Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Случайные события

Основные определения и свойства. Алгебра событий

1. Что называется случайным событием, связанным с опытом? Как определяется событие, противоположное данному? Приведите примеры.

Случайным событием А, связанным с опытом, называется любое подмножество в пространстве элементарных событий (где каждому эксперименту поставлено в соответствие множество , элементы которого отражают описание результатов эксперимента) . Оно состоит из всех элементарных исходов , которые благоприятствуют появлению события А. Противоположное событие для события А обозначается . В событие входят только те элементарных события, которые не благоприятны для А.

Пример. Если А есть выпадание четного числа очков при бросании игральной кости, то - это выпадание нечетного числа очков; если А - это попадание при выстреле, то - это промах.

2. Что называется суммой и произведением событий А и В? Имеют ли смысл сумма и произведение событий, относящихся к разным опытам? Перечислите все случай наступления события

Суммой (А+В) двух событий Аи В называется событие, состоящее в появлении события А или события В, или обоих сразу(события в одном опыте).

Произведением двух событий А и В называется событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий.

Нет, не имеет, тк сумма/произведение связаны с разными опытами, т.е. разными множествами . У них различны область и элементарные исходы.

Таблица, характеризующая событие АВ.

А	В	С	АВ+
1	1	1	1
1	1	0	1
1	0	1	0
1	0	0	1
0	1	1	0
0	1	0	1
0	0	1	0
0	0	0	1

3. Что называется пространством элементарных событий? Что называется случайным событием? Какие исходы называются благоприятными для события А? Что называется вероятностью события А? Приведите примеры. Можно ли в опыте с бросанием игральной кости считать элементарными следующие события: А - выпадение числа очков, меньших 2; В - выпадение более 2 очков?

Пространством элементарных событий называется множество , состоящее из исходов или элементарных событий Случайным событием называется любое подмножество пространства элементарных событий А, А= ,….

И исходы А - благоприятны для события А. Событие А наступило, если в опыте наблюдался один из благоприятных исходов. Вероятностью случайного события А называется отношение числа благоприятных исходов k к общему числу исходов n: P(A) = (в классическом определении вероятности).

Пример. В опыте с подбрасыванием монеты пространство элементарных событий состоит из двух исходов = , вероятность выпадания герба А= равна P(A)=0.5

В опыте с подбрасыванием игральной кости пространство элементарных событий состоит из 6 исходов = , А-выпадание четного числа, больше 3, т.е. А=, значит Р(А)=2/6=1/3.

У нас дано, что А - выпаданее меньше 2, а В - выпадание более 2. Т.о. А =, В=. А- это элементарное событие, тк состоит из 1 элементарного события; В - не будет элементарным событием, тк состоит из др. элементарных событий.

4. Какие события называются достоверными и невозможными и каковы их ве-роятности? Пусть A, B и C - случайные события. Перечислите все случаи наступления события .

Событие А, которое произойдет при любом испытании, называется достоверным

(А = ). Например, в опыте с подбрасыванием игральной кости событие А, задаваемое условием “число выпавших очков положительное”, будет достоверным. Вероятность достоверного события равна 1.

Событие А, которое не может произойти при испытании, называется невозможным (А=пуст.множ.). Например, событие А, задаваемое условием “при подбрасывании игральной кости выпало 7 очков”, является невозможным. Вероятность невозможного события равна 0.

Таблица, характеризующая событие А+С

А	В	С	А+С
1	1	1	1
1	1	0	0
1	0	1	1
1	0	0	1
0	1	1	1
0	1	0	0
0	0	1	1
0	0	0	0

5. В каком случае событие В называют следствием события А? Какие события называются равными? Объясните, почему .

Событие А влечет за собой событие В или событие В является следствием события А (А В), если каждый исход, благоприятный для А, является благоприятным и для В. События А и В равны (А=В) в случае, когда они являются следствиями друг друга.

I) ААВ+А

Если А наступило(А=1), то: 1) если В при этом наступило, то наступило АВ АВ+А наступило; 2) если В не наступило, то =1 А=1 АВ+А наступило.

II) АВ+АА

Если АВ+А наступило, то либо АВ наступило (т.е А наступило АВ+АА) либо наступило А (А наступилоАВ+АА).

Событие А наступает, т.к. любое событие А попадает в В или . А=А()=А*=А.

6. Пусть А и В - случайные события. Упростите выражение . Найдите событие, противоположное событию .

(А+В)(А+) = АА+А+АВ+В=А+А(В+)

7. Докажите, что . Что означает событие ? =**…..*. Наступление события А+….А означает, что наступает по меньшей мере одно из событий А,….,А. Наступление противоположного события означает, что не наступает ни одно из событий А,….,А или, по-другому, что наступают одновременно все события ,….,, но это в точности означает наступление события **…..*. Ч.т.д.

АА+ АА+ А А: означает наступление ровно двух событий из трех.

8. Докажите, что =++…..+. Что означает событие АА+ А А+ А А?

=++…..+. Наступление события А*….*А означает, что наступают каждое из событий А,….,А. Наступление противоположного события означает, что не наступает хотя бы одно из событий А,….,А или, по-другому, что наступают события ++…..+. Ч.т.д.

АА+ А А+ А А: означает наступление не меньше двух событий.

9. Сформулируйте статистическое определение вероятности. Почему вероятность удовлетворяет условию ? Возможны случаи Р=0 и Р=1? Ответ обоснуйте.

Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей. Случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае 0<m<n, значит, 0<m/n<1, следовательно, 0<P(A)<1. Вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству 0?Р(А)?1.

В качестве статистической вероятности события понимают относительную частоту или число, близкое к ней. Свойства вероятностей вытекают из классического определения и сохраняются для статистического.

А - случ.событие

N - кол-во опытов, N-благ.

Р(А)= ,

где NN, N0.

А- выпала игральная кость, числа которой > 7, P(A)=0

В- выпала игральная кость, числа которой < 7, P(A)=1

10. Сформулируйте и докажите теорему сложения вер-тей для любых событий A и B. Что такое правило сложения вер-тей для несовместных соб. A и B?

Теорема слож. вер-тей. Для любых соб. A и B выполняется формула P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)Док-во: Обозначим через n= - общее число исходов, ns- число исходов, благоприятных для соб. S.Тогда формулу = + -можно переписать след. образом nA+B=nA+nB-nAB(*).

Разделив почленно формулу (*) на n, получим формулу P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Правило сложения вер-тей. Если соб. A и B несовместны, то P(A+B)=P(A)+P(B).Док-во:Т.е. соб. A и B несовместны, то P(AB)=0, поэтому из формулы P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB), получим P(A+B)=P(A)+P(B).

11. Какие соб.A1,A2,…An называются попарно несовместными? Сформулируйте правило сложения вер-тей для попарно несовместных соб. A1, A2, …An. Приведите пример попарно несовместных событий A,B, и C, таких что P(A+B+C)<1?

A1,A2,…An - попарно несовместны, если они никогда не выполняются одновременно. Исходя из следствия, можно сказать, что вер-ть появления одного из нескольких попарно несовместных соб., безразлично какого, равно сумме вер-тей этих соб. P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).Док-во: Рассмотрим 3 соб.A,B,C. Т.к. рассматриваемые события попарно несовместны, то появление одного из трех событий, A,B,C, равносильно наступлению одного из двух соб,A+B и C, поэтому в силу указанной теоремы

P(A+B+C)=P =P(A+B)+P(C) =P(A)+P(B)+P(C).

Пример: Существуют 5 карточек с написанными цифрами: 1,2,3,4,5.

. Соб.А - вытащили карточку с числами, делящимися на 2, В - делящ. на 3, С - делящ. на 5. События А,В,С попарно независимы. АВ=, АС=, ВС=. P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C).

,,P(A+B+C) = 0,4+0,2+0,2=0,8<1

12. Объясните, почему Р(А+В)?Р(А)+Р(В) для событий A и B. Чему равна сумма P(A)+P() вероятностей противоположных событий? Ответ обоснуйте.

А и В - как сов., так и несов. события.

Р(А+В)=Р(А)+Р(В) - Р(АВ)

Когда мы считаем P(А+В), то при сложении Р(А) и Р(В) мы дважды учитываем пересечение, то есть его надо вычесть:

Р(А)+ Р(В)= Р(АВ) + Р(АВ) + Р(А + В)- Р(АВ) Р(А) + Р(В)=Р(АВ) + Р(А + В)

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

Р(А+В)?Р(А)+Р(В)

Исходя из следствий (теорема сложения вероятностей) можно сказать, что сумма вероятностей противоположных событий равна единице. P(A)+P()=1. Т.к. события A и несовместны, поэтому можно применить формулу P(A+B)=P(A)+P(B). При этом следует использовать то, что событие A+ - достоверное, поэтому его вер-ть =1.Также используют такую формулу, выражающую вер-ть события A через вер-ть противоположного события . P(A)=1-P()

13. Верно ли, что если событие A является следствием события B,то P(A) ? P(B)? Ответ обоснуйте.

Да, верно, т.к. согласно следствию: если соб B явл. следствием соб. A, то P(A) ? P(B). Т.к. A B, то B=A+(B/A)- сумма несовместных событий. Применяя правило сложения вер-тей, имеем P(B)=P(A)+P(B/A), откуда следует неравенство P(A) ? P(B)

Условная вероятность

14. Дайте определение условной вероятности и приведите его статистическую интерпретацию. Укажите примеры, когда: 1) ; 2)

Пусть А и В случайные события по отношению к какому либо опыту причем P(B) неравно 0. число РB(А)=Р(АВ)/Р(В) называют вероятностью события А при условии что событие В уже наступило или просто условной вероятностью А. Наличие условной вероятности (РB(А)?Р(А)) между событиями определяет их взаимосвязь.

Статистическая интерпретация: Рассмотрим некий эксперимент и 2 соб. А и В. Повторим опыт к раз. Пусть - число опытов, в которых произойдет событие А при условии что В тоже произойдет.

1) Р(А/B)>Р(А) бросаем кость, В- выпало четное, А-выпала двойка. Р(А)=1/6 РB(А)=1/3

2) P(A/B)=P(A) бросаем кость. А-выпало от 1 до 2, В-выпало от 2 до 4. P(A)=1/3, P(A/B)=1/3.

Независимые события и правило умножения вероятностей

15. Какие события называются независимыми? Докажите, что если события A и B независимы, то независимы события A и B

Если выполняется равенство РB(А)=Р(А) то события А и В независимы. Для двух независимых событий А и В имеем Р(АВ)=Р(А)*Р(В)- правило умножения вероятностей для двух событий.

А=АВ+АВ Р(А)= Р(АВ)+Р(АВ), или Р(А)=Р(АВ)+Р(А)Р(В). Отсюда Р(АВ)=Р(А)1-Р(В), или Р(АВ)=Р(А)Р(В)

16. Что такое правило умножения вероятностей: а) для независимых событий A и В? Для любых А и В? Запишите правило умножения вероятностей для трех (зависимых) событий A,B и C. Приведите примеры применения соответствующих формул.

Для двух независимых событий А и В имеем Р(АВ)=Р(А)*Р(В)- правило умножения вероятностей для двух событий( тк для независ событий РB(А)=Р(А)). Вероятность произведения равна произведению вероятностей. Для двух любых событий А и В выполняется равенство Р(АВ)=РB(А)Р(В). Для трех любых событий: Р(АВС)=Р(А)РА(В)РАВ(С).

Пример: 1)колода карт А- вытянем туза, В - вытянутая карта черной масти. Р(А)=4/36

Р(В)=18/36 всего в колоде два черных туза Р(АВ)=2/36, Р(АВ)=Р(А)*Р(В)

2) В- выпало четное, А-выпала двойка Р(В)=1/2 РB(А)=1/3, Р(АВ)=РB(А)Р(В)

Вероятность выпадения двойки 1/6.

17. Как определяется независимость в случае трех событий? Рассмотрите пример: пусть в опыте с бросанием двух монет события A, В, С означают: А - на первой монете выпал герб; B - на второй монете выпал герб; C - обе монеты упали на одну сторону. Будут ли независимы все три события? Почему?

События А1, А2….Аn являются независимыми если вероятность любого из них не меняется при наступлении какого угодно числа событий из остальных.

Р(АВ)=Р(А)*Р(В); Р(АС)=Р(А)*Р(С); Р(СВ)=Р(С)*Р(В) в системе

Р(АВС)=Р(А)Р(В)Р(С)

Все три события не будут независимы так как при событие С зависит от А и В:

Если А и В произошли то Р(С)=1, если А и В не произошли Р(С)=1, а если А произошло а В нет и наоборот Р(С)=0.Поэтому справедливо Р(АВС)=Р(А)РА(В)РАВ(С)= 1/2*1/2*1=1/4 а не Р(АВС)=Р(А)Р(В)Р(С)

18. Как соотносятся понятия независимые события А и В и несовместные события А и В? Следует ли из независимости событий А,В,С независимость событий АВ и ? Почему?

Если события независимы то вероятность их осуществления не меняется при наступлении любого количества из них. Если же события несовместны то наступление одного из них исключает наступление второго. В данном примере надо найти что АВ и независимы, то есть .

АB=AB*=AB(C+)=ABC+AB Из несовместности:

P(AB)=P(ABC)+P(AB)=P(AB)P(C)+P(AB)

Р(АВ)=Р(АВ)-Р(АВ)Р(С)=Р(АВ)(1-Р(С))=Р(АВ)*Р()

19. События А и В независимы, события А и С также независимы. При этом события В и С несовместны. Следует ли из этого, что события А и В+С независимы? Ответ необходимо обосновать.

В и С несовместны, т.е. Р(ВС)=0, т.к. В*С=

Р(А*(В+С))=Р(А)*Р(В+С)-?

+

Р(АВ)+ Р(АС)=Р(А)*Р(В)+Р(А)*Р(С)=Р(А)*(Р(В)+Р(С))=Р(А)*Р(В+С)

(из несовместности) .ч.т.д.

20. События А и независимы, события А и также независимы. При этом события В и С несовместны. Следует ли из этого, что события А и В+С независимы? Ответ необходимо обосновать.

В и С несовместны, т.е. Р(ВС)=0, т.к. В*С=

Р(А*(В+С))=Р(А)*Р(В+С) - ?

из того, что А и незав А и В независимы по теореме.

из того, что А и незав А и С

Р(А)=Р(А+АВ)=Р(А)+Р(АВ-т.к. несовместимы)=Р(А)*Р()+Р(АВ)

Р(АВ)=Р(А)-Р(А) Р()=Р(А)*Р(В), ч.т.д

Р(А(В+С)=Р(АВ+АС)=(А и С несовм)=Р(АВ)+Р(АС)=(А и В -независ, А и С-независ)= Р(А)*Р(В)+Р(А)*(Р(С))=Р(А)*(Р(В)+Р(С))=(В и С-несовм)=Р(А)*(Р(В+С)), ч.т.д.

21. Как определяется независимость событий А1,А2,……,Аn , в случае если n>2? Является ли равенство Р(А1А2А3)=Р(А1)*Р(А2)*Р(А3) достаточным для независимости событий А1,А2,А3? Ответ обоснуйте

События А1,А2,……,Аn называются независимыми в сов-ти, если для любого подмножества номеро/индексов:

k?n, выполняется:

Р(Аi1Ai2…Aik) =Р(Аi1)…Р(Aik)

Для независимости 3-х событий необходимо выполнить след. равенства.

Р(АВ)=Р(А)Р(В)

Р(АС)=Р(А)Р(С)

Р(ВС)=Р(В)Р(С)

Р(АВС)=Р(А)Р(В)Р(С)

22. Имеется две игральные кости: одна-симметричная, вторая-несимметричная. Пусть р-вероятность того, что при одновременном броске данных костей на них выпадет одинаковое число очков. Докажите, р=1/6.

А-несимметр. кость

Геометрический подход к определению вероятности

23. В чем состоит геометрический подход к определению вероятности? Как находится вероятность попадания в заданное множество, если точка случайно выбирается на отрезке AB? в треугольнике ABC?

Геометрический подход заключается на предположении, что попадание каждой точки в геометрическом множестве(), а в какое-то подмножество А. Вероятность Р(А) пропорциональна мере (длин, площади и т.д.) множества А, т.е. Р(А)= с(А) ), где (А)-мера множества А, а с=const. Т.к. P()=1, то с = 1/(), так что Р(А)=.

1) - АВ, F-отрезок СD, СDАВ. - длина, (CD)=d-c, (BA)=b-a, значит

Р(А)=.

2) -треугольник АВС, F-фигура . (F)=площадь F, ()-площадь АВС. Р(F)=площадь F/ площадь ABC.

24. В чем состоит геометрический подход к определению вероятности? Как находится вероятность попадания в заданное множество, если точка случайно выбирается в круге радиуса r? в кубе со стороной a?

Геометрический подход заключается на предположении, что попадание каждой точки в геометрическом множестве(), а в какое-то подмножество А.Вероятность Р(А) пропорциональна мере (длин, площади и т.д.) множества А, т.е. Р(А)= с(А), где (А)-мера множества А, а с=const. Т.к. P()=1, то с = 1/(), так что Р(А)=.

1) - круг с радиусом r

F - фигура

(F)=площадь F

()=площадь

P(F)=площадь F/площадь круга радиуса r

2) P(F)=объем F/ объем круга

Полная группа событий. Формула полной вероятности и формула Байеса

25. Что такое полная группа событий? Приведите пример, когда события АВ, и не образуют полной группы событий.

Полная группа событий - это система случайных событий такая, что в результате произведённого случайного эксперимента непременно произойдёт одно из них.

АВ, А*В, А*+В* (чёрточка одна на А и В)-не образуют полной группы событий.

А*+В*(чёрточка одна на А и В)=А*В*

Полную группу событий составляют: АВ, А*В, АВ*, А*В*

Сл-но АВ, А*В, А*В* - не образуют полной группы.

Пример: студент сдаёт 2 зачёта, соб.А- сдан 1 зачёт, соб.В- сдан 2 зачёт, Р(А)=1/2, Р(В)=2/3

Р(АВ+А*В+А*В*)?1, т.к. Р(АВ*)?0, сл-но соб. АВ, А*В, А*+В* (чёрточка одна на А и В)-не образуют полной группы.

26. Верно ли, что события образуют полную группу для любых событий А и В? Ответ обоснуйте.

Да, события образуют полную группу событий для любого А и В, т.к. они попарно несовместны и при каждом осуществлении опыта обязательно наступит хотя бы одно из них. (проиллюстрировать рисунком)

27. Событие A влечет событие B. Верно ли, что P(A) + P(AB) + P(B) =1? Дайте обоснованный ответ.

Если в каждом из n независимых испытаний вероятность р появления A const, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности р по абс величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико. xi-число появлений событий в i-м испытании (i=1…n). Каждая из величин может принимать 2 значения: 1 с вер-ю р, 0 с вер q

xi- попарно независ., тогда D(xi)=pq. Т.к. p+q=1, то pq1/4 дисперсии огранич с=1/4

Применим т. Чебышева, получим

Матем ожидание а каждой из величин xi = р наступл. событ.

Каждая xi при появлении события в соотв. испытании принимает значение = единице x1+x2+…+xn= m появлен. события в n испытаниях ( x1+x2+…+xn)/n= m/n.

Учитывая это, получим,

28. Сформулируйте и докажите формулу полной вероятности. Приведите пример ее применения.

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В1, В2,В3 ,…., Вn, которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности Р в2 (А), …., Рвn (А) события А. Найдем вероятность события А.

Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В1, В2,…,Вn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

Р(А) = Р(В1) Рв1(А) + Р(В2) Рв2(А) +….+ Р(Вn) Рвn(А).

Эта формула называется «формулой полной вероятности».

Докажем ее…

По условию, событие А может наступить, если наступит одно из несовместных событий В1,В2,…,Вn. Другими словами, появление события А означает осуществление одного, безразлично какого, из несовместных событий В1А, В2А,…, ВnА. Пользуясь для вычисления события А теоремой сложения, получаем Р(А) = Р(В1А) + Р(В2А) +….+ Р(ВnА) (1)

Остается вычислить каждое из слагаемых. По теореме умножения вероятностей зависимых событий имеем:

Р(В1А) = Р(В1) Рв1(А); Р(В2) Рв2(А): …. Р(ВnА) = Р(Вn) Р( bn) (А)

Подставляем правые части этих равенств в соотношение (1) и получаем формулу полной вероятности:

Р(А) = Р(В1) Рв1(А) + Р(В2)Рв2 (А) + ….+ Р(Вn) Рвn (А)

Приведем пример использования формулы полной вероятности:

Допустим, у нас есть два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго - 0,9. Найдем вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) - стандартная.

Пусть А событие «извлеченная деталь стандартна». Деталь может быть извлечена либо из первого набора (событие В1), либо из второго (В2). Вероятность того, что деталь вынута из первого набора, Р(В1) =1/2, вероятность, что деталь вынута из второго набора, Р(В2) = 1/ 2. Условная вероятность того, что из первого набора будет извлечена стандартная деталь, Рв1 (А) =0,8, условная вероятность того, что из второго набора будет извлечена стандартная деталь Рв2(А) =0,9.

Искомая вероятность того, что извлеченная наудачу деталь - стандартная, по формуле полной вероятности равна

Р(А) = Р(В1) Рв1(А) + Р(В2)Рв2 (А) = 0,5*0,8 + 0,5*0,9 = 0,85.

29. Сформулируйте и докажите формулу Байеса. Приведите пример ее применения.

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В1,В2,…,Вn, образующих полную группу. Поскольку заранее неизвестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности:

Р(А) = Р(В1) Рв1(А) + Р(В2)Рв2 (А) + ….+ Р(Вn) Рвn (А) (1)

Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Определим, как изменились, в связи с тем, что событие А уже наступило, вероятности гипотез. Другими словами, будем искать условные вероятности

Ра(В1), Ра(В2),…., Ра(Вn).

Найдем вначале условную вероятность Ра(В1). По теореме умножения имеем

Р(АВ1) = Р(А) Ра(В1) = Р(В1)Рв1(А)

Отсюда

Аналогично выводятся формулы, определяющие условные вероятности остальных гипотез, т.е. условная вероятность любой гипотезы Вi (i= 1,2,…,n) может быть вычислена по формуле



Полученные формулы называются формулы Байеса. Они позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

Пример:

Имеется три одинаковых по виду ящика. В первом ящике n=12 белых шаров, во втором - m=4 белых и n-m=8 черных шаров, в третьем - n=12 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Найдите вероятность Р того, что шар вынут из второго ящика.

Решение.

2. Схема Бернулли

Вероятности Pn(k)

2. В чем состоит схема Бернулли? Запишите формулу для вероятности успехов в серии испытаний по схеме Бернулли и приведите пример ее применения.

Схема Бернулли: производится n независимых испытаний, в каждом из которых с одной и той же вероятностью p наступает некоторое событие А (называемое обычно «успехом») и, следовательно, с вероятностью q=1-p наступает событие , противоположное А.

Пусть k - любое из чисел 0,1,2,…,n. Обозначим вероятность того, что в n испытаниях Бернулли успехов наступит k раз. Справедлива формула Бернулли:

.

Пример: Монета бросается 10 раз. Какова вероятность того, что герб выпадает при этом ровно 3 раза?

Решение: В данном случае успехом считается выпадение герба, вероятность p этого события в каждом опыте равна Ѕ , так что q=1-p=1|2. Отсюда

.

3. Выведите формулу для вероятности успехов в серии испытаний по схеме Бернулли.

Когда производится n одинаковых и независимых опытов, каждый из которых имеет только 2 исхода {A;}. Т.е. некоторый опыт повторяется n раз, причем в каждом опыте некоторое событие А может появиться с вероятностью P(A)=q или не появиться с вероятностью P()=q-1=p .

Пространство элементарных событий каждой серии испытаний содержит точек или последовательностей из символов А и . Такое вероятностное пространство и носит название схема Бернулли. Задача же заключается в том, чтобы для данного k найти вероятность того, что при n-кратном повторении опыта событие А наступит k раз.

Для большей наглядности условимся каждое наступление события А рассматривать как успех, ненаступление А -как неуспех. Наша цель - найти вероятность того, что из n опытов ровно k окажутся успешными; обозначим это событие временно через B.

Событие В представляется в виде суммы ряда событий - вариантов события В. Чтобы фиксировать определенный вариант, нужно указать номера тех опытов, которые оканчиваются успехом. Например, один из возможных вариантов есть



Число всех вариантов равно, очевидно, , а вероятность каждого варианта ввиду независимости опытов равна . Отсюда вероятность события В равна . Чтобы подчеркнуть зависимость полученного выражения от n и k, обозначим его . Итак, .

Наиболее вероятное число успехов

4. Выведите формулу для наиболее вероятного числа успехов в серии испытаний по схеме Бернулли.

5. Пусть - вероятность успехов в серии независимых испытаний с вероятностью успеха в каждом испытании. При каком вероятность достигает максимума? Совпадает ли это число с математическим ожиданием количества успехов? Чему равна сумма ?

Рассмотрим два соседних числа и . Между ними имеет место одно из соотношений: (меньше, равно или больше) или, что эквивалентно, . Подставляя вместо числителя и знаменателя их выражения по формулам , или учитывая, что

,

получим соотношения или . Собирая все слагаемые с множителем k и учитывая , что p+q=1 , получим эквивалентные соотношения . Обозначим число np+p через . Тогда перепишется : .

Таким образом, для всех значений k меньших чем справедливо неравенство , для ( это возможно только в том случае, когда - целое число) имеет место равенство , наконец, при выполняется неравенство . Тем самым при значениях функция возрастает, а при значениях убывает. Следовательно, если число не является целым, то функция имеет единственный максимум; он достигается при ближайшем к слева целом значении k , т.е. при таком целом , которое заключено между -1 и : np-q<<np+p, =[np+p].

Если же - целое число, то два равных между собой максимума достигается при и .

Если число не является целым, то наиболее вероятное число успехов равно ближайшему к слева целому числу. В случае когда есть целое число, наиболее вероятное число успехов имеет два значения: -1 и . Сумму не знаю как посчитать.

6. Может ли наиболее вероятное число успехов в схеме Бернулли отличаться от математического ожидания числа успехов на 2? Ответ обоснуйте.

По схеме Бернулли наиболее вероятное число успехов: k=np+p.

Мат. ожидания: так как схему Бернулли можно представить как биноминальное распределение E(x)=np

np+p-np=p Следовательно, в схеме Бернулли наиболее вероятное число успехов может отличаться от мат. ожидания на число р - вероятность успеха и известно, что p+q=1, p=1-q p<1. А значит отличаться на 2 не может.

Вероятности Pn(k) при больших значениях n

7. Запишите локальную приближенную формулу Лапласа, приведите основные свойства функции Гаусса и укажите ее график. При каких условиях данная формула дает хорошее приближение? Какие условия применимости отличают эту формулу от приближенной формулы Пуассона?

Если число опытов достаточно велико но не бесконечно, а вероятность появления события А в каждом опыте не стремится к 0, применяют локальную и интегральную теоремы Лапласа

Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях в каждом из которых вероятность появления события А равно р причем 1>р>0, то это событие наступает ровно m раз приблизительно равна

8. Запишите интегральную приближенную формулу Лапласа и приведите основные свойства функции Лапласа . При каких условиях данная формула дает хорошее приближение?

Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях в каждом из которых вероятность появления события А равно р, причем 1>р>0, то событие А наступит не менее m1 раз и не более m2 раза приблизительно равно

Эта формула дает хорошее приближение при больших n

9. Укажите выражение для функции Лапласа . Докажите нечетность функции и нарисуйте график . Чему равно ?

Функция:

Ф(x) =

Доказ-во Ф(-x) = -Ф(x): запишем выражение Ф(-x) = и выполним замену z = -t, dz = -dt, при этом нижний предел интегрирования не изменится, а верхний станет равным x. Таким образом, Ф(-x) = = -Ф(x), ч.т.д.

График: симметричен относительно начала координат, проходит через (0;0). Горизонтальные асимптоты: -0,5 и 0,5.

Ф(12) = 0,5.

10. Используя интегральную приближенную формулу Лапласа, выведите формулу для оценки отклонения относительной частоты события от вероятности наступления в одном опыте.

В условиях схемы Бернулли с заданными значениями n и p для данного >0 оценим вероятность события , где k - число успехов в n опытах. Это неравенство эквивалентно |k-np|n, т.е. -n k-np n или np-n k np+n. Таким образом, речь идёт о получении оценки для вероятности события k1 k k2, где k1 = np-n, k2 = np+n. Применяя интегральную приближённую формулу Лапласа, получим:

P( .

С учётом нечётности функции Лапласа получаем приближённое равенство

P( 2Ф(.

Примечание: т.к. по условию n=1, то подставляем вместо n единицу и получаем окончательный ответ.

Предельная теорема Пуассона

11. Сформулируйте и докажите предельную теорему Пуассона.

При n, p0 b, а величина = np остаётся постоянной .

Док-во: имеем: , и так как p=/n, то . Выражение - это произведение k множителей, стремящихся к 1; поэтому и всё произведение стремится к 1. Выражение стремится к 1. Что касается выражения , то его можно записать в виде . Замечая, что выражение в квадратных скобках имеет пределом число , получим окончательно: , где 1. Отсюда тотчас же следует формула, указанная в теореме.

12. Запишите приближенные формулы Пуассона. При каких условиях они дают хорошее приближение? Приведите пример их применения.

формулы Пуассона:

и .

Они дают хорошее приближение при больших n и малых p (npq10). Пример: в тесто засыпают большое количество изюма (например, 10000 изюмин) и нужно оценить вероятность того, что в случайно выбранной булке, испечённой из этого теста, окажется, к примеру, ровно 2 изюмины). То есть получается, что p=2/10000 = 0,0002). В этом случае также npq<10. В итоге, можем применять приближённую формулу Пуассона.

3. Дискретные случайные величины

Функция распределения случайной величины

13. Что такое случайная величина? Что такое дискретная случайная величина? Что называется функцией распределения случайной величины? Приведите пример функции , которая является функцией распределения некоторой дискретной случайной величины , объясните, почему это так и постройте ее график.

Величина, принимающая в результате испытания определенное значение, называется случайной величиной. Случайная величина Х называется дискретной, если множество ее возможных значений конечно или счетно: Х(?)={x1, x2,…}

Функция, определенная в каждой точке х числовой оси формулой Fx(x)=F(x)=P(X<x)

Называется функцией распределения случайной величины Х.

Пример: Дан ряд распределения с.в. Х:

Найти и изобразить графически ее функцию распределения.

0 при х?1,

0,4 при 1<х?4,

F(x)= 0,5 при 4<х?5,

0,8 при 5<х?7,

1,0 при х>7.

14. Сформулируйте основные свойства функции распределения случайной величины и продемонстрируйте их на примере.

1) 0 F(x) 1, т.к. 0 P 1

2) F(x) - неубывающая ф-ия

3) P(x1X<x2) = F(x2) - F(x1)

4) F(-) = 0, F(+) = 1

5) F(x) - непрерывная слева ф-ия, т.е. F(x) = F(x-0) - предел слева

6) F(x+0) = P(Xx) - предел справа

7) если x1x2, то а) P(x1Xx2) = F(x2+0)-F(x1)

б) P(X=x) = F(x+0) - F(x)

в) P(x1<Xx2) = F(x2+0) - F(x1+0)

г) P(x1<X<x2) = F(x2) - F(x1+0) см. 41.

Пример!!!Р(Х=6)=F96+0)-F(6)=P(X<6+0)-P(X<6)=1-5/6=1/6

15. Может ли график функции распределения быть прямой линией? Ответ обоснуйте.

Нет, не может, т.к.

.Функция ступенчатая, со скачками в точках х1,х2.., причем величины качков равны соответственно р1,р2..

16. Что такое дискретная случайная величина? Может ли таблица рассматриваться как закон распределения дискретной случайной величины?

СВ Х называется дискретной, если мн-во ее значений не более чем счетно, т.е конечно или счетно. По опр сумма значений вероятностей должна быть равна 1. То есть, нет не может.

17. Дана дискретная случайная величина с законом распределения

Что является ее функцией распределения ? Постройте график и опишите его точки разрыва. Как вычисляется вероятность ?

Пусть хо - любое число. Среди чисел х1 , x2, ... выделим те, которые меньше х0. Пусть ими будут хi1, xi2 ,.... Событие x<х0 является суммой событий X = хi2, X - xi1 , ..., поэтому его вероятность равна pi1 + pi2 +... F(x)= ?pi График для X на три значения: хь х2, хз. x1 < х2 < хз. График представляет собой ступенчатую ломаную со скачками в точках х1 х2, х3. Величины скачков равны соответственно p1,p2,p3 - Левее график совпадает с осью Ох, правее c прямой y=1. P(a?X?b)=P(b)-P(a).

Типичные законы распределения дискретных случайных величин

18. Что называется геометрическим распределением с параметром ? Приведите пример опытов, в котором определена случайная величина, распределенная по геометрическому закону с параметром .

Геомет распр - это распределение дискретной случайной величины равной количеству испытаний случайного эксперимента до наблюдения первого «успеха».

Производится ряд независимых опытов, в каждом из которых с одной и той же вероятностью наступает событие А. Опыты продолжаются до первого появления события А, после чего прекращаются. Рассматривается случайная величина - х число произведенных опытов. Составить для нее закон распределения. Возможные значения величины .Событие Х= n (n - любое натуральное) означает, что в первых п - 1опытах событие А не наступает, а в n-м опыте наступает. Вероятность такого исхода равна: pqn-1 где q = 1 -р. Следовательно, закон распределения величины Xбудет:

19. Что называется биномиальным распределением с параметрами и ? Приведите пример опытов, в котором определена случайная величина, распределенная по биномиальному закону.

Распределение, описываемое формулой называется биномиальным. Биномиальное распределение вероятности описывает процессы, в каждом из которых событие A может появиться с вероятностью p. Тогда вероятность того, что событие A наступит ровно k раз.

Пусть производится определенное число п независимых опытов. В каждом из них с одной и той же вероятностью р может наступить некоторое событие А. Рассматриваемая случайная величина Х- число наступлений событий А в п опытах. Соответствующая таблица имеет вид:

где Pn(k)=Cnkpk(1-p)n-k

20. Какой закон распределения называется законом Пуассона? В чем состоит связь этого закона с предельной теоремой Пуассона (приближенной формулой Пуассона)?

Если число испытаний велико, а вероятность p появления события в каждом испытании очень мала, то используют следующую формулу , где - число появлений события в n независимых испытаниях, = np (среднее число появлений события в n испытаниях), и говорят, что с.в.распределена по закону Пуассона. (Есть спец.таблицы для нахождения P (k), зная и . В виде таблицы это выглядит так

Независимые дискретные случайные величины

21. Как определяется независимость случайных величин? Игральную кость бросают раз. Пусть - число выпадений грани ; - число выпадений грани . Будут ли зависимыми случайные величины и ? Ответ обоснуйте.

X и Y независимы, если выполняется равенство P(X=a, Y=b) = P(X=a)P(Y=b).

P(X1=200) = (1/6)200 (т.к. опыт проводился 200 раз).

Следовательно, можно записать P(X1=200, Y1=200) = 0. Однако такого быть не может, т.к. если одна грань выпала 200 раз, то вторая уже не может (она эти 200 раз НЕ ВЫПАЛА). Следовательно эти величины зависимы.

22. Пусть - независимые случайные величины, принимающие с вероятностью значения 0 и 1. Верно ли, что и - независимые случайные величины? Ответ обоснуйте.

P(x+y=0, y+z=0)=P(x=y+z=0)=1\8; P(x=0)*P(y=0)*P(z=0); P(x+y=0)*P(y+z=0)=1\16 - P(x+y,y+z)=1\4*1\4

1\81\16 - зависимые.

Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины

23. Дайте определение математического ожидания дискретной случайной величины. Поясните его смысл на примере случайной величины с двумя возможными значениями, исходя из статистического определения вероятности.

Пусть случайная величина X связана с некоторым опытом. Провели n испытаний и при этом возникла статистика

Найдем среднее значение

X =

при n стремящимся к бесконечности = X1*p1 + X2*p2 т.к по статистическому определению вероятность события примерно равна отношению числа успехов к общему числу испытаний.

LimX = X1*p1 + X2*p2 E(X))

24. Перечислите основные свойства математического ожидания дискретной случайной величины. Объясните, что понимается под суммой и произведением случайных величин?

Математическим ожиданием дискретной случайной величины с законом распределения

Называется число

Математическое ожидание имеет следующие свойства:

1) Математическое ожидание случайной величины равно ей самой: E(С)=С

2) .Постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания: E(сХ)=сE(Х).

Следовательно:

E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)

3) Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их мат. Ожиданий:

4) Если случайные величины независимы, то мат. ожидание их произведений равно произведению их мат. ожиданий:

5) Мат. ожидание от функции равно:

Для определения суммы и произведения случ. вел. Х и У будем считать, что мы рассматриваем случайную величину , где g(X,Y) - некоторая числовая функция. Тогда система (Х,У) характеризуется следующей таблицей:

25. Приведите (с обоснованием) пример дискретного распределения вероятностей, для которого не существует математическое ожидание.

ряд расходится т.к. => нет математич. ожидания.

26. Может ли математическое ожидание дискретной случайной величины, принимающей целые значения, быть числом нецелым? Ответ обоснуйте.

Математическое ожидание дискретной случайное величины, принимающей целые значения, может быть числом нецелым. Например, найдём математическое ожидание числа очков, выпадающих при бросании игральной кости, обозначим указанную случ. величину через X, принимающий целые значения (1; 2; 3; 4; 5; 6). Её закон распределения имеет вид:

 - нецелое число

27. Пусть - дискретная случайная величина, принимающая только неотрицательные значения и имеющая математическое ожидание . Докажите, что .

Докажем неравенство Маркова:

Если x>0 и a=const, a>0, то

Док-во: Введём новую величину:

XY

E(x) E(y), E(y)= aP(Xa)

aP(Xa) E(x)

P(Xa)

В нашем примере a=5 (т.е. a=const), a>0, E(x)=m

По неравенству Маркова: P(X5)

28. Докажите, что если и - независимые дискретные случайные величины, принимающие конечное множество значений, то .

Если случайные величины X и Y независимы, то математическое ожидание их произведения равно произведению их математических ожиданий (теорема умножения математических ожиданий).

Возможные значения X обозначим x1, x2, …, возможные значения Y - y1, y2, … а pij=P(X=xi, Y=yj). Закон распределения величины XY будет выражаться соответствующей таблицей. А E(XY)= Ввиду независимости величин X и Y имеем: P(X= xi, Y=yj)= P(X=xi) P(Y=yj). Обозначив P(X=xi)=ri, P(Y=yj)=sj, перепишем данное равенство в виде pij=risj

Таким образом, E(XY)= =. Преобразуя полученное равенство, выводим: E(XY)=( )() = E(X)E(Y)

29. Докажите, что если X и Y - дискретные случайные величины, принимающие конечное множество значений, то E(X +Y) = E(X ) +E(Y).

Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:E(X+Y)= E(X)+E(Y). Док-во. Пусть случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения(*)( возьмем 2 значения):

Составим все возможные значения величины X+Y. Для этого к каждому возможному значению X прибавим возможное значение Y; получим x1+y1, x1+y2, x2+y1, x2+y2. Предположим, что эти возможные значения различны( если не так, то доказательство аналогично), и обозначим их вероятности соответственно через p11,p12,p21,p22. Математическое ожидание величины X+Y равно сумме произведений возможных значений на их вероятности: E(X+Y) = (x1+y1)* *p11+(x1+y2)* p12+(x2+y1)* p21+(x2+y2)* p22, или E(X+Y) = x1*(p11+p12)+ x2*(p21+p22)+ +y1*(p11+p21)+ y1*(p12+p22). Докажем, что p11+p12=p1. Событие, состоящие в том, что X примет значение x1 (вероятность этого события равна p1), влечет за собой событие, которое состоит в том, что X+Y примет значение x1+y1 или x1+y2 (вероятность этого события по теореме сложения равна p11+p12), и обратно. Отсюда следует, что p11+p12=p1. Аналогично доказываются равенства p21+p22=p2, p11+p21=g1 и p12+p22=g2. Подставляя правые части этих равенств в соотношение (*), получим E(X+Y)=(x1p1+x2p2)+(y1g1+y2g2), или E(X+Y)= E(X)+E(Y).

30. Как определяется и что характеризует дисперсия дискретной случайной величины X ? Перечислите основные свойства дисперсии.

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Поэтому вычисляют среднее значение квадрата отклонения, которе и называется дисперсией. Дисперсией(рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: D(X)=M[X-M(X)]2. Более удобная формула: D(X) = E(X 2) ?E2 (X).

Св-ва:

10. Дисперсия постоянной величины С равна нулю: D (С) = 0.

20. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

D(CX)=С2D(X).

30. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D(X + Y)= D(X)+D(Y).

40. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(X-Y)=D(X)+D(Y).

50 Прибавление( вычитание) константы к случайной величине не меняет ее дисперсии. D(X+C)=D(X).

31. Докажите, что если X - дискретная случайная величина, то D(X) = M(X 2) ?M2(X).

Док-во: Математическое ожидание M(X) есть постоянная величина, следовательно, 2M(X) и M2(X) также постоянные величины. D(X) = E(X 2) ?E2 (X)= E[X-E(X)]2=E[X2-2XE(X)+E2(X)]=E(X2)-2E(X)E(X)+E2(X)=E(X2)-2E2(X)+E2(X)=E(X2)-E2(X). т.е. D(X) = E(X 2) ?E2(X).

32. Пусть X - дискретная случайная величина. Может ли выполняться неравенство M(X 2)<(M(X ))2 ? Ответ обоснуйте.

По определению дисперсии D(X)=E[X-E(X)] 2,тогда

D(X)=E[X2-2ХE(X)+ E2 (X)]= E(X2)-2 E2 (X)+ E2 (X)= E(X2)- E2 (X).

Итак, для любой с.в.Х D(X)= E(X2)- E2 (X), D(X)?0, поэтому для любой с.в. Х всегда выполняется неравенство E(X2) ?E2 (X). Поэтому неравенство М(Х2)< [E(X)] 2 выполняться не может.

33. Докажите, что если X и Y - независимые случайные величины, то D[XY]= D[X ]?D[Y ]+E[X ]2 D[Y]+E[Y ]2 D[X ].

D(XY) = (E(XY)2)-[E(XY)]2 = E(X2Y2)-(E(x))2(E(Y))2 = E(X2)E(Y2)-E2(X)E2(Y) = (D(X)+[E(X)]2)(D(Y)+[E(Y)]2) - E2(X)E2(Y) = D(X)D(Y)+E(Y)2D(X)+E(X)2D(Y). Ч.т.д.

34. Пусть Х - дискретная случайная величина, распределенная по биномиальному закону распределения с параметрами n и р. Докажите, что E(Х)=nр, D(Х)=nр(1-р).

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых может появиться событие А с вероятностью р, так что вероятность противоположного события В равна q=1-p. Рассмотрим сл. величину Х - число появления события А в n опытах. Представим Х в виде суммы индикаторов события А для каждого испытания: Х=Х1+Х2+…+Хn. Теперь докажем, что E(Хi)=р, D(Хi)=np. Для этого рассмотрим закон распределения сл. величины, который имеет вид:

...