Применение методов моделирования в решении задач на движение

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

Глава 1. Теоретические основы математического моделирования

1.1 Понятие модели и моделирования

1.2 Методика решения текстовых задач

1.3 Моделирование при решении задач на движение

Глава 2. Методика обучения решения задач на движение в 5 классе на основе метода математического моделирования

2.1 Методические рекомендации по использованию метода математического моделирования при решении задач на движение

2.2 Опытно-экспериментальная работа. Анализ ее результатов

Заключение

Список литературы

Приложения



Введение

Обучение решению задач является одной из важнейших составляющих практики преподавания, так как задачи используются не только в качестве основного средства для усвоения математических понятий, но и как материал, способствующий развитию математического мышления и творческой активности учащихся, а также формированию умения применять теоретические знания на практике.

Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития, глубины усвоения учебного материала. Решение задач необходимо рассматривать не только как средство формирования математических знаний, но и как цель обучения и как средство развития общеучебного умения рассуждать.

Большинство школьников плохо решают задачи по математике и это в особенности касается задач на построение математической модели, вызывающих у учащихся наибольшие затруднения.

Моделирование в данной работе рассматривается не только как способ формирования обобщенного умения решать задачи, но и как одна из целей обучения.

Цель исследования - организовать работу по обучению приемам моделирования в процессе обучения решения задач на движение.

Задачи:

1. изучить научную, методическую литературу по теме исследования;

2. рассмотреть основной вид модели, применительно к задачам на движение;

3.провести экспериментальную работу по формированию у школьников обобщенного умения решать задачи на движение, используя приемы моделирования.

4. разработать фрагменты уроков с использованием математической модели при решении задач на движение в 5 классе.

5. разработать методические рекомендации по формированию приемов моделирования у школьников на материале текстовых арифметических задач.

Объект исследования: использование математической модели при изучении математики в основной школе.

Предмет: моделирование как средство обучения решению задач на движение в 5 классе.

Контингент: учащиеся 5 класса Нижнекужебарской средней общеобразовательной школы.



Глава 1. Теоретические основы математического моделирования

1.1 Понятие модели и моделирования

Для решения многих научных и практических задач широко используется метод моделирования. Он заключается в том, что для исследования какого-либо объекта или явления выбирают или строят другой объект, в каком-то отношении, подобный исследуемому. Построенный или выбранный объект изучают и с его помощью решают исследование задачи, а затем результаты решения этих задач переносят на первоначальные явления или объект. Моделирование применяется в тех случаях, когда по каким-либо причинам затруднительно или невозможно изучить оригинал в естественных условиях, когда необходимо облегчить процесс следования того или иного объекта. Модель всегда обладает только некоторыми, существенными в данных условиях, свойства моделируемого объекта.

Под моделью (от лат. modulus - мера, образец, норма) понимают такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе познания (изучения) замещает объект - оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные черты. Модель в самом широком смысле -- это любой мысленный или знаковый образ моделируемого объекта (оригинала). В качестве модели могут выступать изображения, описания, схемы, чертежи, графики, уравнения, планы, карты, копии оригинала (уменьшенные или увеличенные), компьютерные программы и т. п.

В математике широко используется метод моделирования при решении задач.

Математической моделью можно назвать специальное описание (часто приближенное) некоторой проблемы, ситуации, которое дает возможность в процессе ее анализа применять формально - логический аппарат математики. При математическом моделировании имеем дело с теоретической копией, которая в математической форме выражает основные закономерности, свойства изучаемого объекта.

Основная цель моделирования - исследовать эти объекты и предсказать результаты будущих наблюдений.

В процессе математического моделирования выделяют три этапа:

1. Формализация - перевод предложенной задачи (ситуации) на язык

математической теории (построение математической модели задачи).

2. Решение задачи в рамках математической теории (говорят: решение внутри модели).

3.Перевод результата математического решения задачи на тот язык, на котором была сформулирована исходная задача (интерпретация решения).

Одна и та же модель может описывать различные процессы, объекты, поэтому результаты внутримодельного исследования одного явления зачастую могут быть перенесены на другое. В этом состоит одно из основных достоинств математического моделирования.

Любая математическая задача состоит из условия (утверждения), вопроса или требования. Причем, в задаче обычно не одно, а несколько элементарных условий. Они представляют собой количественные или качественные характеристики объектов задачи и отношения между ними.

Требований в заданиях тоже может быть несколько. Они могут быть сформулированы, как в вопросительной, так и в утвердительной форме. Условия и требования взаимосвязаны.

Глубина и значимость открытий, которые делает школьник, решая задачи, определяется характером осуществляемой им деятельности и мерой ее усвоения, тем, какими средствами этой деятельности он овладеет. Для того чтобы ученик мог выделить и освоить способ решения широкого класса задач, а не ограничивался нахождением ответа в данной, конкретной задаче, он должен овладеть некоторыми теоретическими знаниями о задаче, прежде всего, о ее структуре.

Чтобы структура задачи стала предметом анализа и изучения, необходимо отделить ее от всего несущественного и представить в таком виде, который обеспечивал бы необходимые действия. Сделать это можно путем особых знаково-символических средств - моделей, однозначно отображающих структуру задачи и достаточно простых для восприятия школьниками.

В структуре любой задачи выделяют:

1. Предметную область, то есть объекты, о которых идет речь в задаче.

2. Отношения, которые связывают объекты предметной области.

3. Требования задачи».

Все модели можно разделить на схематизированные и знаковые по видам средств, используемых для их построения.

Схематизированные модели, в свою очередь, делятся на вещественные и графические в зависимости от того, какое действие они обеспечивают. Вещественные (или предметные) модели текстовых задач обеспечивают физическое действие с предметами. Они могут строиться из каких-либо предметов, они могут быть представлены разного рода инсценировками сюжета задач. К этому виду моделей причисляют и мысленное воссоздание реальной ситуации, описанной в задаче, в виде представлений.

Графические модели используются, как правило, для обобщенного, схематического воссоздания ситуации задачи. К графическим следует отнести следующие виды моделей:

· рисунок;

· условный рисунок;

· чертеж;

· схематический чертеж (или просто схема).

Знаковые модели могут быть выполнены как на естественном языке, так и на математическом языке. К знаковым моделям, выполненным на естественном языке, можно отнести:

- краткую запись задачи;

- таблицы».

Таблица как вид знаковой модели используется главным образом тогда, когда в задаче имеется несколько взаимосвязанных величин, каждая из которых задана одним или несколькими значениями.

Знаковыми моделями текстовых задач, выполненными на математическом языке, являются:

- выражение;

- уравнение;

- система уравнений;

- запись решения задачи по действиям.

Схематизированные, графические и знаковые модели, выполненные на естественном языке - вспомогательные модели, а знаковые модели, выполненные на математическом языке - решающие.

Уровень овладения моделированием определяет успех решающего. Поэтому обучение моделированию занимает особое и главное место в формировании умения решать задачи.

Полезно применять чертежи и схематические рисунки, блок - схемы,

моделирование с помощью отрезков и таблиц.

Графические модели и таблицы позволяют сравнивать пары понятий: левая - правая, верхняя - нижняя, увязывать пространственную информацию с информацией меры, тем самым, формируя умение решать задачи.

Итак, модель нужна для того, чтобы понять, как устроен конкретный объект, какова его структура, основные свойства, законы развития; научиться управлять объектом или процессом, определять наилучшие способы управления при заданных целях и критериях.

1.2 Методика решения текстовых задач

Решению текстовых задач в обучении уделяется огромное внимание. Связано это с тем, что такие задачи часто являются не только средством формирования многих математических понятий, но и главное - средством формирования умений строить математические модели реальных явлений, а также средством развития мышления детей. Существуют различные методические подходы к обучению детей решению текстовых задач. Но какую бы методику обучения ни выбрал учитель, ему надо знать, как построены такие задачи.

Решение любой задачи - процесс сложной умственной деятельности. Чтобы овладеть им, надо знать основные этапы решения задачи и некоторые приемы их выполнения.

В процессе решения задачи можно выделить следующие этапы:

-восприятие и осмысливание задачи;

-поиск (анализ) и составление плана задачи;

-выполнение плана решения;

-проверка решения;

-формулировка ответа на вопрос задачи (вывода о выполнении требования);

-исследование задачи;

В реальном процессе решения задачи названные этапы не имеют четких границ и не всегда выполняются одинаково полно. Все зависит от уровня знаний и умений решающего.

Результатом первого этапа восприятие и осмысление является установление смысла каждого слова, словосочетания, знака и выделения на этой основе множества отношений, величин, зависимостей, известных и неизвестных, искомого и требования к постановки вопроса: «Как решить задачу?». Выполнение этого этапа осуществляется путем правильного чтения задачи, разбитие текста на смысловые части, переформулировка текста задачи.

На втором этапе - поиск плана решения (анализ задачи)- важно установить логическую взаимосвязь между известными (данными) и неизвестными и на ее основе создать план: решающий должен знать, какие действия и в какой последовательности необходимо выполнить для достижения требования задачи. На вопрос задачи (выполнить требование задачи).

Цель третьего этапа- выполнение плана решения - получить ответ на вопрос задачи (выполнить требование задачи). Решение может быть выполнено в устной форме, либо в письменной (арифметическое, алгебраическое, графическое, геометриеско решение)

Четвертый этап - проверка решения. Назначение данного этапа: - установить соответствии процесса и результата решения по образцу правильного решения. Если в результате решения обнаружена ошибка, то у решающего есть возможность вернуться к исходным условию и требованию задач и решить ее заново.

Пятый этап - формулировка ответа на вопрос задачи (вывода о выполнении требования). Его цель - сделать окончательный вывод о выполнении требования задачи.

Целью шестого этапа - исследование решения - является установление возможностей других ответов на вопрос задачи, удовлетворяющих ее условиям, определения класса задач, допускающих такой же метод и способ решения.

Итак, чтобы решить задачу, нужно вначале ознакомиться с ней и понять ее, затем составить план решения, после чего выполнить его, сформулировать ответ на вопрос (вывод о выполнении требования) задачи, проверить ход и результат решения, выяснить, возможны ли другие результаты решения.

Основными методами решения текстовых задач в 5 классе являются арифметический и алгебраический.

Решить задачу арифметическим методом - это значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над конкретными числами.

Одну и ту же задачу можно решить различными арифметическими способами. Они отличаются друг от друга логикой рассуждений, выполняемых в процессе решения задачи.

Записи решения задачи арифметическим способом могут быть следующие:

- вопрос с последующим действием;

- действие с последующим пояснением;

- запись решения с предшествующим пояснением;

-числовое решение без всякого текста;

Последняя форма записи имеет большой недостаток в том, что не позволяет учителю проследить за логикой рассуждений ученика и в случае необходимости оказать ему эффективную помощь.

Решить задачу алгебраическим методом - это значит найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение или систему уравнений. Если для одной и той же задачи можно составить различные уравнения (системы уравнений), то это означает, что данную задачу можно решить различными алгебраическими способами.

При решении задач алгебраическим способом (при котором составляется уравнение или система уравнений, решение основано свойствах уравнений) существенное значение имеет выбор величины за неизвестное, с помощью которой можно выразить остальные (или часть остальных) величины, входящие в задачу, и установить зависимость между данными задачи, которая даст возможность составить уравнение. Для многих задач за неизвестное можно принять величину, которую требуется найти, тогда ответ на вопрос задачи получается без дополнительных вычислений. Следует учитывать, что при этом не всегда получается уравнение, достаточно постое для решения поэтому выбор величины за неизвестное нельзя ограничивать только вопросом задачи. В некоторых задачах полезно выбирать за неизвестную величину, с которой сравниваются другие неизвестные в задачи величины. В ряде задач за неизвестное удобнее выбрать меньшую неизвестную величину. Тогда другие неизвестные величины будут выражаться через выбранную только с помощью действий умножения и сложения, решение уравнений с которыми значительно проще, чем с вычитанием и делением. При оформлении решения задач алгебраическим способом особое внимание следует обратить внимание на введение неизвестного, на выражение других величин через неизвестное и мотивировку составления уравнения.

Здесь возможны следующие варианты:

-с помощью описания: описываем текстом, что обозначили за неизвестное, как другие величины выражаются через неизвестное, на основании какой зависимости составляем уравнение;

- с помощью краткой записи, в которой вводится неизвестное;

- с помощью таблицы, в которой водится неизвестное;

- графическая модель, в которой вводится неизвестное;

В последних действиях мотивировка составления проговаривается.

1.3 Моделирование при решении задач на движение

Математическое моделирование находит применение при решении многих сюжетных задач, в частности задач на движение. Уже уравнение, составленное по условию задачи, является ее алгебраической моделью. Моделированию, особенно алгебраическому и аналитическому, следует уделить в школе должное внимание, так как математические модели используются для решения (или хотя бы облегчения решения) сюжетных задач. Кроме того, при построении модели используется такие операции мышления, как анализ через синтез, сравнение, классификация, обобщение, которые являются операциями мышления, и способствуют его развитию. Составление математической модели задачи, перевод задачи на язык математики исподволь готовит учащихся к моделированию реальных процессов и явлений в их будущей деятельности.

. Все задачи на составление уравнений можно решать по схеме:

1. Анализ и краткая запись условия задачи. Построение чертежа, если он необходим.

2. Выявление оснований для составления уравнения.

3. Составление уравнения.

4. Решение уравнения.

5. Исследования корней уравнения.

6. Запись ответа.

Рассмотрим особенности решения основных видов задач «на движение». «Движение является темой для самых разнообразных задач. Существует самостоятельный тип задач «на движение».

В задачах данной темы считается, что движение является равномерным. Это значит, что объекты движутся с постоянными скоростями. Скоростью называется расстояние, пройденное за единицу времени. Многие величины в математике имеют специальные обозначения. В частности, общепринято, что путь обозначается буквой S;

скорость - буквой V;

время - буквой t.

(расстояние равно скорости, умноженной на время).

Это равенство называется формулой пути. Оно устанавливает зависимость между тремя основными величинами, характерными для движения любого объекта.

Из формулы пути (по правилу нахождения неизвестного множителя)

следует, что

V=S:t (скорость равна расстоянию, деленному на время движения),

t=S:V (время движения равно расстоянию, деленному на скорость).

Рассмотрим особенности решения основных видов задач «на движение» в курсе математики 5 класса.

1. Задачи на встречное движение двух тел.

Пусть движение первого тела характеризуется величинами s₁, v₁, t₁; движение второго - s₂, v₂, t₂. Такое движение можно представить на схематическом чертеже:

При решении задач на встречное движение существенной характеристикой является скорость сближения движущихся объектов. Расстояние, на которое сближаются движущиеся объекты за единицу времени, называется скоростью сближения. При встречном движении скорость сближения равна сумме скоростей движущихся объектов то есть

V _сбл.= V₁+ V₂.

Если два тела начинают движение одновременно навстречу друг другу, то каждое из них с момента выхода и до встречи затрачивает одинаковое время, т.е. t₁= t₂= t _встр или как говорят время сближения t_сбл

Все расстояние, пройденное движущимися телами при встречном движении, может быть подсчитано по формуле: S= V _{сбл *} t_сбл..

2. Задачи на движение двух тел в одном направлении.

«Среди них следует различать два типа задач:

1) движение начинается одновременно из разных пунктов;

2) движение начинается в разное время из одного пункта.

Рассмотрим случай, когда движение двух тел начинается одновременно в одном направлении из разных пунктов, лежащих на одной прямой. Пусть движение первого тела характеризуется величинами s₁, v₁, t₁, а движение второго - s₂, v₂, t₂.Такое движение можно представить на схематическом чертеже:

Если при движении в одном направлении первое тело догоняет второе, то v₁ > v₂. Кроме того, за единицу времени первый объект приближается к другому на расстоянии v₁- v₂. Это расстояние называют скоростью сближения: v _сбл.= v₁- v₂.

Расстояние S, представляющее длину отрезка АВ, находят по формулам:

S = s₁ - s₂ и S = v _{сбл *} t_встр.

3. Задачи на движение двух тел в противоположных направлениях.

«В таких задачах два тела могут начинать движение в противоположных направлениях из одной точки: а) одновременно; б) в разное время. А могут начинать свое движение из двух разных точек, находящихся на заданном расстоянии, и в разное время» .

Общим теоретическим положением для них будет следующее:

v _удал. = v₁+ v₂,

где v₁ и v₂ соответственно скорости первого и второго тел,

а v _удал - это скорость удаления, то есть расстояние, на которое удаляются друг от друга движущиеся тела за единицу времени.

4. Задачи на движение по реке.

В задачах на движение по реке есть своя особенность. Существует собственная скорость объекта (v_{собственная})- это скорость движения в стоячей воде, и также существует скорость течения реки (v_{течения},), которую необходимо учитывать. При этом возникает скорость движения по течению (v _{по течению)} и скорость движения против течения (v _{против течения)}:

v _{по течению} = v_{собственная}+ v_{течения},

v _{против течения} = v_{собственная}- v_{течения},

Четкие условные обозначения помогают детям строить сложные схемы, видеть в них нужные формулы, отношения для решения задачи. Иногда четкое соблюдение условных обозначений в схеме позволяет не запутаться в числовых значениях задачи и предотвращает многие ошибки. Анализируя модель, можно увидеть несколько способов решения задачи. Использование графических изображений способствует сознательному и прочному усвоению многих понятий. Благодаря им, математические связи и зависимости приобретают для учеников наглядный смысл, а в процессе их использования происходит углубление и развитие математического мышления учащихся. Соблюдение точности и аккуратности при выполнении рисунков, схем, чертежей, помимо учебного, имеет важнейшее воспитательное значение. Аккуратно выполненные графические изображения в значительной степени способствуют эстетическому воспитанию детей: заставляют любоваться неожиданным, остроумным графическим решением задачи, стимулируют поиски рациональных путей решения, снижают утомляемость, повышают активность, воспитывают внимание. И наоборот, грубый чертеж мешает увидеть скрытые в условии задачи закономерности, на которых основано решение. Графические изображения служат хорошим и удобным средством для организации коллективной и индивидуальной (дифференцированной) самостоятельной работы учащихся, быстродействующим средством для проверки знаний учащихся. Также графические модели помогают организовать соответствующую работу, так как наглядно иллюстрируют то, что известно и что нужно определить; на моделях легче увидеть, каких именно данных не достает (или какие данные являются лишними) для того, чтобы, используя нужную зависимость, решить ту или иную задачу. Умение строить учебные модели и работать с ними является одним из компонентов общего приема решения задач. С помощью модели словесно заданный текст можно перевести на математический язык и увидеть структуру математических отношений, скрытую в тексте. Использование одних и тех же знаково-символических средств при построении модели для математических задач с разными сюжетами и разных типов способствует формированию обобщенного способа анализа задачи, выделению составляющих ее компонентов и нахождению путей решения.

Таким образом, использование модели при решении задач обеспечит качественный анализ задач, осознанный поиск их решения, обоснованный выбор арифметического действия, рациональный способ решения и предупредит многие ошибки в решении задач учащимися. Модель задачи может быть применена и для составления и решения обратных задач, для проведения исследования задачи. Модель помогает поставить условия, при которых задача имеет решение или не имеет решения; выяснить, как изменяется значение искомой величины в зависимости от изменения данных величин; помогает обобщить теоретические знания; развивает самостоятельность и вариативность мышления.



Глава 2. Методика обучения решения задач на движение в 5 классе на основе метода математического моделирования

2.1 Методические рекомендации использования метода математического моделирования при решении задач на движение

Предметом исследования является использование метода математического моделирования при решении задач на движение. Как уже говорилось выше, что учащиеся в школе решают задачи в основном двумя способами: арифметическим и алгебраическим. Решение задач алгебраическим способом по характеру ориентировочной деятельности существенно отличается от обычного арифметического решения. При алгебраическом способе основное внимание решающего направлено на поиск отношения между явными и неявными значениями величин, а вычисление конкретного значения до поры до времени отступает на второй план.

Для освоения алгебраического метода решения задач учащиеся должны:

а) уметь составлять буквенные выражения по тексту задачи, для чего уметь анализировать условия задачи, выделяя объекты исследования, величины, их характеризующие, и отношения между величинами;

б) должны уметь переводить словесное выражение зависимости между величинами, данное в тексте задачи, на математический язык;

в) уметь решать простейшие уравнения.

Только после формирования этих умений можно перейти непосредственно к обучению решению задач методом составления уравнения.

В 5 классе как правило дети еще плохо решают уравнения, поэтому большинство задач решается арифметическим способом при этом используются вспомогательные модели - таблица и чертеж. Еще одна из трудностей, которая возникает у учащихся при решении задач на составление равнений - это какую величину обозначить за неизвестную (букву х)? Этот вопрос возникает всегда, когда дети пытаются решить задачу алгебраическим способом.

В данной работе был выбран учебник «Математика 5» Н. Я. Виленкина.

В учебно-методический комплект (УМК), необходимый для обучения математике, включается:

- учебник как ведущий элемент УМК;

- дидактические материалы (задачник, рабочие тетради, карточки и т. д.);

- книга для учителя.

Рассмотрим решение некоторых задач.

В ходе работы над данной темой, сформулированы методические рекомендации по использованию метода математического моделирования при решении задач на движение в 5 классе:

В 5 классе закрепляют полученные знания начальной школы.

S=Vt

V=S/t

t=S/V

· если движение происходит из одной точки в разные стороны, то скорости и расстояния складываются;

· если движение происходит навстречу друг другу, то скорости и пройденные расстояния складываются.

Перед решением задачу составляем таблицу. А при составлении таблицы обязательно обращаем внимание на следующее, если речь идёт о двух телах:

1. При составлении столбика «время»

· вышли они одновременно или нет?

· какое тело находилось в пути дольше и на сколько часов?

· какое тело находилось данное время в пути или это общее время?

2. При заполнении столбика «расстояние»

· какое тело прошло заданное расстояние или это общее расстояние. В зависимости от этого пройденное расстояние проставляем или напротив каждого тела, или объединяем два тела.

· Какое тело прошло большее расстояние и на сколько, или они прошли одинаковое расстояние.

На эти же самые пункты обращаем внимание, если речь идёт не о двух телах, а об одном теле, движение которого разбито на части.

Задачи на движение.

Задача 1. Велосипедист ехал 6 часов с некоторой скоростью. После того как он проехал еще 11 км с той же скоростью, его путь стал равным 83 км. С какой скоростью ехал велосипедист?

- Прочитайте задачу.

- Какой процесс описан в задаче? (Процесс движения)

- О каких величинах мы должны говорить, решая задачи на движение? (Мы должны говорить о времени движения, скорости движения и о расстоянии) математический моделирование задача движение

- Кто участвует в задаче? (велосипедист)

- Что нам известно в задаче? (что одну часть путь велосипедист проехал за 6 часов, а вторая часть пути равна 11 км, весь путь = 83 км)

- Значит, получается, что весь путь движения велосипедиста состоит из двух частей, первая часть неизвестна, вторая часть путь равна 11 км, а весь путь равен 83 км.

- Что требуется найти в задаче? (скорость движения велосипедиста)

- Что мы знаем про скорость? (она одинаковая на всем пути)

-Давайте сделаем чертеж к задаче.

V=? км/ч (одинаковая)

Обозначим за х (км) первую часть пути

Пусть х км проехал велосипедист за 6 часов. Тогда весь путь будет равен х+11 км и он равен 83 км. Значит, можем составить уравнение.

х+11=83

х=83-11

х=72 (км) путь велосипедиста за 6 часов

- Нам достаточно данных для определения скорости велосипедиста? (да, т.к скорость движения одинаковая на всем пути, поэтому нам достаточно найти скорость движения на первом участке)

72:6= 12 (км/ч)- скорость велосипедиста

Ответ: 12 км/ч

Решение задач на движение двух тел в противоположных направлениях.

Задача 2. Одновременно из одного пункта в противоположных направлениях вышли два пешехода. Один из них шёл со скоростью 6 км/ч, а другой 4 км/ч. Через сколько времени пешеходы удалятся друг от друга на 30 км?.

- Прочитайте задачу.

- Какой процесс описан в задаче? (Процесс движения)

- О каких величинах мы должны говорить, решая задачи на движение? (Мы должны говорить о времени движения, скорости движения и о расстоянии).

- Кто участвует в задаче ? (два пешехода)

- Как движутся пешеходы? (в противоположных направлениях, они удаляются друг от друга)

- Что нам известно в задаче? (скорость первого пешехода равна 4 км/ч, скорость второго пешехода равна 6 км/ч, расстояние рано 30 км)

- Давайте сделаем чертеж к задаче

Обозначим скорость первого поезда V_{1 ,} а скорость второго поезда обозначим V₂. Расстояние между двумя поездами обозначим S.

- Что требуется найти в задаче (время)

- Какое время движение у пешеходов? (одинаковое)

Решим задачу с помощью уравнения.

Введем неизвестную. Какую величин примем за неизвестное? (время)

Пусть х (ч)- это время движение пешеходов

(До заполнения таблицы выясняем, что обозначаем через х: то, о чём спрашивается в вопросе задачи). Заполнив 2 столбика, опять проговариваем фразу: «Третий столбик заполняем, глядя на первые два. Третий столбик нам даёт уравнение.»

	Скорость	Время	Расстояние
1 пешеход	6 км/ч	x ч	6х 30 км
2 пешеход	4 км//ч	х ч	4х



Тогда первый пешеход пойдет 4х (км), а второй 4х (км). Так как сумма этих расстояний равна 30 км, запишем уравнение.

6х+4х=30

10х=30

Х=30:10

Х=3 (ч)-пешеходы удалятся друг от друга на 30 км через 3 часа.

Ответ: 3 часа.

Задача 3. Одновременно из одного пункта в противоположных направлениях вышли два пешехода. Один из них шёл со скоростью 6 км/ч. Через 3 часа пешеходы удалились друг от друга на 30 км. Определите скорость другого пешехода.

-Внимательно прочитайте задачу

- Какой процесс описан в задаче? (процесс движения)

- О каких величинах мы должны говорить, решая задачи на движение? (Мы должны говорить о времени движения, скорости движения и о расстоянии).

- О ком говорится в задаче? (о двух пешеходах)

- Как движутся пешеходы (в противоположных направлениях)

- Что нам известно в задаче? (скорость одного пешехода = 6 км/ч, время=3 ч, расстояние 30 км)

- Что сказано про скорость второго пешехода? (она неизвестна, ее нужно найти)

- Изобразим графически условие задачи.

(До заполнения таблицы выясняем, что обозначаем через х: то, о чём спрашивается в вопросе задачи). Заполнив 2 столбика, опять проговариваем фразу: «Третий столбик заполняем, глядя на первые два. Третий столбик нам даёт уравнение.»

- Скорость второго пешехода обозначим за х км/ч, теперь условие задачи запишем так

	Скорость	Время	Расстояние
1 пешеход	6 км/ч	3 ч	6*3 км 30 км
2 пешеход	х км/ч	3 ч	3х км

Составим и решим уравнение.

6*3+х*3=30

18+3х=30

3х=30-18

3х=12

Х=12:3

Х=4 км/ч

Ответ: 4 км/ч

Решение задач на встречное движение двух тел

Задача 4. Из двух пунктов, находящихся на расстоянии 30 км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Один из них проходит в час 6 км, а другой 4 км. Через сколько часов пешеходы встретятся и какое расстояние пройдёт каждый из них до встречи.

-Читаем внимательно задачу.

- Какой процесс описан в задаче? (движение)

- О каких величинах мы должны говорить, решая задачи на движение? (Мы должны говорить о времени движения, скорости движения и о расстоянии).

- Кто участвует в задаче? (два пешехода)

-Как они движутся? (навстречу друг другу)

- Что нам известно в задаче? ( скорость первого пешехода 4 км/ч, скорость второго пешехода 6 км/ч, расстояние = 30 км)

- Изобразим графически условие задачи.

- Что нам нужно найти в задаче? (время через которое встретятся пешеходы и какое расстояние пройдет каждый из них)

Решим задачу с помощью уравнения. Время нахождения пешеходов в пути до встречи примем за х ч.

(До заполнения таблицы выясняем, что обозначаем через х: то, о чём спрашивается в вопросе задачи). Заполнив 2 столбика, опять проговариваем фразу: «Третий столбик заполняем, глядя на первые два. Третий столбик нам даёт уравнение.»

	Скорость	Время	Расстояние
1 пешеход	4 км/ч	х ч	4х км 30
2 пешеход	6 км/ч	х ч	6х км км

За это время один пешеход до встречи пройдет 4х км, а другой 6х км. Всего до встречи они пройдут (4х+6х) км. Так как это равно 30 км, то запишем уравнение:

6х+4х=30

10х=30

Х=30:10

Х=3 (ч)

Итак, один пешеход до встречи прошел 4х=4*3=12 (км), другой 6х=6*3=18 (км)

Проверка

18+12=30 (км)

Ответ: 3ч, 12 км, 18 км.

Задача 5. Из двух пунктов, расстояние между которыми 30 км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Через 3 ч пешеходы встретились. Скорость одного пешехода 4 км/ч. Найдите скорость другого.

-Читаем внимательно задачу.

- Какой процесс описан в задаче? (движение)

- О каких величинах мы должны говорить, решая задачи на движение? (Мы должны говорить о времени движения, скорости движения и о расстоянии).

- Кто участвует в задаче? (два пешехода)

-Как они движутся? (навстречу друг другу)

- Что нам известно в задаче? ( скорость первого пешехода 4 км/ч, , расстояние между пунктами 30 км, время движения 3)

- Изобразим графически условие задачи.

- Что нужно найти в задаче? (скорость второго пешехода)

(До заполнения таблицы выясняем, что обозначаем через х: то, о чём спрашивается в вопросе задачи). Заполнив 2 столбика, опять проговариваем фразу: «Третий столбик заполняем, глядя на первые два. Третий столбик нам даёт уравнение.»

	Скорость	Время	Расстояние
1 пешеход	4 км/ч	3 ч	4*3 км 30 км
2 пешеход	х км/ч	3 ч	3х км

Составим и решим уравнение:

4*3+х*3=30

12+3х=30

3х=30-12

3х=18

Х=18:3

Х=6 (км/ч)

Ответ: 6 км/ч

Решение задач на движение двух тел в одном направлении

Задача 6. Одновременно из одного пункта в одном направлении вышли два пешехода. Первый пешеход идёт со скоростью 6 км/ч, а второй - со скоростью 4км/ч. Через сколько часов второй пешеход отстанет от первого на 10 км?

- Читаем внимательно задачу

-Какой процесс описан в задаче? (процесс движения)

- О каких величинах мы должны говорить, решая задачи на движение? (Мы должны говорить о времени движения, скорости движения и о расстоянии).

- Кто участвует в задаче? ( два пешехода)

- Как они движутся? (в одном направлении)

- Что нам известно в задаче? ( скорость первого пешехода 6 км/ч, скорость второго пешехода - 4 км/ч , расстояние на которое один пешеход отстанет второго равно 10 км)

- Изобразим графически условие задачи.

- Что нам надо найти? (время)

Решим задачу с помощью уравнения.

Какую величину обозначим за неизвестную (за х)? (время)

	Скорость	Время	Расстояние
1 пешеход	6 км/ч	х ч	6х км, на 10>,чем
2 пешеход	4 км/ч	х ч	4х км

Составив таблицу, выясняем, что это задача на сравнение и уравнение составляем, проговорим фразу: «из большего отнимаем меньшее, получаем разницу».

6х-4х=10

2х=10

Х=10:2

Х=5 (ч)

Ответ: 5 ч.

Задача 7 . Одновременно из одного пункта в одном направлении вышли два пешехода. Скорость первого пешехода 6 км/ч. Через 5 ч второй пешеход отстал от первого на 10 км. С какой скоростью шёл второй пешеход?

- Читаем внимательно задачу

-Какой процесс описан в задаче? (процесс движения)

- О каких величинах мы должны говорить, решая задачи на движение? (Мы должны говорить о времени движения, скорости движения и о расстоянии).

- Кто участвует в задаче? ( два пешехода)

- Как они движутся? (в одном направлении)

- Что нам известно в задаче? ( скорость первого пешехода 6 км/ч, расстояние на которое один пешеход отстанет от второго равно 10 км, время через которое он отстанет 5 ч )

- Изобразим графически условие задачи.

- Что нам нужно найти в задаче? (скорость второго пешехода)

- Что мы примем за х? (Скорость второго пешехода)

-Запишем условие в виде

(До заполнения таблицы выясняем, что обозначаем через х: то, о чём спрашивается в вопросе задачи). Заполнив 2 столбика, опять проговариваем фразу: «Третий столбик заполняем, глядя на первые два. Третий столбик нам даёт уравнение.»

	Скорость	Время	Расстояние
1 пешеход	6 км/ч	5 ч	6*5 км, на 10>,чем
2 пешеход	х км/ч	5 ч	5х км

Составим и решим уравнение:

6*5-х*5=10

30-5х=10

5х=20

Х=20:5

Х=4

Ответ: 4 км/ч

Задача 8. Первый пешеход, идущий со скоростью 6 км/ч, догоняет второго, идущего со скоростью 4 км/ч. Через сколько часов первый пешеход догонит второго, если первоначально расстояние между ними было 10 км и они вышли одновременно?

- Читаем внимательно задачу

-Какой процесс описан в задаче? (процесс движения)

- О каких величинах мы должны говорить, решая задачи на движение? (Мы должны говорить о времени движения, скорости движения и о расстоянии).

- Кто участвует в задаче? ( два пешехода)

- Как они движутся? (в одном направлении)

- Что нам известно в задаче? ( что пешеходы вышли одновременно, скорость первого пешехода 6 км/ч, скорость второго пешехода 4 км/ч, расстояние между пешеходами 10 км, первый пешеход догоняет второго)

- Изобразим графически условие задачи.

- Что нужно найти в задаче? (время через которое первый пешеход догонит второго)

Решим задачу с помощью уравнения, что обозначим за х? (время)

(До заполнения таблицы выясняем, что обозначаем через х: то, о чём спрашивается в вопросе задачи). Заполнив 2 столбика, опять проговариваем фразу: «Третий столбик заполняем, глядя на первые два. Третий столбик нам даёт уравнение.»

	Скорость	Время	Расстояние
1 пешеход	6 км/ч	х ч	6х, на 10км>, чем
2 пешеход	4 км/ч	х ч	4х

Составим уравнение:

6*х-4*х=10

2х=10

Х=10:2

Х=5

Ответ: 5 ч

Задачи на движение по водоёму

Ученик с 5 класса должен знать:

· Скорость по течению равна сумме собственной скорости и скорости течения реки.

· Скорость против течения равна разности собственной скорости и скорости течения реки.

· Скорость по озеру равна собственной скорости.

· Собственная скорость равна половине суммы скорости по течению и скорости против течения.

Краткая запись всех задач оформляется, как, обычно, в таблицу. В начале изучения таких задач выясняем, что, когда плывём по течению, то течение нам помогает плыть, поэтому мы к собственной скорости прибавляем скорость течения. Когда плывём против течения, течение нам мешает плыть, поэтому мы из собственной скорости вычитаем скорость течения. У основной массы класса такие задачи не вызывают затруднений, поэтому, подробное решение и оформление таких задач не будем.

Задача 9. Спортсмен проплыл на лодке по течению реки за 1ч 12 км, а против течения за 1ч 18 км. Найдите скорость течения и собственную скорость лодки.

12 км/ч

скорость лодки по течению

скорость лодки в стоячей воде

скорость лодки против

течения

Примем скорость течения реки за х км/ч.

Чтобы найти собственную скорость лодки, надо к скорости лодки против течения (8 км/ч) прибавить скорость течения реки (х км/ч), получим 8+х км/ч, или от скорости против течения (12 км/ч) вычесть скорость течения реки (х км/ч), получим 12-х км/ч. Так как выражение 8+х и 12-х, обозначающие собственную скорость лодки, равны между собой, то запишем

8+х=12-х

Х+х=12-8

2х=4

Х=2 (км/ч)

Ответ: 2 км/ч

2.2 Опытно-экспериментальная работа. Анализ ее результатов

Изучив теоретические положения по использованию моделирования при решении задач на движение в 5 классе, была проведена экспериментальная работа. Исследование проходило в Нижнекужебарской средней школы Каратузского района. Для эксперимента была взят 5 класс данной школы.

Задачи практической работы:

- подобрать задания для проверочной работы;

- провести проверочную работу по решению задач на движение;

- проанализировать допущенные ошибки;

- апробировать систему задач с использованием моделей;

- провести контрольную работу;

- сравнить количество допущенных ошибок;

- сделать выводы по использованию моделирования при решении задач на движение.

Исследование проводилось в три этапа: 1) констатирующий эксперимент; 2) формирующий эксперимент; 3) контрольный эксперимент.

1. Констатирующий эксперимент. Цель: выявление сформированности навыков решения задач на движение у учащихся 5 класса на исходном этапе эксперимента. Для этого была предложена письменная проверочная работа. Каждый ученик должен был решить две задачи, с которыми ученики были знакомы ранее (Приложение 1). Несмотря на то, что задачи были знакомы, некоторые ученики не справились с их решением и допустили ошибки. Получены следующие результаты:

1. Количество учащихся по списку: 5 чел.

2. Выполняли работу: 5 чел.

3. Выполнили всю работу без ошибок - 1 чел. (20 %)

4. Ошиблись в задаче № 1 - 1 чел. (20 %)

5. Ошиблись в задаче № 2 - 3 чел. (60 %)

6. Не справились с работой - 1 чел. (20 %)

Видно, что примерно половина класса написали работу без ошибок (Приложение 2). Рассмотренные ошибки свидетельствуют о том, что не все ученики смогли четко представить себе жизненную ситуацию, отраженную в задаче, не уяснили отношений между величинами в ней, зависимости между данными и искомыми, поэтому иногда просто механически манипулируют числами. На исходном этапе эксперимента навыки решения задач у учащихся 5 класса находятся на среднем уровне развития.

2. Формирующий эксперимент. Цель данного эксперимента: использование моделирования при решении задач на движение в 5 классе. Для этого классу предлагалось 3 урока, решать задачи с использованием моделирования. Предлагаются следующие фрагменты уроков.

Урок 1

Тема: Решение задач на встречное движение двух тел.

Задачи урока:

- закрепить умения решать задачи на встречное движение двух тел;

- развивать вычислительные навыки, внимание;

- воспитывать усидчивость, терпение, аккуратность.

Оборудование: наглядность для устных упражнений, карточки с дополнительными заданиями.

3. Работа по теме урока.

3.1 Решение задачи с использованием моделирования

Задача. Мотоциклист и велосипедист едут навстречу друг другу. Через сколько часов они встретятся, если расстояние между ними 272 км, скорость велосипедиста 12 км/ч, а скорость мотоциклиста 56 км/ч?

Решим задачу двумя способами

-Читаем внимательно задачу.

- Какой процесс описан в задаче? (Процесс движения)

- Кто участвует в задаче ? (мотоциклист и велосипедист)

- Как движутся мотоциклист и велосипедист (навстречу друг другу)

- Какие величины характеризуют движение (скорость, с которой движутся мотоциклист и велосипедист, время движения, расстояние между ними)

- Что нам известно в задаче? (скорость велосипедиста - 12 км/ч, скорость мотоциклиста - 56 км/ч, расстояние между ними - 272 км)

- Давайте сделаем чертеж к задаче.

Обозначим стрелочками направление движения велосипедиста и мотоциклиста. Скорость велосипедиста обозначим V_{1 ,} а скорость мотоциклиста обозначим V₂. Мотоциклист и велосипедист выехали одновременно и через какое-то время встретились, значит их время движения одинаковое t₁= t₂. Через сколько часов они встретятся, если расстояние между ними S=272 км? Обозначим место встречи флажком. Запишем вопрос задачи. Внизу укажем расстояние между ними

- Что нам нужно найти в задаче (через сколько часов они встретятся)

- Можем ли мы сразу найти это время? (нет)

- Чтобы найти время, что нам надо знать (скорость и путь)

-Путь нам известен, а скоростей аж целых две, что нам с ними нужно сделать?

Давайте рассуждать: весь путь мотоциклист и велосипедист проехали вместе (каждый свой кусочек). Они сближались. Нам нужно узнать, сколько времени они не просто ехали, а сближались. Значит мы хотим найти? (скорость сближения)

- Как ее найти? (сложить скорость велосипедиста со скоростью мотоциклиста)

Чтобы найти скорость сближения данный у нас есть.

Решаем задачу:

1 способ

1) V _сбл.= V₁+ V₂. 12+56=68 (км/ч)-

скорость сближения велосипедиста и мотоциклиста

2) t=S:V 272:68=4 (ч)-

время движения до встречи

Ответ: через 4 часа они встретятся.

2 способ

Решим задачу с помощью уравнения.

Что обозначим за х? (время).

(До заполнения таблицы выясняем, что обозначаем через х: то, о чём спрашивается в вопросе задачи). Заполнив 2 столбика, опять проговариваем фразу: «Третий столбик заполняем, глядя на первые два. Третий столбик нам даёт уравнение.»

	Скорость	Время	Расстояние
велосипедист	12 км/ч	х ч	12х км 272
мотоциклист	56 км/ч	х ч	56х км км

За это время велосипедист до встречи пройдет 12х км, а мотоциклист 56х км. Всего до встречи они пройдут (4х+6х) км. Так как это равно 272 км, то запишем уравнение:

12х+56х=272

68х=272

Х=272:68

Х=4 (ч)

Итак, один пешеход до встречи прошел 12х=12*4=48 (км), другой 56х=56*4=224 (км)

Проверка

48+224=272 (км)

Ответ: 4 ч.

Анализируя данный фрагмент урока, было выявлено, что при решении задач дети плохо усваивают текст задачи. Некоторые учащиеся еще не в полной мере владеют навыками чтения, поэтому им трудно понять условие задачи. Для этого на уроке проводилась дополнительная работа по разъяснению некоторых понятий, приходилось задавать дополнительные вопросы к условию задачи. При разборе задачи дети активно работали, отвечали на вопросы учителя.

При решении задачи алгебраическим способом у некоторых учеников возникли трудности с выбором неизвестного (х), были трудности с составлением и решением уравнения.

Урок 2

Тема: Решение задач на движение двух тел в одном направлении.

Задачи урока:

- закрепить умения решать задачи на движение в одном направлении;

- развивать пространственное мышление, внимание;

- воспитывать аккуратность при построении моделей, интерес к предмету.

Оборудование: карточки с дополнительными заданиями.

3. Работа по теме урока.

3.1. Решение задачи с использованием моделирования.

Задача. Мотоциклист выехал из города со скоростью 45 км/ч, через 2 часа следом за ним выехала машина со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов машина догонит мотоцикл.

-Читаем внимательно задачу.

- Какой процесс описан в задаче? (Процесс движения)

- Кто участвует в задаче? (мотоциклист и велосипедист)

- Как движутся мотоциклист и велосипедист (в одном направлении)

- Какие величины характеризуют движение (скорость, с которой движутся автобусы, время движения, расстояние между ними)

- Давайте к этой задаче составим чертеж.

Обозначим стрелочками направление движения велосипедиста и мотоциклиста. Скорость велосипедиста обозначим V_{1 ,} а скорость мотоциклиста обозначим V₂. Время движения мотоциклиста обозначим t_1. Обозначим то место, где машина догонит мотоцикл, флажком, а время, через которое произойдет встреча t_2. Покажем на чертеже расстояние, которое проехал мотоциклист до того, как начала движение машина S_1.

- Что нужно узнать в задаче? (Через сколько часов машина догонит мотоцикл)

-Чтобы найти время, что нужно для этого знать (скорость и расстояние)

- Давайте разберемся какую скорость, какое расстояние необходимо знать

- Почему машина догонит мотоцикл? (потому, что она едет быстрее и приближается к мотоциклу)

- С какой скоростью? (со скоростью «догоняния», сближения)

- Можем мы найти скорость сближения ? (да, от большей скорости отнять меньшую)

-Почему машине пришлось догонять мотоцикл? ( он выехал раньше)

- Как далеко уехал мотоцикл, можем узнать? (да, время мотоциклиста умножить на скорость мотоциклиста)

Решим задачу.

1. 45*2=90 (км)- расстояние, которое проехал мотоциклист

2. 60-45=15 (км/ч) скорость сближения

3. 90:15=6 (ч) время, через которое машина догонит мотоцикл

Ответ: 6 ч

- Давайте составим уравнение для данной задачи

-Что обозначим за х? (время машины).

-Почему время машины, а не мотоциклиста ? (потому, что за х мы обозначаем меньшее, по условию задачи машина была в пути меньше времени )

(До заполнения таблицы выясняем, что обозначаем через х: т.к это задача на уравнивание, то за х обозначаем меньшую величину). Заполнив 2 столбика, опять проговариваем фразу: «Третий столбик заполняем, глядя на первые два. Третий столбик нам даёт уравнение.»

	Скорость	Время	Расстояние
мотоцикл	45 км/ч	(х+2) ч	45*(х+2) км одинаковое
машина	60 км/ч	х ч	60*х км км

За это время мотоциклист до встречи пройдет 45(х+2) км, а машина 60х км. Поскольку машина догнала мотоцикл, то расстояние они прошли одинаковое, значит расстояние пройденное мотоциклистом равно расстоянию, пройденное машиной.

Запишем уравнение:

45(х+2)=60х

Так как дети еще плохо усваивают текст задачи, приходится проводить дополнительную работу по составлению чертежа, поэтому план решения данной задачи разбирается вместе с учителем. Далее дети активно работают на уроке, отвечают на все вопросы учителя. Ученики уже сами предлагают, какую модель можно использовать для решения, быстро работают по ней и находят способ решения задачи. Что касается алгебраического способа решения задачи, то при решении задач в 5 классе на уравнивание ученики учатся составляется только уравнение, само уравнение не решают. (подобные уравнения решаются только в конце 3 четверти в 6 классе).

3. Контрольный эксперимент. Цель: выявление наличия или отсутствия умений решать задачи на движение, используя метод моделирования. В контрольном эксперименте ученикам было предложено решить четыре задачи на все виды движения (встречное движение, движение в одном направлении, в противоположном направлении и движение по реке). Получены следующие результаты :

1. Количество учащихся по списку: 5 чел.

2. Выполняли работу:5 чел.

3. Решили все задачи без ошибок: 2 чел (40%)

4. Ошиблись во второй задаче: 1 чел. (20%)

5. Ошиблись в четвертой задаче: 2 чел. (40 %)

6. Не справились с решением задач - 0 чел.

Проанализировав данные результаты контрольного эксперимента, можно сделать вывод, что после проведения уроков с использованием метода математического моделирования при решении задач на движение выполнил работу намного лучше, чем при констатирующем эксперименте (Приложение 3). Таким образом, при решении задач на движение следует использовать метод моделирования, что способствует сознательному и прочному усвоению и пониманию материала. Благодаря моделированию математические связи и зависимости приобретают для учеников смысл, а в процессе его использования происходит углубление и развитие математического мышления учащихся. Поэтому моделирование - это один из ведущих методов обучения решению задач и важное средство познания действительности.

...