Математичне моделювання систем та процесів з використанням неявних і вироджених еволюційних рівнянь

Размещено на http://www.allbest.ru/

ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ РАДІОЕЛЕКТРОНІКИ

УДК 517.9+517.958:[532+535+536.24+621.372.8]

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора технічних наук

Математичне моделювання систем та процесів з використанням неявних і вироджених еволюційних рівнянь

01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи

Власенко Лариса Андріївна

Харків - 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Харківському національному університеті ім. В.Н. Каразіна.

Науковий консультант - доктор фізико-математичних наук, професор Руткас Анатолій Георгійович, Харківський національний університет ім. В.Н. Каразіна, завідувач кафедри моделювання та математичного забезпечення ЕОМ.

Офіційні опоненти:

доктор технічних наук, професор Гімпілевич Юрій Борисович, Севастопольський національний технічний університет, завідувач кафедри радіотехніки;

доктор технічних наук, професор Михальов Олександр Ілліч, Національна металургійна академія України, завідувач кафедри інформаційних технологій та систем, м. Дніпропетровськ;

Заслужений діяч науки і техніки України, доктор фізико-математичних наук, професор Яковлев Сергій Всеволодович, Харківський національний університет внутрішніх справ, професор кафедри прикладної математики.

Провідна установа - Національний технічний університет України “КПІ”, кафедра прикладної математики, м. Київ.

Захист відбудеться “ 24 ” жовтня 2006 р. о 13 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.052.02 у Харківському національному університеті радіоелектроніки за адресою: 61166, м. Харків, пр. Леніна, 14.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Харківського національного університету радіоелектроніки за адресою: 61166, м. Харків, пр. Леніна, 14.

Автореферат розісланий “ 14 ” вересня 2006 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради В.В. Безкоровайний.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Математичне моделювання технічних і фізичних систем та процесів може приводити до еволюційних рівнянь, у яких при старшій похідній за часом міститься матричний чи операторний коефіцієнт. Такі рівняння є неявними на відміну від явних рівнянь, у яких відсутній коефіцієнт при старшій похідній. Якщо у неявному рівнянні коефіцієнт при старшій похідний за часом є необоротний або вироджений оператор, зокрема, необоротна або вироджена матриця, то рівняння називається виродженим. Математичні моделі з неявними та виродженими рівняннями виникають в електродинаміці, радіотехніці, теплофізиці, процесах фільтрації рідини у гірничих породах, зокрема, нафтогазової рідини тощо.

Еволюція електромагнітного поля в хвилеводі описується рівняннями Максвелла, а матеріальні рівняння визначаються властивостями середовища, що заповнює хвилевід. Класичні матеріальні рівняння порушуються, коли з`являється дисперсія. Класичні матеріальні рівняння не виконуються у груп речовин, що мають назви феромагнетики, антиферомагнетики, сегнетоелектрики. Порушення класичних матеріальних рівнянь приводить до того, що одна із функцій, через які визначаються компоненти електромагнітного поля, задовольняє рівняння з частинними похідними не типу Коші-Ковалевської, яке не розв`язне відносно старшої похідної за часом. Більш того, диференціальний оператор при старшій похідній за часом може виявитися виродженим. Окремий випадок середовища з просторовою дисперсією, коли диференціальний оператор при старшій похідній є оборотним, було розглянуто А.Г. Руткасом. Низка прикладів рівнянь і систем рівнянь не типу Коші-Ковалевської було розглянуто Ж.-Л. Ліонсом. Для розв`язання рівняння не типу Коші-Ковалевської не можна застосувати добре відому теорему Коші-Ковалевської. Деякі задачі для рівнянь не типу Коші-Ковалевскої (такі рівняння також називають рівняннями типу Соболєва або не типу Ковалевської) було досліджено у роботах С.Л. Соболєва, С.А. Гальперна, А.Г. Костюченко, Г.І. Ескіна, А.Г. Руткаса. Аналіз різних типів рівнянь не типу Коші-Ковалевської ще далекий від завершення і одержані в попередніх дослідженнях результати не допускають застосування до рівнянь, що виникають у диспергуючих середовищах у хвилеводах.

Клас фізичних систем, перехідні режими яких моделюються диференціальними рівняннями із запізненням, утворюють електричні кола надвисоких частот. Ефект запізнення в них виникає через відрізки довгих ліній. Виродженість зумовлена конструкцією зосереджених елементів кола. Моделюванням електричних кіл тільки із зосередженими елементами займались А.Г. Руткас, S.L. Campbell, R. Mдrz, C. Tischendorf. Еволюція цих кіл описується виродженими диференціальними рівняннями без запізнення. R. Brayton розглядав лінію передачі без втрат. Рівняння із запізненням, що одержав R. Brayton, було явним. Не розглядались моделі електричних кіл із зосередженими і розподіленими елементами, що описуються виродженими рівняннями із запізненням. Явні рівняння із запізненням вивчали Беллман, К. Кук , А.Д. Мишкіс, Л.Е. Ельсгольц, С.Б. Норкін, J.K. Hale та ін. Теорія неявних і вироджених диференціальних рівнянь із запізненням розвивається порівняльно недавно, досліджень у цій галузі ще мало. Було досліджено лише деякі вузькі класи таких рівнянь - S.L. Campbell, L.M. Petzold, A. Favini, H. Tanabe.

При математичному моделюванні процесу фільтрації рідини у тріщинувато-пористих породах Г.І. Баренблаттом, Ю.П. Желтовим, І.Н. Кочиною було встановлено, що тиск рідини у тріщинах задовольняє невироджене рівняння не типу Коші-Ковалевської. Ця модель не припускає наявності зовнішнього джерела. Модель фільтрації рідини у середовищі з подвійною пористістю при наявності зовнішнього джерела було описано R.E. Showalter за умови, що розподілене джерело не залежить від тиску рідини у породі (вільне джерело). Не було описано математичну модель фільтрації рідини при наявності невільного джерела, вплив якого залежить від тиску. Математичне моделювання такого процесу природно здійснювати з використанням більш широкого класу неявних та вироджених еволюційних рівнянь - функціонально-диференціальних. Явні функціонально - диференціальні рівняння вивчались А.Д. Мишкісом, Г.А. Каменським, Н.В. Азбелевим, J.K. Hale V. Lakshmikantham та ін. Але були відсутні дослідження з вироджених функціонально-диференціальних рівнянь.

Математична модель процесу теплопровідності в ізотропному середовищі описується невиродженим рівнянням не типу Коші-Ковалевської. Якщо у цьому рівнянні теплоємкість перетворюється на нуль у деяких точках простору, то ми одержуємо вироджене рівняння теплопровідності, яке досліджувалось у роботах A. Favini, A. Yagi, R.E. Showalter. Вироджене рівняння теплопровідності у випадку теплообміну з навколишнім середовищем не було досліджено. Г. Дюво і Ж.-Л. Ліонс описали задачу теплообміну у випадку керування температурою усередині області із запізненням. Не було розглянуто і досліджено математичну модель процесу теплопровідності при керуванні температурою із запізненням у неоднорідному середовищі з виродженою теплоємкістю, коли температура задовольняє вироджене рівняння із зосередженим та розподіленім запізненням.

А.С. Розенфельд та Б.І. Яхінсон для врахування якісних особливостей перехідних процесів у електричних колах пропонують розглядати ідеалізовані пристрої, що є джерелами імпульсних збурень струмів та напруг. Побудову таких математичних моделей вони здійснюють за допомогою математичного апарату узагальнених функцій. Імпульсні диференціальні рівняння описують системи та процеси, що зазнають товчки або імпульси в певні моменти часу і, як наслідок, змінюють свій стан у моменти імпульсів. Не проводилось математичне моделювання перехідних режимів електричних кіл з використанням імпульсних диференціальних рівнянь, при якому у дискретні моменти часу струми і напруги зазнають короткочасні збурення. У загальному випадку перехідні режими таких кіл моделюються неявними або виродженими рівняннями з імпульсними діями. Явні диференціальні рівняння з імпульсними діями досліджувались В.Д. Мільманом, А.Д. Мишкісом, А.М. Самойленко, М.О. Перестюком, V. Lakshmikantham та ін. Немає досліджень з вироджених диференціальних рівнянь з імпульсними діями та їх застосувань до вивчення перехідних режимів електричних кіл та інших фізичних процесів, які описуються імпульсними диференціальними рівняннями з частинними похідними не типу Коші-Ковалевської.

Зв`язок з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконувалась у рамках наукових досліджень, які проводились на кафедрі моделювання та математичного забезпечення ЕОМ Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна: НДР 5-11-94 „Несамоспряжені операторні жмутки і вироджені диференціальні рівняння” (№ ДР 0194U012831), НДР 5-11-97 „Спектральний і еволюційний аналіз вироджених систем і його застосування” (№ ДР 0197U015782), НДР 5-11-00 „Спектральні властивості і розв`язність вироджених систем” (№ ДР 0100U003365), НДР 5-11-03 „Властивості еволюційних задач з неявн`ими диференціальними рівняннями та їх застосування” (№ ДР 0103U004227). У перелічених роботах здобувач приймала участь як відповідальний виконавець. Наукові дослідження були підтримані грантом Міжнародного Наукового Фонду та Уряду України (№ К4В100, 1995-1996 рр.), двома грантами університету Болоньї (Італія, 1996 р., 1998 р.), двома індивідуальними грантами Міжнародного Наукового Фонду Сороса (1995 р., 1996 р.).

Мета і задачі дослідження. Мета дослідження - розробка методів математичного моделювання систем та процесів з використанням неявних та вироджених еволюційних рівнянь та синтез відповідних математичних моделей; розвиток теорії еволюційних рівнянь, що виникають при побудові математичних моделей; розробка інструментальних засобів аналізу побудованих математичних моделей та чисельних методів.

Для досягнення поставленої мети розв`язуються наступні наукові задачі.

1. Ідентифікувати класи систем та процесів, математичне моделювання яких здійснюється з використанням неявних та вироджених еволюційних рівнянь; побудувати відповідні математичні моделі, а саме, математичну модель еволюції електромагнітного поля у скінченному хвилеводі з просторово-дисперсним середовищем, математичні моделі перехідних режимів електричних кіл із зосередженими та розподіленими елементами, а також у випадку короткочасних (імпульсних) збурень струмів та напруг на індуктивностях, ємностях і опорах, математичну модель процесу фільтрації рідини у тріщинувато-пористих породах з невільним розподіленим зовнішнім джерелом, математичну модель процесу керування температурою із запізненням у неоднорідному середовищі з виродженою тепломісткістю; виявлення параметрів моделей, що викликають ефект виродження.

2. Здійснити класифікацію та вивчити виділені класи неявних та вироджених еволюційних рівнянь, які виникають при математичному моделюванні систем та процесів, що досліджуються.

3. Застосувати результати, що одержані для рівнянь в абстрактних просторах, до різних класів мішаних задач та до диференціально-алгебраїчних рівнянь, що моделюють системи та процеси в еволюційній електродинаміці, радіотехніці, теплофізиці, фільтрації рідини тощо.

4. За допомогою одержаних теоретичних результатів провести якісний аналіз систем та процесів, що досліджуються; розробити та обґрунтувати чисельні методи побудови розв`язків відповідних вироджених мішаних задач.

Об`єкт дослідження - системи та процеси в електродинаміці, радіотехніці, теплофізиці, фільтрації рідини тощо, процес моделювання яких здійснюється з використанням неявних і вироджених еволюційних рівнянь. Предмет дослідження - властивості систем та процесів, математичні моделі яких містять неявні та вироджені еволюційні рівняння.

Методи дослідження. Для побудови математичних моделей використовуються методи еволюційної електродинаміки, теорія кіл із зосередженими та розподіленими елементами, механіка рідини у пористих середовищах. Для дослідження неявних та вироджених еволюційних рівнянь використовуються методи нелінійного аналізу, теорії операторів, метод перетворення Лапласа вектор-функцій у банахових просторах, спектральна теорія самоспряжених та несамоспряжених операторів, теорія півгруп операторів, теорія аналітичних та мероморфних функцій. Для розробки чисельних методів використовується теорія різницевих схем.

Наукова новизна одержаних результатів полягає у наступному.

1. Дістала подальший розвиток запропонована А.Г. Руткасом математична модель еволюції електромагнітного поля у скінченному циліндричному хвилеводі з шаровим просторово-дисперсним середовищем. У побудованій в дисертації математичній моделі враховано таку дисперсію середовища, при якій у матеріальних рівняннях вектор електричної індукції залежить не тільки від вектора напруги електричного поля, але і від його перших двох просторових похідних. У цьому випадку одна із функцій, за допомогою яких виражаються компоненти електромагнітного поля, задовольняє вироджене рівняння з частинними похідними не типу Коші-Ковалевскої, що не розв`язне і не розв`язується відносно старшої похідної за часом.

2. Вперше побудовано математичні моделі перехідних режимів електричних кіл надвисоких частот, що містять неявні та вироджені диференціально-різницеві рівняння. Ефект запізнення викликають відрізки довгих ліній, а виродженість зумовлена конструкцією та розташуванням зосереджених параметрів.

3. У запропонованій математичній моделі фільтрації рідини у тріщинувато-пористих породах на відміну від моделі фільтрації рідини, описаної Г.І. Баренблаттом, Ю.П. Желтовим, І.Н. Кочиною, припускається наявність невільного зовнішнього джерела, вплив якого залежить від тиску. Це приводить до того, що тиск рідини у тріщинах задовольняє вироджене рівняння не типу Коші-Ковалевскої. Це рівняння може бути нелінійним, а з урахуванням запізнення може відноситись до класу функціонально-диференціальних рівнянь.

4. Побудовано математичну модель теплообміну при керуванні температурою із запізненням у неоднорідному середовищі з теплоємкістю, що вироджується. Температура задовольняє неявне диференціальне рівняння із зосередженим та розподіленим запізненням, причому це рівняння може бути виродженим.

5. Побудовано математичні моделі перехідних режимів електричних кіл із зосередженими елементами у випадку короткочасних зовнішніх збурень струмів та напруг. За рахунок розташування та конструкції зосереджених параметрів перехідні режими описуються диференціально-алгебраїчними рівняннями.

6. Здійснено класифікацію та вивчено різні класи неявних та вироджених еволюційних рівнянь, які виникають при математичному моделюванні систем і процесів, що досліджуються, зокрема, диференціально-операторні рівняння високого порядку, лінійні диференціально-різницеві рівняння, півлінійні функціонально-диференціальні рівняння, лінійні диференціальні рівняння із зосередженим та розподіленим запізненням, диференціальні рівняння з імпульсними діями, різницеві рівняння, що апроксимують диференціально-алгебраїчні рівняння; одержано теореми існування та єдиності розв`язку, з`ясовано умови узгодження на початкові дані, що забезпечують розв`язність виродженого рівняння, одержано явні формули для розв`язків та відповідних початкових даних, встановлено умови апроксимації довільного розв`язку за допомогою елементарних розв`язків, умови існування експоненціально обмежених та надекспоненціально зростаючих розв`язків, умови неперервної залежності розв`язків від початкових даних, умови існування періодичних розв`язків і умови звідності.

7. Проведено якісний аналіз систем та процесів в межах побудованих математичних моделей за допомогою одержаних теоретичних результатів. Зокрема, досліджено еволюцію електромагнітного поля у хвилеводі з просторово-дисперсним середовищем, вивчено перехідні режими електричних кіл із зосередженими та розподіленими елементами, здійснено аналіз процесу фільтрації рідини у тріщинувато-пористих породах з розподіленим невільним зовнішнім джерелом, вивчено процес розподілення температури із запізненням у неоднорідному середовищі з теплоємкістю, що вироджується, реалізовано розрахунок струмів та напруг електричних кіл з імпульсними збуреннями.

8. Розроблено та обґрунтовано чисельні методи знаходження розв`язків вироджених мішаних задач - чисельний метод побудови розв`язку виродженої електродинамічної системи не типу Ковалевської, що виникає в еволюційній задачі електродинаміки, та чисельний метод знаходження тиску рідини у тріщинах у випадку одномірної фільтрації у шаровому середовищі.

Обґрунтованість і достовірність наукових положень і висновків зумовлена використанням математичних методів і строгих математичних доведень для дослідження побудованих математичних моделей, що описують системи та процеси в електродинаміці, радіофізиці, теплофізиці, фільтрації рідини; ясним тлумаченням результатів, що не суперечать відомим даним.

Практичне значення одержаних результатів. У роботі запропоновано та обґрунтовано нові математичні методи аналізу систем та процесів у електродинаміці, радіотехніці, теплофізиці, фільтрації рідини. Математичне моделювання цих систем та процесів реалізується з використанням неявних і вироджених еволюційних рівнянь. Для дослідження побудованих моделей виникла необхідність розвитку математичної теорії різних класів неявних та вироджених еволюційних рівнянь.

Результати дисертації мають впровадження. Математична модель фільтрації рідини у тріщинувато-пористих породах при наявності невільного розподіленого зовнішнього джерела дозволила забезпечити більш достовірне прогнозування просторово-часової зони впливу двофазової рідини, що фільтрується у неоднорідній гірничий породі, та забезпечити достовірність параметрів масопереносу в Українському науково-дослідному інституті екологічних проблем (акт впровадження від 20.12.05 р.). Математичні моделі перехідних режимів електричних кіл з відрізками довгих ліній та чисельний метод побудови розв`язків електродинамічної системи не типу Коші-Ковалевської дозволили забезпечити аналіз і точне описання довільної еволюції хвилевідних мод і зменшити економічні витрати на проведення експерименту і створення лабораторних зразків у відділі радіофізичної інтроскопії ІРЕ НАН України (акт впровадження від 13.01.06 р.). Математична модель еволюції електромагнітного поля у скінченному хвилеводі з металевими заглушками (резонаторі), чисельний метод побудови розв`язків відповідної електродинамічної системи та методика дослідження еволюції електромагнітного поля дали змогу забезпечити необхідну точність розв`язання електродинамічної задачі у циліндричному резонаторі з дисперсним середовищем та одержати достовірні дані о фізичних особливостях формування електромагнітного поля у випадку штучного композитного середовища з металевими включеннями у відділі теоретичної радіофізики Радіоастрономічного інституту НАН України (акт впровадження від 19.01.06 р.). Умови існування та єдиності розв`язків початково-крайових задач електродинаміки, умови апроксимації довільного розв`язку за допомогою елементарних розв`язків, явні формули для розв`язків були використані при розробці математичних моделей активних інтегрованих антен по д/б темі № 154-1 „Фундаментальні дослідження мікрохвильових активних антен в інтересах створення ефективних, інформаційних і енергетичних РЕС” на кафедрі ОРТ ХНУРЕ (акт впровадження від 20.01.06 р.). Методика аналізу перехідних процесів в електричних колах із зосередженими та розподіленими елементами, математична модель еволюції нелінійного електричного кола з імпульсними діями, характеристика множини припустимих перехідних і початкових станів електричного кола були впроваджені в учбовий процес ХНУРЕ по дисципліні „Основи теорії кіл” (акт впровадження від 20.01.06 р.). Математична модель фільтрації рідини в тріщинувато-пористих породах при наявності невільного розподіленого зовнішнього джерела, чисельний метод знаходження тиску рідини дозволили одержати достовірні дані о властивостях процесу фільтрації, підвисити якість аналізу перехідних процесів фільтрації у гірничих породах, знизити економічні ризики під час проектування бурових робіт у розробках лабораторії випробування пластів Полтавського відділення Українського державного геологорозвідувального інституту (акт впровадження від 27.01.06 р.). Математичні моделі та методи аналізу еволюційних процесів, що описуються диференціально-алгебраїчними рівняннями, неявними та виродженими різницевими рівняннями були впроваджені в учбовому процесі на кафедрі математичного моделювання та соціальної інформатики у Полтавському університеті споживчої кооперації України при виконанні курсового проектування (акт впровадження від 27.01.06 р.).

Особистий внесок здобувача. Усі наукові результати з спільних робіт, що включені в дисертацію, належать особисто автору. Результати з спільних статей, що належать співавторам, у дисертацію не включені. У роботах, що опубліковані у співавторстві, особистий вклад дисертанта полягає у наступному: [2] - розв`язання задачі стабілізації вихідних сигналів для різницевої системи загального вигляду; [3] - теорема повноти електродинамічної системи не типу Ковалевської; [4] - розділи 3, 4; [5] - теорема апроксимації, застосування до диференціальних рівнянь з частинними похідними; [6] - теорема детермінованості; [9] - теорема існування періодичного розв`язку, теорема звідності; [10] - постановка задачі базисності, зв`язок резольвенти рівняння з перетворенням Лапласа від розв`язку; [11] - поділ змінних у рівняннях Максвелла у випадку скінченого хвилеводу, випадок гіперболічного жмутка операторів, друга теорема існування та єдиності для рівняння з гіперболічним спряженим характеристичним жмутком операторів, теорема існування та єдиності для негіперболічного характеристичного жмутка операторів, перше і третє твердження щодо застосувань абстрактних результатів до дослідження еволюції електромагнітного поля у скінченому хвилеводі з шаровим середовищем з просторовою дисперсією; [14] - дослідження нестаціонарних проекторів, теорема існування та єдиності для лінійного нестаціонарного рівняння, застосування до дослідження процесу фільтрації рідини; [15] - приклад з фізики, лема про гладкість спектральних проекторів, теореми існування та єдиності кусково-неперервного розв`язку на півосі, у випадку стаціонарного головного жмутка операторів, застосування до диференціальних рівнянь з частинними похідними; [17] - теореми існування та єдиності для рівнянь із запізненням, застосування до диференціально-алгебраїчних рівнянь і до рівнянь з частинними похідними; [18] --- глобальна теорема існування та єдиності, застосування до рівнянь з частинними похідними; [19] - глобальні умови існування та єдиності розв`язку, локальні умови існування та єдиності у випадку, коли стани належать довільній відкритій множині, неперервна залежність розв`язків від початкових даних, застосування до дослідження процесу фільтрації рідини; [21] - постановка задачі повнократної коректності, вибір методу дослідження повнократної коректності та формулювання тверджень; [25] - теореми 1,2, застосування до дослідження перехідних режимів електричних кіл; [26] - результати щодо лінійних рівнянь, застосування до рівнянь з частинними похідними.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідались та обговорювались на таких міжнародних конференціях, симпозіумах та семінарах: I,V Кримські осінні математичні школи-симпозіуми "Спектральные и эволюционные задачи" (м. Сімферополь, жовтень 1990 р., 19-30 вересня 1994 р.); Міжнародні конференції "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", присвячені 90- і 100-річчю від дня народження академіка І.Г. Петровського (м. Москва, Росія, 29 травня - 3 червня 1991 р., 22-27 травня 2001 р.); III Міжнародна конференція жінок-математиків (м. Вороніж, Росія, 29 травня-2 червня 1995 р.); семінари проф. A. Favini (м. Болонья, Італія, лютий-березень 1996 р. жовтень-листопад 1998 р.); V,VI Міжнародні конференції ім. акад. М. Кравчука (м. Київ, 16-18 травня 1996 р., 15-17 травня 1997 р.); Міжнародна конференція з математичного моделювання (м. Херсон, 3-10 вересня 1996 р.); Міжнародна конференція з функціонального аналізу (м. Київ, 22-26 серпня 2001 р.); Міжнародна конференція з функціонального аналізу та його застосуванням, присвячена 110-річчю від дня народження Стефана Банаха (м. Львів, 28-31 травня 2002 р.); Міжнародна конференція "Шості Боголюбовські читання" (м. Чернівці, 26-30 серпня 2003 р.); семінари кафедри моделювання та математичного забезпечення ЕОМ Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна; семінар відділу диференціальних рівнянь та теорії коливань Інституту математики НАН України (м. Київ, 13.02.2006).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано у 36 виданнях, у тому числі 1 монографія [1], 26 статей [2-27], 9 праць та тез міжнародних конференцій [28-36].

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, семи розділів із висновками, загального висновку, списку використаних джерел та додатку. Загальний обсяг роботи становить 331 сторінку, у тому числі список використаних джерел, що включає 221 найменування на 21 сторінці, додаток на 10 сторінках, 19 рисунків та 2 таблиці, з яких 12 рисунків займають 9 окремих сторінок та 1 таблиця займає 1 окрему сторінку.

Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету і задачі дослідження, вказано об`єкт, предмет і методи дослідження, визначено наукову новизну і практичне значення одержаних результатів. Зазначено особистий внесок здобувача у спільних публікаціях, вказано, де відбувалась апробація результатів роботи.

У дисертації досліджено різні класи систем та процесів, математичні моделі яких містять неявні та вироджені еволюційні рівняннями. Методи дослідження вимагають враховувати специфіку того чи іншого класу. Тому огляд літератури подано у кожному розділі дисертації окремо для конкретного класу систем, процесів чи рівнянь (за винятком розділу 5, для якого огляд літератури здійснено у розділі 4 для класу рівнянь, який охоплює рівняння цих двох розділів). математичний рівняння чисельний

У першому розділі дисертації побудовано декілька математичних моделей: математична модель еволюції електромагнітного поля у скінченному хвилеводі з дисперсним середовищем, математичні моделі перехідних режимів електричних кіл із зосередженими та розподіленими елементами, математична модель фільтрація рідини у тріщинувато-пористих породах з розподіленим невільним зовнішнім джерелом, математична модель теплообміну при керуванні температурою із запізненням у неоднорідному середовищі з теплоємкістю, що вироджується, математичні моделі перехідних режимів електричних кіл з неперервними живленнями та імпульсними збуреннями. Ці моделі поєднує спільне - вони містять неявні та вироджені еволюційні рівняння.

У підрозділі 1.1 побудовано математичну модель еволюції електромагнітного поля у скінченному циліндричному хвилеводі з неоднорідним шаровим просторово-дисперсним середовищем. Еволюція електромагнітного поля описується рівняннями Максвелла в диференціальній формі

(1)

а класичні матеріальні рівняння

(2)

порушуються із-за наявності дисперсії. Тут - напруга електричного поля, - напруга магнітного поля, - електрична індукція, - магнітна індукція, - нормаль до поверхні, - діелектрична проникливість середовища, - магнітна проникливість середовища.

Співвідношення (2) порушуються у середовищах, коли з`являється дисперсія. У диспергуючих середовищах знак функцій не обмежений ніякими фізичними умовами, так що можуть приймати як додатні, так і від`ємні значення, також можуть бути комплексними. Співвідношення між і (2) виявляються невиконаними у групи речовин, що мають назви феромагнетики та антиферомагнетики. У іншої групи речовин, що мають назву сегнетоелектрики, порушується залежність від (2). У випадку середовища з просторовою дисперсією вектор індукції може залежати не тільки від поля , але й від його просторових похідних. В дисертації допускається, що хвилевід заповнено шаровим середовищем з просторовою дисперсією і цьому середовищу відповідають матеріальні рівняння вигляду

(3)

де - функції від . А.Г. Руткасом було розглянуто окремий випадок матеріальних рівнянь (3), коли вектор поля однозначно визначається через вектор індукції . У дисертації цього не припускається.

У випадку ізотропного і однорідного середовища, що характеризується матеріальними рівняннями (2) зі сталими , досліджують монохроматичні електромагнітні поля вигляду

(4)

де - частота електромагнітних коливань. Вектор-функції представляють у вигляді суперпозиції так званих модових - і -хвиль, які утворюють повну систему. Модові - хвилі мають чисто поперечне магнітне поле (), модові - хвилі мають чисто поперечне електричне поле (). Систему модових - і -хвиль одержують шляхом відокремлення змінних від . Для немонохроматичного поперечного поля А.Г. Руткасом було запропоновано відокремлювати змінні від . Узагальнюючи вигляд модової -хвилі у хвилеводі, який заповнено ізотропним і однорідним середовищем, електромагнітне поле у випадку матеріальних рівнянь (3) будемо шукати у вигляді

(5)

Тут - достатньо гладкі скалярні функції, - достатньо гладкі двовимірні вектор-функції. Таке електромагнітне поле будемо називати модовим -полем.

Компоненти векторів і у (5) знаходяться за допомогою відокремлення змінних у рівняннях Максвелла (1). Функція є розв`язком задачі Неймана в двовимірній області:

(6)

Функція задовольняє рівняння

(7)

Припускаємо, що у поперечних перерізах і хвилевід обмежують металеві пластини. Це еквівалентно виконанню умов

(8)

Для однозначного знаходження розв`язку задачі (7),(8) задамо початкові умови

(9)

Нехай - сталі такі, що . Функції і вектор-функції знаходимо із співвідношень

, ,

Труднощі викликає знаходження функції , що задовольняє рівняння з частинними похідними (7) не типу Коші-Ковалевської. Позначимо через простір інтегровних з квадратом функцій на і через простір Соболєва порядку 2. Нехай У просторі мішана задача (7)-(9) допускає зображення у вигляді абстрактного рівняння

(10)

з початковими умовами

(11)

Оператори породжуються диференціальними виразами

і мають області визначення . Тут , , .

У підрозділі 1.2 побудовано математичні моделі перехідних режимів електричних кіл із зосередженими та розподіленими елементами. Математичні моделі містять вироджені диференціально-різницеві рівняння.

Струм і напруга у довгій лінії задовольняють систему телеграфних рівнянь

(12)

де - додатні сталі. Крайові умови визначаються законами Кірхгофа

та співвідношеннями між струмами і напругами зосереджених елементів - індуктивності, ємності, опору

Здійснюється перехід від крайової задачі для телеграфних рівнянь з частинними похідними до рівняння із запізненням за часом. Для цього значення функцій

(13)

на лівому кінці виражаються через значення на правому кінці :

(14)

Тут - хвилевий опір, - хвилева швидкість. Одержані значення (14) підставляються у крайові умови. Тоді крайові умови для рівняння (12) на кінці приймають вигляд

(15)

Де ,

Коефіцієнт рівняння (15) є виродженою матрицею.

При математичному моделюванні перехідних режимів нестаціонарного електричного кола потрібно врахувати, що параметри зосереджених елементів індуктивність , ємність та опір залежать від часу .

Також маємо закони Кірхгофа

Розмірковуючи, як і для попереднього кола, в позначеннях

одержуємо нестаціонарне вироджене рівняння із запізненням

(16)

У підрозділі 1.3 побудовано математичну модель фільтрації рідини у тріщинувато-пористих породах з невільним розподіленим зовнішнім джерелом. Як і в моделі фільтрації рідини Г.І. Баренблатта, Ю.П. Желтова та І.Н. Кочиної, припускається, що порода складається з пористих блоків, відокремлених один від другого системою тріщин. Система тріщин достатньо розвинута, тобто у кожній точці простору і у момент часу розглядається не один тиск рідини, як у класичній теорії фільтрації, а два: - тиск рідини у тріщинах та - тиск рідини у порах. Аналогічно у кожній точці простору та у кожний момент часу розглядається два вектора швидкості фільтрації рідини: - вектор швидкості фільтрації рідини у тріщинах та - вектор швидкості фільтрації рідини у порах. В моделі фільтрації Г.І. Баренблатта, Ю.П. Желтова і І.Н. Кочиної тиск рідини у тріщинах задовольняє рівняння

(17)

де - коефіцієнт, що характеризує тріщинувату породу, - коефіцієнт п`єзопровідності, - оператор Лапласа. Ця модель не припускає наявності зовнішнього джерела. У дисертації припускається наявність невільного зовнішнього джерела, вплив якого залежить від тиску. При цьому маса рідини , яку пори одержують від зовнішнього джерела, залежить від спадання тиску у порах порівняльно з початковим тиском , від швидкості відтоку рідини з пір у тріщини , а також від нелінійного впливу джерела :

де . При виводі рівняння для тиску рідини у тріщинах використовується закон Дарсі, що зв`язує швидкість фільтрації та градієнт тиску, закон збереження маси рідини у тріщинах, в якому враховується маса рідини . Наведені міркування приводять не до рівняння (17), а до рівняння вигляду

(18)

де - зміщений тиск рідини у тріщинах з нульовими умовами на межі, . Надалі обмежимося випадком одновимірної фільтрації, коли . У просторі крайова задача для рівняння (18) допускає зображення у вигляді абстрактного півлінійного рівняння типу Соболєва

(19)

Якщо врахувати запізнення у задачі фільтрації, то замість рівняння (18) маємо рівняння

(20)

Символ М.М. Красовського розуміється як функція від і (): У просторі крайова задача для рівняння (20) допускає зображення у вигляді півлінійного функціонально-диференціального рівняння

(21)

У підрозділі 1.4 побудовано математичну модель керування температурою із запізненням у неоднорідному середовищі з виродженою теплоємкістю. Рівняння теплопровідності в ізотропному середовищі має вигляд

(22)

де - температура у точці простору та у момент часу , - щільність, - питома теплоємкість, - коефіцієнт теплопровідності, - щільність теплових джерел. Якщо середовище не є однорідним, то залежать від . Тут теплоємкість . Якщо функція обертається на нуль при деяких , то рівняння (22) є виродженим рівнянням теплопровідності. Таке рівняння досліджували A. Favini, A. Yagi, R.E. Showalter. Зараз припускаємо, що можна керувати температурою, міняючи її певним чином з часом, як це описано у монографії Г. Дюво і Ж.-Л. Ліонса. Нас буде цікавити керування температурою всередині області із запізненням. Зокрема, розглянемо рівняння теплопровідності у стержні у випадку теплообміну з навколишнім середовищем

(23)

де . Тут доданки відповідають втратам тепла. Функція являється невід`ємною і, взагалі кажучи, може перетворюватися на нуль. Тому в загальному випадку рівняння (23) є виродженим. В абстрактній формі у просторі рівняння (23) допускає зображення у вигляді функціонально-диференціального рівняння

(24)

з диференціальними операторами , операторами множення на функції.

У підрозділі 1.5 побудовано математичні моделі перехідних режимів електричних кіл з неперервним живленням та імпульсними збуреннями. Перехідні режими цих кіл описуються імпульсними диференціально-алгебраїчними рівняннями. На вхід подаються задані струм і напруга . Вихідні струм і напруга , а також внутрішні струми та напруги потрібно знайти. Нелінійні функції відповідають омічним втратам напруг в індуктивностях, функції характеризують нелінійні витоки струмів в ємностях. Виконуються закони Кірхгофа

(25)

і співвідношення між струмами та напругами

(26)

Тут - власні індуктивності котушок, - взаємна індуктивність, - ємності. Ступінь індуктивного зв`язку характеризує коефіцієнт . Відомо, що .

В позначеннях

за допомогою (25),(26) одержуємо неявне рівняння

(27)

Рівняння (27) будемо розглядати на проміжку . Припускається, що у моменти часу з відкритого інтервалу струми і напруга можуть підвергатися імпульсним збуреням (усі або деякі)

(28)

де - функції з у . Фізичними причинами імпульсів можуть бути стрибки струмів та напруг на індуктивностях та ємностях. У точках рівняння (27) не задовольняється. Вхідний струм і вхідна напруга усюди неперервні. Для лінійного кола . Замість рівняння (26) маємо лінійне рівняння

(29)

де , а також лінійні імпульсні дії

(30)

Тут - матриця розміру , - тривимірні вектори.

У розділах 2-6 дисертації досліджено різні класи неявних та вироджених еволюційних рівнянь, які виникають при математичному моделюванні систем та процесів, що досліджуються.

У другому розділі дисертації досліджено неявні та вироджені диференціально-операторні рівняння високого порядку, що виникають в еволюційних моделях електродинаміки. Ці рівняння мають вигляд

(31)

де операторні коефіцієнти діють в абстрактних просторах (гільбертових або банахових). У підрозділі 2.1 дано огляд літератури з неявних диференціально-операторних рівнянь високого порядку та математичних моделей, в яких ці рівняння зустрічаються.

У підрозділі 2.2 вивчаються неявні і вироджені диференціально-операторні рівняння (10) у гільбертових просторах. Доведено теореми існування та єдиності початкової задачі (10),(11), наведено явні формули для розв`язків. У підрозділі 2.3 рівняння (10) досліджується у банаховому просторі. Припускається, що в околі нескінченно віддаленої точки для жмутка операторів існує резольвента

(32)

і для цієї резольвенти виконується оцінка

(33)

У цьому випадку для дослідження рівняння (10) можна застосувати метод спектральних проекторів типу Ріса. Відома теорема Ріса о звідності замкненого лінійного оператора, спектр якого містить ізольовану обмежену компоненту. Розповсюдження цього результату на випадок жмутка операторів було одержано А.Г. Руткасом у 1975 році. Нам потрібен цей результат в окремому випадку, коли при якомусь невід`ємному цілому виконана оцінка

(34)

Тоді існують взаємно доповняльні спектральні проектори

(35)

що визначені на спільній області визначення операторів , і взаємно доповняльні проектори

(36)

що визначені на . Ці проектори породжують прямі розклади

(37)

такі, що оператори відображають у (). Через позначаються одиничні оператори у просторах відповідно. Якщо - обмежені оператори (зокрема, матриці), то і тому

Оператор

(38)

переводить у і має обмежений обернений . У випадку оцінки (33) маємо

(39)

Одержано умови розв`язності задачі Коші (10),(11).

Теорема 2.5. Нехай виконується умова (33). Тоді для усяких векторів таких, що виконуються умови існує єдиний розв`язок задачі Коші (10),(11), причому для усіх .

Розв`язок має вигляд

де оператор-функції і визначаються збіжними за операторною нормою рядами

Для дослідження рівняння (10) у дійсних просторах переходимо до комплексних оболонок цих просторів і до комплексних розширень операторів .

У підрозділі 2.4 досліджується рівняння (31) більш загального вигляду, ніж рівняння (10). Вивчення цього рівняння викликано не простим бажанням узагальнити результати на більш широкі класи абстрактних рівнянь. Існує низка систем та процесів, математичне моделювання яких здійснюється за допомогою рівняння (31). Наприклад, такі рівняння виникають при математичному моделюванні течії в`язко-пружної рідини - узагальнені рідини Максвелла, Олдройта, Кельвіна-Фойгта та ін. А.Н. Осколковим показано, що порядок рівняння залежить від числа часів релаксації та числа часів запізнення. У дисертації доведено, що будь-який розв`язок рівняння (31) можна наблизити розв`язками якомога високої гладкості; одержано умови апроксимації довільного розв`язку рівняння (31) лінійними комбінаціями елементарних розв`язків (повнота елементарних розв`язків у просторі всіх розв`язків).

У третьому розділі дисертації досліджено неявні та вироджені диференціально-різницеві рівняння, що описують математичні моделі радіотехнічних систем та інших фізичних процесів з урахуванням запізнення. Це є наступні рівняння

(40)

Рівняння (15) і (16), що описують еволюцію струмів та напруг електричних кіл із зосередженими та розподіленими елементами, є окремими випадками рівняння (40). Математичні моделі реальних фізичних процесів часто описуються диференціальними рівняннями з частинними похідними. Урахування запізнення в таких моделях приводе до дослідження рівняння (40) в абстрактному просторі з диференціальними операторами . Припускається, що у (40) замкнені лінійні оператори діють з комплексного банахового простору у комплексний банаховий простір і мають області визначення відповідно; лінеал не залежить від , ; запізнення упорядковані: . У підрозділі 3.1 дано огляд літератури з диференціальних рівнянь з відхиленням аргументу. У підрозділі 3.2 досліджено стаціонарні рівняння (40) з операторами , що не залежать від часу. У підрозділі 3.3 розглянуто загальний випадок рівняння (40). У підрозділах 3.4,3.5 вивчаються окремі випадки рівняння (40): випадок стаціонарного головного жмутка операторів та рівняння запізненого типу з нульовими операторами

(41)

Для рівнянь (40) і (41) ставляться початкові умови або неперервного типу

(42)

або розривного типу

(43)

Виконання спеціальних умов узгодження на початкові дані (43) (або (42)) потрібно не тільки для забезпечення неперервності розв`язку виродженого рівняння, але й для розв`язності початкової задачі взагалі. Вивчаються кусково-неперервні, неперервні та неперервно диференційовні розв`язки рівняння (40) або (41). Для кусково-неперервних та неперервних розв`язків рівняння задовольняється майже скрізь. Для рівнянь (40) і (41) доведено теореми існування та єдиності для різних класів розв`язків. Одержано умови узгодження на початкову функцію, що гарантують існування різних типів розв`язків. До дослідження рівнянь застосовується метод спектральних проекторів типу Ріса. Цей метод поширено на випадок нестаціонарних жмутків операторів і нестаціонарних спектральних проекторів ().

У четвертому розділі дисертації досліджено неявні та вироджені півлінійні функціонально-диференціальні рівняння (21), що виникають в еволюційних моделях. У підрозділі 4.1 дано огляд літератури з теорії функціонально-диференціальних рівнянь. Функціонально-диференціальні рівняння являються узагальненням звичайних диференціальних рівнянь, інтегро-диференціальних рівнянь, диференціальних рівнянь з відхиленням аргументу тощо. Єдина точка зору на класи вказаних рівнянь дозволяє дати низку важливих властивостей, які характерні для цих класів. Детальний розгляд представників окремих класів уточняє ці властивості або встановлює нові, які характерні тільки для цих класів. Під функціонально-диференціальним рівнянням звичайно розуміють рівняння вигляду

(44)

де - загальноприйняте у теорії функціонально-диференціальних рівнянь позначення для функції від ():

(45)

Це позначення було запропоновано М.М. Красовським при розгляді рівняння із запізненням за часом у функціональному просторі неперервних функцій . Другий аргумент відображення є функція із . Рівняння (45) включає різні класи диференціальних рівнянь. Якщо , то (45) є звичайне диференціальне рівняння Диференціальне рівняння із запізненням допускає зображення у вигляді (45) з функцією Інтегро-диференціальне рівняння

також включається до рівняння (45), коли .

У дисертації припускається, що в рівнянні (21) оператори є замкнені та лінійні і діють із банахова простору у банахів простір , , f - відображення із у . Ставиться початкова умова

(46)

Для рівняння (21) у розгляд вводиться характеристична оператор-функція (характеристичний жмуток операторів) та його резольвента (32). У підрозділі 4.2 досліджуються рівняння (21) у випадку, коли резольвента (32) має ізольовану особливість у нескінченно віддаленій точці, а саме задовольняє обмеження (33). У цьому випадку для дослідження рівняння (21) застосовується метод спектральних проекторів типу Ріса. Одержано локальні та глобальні теореми існування та єдиності розв`язку, вказано умови неперервної залежності розв`язків від початкових даних.

Теорема 4.1. Нехай виконується умова (33). Припустимо, що функція є неперервною за і функції задовольняють умови Ліпшиця

для усіх з невід`ємними сталими , що не залежать від і

(47)

Тоді для будь-якої функції такої, що , і , задача (21),(46) має єдиний розв`язок на всьому інтервалі .

Типовий підхід до дослідження явних півлінійних рівнянь

(48)

полягає в переході класичним методом варіації сталих до інтегрального рівняння. Рівняння параболічного типу допускають такий перехід за допомогою півгрупи . Рівняння (48) має параболічний тип, якщо резольвента задовольняє умову

Рівняння (21) природно назвати параболічним, якщо резольвента (32), що відповідає лінійній частині цього рівняння, задовольняє оцінку

(49)

Відповідний жмуток операторів також будемо називати параболічним. У підрозділі 4.3 досліджуються неявні і вироджені функціонально-диференціальні рівняння (21) параболічного типу. У пункті 4.3.1 дано огляд літератури щодо півлінійних параболічних рівнянь. У пункті 4.3.2 встановлено властивості параболічного жмутка операторів. Згідно означенню Хіле оператор-функція є псевдорезольвентою: За допомогою узагальнення ергодичних теорем Хіле для псевдорезольвент у рефлексивному просторі у дисертації одержано прямі розклади простору і лінеалу

такі, що оператори переводять у . У дисертації встановлено конструкції проекторів на відповідно (). Оператор переводить у і має обернений , визначений на . Оператор є, взагалі кажучи, необмеженим. Нехай - звуження відповідно операторів на (). У просторі оператор є твірний оператор аналітичної півгрупи класу . У пунктах 4.3.3 і 4.3.4 одержано локальні та глобальні теореми існування та єдиності розв`язку, встановлено умови неперервної залежності розв`язків від початкових даних.

Теорема 4.6. Нехай - рефлексивний простір і виконується оцінка (49). Припустимо, що значення функції належать , функції () є неперервними за і виконано умови Ліпшиця

для всіх , зі сталою такою, що

Тоді для будь-якої функції такої, що та існує границя

задача (21),(46) має єдиний розв`язок на всьому інтервалі .

У п`ятому розділі досліджено лінійні диференціальні рівняннями із зосередженим та розподіленим запізненням

(50)

Абстрактна форма (24) рівняння теплопровідності (23) із запізненням у неоднорідному середовищі з теплоємкістю, що вироджується, є окремим випадком рівняння (50). Диференціально-різницеве рівняння (40) із зосередженими запізненнями теж є окремим випадком рівняння (50), коли відсутній інтегральний доданок (розподілене запізнення), тобто . У (50) припускається, що - замкнені лінійні оператори, що діють у комплексних банахових просторах, і мають області визначення відповідно; - оператор-функція зі значеннями у просторі обмежених лінійних операторів і інтегровна за Бохнером на ; - локально інтегровна за Бохнером на вектор-функція; ; . У розділі 5 пропонується ще один підхід для вироджених рівнянь із запізненням (50), що відрізняється від методів із розділу 3. Цей підхід не тільки не припускає виконання умови (44) для резольвенти , але навіть не припускає оберненість головного жмутка операторів , що відповідає рівнянню (50). До дослідження рівняння (50) застосовується метод перетворення Лапласа для вектор-функцій у банаховому просторі. У розгляд вводиться характеристична оператор-функція рівняння (50), що визначена на :

Побудовано розв`язки з експоненціальним і надекспоненціальним зростанням, доведено теорему єдиності, описано множину припустимих початкових функцій, доведено теорему повноти елементарних розв`язків.

Теорема 5.3. Нехай функція допускає перетворення Лапласа з абсцисою збіжності . Нехай також на прямій існує обмежений резольвентний оператор , норми () оцінюються через для деякого і є скінченними інтеграли від функцій (). Тоді для будь-яких векторів , комплексних чисел із півплощини і цілих чисел вектор-функція

є розв`язком рівняння (50).

У шостому розділі дисертації досліджено неявні та вироджені імпульсні диференціальні рівняння і різницеві рівняння, що виникають у математичних моделях систем та процесів. У підрозділі 6.1 дано огляд літератури. У підрозділі 6.2 одержано теореми існування та єдиності для імпульсних диференціально-алгебраїчних рівнянь (27),(28) та (29),(30). Тут - матриці, - функції із у , - неперервна функція із у , моменти часу занумеровані . Припускаємо, що рівняння (27) задовольняється для всіх і , а у моменти часу виконуються імпульсні дії (28). Для рівняння (27) з імпульсними діями задамо початкову умову

(51)

Рівняння (27) з необоротною матрицею також називають диференціально-алгебраїчним. Рівнянню (27) відповідає характеристичний жмуток матриць . Припускається, що жмуток матриць є регулярний, тобто тотожньо по не дорівнює нулю. Це припущення означає, що для матриць виконано обмеження (34), де визначається за формулою (32). Тому можна застосувати метод спектральних проекторів типу Ріса, який було описано у попередніх розділах. Дві пари взаємно доповняльних проекторів у просторі (або ) визначаються за формулами (35) і (36). Введемо у розгляд матрицю

де визначається за формулою (38). Матриця нільпотентна з індексом нільпотентності . Припустимо, що , (). Позначимо

Умови розв`язності лінійної задачі (29),(30),(51) дає теорема 6.1 і наслідок із неї.

Теорема 6.1. Припустимо, що жмуток матриць є регулярним і , (). Якщо виконуються співвідношення

(52)

то задача з імпульсними діями (29),(30),(51) має єдиний розв`язок

...