Моделирование на уроках математики в начальной школе

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

• Введение
• Глава I. Теоретико-методологическое основание моделирования в системе начального образования
• 1.1 Смысл понятий "модель" и "моделирование"
• 1.2 Роль и место действия моделирования в стандарте нового поколения для начальной школы
• 1.3 Использование моделирования при обучении математики
• Выводы по главе I
• Заключение
• Литература
• Глоссарий по категориальному аппарату
• Глоссарий по персоналиям
• Введение

Актуальность исследования. Федеральный государственный образовательный стандарт (далее - ФГОС) нового поколения не предполагает серьёзных изменений в математической подготовке для младших школьников. В нём поддерживаются традиции начального обучения математике, однако расставляются другие акценты и определяются другие приоритеты. Основным в целеполагании, в отборе и в структурировании содержания, в условиях его реализации является значимость начального курса математики в продолжении образования в целом, также и математического, и, конечно же, возможность использовать знания и умения в решении различных практических и познавательных задач.

Противоречия. Несмотря на то, что начальному курсу математики уделено внимание в ФГОС, всё же существуют пока ещё проблемы в обучении решению различных задач при изучении курса математики начальной школы.

Проблема обучения младшего школьника решению различных задач на разных этапах развития математического образования была и является одной из наиболее актуальных проблем. Её решению посвящены разнообразные исследования, в роли предмета в которых выступали разные стороны обучения решению различных задач. Это выборка их содержания и система, это и функции задач в самом процессе обучения математике, и роль их в формировании у школьников учебной деятельности и математических понятий, а также в развитии логического мышления школьников. Особое значение при обучении и, прежде всего, при решении задач, в условиях образования, которое ориентировано на развитие у младших школьников мышления, приобретает моделирование, т.к. исследования показали, что оно благоприятствует формированию обобщённых знаний. Этот момент определяет и пути организации деятельности школьников, которые направлены на развитие мышления в ходе анализа задачи и поиска плана решения с помощью моделирования, формирование умений и способов действий, необходимых для осуществления этого. В данной работе моделирование рассматривается не только как способ формирования общего умения решать задачи, но и как одна из целей в обучении математике.

Рассматривая моделирование как частный, специфический вид общего способа деятельности с математическими понятиями и отношениями, предполагается выстроить формирование конструктивных умений у школьника в процессе моделирования изучаемых математических понятий и отношений. Также представление изучаемого понятия или отношения в наглядной модели (макете или конструкции) даёт возможность сформировать у детей адекватное представление о чём-то абстрактном на наглядном уровне, что наиболее соответствует их возможностям и потребностям.

Тема исследования: моделирование на уроках математики в начальной школе.

Целью работы является теоретическое обоснование эффективности использования моделирования в процессе обучения в начальной школе.

Объектом исследования является процесс обучения учащихся моделированию содержания различных задач .

Предметом исследования выступает моделирование содержания различных задач при изучении курса математики начальной школы.

Гипотеза: Обучение младших школьников решению различных задач будет результативным, если:

· учащиеся приобретут навыки по переводу конкретного содержания задач на абстрактной основе;

· при моделировании будут использоваться игрушки, предметы вместо реальных объектов;

· при составлении схем учащимся будет дана возможность строить модели на проектной основе;

· осуществлён постепенный переход от предметных моделей к идеальным моделям.

Задачи исследования:

1. Изучить психолого-педагогическую литературу по проблеме исследования.

2. Изучить роль моделирования в Федеральном Государственном Образовательном Стандарте нового поколения.

3. Проанализировать эффективность использования моделирования при обучении математики.

Методологической основой исследования явились важнейшие исследования методики обучения математике в начальных классах разных авторов (Леонтьев А.И., Истомина Н.Б., Менцис Я.Я. и др.). А также работы, раскрывающие уровни моделирования в математике (Белошистая А.В., Шикова Р.Н. и др.).

Теоретической базой исследования послужили труды зарубежных и отечественных ученых, инструктивные и справочные материалы, нормативные документы, статьи педагогических журналов и газет.

Метод исследования: анализ и обобщение психолого-педагогической литературы;

Структура работы.

Курсовая работа состоит из настоящего введения, двух глав, списка литературы, глоссария и приложений.

В первой главе «Теоретико-методологическое основание моделирования в системе начального образования» рассматриваются теоретические и практические аспекты моделирования, его место в образовании, а также уровни моделирования содержания различных задач в начальной школе.

В заключении подведены итоги исследования и описаны ключевые моменты данной курсовой работы.

Работа представлена на 74 листах.

Глава I. Теоретико-методологическое основание моделирования в системе начального образования

1.1 Смысл понятий «модель» и «моделирование»

Модели и моделирование в обучении младших школьников

Младший школьный возраст является началом формирования учебных действий у детей. В тоже время моделирование - это действие, которое выносится за пределы младшего школьного возраста в дальнейшие виды деятельности человека и выходит на новый уровень своего развития. С помощью моделирования можно свести изучение сложного к простому, незнакомого - к знакомому, то есть сделать объект доступным для тщательного изучения. Для того чтобы «вооружить» учащихся моделированием как способом познания, нужно, чтобы школьники сами строили модели, сами изучали какие-либо объекты, явления с помощью моделирования. [№7]

Несмотря на то, что моделирование используется в учебно-познавательном процессе современной начальной школы (учебники И.И.Аргинской, Э.И.Александровой, Т.Е.Демидовой, Н.Б.Истоминой, Г.Г.Микулиной, Л.Г.Петерсон и др.), в методических пособиях для начальной школы проблема обучения моделированию не нашла должного отражения. В системе Д.Б.Эльконина - В.В.Давыдова моделирование выделено в качестве учебного действия, входящего в состав учебной деятельности, которое должно быть сформировано к концу начальной школы. [№ 6,с..29-33]

Понятие «модель» и «моделирование» трактуется рядом авторов неоднозначно. Рассмотрим определения понятия «модель» и «моделирование».

В Большой Советской энциклопедии «Модель - образ (в том числе условный или мысленный - изображение, описание, схема, чертеж, график, план, карта и т. п.) или прообраз (образец) какого-либо объекта или системы объектов («оригинала» данной модели), используемый при определенных условиях в качестве их «заместителя» или «представителя». [№ 2, стр. 399.]

Штофф В.А. считает, «модель (от лат. modulus - мера) - это заместитель оригинала, обеспечивающий изучение некоторых его свойств. Она создается с целью получения и (или) хранения информации (в форме мысленного образа, описания знаковыми средствами либо материальной системы), отражающей свойства, характеристики и связи оригинала, существенные для решения поставленной задачи» [№10]

По мнению П.В.Трусова, «модель - это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе познания (изучения) замещает объект-оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные его черты» [№ 3, с.18]

А. Б. Воронцов считает, что «модель - выступает как `инструмент' совместной деятельности учащихся и учителя. Она отражает всеобщие отношения и связи внутри изучаемого объекта». [№4]

В.В.Давыдов, А.У Варданян считают, что модель создает язык общения, который, опредмечивая содержание объекта исследования, позволяет выявить его сущность.

Проанализировав приведенные определения, делаем вывод: в определениях В.А. Штоффа, П.В.Трусовой и Большой Советской энциклопедии модель - это образ, а у А.Б. Воронцова модель - это «инструмент»; цели в явном и неявном виде выделены у П.В. Трусовой и В.А. Штоффа, а в энциклопедии и у А. Б. Воронцова цель не определена; у В.А. Штоффа, П.В.Трусовой и в Большой Советской энциклопедии модель представлена в форме мысленного образа.

Из этих определений модели следует две ее характеристики:

1) модель - заместитель объекта изучения;

2) модель и изучаемый объект находятся в определенных отношениях соответствия (и в этом смысле модель отображает объект). Однако обе характеристики взаимосвязаны, потому что замещение одного объекта другим может происходить лишь благодаря соответствию их в каком-либо отношении. [№8,с.91]

Анализ психолого-педагогической литературы показал, что существует несколько классификаций. Мы рассмотрим отдельно каждую классификацию В.А. Штоффа и Л.М. Фридмана, затем сопоставим их.

Штофф В.А. классифицирует модели по различным основаниям. В практике начального обучения представляет интерес классификация моделей по форме представления.

В.А.Штофф выделяет модели:

а) вещественные, воспроизводящие геометрические и физические свойства оригинала (детские игрушки, наглядные учебные пособия, макеты и пр.);

б) идеальные, передающие информацию о свойствах и состояниях объекта, процесса, явления, отражающие их взаимосвязь с внешним миром. Идеальные модели могут быть образными и знаковыми (чертежи, схемы, графики и др.) [№10, с.23]

В.А. Штофф и Л.М. Фридман классификацию модели исходно делят на две группы: материальные и нематериальные. В свою очередь, Л.М. Фридман вещественные модели подразделяет на: образные, знаковые и мысленные. У В.А. Штоффа мысленные модели выделены в отдельную группу (нематериальные), а образно-иконические и знаковые В.А. Штофф относит к вещественным (материальным) моделям.

В.А. Штофф классифицирует модели по форме представления, а Л.М. Фридман - по характеру средств, из которых они построены.

У Л.М. Фридмана материальные модели строятся из каких-либо вещественных материалов или живых существ. Их особенностью является то, что они существуют реально, объективно. В свою очередь материальные делятся на статические (неподвижные) и динамические (действующие, подвижные).

Рис. 1.3. Статическая модель Рис.1.4. Образная модель

Идеальные модели делятся на три вида: образные (иконические), знаковые (знаково-символические) и мысленные (воображаемые, умственные).

К образным моделям относят разного рода рисунки, карты, схемы, передающие в образной форме структуру или другие особенности моделируемых объектов.

Знаково-символические модели представляют собой запись каких-то особенностей, закономерностей оригинала с помощью знаков какого-либо искусственного языка (например, математического). К ним относятся разного рода математические уравнения, химические формулы.

Рис 1.5. Знаково-символические модели

Мысленные модели - это умственные (воображаемые) представления о каких-либо явлениях, процессах, предметах. Такая модель есть представление о свойствах моделируемого объекта. [№9]

По определению П.В.Трусова, В.В.Давыдова и Н.Г.Салминой моделирование - это деятельность, а у В.В.Давыдова, А.У Варданян - это метод познания.

П.В.Трусов относит к процессу моделирования построение и использование модели. [№ 3, с.18]

А В.В.Давыдов, А.У Варданян называют моделирование методом познания интересующих нас качеств объекта через модели. Это действия с моделями, позволяющие исследовать отдельные, интересующие нас качества, свойства объекта или прототипа. [№5]

В.В.Давыдов, Н.Г.Салмина, Л.М.Фридман и др. рассматривают моделирование как знаково-символическую деятельность, заключающуюся в получении новой информации в процессе оперирования знаково-символическими средствами.

Метод моделирования, разработанный Д.Б. Элькониным, Л.А. Венгером, Н.А. Ветлугиной, Н.Н. Подьяковым, заключается в том, что мышление ребенка развивают с помощью разных схем, моделей, которые в наглядной и доступной для него форме воспроизводят скрытые свойства и связи того или иного объекта.

Модель изучаемого математического понятия или отношения играет роль универсального средства изучения свойств математических объектов. При таком подходе к формированию начальных математических представлений учитывается не только специфика математики (науки, изучающей количественные и пространственные характеристики реальных объектов и процессов), но и происходит обучение детей общим способам деятельности с математическими моделями реальной действительности и способам построения этих моделей.

Являясь общим приемом изучения действительности, моделирование позволяет эффективно формировать такие приемы умственной деятельности как классификация, сравнение, анализ и синтез, обобщение, абстрагирование, индуктивные и дедуктивные способы рассуждений, что в свою очередь стимулирует в перспективе интенсивное развитие словесно-логического мышления. (№ 1, с.43-47)

Значит, модели и моделирование это не одно и то же. Выделяют разные модели: мысленные, образные, знаковые и т.д. Моделирование - это и метод познания, и знаково-символическая деятельность.

Использование моделей и моделирования - одно из требований к результатам освоения основной образовательной программы начального общего образования. Поэтому знакомство школьников с методами моделирования актуально для современной школы, особенно в условиях постоянно увеличивающегося объема учебной информации, появления новых ее носителей (электронные учебники, компьютерные энциклопедии) и средств доступа к ней. Учащимся необходимо осмыслить сам процесс познания, определить место в этом процессе такого познавательного приема, как моделирование.

Возрастающий интерес методологии познания к теме моделирования был обусловлен тем значением, которое метод моделирования получил в современной науке, и в особенности в таких ее разделах, как химия, физика, биология, кибернетика, а также и многие технические науки.

Слово «модель» произошло от латинского слова «modelium», обозначает: мера, способ и т.д. Белошистая А.В. Прием графического моделирования при обучению решению задач // начальная школа, 2009, 8, с.15 Его начальное значение было связано со строительным искусством, и почти во всех европейских языках оно употреблялось для обозначения образа или вещи, которая сходна в каком-то отношении с другой вещью». Согласно мнениям многих писателей (Веденов А. А., Кочергин А. Н., Штофф В. А.), модель использовалась сначала как изоморфная теория (две теории называются изоморфными, в случае, если они обладают структурным единством по отношению друг к другу).

Моделирование -- метод изучения объектов познания на их моделях; построение и изучение моделей действительно существующих предметов и явлений (органических и неорганических систем, технических устройств, разных процессов -- физических, химических, биологических, социальных) и конструируемых объектов для определения либо улучшения их характеристик, рационализации способов их построения, управления и т.п. Моделирование может быть:

Ё предметным (исследование основных геометрических, динамических, функциональных характеристик объекта на модели);

Ё физическое (воспроизведение физических процессов);

Ё предметно -- математическое (исследование физического процесса путем опытного изучения каких-либо событий иной физической сущности, однако описываемых теми же математическими соотношениями, что и моделируемый процесс);

Ё знаковое (расчетное моделирование, абстрактно -- математическое) Математика и конструирование в 1 классе. Книга для учителя. Мурманск. МО ИПКРО. - 2011. -с.72.

Прежде чем переходить к вопросам применения моделирования, рассмотрим основные функции моделей.

Основные функции моделей.

Моделирование как средство экспериментального исследования.

Рассмотрение материальных моделей в качестве средств исследовательской деятельности вызывает необходимость узнать, чем отличаются те эксперименты, в которых применяются модели, от тех, где они не применяются. Превращение эксперимента в одну из основных фигур практики, происходившее параллельно с развитием науки, стало результатом с тех минут, как в производстве сделалось возможным широкое использование естествознания, что в свою очередь было продуктом первой индустриальной революции, открывшей эпоху автоматического производства. Специфика эксперимента как формы практической деятельности в том, что эксперимент выражает активное участие человека к действительности. Методическое решение проблемы коррекции дефицитных школьно-значимых функций в начальном образовании (на материале математического образования) / «Детство в эпоху трансформации общества.» Материалы международной научно-практической конференции. Т. 2. Мурманск: МГПИ. - 2007. - с. 53 - 55. В убедительность этого, в марксистской гносеологии проходит резкое отличие между экспериментом и научным знанием. Хотя всякий эксперимент включает и наблюдение как обязательную фазу исследования. Тем не менее, в эксперименте помимо наблюдения содержится и такой важный для революционной практики фактор как активное вторжение в ход изучаемого процесса. «Под экспериментом понимается род деятельности, предпринимаемой в целях научного знания, открытия объективных закономерностей и состоящий в воздействии на изучаемый объект (процесс) посредством специальных инструментов и приборов» Как проектировать универсальные учебные действия в начальной школе. От действия к мысли: пособие для учителя/ А.Г. Асмолов, Г. В. Бурменская, И.А.Володарская и др.; под ред. А. Г. Асмолова. - 3-е изд.-М.: Просвещение, 2011. Серия» Стандарты второго поколения».

Существует своеобразная форма эксперимента, для которой характерно применение действующих материальных моделей в качестве отдельных средств экспериментального исследования. Такая форма называется модельным экспериментом. В отличие от очередного эксперимента, где средства эксперимента, так или иначе, взаимодействуют с предметом исследования, здесь взаимодействия нет, потому что экспериментируют не с самим предметом, а с его заместителем. При этом объект-заместитель и экспериментальная установка объединяются, сливаются в действующей модели в некоторое целое. Следовательно, проявляется двусмысленная роль, которую модель выполняет в эксперименте: она одновременно есть и объектом исследования и экспериментальным средством. Для модельного эксперимента, согласно мнениям ряда авторов, характерны следующие основные процедуры:

1. переход от натурального объекта к модели -- построение модели (моделирование в настоящем смысле слова);

2. эмпирическое исследование модели;

3. переход от модели к натуральному объекту, состоящий в перенесении результатов, полученных при исследовании, на данный объект Шикова Р.Н. Использование моделирования в процессе обучения математике // Начальная школа, 2008, 12. .

Модель входит в эксперимент, не только замещая объект изучения, она может заменять и условия, в которых изучается некоторый объект обычного эксперимента. Простой эксперимент предполагает существование теоретического момента лишь в исходный момент исследования -- выдвижение гипотезы, ее оценку и т.д., а также на завершающей стадии -- обсуждение и интерпретация полученных данных, их обобщение. В модельном эксперименте нужно также обосновать положение сходства между моделью и натуральным объектом и возможность экстраполировать на данный объект полученные данные. В.А. Штофф в своей книге «Моделирование и философия» говорит о том, что теоретической основой модельного эксперимента, в основном в области материального моделирования, является концепция подобия О возможности построения системы развития математического мышления дошкольников / В сб.«Актуальные проблемы обучения и развития детей дошкольного возраста». Мурманск: МГПИ. - 2009. - с. 7- 16.. Она дает правила моделирования для случаев, когда модель и натура обладают общей (или примерно одинаковой) физической природой. Однако в данный момент практика моделирования вышла за рамки сравнительно ограниченного круга механических явлений. Возникающие математические модели, которые отличаются по своей материальной природе от моделируемого объекта, позволили преодолеть скромные возможности физического моделирования. При математическом моделировании опорой соотношения модель -- действительность есть такое обобщение теории подобия, которое учитывает качественную разнородность модели и объекта, принадлежность их различным формам перемещения материи. Такое обобщение обретает форму более абстрактной теории изоморфизма систем.

Моделирование и проблема истины.

Интересен вопрос о том, какую роль играет само моделирование, в ходе доказательства истинности и поисков истинного познания. Что же следует осознавать под истинностью модели? В случае если истинность вообще -- «соотношение наших знаний реальной действительности», то истинность модели значит соответствие модели объекту, а ложность модели -- отсутствие такого соотношения. Такое указание является обязательным, однако недостаточным. Требуются дальнейшие уточнения, основанные на принятие во внимание условий, на основе которых модель того или другого типа воспроизводит изучаемое явление. К примеру, требования равенства модели и объекта в математическом моделировании, основанном на физических аналогиях, предполагающих при различии физических процессов в модели и объекте тождество математической формы, в которой выражаются их универсальные закономерности, есть более общими, более абстрактными. Следовательно, при построении тех или иных форм всегда осознанно отвлекаются от некоторых стран, свойств и даже отношений, в силу чего, заведомо допускается не сохранение единства между моделью и оригиналом по ряду параметров. Так планетарная модель атома Резерфорда оказалась верной в рамках изучения электронной структуры атома, а модель Дж. Дж. Томпсона оказалась неверной, т.к. ее структура не совпадала с электронной схемой Наглядная геометрия в 1 классе. Учебное пособие. Мурманск: МГПИ. - 2008. - 56с.. Истинность -- свойство знания, а предметы материального мира не истинны, не ложны, просто есть. В модели реализованы двоякого типа знания:

1. познание самой модели (ее структуры, процессов, функций) как системы, созданной с целью воспроизведения какого-то предмета;

2. теоретические сведения, через которые модель была построена.

Имея в виду именно теоретические представления и методы, лежащие в основе построения модели, можно определять вопросы о том, насколько правильно и полно установленная модель отражает предмет. В данном случае возникает идея о сравнимости любого созданного человеком предмета с аналогичными подлинными объектами и об истинности этого объекта. Однако это имеет смысл лишь в том случае, если подобные объекты создаются с особой целью изобразить, скопировать, передать данные черты естественного предмета. Следовательно, можно рассказывать о том, истинность присуща материальным моделям:

Ё в силу связи их с определенными знаниями;

Ё в силу наличия (или отсутствия) изоморфизма ее структуры со структурой моделируемого процесса или явления;

Ё в силу отношения модели к моделируемому объекту, оно делает ее частью познавательного процесса и позволяет определять определенные познавательные проблемы.

«И в этом положении материальная модель является гносеологически вторичной, выступает как элемент гносеологического отражения» Моделирование как основа формирования умения решать задачи. Методические рекомендации для учителей начальных классов. Мурманск: ИПК. - 2011. - 64 с..

Модель можно анализировать не только как орудие проверки того, в самом деле, ли есть такие связи, отношения, структуры, закономерности, которые формулируются в данной концепции и выполняются в модели. Успешная работа модели есть практическое доказательство истинности теории, т.е. это часть исследовательского доказательства истинности данной теории.

Процесс создания и применения модели, называется моделированием.

Во всех дисциплинах модели выступают, как мощное средство познания.

К примеру:

1. Люди давно интересуются, как устроена наша Вселенная. Данный интерес не только познавательный, однако, и исключительно практический, т.к. люди желали научиться предвидеть периодические явления, связанные с устройством Вселенной, такие, как: затмение солнца и луны, наступление времен года.

Ради решения этих проблем, ученые выстраивали свои представления о Вселенной в виде схемы картины мира, в которой объекты Земли солнце и звезды, планеты, земля и луна изображались точками, движущимся по каким-то кривым - траекториям их движения. Таковы, к примеру, схемы, построенные Птолемеем, в которых основное пространство занимала наша Планета, или схема Коперника, в которой главное место занимало Солнце.

При помощи этих схем ученые выводили задачи предсказания специальных астрономических явлений. Эти схемы или картины мира - суть модели Вселенной, а метод изучения Вселенной, определение законов и решения проблем, связанных при помощи этих моделей, является способом моделирования.

2. Люди давно интересуются, как устроены они сами, как работает человеческий организм. Однако изучить эти вопросы на живом человеческом организме очень тяжело. Поскольку такое изучение до появления специальных приборов было связано со смертью этого организма. Тут ученые стали исследовать устройство человеческого организма на аналогичных его организму животных. Изучение организма животных, их функционирование помогло определить многие важнейшие закономерности функционирования человеческого организма.

В данных исследованиях организмы животных выступали в качестве модели человеческого организма, а при этом способ есть моделирования Бородулько М.А., Стойлова Л.Г. Обучение решению задач и моделирование // Начальная школа. - 2008. - № 8. - С. 26-32..

В математике широко применяется метод моделирования при решении задач.

Математической моделью можно охарактеризовать специфическое представление (часто приближенное) некой проблемы, ситуации, какое дает возможность в процессе ее анализа использовать формально - логический аппарат математики. При математическом моделировании имеем дело с теоретической копией, которая в математической модели выражает основные закономерности, свойства изучаемого предмета.

В процессе математического моделирования выделяют три этапа:

1. Формализация - перевод поставленной проблемы (ситуации) на язык математической системы (построение математической модели задачи).

2. Решение проблемы в рамках математической системы (говорят: решение внутри модели).

3.Перевод результата точного определения задачи на тот язык, на котором была сформулирована начальная цель (интерпретация решения).

Наиболее часто точная имитация представляет собою несколько упрощенную таблицу (описание) оригинала, а значит, обладает несомненным уровнем погрешности. модель математика обучение задача

Одна и та же модель может определять различные процессы, объекты, поэтому продукты внутри модельного исследования самого действия часто могут быть перенесены на другое действие. В этом заключается одно из основных значений математического моделирования.

Математика не только создала разнообразные внутренние модели алгебры, геометрии, функции комплексного переменного, дифференциальных уравнений и т.д., однако и помогла естествознанию построить математические модели механики, электродинамики, термодинамики, химической кинетики, микромира, пространства - времени и тяготения, возможностей передачи сообщений, управления, логического вывода Аргинская И.И. Математика. 1 класс. Пособие для учителя к стабильному учебнику. - М.: Федеральный научно-методический центр им. Л.В. Занкова, 2011.

Созданием моделей математика часто опережала потребности естествознания и техники.

Реализация глобального математического способа познания есть основная задача и задача современной математики. Она включает, прежде всего, создание новых, неведомых математических моделей, к примеру, в биологии, для познания жизни и функции мозга, микромира, новых, фантастических технологий и техники, а также познание экономических и общественных явлений также при помощи математических моделей разнообразными математическими методами.

Теперь, когда были разобраны основные теоретические аспекты моделей и моделирования, можно перейти к рассмотрению конкретных примеров широкого использования моделирования, как средства познания в образовании.

1.2 Роль и место действия моделирования в стандарте нового поколения для начальной школы

Отличительной чертой нового стандарта является его деятельностный характер, ставящий главной задачей развитие личности учащегося. Система образования отказывается от традиционного понимания результатов обучения в виде знаний, умений и навыков; формулировки стандарта перечисляют очевидные виды активности, которые учащийся обязан изучить к концу начального образования. Требования к результатам обучения сформулированы в виде личностных, предметных и реальных результатов.

Неотделимой частью ядра нового стандарта есть общие учебные действия (УУД). Под УУД понимают «общеучебные умения», «общие способы деятельности», «надпредметные действия» и т.п. Для УУД предусмотрена специальная программа - программа создания универсальных учебных действий (УУД) Индивидуальный подход в формировании и развитии математических способностей младшего школьника // Начальная школа: плюс - минус.- 2011.- №7. - с. 3 - 15..

Все виды УУД рассматриваются в контексте содержания определенных учебных предметов.

В широком значении термин «универсальные учебные действия» значит, умение учиться, т. е. способность человека к саморазвитию и самосовершенствованию путем обдуманного и активного присвоения нового социального опыта. В более узком (собственно психологическом) значении данный термин можно изложить как совокупность методов действия учащегося (а также связанных с ними навыков учебной работы), обеспечивающих самостоятельное изучение новых знаний, формирование умений, включая организацию этого процесса.

Общий характер учебных действий проявляется в том, что они:

-- носят надпредметный, метапредметный характер; обеспечивают общность общекультурного, личностного и познавательного развития и саморазвития личности;

-- обеспечивают связь всех стадий образовательного процесса;

-- лежат в основе организации и регуляции любой деятельности учащегося независимо от её специально-предметного содержания.

Универсальные учебные действия обеспечивают стадии постижения учебного содержания и формирования психологических способностей обучающегося.

Учитель должен создать условия, в которых УУД формируются наиболее эффективно, не «вопреки, а благодаря» методике обучения предмета.

Это позволяет ученику саморазвиваться и самосовершенствоваться.

Универсальные учебные действия (УУД) подразделяются на 4 группы:

регулятивные,

личностные,

коммуникативные

и познавательные (см. таблицу 1) Зайцев В.В. Математика для младших школьников. Методическое пособие для учителей и родителей. -М.: "Владос", 2009, с.89.

Таблица 1. Универсальные учебные действия (УУД)

Познавательные	Коммуникативные	Личностные	Регулятивные
- Умение строить высказывание -Формулировка проблемы -Рефлексия деятельности - Структурирование знаний - Поиск информации - Смысловое чтение - Моделирование	-Постановка вопросов - Разрешение конфликтов -Умение выражать свои мысли - Управление поведением партнера - Планирование учебного сотрудничества	-Самоопределение Смыслообразование - Нравственно-эстетическое оценивание	-Целеполагание - Планирование - Прогнозирование - Контроль - Коррекция - Оценка

Применение моделирования в практической деятельности учителя содержит два аспекта.

Во-первых, моделирование есть то содержание, какое должно быть изучено учащимися в итоге обучения, тот прием познания, которым они должны овладеть, и во- вторых, моделирование является тем учебным действием и средством, без которого невозможно настоящее обучение. Л.М.Фридман в «Федеральном государственном образовательном стандарте начального общего образования», во главу угла поставил развитие универсальных учебных действий, обеспечивающих школьникам умение учиться, способность к саморазвитию и самосовершенствованию. Одно из самых важных познавательных универсальных действий -- умение решать проблемы или задачи. В силу сложного системного характера универсального метода решения проблем данное универсальное учебное действие может рассматриваться как модельное для системы познавательных действий.

Решение различных задач выступает и как цель, и как средство воспитания. Искусство определять и решать особенно текстовые задачи является одним из основных признаков уровня развития учащихся, открывает им пути овладения новыми познаниями. При обучении решению задач нужно использовать подход, предполагающий возникновение общего умения решать задачи. В основе возникновения общего умения решать задачи есть метод моделирования, который является основным признаком развития знаково-символических универсальных учебных действий. Для благополучного обучения в начальной школе должны быть созданы следующие универсальные учебные действия: -- кодирование/замещение (применение знаков и символов как условных заместителей материальных объектов и предметов); -- декодирование/считывание информации; -- умение использовать явные модели (схемы, чертежи, планы), отражающие пространственное распределение предметов или отношения между предметами или их частями для решения задач; -- умение создавать схемы, модели и т. п Леонтьев А.И. К вопросу о развитии арифметического мышления ребенка. В сб. "Школа 2100" вып.4 Приоритетные направлнеия развития образовательной программы - М.: "Баласс", 2010, с.109.

Итак, моделирование включено в учебную деятельность как одно из действий, какое должно быть выработано уже к концу начальной школы.

Модели и моделирование в обучении младших школьников

Младший школьный возраст является началом формирования учебных действий у детей. В тоже время моделирование - это действие, которое выносится за пределы младшего школьного возраста в дальнейшие виды деятельности человека и выходит на новый уровень своего развития. С помощью моделирования можно свести изучение сложного к простому, незнакомого - к знакомому, то есть сделать объект доступным для тщательного изучения. Для того чтобы «вооружить» учащихся моделированием как способом познания, нужно, чтобы школьники сами строили модели, сами изучали какие-либо объекты, явления с помощью моделирования. [№7]

Несмотря на то, что моделирование используется в учебно-познавательном процессе современной начальной школы (учебники И.И.Аргинской, Э.И.Александровой, Т.Е.Демидовой, Н.Б.Истоминой, Г.Г.Микулиной, Л.Г.Петерсон и др.), в методических пособиях для начальной школы проблема обучения моделированию не нашла должного отражения. В системе Д.Б.Эльконина - В.В.Давыдова моделирование выделено в качестве учебного действия, входящего в состав учебной деятельности, которое должно быть сформировано к концу начальной школы. [№ 6,с..29-33]

Понятие «модель» и «моделирование» трактуется рядом авторов неоднозначно. Рассмотрим определения понятия «модель» и «моделирование».

В Большой Советской энциклопедии «Модель - образ (в том числе условный или мысленный - изображение, описание, схема, чертеж, график, план, карта и т. п.) или прообраз (образец) какого-либо объекта или системы объектов («оригинала» данной модели), используемый при определенных условиях в качестве их «заместителя» или «представителя». [№ 2, стр. 399.]

Штофф В.А. считает, «модель (от лат. modulus - мера) - это заместитель оригинала, обеспечивающий изучение некоторых его свойств. Она создается с целью получения и (или) хранения информации (в форме мысленного образа, описания знаковыми средствами либо материальной системы), отражающей свойства, характеристики и связи оригинала, существенные для решения поставленной задачи» [№10]

По мнению П.В.Трусова, «модель - это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе познания (изучения) замещает объект-оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные его черты» [№ 3, с.18]

А. Б. Воронцов считает, что «модель - выступает как `инструмент' совместной деятельности учащихся и учителя. Она отражает всеобщие отношения и связи внутри изучаемого объекта». [№4]

В.В.Давыдов, А.У Варданян считают, что модель создает язык общения, который, опредмечивая содержание объекта исследования, позволяет выявить его сущность.

Проанализировав приведенные определения, делаем вывод: в определениях В.А. Штоффа, П.В.Трусовой и Большой Советской энциклопедии модель - это образ, а у А.Б. Воронцова модель - это «инструмент»; цели в явном и неявном виде выделены у П.В. Трусовой и В.А. Штоффа, а в энциклопедии и у А. Б. Воронцова цель не определена; у В.А. Штоффа, П.В.Трусовой и в Большой Советской энциклопедии модель представлена в форме мысленного образа.

Из этих определений модели следует две ее характеристики: 1) модель - заместитель объекта изучения; 2) модель и изучаемый объект находятся в определенных отношениях соответствия (и в этом смысле модель отображает объект). Однако обе характеристики взаимосвязаны, потому что замещение одного объекта другим может происходить лишь благодаря соответствию их в каком-либо отношении. [№8,с.91]

Анализ психолого-педагогической литературы показал, что существует несколько классификаций. Мы рассмотрим отдельно каждую классификацию В.А. Штоффа и Л.М. Фридмана, затем сопоставим их.

Штофф В.А. классифицирует модели по различным основаниям. В практике начального обучения представляет интерес классификация моделей по форме представления.

В.А.Штофф выделяет модели: а) вещественные, воспроизводящие геометрические и физические свойства оригинала (детские игрушки, наглядные учебные пособия, макеты и пр.); б) идеальные, передающие информацию о свойствах и состояниях объекта, процесса, явления, отражающие их взаимосвязь с внешним миром. Идеальные модели могут быть образными и знаковыми (чертежи, схемы, графики и др.) [№10, с.23]

В.А. Штофф и Л.М. Фридман классификацию модели исходно делят на две группы: материальные и нематериальные. В свою очередь, Л.М. Фридман вещественные модели подразделяет на: образные, знаковые и мысленные. У В.А. Штоффа мысленные модели выделены в отдельную группу (нематериальные), а образно-иконические и знаковые В.А. Штофф относит к вещественным (материальным) моделям.

В.А. Штофф классифицирует модели по форме представления, а Л.М. Фридман - по характеру средств, из которых они построены.

У Л.М. Фридмана материальные модели строятся из каких-либо вещественных материалов или живых существ. Их особенностью является то, что они существуют реально, объективно. В свою очередь материальные делятся на статические (неподвижные) и динамические (действующие, подвижные).

Рис. 1.3. Статическая модель Рис.1.4. Образная модель

Идеальные модели делятся на три вида: образные (иконические), знаковые (знаково-символические) и мысленные (воображаемые, умственные).

К образным моделям относят разного рода рисунки, карты, схемы, передающие в образной форме структуру или другие особенности моделируемых объектов.

Знаково-символические модели представляют собой запись каких-то особенностей, закономерностей оригинала с помощью знаков какого-либо искусственного языка (например, математического). К ним относятся разного рода математические уравнения, химические формулы.

Рис 1.5. Знаково-символические модели

Мысленные модели - это умственные (воображаемые) представления о каких-либо явлениях, процессах, предметах. Такая модель есть представление о свойствах моделируемого объекта. [№9]

По определению П.В.Трусова, В.В.Давыдова и Н.Г.Салминой моделирование - это деятельность, а у В.В.Давыдова, А.У Варданян - это метод познания.

П.В.Трусов относит к процессу моделирования построение и использование модели. [№ 3, с.18]

А В.В.Давыдов, А.У Варданян называют моделирование методом познания интересующих нас качеств объекта через модели. Это действия с моделями, позволяющие исследовать отдельные, интересующие нас качества, свойства объекта или прототипа. [№5]

В.В.Давыдов, Н.Г.Салмина, Л.М.Фридман и др. рассматривают моделирование как знаково-символическую деятельность, заключающуюся в получении новой информации в процессе оперирования знаково-символическими средствами.

Метод моделирования, разработанный Д.Б. Элькониным, Л.А. Венгером, Н.А. Ветлугиной, Н.Н. Подьяковым, заключается в том, что мышление ребенка развивают с помощью разных схем, моделей, которые в наглядной и доступной для него форме воспроизводят скрытые свойства и связи того или иного объекта.

Модель изучаемого математического понятия или отношения играет роль универсального средства изучения свойств математических объектов. При таком подходе к формированию начальных математических представлений учитывается не только специфика математики (науки, изучающей количественные и пространственные характеристики реальных объектов и процессов), но и происходит обучение детей общим способам деятельности с математическими моделями реальной действительности и способам построения этих моделей.

Являясь общим приемом изучения действительности, моделирование позволяет эффективно формировать такие приемы умственной деятельности как классификация, сравнение, анализ и синтез, обобщение, абстрагирование, индуктивные и дедуктивные способы рассуждений, что в свою очередь стимулирует в перспективе интенсивное развитие словесно-логического мышления. (№ 1, с.43-47)

Значит, модели и моделирование это не одно и то же. Выделяют разные модели: мысленные, образные, знаковые и т.д. Моделирование - это и метод познания, и знаково-символическая деятельность.

Использование моделей и моделирования - одно из требований к результатам освоения основной образовательной программы начального общего образования. Поэтому знакомство школьников с методами моделирования актуально для современной школы, особенно в условиях постоянно увеличивающегося объема учебной информации, появления новых ее носителей (электронные учебники, компьютерные энциклопедии) и средств доступа к ней. Учащимся необходимо осмыслить сам процесс познания, определить место в этом процессе такого познавательного приема, как моделирование.

1.3 Использование моделирования при обучении математике

Моделирование используются для интерпретации действий с объектами, чтобы сделать представление об использовании этих объектов более доступным. Под моделированием задачи понимается замена действий с обычными предметами на действия с их моделями - уменьшенными образцами, муляжами, макетами, а также с их графическими изображениями: рисунками, чертежами, схемами. Важность графического моделирования при формировании умения анализировать и решать задачи объясняется тем, что модели наглядно отображают каждый элемент отношения, что позволяет им:

-оставаться простыми при любых преобразованиях данного отношения;

-позволяют увидеть структурные компоненты в тексте в «чистом» виде, без отвлечения на частные конкретные характеристики (числовые значения величин, яркие изображения и др.);

-обладают свойствами предметной наглядности, конкретизируют абстрактные отношения, что нельзя увидеть, например, сделав краткую запись задачи;

-обеспечивают поиск плана решения, что позволяет постоянно соотносить физическое (или графическое) и математическое действия.

Процесс целенаправленного обучения графическому моделированию должен осуществляться постепенно, отражая переход от конкретного к абстрактному в виде рисунка, условного рисунка, чертежа, схемы (схематизированного чертежа). Модели такого вида выступают как формы отображения структуры задачи, где каждая последующая форма построена в более обобщённом и абстрагированном виде [5, с.128] математическая модель - это описание какого-либо реального процесса на математическом языке [22, с.186].

Использование упрощённых рисунков, объектов условных рисунков, графических чертежей часто вызывает затруднение в процессе поиска решения задач; учащиеся не могут выбрать необходимое арифметическое действие, потому что для ответа на вопрос достаточно произвести пересчёт. Модели такого вида можно использовать только при небольших числовых данных (в противном случае рисунок займёт много места в тетради и потребует неоправданных затрат времени на уроке). Использовать эти модели невозможно и в том случае, если числовые данные заменены буквами, геометрическими фигурами и.т.д.; порой рисунки не позволяют ученику отвлечься от несущественных признаков и увидеть то существенное, общее, что объединяет данные. Однако эти виды графических моделей нельзя исключать полностью, поскольку они помогают детям осуществлять переход от реальности (предметной ситуации) к схематизированному чертежу, что очень важно при формировании умения переводить задачу с естественного языка на математический язык символов.

В начальном курсе математики создание знаково-символических действий при обучении и создание моделей может осуществляться по-разному [6, с.13-18].

Материализация структуры текста задачи путём представления с помощью знаково-символических средств всех составляющих текста в соответствии с последовательностью изложения информации. Завершением построения модели при этом способе будет символическое изображение вопроса задачи. Созданная модель даёт возможность выделить отношение между компонентами задачи, на основе которых находятся действия, приводящие к ответу на вопрос. При данном варианте моделирования используются различные знаково-символические средства (отрезки, иконические знаки и др.). Каждое данное задачи представляется в виде отдельных конкретных символов. В основу классификации простых задач положено отношение между объектами и их величинами. Поэтому признаку выделяют четыре типа отношений: целое или часть, разность, кратность, равенство. Учащиеся знакомятся с названиями компонентов действий сложения, вычитания, умножения, деления, но рабочими терминами при описании этих действий являются не они, а названия компонентов отношений. Именно отношения, связывающие величины между собой, определяют математическую структуру задачи. Эти отношения представлены моделями разного вида: стрелочными схемами, чертежами, обобщающими формулами. Схемы и схематические чертежи, т.е. пространственно-графические модели, представляя собой зримую величину, позволяют производить реальные преобразования, результаты которых можно не только предполагать, но и наблюдать. В этих моделях отражены существенные отношения и связи объекта, выделенные посредством соответствующих преобразований. Именно абстрактный материал связан с освоением общего способа действия при решении задач. Буквенные модели или обобщающие формулы фиксируют результаты реально или мысленно произведённых действий с объектами. Появление буквенной символики часто связано с окончанием учебной работы по решению задач, хотя она может служить средством фиксации действий в процессе работы на каком-либо из этапов или средством «схватывания» оснований предметного действия.

Материализация структуры текста задачи с целью рассмотрения условий и вопроса, выделения отношения, являющегося основой общего способа её решения, осуществляется в двух на правлениях. Сначала модель строится после или в процессе манипуляций с предметным материалом. Затем, наоборот, по заданной модели нужно выполнить соответствующие действия. Таким образом, кодирование и декодирование информации осуществляется по двум направлениям:

I. Кодирование элементов текста и их связей на графическом языке, включающее в себя следующие этапы:

1) предметный уровень работы по каждому типу отношений;

2) использование схем для фиксирования отношений, предложенных текстом;

3) изображение каждого типа отношений при помощи чертежа;

4) знаковое моделирование отношений при помощи формул.

II. Декодирование информации:

1) составление и решение задач по стрелочным схемам, схематическим чертежам, формулам на все изученные виды отношений;

2) замещение одних форм вспомогательных моделей другими;

3) использование рациональных видов моделей.

Замещение одних форм моделей другими на примере отношения целого и равных частей с буквенными данными:

Задача. Туристы были в пути 5 дней. Каждый день они проходили по Т км. Сколько всего километров В они прошли за 5 дней? (2-й класс)

Одним из видов репрезентативных (вспомогательных) моделей простых задач являются структурные модели [6, с.13-18]. Известные значения величин обозначаются квадратами, а неизвестные - кругами. Главный член соотношения, который является результатом действия, отделяется от остальных членов стрелкой, а эти последние соединяются знаком действия: в соотношениях частей и целого - сложения, в соотношении разностного сравнения - деления, в соотношении - зависимости между значениями разных величин - умножения.

Рассмотрим структурную модель задачи:

Задача. В одном сосуде 7 л воды, а в другом - 3 л. На сколько литров воды в первом сосуде больше, чем во втором?

Материализация схемы анализа текста задачи, начиная с символического представления вопроса и всех данных (известных и неизвестных), необходимых для ответа на него. В такой модели фиксируется последовательность действий по решению задачи. При данном варианте моделирования наиболее удобными являются графы. Представление последовательности операций решения в виде графа вытекает из общих схем анализа, в которых отражаются основные отношения между данными задач.

Поскольку такого типа модели представляют конечный результат работы с текстом задачи, для их построения требуется умение осуществлять полный анализ текста, выделять все компоненты (известные, неизвестные объекты, величины, отношения между ними, основные и промежуточные вопросы). Такое моделирование предполагает другую схему анализа текста задачи, включающую определённую последовательность рассуждений, например:

...