Получено верное равенство, значит, функция  определяет именно правую ветвь параболы, а не левую.

Более того, данную проверку (мысленно или на черновике) желательно проводить всегда, после того, как вы перешли к обратным функциям.

Обходим область интегрирования вторым способом:

Рисунок 16 в - Чертеж плоской фигуры

Теперь лазерную указку держим слева от области интегрирования. Луч лазера проходит область строго слева направо. В данном случае он входит в область через ветвь параболы  и выходит из области через прямую, которая задана уравнением  (красная стрелка). Чтобы просканировать лазером всю область, нужно провести указкой вдоль оси строго снизу вверх от 0 до 1 (чёрная стрелка).

Таким образом:

«икс» изменяется от  до 1;

«игрек» изменяется от 0 до 1.

Порядок обхода области следует записать в виде неравенств:

И, следовательно, переход к повторным интегралам таков:

Ответ можно записать следующим образом:

Пример 2:

Изменить порядок интегрирования



Решение: Выполним чертёж, при этом, график функции  фактически представляет собой кубическую параболу, просто она «лежит на боку»:

Рисунок 17 а - Чертеж графиков функций

Порядок обхода области, который соответствует повторным интегралам , обозначен стрелками. Обратите внимание, что в ходе выполнения чертежа прорисовалась еще одна ограниченная фигура (левее оси ординат). Поэтому следует быть внимательным при определении области интегрирования - за область можно ошибочно принять не ту фигуру.

Перейдем к обратным функциям:

 - нужная нам правая ветвь параболы;

Изменим порядок обхода области. Как вы помните, при втором способе обхода, область нужно сканировать лазерным лучом слева направо. Но тут наблюдается интересная вещь:



Рисунок 17 б - Чертеж графиков функций

Как поступать в подобных случаях? В таких случаях следует разделить область интегрирования на две части и для каждой из частей составить свои повторные интегралы:

1) Если «игрек» изменяется от -1 до 0 (чёрная стрелка), то луч входит в область через кубическую параболу  и выходит через прямую  (красная стрелка). Поэтому порядок обхода области будет следующим:

И соответствующие повторные интегралы:

2) Если «игрек» изменяется от 0 до 1 (зеленая стрелка), то луч входит в область через ветвь параболы  и выходит через ту же прямую  (синяя стрелка). Следовательно, порядок обхода области будет следующим:



И соответствующие повторные интегралы:

У определенных и кратных интегралов есть весьма удобное свойство аддитивности, то есть, их можно сложить, что в данном случае и следует сделать:

- а вот и наш обход области вторым способом в виде суммы двух интегралов.

Ответ записываем так:

Какой порядок обхода выгоднее? Конечно тот, который был дан в условии задачи - вычислений будет в два раза меньше!

В) Как вычислить площадь плоской фигуры с помощью двойного интеграла?

Начинаем рассматривать собственно процесс вычисления двойного интеграла  и знакомиться с его геометрическим смыслом.

Двойной интеграл  численно равен площади плоской фигуры  (области интегрирования). Это простейший вид двойного интеграла, когда функция двух переменных равна единице: .

Сначала рассмотрим задачу в общем виде. Вычислим площадь плоской фигуры , ограниченной линиями . Для определённости считаем, что  на отрезке . Площадь данной фигуры численно равна:

Изобразим область  на чертеже:

Рисунок 18- Чертеж области D

Выберем первый способ обхода области:

1) Вычислим внутренний интеграл, при этом интегрирование проводится по переменной «игрек»:



Неопределённый интеграл тут простейший, и далее используется банальная формула Ньютона-Лейбница, с той лишь разницей, что пределами интегрирования являются не числа, а функции. Сначала подставили в «игрек» (первообразную функцию) верхний предел, затем - нижний предел

2) Результат, полученный в первом пункте необходимо подставить во внешний интеграл:

Более компактная запись всего решения выглядит так:

Полученная формула  - это в точности рабочая формула для вычисления площади плоской фигуры с помощью «обычного» определённого интеграла.

То есть, задача вычисления площади с помощью двойного интеграла мало чем отличается от задачи нахождения площади с помощью определённого интеграла!

Пример 3:

С помощью двойного интеграла, вычислить площадь плоской фигуры , ограниченной линиями , 

Решение: Изобразим область  на чертеже:



Рисунок 19 - Чертеж области D

Площадь фигуры вычислим с помощью двойного интеграла по формуле:

Выберем следующий порядок обхода области:

Таким образом:

1) Сначала с помощью формулы Ньютона-Лейбница разбираемся с внутренним интегралом:

2) Результат, полученный на первом шаге, подставляем во внешний интеграл:



Пункт 2 - фактически нахождение площади плоской фигуры с помощью определённого интеграла.

Ответ: 

Вычисление площади в случае прямоугольной области.

Рисунок 20 - Прямоугольная область

Возьмём функцию , представляющую прямоугольную область . Вычислим площадь данной области с помощью двойного интеграла. Разобьём промежутки и на части, вставляя точки деления

,

.

Тогда прямоугольник разложится на частичные прямоугольники (рисунок 20):

.

Обозначим через и точные нижнюю и верхнюю границы прямоугольника

. Возьмём , тогда . Просуммируем , где s и S - суммы Дарбу. Если и устремить к нулю, то . Это и есть значение K площади: .

Вычисление площади в случае криволинейной области.

Рисунок 21 - Криволинейная область

Рассмотрим область , ограниченную снизу и сверху двумя непрерывными кривыми: , , а с боков двумя ординатами и .

Заключим область в прямоугольник , полагая , . Значение площади K площади в этом случае: .

Пример 1:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной лемнискатой (рисунок 21):

. Наличие двучлена наталкивает на мысль перейти к полярным координатам:

, , площадь .

Благодаря симметрии, определим (рисунок 21) площадь части фигуры, т.е. . Полярное уравнение лемнискаты , , получаем , искомая площадь есть .

Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат.

Типовое задание формулируется примерно так: «Вычислить двойной интеграл, используя полярную систему координат». После чего для решения предлагается обычный двойной интеграл  в декартовых координатах по области . Сначала рассмотрим более простой и распространённый случай, когда подынтегральная функция двух переменных  и двойной интеграл  численно равен площади области интегрирования. Разберём алгоритм решения на бесхитростной демо-задаче:

Пример 1:

Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченную линиями , с помощью двойного интеграла, используя полярную систему координат

Решение: На первом этапе ничего нового. Выполняем чертёж области  в прямоугольной системе координат. Линейное неравенство  определяет правую полуплоскость, включая ось , а уравнение , очевидно, задаёт какую-то линию 2-го порядка. Чтобы выяснить, какую именно - выделим полный квадрат:



 - окружность единичного радиуса с центром в точке .

Таким образом, требуется вычислить площадь половинки круга:

Рисунок 22 - Чертеж области D

Площадь фигуры стандартно рассчитывается по формуле , однако по условию нужно воспользоваться полярными координатами.

При переходе к полярной системе координат произведение дифференциалов всегда превращается в следующую вещь:

То есть, от интегрирования по декартовым «иксу» и «игреку» мы перешли к интегрированию по полярному радиусу «эр» и полярному углу «фи». Обратите внимание на дополнительно появившийся множитель , образно говоря, это «плата за переход», любители высшей математики могут погуглить якобиан перехода к полярным координатам. Практическая же сторона вопроса состоит в том, что этот множитель «эр» терять нельзя.

Таким образом:

Но это ещё не всё - ведь границы области  тоже заданы в декартовой системе. Используем формулы перехода к полярным координатам . Ось ординат не трогаем, а вот окружность потревожим:

 - получено типовое уравнение, на котором заострялось внимание ещё в статье Полярные координаты.

Теперь двойной интеграл  необходимо свести к повторным интегралам. Для этого нужно выяснить порядок обхода области. Представьте, что из точки полюса исходит луч света и вращается против часовой стрелки.

Когда луч радара поворачивается от полярной оси  до угла  (чёрная стрелка), то он входит в область  непосредственно из полюса (начиная со значения ) и выходит из неё через окружность  (красная стрелка). Таким образом, на промежутке  полярный радиус изменяется в пределах  и область интегрирования полностью «просканирована».

В результате:

Множитель , разумеется, уходит во внутренний интеграл, где осуществляется интегрирование по «эр».

Начинающим вновь рекомендую оформить концовку в два пункта:

1) , чтобы продемонстрировать на следующем шаге примечательный факт, дальше упрощать пока не буду.

2) Подставляем трофей во внешний интеграл:

Заметьте, что здесь прорисовалась знакомая формула площади криволинейного сектора 

Используем формулу понижения степени:

Ответ: 

В простых случаях, как этот, вычисления можно оформить и одной строкой:



Пример 2:

С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 

Решение: Изобразим данную фигуру на чертеже. С прямыми  всё понятно, осталось прояснить вид линий 2-го

порядка. Выделяем полные квадраты:

 - окружность единичного радиуса с центром в точке .

 - окружность с центром в точке  радиуса 2.

Таким образом:



Рисунок 23 - Чертеж области D

По результатам «сканирования» области мы выяснили, что на промежутке  полярный радиус изменяется в пределах .

Перейдём к повторным интегралам:

Остальное - дело техники:

Прикинув по чертежу количество клеточек, приходим к выводу, что полученный результат вполне и вполне правдоподобен.

Вычисление центра тяжести плоской ограниченной фигуры с помощью двойного интеграла.

Первое правило и простейший пример: если у плоской фигуры есть центр симметрии, то он является центром тяжести данной фигуры. Например, центр круглой однородной пластины. Логично и по-житейски понятно - масса такой фигуры «справедливо распределена во все стороны» относительно центра.

Координаты  центра тяжести  плоской однородной ограниченной фигуры рассчитываются по следующим формулам:

,

где  - площадь области  (фигуры); или совсем коротко:

, где 

Интеграл  будем условно называть «иксовым» интегралом, а интеграл  - «игрековым» интегралом.

Примечание-справка: для плоской ограниченной неоднородной фигуры, плотность которой задана функцией , формулы более сложные:

, где  - масса фигуры;

в случае однородной плотности  они упрощаются до вышеприведённых формул.

Пример 1:

Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной линиями .

Решение: линии здесь элементарны:  задаёт ось абсцисс, а уравнение  - параболу, которая легко и быстро строится с помощью геометрических преобразований графиков:

парабола , сдвинутая на 2 единицы влево и на 1 единицу вниз.

Я выполню сразу весь чертёж с готовой точкой  центра тяжести фигуры:

Рисунок 24 - Чертеж плоской фигуры

Правило второе: если у фигуры существует ось симметрии, то центр тяжести данной фигуры обязательно лежит на этой оси.

В нашем случае фигура симметрична относительно прямой , то есть фактически мы уже знаем «иксовую» координату  точки «эм».

Также обратите внимание, что по вертикали центр тяжести смещён ближе к оси абсцисс, поскольку там фигура более массивна.

Координаты центра тяжести фигуры найдём по формулам 

, где .

Порядок обхода области  (фигуры) здесь очевиден:

1) Сначала вычислим площадь фигуры. Ввиду относительной простоты интеграла решение можно оформить компактно, главное, не запутаться в вычислениях:

2) Иксовая координата  центра тяжести уже найдена «графическим методом», поэтому можно сослаться на симметрию и перейти к следующему пункту. Однако так делать всё-таки не советую - велика вероятность, что решение забракуют с формулировкой «используйте формулу».

В этой связи координату лучше рассчитать формально. Вычислим «иксовый» интеграл:



Заметьте, что здесь можно обойтись исключительно устными вычислениями - иногда совсем не обязательно приводить дроби к общему знаменателю или мучить калькулятор.

Таким образом:

,

что и требовалось получить.

3) Найдём ординату  центра тяжести. Вычислим «игрековый» интеграл:

А вот тут без калькулятора пришлось бы тяжко. На всякий случай закомментирую, что в результате умножения многочленов  получается 9 членов, причём некоторые из них подобны. Подобные слагаемые я привёл устно (как это обычно принято делать в похожих случаях) и сразу записал итоговую сумму .

В результате:

что очень и очень похоже на правду.

На заключительном этапе отмечаем на чертеже точку . По условию не требовалось ничего чертить, но в большинстве задач мы волей-неволей вынуждены изобразить фигуру. Зато есть безусловный плюс - визуальная и довольно эффективная проверка результата.

Ответ: 

4. Тройной интеграл

А там, где двойной, неподалёку и тройной:

Разбираемся в записи:

- значок тройного интеграла;

 - подынтегральная функция трёх переменных;

 - произведение дифференциалов.

 - область интегрирования.

Особо остановимся на области интегрирования. Если в двойном интеграле она представляет собой плоскую фигуру, то здесь - пространственное тело, которое, как известно, ограничено множеством поверхностей. Таким образом, помимо вышеуказанного вы должны ориентироваться в основных поверхностях пространства и уметь выполнять простейшие трёхмерные чертежи.

Что значит вычислить тройной интеграл и что это вообще такое?

Вычислить тройной интеграл - это значит найти число:

В простейшем случае, когда , тройной интеграл  численно равен объёму тела . И действительно, в соответствии с общим смыслом интегрирования, произведение  равно бесконечно малому объёму элементарного «кирпичика» тела. А тройной интеграл как раз и объединяет все эти бесконечно малые частички по области , в результате чего получается интегральное (суммарное) значение объёма тела:

.

Как решить тройной интеграл?

Пример 1:

С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

Пожалуйста, перепишите столбиком на бумагу:

Решение: используем формулу .

Для того чтобы выяснить порядок обхода тела и перейти к повторным интегралам нужно (всё гениальное просто) понять, что это за тело. И такому пониманию во многих случаях здорово способствуют чертежи.

По условию тело ограничено несколькими поверхностями. С чего начать построение? Предлагаю следующий порядок действий:

Сначала изобразим параллельную ортогональную проекцию тела на координатную плоскость . Первый раз сказал, как эта проекция называется, lol =)

Коль скоро проецирование проводится вдоль оси , то в первую очередь целесообразно разобраться с поверхностями, которые параллельны данной оси. Напоминаю, что уравнения таких поверхностей не содержат буквы «зет». В рассматриваемой задаче их три:

- уравнение  задаёт координатную плоскость , которая проходит через ось ;

- уравнение  задаёт координатную плоскость , которая проходит через ось ;

- уравнение  задаёт плоскость, проходящую через «одноимённую» «плоскую» прямую параллельно оси .

Скорее всего, искомая проекция представляет собой следующий треугольник:

Рисунок 25 а - Чертеж проекции

На втором этапе выясняем, чем тело ограничено сверху, чем снизу и выполняем пространственный чертёж. Возвращаемся к условию задачи и смотрим, какие поверхности остались. Уравнение  задаёт саму координатную плоскость , а уравнение  - параболический цилиндр, расположенный над плоскостью  и проходящий через ось . Таким образом, проекция тела действительно представляет собой треугольник.

Кстати, здесь обнаружилась избыточность условия - в него было не обязательно включать уравнение плоскости , поскольку поверхность , касаясь оси абсцисс, и так замыкает тело. Интересно отметить, что в этом случае мы бы не сразу смогли начертить проекцию - треугольник «прорисовался» бы только после анализа уравнения .

Аккуратно изобразим фрагмент параболического цилиндра:



Рисунок 25 б - Чертеж проекции

После выполнения чертежей с порядком обхода тела никаких проблем!

Сначала определим порядок обхода проекции. Это делается абсолютно так же, как и в двойных интегралах! Вспоминаем лазерную указку и сканирование плоской области. Выберем «традиционный» 1-й способ обхода:

Далее берём в руки волшебный фонарик, смотрим на трёхмерный чертёж и строго снизу вверх просвечиваем пациента. Лучи входят в тело через плоскость  и выходят из него через поверхность . Таким образом, порядок обхода тела:

Перейдём к повторным интегралам:

С интегралами опять рекомендую разбираться по отдельности:

Начать следует с «зетового» интеграла. Используем формулу Ньютона-Лейбница:

Подставим результат в «игрековый» интеграл:

Что получилось? По существу решение свелось к двойному интегралу, и именно - к формуле  объёма цилиндрического бруса! Дальнейшее хорошо знакомо:

Обратите внимание на рациональную технику решения 3-го интеграла.

Ответ: 

Вычисления всегда можно записать и «одной строкой»:

Нужно ли делать чертёжи, если условие задачи не требует их выполнения?

Можно пойти четырьмя путями:

1) Изобразить проекцию и само тело. Это самый выигрышный вариант - если есть возможность выполнить два приличных чертежа, не ленитесь, делайте оба чертежа.

2) Изобразить только тело. Годится, когда у тела несложная и очевидная проекция. Так, например, в разобранном примере хватило бы и трёхмерного чертежа. Однако тут есть и минус - по 3D-картинке неудобно определять порядок обхода проекции, и этот способ я бы советовал только людям с хорошим уровнем подготовки.

3) Изобразить только проекцию. Тоже неплохо, но тогда обязательны дополнительные письменные комментарии, чем ограничена область с различных сторон. К сожалению, третий вариант зачастую бывает вынужденным - когда тело слишком велико либо его построение сопряжено с иными трудностями.

4) Обойтись вообще без чертежей. В этом случае нужно представлять тело мысленно и закомментировать его форму/расположение письменно. Подходит для совсем простых тел либо задач, где выполнение обоих чертежей затруднительно. Но всё же лучше сделать хотя бы схематический рисунок, поскольку «голое» решение могут и забраковать.

Вычисление объёма цилиндрического бруса.

Рисунок 26 - Чертеж цилиндрического бруса

Пусть непрерывная и положительная функция. Вычислим объём тела, которое сверху ограничено поверхностью , с боков - цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси , снизу - плоской фигурой на плоскости (чертёж 20).

1.Разобьём область на части: и рассмотрим ряд цилиндрических столбиков. (чертёж 20)

2. Возьмём .

3. , где - площадь .

4. Получили интегральную сумму .

5. , где - длина наибольшего диаметра частичной области.

В итоге объём .

Пример 1:

Найти объём тела, вырезанного цилиндром из сферы .

Рисунок 27 - Чертеж цилиндра

,

где P есть полукруг в первом квадранте плоскости xoy, ограниченный линиями и . Перейдём к полярным координатам, тогда уравнение контура P будет при .

Таким образом, объём

.

5. Криволинейный интеграл

Криволинейный интеграл первого рода

имеет вид  и по модулю* равен площади  данного фрагмента.

* Если график  целиком или большей частью расположен ниже плоскости , то площадь получится со знаком «минус».

Согласно общему принципу интегрирования, произведение бесконечно малого кусочка  кривой  на соответствующую высоту  равно бесконечно малому элементу площади данной поверхности:. А криволинейный интеграл как раз и объединяет эти элементы  вдоль всей кривой: .

Если на плоскости  вместо кривой начертить отрезок прямой, то получится ни что иное, как плоская криволинейная трапеция, параллельная оси . Соответствующий интеграл хоть и каламбурно, но с полным правом можно назвать «прямолинейным».

В частности, если подынтегральная функция задаёт плоскость , то криволинейный интеграл равен площади «ленты» единичной высоты, а также и длине самой линии интегрирования: .

Как вычислить криволинейный интеграл 1-го рода?

Пусть точки  являются концами линии , а сама она задана функцией одной переменной . Тогда криволинейный интеграл первого рода можно свести к обычному определённому интегралу по следующей формуле:



Знак модуля обусловлен природой рассматриваемого интеграла: поскольку дифференциал  не может быть отрицательным (это же элемент длины), то при переходе к определённому интегралу нужно соблюсти статус-кво. В случае «арабского» интегрирования справа налево (когда ) значения «икс» убывают и поэтому  - в результате чего появляется побочный минус, подлежащий немедленной ликвидации. Общую формулу можно расписать подробно:

если  (стандартный случай) или:

,

если .

В частности, при  получается хорошо знакомая формула длины дуги кривой .

Пример 1:

Вычислить интеграл  от точки  до точки , если кривая  задана уравнением 

Решение: перед нами каноническое уравнение параболы, и коль скоро в условии дана точка , то речь идёт о её верхней ветке: .

В данной задаче имеет место наиболее распространённый случай , а значит, нужно использовать формулу .

Сначала удобно найти производную и упростить корень:

Так как  и , то  - грубо говоря, на данном шаге мы избавляемся от «игреков».

Предварительная подготовка завершена, пользуемся формулой:

Здесь можно провести замену переменной, но гораздо сподручнее подвести подкоренное выражение под знак дифференциала и обойтись без перехода к новым пределам интегрирования:

Если вычислить тот же самый интеграл от точки  до точки , то результат не изменится. В этом случае «икс» будет убывать от 1 до 0, следовательно, дифференциал  станет отрицательным и при переходе к определённому интегралу потребуется добавить знак «минус»:

Таким образом, криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от направления интегрирования: 

Криволинейным интеграл второго рода:

Отличие будет в способе интегрирования. Если в интеграле  мы объединяли бесконечно малые кусочки  самой кривой, то сейчас интегрирование пойдёт по проекциям  этих кусочков на ось абсцисс:

,

или, как вариант - по их проекциям  на ось ординат:

,

В большинстве задач приходится иметь дело с так называемой общей формой криволинейного интеграла от двух функций:

С практической точки зрения будут важнЫ те же свойства линейности и аддитивности, а также тот факт, что:

криволинейный интеграл 2-го рода зависит от направления интегрирования, причём:

И в самом деле - здесь же интегрирование осуществляется не по длинам  (которые беспрекословно положительны), а по их безразмерным проекциям, которые могут быть и отрицательными.

Пример 2:

Вычислить криволинейный интеграл , где  - отрезок прямой от точки  до точки . Выполнить чертёж.

Решение: на первом шаге нам нужно найти уравнение прямой, которая содержит отрезок . Составим его по двум точкам:

Несмотря на то, что линия интегрирования весьма проста, по условию требуется выполнить чертёж:



Рисунок 28 - Чертеж линии интегрирования

Обязательно указываем направление интегрирования! - здесь оно имеет принципиальное значение. Также обратите внимание на область определения подынтегральных функций - в данном примере , и поэтому линия интегрирования не должна пересекать координатные оси

Криволинейный интеграл 2-го рода тоже сводится к определённому интегралу с «избавлением» либо от всех «игреков», либо от всех «иксов».

Способ первый, традиционный, где осуществляется переход к интегрированию по переменной . Пределы интегрирования, как нетрудно догадаться, соответствуют «иксовым» координатам точек , при этом не имеет значения, какой из них больше, а какой меньше; НО, принципиально важен порядок - интегрировать нужно строго по заданному направлению: от 1 до 3.

Берём уравнение линии  и находим дифференциал:

Подставим  и  в подынтегральное выражение - всё настолько прозрачно, что я даже формулу записывать не буду:



.

Способ второй состоит в переходе к интегрированию по переменной . Для этого из уравнения  выразим обратную функцию:

и найдём дифференциал .

Перейдём к определённому интегралу от 1 до 2 («игрековые» координаты точек  и ), подставив при этом в подынтегральное выражение  и :

Второй способ оказался технически труднее, но, разумеется, бывает и наоборот. Поэтому перед решением всегда полезно «прикинуть» оба пути.

.

6. Поверхностный интеграл

Поверхность обычно обозначают буквой  или . Последний вариант хоть и распространён, но не слишком хорош, так как ассоциируется с площадью; «омега» сложнА для написания, а посему поверхность условимся обозначать буквой .

Поверхностный интеграл по поверхности  обозначают удвоенным значком интеграла:

И здесь сразу возникает вопрос: поверхность - она же в пространстве, так почему интеграла только два? Дело в том, что пространственная поверхность - это объект двумерный. Простейшее доказательство проведём с помощью полюбившегося наглядного пособия =) Расстелите на полу одеяло и задайте на нём, например, декартову систему .

Поверхностные интегралы первого рода:

Рассмотрим некоторую поверхность . Из чего она состоит? Из точек с координатами «икс, игрек, зет».

Пусть функция трёх переменных  определена в каждой точке данной поверхности. Что это значит? Это значит, что каждой точке  поверхности ставится в соответствие определённое число  - образно говоря, «муравей» той или иной степени «упитанности», который «сидит» на бесконечно малом участке  данной поверхности.

Согласно общему принципу интегрирования, интеграл  объединяет этих «муравьёв» по всем бесконечно малым площадям  поверхности .

И нетрудно понять, что при  он в точности равен площади самой поверхности:

Как решать поверхностные интегралы 1-го рода?

Пример 1:

С помощью поверхностного интеграла найти площадь фрагмента плоскости , расположенного в 1 октанте.

Решение: сначала выполним чертёж. В большинстве случаев без него никак. Для этого запишем уравнение плоскости в отрезках:

Рисунок 29 а - Чертеж поверхностного интеграла

По условию, площадь треугольника  нужно найти с помощью поверхностного интеграла 1-го рода:

Если поверхность задана функцией двух переменных , то поверхностный интеграл можно свести к двойному интегралу по формуле:

где  - проекция поверхности  на плоскость . Занесите в свой справочник.

В нашем случае речь идёт о площади и поэтому формула упрощается:



(прерываемся для промежуточных действий)

Перепишем уравнение плоскости в функциональном виде:

и найдём частные производные первого порядка, они здесь элементарные:

продолжаем:

С областью  (на чертеже заштрихована) трудностей нет - остановлюсь лишь на том, как найти уравнение прямой, которая лежит в плоскости . Для этого в уравнении плоскости  обнуляем «лишнюю» зетовую переменную:

откуда удобно выразить:



Рисунок 29 б - Чертеж поверхностного интеграла

Ну и очевидно, что порядок обхода области будет таким:

После чего решение выходит на финишную прямую:

Формула вторая: если поверхность  выражена функцией , то:

где  - проекция данной поверхности на плоскость .

В нашем случае:

Перепишем уравнение плоскости в виде:



и возьмём частные производные:

Теперь в уравнении плоскости обнулим «лишнюю» игрековую координату, выяснив тем самым уравнение прямой, которая лежит в плоскости :

Выполним чертёж проекции :

Рисунок 29 в - Чертеж поверхностного интеграла

Порядок обхода области:

таким образом:

.

Поверхностные интегралы второго рода:

Здесь опять прослеживается аналогия с криволинейными интегралами.

Если в поверхностном интеграле  значения функции  умножаются на бесконечно малые кусочки  самой поверхности (кусочки площади), то у поверхностных интегралов 2-го рода интегрирование осуществляется по проекциям этих кусков на координатные плоскости. В случае проецирования на плоскость  площадь таковой бесконечно малой проекции символически обозначают произведением .

Второе принципиальное отличие состоит в том, что интегрирование ведётся по ориентированной поверхности.

Одну сторону поверхности считают верхней или положительной, обозначим её через , другую сторону - нижней или отрицательной (). Таким образом можно составить ДВА поверхностных интеграла 2-го рода, причём:

Во многих случаях удобно «безликое» обозначение  - со словесным комментарием, о какой стороне поверхности идёт речь. Но более строго стороны принято определять единичными векторами нормали (вспоминаем, что такое вектор нормали к поверхности).

У верхней стороны одеяла эти векторы образуют с осью  острые углы, у нижней стороны - тупые. Если поверхность параллельна оси , то угол прямой, сама поверхность проецируется в линию и оба криволинейных интеграла равны нулю.

Кусочки ориентированной поверхности можно спроецировать на координатные плоскости , провести аналогичные рассуждения и получить ещё две пары поверхностных интегралов 2-го рода:

Здесь значком  обозначают ту сторону поверхности, которая «смотрит» в направлении осей  и  соответственно.

Но то были шутки - на практике наибольшую популярность снискал «комбинированный» интеграл .

Пример 2:

Вычислить интеграл , где  - верхняя сторона плоскости , расположенная в 1 октанте.

Решение: перепишем уравнение плоскости в отрезках:  и изобразим уже привычную картину. Кроме того, добавим единичный нормальный вектор плоскости, указывающий нужное направление:

Рисунок 30 а - Чертеж поверхностного интеграла

Способ первый. Прямое сведение к двойному интегралу.

Для этого удобно использовать свойство линейности:

 - чтобы с каждым интегралом разделаться по отдельности:

1) 

В нашем случае  - острый (см. чертёж выше), поэтому используем первую формулу. Выражаем нужную функцию поверхности , и понеслось:

Найдём линию пересечения плоскости  с координатной плоскостью :

 и изобразим проекцию :

Рисунок 30 б - Чертеж поверхностного интеграла

Выберем следующий порядок обхода области:

Таким образом:



Второй и третий интегралы решаются аналогично:

2) В нашем случае  - острый, поэтому нужно использовать первую формулу:

Выражаем:  и раскручиваем второй интеграл:

Найдём линию пересечения поверхности с координатной плоскостью :

 и изобразим область :

Рисунок 30 в - Чертеж поверхностного интеграла

Порядок обхода области:

Громоздкие вычисления надёжнее оформлять «простынёй», одна строка - одно действие:



3) И, наконец, наш «родной» интеграл 

Сразу находим проекцию и решаем интеграл «одной строкой»:

Рисунок 30 в - Чертеж поверхностного интеграла

Осталось просуммировать полученные результаты:

Ответ: 

Ввиду очевидного свойства  этот же интеграл по нижней стороне поверхности будет равняться «минус пяти».

Второй способ решения:

Поверхностный интеграл 2-го рода можно свести к поверхностному интегралу 1-го рода по следующей формуле:

,

 - векторная функция, которая каждой точке  ориентированной поверхности  ставит в соответствие несвободныйвектор  с началом в данной точке. В нашем случае: 

 - векторная функция, которая каждой точке  опять же ориентированнойповерхности  ставит в соответствие единичный нормальный вектор к данной стороне поверхности в данной точке. Если поверхность задана функцией двух переменных , то оную функцию можно составить по формуле:

для верхней (положительной) стороны поверхности, или:

для нижней (отрицательной) стороны.

Следует заметить, что все нормальные векторы, наоборот - свободны.

Так как в нашем примере поверхность плоская, то во всех её точках вектор  будет одним и тем же (на трёхмерном чертеже я изобразил его один раз). И действительно:

один и тот же вектор для всех точек поверхности .

Теперь по обычной формуле вычислим скалярное произведение, при этом константу нормального вектора удобно сразу вынести за скобки:

Таким образом, по указанной выше формуле:

Ограничимся проецированием поверхности  на плоскость  и формулой:

Функция  - готовенькая, да и корень тоже вычислен:

Интеграл таки лучше взять поэтапно:

Заключение

В данной работе мы рассмотрели основные виды интегралов и их вычисление, а также их применение к решению прикладных задач. С помощью теории интегралов изложено нахождение площадей, ограниченных различными кривыми, объёмов, ограниченных различными поверхностями, в том числе нахождение площадей и объёмов тел вращения. А также описано нахождение длины дуги заданной кривой на данном отрезке. Представлены некоторые механические приложения для определённого и двойного интегралов: нахождение статических моментов, координат центра тяжести кривой, плоской и объёмной фигур, массы тела. Приведены физические приложения, например, нахождение механической работы, работы силового поля, рассмотрение вопроса о плоском установившемся течении несжимаемой жидкости. В работе приведены некоторые применения криволинейных и поверхностных интегралов.

интеграл вычисление задача

Список литературы

1. http://www.mathprofi.ru/ - Интегралы для чайников

2. Матвеев Н.М. «Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений», 1967.

3. Нахман А.Д., «Интегралы функций одной и нескольких переменных. Дифференциальные уравнения». Учебно-методические разработки. Тамбов. Издательство ТГТУ, 2006.

4. Никольский С.М. «Курс математического анализа», Часть 1, 2, 1983.

5. Рудин У. «Основы математического анализа», 1966.

Размещено на Allbest.ru

...