.

Правило Лопиталя используется при вычислении пределов функции, когда возникает неопределенность функции при определенных условиях.

Теорема: Пусть функции и определены в некотором интервале, кроме самой этой точки, причем существует предел:

.

Предположим также, что функция непрерывна в некотором отрезке и дифференцируема внутри этого отрезка.

Заключение: тогда если существует предел отношения производных , то существует и предел отношения этих функций и оба эти предела равны, то есть

.

Доказательство: доопределим по непрерывности функции и в точке нулевым значением. Тогда на отрезке функции и удовлетворяют всем условиям теоремы Коши и следовательно мы можем записать следующее:

,

где точка . Так как при и , то

Таким образом:



Замечание: правило Лопиталя используется также и в том случае, когда возникает неопределенность , то есть в том случае, когда требуется вычислить предел:

, где и

Правило Лопиталя для раскрытия степенных неопределенностей

Если возникают такие неопределенности, то функцию, предел которой ищут, следует предварительно прологарифмировать и записать получившееся выражение как дробь или

Дифференциал функции.

Пусть функция дифференцируема, то есть имеет производную в некотором интервале. При доказательстве непрерывности функции была получена следующая формула для приращения функции:

,

де - бесконечно малое более высокого порядка чем , то есть



Линейная относительно часть приращения дифференциальной функции называется ее дифференциалом и обозначается через или или , то есть .

Таким образом, приращение функции в данной точке равно сумме дифференциалов этой точки и бесконечно малого более высокого порядка по сравнению с :

.

Из этой формулы следует, что при малых приращение функции приблизительно равно дифференциалу , если - мало.

Таким образом, дифференциал можно использовать для приближенного вычисления значений функции по формуле

Обозначив приращение аргумента через дифференциал можно записать в виде:

или

Из последней формулы приращение функции можно записать в следующем виде:



Убедимся в том, что форма дифференциала функции не меняется, если аргумент этой функции является в свою очередь функцией другого аргумента, если например в функции аргумент является функцией некоторого аргумента , то есть , где - дифференциальная функция. Найдем дифференциал этой функции, используя правила дифференцирования композиции функций:

Таким образом:

Данное свойство называется свойством инвариантности (неизменности) формы дифференциала.

Производные и дифференциалы более высоких порядков.

Пусть существует производная в некотором интервале, то есть производная является функцией от аргумента . Если существует производная от первой производной , то она называется второй производной и обозначается . Аналогично определяются третья, четвертая и др. производные . Таким образом, производная -го порядка:

.



Аналогично определяются и дифференциалы более высоких порядков, а именно второй дифференциал или дифференциал второго порядка, который называется дифференциалом от первого дифференциала. Найдем формулу для вычисления второго дифференциала, учитывая, что в выражении для первого дифференциала является приращением аргумента, который изменяется независимо от и поэтому при дифференцировании первого дифференциала можно считать, что :

Таким образом,

Аналогично

- дифференциал -го порядка.

Исследование функции с помощью производной.

Предположим, что функция дифференцируема в некотором интервале

Производную можно использовать для исследования функции на монотонность. Справедлива следующая теорема:

Теорема: для того, что дифференцируемая в интервале функция не убывала (не возрастала) в этом интервале, необходимо и достаточно, что бы во всех точках этого интервала производная функции была неотрицательной (неположительной).

Доказательство: пусть функция не убывает, то есть , то .Покажем, что в этом случае в любой точке производная . Для этого рассмотрим отношения приращения функции к приращению аргумента в точке :

Это отношение неотрицательно для неубывающей функции, следовательно:

Предположим теперь обратное, а именно, пусть производная при любом . Убедимся в том, что функция не убывает. Для этого возьмем любые два числа и применим к отрезку теорему Лагранжа, по которой , где точка - интервала . Так как , то , откуда следует, что , то есть функция - не убывает.

Теорема доказана.

Если функция строго монотонна, то есть возрастает (убывает), то ее производная во всех точках интервала неотрицательна или неположительна соответственно, то есть если возрастает, то , а если убывает, то

Если производная функции сохраняет знак в интервале , то она строго монотонна в этом интервале, то есть если во всех точках интервала , то - возрастает, а если , то - убывает.

Экстремумы функции.

Пусть функция определена и непрерывна в некотором интервале, содержащем точку .

Определение: точка называется точкой локального максимума (минимума) функции если для всех из малого интервала, содержащего точку , выполняется неравенство

Локальные минимумы и максимумы называются локальными экстремумами функции.

Теорема (необходимое условие экстремума): если - точка локального экстремума функции, то производная функции в этой точке либо не существует, либо равна нулю.

Доказательство этой теоремы проводится по аналогии с доказательством теоремы Ролля: .

Таким образом, если в точке экстремума производная существует, то касательная к графику функции в соответствующей точке параллельна оси .

Необходимое условие экстремума не является достаточным, то есть производная функции в некоторой точке может обращаться в ноль, но эта точка может и не являться точкой экстремума, например . В точке , однако эта точка не является точкой экстремума.

Таким образом, для того, что бы выяснить, является ли точка, в которой производная функции равна нулю или не существует, точкой экстремума, следует проверить некоторые дополнительные условия.

Теорема (достаточное условие точки экстремума): пусть функция - дифференцируема в некотором интервале, содержащем точку , кроме самой , и точка является критической для этой функции, то есть производная в ней равна нулю или не существует. Тогда если при переходе через эту критическую точку производная меняет знак на противоположный, то - точка экстремума, а именно, если при и при , то - точка локального минимума функции, если же знак меняется в обратном порядке, то - точка локального максимума.

Доказательство: при и при . Тогда слева от данной точки данная функция убывает, а справа - возрастает. Следовательно, - точка локального минимума данной функции.

Сформулируем еще одно достаточное условие экстремума:

Теорема (второе достаточное условие экстремума): пусть функция имеет в некотором интервале, содержащем критическую точку , непрерывную вторую производную , тогда если , то точка - точка локального минимума данной функции, если же , то точка - точка локального максимума.

Выпуклость функции.

Пусть функция - дифференцируема в некотором интервале .

Определение: Функция называется выпуклой (вогнутой), на интервале , если график этой функции на этом интервале расположен ниже (выше) любой касательной к графику функции на этом интервале.

Выпуклые функции иногда называют выпуклыми вверх или выпуклыми вниз функциями.

Геометрически очевидно, что для выпуклой или вогнутой функции производная возрастает или убывает соответственно.

Покажем, например, для выпуклости, что это действительно так:

Возьмем и убедимся, что при

Обозначим и запишем уравнения касательных в точках :

По определению выпуклости:

Верно и обратное: если производная функции возрастает или убывает во всех точках некоторого интервала, то функция является выпуклой или вогнутой на этом интервале.

Так как производная выпуклой или вогнутой функции монотонна, то для исследования функции на выпуклость можно привлечь производную от первой производной, то есть вторую производную.

Если функция имеет вторую производную во всех точках интервала и всюду на этом интервале , то - выпуклая.

Если же в данном интервале , то - вогнутая.

Определение: точка с координатами графика функции , непрерывной в некотором интервале, содержащем точку , называется точкой перегиба графика функции. Если слева от этой точки функция выпукла (вогнута), а справа наоборот, вогнута (выпукла), то есть характер выпуклости функции меняется при переходе через точку .

Для точки перегиба точка - является критической или стационарной точкой для производной. Справедлива следующая теорема:

Теорема: пусть - точка перегиба графика функции , дифференцируема в некотором интервале, содержащем точку , тогда в точке вторая производная равна нулю или не существует.

Доказательство: пусть например характер выпуклости в точке меняется с выпуклости на вогнутость, тогда слева от точки производная возрастает и следовательно, , справа же от точки производная убывает, и следовательно .

Следовательно, если производная в точке существует, то необходимо, что бы .

Доказанная теорема является необходимым условием для точки перегиба. Это условие не является в общем случае достаточным.

Сформулируем достаточное условие точки перегиба (теорема):

Пусть функция имеет вторую производную в некотором интервале, содержащем критическую точку для первой производной, кроме, может быть, самой точки , тогда если при переходе через точку вторая производная в точке меняется знак на противоположный, то - точка перегиба графика функции.

Асимптоты графика функции.

Для графика функции могут существовать прямые, для которых расстояние от точек графика до соответствующих точек прямых является бесконечно малым при удалении точек графика на бесконечность. Такие прямые называются асимптотами графика функции. Различают вертикальные и наклонные асимптоты.

1) Вертикальные асимптоты.

Пусть функция - непрерывна в некотором интервале, содержащем , а при приближении к самой слева или справа она уходит в бесконечность, то есть или

Тогда прямая называется вертикальной асимптотой графика этой функции.

2) Наклонная асимптота.

Прямая называется левосторонней (правосторонней) асимптотой графика функции, если или

Таким образом, у графика функции может быть максимально две наклонных асимптоты.

Как следует из определения наклонной асимптоты, ее параметры, а именно и число находятся как пределы:

Таким образом у графика функции существует наклонная асимптота в том и только в том случае, когда существуют оба предела.

Если по крайней мере один из этих пределов не существует или равен бесконечности, то у графика функции асимптоты нет.

Если для асимптоты , то она называется горизонтальной асимптотой.

Алгоритм исследования функции и построения ее графика.

1) Находим область определения данной функции.

2) Находим и строим вертикальные и наклонные асимптоты (если они существуют).

3) Находим производную функции , определяем интервал монотонности функции и точки экстремума, если они существуют.

4) Вычисляем вторую производную и с ее помощью находим интервал выпуклости и вогнутости и точки перегиба.

5) По результатам произведенных исследований строим график функции.

Векторные функции скалярного аргумента.

Положим, что каждому числу из интервала ставится в соответствие вектор . Такое соответствие называется векторной функцией скалярного аргумента .

Если выбран некоторый ортонормированный базис , то вектор - функцию можно записать в координатах этого базиса, то есть . Таким образом, что бы задать вектор - функцию, необходимо и достаточно задать функции ее координат, то есть задать функции

Если начало вектора зафиксировать в начале координат, то конечная точка этого вектора при изменении описывает в пространстве некоторую кривую, которая называется траекторией векторной функции.

По аналогии с числовой функцией, для векторной функции можно ввести понятие предела, непрерывности и производной.

Пределом при называется вектор , такой, что для любого существует , такое что

Производной векторной функции в точке , называется предел:

Геометрически производная вектор - функции представляет собой вектор, направленный по касательной кривой в точке , направленный в сторону движения по кривой.

Таким образом, уравнение касательной к траектории векторной функции в точке можно записать в виде:



Нормальной плоскостью кривой в пространстве называется плоскость, которая проходит через точку на этой кривой перпендикулярно касательной. Тогда уравнение нормальной плоскости можно записать в виде:

- уравнение нормальной плоскости.

Формула Тейлора.

Пусть функция дифференцируема раз в некотором интервале, содержащем точку , где - некоторое натуральное число.

Формула Тейлора служит для приближенного представления с любой степенью точности функции в окрестностях точки с помощью полинома:

по степеням с действительными коэффициентами.

Подберем коэффициенты полинома так, что бы функция и ее производные в точке совпадали с соответствующими значениями полинома и его первых производных , то есть



Так как , то

Аналогично находим, что:

, где

Подставим найденные коэффициенты в полином и получим:

Найденный полином называется полиномом Тейлора порядка для функции в окрестностях точки .

Оценим величину ошибки, или погрешности, которую мы допускаем, заменив функцию в окрестности точки ее полиномом Тейлора

Обозначим величину этой ошибки через .

Очевидно, что:

Применив к погрешности и степени раз теорему Коши на отрезке , получим:

Следовательно, для погрешности справедлива формула:

, где

Таким образом, в окрестностях точки справедлива следующая формула:

,

или в развернутом виде:



где .

Полученная формула называется формулой Тейлора порядка для функции в окрестности точки с остатком в формуле Лагранжа.

В частном случае, когда эта формула называется формулой Маклорена:

,

где

Формула Тейлора имеет важное значение как в самой математике, так и в ее приложении уже хотя бы потому, что она является основой приближенного вычисления с любой точностью значений функции.

Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.

1)

2)

, где:

3)

Вычислим остаток:

4)

Остаток

5)

Размещено на Allbest.ru

...