Особенность начертательной геометрии

Вопросы для самоанализа

1. Что характерно для прямых, если они параллельны какой-либо плоскости проекции?

2. Какая проекция прямой будет параллельна оси Оx, если эта прямая параллельна p1?

3. Если одна из проекций прямой есть точка, что это за прямая?

4. Когда прямая проецируется на плоскость в натуральную величину?

5. Как определить натуральную величину отрезка общего положения?

6. Что определяют D z и D y?

Основные понятия, которые необходимо знать:

- проекция прямой, отрезка;

- отрезок общего положения;

- прямые уровня (горизонталь, фронталь, профильная прямая);

- проецирующие прямые (горизонтально проецирующая, фронтально проецирующая, профильно проецирующая прямая).

Способы деятельности, которыми надо уметь пользоваться:

1. Построение третьей проекции отрезка по двум заданным.

2. Нахождение натуральной величины отрезка методом прямоугольного треугольника.

Контрольные задания

1. Провести сравнительный анализ положения проекций прямых:

а) по расположению относительно плоскостей проекций, осей;

б) по сходству и различию.

Расчетно-графическая работа № 2.

Определение натуральной величины отрезка прямой

Задания

1. По заданным координатам построить две проекции отрезка прямой.

2. Определить натуральную величину отрезка АВ и углы наклона к плоскостям проекций p1 и p2.

Варианты РГР № 2

Примечание. Образец выполнения расчетно-графической работы № 2 (прил. 3)

Глава 4. Взаимное положение прямых в пространстве

4.1 Общие положения

Две прямые в пространстве могут иметь различное расположение:

пересекаться (лежать в одной плоскости). Частный случай пересечения - под прямым углом;

могут быть параллельными (лежать в одной плоскости);

совпадать - частный случай параллельности;

скрещиваться (лежать в разных плоскостях и не пересекаться).

Рассмотрим изображение пересекающихся, параллельных и скрещивающихся прямых на комплексном чертеже (табл. 4.1)

Таблица 4.1

Определение	Комплексный чертеж
Пересекающиеся прямые Если прямые общего положения пересекаются, то их одноименные проекции пересекаются между собой, а проекции точек пересечения лежат на одной линии связи: М = a b; М1 = a1 b1; М2 = a2 b2
Параллельные прямые Если прямые параллельны, то их одноименные проекции также параллельны. Если a|| b, то a1 || b1, a2 ||b2

4.2 Определение видимости прямых относительно плоскостей проекций

Для определения видимости прямых относительно плоскостей проекции используются конкурирующие точки. Рассмотрим комплексный чертеж скрещивающихся прямых а и b (рис. 4.1 и рис. 4.2). Определим, какая из прямых расположена выше другой (относительно плоскости p1) или ближе другой к наблюдателю (относительно плоскости p2). Для этого необходимо проанализировать положение конкурирующих точек С и D, принадлежащих этим прямым. Из рис. 4.1 следует, что при взгляде сверху по указанной стрелке С2 выше D2 относительно p1. Следовательно, точка С1, принадлежащая прямой а, будет видима, а точка D2, принадлежащая прямой b, (D1 - показана в скобках) будет не видима.

Из двух конкурирующих точек M и N, принадлежащих скрещивающимся прямым а и b (рис. 4.2), относительно плоскости p2, видимой будет точка М2, так как М1 расположена ближе к наблюдателю, что видно при взгляде спереди по указанной стрелке, а точка N2 будет не видима, поэтому она показана в скобках.

Понятие конкурирующих точек используется в решении позиционных задач, когда требуется определить видимость, то есть положение прямых между собой и относительно зрителя.

Рассмотрим алгоритмы построения прямых пересекающихся (табл. 4.2) и параллельных (табл. 4.3).

Таблица 4.2 Алгоритм построения прямых пересекающихся

Вербальная форма	Графическая форма
1. Через точку К провести прямую h|| p1 и пересекающую прямую а
2. Через точку К (К2) проводим фронтальную проекцию горизонтали h2|| оси x: K2 h2
3. Отмечаем точку D (D2) пересечения горизонтали h2 и прямой a: D2=h2 a2
4. Находим горизонтальную проекцию точки D - D1
5. Проводим: К1D1 - горизонтальную проекцию горизонтали h1

Таким образом, можно сделать следующий вывод, так как h2 a2=D2, h1 a1=D1, то эти прямые пересекаются.

Таблица 4.3 Алгоритм построения прямых параллельных

Вербальная форма	Графическая форма
1. Через точку М провести прямую l || a
2. Через точку М1 проведем l1|| a1
3. Проведем l2|| a2 через точку М2

Таким образом, можно сделать следующий вывод: l параллельна а, так как l1 параллельна a1 и l2 параллельна a2.

Прямые в пространстве могут быть:

- пересекающимися;

- параллельными;

- скрещивающимися.

Изображение этих прямых на комплексном чертеже характеризуется расположением их проекций, а именно:

1. если прямые пересекаются в пространстве, то на комплексном чертеже их одноименные проекции пересекаются, а точки пересечения их проекций лежат на одном перпендикуляре к оси проекций;

2. если прямые в пространстве параллельны, то на комплексном чертеже их одноименные проекции параллельны между собой;

3. если прямые скрещиваются в пространстве, то на комплексном чертеже их одноименные проекции пересекаются, но точки их пересечения не лежат на одном перпендикуляре к оси проекций.

Видимость прямых относительно плоскостей проекций определяется с помощью конкурирующих точек.

Используя изученный материал, можно решать на комплексном чертеже такие позиционные задачи, как:

- определять положение прямых и точек относительно друг друга и плоскостей проекций;

- выполнять построение прямых с заданными свойствами (параллельность, пересечение и т.п.).

Вопросы для самоанализа

1. В чем различие положений скрещивающихся и пересекающихся прямых в пространстве?

2. В чем сходство и различие положений проекций пересекающихся и скрещивающихся прямых на комплексном чертеже?

3. Если две прямые в пространстве имеют две общих точки, то они пересекаются. Верно ли это утверждение?

4. Приведите пример положения конкурирующих точек:

- двух скрещивающихся прямых;

- двух параллельных прямых.

5. Сколько проекций надо задать для определения параллельности прямых в пространстве? Рассмотрите варианты решения. Сделайте обобщенный вывод.

Основные понятия, которые необходимо знать:

- параллельность прямых;

- пересечение прямых;

- скрещивание прямых;

- совпадение прямых;

- конкурирующие точки.

Способы деятельности, которыми необходимо владеть:

1. Построение параллельных, пересекающихся, скрещивающихся прямых.

2. Построение прямых, параллельно заданным и построение прямых, пересекающих заданные.

Расчетно-графическая работа № 3

Взаимное положение прямых в пространстве

Задания выполняются в соответствии с вариантом.

1. Через точку К провести прямую h|| p1 (четные варианты) или f|| p2 (нечетные варианты) и прямую l, пересекающую заданную прямую а;

2. Через точку S провести прямую m || a.

Варианты РГР № 3

Примечание. Образец выполнения расчетно-графической работы № 3 см. прил. 4.

Глава 5. Плоскость

5.1 Общие положения

Плоскость - это двумерный геометрический образ, имеющий длину и ширину. Плоскость считается бесконечной, не имеющей толщины и непрозрачной. Плоскость является одним из наиболее часто встречающихся видов поверхности, которая содержит полностью каждую прямую, соединяющую любые две ее точки (рис. 5.1).

5.2 Способы задания плоскости

Плоскость на чертеже может быть задана следующими способами (табл. 5.1).

Таблица 5.1

Способ задания	Наглядное изображение	Комплексный чертеж
а) тремя точками, не лежащими на одной прямой

5.3 Положение плоскости относительно плоскостей проекций

Плоскости в пространстве могут занимать общее (табл. 5.2) и частное положение (табл. 5.3 и табл. 5.4).

Плоскость общего положения

Таблица 5.2

Определение	Наглядное изображение	Комплексный чертеж
Плоскость, не перпендикулярную ни к одной из плоскостей проекций, называют плоскостью общего положения

Плоскости частного положения

Плоскостью частного положения называют плоскость, которая либо перпендикулярна, либо параллельна одной из плоскостей проекций. Плоскости частного положения могут быть проецирующими (табл. 5.3) и плоскостями уровня (табл. 5.4).

Таблица 5.3 Плоскости проецирующие

Определение	Наглядное изображение	Комплексный чертеж
Горизонтально-проецирующей плоскостью называют плоскость, перпендикулярную к плоскости проекций (D ABC)^ p1. Любой элемент, лежащий в этой плоскости, проецируется на плоскость p1 в прямую линию; горизонтальная проекция D A1B1C1 есть прямая линия на плоскости p1; угол b есть угол наклона этой плоскости к плоскостям p2. Он проецируется на горизонтальную плоскость без искажения

Таким образом, если плоскость перпендикулярна одной из плоскостей проекций, то на эту плоскость она проецируется в виде прямой линии.

Задача

Построить комплексный чертеж фронтально-, профильно- и горизонтальнопроецирующих плоскостей, если они заданы:

а) тремя точками;

б) прямой и точкой, не принадлежащей данной прямой;

в) двумя пересекающимися прямыми;

г) двумя параллельными прямыми.

Таблица 5.4 Плоскости уровня

Характеристика	Наглядное изображение	Эпюр
Фронтальная плоскость - это плоскость, параллельная плоскости p2. Эта плоскость пересекает плоскость p1 параллельно оси ОХ, а плоскость p3 - по линии, параллельной оси OZ
Горизонтальная плоскость - это плоскость, параллельная плоскости проекции p1. Эта плоскость пересекает плоскость p2 параллельно оси ОХ, а плоскость p3 - параллельно оси ОУ
Профильная плоскость - это плоскость, параллельная плоскости p3. Эта плоскость пересекает плоскости проекций p1 и p2 по линиям, параллельным оси Z

Таким образом, если плоскость параллельна какой-либо плоскости проекций, то на эту плоскость она проецируется в натуральную величину, а две ее другие проекции есть прямые линии параллельные осям проекций.

Задача

Постройте комплексный чертеж плоскости уровня (горизонтальной, фронтальной, профильной), если они заданы:

а) тремя точками;

б) прямой и точкой, не лежащей на прямой;

в) двумя пересекающимися прямыми;

г) двумя параллельными прямыми;

д) плоской фигурой.

5.4 Условия принадлежности прямой линии плоскости

Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие этой плоскости или через одну точку этой плоскости, параллельно прямой, лежащей в этой плоскости.

Задача

Провести прямую, принадлежащую данной плоскости. Рассмотрим пример на основе применения определения, когда плоскость задана разными способами

Задача № 1

Определить принадлежность прямой линии плоскости, если дана плоскость D ABC (D A1B1C1, D A2B2C2) и прямая a (a1a2) (рис. 5.2).

Рис. 5.2

Задача № 2

Достроить фронтальную проекцию четырехугольника; плоскость четырехугольника задана горизонтальной проекцией и тремя точками фронтальной проекции. геометрический проекция чертеж треугольник

Задача № 3

Достроить вторую проекцию параллелограмма (рис. 5.5).

Рис. 5.5

Задача № 4

Достроить вторую проекцию пятиугольника (рис. 5.6).

Рис. 5.6

5.5 Прямые особого положения в плоскости

Прямыми особого положения в плоскости являются горизонталь h, фронталь f и линии наибольшего наклона к плоскостям проекций. Рассмотрим графическое изображение этих линий (табл. 5.6).

Таблица 5.6

Определение	Комплексный чертеж
1. Горизонталью плоскости называется прямая, лежащая в плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций, обозначаемая h. Построение горизонтали начинается с фронтальной проекции h2. Все горизонтали одной плоскости между собой параллельны. Горизонталь есть геометрическое место точек плоскости, удаленных от плоскости p1 на одно и то же расстояние
2. Фронталью плоскости называется прямая, лежащая в плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций, обозначаемая f. Все фронтали одной плоскости параллельны между собой. Фронталь плоскости - это геометрическое место точек, удаленных от плоскости p2 на одно и то же расстояние
3. Линиями наибольшего наклона данной плоскости к плоскостям проекций называются линии, лежащие в плоскости и перпендикулярные горизонтали, фронтали или ее профильной прямой. В первом случае определяется наклон данной плоскости к плоскости p1, во втором - к p2, в третьем - к p3. Линия наибольшего наклона к p1 называется линией наибольшего ската (ЛНС). Построение ЛНС начинается с ее горизонтальной проекции n1, так как согласно свойству проецирования прямого угла, угол 900 между ЛНС и h1 на p1 проецируется без искажения

Задача № 1

1. Провести фронталь в плоскости, заданной двумя параллельными прямыми: a (а || b) (табл. 5.7).

Таблица 5.7 Алгоритм построения фронтали

Вербальная форма	Графическая форма
Дана плоскость a (a|| b), следовательно, a1 || b1; a2 || b2
Фронталь - это прямая, принадлежащая плоскости f a (a|| b). Известно, что горизонтальная проекция фронтали f1|| x. Проведем f1|| x и f1 a1, f1 b1
Отметим точки пересечения f1 и a1, f1 и b1: f1 a1=11, f1 b1 = 21
Если f a (a b), то все ее точки принадлежат этой плоскости, следовательно, точки 1 и 2 принадлежат a (a|| b). Тогда, 12 a2 и 22b2. Находим эти проекции
Через точки 12 и 22 проводим фронтальную проекцию фронтали f2

Задача № 2

Провести горизонталь, фронталь и ЛНС в плоскости, заданной:

а) тремя точками;

б) двумя пересекающимися прямыми.

5.6 Принадлежность точки плоскости

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости (рис. 5.7).

Рис. 5.7

Точка D принадлежит плоскости S (D АВС), так как D1 А111; D2 А212, а прямая А1 принадлежит плоскости S (D АВС) в соответствии с § 4.

Задача № 1

Построить вторую проекцию точки K, если Ka (D ABC) (табл. 5.8).

Таблица 5.8 Алгоритм построения второй проекции точки К

Вербальная форма	Графическая форма
Плоскость a - задана плоской фигурой a (D АВС), K2 - фронтальная проекция точки K
Проведем через K2 фронтальную проекцию прямой 12; 22, лежащую в плоскости a (D ABC)
Построим горизонтальную проекцию прямой 11; 21
Строим вторую проекцию точки К (К1), принадлежащей прямой 1; 2, а следовательно, и плоскости a (D ABC)

Решить задачи:

Построить точку К (К1), принадлежащую плоскости:

а) a (ABC), заданной тремя точками;

б) заданной прямой a (a1a2) и точкой B (B1B2);

в) заданной параллельными прямыми a(a1a2) || b(b1b2);

г) заданной пересекающимися прямыми a b.

Выводы

Подводя итог, сделаем следующее заключение.

1. Плоскость в пространстве может быть задана (табл. 5.1):

1. тремя точками, не лежащими на одной прямой (табл. 5.1, п. а);

2. прямой и точкой, не принадлежащей данной прямой (табл. 5.1, п. б);

3. двумя параллельными прямыми (табл. 5.1, п. в);

4. двумя пересекающимися прямыми (табл. 5.1, п. д).

5. плоской фигурой (табл. 5.1, п. г);

6. следом (табл. 5.1, п. е).

2. Заданию плоскости в пространстве соответствуют комплексные чертежи, где указанные объекты (точка, прямая, фигура) заданы проекциями (табл. 5.1).

3. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и сама прямая принадлежит плоскости (табл. 5.6).

4. Если точка принадлежит плоскости, то она принадлежит какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости.

5. Используя эти основные понятия и способ построения ортогональных проекций, можно решать бесконечное множество позиционных задач, определяющих взаимное положение точек, прямых, плоскостей относительно друг друга и относительно плоскостей проекций.

Вопросы для самоанализа

1. Какие способы задания плоскости вам известны?

2. Как называется плоскость если она:

- параллельна какой-либо плоскости проекций;

- перпендикулярна какой-либо плоскости проекций.

3. Какое условие определяет принадлежность линии плоскости?

4. Назовите главные линии плоскости.

5. Каково условие принадлежности точки плоскости.

6. Проведите сравнительный анализ проецирующих плоскостей и плоскостей уровня.

7. Определите сходство и различия в проекциях горизонтали, фронтали и профильной прямой.

Основные понятия, которые необходимо знать:

- плоскость;

- прямые особого положения в плоскости;

- положение плоскости в пространстве;

- принадлежность точки и прямой плоскости.

Способы деятельности, которыми необходимо владеть:

1. Построение комплексного чертежа плоскости, заданной любым способом;

2. Определение принадлежности точки и прямой плоскости.

Глава 6. Взаимное положение двух плоскостей, прямой линии и плоскости

6.1 Взаимное положение двух плоскостей

Две плоскости в пространстве могут располагаться параллельно или пересекаться. В частном случае пересекающиеся плоскости могут быть взаимно перпендикулярными.

Параллельные плоскости

Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости (рис. 6.1).

Рис. 6.1

Рассмотрим алгоритм построения плоскости, параллельной данной (табл. 6.1).

Необходимо построить плоскость Q, проходящую через точку D, параллельную данной плоскости Р(D АBC).

Таблица 6.1 Алгоритм построения плоскости, параллельной данной

Вербальная форма	Графическая форма
1. Для решения задачи в данной плоскости Р(D АBC) берутся любые пересекающиеся прямые. Например, АВ АС
2. Через точку D проводим прямую m: m2 || A2B2; m2 D2 m1 || A1B1; m1 D1
3. Через точку D проводим n || АС: n1 || А1С1; n2 || А2С2. Плоскость Q определяется двумя пересекающимися прямыми: Q (m n), так как эти две прямые параллельны двум пересекающимся прямым АВ и АС, плоскости Р и Q параллельны Р(D АВС) || Q (m n)

Плоскости пересекающиеся

Две плоскости пересекаются по прямой линии. Для построения линии их пересечения необходимо найти две точки, принадлежащие этой линии. Задача упрощается, если одна из пересекающихся плоскостей занимает частное положение. В этом случае ее вырожденная проекция включает в себя проекцию линии пересечения плоскостей (табл. 6.2).

Таблица 6.2 Алгоритм построения линии пересечения горизонтально проецирующей плоскости Р с плоскостью общего положения Q(D АВС)

Вербальная форма	Графическая форма
1. Для построения линии пересечения двух плоскостей Р(Р1) и Q(D АВС) необходимо определить две точки M и N - общие для этих плоскостей. Видно, что горизонтальная проекция плоскости Р1 совпадает с горизонтальной проекцией линии пересечения плоскостей Р и Q. M1N1 = P1Q1
2. Строим фронтальную проекцию линии пересечения плоскостей M2N2 = P2 Q2
3. Определяем видимость. Часть плоскости Q (D АВС) не видима, так как она расположена за плоскостью Р

6.2 Линия пересечения двух плоскостей общего положения

Для определения двух точек, принадлежащих линии пересечения двух плоскостей, применяют вспомогательные секущие плоскости (табл. 6.3).

Таблица 6.3 Алгоритм построения линии пересечения MN плоскости Q(a|| b) и плоскости (D АВС) общего положения при помощи двух вспомогательных фронтально-проецирующих секущих плоскостей

Вербальная форма	Графическая форма
1. Для построения первой общей точки М берем вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость R (R2), отмечаем точки 12 22 = R2 Q2 и 3242 = R2 2. Горизонтальные проекции линии пересечения данных плоскостей с вспомогательной плоскостью R (R2) дают первую общую точку М: 1121 3141 = М1 Теперь строим фронтальную проекцию точки М (М2)
2. Для построения второй общей точки N проводим вторую вспомогательную фронтально-проекцирующую плоскость S (S2), которая дает 5; 67; 8 = N: 51617181=N1. Теперь строим фронтальную проекцию точки N (N2)
3. После соединения М1 и N1 и М2 и N2 получаем МN: MN= Q (a|| b)(D ABC)

Расчетно-графическая работа № 4

Построение линии пересечения двух плоскостей

Задание выполняется по вариантам.

1. Построить линию пересечения двух плоскостей общего положения.

2. Определить видимость плоскостей, если это необходимо.

Варианты заданий РГР № 4

6.3 Прямая, параллельная плоскости

Прямая, параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой, принадлежащей данной плоскости (рис. 6.2).

Рис. 6.2

Для построения прямой, проходящей через заданную точку пространства, параллельно заданной плоскости, достаточно провести прямую, параллельную любой прямой, принадлежащей плоскости. При этом возможно множество решений.

Рассмотрим алгоритм построения проекций прямой линии, проходящей через точку K ( K1, K2), параллельную плоскости Р(D АВС) (табл. 6.4).

Таблица 6.4 Алгоритм построения прямой, параллельной плоскости

Вербальная форма	Графическая форма
1. Построим в плоскости Р(D АВС) прямую А1, которая принадлежит плоскости Р
2. Через точку K1 проводим l1|| A111. Через К2 проводим l2|| A212, прямая l параллельна плоскости Р, так как l1|| A111 и l2 || A212, а прямая А1 принадлежит плоскости Р(D АВС)

Для того чтобы проверить, параллельна ли прямая заданной плоскости, можно попробовать провести в этой плоскости прямую, параллельную заданной. Если такую прямую в плоскости построить не удается, то заданные прямая и плоскость не параллельны между собой.

6.4 Пересечение прямой линии с плоскостью общего положения

Прямая пересекает плоскость в одной точке. Точку пересечения прямой с плоскостью определяют при помощи вспомогательной проецирующей плоскости, в которую заключаем данную прямую. Рассмотрим алгоритм построения точки пересечения прямой l и плоскости (D АВС) (табл. 6.5).

Таблица 6.5 Алгоритм пересечения прямой линии с плоскостью общего положения

Вербальная форма	Графическая форма
1. Чтобы построить точку пересечения прямой l с плоскостью (D АВС), необходимо заключить прямую l в вспомогательную фронтально проецирующую плоскость Р (Р2). Получаем М2N2 - фронтальную проекцию линии пересечения Р = MN. Затем строим горизонтальную проекцию линии пересечения данной плоскости и плоскости Р, т.е. М1N1
2. Отмечаем точку К (К1К2) пересечения прямой l с найденной линией пересечения плоскостей MN. MN=(D АВС) Р (Р2). Точка К будет искомой точкой пересечения прямой l с плоскостью (D АВС): К = l
3. Определяем видимость прямой l относительно плоскости (D АВС) при помощи конкурирующих точек 1; 2 и 3; 4. На чертеже точки M и N не обозначены

6.5 Перпендикулярность прямой и плоскости

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости (рис. 6.3).

Рис 6.3

Если прямая перпендикулярна плоскости, то она будет перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Из множества этих прямых при построении перпендикуляров к плоскости выбирают горизонталь и фронталь плоскости. В этом случае, пользуясь свойством проецирования прямого угла на комплексном чертеже, фронтальную проекцию перпендикуляра проводим под углом 900 к фронтальной проекции фронтали, а горизонтальную проекцию перпендикуляра - под углом 90° к горизонтальной проекции горизонтали.

Рассмотрим алгоритм построения перпендикуляра n к плоскости Р(D АВС) (табл. 6.6).

Таблица 6.6 Алгоритм построения перпендикуляра к плоскости

Вербальная форма	Графическая форма
1. Для того чтобы построить перпендикуляр к плоскости Р(D АВС) через точку D, необходимо сначала построить любую горизонталь в данной плоскости Р(D АВС) - h (h1h2)
2. Строим фронталь в плоскости Р(D АВС) - f ( f1f2)
3. Строим перпендикуляр n к плоскости Р(D АВС). Для этого через точку D2 проводим n2, перпендикулярно f2, а через D1 проводим n1, перпендикулярно h1. n (n1n2) ^Р (DАВС), так как n1^h1; h1 P1 ( DА1В1С1) n2^f2; f2 P2 (DА2В2С2)

6.6 Перпендикулярность двух плоскостей

Две плоскости будут перпендикулярны друг к другу, если одна из них проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости (рис. 6.4).



Рис 6.4

АВ b , то есть АВ принадлежит плоскости b и АВ ^ плоскости a . Плоскость b ^ плоскости a .

Рассмотрим это положение на комплексном чертеже (табл. 6.7), где будет показано построение плоскости Р, проходящей через прямую l и перпендикулярной плоскости, заданной треугольником Q(D АВС) (табл. 6.7).

Таблица 6.7 Алгоритм построения плоскости, перпендикулярной данной

Вербальная форма	Графическая форма
1. Известно, что для построения прямой, перпендикулярной плоскости, необходимо построить горизонталь и фронталь в плоскости. а) Заметим, что построение перпендикуляра упрощается, так как стороны плоскости Q(D АВС) являются прямыми уровня: АВ (А1В1; А2В2) - фронталь АС (А1С1; А2С2) - горизонталь. б) Возьмем на прямой l произвольную точку К
2. Через точку К, которая принадлежит прямой l, проводим прямую n ^ Q, т.е. n1^ A1C1 и n2^ A2В2. Искомая плоскость будет определяться двумя пересекающимися прямыми, одна из которых задана - l, а другая - n является перпендикулярной к заданной плоскости: P(l n)^ Q (D ABC)

Выводы

1. Прямая и плоскость в пространстве могут:

а) не иметь общих точек;

б) иметь хотя бы одну общую точку;

в) иметь множество общих точек.

В зависимости от этого прямая может принадлежать плоскости, быть ей параллельна, пересекаться с данной плоскостью и, как частный случай, быть ей перпендикулярна.

2. Две плоскости в пространстве могут быть параллельны друг другу, пересекаться между собой и, как частный случай, быть взаимно перпендикулярны.

3. Две пересекающиеся плоскости имеют одну общую прямую - линию пересечения.

4. Прямая, пересекающая плоскость, имеет с ней одну общую точку.

5. Для построения перпендикуляра к плоскости необходимо использовать свойства проецирования прямого угла.

Вопросы для самоанализа

1. Назовите признаки параллельности прямой и плоскости, двух плоскостей.

2. Какая прямая является линией пересечения плоскости общего положения с фронтально проецирующей плоскостью?

3. По какой линии пересекаются две горизонтально проецирующие плоскости?

4. Как определяется видимость при пересечении двух плоскостей, прямой и плоскости?

5. Какова последовательность построения точки пересечения прямой и плоскости?

6. Как провести плоскость, перпендикулярную данной прямой (через точку на прямой или через точку вне прямой)?

7. Как провести перпендикуляр к прямой общего положения?

8. Как через прямую провести плоскость, перпендикулярную данной плоскости?

Основные понятия, которые необходимо знать:

- признаки параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости двух плоскостей;

- принадлежность прямой двум плоскостям одновременно;

- принадлежность точки прямой и плоскости.

Способы деятельности, которыми необходимо владеть:

- построение линии пересечения двух плоскостей;

- построение точки пересечения прямой и плоскости;

- определение видимости прямой и плоскости относительно плоскостей проекций;

- построение прямой, параллельной плоскости;

- построение прямой, перпендикулярной плоскости;

- построение плоскости, перпендикулярной или параллельной данной плоскости.

Расчетно-графическая работа № 5

Построение точки пересечения прямой и плоскости

Задание выполняется в соответствии с вариантом.

1. Построить точку пересечения прямой и плоскости общего положения.

2. Определить видимость прямой относительно плоскостей проекций.

Варианты заданий РГР № 5

Примечание. Образец выполнения расчетно-графической работы № 5 см. прил. 6

ТРЕНИНГ УМЕНИЙ

Задачи для самостоятельной работы

К главе 2

1. Построить комплексный чертеж произвольной точки А, находящейся во второй четверти пространства и удаленной от горизонтальной плоскости проекций на 32 мм и от фронтальной плоскости проекций - на 18 мм.

2. Построить комплексный чертеж точки А (10; -24; -13).

3. Дана точка А (15; 12; 20). Построить комплексный чертеж точки В, симметричной точке А относительно p1, p2; оси ОХ.

4. Построить комплексный чертеж точек

5. Построить наглядное изображение точек

К главе 3

1. Построить проекции прямой АВ (рис. 3), если она:

а) параллельна p1;

б) параллельна p2;

в) параллельна ОХ;

г) перпендикулярна p1;

д) перпендикулярна p2.

Рис. 3

2. Построить проекции отрезков по координатам. Определить их положение относительно плоскостей проекций: А(80; 40; 30), B(20; -15; 30), C(60, 40, -25), D(10; -40; -50), E(30; 0; 70), F(3; 40; 0).

3. Определить положение точек относительно прямой l (рис. 4).



Рис. 4

4. Построить комплексный чертеж точки А, которая находится под прямой а; В - за прямой а; точки С, которая принадлежит прямой а.

5. Через точку А(А1А2) провести прямую h || p1 и через точку В(В1В2) провести прямую f || p2 (рис. 5).

Рис. 5

К главе 4

1. Через точку S провести прямую l|| а (рис. 6)



Рис. 6

2. Через точку S провести прямую l, пересекающую прямую а и параллельную p1 (рис. 7).

Рис. 7

3. Выяснить взаимное положение двух прямых ab и cd (рис. 8):

Рис. 8

К главе 5

1. В плоскости, заданной двумя параллельными прямыми, построить фронталь на расстоянии 15 мм от p1 (рис. 9):

Рис. 9

2. Построить произвольную точку К, принадлежащую плоскости D АВС (рис. 10):

Рис. 10

3. Задать произвольную горизонтально-проецирующую плоскость:

-двумя пересекающимися прямыми;

- прямой и точкой.

4. Задать плоскость, параллельную p2:

- двумя параллельными прямыми;

- тремя точками.

5. Найти горизонтальную проекцию точки К, если она принадлежит плоскости, заданной AB|| CD (рис. 11):



Рис. 11

6. Построить недостающую проекцию l(l1) и точки D(D2), принадлежащих плоскости D ABC (рис. 12):

Рис. 12

1. Дана плоскость Р(а|| b) и фронтальная проекция m2 прямой m, проходящей через точку D. Построить горизонтальную проекцию прямой m1 так, чтобы прямая m была параллельна плоскости Р(а|| b) (рис. 13).



Рис. 13

2. Построить линию пересечения плоскости Р(D АВС) с плоскостью Q(DEEK) (рис. 14).

Рис. 14

3. Построить точку пересечения прямой m и плоскости Р (D АВС) (рис. 15).



Рис. 15

4. Через точку А (А1А2) провести прямую, перпендикулярную прямой m (рис. 16).

Рис. 16

5. Определить, перпендикулярна ли прямая l плоскости Q(ab) (рис. 17).

Рис. 17

Тесты

Тесты к главе 1

1. Укажите центральную проекцию точки А (рис. 1).

Рис. 1

2. Проецирование называется параллельным, если:

а) проецирующие лучи исходят из одной точки S;

б) все проецирующие лучи параллельны заданному направлению S;

в) все проецирующие лучи располагаются перпендикулярно плоскости проекций.

3. На каком чертеже (рис. 2) построена параллельная проекция отрезка АВ.

Рис. 2

4. Укажите, на каком чертеже (рис. 2) отрезок АВ проецируется в натуральную величину?

5. Может ли параллельная проекция отрезка прямой представлять собой точку?

6. На каком из чертежей (рис. 2) построена ортогональная проекция отрезка АВ?

Тесты к главе 2

1. Укажите, какая из точек А, В или С находится в третьей четверти: А(10; -15; -30); В(15; -20; 10); С(30; 10; -15).

2. Расстоянию точки А от плоскости p 1 соответствует отрезок (рис. 3):

а) ОАх;

б) А1Ах;

в) АхА2.

Рис. 3

3. Какая из точек A; B; C; D; E; F находится во второй четверти (рис. 4)?

Рис. 4

4. Какая из точек на комплексном чертеже находится в третьей четверти (рис. 5)?

5. Какая из точек на комплексном чертеже принадлежит плоскости p 2 (рис. 5)?

Рис. 5

Тесты к главе 3

1. Выберите соответствие обозначения отрезка АВ его изображению (рис. 6):

2. На каком из комплексных чертежей отрезок АВ (рис. 6) проецируется в натуральную величину: а); б); в); г); д); е).

3. За прямой l расположена точка: А; B; C; D; E; K (рис. 7).

4. Прямой l принадлежит точка: А; B; C; D; E; K (рис. 7).

Рис. 7

Тесты к главе 4

Укажите, на каком из чертежей (рис. 8) прямые в пространстве

1) параллельны;

2) пересекаются;

3) скрещиваются.

Рис. 8

Тесты к главе 5

1. Укажите на каком из чертежей (рис. 9) задана плоскость уровня?

2. Укажите, на каком из комплексных чертежей (рис. 9) задана проецирующая плоскость?

Рис. 9

3. Укажите, на каком из чертежей (рис. 10)

- прямая l является горизонталью плоскости S (D АВС);

- прямая l является фронталью плоскости

Рис. 10

4. На каком из чертежей (рис. 11) точка К принадлежит плоскости S (D АВС)?

Рис. 11

Тесты к главе 6

1. На каком из чертежей (рис. 12) плоскость S (D АВС) параллельна плоскости Р(m C n).



Рис. 12

2. Чтобы построить линию пересечения двух плоскостей общего положения необходимо использовать:

а) две вспомогательные прямые частного положения;

б) две вспомогательные плоскости общего положения;

в) две вспомогательные проецирующие плоскости.

3. Чтобы построить точку пересечения прямой и плоскости необходимо прямую заключить:

а) в плоскость общего положения;

б) в плоскость уровня;

в) в проецирующую плоскость.

4. Укажите, на каком чертеже (рис. 13) прямая l расположена параллельно плоскости P(a || b).

Рис. 13

5. Укажите, на каком из чертежей (рис. 14) прямая l перпендикулярна плоскости Q(a b)?

Рис. 14

Заключение

Итак, были подробно рассмотрены методы проецирования, точка в системе двух и трех плоскостей проекций, прямая и плоскость, взаимное положение прямых и плоскостей, а также некоторые позиционные задачи.

Даны методические рекомендации по изучению курса в целом и по выполнению расчетно-графических работ в частности.

Подробно рассмотрены примеры и алгоритмы решения различного рода задач. По каждой теме дан тренинг умений (решений задач) и заключительное тестирование. Для лучшего усвоения материала в конце учебного пособия представлен краткий словарь специальных терминов и определений.

Определены требования к знаниям и умениям, приобретаемым при изучении курса, виды контроля знаний студентов и их отчетности.

Во второй части планируемого пособия будут рассмотрены способы преобразования комплексного чертеже (метрические задачи), поверхности, точка на поверхности, пересечение прямой и поверхности, пересечение двух поверхностей и т.д.

Рекомендуемый библиографический список

1. ГОСТ 2.001-70. Общие положения // В сб. Единая система конструкторской документации. Основные положения. - М.: Изд-во стандартов, 1984. - С. 3-5.

2. ГОСТ 2.104-68. Основные надписи // В сб.: Единая система конструкторской документации. Основные положения. - М.: Изд-во стандартов, 1984 (С изм. 1991г.). - С. 53-61.

3. ГОСТ 2.303-68. Линии // В сб.: Единая система конструкторской документации. Общие правила выполнения чертежей. - М.: Изд-во стандартов, 1991. - С. 6-8.

4. Гордон, В.О. Курс начертательной геометрии / В.О. Гордон, М.А. Семенцов-Огиевский; Под ред. В.О. Гордона: Изд. 22-е. - М.: Наука, 1977.

5. Лагерь, А.И. Инженерная графика: Учебник / А.И. Лагерь. - 2-е изд. перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 2002. - 270 с.

6. Локтев, О.В. Краткий курс начертательной геометрии / О.В. Локтев. - Изд. 3-е., испр. и доп. - М.: Высш. шк., 1989.

7. Чекмарев, А.А. Инженерная графика: Учеб. для немаш. спец. вузов / А.А. Чекмарев. - М.: Высш. шк., 2000. - 365 с.

Приложения

Приложение 1

Образец оформления листов формата А4 для выполнения расчетно-графических работ

Приложение 2

Образец выполнения графической работы



Приложение 3

Образец выполнения расчетно-графической работы №2

Приложение 4

Образец выполнения графической работы № 3 взаимное положение прямых в пространстве

Приложение 5

Образец выполнения графической работы № 4 построение линии пересечения двух плоскостей



Приложение 6

Образец выполнения графической работы № 5 Построение точки пересечения прямой и плоскости

Краткий словарь специальных терминов и определений

ГЕОМЕТРИЯ НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ. Раздел геометрии, в котором изучаются методы изображения пространственных форм на плоскости или другой поверхности. Проекционный метод построения изображений на плоскости распадается на следующие части: а) перспективу, б) аксонометрию (прямоугольную и косоугольную), в) эпюр Монжа, г) проекции с числовыми отметками. Главное место в начертательной геометрии занимает метод Монжа - ортогональное проецирование элементов трехмерного пространства на две взаимно-перпендикулярные плоскости, в результате которого получается двухкартинный плоский чертеж, обладающий метрической определенностью и обратимостью. Технические чертежи, выполненные этим способом, в зависимости от сложности изображаемой формы, могут иметь и бульшее число изображений (проекций).

ГОРИЗОНТАЛИ. 1. Линии на плоскости или поверхности, параллельные горизонтальной плоскости проекций. 2. Линии на карте, соединяющие точки одинаковой высоты; проведение горизонталей показывает рельеф местности.

ГОРИЗОНТАЛЬ ПЛОСКОСТИ. Прямая, принадлежащая данной плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекции.

ДЛИНА. Расстояние между конечными точками прямой. Определяется измерением с помощью масштабной единицы (эталона длины) и выражается некоторым положительным числом. В зависимости от выбора эталона длины изменяется и длина измеряемого отрезка. Следовательно, всякая длина - величина относительная. Длина должна обладать следующими свойствами: а) равные отрезки имеют равную длину; б) длина суммы двух отрезков равна сумме длин составляющих; в) существует отрезок, длина которого равна единице. Раздел геометрии, изучающий длину отрезка, называется лонгиметрией. Для практической деятельности во всех странах созданы эталоны длины (метр, ярд и др.)

ЗАДАЧА ПОЗИЦИОННАЯ. Геометрическая задача на построение точек или линий пересечения геометрических элементов, то есть задача на построение новой инциденции (принадлежности). Например, построение точки пересечения прямой и плоскости, построение теней и т.п. При решении позиционных задач не учитываются метрические свойства фигур, то есть те свойства, которые могут быть выявлены лишь в результате измерения.

КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ. Изображение предмета двумя или несколькими ортогональными проекциями с сохранением проекционной связи. Такой чертеж может быть выполнен: а) в основной системе с фиксированными осями проекции; б) в безосной системе; в) в системе с нефиксированными осями (с постоянной прямой чертежа).

КОМПОНОВКА ЧЕРТЕЖА (от лат. сomponare компоновать). Целесообразное размещение изображений, размеров и надписей на поле чертежа. Эстетическое восприятие также играет немалую роль при чтении чертежа: рабочему приятнее читать чистый и красивый чертеж, чем смотреть на грязный и плохо оформленный. Поэтому законы художественной композиции имеют прямое отношение к компоновке чертежей.

ЛИНИЯ (лат. linea). 1. Всякую линию можно представить себе как траекторию движущейся точки. Нельзя рассматривать линию как ряд точек; вместе с тем линия - это точечное множество. Все геометрические линии сплошные. На чертеже линии изображают условно (ГОСТ 2.303-68. Линии чертежа). 2. Линия - это множество всех последовательных положений движущейся точки. 3. Общая часть двух смежных областей поверхности. По определению Эвклида: “Линия же - длина без ширины”.

ОТРЕЗОК. Часть прямой, ограниченная с обеих сторон. Концы отрезка (точки) входят в отрезок. Отрезок следует обозначать либо двумя буквами, поставленными у концов его, либо одной строчной буквой у его середины.

ПРЯМЫЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ. 1. Две прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек. Через данную точку, взятую вне прямой, можно провести только одну прямую, параллельную этой прямой. Одноименные проекции двух параллельных линий параллельны между собой. 2. Прямые, пересекающиеся в бесконечно удаленной точке.

ПРЯМЫЕ ПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ. Две прямые, имеющие единственную общую точку. Точки пересечения их одноименных проекций лежат на линии проекционной связи (на одном перпендикуляре к оси проекций).

ПРЯМЫЕ СКРЕЩИВАЮЩИЕСЯ. Две прямые, которые не параллельны друг другу и не пересекаются. Такие прямые лежат в различных плоскостях. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно длине отрезка перпендикуляра, опущенного из точки на одной прямой на другую прямую; существует только один такой перпендикуляр, общий этим прямым. Углом двух скрещивающихся прямых условно считают острый угол, построенный в произвольно выбранной точке со сторонами, соответственно параллельными этим прямым.

ПЛОСКОСТЬ следует рассматривать как частный случай поверхности. Это двумерный геометрический образ. Плоскость считается бесконечной, не имеющей толщины и непрозрачной.

ПЛОСКОСТЬ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ. Плоскость, расположенная наклонно ко всем плоскостям проекций.

ПЛОСКОСТЬ УРОВНЯ. В начертательной геометрии - плоскость, параллельная какой-либо плоскости проекций. В стереометрии - плоскость, параллельная основной плоскости.

ПЛОСКОСТЬ ПРОЕЦИРУЮЩАЯ. Плоскость, перпендикулярная какой-либо плоскости проекций.

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ - одномерный геометрический образ, имеющий только длину. Прямая - бесконечная линия.

ПРЯМАЯ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ. Прямая, расположенная наклонно ко всем плоскостям проекций. Отрезок такой прямой проецируется на плоскости проекций с искажением; все проекции плоскости меньше натуральной величины.

ПРЯМАЯ УРОВНЯ. Прямая, параллельная какой-либо плоскости проекций.

ПРЯМАЯ ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ. Прямая, расположенная в пространстве, параллельная или перпендикулярная какой-либо плоскости проекций. Если такая прямая перпендикулярна к одной плоскости проекций, то она одновременно параллельна двум другим. Прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтальной (горизонталь). Прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций, называется фронтальной (фронталь). Прямая, параллельная профильной плоскости проекций, называется профильной (профиль).

ПРЯМЫЕ ПРОЕЦИРУЮЩИЕ. Прямые, перпендикулярные к плоскостям проекций. Прямая, перпендикулярная к горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтально проецирующей. Прямая, перпендикулярная к фронтальной плоскости проекций, называется фронтально проецирующей. Прямая, перпендикулярная к профильной плоскости проекций называется профильно проецирующей.

ТОЧКА. Одно из основных понятий геометрии. Простейший неделимый элемент геометрического пространства. Несколько древне-классических определений: 1. Точка есть то, то не имеет частей (Эвклид); 2. Концы линий суть точки (Эвклид); 3. То, что не имеет частей, но имеет положение (Аристотель). На чертеже мы имеем не геометрическую точку, а ее изображение (образ), которое обладает некоторыми малыми размерами. Это изображение мы условно называем точкой и локально определяем как место пересечения двух линий.

ТОЧКИ КОНКУРИРУЮЩИЕ. Две точки А и В, расположенные на одном проецирующем луче, имеют общую проекцию, обозначаемую на чертеже двумя буквами Аp Вp . Такая надпись (сначала видимая точка, затем невидимая) означает, что точка А в пространстве дальше отстоит от плоскости проекций, чем точка В. Точки, имеющие общую проекцию, названы конкурирующими профессором Д.Г. Анановым.

ФРОНТАЛЬ ПЛОСКОСТИ. Прямая, принадлежащая данной плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций.

Размещено на Allbest.ru

...