Частные критерии знаний, представленные в таблице 5, по сути, являются формулами для преобразования абсолютных частот в количество информации и знания (В.И.Лойко, 2013). В будущем их предлагается дополнить критерием Г.Раша. Модель Г.Раша математически тесно связана с моделью логитов, предложенной в 1944 году Джозефом Берксоном (Joseph Berkson) и здесь мы ее не приводим, т.к. она подробно описана в литературе. Модель Г.Раша (с учетом ее модификаций) является чуть ли не единственной широко известной в настоящее время моделью метризации измерительных шкал.

Информационный портрет класса - это список значений факторов, ранжированных в порядке убывания силы их влияния на переход объекта управления в состояние, соответствующее данному классу. Информационный портрет класса отражает систему его детерминации. Генерация информационного портрета класса представляет собой решение обратной задачи прогнозирования, т.к. при прогнозировании по системе факторов определяется спектр наиболее вероятных будущих состояний объекта управления, в которые он может перейти под влиянием данной системы факторов, а в информационном портрете мы, наоборот, по заданному будущему состоянию объекта управления определяем систему факторов, детерминирующих это состояние, т.е. вызывающих переход объекта управления в это состояние. В начале информационного портрета класса идут факторы, оказывающие положительное влияние на переход объекта управления в заданное состояние, затем факторы, не оказывающие на это существенного влияния, и далее - факторы, препятствующие переходу объекта управления в это состояние (в порядке возрастания силы препятствования). Информационные портреты классов могут быть от отфильтрованы по диапазону факторов, т.е. мы можем отобразить влияние на переход объекта управления в данное состояние не всех отраженных в модели факторов, а только тех, коды которых попадают в определенный диапазон, например, относящиеся к определенным описательным шкалам.

Информационный (семантический) портрет фактора - это список классов, ранжированный в порядке убывания силы влияния данного фактора на переход объекта управления в состояния, соответствующие данным классам. Информационный портрет фактора называется также его семантическим портретом, т.к. в соответствии с концепцией смысла системно-когнитивного анализа, являющейся обобщением концепции смысла Шенка-Абельсона [5], смысл фактора состоит в том, какие будущие состояния объекта управления он детерминирует или обуславливает. Сначала в этом списке идут состояния объекта управления, на переход в которые данный фактор оказывает наибольшее влияние, затем состояния, на которые данный фактор не оказывает существенного влияния, и далее состояния - переходу в которые данный фактор препятствует. Информационные портреты факторов могут быть от отфильтрованы по диапазону классов, т.е. мы можем отобразить влияние данного фактора на переход объекта управления не во все возможные будущие состояния, а только в состояния, коды которых попадают в определенный диапазон, например, относящиеся к определенным классификационным шкалам.

Очевидно, смысл процесса измерения в том, что в его результате мы получаем определенное количество информации о степени выраженности тех или иных свойств объекта измерения или о его состоянии. Информация может рассматриваться с двух точек зрения: с количественной и с качественной, т.е. содержательной, семантической. Парадокс заключается в том, что традиционно внимание обращается только на содержание информации, полуденной в процессе измерения, тогда как на количество этой информации обычно вообще не обращают никакого внимания. Между тем количество информации полученной в результате измерений также очень важно, т.к. непосредственно определяется точностью измерений.

По мнению авторов необходимо четко осознать, что когда мы спрашиваем чему равно значение некоторой функции при определенном значении ее аргумента, то, по сути, мы хотим получить некое количество информации об этом значении функции из значения ее аргумента, т.е. о том, какое количество информации об этом значении функции содержится в данном значении ее аргумента. Парадоксально, но мы никогда не спрашиваем, какое же конкретно количество информации мы получили при ответе на этот наш вопрос.

Ответом на этот вопрос являются когнитивные функции. Если мы отобразим в графической форме результаты измерения степени выраженности некоторого свойства объекта в зависимости от величины влияющего на нее фактора в виде функции с указанием не только самих значений функции, но и количества информации в ее аргументе о том, что функция будет иметь эти значения, то это и будет когнитивная функция.

С точки зрения теории управления когнитивная функция представляет собой зависимость вероятностей перехода объекта управления в будущие состояния, соответствующие классам, под влиянием различных значений некоторого фактора. Наглядные примеры когнитивных функций будут приведены ниже.

Когнитивная функции строится для подматриц матрицы информативностей (матрицы знаний) системы «Эйдос», образованных различными классификационными и описательными шкалами (одна из подматриц выделена жирной линией и фоном) (таблица 6):

Таблица 6 - К ПОЯСНЕНИЮ ПОНЯТИЯ: «ПОДМАТРИЦЫ МАТРИЦЫ ЗНАНИЙ»

3.2 Системное обобщение понятия функции и функциональной зависимости. Когнитивные функции. Матрицы знаний как нечеткое с расчетной степенью истинности отображение системы аргументов на систему значений функции

Выше кратко рассматривается программная идея системного обобщения понятий математики (в частности теории информации), основанных на теории множеств, путем тотальной замены понятия множества на более содержательное понятие системы и прослеживания всех последствий этого. Частично эта идея была реализована автором при разработке автоматизированного системно-когнитивного анализа (АСК-анализа) [39], математическая модель которого основана на системном обобщении формул для количества информации Хартли и Харкевича [17].

В статье [24] реализуется следующий шаг: предлагается системное обобщение понятия функциональной зависимости, и вводятся термины "когнитивные функции" и "когнитивные числа". На численных примерах показано, что АСК-анализ обеспечивает выявление когнитивных функциональных зависимостей в многомерных зашумленных фрагментированных данных.

В работе [20] намечены принципы применения многозначных функций многих аргументов для описания сложных систем и предложено матричное представление этих функций.

В статье [25] обсуждается возможность восстановления значений одномерных и двумерных функций как между значениями аргумента (интерполяция), так и за их пределами (экстраполяция) на основе использования априорной информации о взаимосвязи между признаками аргумента и значениями функции в опорных точках с применением системно-когнитивного анализа и его инструментария - системы «Эйдос». Приводятся численные примеры и визуализация результатов. Предлагается применение аппарата многомерных когнитивных функций для решения задач распознавания и прогнозирования на картографических базах данных.

В статье [26] на примере решения проблемы управления агропромышленным холдингом рассматривается технология когнитивных функций СК-анализа, обеспечивающая как выявление знаний из эмпирических данных, так и использование этих знаний для поддержки принятия решений по управлению холдингом в целом на основе управления характеристиками входящих в него предприятий.

В статье [27] рассматривается применение метода автоматизированного системно-когнитивного анализа и его программного инструментария - системы «Эйдос» для выявления причинно-следственных зависимостей из эмпирических данных. В качестве инструментария для формального представления причинно-следственных зависимостей предлагаются когнитивные функции.

Когнитивные функции представляют собой многозначные интервальные функции многих аргументов, в которых различные значения функции в различной степени соответствуют различным значениям аргументов, причем количественной мерой этого соответствия выступает знание, т.е. информация о причинно-следственных зависимостях в эмпирических данных, полезная для достижения целей.

В статье [28] на основе применения аппарата когнитивных функций впервые исследована зависимость параметров движения полюса Земли от положения небесных тел Солнечной системы. В последующем эти результаты развиты в монографии [29].

Наиболее полно метод визуализации когнитивных функций, как новый инструмент исследования эмпирических данных большой размерности, раскрыт в статье [30].

В статье [31] рассматривается новая версия системы искусственного интеллекта «Эйдос-астра» для решения прикладных задач с эмпирическими данными большой размерности. Приложение, написанное на языке JAVA, обеспечивает GUI (графический интерфейс пользователя) и позволяет подготовить и выполнить визуализацию матрицы знаний без ограничений, налагаемых реализацией предыдущих версий системы «Эйдос-астра». Отметим, что в системе Эйдос-Х++ все эти ограничения на размерность моделей также сняты в универсальной форме, не зависящей от предметной области.

В статье [32] рассмотрена глубокая взаимосвязь между теорией автоматизированного и автоматического управления и системно-когнитивным анализом и его программным инструментарием - системой «Эйдос» в их применении для интеллектуального управления сложными системами. Предлагается технология, позволяющая на практике реализовать интеллектуальное автоматизированное и даже автоматическое управление такими объектами управления, для которых ранее управление реализовалось лишь на слабоформализованном уровне, как правило, без применения математических моделей и компьютеров. К таким объектам управления относятся, например, технические системы, штатно качественно-изменяющиеся в процессе управления, биологические и экологические системы, социально-экономические и психологические системы. Намечены возможности получения когнитивных передаточных функций сложных многопараметрических нелинейных объектов управления на основе зашумленной фрагментированной эмпирической информации об их фактическом поведении под действием различных сочетаний значений факторов различной природы.

Приведем простейший пример (рисунок 1) когнитивной функции затухающего синусоидального колебания, восстановленной по табличным данным, включающим 360 значений функции, при разном числе интервальных значений аргумента и функции: 30 (верхний график) и 60 (нижний график):

Рисунок 2. Когнитивная функция затухающего синусоидального колебания, восстановленная по табличным данным, включающим 360 значений функции,при 30 (вверху) и 60 (внизу) интервальных значениях аргумента и функции

Ясно, что если величина интервала будет стремиться к нулю, то интервальные функции, к которым относятся и когнитивные функции, будут асимптотически приближаться к абстрактным математическим функциям, которые можно считать интервальными функциями с нулевой величиной интервала. Соответственно будет увеличиваться и суммарное количество информации, содержащееся в модели, т.е. в значениях аргумента о значениях когнитивной функции. Поэтому интервальная математика может рассматриваться как более общая, чем точная математика с бесконечно малыми и для нее выполняется известный принцип соответствия, обязательный для более общих теорий.

В когнитивных функциях, представленных на рисунке 1, цветом отображено количество информации в интервальном значении аргумента об интервальном значении функции. Или выражаясь точнее, цветом отображено количество информации в интервальном значении аргумента о том, что (при этом значении аргумента) функция примет определенное интервальное значение. Или еще точнее, цветом отображено количество информации о том, что при значении аргумента, попадающем в данный интервал, функция примет определенное значение, попадающее в соответствующий интервал.

Из рисунка 1 мы видим, что об одних значениях функции в значениях аргумента содержится больше информации, а о других меньше. Это значит, что различные значения аргумента с разной степенью определенности обуславливают соответствующие значения функции. Иначе говоря, зная одни значения аргумента, мы весьма определенно можем сказать о соответствующем значении функции, а по другим значениям мы можем судить о значении функции лишь приблизительно, т.е. с гораздо большей погрешностью или неопределенностью.

Таким образом, когнитивная функция содержит информацию не только о соответствии значений функции значениям аргумента, как абстрактная математическая функция, но и о достоверности высказывания о том, что именно такое их соответствие имеет место в действительности, причем эта достоверность меняется от одних значений аргумента и функции к другим.

Получается, что в каждом значении аргумента содержится определенная информация о каждом значении функции. Эта информация может быть больше или меньше, она может быть положительная или отрицательная, т.е. в когнитивной функции каждому значению аргумента соответствуют все значения функции, но в различной степени. Из этого следует также, что каждое значение функции обуславливается различными значениями аргумента, но каждое из них обусловливает это значение в различной степени. Поэтому когнитивные функции являются многозначными функциями многих аргументов.

Это понятие напоминает доверительный интервал, но с той разницей, что доверительный интервал всегда растет со значением аргумента, а количество информации может и возрастать, и уменьшаться. Если осуществляется интерполяция или прогноз значения когнитивной функции, то при этом одновременно определяется и достоверность этой интерполяции или этого прогноза. На когнитивной функции, представленной на рисунке 2, эта достоверность представлена в форме полупрозрачной полосы, ширина которой обратно пропорциональна достоверности (как в доверительном интервале), т.е. чем точнее известно значение функции, тем уже полоса, и чем оно более неопределенно, тем она шире.

Рисунок 3. Когнитивная функция затухающего синусоидального колебания, восстановленная по табличным данным, включающим 360 значений функции, при 15 интервальных значениях аргумента и функции с указанием степени достоверности не только цветом, но и в форме частично-редуцированной когнитивной функции, аналогичной по смыслу доверительному интервалу

В теоретической математике нет меры причинно-следственной связи. Математика оперирует абстрактными понятиями, а понятие причинно-следственной связи является содержательным понятием, относящимся к конкретной изучаемой, в том числе и эмпирически, реальной предметной области. Математические понятия функциональной зависимости или корреляция не являются такой мерой. Правда, в статистике есть критерий хи-квадрат, который действительно является мерой причинно-следственной связи, но статистика специально разработана с целью изучения конкретных явлений и этим существенно отличается от абстрактной теоретической математики.

Мы рассматриваем числовые и лингвистические данные, как сырые данные, полученные непосредственно из опыта и еще не подвергнутые какой-либо обработке. Эти эмпирические данные могут быть преобразованы в информацию путем их анализа. Информация есть осмысленные данные. Смысл согласно концепции смысла Шешка-Абельсона, которой мы придерживаемся, представляет собой знание причинно-следственных зависимостей. Причинно-следственные зависимости возможны только между событиями, а не между данными. Поэтому анализ данных, в результате которого они преобразуются в информацию, включает два этапа:

- нахождение событий в данных;

- выявление причинно-следственных связей между событиями.

Знания представляют собой информацию, полезную для достижения цели. Если такой целью является решение задач прогнозирования, принятия решений и исследования моделируемой предметной области путем исследования ее модели (это корректно, если модель адекватна), то информационная модель является и когнитивной моделью, т.е. интеллектуальной моделью или моделью знаний.

Поэтому когнитивные функции являются наглядным графическим отображение наших знаний о причинно-следственных связях между интервальными или лингвистическими значениями аргумента и интервальными или лингвистическими значениями функции.

Когнитивные функции представляют собой графическое отображение сечений многомерного эйдос-пространства (базы знаний) системы «Эйдос-Х++» плоскостями, содержащими заданные описательные и классификационные шкалы с фактически имеющимися у них интервальными значениями (градациями).

3.3 Примеры известных функций, которые могут рассматриваться как аналоги когнитивных функций

3.3.1 Оцифрованные сигналы: аудио, графика, видео

В оцифрованных аудио, видео и других сигналах мы всегда знаем глубину кодирования, а значит и количество информации в значении аргументе о значении функции. В любых таблицах и базах данных числа всегда представлены с ограниченным числом знаков после запятой, а значит само множество таких чисел ограничено, и всегда можно посчитать, какие количество информации содержится в факте выборки как-то одного конкретного из этих чисел.

3.3.2 Таблично заданные функции, например таблицы Брадиса

Например, в известной таблице Брадиса См., например: http://www.vsetabl.ru/056.htm приводится 4 знака значения синуса после запятой. Это значит, что заданному углу соответствует одно из 9999 значений. По формуле Хартли получаем: I=Log2N=Log29999~13.29 бит.

3.3.3 Доверительные интервалы как аналог количества информации в аргументе о значении функции и прогнозирование достоверности прогнозирования

В статистике принято не просто что-либо утверждать, а обязательно сопровождать каждое утверждение оценкой степени его достоверности. Например, для этой цели при решении задачи прогнозирования путем экстраполяции, т.е. оценки значения функции за пределами эмпирических значений аргумента, используется так называемый «доверительный интервал». Доверительный интервал представляет собой определенный диапазон значений функции, зависящий от значения аргумента, в который истинное значение функции попадает с определенной вероятностью (обычно 0,95). Наиболее известным свойством доверительного интервала при решении задачи прогнозирования является его монотонное увеличение по мере удаления от эмпирически известных значений аргумента и функции. Используя определение информации как количесвенной меры степени снятия неопределнности (энтропийная мера Больцмана) можно сказать, что чем больше величина доверительного интервала, тем меньше информации в значениях аргумента о значениях функции, т.е. тем выше неопределенность значений функциии.

В теории и практике когнитивных функций оценкой достоверности прогноза о значении функции является количество информации в аргументе о том, что функция примет данное значение. Это количество информации может быть наглядно изображено цветом и толщиной частично-редуцированной когнитивной функции. Существенно, что это количество информации не обязательно уменьшается при удалении от области эмпирически известных значений, но может и уменьшаться и возрастать, в отличие от доверительного интервала [17]. Это означает, что АСК-анализ позволяет не только прогнозировать развитие процесса, но и позволяет прогнозировать достоверность этого прогнозирования. Это возможно также по разбросу точечных прогнозов [17].

3.3.4 Что представляют собой классические функции с точки зрения теории и практики когнитивных функций?

Рассмотрим с позиций теории информации, чем отличаются когнитивные функции от абстрактных математических функций. Формально по точному значению аргумента любой абстрактной математической функции, возможно, точно узнать ее точное значение. Но на практике это возможно лишь тогда, когда и значения аргумента, и значения функции являются целыми числами. Если же они являются иррациональными числами, то совершенно ясно, что точное их значение никогда не может быть ни вычислено на любом компьютере с ограниченной вычислительной мощностью, ни записано, ни на каких носителях с ограниченной информационной емкостью, ни передано ни по каким каналам связи с ограниченной пропускной способностью. Поэтому точное знание значения иррациональной функции означает доступ к бесконечному количеству информации. На практике же мы, конечно, всегда имеем дело с ограниченной точностью или знаем значения функции с некоторой погрешностью, т.е. оперируем конечным количеством информации в значениях аргумента о значениях функции. Но каким именно количеством информации? До разработки математического аппарата и программного инструментария когнитивных функций это вопрос как-то ребром не ставился и был в тени приоритетных направлений исследований. Ответом на это вопрос и является теория когнитивных функций, где каждому значению аргумента соответствует не только значение функции, но и количество информации в битах, содержащееся в этом значении аргумента о том, что ему соответствует данное значение функции.

Конкретные численные примеры когнитивных функций приведены в разделе 4.2.

Разработаны нередуцированные, частично и полностью редуцированные прямые и обратные когнитивные функции, а также программный инструментарий для их расчета (сама система Эйдос-Х++) и визуализации [40]. Однако в данной статье не целесообразно их рассматривать, т.к. этому посвящены работы [24, 27-30] и ряд других.

Таким образом, с точки зрения теории и практики когнитивных функций классические функции это предел, к которому стремятся полностью редуцированные когнитивные функции при неограниченном увеличении количества наблюдений, т.е. когнитивные функции, в значениях аргумента которых содержится бесконечное количество информации о значении функции (т.к. значение функции предполагается известным абсолютно точно). Ясно, что вообще говоря, на практике это невозможно в реальности классическим математическим функциям ничего не соответствует, т.е. они являются чистой абстракцией наподобие математической точки, бесконечно малой величины и т.п.

4. Практическое решение проблемы в программном инструментарии АСК-анализа - интеллектуальной системе «Эйдос»

4.1 Интеллектуальная система Эйдос-Х++ как инструментарий АСК-анализа, реализующий идеи системного нечеткого интервального обобщения математики

Система «Эйдос» за многие годы применения хорошо показала себя при проведении научных исследований в различных предметных областях и занятий по ряду научных дисциплин, связанных с искусственным интеллектом, представлениями знаний и управлению знаниями [33]. Однако в процессе эксплуатации системы были выявлены и некоторые недостатки, ограничивающие возможности и перспективы применения системы. Поэтому создана качественно новая версия системы (система Эйдос-Х++), в которой преодолены ограничения и недостатки предыдущей версии и реализованы новые важные идеи по ее развитию и применению в качестве программного инструментария системно-когнитивного анализа (СК-анализ) [34].

Авторы считают, что система Эйдос-Х++ является программным инструментарием, реализующим ряд идей системного нечеткого интервального обобщения математики.

4.2 Развернутый численный пример построения когнитивных функций на основе зашумленных данных в системе «Эйдос»

В системе «Эйдос» для учебных целей реализована возможность исследования зашумленных когнитивных функций. В качестве функции, на примере которой это осуществляется в настоящее время выбран затухающий свип-сигнал, т.е. гармонический сигнал с уменьшающейся амплитудой и изменяющийся частотой.

Рассмотрим последовательность действий при исследовании зашумленных когнитивных функций в системе «Эйдос» и их результаты этого исследования. Для генерации исходной выборки запустим диспетчер приложений, т.е. режим 1.3 (рисунок 4):

Рисунок 4. Запуск диспетчера приложений системы «Эйдос» (режим 1.3)

Появляется окно данного режима (рисунок 5):

Рисунок 5. Окно диспетчера приложений системы «Эйдос» (режим 1.3)

По клику на кнопке «Добавить учебное приложение» появляется окно (рисунок 6):

Рисунок 6. Первое окно режима выбора учебных приложений для инсталляции

Выбираем опцию: «Устанавливаемые автоматизировано в диалоге с пользователем» и получаем (рисунок 7):

Рисунок 7. Второе окно режима выбора учебных приложений для инсталляции

Выбираем учебное приложение №13 и нажимаем «ОК». Получаем окно, представленное на рисунке 8:

Рисунок 8. Окно задания параметров генерации зашумленного свип-сигнала для исследования зашумленных когнитивных функций

Стадия процесса генерации обучающей выборки и прогноз времени исполнения отображается на окне, представленном на рисунке 9:

Рисунок 9. Окно отображения стадия процесса генерации обучающей выборки и прогноза времени исполнения

В результате выполнения данного режима генерируется обучающая выборка, состоящая из двух файлов: Inp_data.dbf с значениями функции для различных значений аргумента, причем для каждого значения аргумента просчитано 10 значений функций, и Inp_name.txt с наименованиями колонок файла Inp_data.dbf. Файл Inp_data.dbf представлен в таблице 7:

Таблица 7 - ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ ДЛЯ СИНТЕЗА МОДЕЛИ ИССЛЕДОВАНИЯ ЗАШУМЛЕННОЙ КОГНИТИВНОЙ ФУНКЦИИ (ФРАГМЕНТ)

Здесь мы можем задать любое число градаций как в классификационных, так и в описательных числовых шкалах (в данном случае задано 30). Обратим внимание на то, что число градаций по классификационным и описательным шкалам задается раздельно и может не совпадать. В случае перезадания числа градаций необходимо выполнить пересчет шкал и градаций, кликнув на соответствующей кнопке в данной экранной форме. Если все устраивает необходимо выйти на создание модели. Экранная форма отображения стадии процесса и прогнозирования времени исполнения представлена на рисунке 15:

Рисунок 15. Третье окно универсального программного интерфейса импорта данных из внешних баз данных в систему «Эйдос» (режим 2.3.2.2): отображение стадии процесса и прогнозирования времени исполнения

В результате работы программного интерфейса создается новое приложение (рисунок 16), название которого может быть изменено вручную, что нами и было сделано.

Рисунок 16. Окно диспетчера приложений с информацией о том, что новое приложение создано

Данное приложение автоматически определяется как текущее (рабочее). Универсальным программным интерфейсом созданы классификационные и описательные шкалы и градации в этом новом текущем приложении. Затем исходные данные закодированы с помощью классификационных и описательных шкал и градаций и тем самым преобразованы в обучающую выборку (см. рисунки 19, 20, 21).

Таким образом, универсальный программный интерфейс автоматизирует выполнение этапа формализации предметной области АСК-анализа (рисунок 17). Дальнейшие процедуры преобразования, предусмотренные в АСК-анализе, осуществляются также в соответствии с диаграммой, приведенной на рисунке 17.

Рисунок 17. Последовательность преобразования исходных данных в информацию, а ее в знания в системе «Эйдос-Х++»

Кратко рассмотрим соотношение содержания понятий: «данные», «информация» и «знания». Данные - это информация, рассматриваемая безотносительно к ее смысловому содержанию, находящаяся на носителях или в каналах связи и представленная в определенной системе кодирования или на определенном языке (т.е. в формализованном виде). Информация - это осмысленные данные. Смысл, семантика, содержание (согласно концепции смысла Шенка-Абельсона [42]) - это знание причинно-следственных зависимостей. Знания - это информация, полезная для достижения целей, т.е. для управления, которая представляет собой технологию или «ноу-хау».