Вивчення додавання і віднімання чисел

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вивчення додавання і віднімання чисел



Зміст

Вступ

1. Теоретичні основи вивчення додавання і віднімання чисел в межах 100

1.1 Теоретико - множинний підхід до дій додавання і віднімання

1.2 Аксіоматичний підхід до транзитивних дій

1.3 Додавання і віднімання в підході "Натуральне число як міра величини"

2. Методика вивчення арифметичних дій додавання та віднімання в початковій школі

2.1 Дії в межах 10

2.2 Методологічне вивчення усних прийомів додавання та віднімання

2.3 Методологічне вивчення письмових прийомів

Висновки

Список рекомендованої літератури



Вступ

Практична і духовна значущість математики в навчанні, розвитку та вихованні молодих школярів визначає такі основні компоненти початкової математичної освіти: знання про натуральні числа і дії над ними, вміння використовуватиці знання в повсякденному житті.

Математичний розвиток включає здібність до узагальнення, вміння помітити спільне в різному, порівнювати, аналізувати, робити висновки та перевіряти їх.

Фундаментом курсу математики початкових класів є вивчення чисел та дій над ними.

Додавання і віднімання в межах 100 групують за їх відношенням до поняття "Перехід через десяток ". Спочатку учні ознайомлюються з прийомами усного додавання і віднімання без переходу через десяток. Далі вводяться письмові прийоми виконаннядій (без переходу із переходом через десяток) у межах 100 належноїуваги приділяється як усним, так і письмовим способам додавання і віднімання.

Оскількиметодика вивчення арифметичних дій додавання та віднімання впочатковій школівідіграє важливу роль у вивченні математики початкових класів, то я вирішила звернути увагу на тему даної курсової роботи.

Мета даної роботи полягає у дослідженні методологічних особливостей додавання та віднімання в межах 100.

Об'єкт роботи -додавання та віднімання в межах 100.

Предмет роботи - методика вивчення додавання і віднімання в межах 100.

Мета даної курсової роботи передбачає розв'язання наступних завдань:

1). Проаналізувати методичну літературу з проблеми дослідження;

2). розглянути методику додавання та віднімання в межах 100 взаємозв'язок між діями додавання і віднімання;

3). Охарактеризувати методику формування навичок усних та письмових обчислень в учнів початкових класів взаємозв'язок між діями додавання і віднімання;

4). Визначити роль і місце арифметичних дій додавання і віднімання на уроках математики.



1. Теоретичні основи вивчення додавання і віднімання чисел в межах 100

1.1 Теоретико - множинний підхід до дій додавання і віднімання

При вивченні освітньої галузі "Математика" у початковій школі поняття натурального числа асоціюється з поняттям про множину. Зокрема, Сонце, Місяць, мама є прикладом одноелементних множин і ототожнюються з числом 1; очі, руки, крила ілюструють поняття про число 2; трикутник - число 3; чотирикутник - 4; кількість пальців на одній руці - 5 і т. д. Так, число 1 є спільною властивістю всіх одноелементних множин, відповідно числа 2, 3, 4, 5 і т. д. є спільною властивістю, якою володіють ці множини, тобто їх спільною кількісною характеристикою.

Для більш чіткого розуміння поняття "натуральне число" слід дати означення потужності, еквівалентності та рівнопотужності множин.

Поняття потужності множин пов'язане з оцінкою кількості елементів у них. У скінченній множині кількість елементів можна перерахувати.

Якщо дві множини мають однакову кількість елементів, то між ними можна встановити взаємно однозначну відповідність. Тоді всі скінченні множини, які мають однакову кількість елементів, будуть еквівалентні за кількістю елементів у них і визначають один клас еквівалентності. Цей клас еквівалентності може бути позначений натуральним числом, яке визначає кількість елементів у множині. Всі одноелементі множини утворюють один клас еквівалентності, двоелементі - другий і так далі. Кожному натуральному числу відповідає клас еквівалентності, який об'єднує всі скінченні множини із кількістю елементів, що дорівнює даному числу.

Число, що визначає деяка множина А, називається потужністю множини А і позначається п (А)або| А|.

Нагадаємо, що дві множини А і В називаються рівно потужними (еквівалентними), якщо вони порожні, або існує об'єктивне відображення множини А на множину В (позначається А ~ В і читається "множина А рівно потужна множині В" ,або "множини А і В рівнопотужні"). Це відношення є рефлексивним, симетричним і транзитивним.

Цим відношенням всі скінченні непорожні множини розбиваються на підмножини, які називаються класами еквівалентних множин, причому будь-які дві множини одного класу є еквівалентними, а різних класів - нееквівалентними. Між множиною класів еквівалентних множин і множиною всіх натуральних чисел встановлено взаємно однозначну відповідність.

Кожній скінченній множині відповідає тільки одне натуральне число, а кожному натуральному числу безліч еквівалентних скінченних множин.

Натуральним числом називається клас скінченних еквівалентних (рівнопотужних) непорожніх множин.

Додавання цілих невід'ємних чисел:

Серед вивчених операцій над множинами найпростішою операцією є об'єднання скінченних множин, які не мають спільних елементів. Операція додавання цілих невід'ємних чисел пов'язана з об'єднанням множин.

Сумою цілих невід'ємних чисел аі b (позначається а + b), що є кількісною характеристикою множин Аі В, називається число елементів об'єднання цих множин, якщо вони не мають спільних елементів:

" а, b О N0 (а + b = n (АUВ),де А? В = Ш, n (А) = а і n (В) = b).

Операція (дія) на множині цілих невід'ємних чисел, при якій кожній парі чисела і b ставиться у відповідність їх сума а + b, називається додаванням цілих невід'ємних чисел. Компоненти додавання називаються доданками, а результат - сумою.

Об'єднання множин завжди існує і визначається однозначно, тому й сума двох довільних цілих невід'ємних чисел завжди існує і визначається однозначно.

Сума довільного цілого невід'ємного і натурального чисел є натуральним числом.

При додаванні виконується така властивість (властивість нуля при додаванні):

" a О N0 a + 0 = 0 + a = a.

Операція додавання цілих невід'ємних чисел комутативна:

" a, b О N0 a + b = a + b.

Операція додавання цілих невід'ємних чисел асоціативна:

" а, b, с О N0 (a + b) + с = a + (b + c).

Записані рівності називаються відповідно комутативним (переставним) та асоціативним (сполучним) законами додавання.

Наоснові асоціативного закону додавання цілих невід'ємних чисел випливає правило додавання кількох цілих невід'ємних чисел. Зокрема, сума трьох цілих невід'ємних чисел не зміниться, якщо будь-які два доданки замінити на їх суму.

"а, b, сО N0 a + b + с = (a + b) + c = a + (b + c)

Цю властивість можна застосувати не тільки до трьох доданків, але й до скінченної кількості доданків розташованих у будь-якому порядку.

З комутативного і асоціативного законів додавання випливає наступне правило додавання числа до суми та суми до числа.

Це правило є основою алгоритмів додавання та застосовується у початковій школі:

"а, b,сО N0(a + b) +с= a + (b + c), (a + b) +с= (a + с) + b.

Щоб додати число до суми або суму до числа, треба знайти суму і до неї додати число або додати це число до одного з доданків і до отриманого результату додати другий доданок.

Приклад 1. Виконати додавання12 + 6.

Розв'язання:

12 + 6 = (10 + 2) + 6 = 10 + (2 + 6) = 10 + 8 = 18.

Відповідь. 18.

При вивченні алгоритму додавання багатоцифрових чисел застосовують правило додавання суми до суми:

" а, b, с, d О N0(a + b) + (с + d) = (a + c) + ( b + d).

Приклад 2. Виконати додавання23 + 15.

Розв'язання:

23 + 15 = (20 +3) + (10 + 5) = (20 +10) + (3 + 5) = 30 + 8 = 38.

Відповідь. 38.

Операція додавання цілих невід'ємних чисел монотонна відносно відношення рівності (закон монотонності додавання):

"а, b,сО N0 a = b Ы a + c = b + c.

Якщо до обох частин рівності цілих невід'ємних чисел додати одне й те саме ціле невід'ємне число, то рівність не порушиться.

На основі дії додавання вводиться означення відношення "менше". Зокрема, числоа менше числа b тоді і тільки тоді, коли існує таке натуральне число с, що а + с=b.

" а, b О N0 a < b Ы $ c О N , а + с = b.

Теорема 1. Для довільних цілих невід'ємних чиселаіb a <b тоді і тільки тоді,коли існує натуральне число с таке, що

а + с = b,де а =п(А)іb=(В).

Доведення.

Якщо а = п(А), b=п(В) і а<b, то існує власнапідмножинаВ1множиниВ така, що А ~ В1.Оскільки В1МВ, то

В = В1(В \ В1).

Якщо

B1= В \ В1,

то

В = В1. Отже,

п (В) = п (В1B1).

Оскільки В1 B1 = Ш,

то означенням суми

п (В) = п (В1) + п(В1)

.З того, що В1 ~ А, маємо п (В1) = п (А).Отже,

п (В) =п (А) + п ( B1 ).

Якщо позначити п ( B1 ) = с,то отримаємо рівність

b = а + с.

Якщо здійснити міркування в зворотньому напрямі, то то з

b =а+с

випливає, що а<b.

На основі означення "менше" та монотонності додавання можна довести властивість монотонності для нерівності.

Теорема 2. Операція додавання цілих невід'ємних чиселмонотонна.

" а, b, k О N0,а <bЫ а + k < b + k.

Доведення.

Якщоа<b, то існує таке натуральне число с, що

а + с=b.

За властивістю монотонності рівності

((а + с) + k = b + k)Ы((а + k) + с = b + k) Ы (а+ k<b + k).

Для множин, які не мають спільних елементів, справедлива адитивна властивість рівностей цілих невід'ємних чисел.

" а, b, с, d О N0 a = b Щ с = d Ю a + c = b + d.

Цю властивість можна довести на основі властивості монотонності і транзитивності рівності цілих невід'ємних чисел:

Якщо

а= b і с = d, то а + с= b + с і b + с= b + d. Отже, а + с = b + d.

Аналогічно доводиться адитивність для нерівностей.

" а, b, с, d ОN0 а < b Щ с < d Ю а + с < b + d.

З доведеного можна сформулювати таке правило: нерівності одного смислу можна почленно додавати.

Для додавання цілих невід'ємних чисел мають місце правиласкорочення для додавання:

Якщо від обох частин рівності відняти одне і те ж число, то рівність не порушиться:

"а, b,сО N0 a + c = b + c Ы a = b;

Якщо від обох частин нерівності відняти одне і те ж число, то знак нерівності не зміниться:

" а, b, с ОN0а + с < b + с Ы а < b.

Поняттясуми двохцілихневід'ємнихчиселможна узагальнити на довільну скінченну сукупність чисел.

Сумою доцільних цілих невід'ємних чисел а1, а2,….., аn (позначається а1 + а2 + ...+ап або ) називається кількісна характеристика об'єднання множин А1А2, ..., Аn , які попарно не перетинаються і мають своїми кількісними характеристиками відповідно числа а1, а2, ..., ап.

Віднімання цілих невід'ємних чисел:

Операція віднімання (дія віднімання) цілих невід'ємних чисел у кількісній теорії цілих невід'ємних чисел пов'язана з відніманням множин, тобто з доповненням підмножини до множини.

Як і додавання, дію віднімання можна означити за допомогою дії над множинами і довести всі її основні властивості. Отже, нехай

а = п (А), b = п (В),причому ВМ А.

Різницею цілих невід'ємних чисел а і b (позначається а - b)називається число елементів у доповненні множини В до множини А, тобто а - b = п (А \ В).

" а, b О N0 a - b =п(А \ В),де а = п (А), b = п (В), В М А.

Знаходження заданими двома числами а і b їхньої різниці а - b називається відніманням і позначається а - b=с. Число а називається зменшуваним, b - від'ємником.

Заозначеннямрізницяцілихневід'ємнихчиселаіbіснуєтодіітількитоді, коли множина В є підмножиною множини А, тобто коли п (В) Јп (А), або b Ј а. Із зазначеного випливає, що дія віднімання намножин і цілих невід'ємних чисел виконується не у всіх випадках, тобто є частковою.

Оскільки А \ А = Ш, то а-а = 0.

А= В (А \ В),а В (А \ В) =Ш, то (А) = п (В UА \ В) = п (В) + п (А \ В).

Отже, а = b + (а - b).

Існує ще одне означення різниці через суму:

Різницею цілих невід'ємних чисел а і b називається таке число с,сума якого з числом b дорівнює а:b + с = а.

Обидва означення різниці цілих невід'ємних чисел рівносильні:

(а - b=с) Ы (а = b+с).

Звідси дія віднімання є оберненою до дії додавання: дія, яка полягає в знаходженні невідомого доданка за відомою сумою і другим доданком:

(х + b=а) Ю (х = а - b).

У початковій школі зв'язок між відніманням і додаванням використовується при розв'язуванні вправ типу: знайдіть невідомий доданок.

Означенням віднімання, як дії оберненої до додавання, користуються при розв'язуванні вправ такого типу: визначте на скільки одне число менше чи більше від іншого. При цьому від більшого числа віднімається менше.

Теорема 3. Для будь-яких цілих невід'ємних чиселаіb,де аіb, існує таке єдине число с, що є різницею чисел а і b.

Доведення.

І. Доведемо існування різниці.

Нехай різниця цілих невід'ємних чисел а і b існує. Покажемо, що а і b. Оскільки різниця цілих невід'ємних чисел а і b існує, то за означенням різниці знайдеться таке ціле невід'ємне число х, що b + х = а. Для х можливі два випадки: або х = 0, або х ? 0 (х О N).

Якщо х= 0, то з того, що b + 0 = а, випливає (за властивістю нуля при додаванні) b = а.

Якщо ж хОN, то з того, що b +х=а, одержуємо (за означенням відношення "більше") а>b.

За умови існуванні різниці чисел а і b маємо, що аіb. Отже,існування різниці доведено.

ІІ. Доведемо єдиність різниці.

Нехай різниця цілих невід'ємних чисел а і b існує. Припустимо, що існують дві різниці виду

а - b = х1 і а - b =х2.

Звідси за означенням різниці маємо

а= b +х1 і а= b +х2.

Тому

b + х1 = b + х2і

за правилом скорочення для додавання одержимо х1 = х2.Отже,різниця цілих невід'ємних чисел,якщо вона існує,визначається однозначно.

На основі означення різниці цілих невід'ємних чисел та даної теореми можна сформулювати такі властивості:

1.Якщо від будь-якого цілого невід'ємного числа відняти нуль, то отримаємо те саме ціле невід'ємне число:

"a О N0 а -0 = а.

2. Якщо від будь-якого цілого невід'ємного числа відняти тесаме ціле невід'ємне число, то отримаємо нуль:

"a О N0 a - a = 0.

3. Якщо зменшуване і від'ємник одночасно збільшити абозменшити на одне й те саме число, то різниця не зміниться (основна властивість різниці):

" a, b, с, k О N0(а - b = с) Ы ((а + k) - (а + k) = с).

Теорема 4 (правило віднімання числа від суми). Длядовільних цілих невід'ємних чисел a, b і с, якщо відповідні різниці існують, то мають місце рівності:

(а + b) - с=а + (b - с) = (а - с) + b.

Доведення.

Нехай має місце умова теореми.

Доведемо, що тоді істинною є рівність

(a + b) - c = a + (b - c). (1)

Позначимо праву частину рівності (1) через x, тобто a + (b - c) = x. (2) Тоді будемо мати

a + (b - c) = x за означенням різниці

b - c = x - a за означенням різниці

b = (x - a) + c за монотонністю додавання

a + b = a + ((x - a) + c) за асоціативністю додавання

a + b = (a + (x - a)) + c за означенням різниці

a + b = x + c за означенням різниці

(a + b) - c = x. (3)

З рівностей (2) і (3) одержуємо (a + b) - c = a + (b - c), тобто рівність (1). Другу частину даної теореми легко одержати, скориставшись комутативністю додавання та доведеною першою частиною. Теорему 4можна узагальнити на довільне скінченне число доданків. При умові існування відповідних різниць, щоб відняти число від суми кількох доданків, достатньо відняти його від одного з них і одержану різницю додати до суми решти доданків. Аналогічно до попередньої теореми доводиться наступна теорема.

Теорема 5. (правило віднімання суми від числа). Длядовільних цілих невід'ємних чисел а, b і с, якщо існують відповідні різниці, то має місце рівність:

а -(b + с) = (а - b)- с = (а - с)- b.

Дану теорему можна узагальнити на довільну скінченну кількість доданків.

Якщо відповідні різниці існують, то, щоб відняти суму від числа, достатньо відняти від цього числа один із доданків, від одержаної різниці відняти ще один із доданків, що залишився, і т. д., поки не віднімемо останній доданок.

(а +b)-

1.2 Аксіоматичний підхід до транзитивних дій

Наукове обґрунтування аксіоматичного методу належить визначному філософу і математику Піфагору (V ст. до н. е.). Вже у IV ст. до н. е. інший вчений - Арістотель сформулював основний принцип аксіоматичної побудови математики, який полягав у тому, що при доведенні складних положень треба посилатися на відомі поняття та відомі раніше доведені твердження.

У кожній теорії треба визначити первісні поняття і найбільш прості вихідні твердження, істинність яких незаперечна і за допомогою яких потрібно розвивати теорію на основі відомих законів формальної логіки. Твердження, які приймаються в межах певної теорії істинними без доведення, називаються аксіомами.

Аксіоматичний метод побудови теорії полягає в тому, що:

1) виділяються неозначувані (первісні) поняття теорії. Усі інші поняття цієї теорії означаються через раніше означені або через первинні поняття;

2) виділяються вихідні твердження - аксіоми. Усі інші твердження цієї теорії, які називають її теоремами, доводяться на основі раніше доведених теорем, або на основі аксіом.

У теорії спочатку треба сформулювати систему аксіом.

Системою аксіом називають сукупність тверджень про основні (первісні) поняття. Система аксіом повинна задовольняти такі умови:

1) бути несуперечливою (умова несуперечності). Система аксіом вважається несуперечливою, якщо серед її логічних наслідків немає двох, які є запереченням один одного.

2) бути незалежною (умова незалежності, або мінімальності) Суть незалежності полягає втому, що жодна з аксіом не є логічним наслідком інших аксіом цієї системи.

3) бути повною (умова повноти).

Одна і та ж теорія може бути побудована на основі різних первинних понять і систем аксіом.

Аксіоматична побудова арифметики цілих невід'ємних чисел була розроблена у 1891 р. італійським математиком Д. Пеано. В її основу було покладено ідеї німецького математика Р. Дедекінда. При аксіоматичній побудові множини цілих невід'ємних чисел не можна вважати відомими властивості цих чисел. Усі відомості, якими можна користуватися при міркуваннях, беруться з аксіом і наслідків із них.

Первинними поняттями аксіоматичної теорії цілих невід'ємних чисел є:

* "ціле невід'ємне число";

* "нуль";

* відношення між числами ("безпосередньо йде за", "наступне за", "йде за").

Додаванням цілих невід'ємних чисел називається операція, яка кожній парі чисела і b ставить у відповідність число а + b, таке, що мають місце аксіоми:

"a О (a + 0 = a);

"a,b О (a + b' = (a + b)').

Числоа + b називається сумою чисел а і b, а самі числа а і b - доданками.

Аксіоматичне означення додавання цілих невід'ємних чисел передбачає доведення існування такої операції.

Розглянемо наступну теорему:

Теорема 1. Операція додавання цілих невід'ємних чисел існує і до того ж єдина.

Доведення. І. Доведемо, що на множині цілих невід'ємних чисел N0 існує така операція, яка задовольняє умови запропонованого означення. НехайА - множина цілих невід'ємних чисел b, таких, що для довільного цілого невід'ємного числа а і числа b існує єдине число, яке називається сумою чисел а і b, що позначається а + b.

1) За означенням:

а + 0 = а. (1)

Оскільки кожне ціле невід'ємне числоа у множині єдине, то і сума а + 0 для довільного цілого невід'ємного числа визначається однозначно. Отже,

0 ОА.

2) Припустимо, що число b О А. Для числа b і для довільного числаа сума чисел а і b існує і визначається однозначно.

3) Доведемо, що b' ОА. За означенням:

а + b' = (а + b)' (2)

За припущенням про існування і єдиність суми а + b та аксіоми 2 випливає, що число а + b' існує і воно єдине. Доведено, що сумаа + b' існує і визначається однозначно. Тобто b' О А.

За аксіомою індукції А = .

II. Доведемо, що операція додавання єдина. Проведемо доведення від супротивного, тобто припустимо, що на множині цілих невід'ємних чисел, крім операції "+", визначена ще одна деяка операція "*":

" aО (a * 0 = a), (3)

" a, b О (a * b' = (a * b)'). (4)

Позначимо через А множину цілих невід'ємних чисел b, таких, що для довільного цілого невід'ємного числа а виконується рівність

a + b = a * b. (5)

1. За аксіомою 1 і для b = 0 матимемо

а + 0 = а = а * 0.

Отже, 0 О А.

2. Припустимо, що bОА. Для bі для довільного цілого невід'ємного числа а має місце рівність (5).

3. Тоді за аксіомою 2 отримаємо: a + b = a * b; а за аксіомою 6 і твердженням (4)

(а + b)' = (а * b)';

a + b' = a * b'.

Значить, b'О А і за аксіомою індукції А = .

Отже, доведено твердження

" a, bО (a + b = a * b),

яке показує, що операція додавання цілих невід'ємних чисел єдина.

Для довільних цілих невід'ємних чисел a, b і спри додаванні мають місце такі властивості:

1. Якщо до цілого невід'ємного числа додати нуль, то одержимо це саме ціле невід'ємне число (властивість нуля при додаванні):

" aО (а + 0 = 0 + а = а).

Доведення. Доведення твердження (1), яке будемо розглядати як два твердження виду:

" a О(a + 0 = a), (6)

" a О (0 + a = a). (7)

Твердження (6) єаксіомою5, а тому воно істинне. Залишається довести твердження (7).

Нехай М - множина цілих невід'ємних чисел а, для яких має місце рівність 0 + а = а. Тоді:

1) 0ОМ, тому що за аксіомою

5 0 + 0 = 0.

2) Припустимо, що ціле невід'ємне числоа належить множині М, тобто

0 + а = а.

3) Покажемо, що й а' належить множині М. Дійсно:

0 + а' = (0 + а)' = а.

Отже, а' ОМ і за аксіомою індукції М =. А тому твердження (7) істинне.

2. Якщо до цілого невід'ємного числа додати одиницю, то одержимо наступне ціле невід'ємне число (властивість одиниці при додаванні):

"aО (а + 1= 1+ а = а').

3. Асоціативний закон додавання:

"a, bО ((а + b) + с = а + (b + с)).

4. Комутативний закон додавання:

"a, bО (а + b = b + а).

Доведення. Доведемо, що для довільних цілих невід'ємних чисел а і b має місце рівність:

а + b = b + а. (8)

Позначимо через М множину тих цілих невід'ємних чисел b, для яких при довільному цілому невід'ємному числі а має місце рівність (8).

1) За властивістю нуля при додаванні для цілого невід'ємного числа а має місце рівність:

а + 0 = 0 + а. Отже, 0 О М.

2) Припустимо, що bО M, тобто, що для b і для довільного цілого невід'ємного числа а виконується рівність (8).

3) Доведемо, що і b' О M. Здійснимо рід міркувань: За аксіомою 6:

а + b' = (а + b)' = (b + а)'.

За властивістю одиниці при додаванні

b + а' = b + (1 + + а) = (b + 1) + а = b' + а.

За транзитивністю відношення рівності одержуємо:

а + b' = b' + а.

Отже, b' О М. За аксіомою індукції

М =. Це означає, що рівність (8) має місце для довільних цілих невід'ємних чисел а і b.

5. Закон монотонності додавання відносно відношення рівності:

a = b> a + c = b + c.

При аксіоматичній побудові множини цілих невід'ємних чисел важливим є порядок, у якому формулюються і доводяться твердження. Вважається, що кожне сформульоване попереду твердження доведене і може бути використане при доведенні наступних тверджень.

Відому з початкового курсу математики таблицю додавання одноцифрових чисел можна одержати на основі визначених аксіом, позначивши 1= 0', 2 = 1', 3 = 2', 4 = 3', 5 = 4',...

За допомогою комутативного закону можна одержати всю таблицю додавання одноцифрових чисел.

Віднімання цілих невід'ємних чисел.

В аксіоматичній теорії цілих невід'ємних чисел дія відніманняє оберненою до дії додавання.

Дія, за якою знаходять невідомий доданок, якщо відомо суму ідругий доданок, називається відніманням:

x + b = a > x = a - b.

Компоненти при відніманні називаються:

a - зменшуване, b - від'ємник, (a - b) - різниця.

Як бачимо, різниця - це число, яке одержують в результаті діївіднімання.

Дії віднімання можна дати й інше означення:

Відніманням чисел називається така операція, яка числам а, bОставить у відповідність таке число а - b з множини N0 (якщо воно існує), що

(а - b) + b = а.

Якщо а > b і а = b, то різниця виду х = а - b існує. Причому, у першому випадку х ? 0, а в другому х = 0.

Тому дія віднімання можлива лише тоді, коли а ? b. Звідсивипливає, що віднімання на множині цілих невід'ємних чисел не завжди можна виконати.

Теорема 2. Якщо різниця двох цілих невід'ємних чисел існує, то вона єдина.

Доведення. Припустимо, що для чисел а і b при а? b існують двірізниці:

а - b = с1 і а - b = с2.

Тоді а = b + с 1 і а = b + с2.

Звідси, за властивістю транзитивності рівностей маємо:

b + с1 = b + с2.

За законом монотонності с1 = с2. Отже, різниця єдина.

Дія віднімання має такі властивості:

1. Множення дистрибутивне відносно віднімання, тобто:

(а - b) с = ас - bс.

Доведення. За означенням дії віднімання: (а - b) + b = а.

За дистрибутивним законом множення відносно додавання:

((а - b) + b) с = (а - b) с + b с = ас.

Із співвідношення:

(а - b) с + b с = ас.

За означенням віднімання маємо:

(а - b) с = ас - bс.

2. Якщо різниця а - b існує, то а - b ? а.

Доведення. За означенням різниці

(а - b) + b = а.

Якщо b = 0, то а - b = а; якщо b > 0, то за означенням відношення "більше" а > а - b.

3. а - b = с - d - а + d = b + с.

4. (а - b) + (с - d ) = (а + с) - (b + d).

5. (а - b) - (с - d ) = (а + d ) - (b + с).

6. а > b - а - с > b - с.

7. b >с - а - b < а - с.

n

або е aі )

і=1

1.3 Додавання і віднімання в підході "Натуральне число як міра величини"

Практична діяльність змушує людину оперувати різними величинами. Практична потреба в їх лічбі та вимірюванні сприяли виникненню поняття натурального числа (N). Різні способи вимірювання величин об'єднує спільний принцип. Він полягає в тому, що серед об'єктів, які потрібно виміряти, вибирається довільний, який називають одиничним відрізком, а всі інші порівнюються з ним. Результатом порівняння є різного виду числа, насамперед натуральні. Зміст натурального числа як результату вимірювання величин можна розглянути на прикладі вимірювання відрізка.

Відрізок - це частина прямої, обмеженої двома точками. Ці точки називаються кінцями відрізка. Всі інші точки відрізка, які лежать між кінцями, називаються внутрішніми точками. Відрізок позначається двома великими латинськими літерами, що відповідають кінцям відрізка (наприклад б = АВ і в = CD).

Відрізки б і в називаються рівними (позначаються б = в), якщо вони можуть бути суміщені своїми кінцями (один з них можна накласти на другий так, щоб їхні кінці збігалися).

Розглянемо операції над відрізками, зокрема додавання і віднімання.

Розглянемо п і k- будь-які натуральні числа. Виберемо довільний одиничний відрізок е і представимо відрізки у вигляді:

б =п· е та в = k · е.

Одержимо

a+b= n Чe+ k Чe=e+e+...+e+e+e+...+e.

n доданківk доданків

У одержану суму відрізок е входить п + k разів, а тому:

б + в = (п+ k) · е.

Теорема1. Якщо при вибраному одиничному відрізку е відрізки б і в мають мірами відповідно натуральні числа п і k, то їх сума має мірою натуральне число п + k.

Дана теорема дає можливість сформулювати означення суми довільних двох натуральних чисел.

Сумою двох довільних натуральних чиселпі k (позначається п + k)при вибраному одиничному відрізку називається такенатуральне число, яке є мірою відрізка, що є сумою двох відрізків, перший з яких має мірою натуральне число п, а другий - натуральне число k.

Теорема2. Сума натуральних чисел завжди існує і є єдиною.

Доведення.Нехай п і k - довільні натуральні числа, а е - вибраний одиничний відрізок. Побудуємо відрізки б = п * е та в = k * е. Сума відрізків б + в завжди існує і єдина. Вона визначається як об'єднання двох скінченних множин одиничних відрізків. На основі означення міри відрізка, мірою відрізка б + в є натуральне число, причому воно єдине при вибраному одиничному відрізку. Отже, сума натуральних чисел завжди існує і єдина.

Ця теорема дає можливість визначити операцію додавання на множині натуральних чисел. Оскільки сума натуральних чисел означена через суму відрізків, то для операції додавання натуральних чисел матимуть місце властивості, аналогічні властивостям операції додавання відрізків.

Такі міркування приводять до означення різниці натуральних чисел, які розглядаються як міри відрізків.

Різницею двох довільних натуральних чисел п і k (позначається п - k) при вибраному одиничному відрізку, називається натуральне число, яке є мірою різниці двох відрізків, перший з яких має мірою натуральне число п, а другий - натуральне число k.

Різниця натуральних чисел, яка означена через різницю відрізків, існує і єдина тоді і тільки тоді, коли перший відрізок більший за другий. Загалом, у множині натуральних чисел різниця натуральних чисел існує і єдина тоді і тільки тоді, коли перше число більше за друге. Операція віднімання є частковою (виконується не завжди) операцією у множині натуральних чисел.

Розгляд суми і різниці натуральних чисел як міри величин дає можливість обґрунтувати вибір операцій при розв'язуванні різних задач, які розглядаються у курсі математики.



2. Методика вивчення арифметичних дій додавання та віднімання в початковій школі

2.1 Дії в межах 10

Уміння правильно знаходити результати додавання і віднімання в межах 10 є необхідною умовою успішного вивчення усних і письмових прийомів виконання цих дій у наступних концентрах. Треба прагнути, щоб учні засвоїли таблиці додавання і віднімання. Це і є основною вимогою вивчення арифметичних дій у 1 класі.

У вивченні дій додавання і віднімання в межах 10 можна виділити такі етапи:

1). знаходження суми або різниці двох предметних множин перелічуванням предметів (ці операції виконувались при вивченні нумерації чисел);

2).ознайомлення з діями додавання і віднімання, зв'язок між ними та символікою цих дій;

3). складання і заучування таблиць додавання і віднімання в межах 10; застосування знань табличних результатів для обчислення виразів на дві дії (однакових чи різних);

4).ознайомлення з прийомами додавання і віднімання числа по 1 та частинами (групами) та з переставною властивістю дії додавання.

Додавання і віднімання в межах 10 вивчають:

- додавання і віднімання чисел 2 і 3 по одному;

- додавання і віднімання чисел 3, 4 і 5 групами;

- додавання на основі переставної властивості.

У процесі ознайомлення з прийомами додавання і віднімання способом прилічування і відлічування по одиниці подаються такі зразки міркування.

5 + 2. До 5 кружечків додати 1 кружечок, буде 6 кружечків; до 6 кружечків додати 1 кружечок, буде 7 кружечків. Отже, до числа 5 додати 2, буде 7.

Аналогічно міркують, виконуючи віднімання.

7-2. Від 7 кружечків відняти 1 кружечок, буде 6 кружечків; від 6 кружечків відняти 1 кружечок, буде 5 кружечків. Отже, від числа 7 відняти 2, буде 5.

Способи прилічування і відлічування по одиниці учні нерідко зводять до перелічування. Щоб запобігти цьому, використовують такі дві форми запису:

а) 5 + 2 = *7-2 = *

5+1=6 7-1=66+1=7 6-1=5

5+2=7 7-2=5

б) 5+2=5+1+1=7 7-2=7- 1-1 = 5

Структурний чи розгорнутий записи учні не переписують. Розв'язування прикладів супроводжується запитаннями: "Скільки всього додали?", "Як додали?", "Як можна відняти число 2?"

Додаванню і відніманню чисел 3, 4 і 5 групами (частинами) передує повторення складу цих чисел. Пояснення прийому здійснюється за числовою шкалою або наоснові предмет них ситуацій. Застосовуються також структурні записи. 3 + 4 = *9-3 = *8 - 5 = *

3 + 2 + 2 9-1-2 8-2-3

Вправи на засвоєння таблиць додавання і віднімання проводяться на кожному уроці, при цьому має бути широко використана ігрова форма постановки завдань. Під час опрацювання матеріалів останньої підтеми варто послідовно здійснювати облік стану засвоєння таблиць учнями.

Складання і заучування таблиць додавання і віднімання в межах 10

Складання і заучування таблиць додавання і віднімання в межах 10. Кінцева мета вивчення додавання і віднімання в межах 10 полягає в тому, щоб учень вільно називав результат будь-якого прикладу з множини табличних прикладів. Досвід показує, що досягти цієї мети можна через засвоєння впорядкованих таблиць.

Таблиця додавання в межах 10 включає 45 випадків (рис.2.1).

Рис.2.1

Методику роботи щодо складання таблиць покажемо на прикладі додавання і віднімання числа 2.

Робота над новим матеріалом. Бесіда. Складатимемо таблиці додавання і віднімання числа 2. У підручнику подано рядки прикладів і малюнки білих та чорних трикутників. Чорних трикутників у кожному рядку 2.

Прочитайте перший приклад на додавання числа 2. Полічіть трикутники в цьому рядку і перевірте, чи правильно записаний результат. Прочитайте другий приклад на додавання числа 2. Полічіть трикутники в цьому рядку і перевірте, чи правильно знайдено результат. Використовуючи малюнки, знайдіть результати третього і четвертого прикладів, прочитайте їх результати.

Аналогічно пояснюється решта прикладівтаблиці додавання числа 2.

Потім складається таблиця віднімання числа 2. Перші два приклади складає сам учитель.

На малюнку 3 трикутники: 1 білий і 2 чорних. Якщо заберемо 2 чорні трикутники, то залишиться 1 білий. Отже, можна скласти приклад: 3 - 2 = 1. Удругому рядку 2 білих і 2 чорних трикутники. Якщо заберемо 2 чорні трикутники, то залишиться 2 білих. Отже, 4-2 = 2.

Поясніть за малюнками трикутників, скільки буде, якщо число 2 віднімемо від числа 5.

Таким способом учні знаходять решту результатів табличного віднімання числа 2. Таблицю віднімання числа 2 варто запропонувати учням записати у зошит.

На основі різноманітних і численних вправ знання табличних випадків додавання і віднімання в межах 10 необхідно в основному довести до автоматизму. На вивчення таблиць додавання і віднімання кожного числа відводиться два-три уроки. Частина учнів засвоює таблиці вже в процесі їх складання. Однак для багатьох учнів цей процес більш тривалий. Диференційована робота щодо засвоєння учнями таблиць має тривати до кінця навчального року. Основними видами роботи є різні форми читання таблиць, їх відтворення та застосування.

Робота над запам'ятовуванням таблиць додавання і віднімання пов'язана з реалізацією таких завдань: прочитати таблицю додавання (віднімання) числа; прочитати таблицю додавання (віднімання) від більшого результату до меншого; прочитати таблицю додавання числа 4 разом з відповідними прикладами таблиці віднімання числа 4; прочитати підряд результати таблиці додавання (віднімання) числа 4; прочитати частину таблиці додавання (віднімання) числа 4, починаючи, наприклад, з числа 3; прочитати напам'ять таблицю додавання (віднімання) числа 4.

Відтворення і застосування таблиць. Користуючись кружечками, складіть таблицю додавання числа 4. Запишіть таблицю.

Складіть таблицю віднімання числа 4 з таблиці додавання числа 4.

Користуючись таблицями віднімання чисел 3 і 4 (таблиці записані на дошці), назвіть відповіді таких прикладів:

Користуючись таблицями, розв'яжіть тільки приклади на додавання та віднімання числа 4.

Подібні вправи виконуються і за записами таблиць з пропусками або, взагалі, без відповідей. Якщо учень не знає відповіді, вчитель пропонує знайти її за заповненою таблицею або за переліком предметів. В обох випадках пропонується прочитати уголос всю таблицю.

Застосування знань табличних результатів для обчислення виразів на дві дії. Особливістю підходу до застосування знань табличних результатів додавання і віднімання є включення відразу після складання тієї чи іншої таблиці вправ на обчислення виразів, які містять дві дії. Наприклад, після вивчення додавання і віднімання числа 5, пропонують вправи:

Такі вправи вимушують учня тримати деякий час результат в пам'яті, що підвищує ефективність запам'ятовування таблиць.

У процесі ознайомлення з прийомами додавання і віднімання способом прилічування і відлічування по одиниці подаються такі зразки міркування.

5 + 2. До 5 кружечків додати 1 кружечок, буде 6 кружечків; до б кружечків додати 1 кружечок, буде 7 кружечків. Отже, до числа 5 додати 2, буде 7.

Аналогічно міркують, виконуючи віднімання.

7 - 2. Від 7 кружечків відняти 1 кружечок, буде 6 кружечків; від б кружечків відняти 1 кружечок, буде 5 кружечків. Отже, від числа 7 відняти 2, буде 5.

Способи прилічування і відлічування по одиниці учні нерідко зводять до перелічування. Щоб запобігти цьому, використовують такі дві форми запису:

Додаванню і відніманню чисел 3, 4 і 5 групами (частинами) передує повторення складу цих чисел. Пояснення прийому здійснюється за числовою шкалою або на основі предметних ситуацій. Застосовуються також структурні записи.

Вправи на засвоєння таблиць додавання і віднімання проводяться на кожному уроці, при цьому має бути широко використана ігрова форма постановки завдань. Під час опрацювання матеріалів останньої підтеми варто послідовно здійснювати облік стану засвоєння таблиць учнями.



2.2 Методологічне вивчення усних прийомів додавання та віднімання

У поняттях "Десяток" та "Другий десяток" вводяться лише усні обчислення. В основі всіх усних обчислень лежать знання результатів табличного виконання дій.

Табличне додавання і віднімання в межах 10 учні розглядають, опрацьовуючи випадки дій в межах того чи іншого числа. Кінцева мета вивчення додавання і віднімання в межах 10 полягає в тому, щоб учень вільно називав результат будь-якого прикладу з множини табличних прикладів. Досвід показує, що досягнути цієї мети можна через засвоєння впорядкованих таблиць. Таблиця додавання в межах 10 включає 45 випадків; табличних випадків віднімання також 45.

При складанні таблиць додавання та віднімання в межах 10 використовуються такі прийоми:

1).Прилічування 1 та прилічування по 1:

4 + 1; 7 + 1

2). Відлічування 1 і відлічування по 1:

6 - 1; 5 - 1

В основі даних двох груп прийомів лежать поняття "наступне" та "попереднє" число.

3).Прилічування та відлічування групами, причому серед них можуть бути однакові групи (на основі даного прийому складають таблиці). Цей прийом грунтується на складі числа.

5 + 4 = › 5 + 4 = › 9 - 4 = ›

---------------- ---------------- ---------------

5 + 2 + 2 = 9 5 + 1 + 3 = 9 9 - 2 - 2 = 5

При складанні таблиць додавання 6, 7, 8, 9 опираються на властивість: "додавання зручніше виконувати так, щоб до більшого числа додавати менше". По суті, це твердження виражає переставну властивість.

В трирічній початковій школі у підручнику цю властивість формулюють так: "від перестановки доданків сума не змінюється".

Уконцентрі "Десяток" розглядається властивість додавання і віднімання нуля:

а + 0 = а	0 + а = а	а - 0 = а

5 + 0 = 5 0 + 5 = 5 5 - 0 = 5

Також розглянемо такий випадок:

а - а = 0

5 - 5 = 0

Табличні прийоми додавання та віднімання продовжують вивчати у темі "Другий десяток". Як відомо, нумерацію чисел другого десятка вивчають у першому класі чотирирічної початкової школи, але тут розглядають табличні прийоми додавання і віднімання з переходом через десяток.

У першому класі розглядаються лише прийоми, що грунтуються на нумерації чисел, в основі яких лежить поняття наступне і попереднє число - це прийоми прилічування 1 відлічування 1.

Наприклад:

10 + 1; 11 - 1.

Система прикладів, що вміщує додавання одиниці приводить до побудови натурального відрізка 11 - 20. Система прикладів на віднімання 1 дозволяє закріпити знання місця кожного натурального числа у відрізку натурального ряду.

У другому класі чотирирічної початкової школи розглядаються табличні прийоми додавання і віднімання з переходом через десяток. Вивчення цих таблиць ведеться проблемним методом, спираючись на знання і досвід дітей. На початку навчального року відводиться 12 (10) уроків на повторення матеріалу, вивченого у першому класі.

Після підготовчих вправ розглядаються випадки додавання і віднімання з переходом через десяток.

Наприклад:

9 + 2 =

1 1

9 + 1 = 10

10 + 1 = 11

Таблиця виконання додавання з переходом через десяток на тривалий час вивішується в класі. І лише після того, як учні вміють обгрунтувати прийом словесно крок за кроком, то приклад записують у згорнутій формі так:

9 + 2 = 11

1 1

А пізніше: 9 + 2 = 11.

Останній запис свідчить про сформування автоматизованих навичок.

Паралельно з дією додавання вивчається і віднімання:

11 - 2 =

1 1

10 - 1 = 9

11 - 2 = 9

Даний спосіб табличного віднімання називається "віднімання від'ємника по частинам".

На наступному уроці вивчається додавання і віднімання з переходом через десяток. Якщо в таблицях додавання і віднімання один приклад, то у даних буде по два приклади (оскільки 3 = 2 + 1 і 3 = 1 + 2);

8 + 3 = 11 - 3 =

2 1 1 2

8 + 2 = 10 11 - 1 = 10

10 + 1 = 11 10 - 2 = 8

8 + 3 = 11 11 - 3 = 8

У системі тренувальних вправ можна виділити три групи завдань:

1). відтворення прийомів обчислення;

2). відтворення таблиць в їх певній системі;

3). застосування знань табличних результатів у різних ситуаціях.

Відтворення прийомів обчислення.

1. Поясніть розв'язання прикладів на основі предметного унаочнення (наприклад, за допомогою кружечків і набірного полотна): 8 + 6 = 14; 14 - 6 = 8

2. Поясніть розв'язання за даним розгорнутим чи структурним записом, наприклад: 7 + 9 = (7 + 3 ) + 6 = 16.

3. Поясніть розв'язання, не спираючись на наочність і записи.

Відтворення таблиць:

1. Читання таблиць:

1). прочитайте таблицю додавання (віднімання) числа за підручником або із зошита;

2). прочитайте всі випадки табличного додавання числа з переходом через десяток;

3). прочитайте всі випадки табличного додавання числа з переходом через десяток разом із відповідними випадками віднімання числа.

2. Відтворення таблиць напам'ять:

1). прочитайте таблицю додавання числа за підручником, а потім закрийте підручник і розкажіть таблицю напам'ять;

2). назвіть випадки табличного додавання і віднімання числа 6, подані у записах:

11	12	13	14	15

+6

- 6

3). розкажіть напам'ять таблиці додавання чисел 6 і 7, спираючись на такі записи:

6

1	2	3	4	5	6	7	8	9

+ 7

Застосування табличних результатів.

1. Вправи, яким "властиве" повільне застосування табличного результату; знаходження значень виразів на дві операції (7 - 2 + 6; 7 + 5 - 3) та виразів з буквенними даними (а + 3, якщо а = 8); порівняння виразів і чисел (12 - 7 і 6; 7 + 8 і 14); заповнення "віконець" (доберіть потрібні числа + 3 = 12; - 8 = 6).

2. Вправи на швидке запам'ятовування табличних результатів: усне повідомлення відповідей на запропоновані вчителем табличні вирази, математичні диктанти, різні ущільнені завдання (гра в "мовчанку", збільшення чи зменшення чисел на кілька одиниць тощо).

Після вивчення табличних прийомів додавання і віднімання з переходом через десяток, учні повинні вміти:

1) змоделювати будь-який прийом (один для додавання і два для віднімання);

2). обгрунтувати його словесно, оперуючи термінами, що вказують на моделі лічильних одиниць і терміни компонентів дій;

3). записати алгоритм в розгорнутій формі.

Отже, на кінець вивчення теми, учні повинні знати табличні прийоми додавання і віднімання з переходом через десяток.

2.3 Методологічне вивчення письмових прийомів

На етапі актуалізації опорних знань треба повторити десятковий склад двоцифрових чисел, назви розрядів, значення кожної цифри в запису числа; а також порозрядне додавання двоцифрових чисел.

На етапі ознайомлення треба обґрунтувати необхідність введення нового прийому обчислення. Учням пропонується обчислити суму чисел:

Учні застосовують прийом порозрядного додавання, але стикаються з тим, що знайти суму отриманих результатів 80 і 16 не просто: треба число 16 замінити сумою десятків і одиниць. Так міркувати дуже довго і складно, тому вчитель показує новий прийом обчислення - письмовий, і іншу форму запису - у стовпчик:

Десятки	Одиниці
3	7
5	9
8	16
9	6

Учні розглядають приклад на додавання стовпчиком в нумераційній таблиці. З'ясовують як підписані числа. Дізнаються, чому не можна залишити 16 одиниць в розряді одиниць: 16 = 1д.6од.; розглядають, як записано результат. Потім вчитель ставить запитання: "З якого розряду треба починати виконувати письмове додавання? Чи можна з розряду десятків? Чому не зручно починати додавання з розряду десятків?". Починати додавання з розряду десятків не можна, тому що може статися, що ще один десяток перейде від одиниць, тому додавання треба починати з розряду одиниць.

Таким чином, учні дістають висновку: двоцифрові числа можна додавати стовпчиком. Доданки записують так: одиниці під одиницями, десятки під десятками. Додавання починають з розряду одиниць, при цьому пам'ятаючи, що 10 одиниць складають 1 десяток; потім додають десятки.

Пропонуємо учням таку форму запису прикладів:

Записуємо числа стовпчиком: одиниці під одиницями, десятки під десятками. Додавання починаємо з розряду одиниць: 5 одиниць плюс 8 одиниць, отримаємо 13 одиниць; 13 одиниць - це 1 десяток і 3 одиниці; 3 одиниці пишемо під одиницями, а 1 десяток переходить до десятків; стрілочкою показуємо, що один десяток перейшов до десятків, і додавши десятки його слід врахувати. Додаємо десятки: 6 десятків плюс 2 десятки, отримаємо 8 десятків та ще 1 десяток перейшов, буде 9 десятків; пишімо 9 під десятками.

Після введення письмового додавання двоцифрових чисел учнів можна познайомити з письмовим відніманням. Учні повторюють письмовий прийом додавання і перед ними ставиться проблемне запитання, чи можна так само виконувати віднімання - стовпчиком. Спочатку можна розглянути приклад на віднімання без переходу через розряд: тут учні переносять спосіб запису чисел стовпчиком і порядок міркування: спочатку віднімають одиниці, а потім - десятки:

Але наступний приклад, створює проблемну ситуацію:

Записавши числа стовпчиком: одиниці під одиницями, десятки під десятками, учні починають віднімати одиниці, але з 6 одиниць не можна відняти 8 одиниць.

Вчитель пропонує зайняти 1 десяток у десятків, показавши це стрілочкою, і роздробити його в одиниці. 1десяток - це 10 одиниць, і ще є 6 одиниць, всього 16 одиниць; від 16 одиниць будемо віднімати 8, отримаємо 8 одиниць, підписуємо результат під одиницями.

Переходимо до десятків: було 3 десятки, зайняли 1 десяток, лишилося 2 десятки; 2 десятки мінус 1 десяток, отримаємо 1 десяток; результат запишімо під десятками.

При вивченні письмового додавання і віднімання розглядаються як приклади без переходу через розряд, так і приклади на додавання і віднімання двоцифрових чисел з переходом через розряд, а також випадки додавання, коли сума одиниць дорівнює 10; і віднімання, коли треба із 0 одиниць відняти кілька одиниць:

...