Очевидно, что E(Х)=р, случайная величина Х2 имеет тот же закон распределения, поэтому D(Х)=E(Х2)-E2(Х)=р-р2=р(1-р)=рq. Таким образом, E(Хi)=р, D(Хi)=pq. По теореме сложения математических ожиданий E(Х)=E(Х1)+..+E(Хn)=nр, D(Х)=D(Х1)+…+D(Хn)=npq=np(1-р).

35. Докажите, что для биномиального закона распределения сл. величина с вероятностью успеха р в каждом из n независимых испытаний выполняется равенство:

=

36. Пусть X - дискретная случайная величина, распределенная по закону Пуассона с параметром . Докажите, что E(X ) = D(X ) = л .

Закон Пуассона задается таблицей:

Отсюда имеем:

=

Таким образом, параметр л, характеризующий данное пуассоновское распределение, есть не что иное как математическое ожидание величины X. Это легко понять, если вспомнить, что формулы Пуассона получились как предельный вариант формул Бернулли, когда , причем ?>n?>nл = np. Поскольку для биномиального закона математическое ожидание равно np, то неудивительно, что для пуассоновского закона E(X) = . Более того, мы можем предположить, что дисперсия X тоже будет равна л, поскольку для биномиального закона D(X) = npq и 1 при >q. Действительно, непосредственный подсчет дисперсии подтверждает это предположение, однако мы не приводим его здесь из-за сложности выкладок. Ниже мы выведем эти формулы более простым способом. Таким образом, для закона Пуассона

E(X) = л, D(X) = л

37. Пусть Х - дискретная случайная величина, распределенная по геометрическому закону с параметром р. Докажите, что E(X) = .

Геометрический закон связан с последовательностью испытания Бернулли до 1-го успешного А (события), р=р(А)

38. Пусть Х - дискретная случайная величина, распределенная по геометрическому закону с параметром р. Докажите, что D (X) = .



Ковариация и коэффициент корреляции

39. Как определяется ковариация Cov(X,Y) случайных величин X,Y?Докажите, что D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y).

1.Ковариацией COV(X,Y) случайных величин X,Y называется математическое ожидание произведения отклонений X и Y.

Сov(X,Y)=E[(X-E(X)][Y-E(Y)]

2. Пусть Х и У - две случайные величины. Положим, Z=X+Y По теореме сложения математических ожиданий будем иметь: М(Z)=E(X)+E(Y). Вычитая это равенство из предыдущего, получим: , где обозначает, как и раньше, отклонение величины Х. Отсюда = Найдем дисперсию Х+У. Имеем D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E(), где М() = Cov(X,Y).

Формула принимает вид: D(X+Y)=D(X)+D(Y)=2Cov(X,Y)

40. Сформулируйте основные свойчтва ковариации Cov(X,Y) случайных величин Х и У. Докажите, что Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

Ковариацией (корреляционным моментом) Cov(X, Y) случайных величин X, Y называется мате-матическое ожидание произведения отклонений X и Y

Cov(X, Y) = E[(X ? E(X))(Y ? E(Y))].

Ковариация обладает следующими свойствами:

1. Cov(X, Y) = E(XY) ? E(X)E(Y).

2. Cov(X, X) = D(X).

3. D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X, Y).

4. Если X и Y независимы, то Cov(X, Y) = 0.

5. Cov(X, Y) = Cov(Y, X).

6. Cov(aX , Y) = Cov(X, aY) = aCov(X, Y).

7. Cov(X +Y, Z) = Cov(X, Z) + Cov(Y, Z).

8. Cov(X, Y + Z) = Cov(X, Y) + Cov(X, Z).

Если Cov(X, Y) = 0, то случайные величины X и Y называются некоррелированными.

41. Как определяется коэффициент корреляции с (X;Y) случайных величин X иY ? Каковы основные свойства коэффициента корреляции? Что можно сказать о X и Y , если Рс(X;Y) Р =1?

Коэффициент корреляции случайных величин X и Y определяется формулой с (X;Y)= Cov(X;Y)/ (у(X)*у(Y)), где Cov(X;Y) - ковариация X и Y, а у(X) - среднее квадратичное отклонение Х, у(Y) - среднее квадратичное отклонение Y.

Основные св-ва:

1) с(X;Y)=с(Y;X)

2) Рс(X;Y) Р <=1

3) Рс(X;Y) Р =1 равнозначно существованию констант a,b таких, что равенство Y=a+bX выполняется с вероятностью 1.

42. Докажите, что коэффициент корреляции случайных величин Х и У удовлетворяет условию . Что можно сказать о Х и У, если ? Если ?

Определение. Коэффициентом корреляции двух случайных величин называется отношение их ковариации к произведению средних квадратических отклонений этих величин: pxy=Kxy/«сигма»х«сигма»х. Из определения следует, что рху=рух=р. Очевидно также, что коэффициент корреляции есть безразмерная величина. Отметим свойства коэффициента корреляции.

1. Коэффициент корреляции принимает значения на отрезке [-1;1],т.е. -1<р<1.Из неравенства

2. Если коэффициент корреляции двух случайных величин равен (по абсолютной величине) единице, то между этими случайными величинами существует линейная функциональная зависимость:

43. Чему равен и Cov при условии независимости случайных величин ? Что можно сказать о , если , где и - некоторые числа ? Ответ обоснуйте.

Если X и Y независимые случайные величины, то Cov(X, Y) = E(X,Y) - E(X)E(Y) = E(X)E(Y) - E(X)E(Y) = 0

Если (в?0), то

Док-во: Cov(X,Y) = Cov(X, б + вX) = E (X(б+вX)) - E(X)E(б+вX) = E(Xб+вX2) - E(X)(E(б) + E(вX)) = E(Xб) + E(вX2) - бE(X) - в(E(X))2 = в(E(X2) - (E(X))2) = вD(X)

тоесть ч.т.д.

4. Непрерывные случайные величины

Функция распределения и функция плотности непрерывной случайной величины

44. Дайте определение непрерывной случайной величины . Чему в этом случае равна вероятность , где - определенное число? Следует ли из равенства для непрерывной случайной величины , что событие никогда не наступает?

Случайная величина X называется непрерывной, если её функция распределения F(X) непрерывна в любой точке X. P(X=a), где а - определённое число, есть вероятность каждого и отдельного значения. P(X=a)=0, т.е. вер-ть каждого отдельного значения равна нулю. Однако это не означает, что событие Х=а невозможно. В результате испытания случ. величина обязательно примет одно из возможных значений; в частности, это значение может оказаться равным а.

45. Какое распределение называется абсолютно непрерывным? Что такое плотность распределения и какова ее связь с функцией распределения? Может ли абсолютно непрерывная случайная величина иметь разрывную функцию плотности ? Ответ обоснуйте.

Случайная величина X называется абсолютно непрерывной, если найдется неотрицательная функция f(x), называемая плотностью распределения, такая, что для a < b вероятность попадания X в промежуток [a, b] получается путем интегрирования данной функции

Для функции распределения F(x) имеем

Плотность распределения обладает следующими свойствами:

1. , (неотрицательность).

2. (условие нормировки).

3. в точке непрерывности f(x).

Математическое ожидание непрерывной функции находится пу-тем интегрирования произведения данной функции и плотности распределения:

Произвольная случайная величина X называется сосредоточенной на промежутке [a, b], если вероятность попадания X в данный промежуток равна 1. умножение вероятность дискретный вектор

Плотность распределения абсолютно непрерывной случайной величины, сосредоточенной на промежутке [a, b], равна 0 вне [a, b].

Функцию распределения F(x) абсолютно непрерывной случайной величины, сосредоточенной на промежутке [a, b], можно представить в виде



46. Перечислите основные свойства функции плотности вероятности. Чем объясняется название «плотность вероятности»?

Св-ва плотности:

1. f(x)

2.

3. во всех точках, где ф-ция плотности непрерывна вып. равенство

f(x)=F'(x)

Поясним смысл назв. «плотность вероят-ти»

по т. о среднем интеграле, стоящ. в прав. части, равен , где некоторая точка из инт. .

Отсюда

Представим себе, что инт. , стягив. к некоторой точке , причем в этой точке функция f(x) непрерывна. Тогда будет стремиться к числу f(), и мы получим:

Отношение, стоящее под знаком предела, есть своего рода «вер-ть на ед-цу длины» интервала . Предел этого отношения рассмотрим как плотность вероятности в самой т. . Во всякой т. , где f(x) непрер., число f(x) совп. с поним-й плотностью вер-ти в т. . Что и требовалось доказать.

Основные законы распределения непрерывных случайных величин

47. Как определяется показательный закон распределения с параметром ? Укажите формулу для функции плотности , найдите соответствующую функцию распределения и постройте графики функций и .

Случайная величина Х, принимающая только неотрицательные значения, распределена по показательному закону, если для некоторого параметра л›0 функция плотности имеет вид:

f(x)= лe-лx, x?0

График функции плотности

Функцию распределения найдем по формуле

F(x)=Sx0f(x)dt

Подставляя выражение для функции плотности, получим

F(x)=Sx0 лe-лtdt=-e-лt 0 1=1- e-лx, x?0

48. Как определяется равномерный закон распределения на отрезке ? Укажите формулу для функции плотности , найдите соответствующую функцию распределения и постройте графики функций и .

Скажем, что случайная величина X, сосредоточенная на отрезке [a, b], равномерно распределена на этом отрезке, если ее функция плотности равна константе:

Значение постоянной с определяется из условия:



График f(x)

Связь между функцией распределения и плотностью вероятности дается форму-лой

Подставляя сюда функцию f(t), получим:

49. Возможно ли равномерное распределение на всей числовой оси? Чему равна вероятность для равномерно распределенной на отрезке случайной величины ? Рассмотрите случаи: 1) и 2)

1)Р(c<X<d)=

2) Р(c<X<d)=

Непрерывная СВ Х имеет равномерный закон распределения на всей числовой оси, если ее плотность вероятности f(x) постоянна на всей числовой оси, т.е. f(x)=const.

50. Как определяется нормальный закон распределения на прямой? Укажите формулу для функции плотности , найдите соответствующую функцию распределения и приведите формулу для вычисления вероятности .

Мы говорим, что непрерывная случайная величина Х подчиняется нормальному закону распределения, если она имеет плотность вероятности следующего специального вида:

, где

А, и а - постоянные, причем А>0, >0.

Стандартная запись функции плотности нормального закона распределения.

Найдем функцию распределения нормальной случайной величины.

Общая формула:

Заменим на z. Получим

, где

есть функция Лапласа.

Таким образом, функция распределения нормальной случайной величины:

51. Запишите плотность распределения нормальной случайной величины , для которой . Как изменится график плотности распределения, если: а) увеличится б) увеличится ?

а) известно, что графики функций f(x) и f(x-a) имеют одинаковую форму: сдвинув график f(x) в положительном направлении оси x на а единиц масштаба при а<0 получим график f(x-a). Отсюда следует, что изменение величины параметра m (математического ожидания) не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к её сдвигу вдоль оси Ох. При увеличении m график плотности сдвинется вправо.



2) Исследуем функцию на экстремум.

f'(x)=0 при x=m

При x=m функция имеет максимум

С возрастанием д максимальная ордината нормальной кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, т.е. сжимается к оси Ох.

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

52. Как вычисляется математическое ожидание в случае распределения с плотностью ? Может ли для какой-либо абсолютно непрерывной случайной величины не существовать математического ожидания? Ответ обоснуйте.

Математическое ожидание абсолютно непрерывной СВ Х с функцией плотности f(x) определяется равенством: E(Х)= интеграл xf(x)dx от минус беск до плюс беск

Мат. ожиданием случайной величины Е называется число . Если указанный справа предел не существует, то мат. ожидание величины х также считается несуществующим.

Если дискретная случайная величина Х принимает счетное множество возможных значений, то , причем мат. ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно. Т.к. ряд может и расходиться, то соотв. случайная величина может и не иметь мат. ожидания. На практике, как правило, множество возможных значений случайной величины распространяется лишь на ограниченный участок оси абсцисс и, значит, мат. ожидание существует.

53. Как вычисляется дисперсия в случае распределения с плотностью ? Докажите, что для случайной величины с плотностью

дисперсия не существует, а математическое ожидание существует.

Дисперсия абсолютно непрерывной случайной величины X с функцией плотности f(x) и матема-тическим ожиданием m = E(X) определяется таким же равенством, как и для дискретной величины

Из равенства (5.26) следует, что справедлива следующая формула



Поскольку формула (5.29) может быть записана в следующем виде

то формулу (5.30) можно представить таким образом

В случае когда абсолютно непрерывная случайная величина X сосредоточена на промежутке [a, b], формулы (5.30), (5.32) примут вид

Найдем матем ожид-е и дисперсию для случайной величины с плотностью

?

- интеграл расходится, следовательно, дисперсия не существует.

Основные характеристики типичных непрерывных распределений

54. Выведите формулы для математического ожидания и дисперсии случайной величины, равномерно распределенной на отрезке

C.В. Х, сосредоточенная на [a;b], равномерно распределена на этом отрезке, если её функция плотности равна константе: f(х)=с (const), a?х?b.

Значение постоянной с определяется из условия: ??-? f(х)dх=1, которому удовлетворяет любая плотность вероятности. В данном случае это условие принимает вид: с(b-a)=1, откуда следует, что с=1/(b-a).

E(Х)= ?ba хf(х)dх= ?ba сdх, т.к. для абсолютно непрерывной С.В. Х с непрерывной плотностью f(х) E(Х)= ?ba хf(х)dх.

Т.к. с=1/(b-a), то М(Х)=с*х2/2 |ba = c*(b2-a2)/2=(b+a)/2. Таким образом мы получили, что числу М(Х) соответствует середина [a; b].

Для нахождения дисперсии воспользуемся формулой, где D(Х)= ?ba х2f(х)dх- m2, где m=M(Х).

D(Х)= 1/(b-a) ?ba х2dх - ((a+b)/2)2= 1/(b-a)*(b3-a3)/3 - ((a+b)/2)2= (b2+ab+a2)/3 - ((a+b)/2)2= (b-a)2/12.

Таким образом,

E(Х)=(b+a)/2, а D(Х)= (b-a)2/12.

55. Объясните (с доказательством) вероятностный смысл параметра в формуле

для функции плотности случайной величины , распределенной по нормальному закону.

Формула



описывает плотность нормального распределения вероятностей непрерывной с.в..

Как видно, нормальное распределение определяется двумя параметрами: m и . Достаточно знать эти параметры, чтобы задать нормальное распределение. Докажем, что вероятностный смысл этих параметров таков: m есть математическое ожидание.

По определению математического ожидания непрерывной с.в.,

Введем новую переменную . Отсюда . Приняв во внимание, что новые пределы интегрирования равны старым, получим

Первое из слагаемых равно нулю (под знаком интеграла нечетная функция; пределы интегрирования симметричны относительно начала координат). Второе из слагаемых равно m (интеграл Пуассона

).

Итак, E(X)=m, т.е. математическое ожидание нормального распределения равно параметру m.

56. Объясните (с доказательством) вероятностный смысл параметра в формуле

для функции плотности случайной величины , распределенной по нормальному закону.

Докажем, что - среднее квадратическое отклонение нормального распределения

Введем новую переменную z==(х--m)/. Отсюда .Приняв во внимание, что новые пределы интегрирования равны старым, получим

Интегрируя по частям, положивu=z, найдем Следовательно, .Итак, среднее квадратическое отклонение нормального распределения равно параметру .

85. Докажите, что для случайной величины, распределенной по показательному закону с параметром , математическое ожидание

Воспользуемся формулой



Найдем интеграл методом интегрирования по частям, полагая u=х, dv=e-лxd(лx), так что du=dx,

v=-e-лx. Проинтегрировав, мы увидим, что E(Х)=1/л

86. Случайная величина равномерно распределена на отрезке Можно ли для любых и подобрать параметры и так, чтобы ? Как по и найти и ?

Случайная величина Х на [a,b] называется равном. распередёлнной, если её на [a,b]. При известных a и b математическое ожидание Е(Х) находится так:

,

а дисперсия D(X)

Таким образом, если E(x)=m, а D(x)= у2 и m, у >0 - любые, тогда мы всегда можем подобрать параметры a и b, чтобы выполнялось это условие.

Пример: пусть m=3, д=4 - тогда

;

;

; ;

87. Что такое правило для нормального распределения? Верно ли, что для любой нормальной случайной величины существует отрезок для которого ? Ответ обоснуйте.

Правило трех сигм:

Отклонение любой случайной величины от ее математического ожидания будет не более трех средних квадратических отклонений (по абсолютной величине). Правило трех сигм применимо для большинства СВ, встречающихся на практике. Если для какой-либо СВ выполняется правило 3 сигм, то эта случайная величина имеет нормальное распределение.

2. Не верно. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной СВ находится по формуле:

.

Так как Ф(Х) больше нуля и никогда не превышает значение 1, то разность двух функций Лапласа тем более никогда не может равняться 1.

5. Начальные и центральные моменты случайных величин

88. Сформулируйте определение начальных и центральных моментов случайной величины. Докажите, что если и - независимые случайные величины, то

Начальным моментом порядка k (k€N) случайной величины Х называю мат.ожидание величины Xk:

Центральным моментом порядка k СВ Х называют мат.ожидание величины (Х-Е(Х))k

в частности

Докажем, что если Х и У независимые СВ, то

89. Пусть - начальные, а - центральные моменты некоторой случайной величины. Докажите, что и

Докажем связь начальных и центральных моментов:

90. Сформулируйте определение асимметрии случайной величины и укажите ее основные свойства. Что характеризует асимметрия случайной величины?

Асимметрия распределения - отношение третьего центрального момента к кубу стандартного отклонения. Асимметрия случайной величины X совпадает с третьим начальным (центральным) моментом соот-ветствующей нормированной случайной величины.

Свойство 1. Асимметрия и эксцесс инвариантны относительно линейной замены случайной величины:

Таким образом, асимметрия и эксцесс не меняются при сдвигах и растяжениях и их можно использовать в качестве характеристик формы распределения.

Свойство 2. Для независимых случайных величин X1, …, Xn имеем

,

Заметим, что в случае одинаково распределенных независимых случайных величин X1, …, Xn асимметрия и эксцесс их суммы стремится к нулю, когда n

91. Сформулируйте определение эксцесса случайной величины и укажите его основные свойства. Чему равен эксцесс для нормального распределения?

Эксцессом распределения называется величина:



Для нормального распределения Ex=0 (т.к. для станд. норм. распред. N(0,1) )

Свойствава:

1

2

i=1,…,n

им. один дисперсию, то

В случае одинаково распред. нез. сл. вел

92. Найдите асимметрию и эксцесс равномерного распределения на отрезке

Т.к. As и Ex не меняются при меняющихся заменах, а любое равномерное распределение на отрезке может быть получено линейной заменой из любого другого равномерного распределения, например, из равномерного распределения на отрезке, то достаточно посчитать As и Ex для этого распределения.

As=м3/у3, у=vD, м3=M[(x-M(x)3]

Ex= м4/у4-3

Плотность fx=1/(b-a)=1, м3= Sb a fx(t)tdt== Sb a tdt=t2/2 в пределах от a до =(b-a)2/2

D== Sb a fx(t)t2dt=(b-a)3/3

у=vD=v(b-a)3/3

As=м3/у3=((b-a)2/2)/( v(b-a)3/3 )

Ex= м4/у4-3=((b-a)5 /5)/(( b-a)3/3)2 - 3

м4= M[(x-M(x)4] fx(t)tdt= Sb a t4dt=(b-a)5 /5

6. Случайные векторы

Функция распределения и функция плотности случайного вектора

93. Что называется системой случайных величин? Сформулируйте определение функции распределения двумерного случайного вектора и дайте его геометрическую интерпретацию.

Упорядоченная пара случайных величин (X, Y), определенных на одном и том же пространстве элементарных событий ?, называется системой случайных величин, двумерным случайным вектором или двумерной случайной величиной.

Функцией распределения двумерной случайной величины (X, Y) называется вероятность совместного выполнения двух событий X < x и Y < y:

Геометрической интерпретацией может служить рис, на котором значением функции распределения может служить вероятность попадания случайной величины (X, Y) в бесконечный квадрант Q(x,y) с вершиной в точке (x, y), лежащий левее и ниже ее.

94. Сформулируйте основные свойства функции распределения случайного вектора и приведите пример двумерной функции распределения.

FX,Y(x,y) - неубывающая функция по каждому аргументу, т.е.и

P(x1?X<x2,y1?Y<y2)=F(x1,y1)+F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)

,

95. Какой случайный вектор называется абсолютно непрерывным? Укажите основные свойства функции плотности распределения двумерного случайного вектора. Как можно найти непрерывную функцию плотности распределения двумерного случайного вектора, если известна его функция распределения? Укажите функцию плотности для равномерного распределения в круге радиуса .

Случайный вектор называется абсолютно непрерывным, если существует - плотность распределения, такая, что:

Свойства функции плотности распределения абсолютно непрерывной СВ:

- неотрицательность

- условии е нормировки

В точке непрерывности fX,Y(x,y).

Если известна функция распределения F(х;у) двумерного случайного вектора, то по формуле можно найти непрерывную функцию плотности распределения двумерного случайного вектора.

Если случайный вектор (Х;У) равномерно распределен в круге радиуса R, то можно найти его функцию плотности:

96. Как найти функцию распределения двумерного случайного вектора , если известна функция плотности распределения ? Укажите функцию распределения для случайного вектора равномерно распределенного в прямоугольнике со сторонами и .

По свойству плотности распределения F(х;у) двумерного случайного вектора следует:

Равномерное распределение в прямоугольнике

F(x,y)=

1 =

F(x,y)=

F(x,y)= т.к. иначе F(x,y), x>m+b, y>n+a, F(x,y)=1, x<m, y<n F(x,y)=0]= = (x(y-n)-m(y-n))= (xy-xn-ym+mn).

97. Как найти функции плотности и компонент и , если известна функция плотности двумерного распределения ? Приведите пример двумерной функции плотности и найдите плотности компонент.

Для того чтобы найти функцию распределения компоненты при известной функции распределения двумерного распределения. Необходимо проинтегрировать данную функцию распределения по противоположной компоненте, т.е.

fx(x)= и соответственно наоборот.

Пример:

Находим плотности компонент:

,

,

Случайные векторы с независимыми компонентами

98. Как можно найти функцию плотности распределения случайного вектора с независимыми компонентами и , если известны их плотности распределения и ? Будут ли независимыми компоненты случайного вектора , равномерно распределенного в прямоугольнике ? Ответ обоснуйте.

Для того, чтобы непрерывные случайные величины Х и У были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы плотность совместного распределения системы (X;Y) была равна произведению плотностей распределения составляющих:

Докажем, что компоненты случайного вектора (X,Y) независимы, если он равномерно распределен в прямоугольнике .

При решении уравнения найдем

Аналогично для

Компоненты Х и У - независимые

99. Как можно найти функцию распределения, FXY(x,y) случайного вектора (X,Y) с независимыми компонентами X и Y , если известны их функции распределения F(x)X и F(y)Y? Ответ обоснуйте.

Если X и Y - независимые компоненты случ вектора (X,Y) и известна их ф-ия распр FX(x) и FY(y), то его ф-ия распр Fx,y(x,y)= FX(x)*FY(y). Обоснование.

Пусть A=(X<x), B=(Y<y), тогда P((XA)(YB))=Fx,y(x,y) и P(XA)*P(YB)= FX(x)*FY(y), т.к. P((XA)(YB))=P(XA)*P(YB) (т.к. X и Y -независимые).

Числовые характеристики случайного вектора

100. Как найти математическое ожидание функции ц(X,Y) , где X,Y - компоненты случайного вектора (X ,Y) ? Как определяются начальные нk ,l и центральные мk ,l моменты случайного вектора (X ,Y)?

Для математического ожидания функции ф(х, у) от компонент случайного вектора (X, Y) справедлива формула

Мы видели, что в одномерном случае основные числовые характеристики случайной величины выражались через начальные и центральные моменты. Дадим аналогичное определение для случайного вектора.

Началъным моментом порядка (к, 1} называется математическое ожидание функции хку':

Центральным моментом порядка (к, Г) называется математическое ожидание функции (х-тх) \y-mY) ,где тх = М(Х), mY = M{Y):

Числа к и l характеризуют порядок момента по отношению к каждой компоненте случайного вектора. Число r = к + l называют суммарным порядком момента. Соответственно суммарному порядку моменты можно разделить на моменты первого, второго и т.д. порядка. Мы рассмотрим более подробно моменты первого и второго порядка.

Первые начальные моменты - это нам уже знакомые математические ожидания случайных величин X и Y.

Аналогично,

Точка с координатами (М(Х), M(Y)) характеризует центр системы случайных величин, вокруг которого происходит рассеивание возможных значений.

Кроме первых моментов широко применяют вторые центральные моменты, которые бывают трех типов. Два из них дают знакомые нам дисперсии компонент X и Y:

которые характеризуют рассеивание возможных значений случайных величин X и 7 вдоль осей х и у.

Особую роль в определении взаимодействия компонент играет второй смешанный центральный момент

Мы уже рассматривали эту характеристику дискретных систем случайных величин, которую называли ковариацией. Она имеет важное значение и для непрерывных случайных векторов.

101. Каков смысл начальных н 0,1 , н 1,0 и центральных м 1,0 м 0,1 м 1,1, , моментов двумерного случайного вектора (X,Y) ? Ответ обоснуйте.

Первые начальные моменты - это математические ожидания случайных величин Х и У.

,

аналогично

Точка с координатами (М(Х),М(У)) характеризует центр системы случайных величин, вокруг которого происходит рассеивание возможных значений. Кроме первых моментов широко используют вторые центральные моменты, которые бывают трех типов. Два из них дают знакомые нам дисперсии компонент Х и У:

которые характеризуют рассеивание возможных значений случайных величин X и 7 вдоль осей х и у.

Особую роль в определении взаимодействия компонент играет второй смешанный центральный момент

102. Дайте определение корреляционной и ковариационной матриц для системы случайных величин Х1,Х2…Хn и сформулируйте их основные свойства.

Для набора случайных величин X1, X2, …, Xn ковариационной матрицей и корреляционной матрицей называют квадратные матрицы порядка n, составленные из всех парных ко-

вариаций и всех коэффициентов корреляции

Пусть C - ковариационная матрица случайных величин - произвольный ненулевой вектор констант. Тогда для случайной величины

выполняется соотношение

при этом условие равносильно равенству, означающему вырожденность матрицы C.

Ковариационная и корреляционная матрицы всегда симметричны и неотрицательно определены,

поэтому их определители неотрицательны:

Определитель корреляционной матрицы удовлетворяет также дополнительному ограничению:

103. Как найти ковариацию Сov(X,Y) случайных величин X и Y , если известна функция плотности двумерного распределения (X;Y)? Верно ли, что из равенства Сov(X,Y)=0 вытекает независимость X и Y , если (X;Y) - двумерный нормальный случайный вектор?

Ковариацией или корреляционным моментом случайного вектора (X, Y) называют величину

Cov(X, Y) =

Ковариация обладает следующими свойствами:

1. Соv(Х, Y) = M(XY) - M(X)M(Y).

Соу(Х, X) = D(X).

D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X, Y).

Если X и Y независимы, то Cov(X, Y) = 0.

Cov(X, Y) = Cov(Y, X).

Cov(aX,Y) = Cov(X,aY) = aCov(X, Y).

Coy(X+Y, Z) = Cov(X, Z) +Coy(Y,Z).

Cov(X, Y+ Z) = Cov(X, Y) + Cov(X, Z).

Если Cov(X, Y) = 0, то случайные величины X и Y называются некоррелированными. Таким образом, согласно свойству 4 из независимости X и Y следует их некоррелированность. Обратное утверждение неверно.

104. Укажите формулу для плотности распределения случайной величины Y +X= Z , если ( X,Y) - двумерный случайный вектор с функцией плотности f(x,y) и независимыми компонентами X и Y . Приведите пример ее применения.

если даны 2 независ. случ. величины Х и У, распределённые равномерно соответственно на отр-ках [0,m] и [0,n] (m<=n), то можно найти функцию плотности Z=X+Y.

Z сосредоточена на отр-ке [0,m+n], формула принимает вид



При :

При

При

Условные распределения и условные математические ожидания

105. Как определяются условные законы распределения для дискретных случайных величин X и Y?

Мы можем найти зависимость СВ через условные законы распределения, т.е. закона распределения одной СВ, при условии, что др. СВ приняла определенное значение.

Если СВ X и Y дискретные, то их условные законы распр-я могут быть определены, используя теорию умножения вероятностей P(X=| Y=)=, для всех , таких что >0 определяет усл. распределение ДСВ x, при условии .

P(Y= | X=)= , для всех , таких что >0 опред. условие распр-е ДСВ y, при условии .

106. Сформулируйте определение условной ф-ии распр СВ Х при усл Y=y. Как определяется условная плотность f(y|x) распределения? Чему равна f(y|x), если СВ X и Y независимы?

Набор вероятностей fx|y(xk|yk)=P(X=xk|Y=yl)={P(X=xk,Y=yl)}/P(Y=yl) для всех yl, таких, что P(Y=yl)>0 определяет условное распределение дискретной СВ Х при условии Y=yl. Аналогично для определения условного распр Y при условии X=xk. Если X и Y независимы, то fX|Y(xk|yy)=fX(xk); fY|X(yl|xk)=fY(yl).

107. Как определяется условное математическое ожидание непрерывной случайной величины Y при условии X = x и математическое ожидание случайной величины X при условии Y = y? Докажите, что E(E(X |Y))= E(X ) и E(E(Y | X ))= E(Y).

Определение. Условным математическим ожиданием случайной величины Y при условии, что случайная величина X приняла значение x, называется величина

Аналогично определяется условное математическое ожидание X при условии, что Y = y

Заметим, что, вообще говоря, условное математическое ожидание, определенное формулой (7.41), не является числом, а выражается в виде некоторой функции, зависящей от x. Более того, каждую из функций (7.41), (7.42) можно рассматривать соответственно как функцию от случайной величины X и Y. Поэтому можно найти их математическое ожидание

Сформулируем полученное соотношение в виде теоремы.

Теорема Выполняются следующие соотношения



Если не прибегать к излишней строгости, соотношения (7.43) и (7.44) можно выразить словами: «Математическое ожидание от условного математического ожидания дает математическое ожидание исходной величины».

7. Предельные теоремы теории вероятностей

Неравенство Чебышева

108. Сформулируйте и докажите неравенство Чебышева.

Неравенство Маркова: если x0, a>0, то P(Xa) E(X)/a

Н-во Чебышева: пусть X - СВ, у кот есть E(X)=E и D(X)=a, тогда >0 справедливо н-во

P(|X-E|) D(X)/2

Док-во: P(X) E/ - н-во Маркова. |X-E|; (X-E)2/21;

P(|X-E|) = P((X-E)2/21) E((X-E)2/2) = 1/2 E((X-E)2) = D/2; P(|X-E|) D(X)/2.

109. Используя н-во Чебышева, сформулируйте и док-те «правило трех сигм» для произвольной СВ X.

Н-во Чебышева: пусть X - СВ, у кот есть E(X)=E и D(X)=a, тогда >0 справедливо н-во

P(|X-E|) D(X)/2. Противоположное событие: 1 - P(|X-E|) 1 - D(X)/2; P(|X-E|<) 1 - D(X)/2.

Правило 3: Пусть =3: P(|X-E|<3) 1-2/92 = 8/9.

Закон больших чисел

110. Сформулируйте и докажите теорему Чебушева для бесконечной последовательности случайных величин с одинаковыми математическими ожиданиями и дисперсиями, ограниченными одним и тем же числом.

Теорема Чебышева. Пусть имеется бесконечная последовательность X1, X2, … независимых случайных величин с одним и тем же математическим ожиданием E и дисперсиями, ограниченными одной и той же постоянной:

Тогда, каково бы ни было положительное число , вероятность события

стремится к единице при

Доказательство. Положим,

.

В силу свойств математического ожидания имеем:

.

Далее, так как величины независимы, то

Сопоставив полученное неравенство с неравенством Чебышева:

,

будем иметь:

Это показывает, что с ростом n вероятность события стремится к 1.

Смысл теоремы Чебышева можно пояснить следующим примером. Пусть требуется измерить некоторую физическую величину E. В силу неизбежных ошибок результат измерения будет случай-ной величиной. Обозначим эту величину X; ее математическое ожидание будет совпадать с измеряе-мой величиной E, а дисперсия равна некоторой величине D (характеризующей точность измеритель-ного прибора). Произведем n независимых измерений и обозначим:

X1 - результат первого измерения;

X2 - результат второго измерения

и т.д. Совокупность величин X1, X2, …, Xn представляет собой систему n независимых случайных ве-личин, каждая из которых имеет тот же закон распределения, что и сама величина X. Среднее ариф-метическое этих величин тоже является, конечно, случайной величиной. Однако с увеличением n эта величина почти перестает быть случайной, она все более приближается к постоянной E. Точная количественная формулировка этой близости состоит в том, что событие становится как угодно достоверным при достаточно большом n.

Тем самым оправдывается рекомендуемый в практической деятельности способ получения бо-лее точных результатов измерений: одна и та же величина измеряется многократно, и в качестве ее значения берется среднее арифметическое полученных результатов измерений.

Близость к E(X) среднего арифметического опытных значений величины X уже подчеркивалась нами при самом введении понятия математического ожидания. Однако соответствующее рассуждение относилось только к дискретным случайным величинам; кроме этого, само высказывание о близости мотивировалось соображениями эмпирического характера. В противоположность этому теорема Че-бышева дает точную характеристику близости среднего арифметического к E(X) , и притом для любой случайной величины.

111. Сформулируйте и докажите теорему Бернулли (закон больших чисел)

Если в каждом из п независимых испытаний вероятность р появления события А постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности р по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико.

Другими словами, если - сколь угодно малое положительное число, то при соблюдении условий теоремы имеет место равенство . Доказательство. Обозначим через Х1 дискретную случайную величину--число появлений события в первом испытании, через Х2--во втором, ..., Хn--в n-м испытании. Ясно, что каждая из величин может принять лишь два значения: 1 (событие А наступило) с вероятностью р и 0 (событие не появилось) с вероятностью 1--р=q. Можно ли применить к рассматриваемым величинам теорему Чебышева? Можно, если случайные величины попарно независимы и дисперсии их ограничены. Оба условия выполняются. Действительно, попарная независимость величин X1, Х2, . . ., Хn следует из того, что испытания независимы. Дисперсия любой величины Xi (i= 1, 2, . .., n) равна произведению pq, так как p+q=1,то произведение pq не превышает 1/4 и, следовательно, дисперсии всех величин ограничены, например, числом С =1/4. Применяя теорему Чебышева (частный случай) к рассматриваемым величинам, имеем

Приняв во внимание, что математическое ожидание а каждой из величин Xi (т. е. математическое ожидание числа появлений события в одном испытании) равно вероятности р наступления события, получим

Остается показать, что дробь (X1+X2+…Xn)/n равна относительной частоте т/п появлений события А в испытаниях. Действительно, каждая из величин X1,X2,…Xn при появлении события в соответствующем испытании принимает значение, равное единице; следовательно, сумма X1+X2+…+Xn равна числу E появления события в n испытаниях, а значит, Учитывая, это равенство, окончательно получим

.

Итак, теорема Бернулли утверждает, что при относительная частота стремится по вероятности к p.

Центральная предельная теорема

112. Сформулируйте центральную предельную теорему. Укажите примеры ее применения.

ЦПТ для одинаково распределенных СВ: Пусть X1…Xn - последовательность независимых одинаково распределенных СВ E(X1)=…=E(Xn)=E<+; D(X1)=…=D(Xn)=2<+, тогда закон распр СВ

Sn = (x1+…+xn - nE)/vn, тогда Sn стремится к стандартному нормальному закону при n>

{

Применение: При измерении какой-либо физ величины на результат влияет огромное кол-во факторов. Каждый из этих факторов порождает ничтожную ошибку Xk. Результирующая ошибка Sn будет суммой величин Xk, то есть вся сумма Sn будет иметь закон распределения, близкий к нормальному. Сл-но, случайная ошибка измерения подчиняется нормальному закону распр: мат ожидание равно нулю, среднее квадратич откл - характеризует точность измерения. Др. пример: массовое производство. Изготовляются большие партии однотипных изделий, где каждое должно соответствовать стандарту. Но есть отклонение от стандарта, кот порождаются причинными случайного хар-ра (Xk). Sn имеет норм распр.

113. Сформулируйте центральную предельную теорему для одинаково распределенных случайных величин и приведите пример ее применения.

Если x1 , … xn - последовательность независимых случайных величин, имеющих один и тот же закон распределения с математическим ожиданием E и дисперсией б2 , то при неограниченном увеличении n закон распределения нормализованной суммы неограниченно приближается к нормальному.

114. Используя центральную предельную теорему, обоснуйте интегральную формулу Лапласа.

Х - биномин. Случайная величина с параметрами n и p

Если Х - случайная величина, явл-ся суммой большого числа независимых случайных величин, то случайная величина Х-МХ/тх имеет распределение, близкое к стандартному нормальному, т.е.

Р{б?X-EX/тx?в} = =Ф(в)-Ф(б)

Х - число успехов в серии из n испытаний Х=Х1+Х2+…Хn

Где Хi=0, если в i-ом успеха не было, 1, если успех был. Р{б?(X-np)/vnpq?в}= Ф(в)-Ф(б)

Р{np+бvnpq?x?np+вvnpq}

Размещено на Allbest.ru

...