-выделение вопроса задачи и его формулировка;

-какие данные необходимы для ответа на вопрос задачи;

-какие из данных известны, какие неизвестны;

-можно ли получить дополнительные данные для нахождения неизвестных и ответа на вопрос задачи [2, с.43].

Один из подходов к моделированию при решении задач предложил Ж. Верньё. Для анализа текста задачи он использовал следующие две категории: «состояние» объекта и «трансформации» [3, с. 130]. Под состоянием объекта понимается описание в тексте задачи тех ситуаций, в которых действует объект. В соответствии с этим различают начальное, конечное, промежуточное состояния (или ситуации). Трансформации - это те изменения в объектах (или с объектами), которые происходят при переходе от одного состояния к другому. Трансформация приводит к новому типу отношений между состояниями объекта. В схемах для анализа и решения задач, предложенных Ж. Верньё, данные обозначаются в виде геометрических фигур: объекты - квадраты; отношения между состояниями объекта - линии и стрелки, с помощью которых указывают направленность отношений; отношения между величинами состояний объекта - круги:

Заданные числовые значения величин объекта и отношений между величинами указываются соответствующими цифрами, знак при которых фиксирует характер отношения величин (разность, кратность, равенство, целое или часть). Модель «состояние - трансформация - состояние» позволяет производить более тонкий анализ отношений и задач. Таким образом, в моделях Ж. Верньё отображается, прежде всего, структура задачи, в которой фиксируются состояния объекта, его преобразование (трансформация), характер и величина отношений между состояниями. Такого рода модели позволяют материализовать схему анализа содержания задачи, её математический смысл, установить на основе структуры, что является известным, а что необходимо определить, и выстроить последовательность действий для решения задач.

В период начального образования основным показателем развития знаково-символических универсальных учебных действий становится овладение моделированием. Обучение по действующим программам любых учебных предметов предполагает применение разных знаково-символических средств (цифры, буквы, схемы и др.), которые, как правило, не являются специальным объектом усвоения с точки зрения их характеристик как знаковых систем. Использование разных знаково-символических средств, для выражения одного и того же содержания выступает способом отделения содержания от формы, что всегда рассматривалось в педагогике и психологии в качестве существенного показателя понимания учащимися задачи. Из разных видов деятельности со знаково-символическими средствами наибольшее применение в обучении имеет моделирование. Более того, в концепции развивающего обучения Д.Б. Эльконина моделирование включено в учебную деятельность как одно из действий, которое должно быть сформировано уже к концу начальной школы. В моделировании выделяется несколько этапов: выбор (построение) модели, работа с моделью и переход к реальности.

Аналогичные этапы (компоненты) входят в состав учебного моделирования:

- предварительный анализ текста задачи;

- перевод текста на знаково-символический язык, который может осуществляться вещественными или графическими средствами;

- построение модели;

- работа с моделью;

- соотнесение результатов, полученных на модели, с реальностью (с текстами).

Каждый компонент деятельности моделирования имеет свое содержание со своим составом операций и своими средствами, которые согласно психологическим исследованиям должны стать самостоятельным предметом усвоения.

Одним из приемов анализа, который ведет к пониманию текста, является выделение смысловых опорных пунктов текста, которые способствуют построению структуры текста. В общей деятельности моделирования действие анализа является подготовительным этапом для осуществления действия перевода и построения модели. Перевод текста на знаково-символический язык делает обозримыми связи и отношения, скрытые в тексте, и способствует тем самым поиску и нахождению решения. Эффективность перевода текста определяется видом используемых знаково-символических средств. Поскольку перевод текста на знаково-символический язык нужен не сам по себе, а для получения новой информации, то в процессе перевода должны учитываться требования, предъявляемые к выбору и характеристикам знаково-символических средств.

Вынесение во внешний план элементов задачи и их отношений настолько обнажает связи и зависимости между величинами, что иногда перевод сразу ведет к открытию решения. Однако во многих задачах перевод текста на язык графики является только началом анализа, а для решения требуется дальнейшая работа со схемами. Именно здесь возникает необходимость формирования у учащихся умения работать с моделями, преобразовывать их. При этом необходимо иметь в виду, что уровень графической подготовки при построении модели и работе с ней (согласно психологическим исследованиям) определяется главным образом не степенью владения учеником техникой выполнения графического изображения, а тем, насколько он готов к мысленным преобразованиям образно-знаковых моделей, насколько подвижно его образное мышление.

Работу с моделью можно вести в двух направлениях:

- достраивание схемы, исходя из логического выведения и расшифровки данных задачи;

- видоизменение схемы, ее пере конструирование.

Моделирование осуществляется для того, чтобы получить новые данные о реальности или ее описании, поэтому необходимым моментом деятельности моделирования является соотнесение результатов с текстом. Из практики известно, что учащиеся после решения задачи, так или иначе, проверяют свои ответы для доказательства того, что они удовлетворяют условиям и требованиям задачи. Принципиально важным при проверке ответа в решении задачи для [31] деятельности моделирования является не столько выявление правильности (точности), сколько соотнесение данных, полученных на модели, с ее описанием в тексте. Поскольку перевод текста на знаково-символический язык, приводящий к построению модели, является важным этапом решения задач и вместе с тем вызывает наибольшие трудности у учащихся.

1) Схематизированные:

а) вещественные > предметные> инсценировка сюжета задачи > мысленное воссоздание реальной ситуации.

б) графические > рисунок > условный рисунок > схема > чертеж.

2) Знаковые:

а) на естественном языке > краткая запись > таблица.

б) на математическом языке > выражения (3+2; а+2; а+в) >

> равенство (3+2=5) > уравнение (х+2=5).

Каждый компонент деятельности моделирования имеет свое содержание со своим составом операций и своими средствами, которые согласно психологическим исследованиям должны стать самостоятельным предметом усвоения.

Предварительный анализ задачи включает следующие приемы:

- Перефразировка.

а) семантический анализ текста.

Он предполагает работу над отдельными словами, терминами, например: «Длина зеленой ленты 4 м, а фиолетовая на 5 м длиннее. Чему равна длина фиолетовой ленты?»

4м

?

Длиннее, каким другим словом можно заменить? (больше)? Что значит на 5 метров больше? (это столько же, сколько зелёной ленты и еще 5м), значит, каким действием решаем задачу? В задаче речь идет о длине, а это непрерывная величина, поэтому изображать можно только отрезками или прямоугольниками.

б) замена описания термином;

Например, в задаче « Пешеход был в пути 3 часа и проходил за каждый час по 4 км. Найти длину пройденного пути». ( Описание проходил за каждый час по 4 км можно заменить термином скорость пешехода, был в пути 3 часа -время движения, найти длину пройденного пути - расстояние), тогда задача имеет вид: «Скорость пешехода 4 км/ч, время в пути 3 часа. Найти расстояние.

в) замена термина описанием:

Например: в задаче « Грузоподъёмность машины 3 тонны. За один день она сделала 7 рейсов. Найти общую массу груза».

(Если дети плохо усвоили понятие грузоподъёмность, то заменяем описанием - масса груза перевезённого за один рейс, общая масс груза - масса груза, перевезённого за 7 рейсов, 7 - количество рейсов).

г) если часть условия содержится в вопросе:

« Три блокнота стоят столько же, сколько 5 тетрадей. Сколько стоят одна тетрадь и один блокнот, если блокнот дороже тетради на 2 рубля?»

(если блокнот дороже тетради на 2 рубля, целесообразно перенести в условие).

- Моделирование.

Другими приемами анализа текста, ведущего к пониманию его смысла, являются постановка вопросов для осуществления действия перевода и построения модели:

- Чем обозначать множества?

- Как располагать?

- Сколько?

- Есть ли вопрос и правильно ли он указывает искомое?

Например, к задаче: «В букете было 2 василька и 3 ромашки. Сколько всего цветов в букете?», обучающиеся в силу индивидуальных особенностей мышления могут построить разные модели:

Все вопросы моделирования отражены в этом задании.

Задачи с разной жизненной ситуацией и одним и тем же математическим смыслом: < 5 + 4 > - составьте задачи к данной символической модели.

1. У школы росло 5 берез и 4 рябины. Сколь всего деревьев росло у школы?

?

2. У Коли было 5 машин, ему подарили еще 4 машинки. Сколько всего машинок стало?

Размещено на http://www.allbest.ru/

?

3. В одном ящике 5 кг яблок, а в другом на 4 яблоки больше. Сколько килограмм яблок во втором ящике?

5 кг

4кг

При работе с моделями, можно задать следующие вопросы:

- Все ли величины и множества отражены в модели?

- Все ли отношения рассмотрены и отношение зависимости?

- Все ли числовые данные?

- Есть ли вопрос и правильно ли он указывает искомое?

Существует два варианта построения моделей:

1. Материализация структуры текста задачи с помощью использования знаково-символических средств, для всех его составляющих в соответствии с последовательностью изложения информации в задаче. Завершающим этапом построения модели при этом способе будет символическое представление вопроса задачи. Созданная модель текста дает возможность выделить отношения между компонентами задачи, на основе которых находятся действия, приводящие к ответу на вопрос.

2. Материализация логической схемы анализа текста задачи, начиная с символического представления вопроса и всех данных (известных и неизвестных), необходимых для ответа на него. В такой модели фиксируется последовательность действий по решению задачи. При первом варианте моделирования текста задачи могут быть использованы самые разные знаково - символические средства (отрезки, ионические знаки и др.). При этом каждое из данных задачи представляется в виде отдельных конкретных символов. При втором варианте моделирования наиболее удобными являются графы (простейшие математические модели). Последовательность операций решения в виде графа вытекает из более общих схем, в которых отражаются основные отношения между данными задачи. Поскольку такого типа модели представляют конечный результат ориентировки в тексте задачи, то для их построения необходимо владение умением осуществлять полный анализ текста, выделять все компоненты (объекты, их величины, отношения между ними и др.). При создании различного типа моделей очень важно определить, какая информация должна быть включена в модель, какие средства (символы, знаки) будут употребляться для каждой выделенной составляющей текста, какие из них должны иметь одинаковую символику, а какие - различную. В процессе построения модели и работы с ней проводится анализ текста и его перевод на математический язык: выделяются известные и неизвестные объекты, величины, отношения между ними, основные и промежуточные вопросы.

Рассмотренные знаково-символические средства позволяют создавать модель структуры задачи, включающую объекты, величины, их характеризующие, числовые значения (данные и искомые), соответствующие им, а также фиксировать или выводить действия, необходимые для ответа на вопрос задачи.

В период начального образования основным показателем развития знаково-символических универсальных учебных действий становится овладение моделированием. Обучение, по действующим программам любых учебных предметов предполагает применение разных знаково-символических средств (цифры, буквы, схемы и др.), которые, как правило, не являются специальным объектом усвоения с точки зрения их характеристик как знаковых систем. Использование разных знаково-символических средств, для выражения

одного и того же содержания выступает способом отделения содержания от формы, что всегда рассматривалось в педагогике и психологии в качестве существенного показателя понимания учащимися задачи. Из разных видов деятельности со знаково-символическими средствами наибольшее применение в обучении имеет моделирование. Более того, в концепции развивающего обучения Д.Б. Эльконина -- В.В. Давыдова моделирование включено в учебную деятельность как одно из действий, которое должно быть сформировано уже к концу начальной школы. Анализ философской литературы показал, что в моделировании выделяется несколько этапов: выбор (построение) модели, работа с моделью и переход к реальности. Аналогичные этапы (компоненты) входят в состав учебного моделирования:

-- предварительный анализ текста задачи;

-- перевод текста на знаково-символический язык, который может осуществляться вещественными или графическими средствами;

-- построение модели;

-- работа с моделью;

-- соотнесение результатов, полученных на модели, с реальностью (с текстами).

Модели, которые используют в начальной школе:

- вербальная (словесная);

- графическая (схема, чертеж);

«Утром в киоск привезли газеты. К вечеру их осталось в 4 раза меньше, чем продали за день. Сколько газет привезли в киоск. Если продали всего 720 газет?» Обозначь на схеме известные и неизвестные величины.

720 - графическая модель, схематический чертеж.

«От двух пристаней, расстояние между которыми 117 км, отправились одновременно навстречу друг к другу по реке два катера. Один шел со скоростью 17 км/ч, а другой - 24 км/ч. Какое расстояние будет между катерами через два часа после начала движения?» Рассмотри чертеж к задаче и выполни задания:

17 км/ч ? км 24 км/ч

117 км

- предметная (сохраняющая внешние сходства с объектом и не сохраняющая сходства);

«В корзине было 3 яблока и 2 груши. Сколько всего фруктов в корзине?»

1) 2)

- символическая (выражения, равенство, уравнения, краткая запись и таблица).

1) Выражения; 2) Равенство; 3) Уравнения;

15 * 3 + (125 - 30); 1 + 4 = 2 + 3 6 + х = 2

4) «В одном букете - 5 роз, в другом - 9 роз. Сколько роз в двух букетах?»

Это - графическая, таблица.

5) «В первый день бригада рабочих отремонтировала 2000 метров дороги, во второй день - 1570 м дороги, в третий день - 1400 м. Сколько метров дороги отремонтировали рабочие за три дня?»

I д. - 2000 м

II д. - 1570 м ?

III д. - 1400 м

Перевод текста на знаково-символический язык делает обозримыми связи и отношения, скрытые в тексте, и способствует тем самым поиску и нахождению решения. Эффективность перевода текста определяется видом используемых знаково-символических средств. Поскольку перевод текста на знаково-символический язык нужен не сам по себе, а для получения новой информации, то в процессе перевода должны учитываться требования, предъявляемые к выбору и характеристикам знаково-символических средств. В литературе выделяются разные требования к знаково-символическим средствам представления информации. Применительно к учебному процессу в школе в качестве наиболее значимых можно указать такие, как:

- абстрактность;

-лаконичность;

-обобщение и унификация;

-четкое выделение элементов, несущих основную смысловую нагрузку;

-автономность;

-структурность;

-последовательность представления элементов.

По абстрактности различают следующие знаково-символические средства: предметно-конкретные, упрощенно-графические изображения обозначаемых объектов (пиктограммы, иконические знаки); условно-образные (геометрические фигуры и др.); условные знаки, индексы (буквенно-цифровая символика). Лаконичным является знак, форма которого не имеет лишних элементов, а содержит только те из них, которые необходимы для сообщения информации. Обобщенность и унификация знаково-символических средств достигается через единообразие форм элементов, выражающих одинаковый смысл (объекты, процессы и др.), характер элементов формы, масштабное соответствие и т. д.

Автономность означает то, что части текста, которые передают самостоятельное сообщение, необходимо представлять разными знаково-символическими средствами и отделять друг от друга, так как это облегчает восприятие информации. Под структурностью понимается материализация взаимосвязей знаков, фиксирующих все компоненты задачи. При этом отдельные компоненты могут иметь свою подструктуру. Последовательность представления элементов, или знаково-символических средств, определяется логикой отношений между компонентами задачи.

Вынесение во внешний план элементов задачи и их отношений настолько обнажает связи и зависимости между величинами, что иногда перевод сразу ведет к открытию решения. Однако во многих задачах перевод текста на язык графики является только началом анализа, а для решения требуется дальнейшая работа со схемами. Именно здесь возникает необходимость формирования у учащихся умения работать с моделями, преобразовывать их. При этом необходимо иметь в виду, что уровень графической подготовки при построении модели и работе с ней (согласно психологическим исследованиям) определяется главным образом не степенью владения учеником техникой выполнения графического изображения, а тем, насколько он готов к мысленным преобразованиям образно-знаковых моделей, насколько подвижно его образное мышление.

Работу с моделью можно вести в двух направлениях:

а) достраивание схемы, исходя из логического выведения, расшифровки данных задачи;

б) видоизменение схемы, ее пере конструирование.

Соотнесение результатов, полученных на модели, с реальностью (с текстом). Моделирование осуществляется для того, чтобы получить новые данные о реальности или ее описании, поэтому необходимым моментом деятельности моделирования является соотнесение результатов с текстом. Из практики известно, что учащиеся после решения задачи, так или иначе проверяют свои ответы для доказательства того, что они удовлетворяют условиям и требованиям задачи. Принципиально важным при проверке ответов решения задачи для деятельности моделирования является не столько выявление правильности (точности), сколько соотнесение данных, полученных на модели, с ее описанием в тексте. Поскольку перевод текста на знаково-символический язык, приводящий к построению модели, является важным этапом решения задач и вместе с тем вызывает наибольшие трудности у учащихся, рассмотрим его более подробно.

При создании различного типа моделей очень важно определить, какая информация должна быть включена в модель, какие средства (символы, знаки) будут употребляться для каждой выделенной составляющей текста, какие из них должны иметь одинаковую символику, а какие -- различную.

В процессе построения модели и работы с ней проводится анализ текста и его перевод на математический язык: выделяются известные и неизвестные объекты, величины, отношения между ними, основные и промежуточные вопросы. При обучении математике используются различные способы построения моделей с опорой на определенный набор знаково -символических средств.

Один из подходов к моделированию при решении задач предложен Ж. Верньё. Для анализа текста задачи он использовал следующие две категории: состояния объекта и трансформации. Под состояниями объекта понимается описание в тексте задачи тех ситуаций, в которых действует объект. Различают начальное, конечное и промежуточное состояния (или ситуации). Трансформации -- это те изменения в объектах (или с объектами), которые происходят при переходе их от одного состояния к другому. Трансформация приводит к новому типу отношений между состояниями объекта. В схемах, предложенных Ж. Верньё, для анализа и решения задач данные обозначаются в виде геометрических фигур: объекты -- квадраты; отношения между состояниями объектов - линии, стрелки, на которых указывают направленность отношений; отношения между величинами состояния объекта - круги. Заданные числовые значения величин объекта и отношений между величинами указываются соответствующими числами, знак при которых фиксирует характер отношения величин (разностное, кратное, равенство, целое/часть). Приведем пример моделей к одному и тому же сюжету задач («выигрыш - проигрыш»), решение которых зависит от различных отношений между величинами состояния объекта (таблица). В этих задачах объектами являются шары. Так, в задаче 1: Было 6 шаров, из них потеряно 4 шара. Сколько шаров осталось? При построении модели объекты -- шары -- изображаются двумя квадратами, фиксирующими начальное состояние объекта, числовое значение величины которого известно -- 6, и конечное состояние, числовое значение которого надо определить. Окружность с числом внутри обозначает характер и числовое значение величин отношений между состояниями объекта -- разностное сравнение (потеряно 4 шара). Стрелка указывает направленность отношения между начальным и конечным состояниями объекта.

Необходимо обратить внимание на то, что при построении модели к задаче 4 значение величины начального объекта не указывается ни в тексте задачи, ни на модели: оно не является искомым, и его конкретная величина не имеет значения для решения задачи. Смысл анализа и решения этих задач заключается в определении характера и количественного выражения отношений между состояниями объекта («выигрыш -проигрыш»). Таким образом, в моделях, создаваемых для анализа текста и решения задач Ж. Верньё, отображает, прежде всего, структура задачи, в которой фиксируются состояния объекта, характер и величина отношений между состояниями. Такого рода модели позволяют материализовать схему анализа содержания задачи, ее математический смысл, установить на основе структуры, что является известным, а что необходимо определить, и выстроить последовательность действий для решения задачи. Использование тех же самых знаково-символических средств может не только приводить к созданию моделей, представляющих структурные компоненты задачи и их отношения, но и наглядно фиксировать последовательность действий в решении задачи. Это отличает их от описанных выше моделей Ж. Верньё, где действия и их последовательность выводятся из схемы отношений. Создание и фиксирование моделей достигается тем, что в язык символов вводятся специальные знаки известных и неизвестных компонентов задачи.

Таким образом, при переводе текста задачи на язык математики могут создаваться различные типы моделей по характеру отношений. Кроме того, они могут различаться и по степени сложности: от простых (с минимальным числом объектов и отношений) до сложных задач. Необходимость в таких схемах выступает особенно отчётливо, когда последовательность выполнения действий по решению задачи расходится с явной структурой задачи или эта структура сложна и открывает разные возможности решения. Визуализация с помощью модели словесно заданного текста позволяет перевести его на математический язык и увидеть структуру математических отношений, скрытую в тексте.

Выводы по главе I