Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования Республики Башкортостан

государственное автономное профессиональное образовательное учреждение

Учалинский колледж горной промышленности

(ГАПОУ УКГП)

Реферат

По математике

Применения интегралов для решения практических задач

Разработал: Каримов Б.А.

Студент гр. ГЭМ-16Д

Руководитель от учебного заведения

Преподаватель ГАПОУ УКГП

Гайнутдинова Д.Р.

Учалы

2016

Содержание

• Введение
• 1. Неопределенный интеграл
• 2. Определенный интеграл
• 3. Двойной интеграл
• 4. Тройной интеграл
• 5. Криволинейный интеграл
• 6. Поверхностный интеграл
• Заключение
• Список литературы

Введение

Известно, какие замечательные и разнообразные приложения имеет математический анализ как в самой математике, так и в смежных областях знания. Поэтому сама мысль о связи математического анализа с другими математическими дисциплинами и с потребностями практики должна быть усвоена учащимися при изучении основ анализа уже в школе. Изложенный в данной работе материал лишь немногим связан со школьным курсом. В школе в 10-11 классах изучаются неопределённые и определённые интегралы, практикуется вычисление простейших интегралов и нахождение площади криволинейной трапеции, что составляет лишь малую часть всего интегрального исчисления.

Известно - одно из важнейших понятий математического анализа, которое возникает при решении задач о нахождении площади под кривой, пройденного пути при неравномерном движении, массы неоднородного тела, и т. п., а также в задаче о восстановлении функции по её производной (неопределённый интеграл). Упрощённо интеграл можно представить, как аналог суммы для бесконечного числа бесконечно малых слагаемых. В зависимости от пространства, на котором задана подынтегральная функция.

Интеграл бывает:

-Неопределенный;

-Определенный

-Двойной;

-Тройной;

-Кратный;

-Криволинейный;

-Поверхностный.

Применение интеграла:

-Площадь фигуры;

-Объем тела вращения;

-Работа электрического заряда;

-Работа переменной силы;

-Масса;

-Перемещение;

-Дифференциальное уравнение.

1. Неопределенный интеграл

Что нужно знать для успешного освоения материала? Для того чтобы справиться с интегральным исчислением вам необходимо уметь находить производные, минимум, на среднем уровне.

В чем сложность изучения неопределенных интегралов? Если в производных имеют место строго 5 правил дифференцирования, таблица производных и довольно четкий алгоритм действий, то в интегралах всё иначе. Существуют десятки способов и приемов интегрирования. И, если способ интегрирования изначально подобран неверно (т.е. Вы не знаете, как решать), то интеграл можно «колоть» буквально сутками, как самый настоящий ребус, пытаясь приметить различные приемы.

Итак, начинаем с простого. Посмотрим на таблицу интегралов. Как и в производных, мы замечаем несколько правил интегрирования и таблицу интегралов от некоторых элементарных функций. Нетрудно заметить, что любой табличный интеграл (да и вообще любой неопределенный интеграл) имеет вид:

Сразу разбираемся в обозначениях и терминах:

- значок интеграла.

 - подынтегральная функция (пишется с буквой «ы»).

 - значок дифференциала. При записи интеграла и в ходе решения важно не терять данный значок. Заметный недочет будет.

 - подынтегральное выражение или «начинка» интеграла.

 - первообразная функция.

 - множество первообразных функций. Не нужно сильно загружаться терминами, самое важное, что в любом неопределенном интеграле к ответу приплюсовывается константа .

Решить интеграл - это значит найти определенную функцию , пользуясь некоторыми правилами, приемами и таблицей.

Еще раз посмотрим на запись:

Посмотрим в таблицу интегралов.

Что происходит? Левые части  у нас превращаются в другие функции: .

Упростим наше определение.

Решить неопределенный интеграл  - это значит превратить его в определенную функцию , пользуясь некоторыми правилами, приемами и таблицей.

Возьмем, например, табличный интеграл . Что произошло?  превратился в функцию .

Решить неопределенный интеграл - это значит найти множество всех первообразных, а не какую-то одну функцию. В рассматриваемом табличном примере , , ,  и т. д. - все эти функции являются решением интеграла . Решений бесконечно много, поэтому записывают коротко: .

Переходим к рассмотрению конкретных примеров. Начнем, как и при изучении производной, с двух правил интегрирования, которые также называют свойствами линейности неопределенного интеграла:

, где  - постоянный множитель можно (и нужно) вынести за знак интеграла.

 - интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме двух интегралов от каждой функции в отдельности. Данное свойство справедливо для любого количества слагаемых.

Как видите, правила, в принципе, такие же, как и для производных.

Пример 1:

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Решение: Удобнее переписать его на бумагу.

1) Применяем правило . Не забываем записать значок дифференциала  под каждым интегралом. Почему под каждым?  - это полноценный множитель, если расписывать решение совсем детально, то первый шаг следует записать так:

2) Согласно правилу , выносим все константы за знаки интегралов. Обратите внимание, что в последнем слагаемом  - это константа, её также выносим.

Кроме того, на данном шаге готовим корни и степени для интегрирования. Точно так же, как и при дифференцировании, корни надо представить в виде . Корни и степени, которые располагаются в знаменателе - перенести вверх.

3) Все интегралы у нас табличные. Осуществляем превращение с помощью таблицы, используя формулы: ,  и .

Особое внимание обращаю на формулу интегрирования степенной функции , она встречается очень часто, ее лучше запомнить. Следует отметить, что табличный интеграл  - частный случай этой же формулы: .

Константу  достаточно приплюсовать один раз в конце выражения (а не ставить их после каждого интеграла).

4) Записываем полученный результат в более компактном виде, все степени вида  снова представляем в виде корней, степени с отрицательным показателем - сбрасываем обратно в знаменатель.

Проверка. Для того чтобы выполнить проверку нужно продифференцировать полученный ответ:

Время от времени встречается немного другой подход к проверке неопределенного интеграла, от ответа берется не производная, а дифференциал:

Его необходимо раскрыть, и с формально-технической точки зрения - это почти то же самое, что найти производную. Дифференциал раскрывается следующим образом: значок  убираем, справа над скобкой ставим штрих, в конце выражения приписываем множитель :



Получено исходное подынтегральное выражение, значит, интеграл найден правильно.

Пример 2:

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Решение: Анализируя интеграл, мы видим, что у нас произведение двух функций, да еще и возведение в степень целого выражения. К сожалению, на поприще интегральной битвы нет хороших и удобных формул для интегрирования произведения и частного 

, .

А поэтому, когда дано произведение или частное, всегда имеет смысл посмотреть, а нельзя ли преобразовать подынтегральную функцию в сумму?

Рассматриваемый пример - тот случай, когда можно. Сначала я приведу полное решение, комментарии будут ниже.



1) Используем старую-добрую формулу квадрата суммы , избавляясь от степени.

2) Вносим  в скобку, избавляясь от произведения.

3) Используем свойства линейности интеграла (оба правила сразу).

4) Превращаем интегралы по табличной формуле .

5) Упрощаем ответ. Здесь следует обратить внимание на обыкновенную неправильную дробь  - она несократима и в ответ входит именно в таком виде.

Проверка:

Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.

В ходе проверки функцию всегда желательно «упаковать» до первоначального вида, вынося в данном случае  за скобки и применяя формулу сокращенного умножения в обратном направлении: 

Пример 5. Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.



В данном примере подынтегральная функция представляет собой дробь. Когда мы видим в подынтегральном выражении дробь, то первой мыслью должен быть вопрос: А нельзя ли как-нибудь от этой дроби избавиться, или хотя бы её упростить?

Замечаем, что в знаменателе находится одинокий корень из «икс». Один в поле - не воин, а значит, можно почленно разделить числитель на знаменатель:

Действия с дробными степенями я не комментирую, так как о них неоднократно шла речь в статьях о производной функции. Если Вас все-таки ставит в тупик такой пример, как , и ни в какую не получается правильный ответ , то рекомендую обратиться к школьным учебникам. В высшей математике дроби и действия с ними встречаются на каждом шагу.

Также обратите внимание, что в решении пропущен один шаг, а именно, применение правил , . Обычно уже при начальном опыте решения интегралов данные свойства считают само собой разумеющимися и не расписывают подробно.

2. Определенный интеграл

Для того чтобы научиться решать определенные интегралы необходимо:

1) Уметь находить неопределенные интегралы.

2) Уметь вычислить определенный интеграл.

В общем виде определенный интеграл записывается так:

Что прибавилось по сравнению с неопределенным интегралом? Прибавились пределы интегрирования.

-Нижний предел интегрирования стандартно обозначается буквой .

-Верхний предел интегрирования стандартно обозначается буквой .

-Отрезок  называется отрезком интегрирования.

Что значит решить определенный интеграл?

Решить определенный интеграл - это значит, найти число.

Как решить определенный интеграл?

С помощью знакомой со школы формулы Ньютона-Лейбница:

Этапы решения определенного интеграла следующие:

1) Сначала находим первообразную функцию  (неопределенный интеграл). Обратите внимание, что константа  в определенном интеграле не добавляется. Обозначение является чисто техническим, и вертикальная палочка не несет никакого математического смысла, по сути - это просто отчёркивание.

Зачем нужна сама запись ?

Подготовка для применения формулы Ньютона-Лейбница.

2) Подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: .

3) Подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: .

4) Рассчитываем разность , то есть, находим число.

Готово.

В определенном интеграле можно переставить верхний и нижний предел, сменив при этом знак:

Например, в определенном интеграле перед интегрированием  целесообразно поменять пределы интегрирования на «привычный» порядок:

в таком виде интегрировать значительно удобнее.

Как и для неопределенного интеграла, для определенного интеграла справедливы свойства линейности:



это справедливо не только для двух, но и для любого количества функций.

В определенном интеграле можно проводить замену переменной интегрирования, правда, по сравнению с неопределенным интегралом тут есть своя специфика, о которой мы еще поговорим.

Для определенного интеграла справедлива формула интегрирования по частям:

Пример 1: Вычислить определенный интеграл

Решение:

1) Выносим константу за знак интеграла.

2) Интегрируем по таблице с помощью самой популярной формулы . Появившуюся константу  целесообразно отделить от  и вынести за скобку. Делать это не обязательно, но желательно - зачем лишние вычисления?

3) Используем формулу Ньютона-Лейбница . Сначала подставляем в  верхний предел, затем - нижний предел. Проводим дальнейшие вычисления и получаем окончательный ответ.

Для определенного интеграла справедливы все типы замен, что и для неопределенного интеграла.

Пример 2:

Вычислить определенный интеграл

Главный вопрос здесь вовсе не в определенном интеграле, а в том, как правильно провести замену. Смотрим в таблицу интегралов и прикидываем, на что у нас больше всего похожа подынтегральная функция? Очевидно, что на длинный логарифм: . Но есть одна неувязочка, в табличном интеграле под корнем , а в нашем - «икс» в четвёртой степени. Из рассуждений следует и идея замены - неплохо бы нашу четвертую степень как-нибудь превратить в квадрат. Это реально.

Сначала готовим наш интеграл к замене:

Из вышеуказанных соображений совершенно естественно напрашивается замена: 

Таким образом, в знаменателе будет всё хорошо: .

Выясняем, во что превратится оставшаяся часть  подынтегрального выражения, для этого находим дифференциал :

По сравнению с заменой в неопределенном интеграле у нас добавляется дополнительный этап.

Находим новые пределы интегрирования:

Это достаточно просто. Смотрим на нашу замену  и старые пределы интегрирования , .

Сначала подставляем в выражение замены  нижний предел интегрирования, то есть, ноль:

Потом подставляем в выражение замены  верхний предел интегрирования, то есть, корень из трёх:

Продолжаем решение.

1) В соответствии с заменой записываем новый интеграл с новыми пределами интегрирования.

2) Это простейший табличный интеграл, интегрируем по таблице. Константу  лучше оставить за скобками (можно этого и не делать), чтобы она не мешалась в дальнейших вычислениях. Справа отчеркиваем линию с указанием новых пределов интегрирования  - это подготовка для применения формулы Ньютона-Лейбница.

3) Используем формулу Ньютона-Лейбница

.

Ответ стремимся записать в максимально компактном виде, здесь я использовал свойства логарифмов.

Вычислим площадь плоских фигур при помощи интегралов.

На первом месте рассмотрим в строгом изложении задачу об определении площади криволинейной трапеции (Рисунок 1). Эта фигура ограничена сверху кривой, имеющей уравнение, где - положительная и непрерывная в промежутке функция; снизу она ограничена отрезком оси, а с боков - двумя ординатами и (каждая из которых может свестись к точке).

Рисунок 1 - Площадь криволинейной трапеции

Так как площадь P рассматриваемой фигуры ABCD существует, то будем вести речь лишь об её вычислении. С этой целью разобьём промежуток на части, вставив между a и b ряд точек . Обозначив через и , соответственно, наибольшее и наименьшее значения функции в i-м промежутке(i=0,1,…,n-1), составим суммы (Дарбу)

, .

Они, очевидно, представляют собой площади ступенчатых фигур, составленных, соответственно, из входящих и выходящих прямоугольников(см. чертёж). Поэтому . Но при стремлении к нулю наибольшей из разностей обе суммы имеют своим пределом интеграл , следовательно, ему и равна искомая площадь P=.

1) Если криволинейная трапеция CDFE ограничена и снизу и сверху кривыми (Рисунок 2, а), уравнения которых и , то, рассматривая её как разность двух фигур и , получим площадь названной трапеции в виде P=.

2) Пусть теперь дан сектор AOB (Рисунок 2, б), ограниченной кривой AB и двумя радиусами-векторами AO и OB (каждый из которых может свестись к точке). При этом кривая AB задаётся полярным уравнением , где - положительная непрерывная в промежутке функция.

Рисунок 2 (а, б) - Криволинейная трапеция

Вставив между и (см. чертёж) значения , проведём соответствующие этим углам радиус-векторы. Если ввести и здесь наименьшее и наибольшее значение функции в и , то круговые секторы, описанные этими радиусами, будут, соответственно, входящими и выходящими для фигуры(P). Составим отдельно из выходящих секторов две фигуры, площади которых будут

 и .

В этих суммах и легко узнать суммы Дарбу для интеграла ; при стремлении к нулю наибольшей из разностей обе они имеют пределом этот интеграл. Тогда фигура (P) квадрируема и P=. Вычисление площади криволинейной трапеции:

Рисунок 3а - Вычисление площади.

Рисунок 3б - Вычисление площади.

Рисунок 3в - Вычисление площади.



Алгоритм решения задачи на вычисление площади плоской фигуры:

1) Сделать приблизительный график заданных функций, ограничивающих площадь плоской фигуры.

2) Найти пределы интегрирования.

3) Выбрать формулу для вычисления площади.

4) Вычислить площадь заданной фигуры.

Объем тела вращения. Помимо нахождения площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла важнейшим приложением темы является вычисление объема тела вращения.

Вращение происходит в двух способах:

- вокруг оси абсцисс ;

- вокруг оси ординат .

1) Вычисление объема тела, образованного вращением

плоской фигуры вокруг оси .

Пример 1:

Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями ,  вокруг оси .

Решение: Как и в задаче на нахождение площади, решение начинается с чертежа плоской фигуры. То есть, на плоскости  необходимо построить фигуру, ограниченную линиями , , при этом не забываем, что уравнение  задаёт ось .

Чертёж здесь довольно прост:



Рисунок 4 - Чертеж плоской фигуры

Искомая плоская фигура заштрихована, именно она и вращается вокруг оси  В результате вращения получается такая немного яйцевидная летающая тарелка, которая симметрична относительно оси .

Как вычислить объем тела вращения?

Объем тела вращения можно вычислить по формуле:

В формуле перед интегралом обязательно присутствует число .

Как расставить пределы интегрирования «а» и «бэ», думаю, легко догадаться из выполненного чертежа.

Функция … что это за функция? Давайте посмотрим на чертеж. Плоская фигура ограничена графиком параболы  сверху. Это и есть та функция, которая подразумевается в формуле.

В практических заданиях плоская фигура иногда может располагаться и ниже оси . Это ничего не меняет - подынтегральная функция в формуле возводится в квадрат: , таким образом интеграл всегда неотрицателен, что весьма логично.

Вычислим объем тела вращения, используя данную формулу:



В ответе нужно обязательно указать размерность - кубические единицы . То есть, в нашем теле вращения примерно 3,35 «кубиков».

Пример 2:

Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями , ,  и 

Решение: Изобразим на чертеже плоскую фигуру, ограниченную линиями , , , , не забывая при этом, что уравнение  задает ось :

Рисунок 5 - Чертеж плоской фигуры

Искомая фигура заштрихована. При её вращении вокруг оси  получается такой сюрреалистический бублик с четырьмя углами.

Объем тела вращения вычислим как разность объемов тел.

Сначала рассмотрим фигуру, которая обведена красным цветом. При её вращении вокруг оси  получается усеченный конус. Обозначим объем этого усеченного конуса через .

Рассмотрим фигуру, которая обведена красным цветом. Если вращать данную фигуру вокруг оси , то получится тоже усеченный конус, только чуть поменьше. Обозначим его объем через .

И, очевидно, разность объемов  - в точности объем нашего «бублика».

Используем стандартную формулу для нахождения объема тела вращения:

1) Фигура, обведенная жирной линией ограничена сверху прямой , поэтому:

2) Фигура, обведенная красным цветом ограничена сверху прямой , поэтому:

3) Объем искомого тела вращения:

Любопытно, что в данном случае решение можно проверить, используя школьную формулу для вычисления объема усеченного конуса.

Само решение чаще оформляют короче, примерно в таком духе:



2) Вычисление объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси .

Попутно будет рассмотрена задача о нахождении площади фигуры вторым способом - интегрированием по оси .

Пример 3:

Дана плоская фигура, ограниченная линиями , , .

1) Найти площадь плоской фигуры, ограниченной данными линиями.

2) Найти объем тела, полученного вращением плоской фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг оси .

Решение: Задача состоит из двух частей. Начнем с площади.

1) Выполним чертёж:

Рисунок 6а - Чертеж плоской фигуры

Легко заметить, что функция  задает верхнюю ветку параболы, а функция  - нижнюю ветку параболы. Перед нами тривиальная парабола, которая «лежит на боку».

Нужная фигура, площадь которой предстоит найти, заштрихована.

Причем, площадь фигуры находится как сумма площадей:

- на отрезке  ;

- на отрезке  .

Поэтому: 

Чем в данном случае плох обычный путь решения? Во-первых, получилось два интеграла. Во-вторых, под интегралами корни, а корни в интегралах - не подарок, к тому же можно запутаться в подстановке пределов интегрирования. На самом деле, интегралы, конечно, не убийственные, но на практике всё бывает значительно печальнее, просто я подобрал для задачи функции «получше».

Есть более рациональный путь решения: он состоит в переходе к обратным функциям и интегрированию по оси .

Как перейти к обратным функциям? Грубо говоря, нужно выразить «икс» через «игрек». Сначала разберемся с параболой:

Этого достаточно, но убедимся, что такую же функцию можно вывести из нижней ветки:

С прямой всё проще: 

Теперь смотрим на ось : пожалуйста, периодически наклоняйте голову вправо на 90 градусов по ходу объяснений (это не прикол!). Нужная нам фигура лежит на отрезке , который обозначен красным пунктиром. При этом на отрезке  прямая  расположена выше параболы , а значит, площадь фигуры следует найти по уже знакомой вам формуле: . Что поменялось в формуле? Только буква, и не более того.

Находим площадь: на отрезке  , поэтому:

Найду производные:

Получена исходная подынтегральная функция, значит интегрирование выполнено правильно.

Ответ: 

2) Вычислим объем тела, образованного вращением данной фигуры, вокруг оси .

Перерисую чертеж немного в другом оформлении:



Рисунок 6б - Чертеж плоской фигуры

Итак, фигура, заштрихованная, вращается вокруг оси . В результате получается «зависшая бабочка», которая вертится вокруг своей оси.

Для нахождения объема тела вращения будем интегрировать по оси . Сначала нужно перейти к обратным функциям. Это уже сделано и подробно расписано в предыдущем пункте.

Теперь снова наклоняем голову вправо и изучаем нашу фигуру. Очевидно, что объем тела вращения, следует найти как разность объемов.

Вращаем фигуру, обведенную красным цветом, вокруг оси , в результате получается усеченный конус. Обозначим этот объем через .

Вращаем фигуру, обведенную зеленым цветом, вокруг оси  и обозначаем через  объем полученного тела вращения.

Объем нашей бабочки равен разности объемов .

Используем формулу для нахождения объема тела вращения:

В чем отличие от формулы предыдущего параграфа? Только в букве.

А вот и преимущество интегрирования, о котором я недавно говорил, гораздо легче найти , чем предварительно возводить подынтегральную функцию в 4-ю степень.

Ответ: 

Итак, мы узнали, что есть два случая нахождения объемов тела

Рисунок 7а - Первый случай

Рисунок 7б - Второй случай

Алгоритм решения задачи на вычисление объемов тел:

1) Сделать приблизительный рисунок тела.

2) Найти пределы интегрирования.

3) Выбрать формулу для вычисления объема.

4) Найти объем тела.

Длина дуги. Для начала введём понятия о спрямляемой дуге и её длины.

Рассмотрим на плоскости кривую AB, заданную параметрическими уравнениями , , ():

Рисунок 8 - Кривая линия

где функции и предполагаются непрерывными. Будем считать, что точка A отвечает значению , а точка B значению . При этом пусть кратных точек на кривой нет, так что различным значениям параметра отвечают и различные точки кривой.

Если считать точки кривой расположенными в порядке возрастания параметра (т.е. из двух точек ту принимать за следующую, которая отвечает большему значению параметра), то этим на кривой создаётся определённое направление. Возьмём теперь на кривой AB ряд точек , идущих одна за другой в указанном направлении. Им отвечает ряд возрастающих значений параметра . Впишем в кривую AB ломаную и обозначим через p её периметр. Конечный предел s для периметра p, при

стремлении к нулю наибольшей из сторон ломаной (p), называется длиной дуги: . Если такой предел существует, то сама кривая называется спрямляемой.

Перейдём непосредственно к выражению длины дуги интегралом.

Предположим дополнительно, что функции и , фигурирующие в уравнениях незамкнутой кривой, имеют непрерывные производные и .

При этих условиях, как мы докажем, кривая спрямляема и длина дуги выражается формулой .

Будем исходить из разбиения промежутка точками на части длины . Этим значениям t отвечают вершины ломаной , вписанной в дугу , и длину её можно определить как предел периметра P ломаной при стремлении к нулю. Положим , и , .

Длина i-ого звена вписанной ломаной выразится так: .

Применив к приращениям и функции порознь формулу конечных приращений, получим:

, , причём о значениях и мы ничего не знаем, кроме того, что оба они содержатся между и . Имеем теперь , так что для периметра всей ломаной получается следующее выражение:

.

Если заменить во втором слагаемом под знаком корня везде на , то преобразованное выражение , очевидно, представит собой интегральную сумму как раз для интеграла. При стремлении к нулю эта сумма и будет своим пределом упомянутый интеграл. Для того, чтобы показать, что к тому же пределу стремится и периметр P ломаной, достаточно обнаружить, что разность стремится к нулю.

С этой целью произведём оценку этой разности . Элементарное неравенство , если применить его к каждому слагаемому написанной выше суммы в отдельности, даст нам . Ввиду непрерывности функции , по любому заданному найдётся такое , лишь только . Если взять все , так что и . Это и доказывает наше утверждение.

Если кривая задана явным уравнением в прямоугольных координатах , то, принимая x за параметр, как её частный случай, получим .

Наконец, и случай полярного задания кривой также приводится к параметрическому с помощью обычных формул перехода , ; роль параметра здесь играет . Для этого случая , , так что и .

Как вычислить длину дуги кривой?

Помимо нахождения площади и объёма тела вращения, вездесущий определённый интеграл позволяет рассчитать и другие показатели, в частности длину дуги кривой.

И в данной статье мы узнаем, как вычислить данную величину, если линия задана функцией , либо параметрически , или же уравнением  в полярной системе координат.

Пусть некоторая функция  непрерывна на отрезке , и её график на данном промежутке представляет собой кривую или, что то же самое, дугу кривой :

Рисунок 9 - Кривая дуга

В предположение о непрерывности производной  на , длина кривой  выражается формулой:

 или компактнее: 

Согласно геометрическому смыслу, длина не может быть отрицательной, и это заведомо гарантируется неотрицательностью подынтегральной функции  (при разумеющемся условии ). Таким образом, в данной задаче не возникает дополнительных хлопот по поводу того, как и где «петляет» график (выше оси, ниже оси и т.д.).

Пример 1'

Вычислить длину дуги параболы  от точки  до точки 

Решение: принимая во внимание «иксовые» координаты точек, определяем пределы интегрирования  и используем формулу:

Сначала удобно найти первообразную:

Интегрируем по частям:

Таким образом:

Открываем одиночной «звёздочкой» основное решение и используем формулу Ньютона-Лейбница:

Как найти длину дуги кривой, если линия задана параметрически?

Если линия задана параметрическими уравнениями , то при выполнении некоторых условий, на которых я не буду останавливаться, длина дуги кривой , которая прочерчивается при изменении параметра в пределах , рассчитывается по формуле:

где  - значения, определяющие точки  и .

Пример 2:

Вычислить длину дуги кривой 

Решение: аналитические условия задают левую верхнюю дугу астроиды. Причём параметрические уравнения «прорисовывают» эту кривую справа налево, но, как я только что отметил, сейчас нас это не волнует, и асфальтный каток едет дальше.

Используем формулу .

Сначала найдём производные:

и упростим сумму их квадратов:

Это оптимальная во многих случаях техника решения, позволяющая не «таскать за собой» значки корня и интеграла с пределами интегрирования. Тем самым минимизируется риск что-нибудь потерять в громоздкой записи.

Гораздо удобнее «зарядить» в формулу готовую сумму:

А вот теперь самый важный момент. Здесь нельзя «машинально» избавляться от корня и необходимо придерживаться следующего правила:

, если функция  на промежутке ,

или , если  на данном промежутке.

Эта «развилка» сохраняет неотрицательность подынтегральной функции, что соответствует геометрическому смыслу задачи.

На отрезке , следовательно, их произведение неположительное:  и поэтому 

Не понимаете, почему ? Посмотрите на их графики.

Продолжаем, а точнее, заканчиваем решение:

Как найти длину дуги кривой, если линия задана в полярной системе координат?

Пусть кривая  задана в полярных координатах уравнением , где , и при этом значение  определяет точку , а значение  - точку . Если на промежутке  функция  имеет непрерывную производную , то длина кривой  выражается следующей формулой:

Пример 3:

Вычислить длину дуги кривой, заданную в полярной системе координат

, 

Порядок и принципы решения точно такие же.

Используем формулу .

Найдём производную по «фи»:

Составим и максимально упростим подкоренное выражение:

Заливаем топливо:

Используем формулу двойного угла  и основное тригонометрическое тождество , выцыганив тем самым заветный квадрат:

Теперь нужно разобраться с функцией  на отрезке , чтобы правильно избавиться от корня. В этой ситуации можно использовать нечто похожее на метод интервалов. Вычислим значение функции в какой-нибудь промежуточной точке, например, посерединке в точке :

, а значит,  и в любой точке интервала . К слову, и на концах тоже.

Таким образом, вынесение из-под корня проходит без всяких последствий. Считаем интеграл  и если получился отрицательный результат, то ставим перед интегралом «минус». И никаких запарок с рассуждениями.

Площадь поверхности вращения. Посмотрим на лаконичную картинку

Рисунок 10 - Чертеж плоской фигуры

Представьте, что линия  вращается вокруг оси . В результате этого действия получается геометрическая фигура, называемая поверхностью вращения. В данном случае она напоминает такой горшок без дна. И без крышки.

с геометрической точки зрения наш «горшок» имеет бесконечно тонкую стенку и две поверхности с одинаковыми площадями - внешнюю и внутреннюю. Так вот, все дальнейшие выкладки подразумевают площадь только внешней поверхности.

В прямоугольной системе координат площадь поверхности вращения рассчитывается по формуле:

или, если компактнее:

.

К функции и её производной предъявляются те же требования, что и при нахождении длины дуги кривой, но, кроме того, кривая  должна располагаться выше оси . Это существенно! Нетрудно понять, что если линия располагается под осью , то подынтегральная функция будет отрицательной: , и поэтому к формуле придётся добавить знак «минус» дабы сохранить геометрический смысл задачи.

Площадь поверхности тора:

В двух словах, тор - это бублик и поэтому в целях разнообразия я разберу более редкую задачу о площади его поверхности. Сначала с конкретными числовыми значениями:

Пример 1:

Вычислить площадь поверхности тора, полученного вращением окружности  вокруг оси .

Решение: как вы знаете, уравнение  задаёт окружность единичного радиуса с центром в точке . При этом легко получить две функции:

 - задаёт верхнюю полуокружность;

 - задаёт нижнюю полуокружность:

Рисунок 11 - Чертеж тора

Суть кристально прозрачна: окружность вращается вокруг оси абсцисс и образует поверхность бублика. Единственное, здесь во избежание грубых оговорок следует проявить аккуратность в терминологии: если вращать круг, ограниченный окружностью , то получится геометрическое тело, то есть сам бублик. И сейчас разговор о площади его поверхности, которую, очевидно, нужно рассчитать как сумму площадей:

1) Найдём площадь поверхности, которая получается вращением «синей» дуги  вокруг оси абсцисс. Используем формулу . Как я уже неоднократно советовал, действия удобнее проводить поэтапно:

Берём функцию  и находим её производную:

Далее максимально упрощаем корень:

И, наконец, заряжаем результат в формулу:

Заметьте, что в данном случае оказалось рациональнее удвоить интеграл от чётной функции по ходу решения, нежели предварительно рассуждать о симметрии фигуры относительно оси ординат.

2) Найдём площадь поверхности, которая получается вращением «красной» дуги  вокруг оси абсцисс. Все действия будут отличаться фактически только одним знаком. Оформлю решение в другом стиле, который, само собой, тоже имеет право на жизнь:



3) Таким образом, площадь поверхности тора:

Задачу можно было решить в общем виде - вычислить площадь поверхности тора, полученного вращением окружности  вокруг оси абсцисс, и получить Ответ .

Площадь поверхности вращения при параметрически заданной линии:

Если кривая  задана параметрическими уравнениями , то площадь поверхности, полученной вращением данной кривой вокруг оси , рассчитывается по формуле

.

Но, как и в предыдущем пункте, важно чтобы кривая располагалась выше оси абсцисс - в противном случае функция будет принимать отрицательные значения и перед интегралом придётся поставить знак «минус».

Пример 2:

Вычислить площадь сферы, полученной вращением окружности  вокруг оси .

Решение: из материалов статьи о площади и объемё при параметрически заданной линии вы знаете, что уравнения  задают окружность с центром в начале координат радиуса 3.

Ну а сфера, для тех, кто забыл, - это поверхность шара (или шаровая поверхность).

Придерживаемся наработанной схемы решения. Найдём производные:

Составим и упростим «формульный» корень:

Согласно теоретической ремарке, рассматриваем верхнюю полуокружность. Она «прорисовывается» при изменении значения параметра в пределах  (легко видеть, что  на данном промежутке), таким образом:

Как вычислить площадь поверхности вращения,

если линия задана в полярной системе координат? Если кривая задана в полярных координатах уравнением , и функция  имеет непрерывную производную  на данном промежутке, то площадь поверхности, полученной вращением данной кривой вокруг полярной оси, рассчитывается по формуле , где  - угловые значения, соответствующие концам кривой.

В соответствии с геометрическим смыслом задачи подынтегральная функция , а это достигается только при условии  ( и  заведомо неотрицательны). Следовательно, необходимо рассматривать значения угла из диапазона , иными словами кривая должна располагаться выше полярной оси и её продолжения.

Пример 3:

Вычислить площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды  вокруг полярной оси.

Решение: график данной кривой можно посмотреть в Примере 6 урока о полярной системе координат. Кардиоида симметрична относительно полярной оси, поэтому рассматриваем её верхнюю половинку на промежутке  (что, собственно, обусловлено и вышесказанным замечанием).

Поверхность вращения будет напоминать яблочко.

Техника решения стандартна. Найдём производную по «фи»:

Составим и упростим корень:

Надеюсь, с заштатными тригонометрическими формулами ни у кого не возникло затруднений.

Используем формулу:

На промежутке , следовательно:  (о том, как правильно избавляться от корня, я подробно рассказал в статье Длина дуги кривой).

Нахождение статических моментов и центра тяжести кривой. Как известно, статический момент K материальной точки массы m относительно некоторой оси равен произведению из массы m на расстояние d точки от оси. В случае системы n материальных точек с массами , лежащих в одной плоскости с осью, соответственно, на расстояниях от оси, статический момент выразится суммой .

При этом расстояния точек, лежащих по одну сторону от оси, берутся со знаком плюс, а расстояния точек по другую сторону - со знаком минус.

Если же массы не сосредоточены в отдельных точках, но расположены сплошным образом, заполняя линию или плоскую фигуру, то тогда для выражения статического момента вместо суммы потребуется интеграл.

Остановимся на определении статического момента относительно оси x масс, расположенных вдоль некоторой плоской кривой AB. При этом иы предположим кривую однородной, так что её линейная плотность (т.е. масса, приходящаяся на единицу длины) будет постоянной; для простоты допустим даже, что =1 (в противном случае полученный результат лишь умножить на ). При этих предположениях масса любой дуги нашей кривой измеряется просто её длиной, и понятие о статическом моменте приобретает чисто геометрический характер. Заметим, вообще, что когда говорят о статическом моменте (или центре тяжести) кривой - без упоминания о распределении вдоль по ней масс, то всегда имеют ввиду статический момент (центр тяжести), определённый именно при указанных предположениях.

Выделим снова некий элемент кривой (масса которого также выражается числом ). Приняв этот элемент приближённо за материальную

точку, лежащую на расстоянии y от оси, для его статического момента получим выражение . Суммируя эти элементарные статические моменты, причём за независимую переменную возьмём дугу s, отсчитываемую от точки A, получим . Аналогично выражается и момент относительно оси y: . Конечно, здесь предполагается, что y (или x) выражено через s. Практически в этих формулах выражают s через ту переменную t, x или , которая играет роль независимой в аналитическом представлении кривой.

Статические моменты и кривой позволяют легко установить положение от центра тяжести . Точка C обладает тем свойством, что если в ней сосредоточить всю «массу» S кривой (выражаемую тем же числом, что и длина), то момент этой массы относительно любой оси совпадает с моментом кривой относительно этой оси. В частности, если рассмотреть моменты кривой относительно осей координат, то найдём , , откуда , .

Из формулы для ординаты центра тяжести мы получаем замечательное геометрическое следствие. В самом деле, имеем , откуда . Но правая часть этого равенства есть площадь Q поверхности, полученной от вращения кривой AB, в левой же части равенства обозначает длину окружности, описанной центром тяжести кривой при вращении её около оси x, а S есть длина нашей кривой. Таким образом, приходим к следующей теореме Гульдина:

Величина поверхности, полученной от вращения кривой около некоторой не пересекающей её оси, равна длине дуги этой кривой, умноженной на длину окружности, описанной центром тяжести C кривой.

Рисунок 12 - Чертеж кривой

Эта теорема позволяет установить координату центра тяжести кривой, если известны её длина S и площадь Q описанной ею поверхности вращения.

Пример 1:

Пользуясь теоремой Гульдина, определить положение центра тяжести дуги AB круга радиуса r. Так как эта дуга симметрична относительно радиуса OM, проходящего через её середину M, то её центр тяжести C лежит (чертёж 13) на этом радиусе, и для полного определения положения центра тяжести необходимо лишь найти его расстояние от центра O. Выбираем оси, как указано на чертеже, и обозначим длину дуги AB через s, а её хорды - через h. От вращения рассматриваемой дуги вокруг оси x получается шаровой пояс, площадь поверхности Q которого равна . По теореме Гульдина та же поверхность равна , так что и . В частности, для полуокружности , и .

Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры

Рисунок 13 - Плоская фигура

Рассмотрим плоскую фигуру (рисунок 13), ограниченную сверху кривой AB, которая задана явным уравнением . Предположим, что вдоль по этой фигуре равномерно распределены массы, так что (рисунок 13) поверхностная площадь их (т.е. масса, приходящаяся на единицу площади) постоянна. Можно принять, что =1, т.е. что масса любой части нашей фигуры измеряется её площадью. Это всегда и подразумевается, если говорят просто о статических моментах (или о центре тяжести) плоской фигуры.

Чтобы определить статические моменты и этой фигуры относительно осей координат, выделим какой-нибудь элемент нашей фигуры в виде бесконечно узкой вертикальной полоски (см. рисунок). Приняв эту полоску приближённо за прямоугольник, видим, что масса её (выражаемая тем же числом, что и площадь) будет . Для определения соответствующих элементарных моментов и предположим всю массу полоски сосредоточенной в её центре тяжести (т.е. в центре прямоугольника), что, как известно, не изменяет величины статических моментов. Полученная материальная точка отстоит от оси x на расстоянии , от оси y - на расстоянии ; последнее выражение можно заменить просто через x, ибо отброшенная величина , умноженная на массу , дала бы бесконечно малую второго порядка. Итак, имеем , . Просуммировав эти элементарные моменты, придём к результатам

, ,

причём под y разумеется функция .

Как в случае кривой, по этим статическим моментам рассматриваемой фигуры относительно осей координат легко определить теперь и координаты , центра тяжести фигуры. Если через P обозначить площадь (а следовательно, и массу) фигуры, то по основному свойству центра тяжести

, , откуда

, .

И в данном случае мы получаем важное геометрическое следствие из формулы для ординаты центра тяжести. В самом деле, из этой формулы имеем .

Правая часть этого равенства выражает объём V тела, полученного от вращения плоской фигуры около оси x (по формуле ), левая же часть выражает произведение площади этой фигуры P на - длину окружности, описанной центром тяжести фигуры. Отсюда вторая теорема Гульдина:

Объём тела вращения плоской фигуры около не пересекающей её оси равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной центром тяжести фигуры: .

Пример 1:

Найти статические моменты , и координаты центра тяжести фигуры, ограниченной параболой , осью x и ординатой, соответствующей абсциссе x. Так как , то получится

, .

С другой стороны, площадь .

В таком случае, получается, что, ,.

Пользуясь значениями и , легко найти - по теореме Гульдина - объём тела вращения рассматриваемой фигуры вокруг осей координат или вокруг конечной ординаты. Например, если остановиться на последнем случае, так как расстояние центра тяжести от оси вращения есть , то искомый объём будет .

Механическая работа. Пусть точка M движется по прямой (этим случаем мы ограничимся для простоты), причём на перемещении s на неё вдоль той же прямой действует постоянная сила F. Из элементов механики известно, что тогда работа W этой силы выразится произведением . Чаще, однако, случается, что величина силы остаётся постоянной, а непрерывно меняется от точки к точке, и для выражения работы снова приходится прибегнуть к определённому интегралу.

Рисунок 14 - Чертеж механической работы

Пусть путь s, проходимой точкой, будет независимой переменной. При этом предположим, что начальному положению A нашей точки M соответствует значение , а конечному B - значение (рисунок 14).

Каждому значению s в промежутке отвечает определённое положение движущейся точки, а также определённое значение величины F, которую, таким образом, можно рассматривать как функцию от s. Взяв точку M в каком-нибудь её положении, определяемом значением s пути. Найдём теперь приближённое выражение для элемента работы, соответствующего приращению пути, от s до , при котором точка M перейдёт в близкое положение . В положении M на точку действует определённая сила F. Так как изменение этой величины при переходе точки из M в - при малом - также мало, пренебрежём этим изменением и, считая величину силы F приближённо постоянной, найдём для элемента работы на перемещении выражение , так что вся работа W представится интегралом

. (16)

Пример 1:

Применим в виде примера формулу к вычислению работы растяжения (или сжатия) пружины с укреплённым одним концом.

Рисунок 15 - Растяжение

С этим приходится иметь дело, например, при расчёте буферов у железнодорожных вагонов. Известно, что растяжение s пружины (если только пружина не перегружена) создаёт натяжение p, по величине пропорциональное растяжению, так что (рисунок 15) , где c - некоторая постоянная, зависящая от упругих свойств пружины («жёсткость» пружины). Сила, растягивающая пружину, должна преодолевать это натяжение. Если учитывать только ту часть действующей силы, которая на это затрачивается, то её работа при возрастании растяжения от до выразится так:

.

Обозначив через P наибольшую величину натяжения или преодолевающей её силы, соответствующую растяжению пружины (и равную ), мы можем представить выражение для работы в виде .

Если бы к свободному концу пружины сразу была приложена сила P (например, подвешен груз), то на перемещении S ею была бы произведена вдвое большая работа . Как видим, лишь половина пойдёт на сообщение пружине с грузом кинетической энергии.

3. Двойной интеграл

На данном разделе я поэтапно и подробно будут разбирать следующие базовые моменты:

А) Понятие двойного интеграла

Б) Область интегрирования. Порядок обхода области интегрирования. Как изменить порядок обхода?

В) Как вычислить площадь плоской фигуры с помощью двойного интеграла?

А) Понятие двойного интеграла:

Двойной интеграл в общем виде записывается следующим образом:

Разбираемся в терминах и обозначениях:

- значок двойного интеграла;

 - область интегрирования (плоская фигура);

 - подынтегральная функция двух переменных, часто она довольно простая;

 - значки дифференциалов.

Что значит вычислить двойной интеграл?

Вычислить двойной интеграл - это значит найти число. Самое обычное число:

Результат (число ) может быть отрицательным. И ноль тоже запросто может получиться.

Как вычислить двойной интеграл?

Для того чтобы вычислить двойной интеграл, его необходимо свести к так называемым повторным интегралам. Сделать это можно двумя способами. Наиболее распространён следующий способ:

Вместо знаков вопроса необходимо расставить пределы интегрирования. Причём одиночные знаки вопроса  у внешнего интеграла - это числа, а двойные знаки вопроса  у внутреннего интеграла - это функции одной переменной , зависящие от «икс».

Откуда взять пределы интегрирования? Они зависят от того, какая в условии задачи дана область . Область  представляет собой обычную плоскую фигуру, с которой вы неоднократно сталкивались, например, при вычислении площади плоской фигуры или вычислении объема тела вращения.

После того, как переход к повторным интегралам осуществлён, следуют непосредственно вычисления: сначала берётся внутренний интеграл , а потом - внешний. Друг за другом. Отсюда и название - повторные интегралы.

Грубо говоря, задача сводится к вычислению двух определённых интегралов.

Второй способ перехода к повторным интегралам встречается несколько реже:

Что поменялось? Поменялся порядок интегрирования: теперь внутренний интеграл берётся по «икс», а внешний - по «игрек». Пределы интегрирования, обозначенные звёздочками - будут другими! Одиночные звёздочки внешнего

интеграла - это числа, а двойные звёздочки внутреннего интеграла - это обратные функции , зависящие от «игрек».

Какой бы мы ни выбрали способ перехода к повторным интегралам, окончательный ответ обязательно получится один и тот же:

Алгоритм решения двойного интеграла:

1) Необходимо выполнить чертёж. Без чертежа задачу не решить. На чертеже следует изобразить область , которая представляет собой плоскую фигуру. Чаще всего фигура незамысловата и ограничена какими-нибудь прямыми, параболами, гиперболами и т.д. Итак, этап первый - выполнить чертёж.

2) Расставить пределы интегрирования и перейти к повторным интегралам.

3) Взять внутренний интеграл

4) Взять внешний интеграл и получить ответ (число).

Б) Область интегрирования. Порядок обхода области интегрирования.

Как изменить порядок обхода?

В данном раделе мы рассмотрим важнейший вопрос - как перейти к повторным интегралам и правильно расставить пределы интегрирования. Как было сказано выше, сделать это можно так:



И так:

Рассмотрим конкретный пример:

Пример 1:

Дан двойной интеграл  с областью интегрирования . Перейти к повторным интегралам и расставить пределы интегрирования двумя способами.

Решение: Изобразим область интегрирования на чертеже:

Рисунок 16 а - Чертеж плоской фигуры

Задача состоит в том, чтобы просканировать лучом лазера каждую точку заштрихованной области:



Рисунок 16 б - Чертеж плоской фигуры

Луч лазера проходит область интегрирования строго снизу вверх, то есть указку вы всегда держите ниже плоской фигуры. Луч входит в область через ось абсцисс, которая задаётся уравнением  и выходит из области через параболу  (красная стрелка). Чтобы просветить всю область, вам нужно строго слева направо провести указкой вдоль оси  от 0 до 1 (зелёная стрелка).

Итак, что получилось:

«игрек» изменяется от 0 до ;

«икс» изменяется от 0 до 1.

В задачах вышесказанное записывают в виде неравенств:

Данные неравенства называют порядком обхода области интегрирования или просто порядком интегрирования.

После того, как мы разобрались с порядком обхода, можно перейти от двойного интеграла к повторным интегралам:

Половина задачи решена. Теперь необходимо перейти к повторным интегралам вторым способом. Для этого следует найти обратные функции. Смотрим на функции, которыми задается область . Если совсем просто, то перейти к обратным функциям, это значит - выразить «иксы» через «игреки». Единственной функцией, где есть и «икс» и «игрек», является .

Если , то , причём:

обратная функция  задает правую ветку параболы;

обратная функция  задает левую ветку параболы.

Нередко возникают сомнения, вот, к примеру, функция  определяет левую или правую ветвь параболы? Сомнения развеять очень просто: возьмите какую-нибудь точку параболы, например,  (с правой ветви) и подставьте её координаты в любое уравнение, например, в то же уравнение :

...