Применение логики предикатов к логико-математической практике

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Магнитогорский государственный технический

университет им. Г.И. Носова»

Кафедра информатики и информационной безопасности

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине: Математичекая логика и теория алгоритмов

на тему: Применение логики предикатов к логико-математической практике

Исполнитель: Волков А.С.

студент 2 курса группа АИБ-14

Руководитель: старший преподаватель

Коринченко Г.М.

Магнитогорск, 2016



Введение

Сегодня математический язык достиг такого уровня совершенства и такой выразительной силы, что он вплотную приблизился по своим информационно - выразительным свойствам к общечеловеческому языку.Особенно это проявилось, когда математикой был разработан язык математической логики и прежде всего язык логики предикатов. Язык логики предикатов - этооткрытое вторжение математики в общечеловеческий язык, математизация общечеловеческого языка с целью более точного его использования в первую очередь в самой математике. В языке логики предикатов соединились логика мышления, без которой немыслим общечеловеческий язык, и математика. В человеческий язык вошла математика, а математический язык стал почти неотличим от общечеловеческого, слился с ним. Поэтому умение грамотно оперировать языком логики предикатов является основой современной логической культуры вообще.В связи с актуальностью проекта, была определена тема курсовой работы: «Применение логики предикатов к логико-математической практике».

Цель исследования - изучить различные приложения языка логики предикатов в математической практике. 

Объект исследования - язык логики предикатов.

Предмет исследования - возможности применения языка логики предикатов в математике.

Задачи исследования:

1. Изучить и проанализировать научную литературу по тематике исследований.

2. Проанализировать основные аспекты логики предикатов.

3. Рассмотреть возможные применения языка логики предикатов в математической практике.

4. Решить конкретные задачи, используя метод аристотелевой силлогистики.

Данная работа состоит из введения, трех разделов, заключения, списка литературы. 

Во введении даётся краткое обоснование поставленных целей и задач.В первом разделе раскрывается суть логики предикатов, излагаются общие понятия логики предикатов, рассматриваются логические и кванторные операции над предикатами. Во втором разделе рассматриваются применения языка логики предикатов для записи математических предложений,определений, построения отрицания предложений, более подробно на примерах сравнивается логика предикатов и логика высказываний, изучаются структура и виды теорем, необходимые и достаточные условия и доказательство теорем методом от противного, в третьем разделе, используя метод аристотелевой силлогистики, решаются предложенные задачи. В заключении подводятся итоги проведенных исследований и делаются общие выводы.



Основная часть

1. Основные понятия логики предикатов

1.1 Недостаточность логики высказываний. Понятие предиката

В алгебре логики рассматриваютсявысказывания как нераздельные целые и только с точки зрения их истинности или ложности.

Ни структура высказываний, ни, тем более, их содержание не затрагиваются. В то же время и в науке, и в практике используются заключения, существенным образом зависящие как от структуры, так и от содержания используемых в них высказываний, поэтому, алгебра логики высказываний, будучи важной частью логики, оказывается недостаточной в анализе многих рассуждений.В связи с этим возникает необходимость в расширении логики высказываний, в построении такой логической системы, средствами которой можно было бы исследовать структуру тех высказываний, которые в рамках логики высказываний рассматриваются как элементарные.Такой логической системой является логика предикатов, содержащая всю логику высказываний в качестве своей части.

1.2 Закон логики предикатов

Логика предикатов - раздел математическойлогики, изучающий логические законы, общие для любой области объектов исследования (содержащей хоть один объект) с заданными на этих объектах предикатами (т. е. свойствами и отношениями). В результатеформализациипринимает вид различныхисчислений.Простейшими логическими исчислениями являются исчисления высказываний. Высказыванием называют любое утверждение, относительно которого можно судить, истинно оно или ложно. В более сложных исчислениях предикатов описываются логические законы, связывающие объекты исследования с отношениями между этими объектами.

Язык логики предикатов (ЯЛП) является искусственным языком его характеризуют обычно как символический язык, потому что здесь используется особая символика, прежде всего для обозначения логических связей и операций. Специальные символы употребляются также в качестве знаков для обозначения предметов, свойств и отношений. Употребление символики способствует сокращению записи высказываний и облегчает, особенно в сложных ситуациях, понимание смыслов соответствующих высказываний.

Логика предикатов, как и традиционная формальная логика, расчленяет элементарное высказывание на субъект и предикат. 

Субъект - это то, о чём что-то утверждается в высказывании;

Предикат - это то, что утверждается о субъекте.

Введем несколько общих понятий для логики предикатов.

1. Определённым на множествах M1, M2,…,Mn n-местным предикатом называется предложение, содержащее n переменных x1, x2,…,xn, превращающееся в высказывание при подстановке вместо этих переменных любых конкретных элементов из множеств M1, M2,…,Mn соответственно.

Обозначение для n-местного предиката: P(x1, x2, …, xn), где x1, x2,…,xn - предметные переменные.

Элементы множеств M1, M2, …, Mn называются конкретными предметами.

2. Множество истинности предиката P (x1,x2,xn), заданного на множествах M1, M2,…,Mn называется совокупность всех упорядоченных n-систем (a1,a2,an), в которых a1?M1, a2?M2, an?Mn, таких, что данный предикат P (x1,x2,…,xn) превращается в истинное высказывание P (a1,a2,an) при подстановке x1=a1, x2=a2, xn=an.

Обозначение(P+)? (a1, a2,…,an): л(P (a1,a2,…,an)) =1.

3. n-местный предикат P (x1, x2, …, xn), заданный на множествах M1, M2,…,Mn будет:

а) тождественно истинным ? P+ =M1ЧM2Ч…ЧMn

б) тождественно ложным ? P+= ?

в) выполнимым ? P+ ? ?

г) опровержимым ? P+ ? M1ЧM2Ч…ЧMn

Примеры предикатов

P(x) - x делится на восемь

Q (x, y) - x - отец у.

D - Луна меньше Земли.

R(x) - x2 - 6x + 0.5 = 0.

H(x) - x разгоняется до 100 км /ч за 2 секунды.

L (x, y, z) - x>y и x<z.

Из приведенных примеров видим, что одноместные предикаты выражают свойства предметов (субъектов).

1.3 Исчисление предикатов

Исчисление предикатов, то есть формальная теория предикатов строится по классической схеме построения формальных (математических) теорий.

1. Алфавит исчисления предикатов, то есть множество исходных символов состоит из предметных переменных x1,x2,...,предметных констант a1,a2,...,предикатных букв P11, P21,...,Pkj,... и функциональных букв f11,f21,...,fkj,..., а также знаков логических операций , , , , кванторов ?,?и служебными символами(скобки, запятая) ( , ) .Верхние индексы предикатных и функциональных букв указывают на число аргументов (арность), а нижние используют для обычной нумерации букв.

2. Понятия формулы означают в два этапа. Сначала означают понятие терма.

а). Предметные сменные и предметные константы являются термами.

б). Если fn - функциональная буква, а t1,t2,…,tn - термы, то fn (t1,t2,…,tn) - терм.

в). Других термов, кроме образованных по правилам а) и б), нет.

Затем, формулируют определение формулы.

а). Если Pn предикатная буква, а t1,t2,...,tn - термы, то Pn(t1,t2,…,tn) - формула, которая называется элементарной. Все вхождения предметных сменных в формулу Pn(t1,t2,…,tn) называют свободными.

б). Если F1, F2 - формулы, то выражения (F1), (F1F2), (F1F2), (F1F2) тоже есть формулами. Все вхождения сменных, свободные в F1 и F2, есть свободными и во всех четырех видах формул.

в). Если F(x) - формула, которая содержит свободные вхождения сменной x, то (?x)(x) и (?x)(x) - формулы.В этих формулах все вхождения переменной x называют связанными. Вхождения сдачи сменных в F остаются свободными.

г). Других формул, чем построенных по правилам а), б) и в), нет.

Замечания. Функциональные буквы и термы введены у определения для потенциальных потребностей разнообразных конкретных прикладных исчислений предикатов. В прикладных исчислениях предметная область M есть, как правило, носителем определенной алгебраической системы, поэтому в многочисленные целесообразно иметь средства для описания операций и отношений, заданных на M. Чистое исчисление предикатов строится для произвольной предметной области; структура этой области и связи (отношения) между ее элементами не берутся к вниманию, поэтому в нем вводитьфункциональные буквы и термы не обязательно.

3. Аксиомы исчисления предикатов образовывают две группы аксиом.

а). Первую группу составляют аксиомы произвольного исчисления высказываний. Как правило, эти аксиомы являются схемами аксиом.

б). В друге группу входят так называемые предикатные аксиомы:P1. (?x)(F(x)F(y)),

P2.F(y) (?x)(F(x))

В этих аксиомах F(x) - любая формула, которая содержит свободные вхождения x, причем ни одно из них не находится в области действия квантора по y. Формулу F(y) получаем с F(x) заменой всех свободных вхождений сменной x на y.Последнее замечание означает, что формула F(x) не может иметь, например, вид (?y)(x,y) или (?y)(A(x)B(y)) и т.п..4.

Правилами вывода в многочисленные предикатов есть такие правила.

а). Правило вывода (modus ponens) - одно и тех же, что и в исчислении высказываний.

б). Правило обобщения (правило введения квантора ?): с AB(x) выводится A(?x)(B(x)).

в). Правило введения квантора ?: с B(x)A выводятся (?x)(B(x)A).

Поскольку, как уже отмечалось выше, установление равносильности формул в логике предикатов есть задачей значительно более сложной, чем в логике высказываний, то сильное важное значение последнего утверждения состоит в потому, что эту задачу можно свести к поиску формального вывода для соответствующей формулы.

Построенное исчисление предикатов называют исчислением предикатов первого порядка, или теорией первого порядка. В такой теории аргументами функций и предикатов, а также сменными, которые связываются кванторами, могут быть лишь предметные сменные. В исчислениях второго и высших порядков аргументами предикатов могут быть и предикаты, а кванторы могут связывать и предикатные переменные, т.е. допустимые выражения, например, вида P(P(x)). Применения таких исчислений встречается значительно реже, поэтому в математической логике им уделяют меньше внимания.



1.4 Определение формулы логики предикатов

О логическом значении формулы логики предикатов можно говорить лишь тогда, когда задано множество M, на котором определены входящие в эту формулу предикаты. Логическое значение формулы логики предикатов зависит от значений трех видов переменных: 1) значений, входящих в формулу переменных высказываний, 2) значений свободных предметных переменных из множества М, 3) значений предикатных переменных.

При конкретных значениях каждого из трех видов переменных формула логики предикатов становится высказыванием, имеющим истинное или ложное значение. 

1. Каждое высказывание как переменное, так и постоянное, является формулой (элементарной).

2. Если F (·, ·, …, ·) - n-местная предикатная переменная или постоянный предикат, а x1, x2,…,xn- предметные переменные или предметные постоянные (не обязательно все различные), то F (x1, x2,…,xn) есть формула. Такая формула называется элементарной, в ней предметные переменные являются свободными, не связанными кванторами.

3. Если А и В - формулы, причем, такие, что одна и та же предметная переменная не является в одной из них связанной, а в другой - свободной, то слова  есть формулы. В этих формулах те переменные, которые в исходных формулах были свободны, являются свободными, а те, которые были связанными, являются связанными.

4. Если А - формула, то  - формула, и характер предметных переменных при переходе от формулы А к формуле  не меняется.

5. Если А(х) - формула, в которую предметная переменная х входит свободно, то слова  и  являются формулами, причем, предметная переменная входит в них связанно.

6. Всякое слово, отличное от тех, которые названы формулами в пунктах 1 - 5, не является формулой.

1.5 Логические операции над предикатами

Предикаты так же, как высказывания, могут принимать два значения: “истина” (1) и “ложь” (0), поэтому к ним применимы все операции логики высказываний, в результате чего из элементарных предикатов формируются сложные предикаты (как и в логике высказываний, где из элементарных высказываний формировались сложные, составные). Рассмотрим применение операций логики высказываний к предикатам на примерах одноместных предикатов. Эти операции в логике предикатов сохраняют тот же смысл, который был им присвоен в логике высказываний. 

Пусть на некотором множестве M определены два предиката P(x) и Q(x).

Конъюнкцией двух предикатов P(x) и Q(x) называется новый (сложный) предикат , который принимает значение “истина” при тех и только тех значениях , при которых каждый из предикатов принимает значение “истина”, и принимает значение “ложь” во всех остальных случаях. Очевидно, что областью истинности предиката  является общая часть области истинности предикатов P(x) и Q(x), т.е. пересечение .Так, например, для предикатов P(x): “x - четное число” и Q(x): “x кратно 3” конъюнкцией  является предикат “x - четное число и x кратно трем”, т.е. предикат “x делится на 6”.

Дизъюнкцией двух предикатов P(x) и Q(x) называется новый предикат , который принимает значение “ложь” при тех и только тех значениях , прикоторых каждый из предикатов принимает значение “ложь”, и принимает значение “истина” во всех остальных случаях.

Ясно, что областью истинности предиката  является объединение области истинности предикатов P(x) и Q(x), т.е. .

Отрицанием предиката P(x) называется новый предикат  или , который принимает значение “истина” при всех значениях , при которых предикат P(x) принимает значение “ложь”, и принимает значение “ложь” при тех значениях , при которых предикат P(x) принимает значение “истина”.очевидно, что , т.е. множество истинности предиката  является дополнением к множеству IP.

Импликацией предикатов P(x) и Q(x) называется новый предикат , который является ложным при тех и только тех значениях , при которых одновременно P(x) принимает значение “истина”, а Q(x) - значение “ложь”, и принимает значение “истина” во всех остальных случаях.

Поскольку при каждом фиксированном  справедлива равносильность , то . .Эквиваленцией предикатов P(x) и Q(x) называется новый предикат , который обращается в “истину” при всех тех и только тех , при которых P(x) и Q(x) обращаются оба в истинные или оба в ложные высказывания.

Для его множества истинности имеем: 

1.6 Кванторы и кванторные операции

Специфическая природа предикатов позволяет ввести над ними такие операции, которые не имеют аналогов среди операций над высказываниями. Имеются в виду две кванторные операции над предикатами.

Квантор общности

Для превращения одноместного предиката в высказывание нужно вместо его переменной подставить какой-нибудь конкретный предмет из области задания предиката. Имеется еще один способ для такого превращения - это применение к предикату операций связывания квантором общности или квантором существования. Каждая из этих операций ставит в соответствие одноместному предикату некоторое высказывание, истинное или ложное в зависимости от исходного предиката.

Определение. Операцией связывания квантором общности называется правило, по которому каждому одноместному предикату Р(х), определенному на множестве М, сопоставляется высказывание, обозначаемое , которое истинно в том и только в том случае, когда предикат Р(х) тождественно истинен, и ложно в противном случае, то есть

Словесным аналогом квантору общности " является: «для любого», «для каждого», «для всякого» и т.п. В выражении  переменная х уже перестает быть переменной в обычном смысле этого слова, то есть вместо нее невозможно подставить какие бы то ни было конкретные значения. Говорят, что переменная х связанная. Если одноместный предикат Р(х) задан на конечном множестве М = {a1, a2, …, an}, то высказывание  эквивалентно конъюнкции Р(а1)  Р(а2)  …  Р(аn).

Пусть х определен на множестве людей М, а Р(х) - предикат «х - смертен». Дать словесную формулировку предикатной формулы .

Решение.

Выражение  означает «все люди смертны». Оно не зависит от переменной х, а характеризует всех людей в целом, т. е. выражает суждение относительно всех х множества М.

Определение. Операцией связывания квантором общности по переменной х1называется правило, по которому каждому n-местному (n  2) предикату Р(х1, х2, …, хn), определенному на множествах М1, М2, …, Мn, сопоставляется новый (n-1)-местный предикат, обозначаемый , который для любых предметов , превращается в высказывание , истинное в том и только в том случае, когда одноместный предикат , определенный на множестве М1, тождественно истинен, и ложное в противном случае, то есть:



Квантор существования

Определение. Операцией связывания квантором существования называется правило, по которому каждому одноместному предикату Р(х), определенному на множестве М, сопоставляется высказывание, обозначаемое , которое ложно в том и только в том случае, когда предикат Р(х) тождественно ложен, и истинно в противном случае, то есть

Словесным аналогом квантору существования $ является: «существует», «найдется» и т.п.

Подобно выражению , в выражении  переменная х также перестает быть переменной в обычном смысле этого слова: это - связанная переменная.

Если одноместный предикат Р(х) задан на конечном множестве М = {a1, a2, …, an}, то высказывание  эквивалентно дизъюнкции Р(а1) Р(а2)  …  Р(аn).

Рассмотрим операции, преобразующие предикаты в высказывания.

Пусть имеется предикат Р(х) определенный на множестве М. Если “а” - некоторый элемент из множества М, то подстановка его вместо х в предикат Р(х) превращает этот предикат в высказывание Р(а). Такое высказывание называют единичным. Например, r(x): “х - четное число” - предикат, а r (6)- истинное высказывание, r (3) - ложное высказывание.

Это же относится и к n - местным предикатам: если вместо всех предметных переменных хi, i= подставить их значения, то получим высказывание.

Наряду с образованием из предикатов высказываний в результате таких подстановок в логике предикатов рассматриваются еще две операции, которые превращают одноместный предикат в высказывание. Эти операции называются операциями квантификации (или просто квантификацией, или связыванием кванторами, или навешиванием кванторов



2. Применение логики предикатов к логико-математической практике

2.1 Запись математических предложений и определений в виде формул логики предикатов

Язык логики предикатов удобен для записи математических предложений и определений. Он дает возможность выражать логические связи между понятиями, записывать определения, теоремы, доказательства. Приведем несколько примеров таких записей

Пример 1.

Определение предела “” функции ѓ(х), определенной в области E, в точке x0: 

 где  .

Пример 2.Определение непрерывности функции в точке.

Функция, определенная на множестве E, непрерывна в точке , если, где

Пример 3.Определение возрастающей функции.

Функция , определенная на множестве E, возрастает на этом множестве, если . Здесь использован двуместный предикат



2.2 Сравнение логики предикатов и логики высказываний

Язык и логика алгебры предикатов тоньше и точнее отражают процессы мышления, нежели язык и логика алгебры высказываний. Например,

Рассмотрим высказывание "Каждый человек имеет мать".

Если на языке алгебры высказываний формулировка данного высказывания сведется лишь к обозначению его некоторой буквой, скажем A, то на языке логики предикатов возможна формализация, учитывающая внутреннюю (субъектно-предикатную) структуру этого высказывания.

Действительно, пусть P(x,y) - двухместный предикат , а x - есть мать y, определенный на множестве всех людей. Тогда данному высказыванию отвечает формула логики предикатов (?y)(?x)(P(x,y)).

Рассматриваемое высказывание можно перевести на язык логики предикатов и иначе. Если ввести еще одноместный предикат Q(x): x есть человек, определенный на произвольном множестве, то высказывание запишется так:

(?y)(Q(y)>(?x)(Q(x)?P(x,y)

Как видим из рассмотренного примера ни структура высказываний, ни, тем более, их содержание не затрагиваются. В то же время и в науке, и в практике используются заключения, существенным образом зависящие как от структуры, так и от содержания используемых в них высказываний, поэтому, алгебра логики высказываний, будучи важной частью логики, оказывается недостаточной в анализе многих рассуждений.



2.3 Строение математических теорем

Логика предикатов позволяет проанализировать строение теорем, сравнить между собой, и этот анализ будет более тонким, нежели анализ строения теорем, проведенный в алгебре высказываний.

Дpeвнeгpeчecкий мыcлитeлья Аристотеля впервые систематизировал и подверг анализу с формальной точки зрения приемы рассуждений, Он показал, что правильное рассуждение можно свести к систематическому применению небольшого числа неизменных правил, независимых от частной природы объектов, относительно которых происходит рассуждение. Тем самым Аристотель применил такие подходы к исследованию рассуждений, которые сделали логику наукой. С точки зрения современной математической логики этот особый вид логических рассуждений получил название "силлогического". Силлогизм - это умозаключение, в котором два суждения связываются с помощью третьего термина. Аристотель всесторонне исследовал первые три фигуры силлогизма. Силлогизмом Аристотель называл «высказывание, в котором при утверждении чего-либо из него вытекает нечто отличное от утвержденного и именно в силу того, что это есть». 

Аристотелева силлогистика - положила начало формализации мыслительных процессов, были выведены общие закономерности, при которых из двух высказываний-посылок, имеющих вполне определенную логическую структуру (выражаемую специальными формулами логики предикатов, содержащими лишь одноместные предикатные переменные), вытекает определенное заключение с необходимостью либо следует, либо не следует.

Все высказывания можно разделить на общие (соответственно общеутвердительные или общеотрицательные), частные (соответственно частноутвердительные или частноотрицательные).

Высказывание, в котором утверждается, что все предметы класса обладают или не обладают определенным свойством, называется общим. Они, как првило, начинаются со слов «все, всякий, ни один, никакой»

Высказывание, в котором утверждается, что некоторые предметы класса обладают или не обладают определенным свойством, называется частным. Они, как првило, начинаются со слов «некоторый».

Таким образом, все простые высказывания делятся на следующие шесть типов: единичноутвердительные, единичноотрицательные, общеутвердительные,общеотрицательные, частноутвердительные, частноотрицательные. Первые два типа высказываний есть высказывания о конкретных предметах, последние четыре - о классах предметов.

Все типы высказываний обозначаются гласными буквами латинского алфавита:

 - общеутвердительные -A , 

 - общеотрицательные - Е,

- частноутвердительные - I , 

 -частноотрицательные - О.

В кaждoм cиллoгизмe дoлжнo быть тpи тepминa: мньший, бльший и cpeдний.

Mньшuм mepмuнoм нaзывaeтcя cyбъeкт зaключeния, oбoзнaчaeтcя oбычнo бyквoй S,

Бльшим mepмuнoм имeнyeтcя пpeдикaт зaключeния, oбoзнaчaeтcя oбычнo бyквoй Р. 

Tepмин, пpиcyтcтвyющий в пocылкax, нo oтcyтcтвyющий в зaключeнии, нaзывaeтcя cpeдним, oбoзнaчaeтcя oбычнo бyквoй М.

Исходя из всего этого, анализ строения простых высказываниий состоит в выявлении их субъектно-предикатной структуры, т.е. в выявлении в высказывании субъекта и предиката и фиксировании способа связи между ними по типу A,E,I,O.

Доказательство общеутвердительных (A) и общеотрицательных (E) теорем должно состоять в построении строгой цепочки логических умозаключений, начинающейся с условий теоремы и заканчивающейся ее заключением. Напротив, при доказательстве утверждений частноутвердительных (I) и частноотрицательных (O) цепочек логических рассуждений строить не требуется. Здесь нужно находить или строить примеры.

предикат логика операция кванторный

2.4 Аристотелева силлогистика и методы рассуждений

В настоящее время образцом логической строгости выступает аристотелева силлогистика: незыблемым считается порядок, когда из двух посылок (большой и малой) выводится одно заключение.

Итак, каждый силлогизм состоит из двух посылок и заключения:

- первая посылка (называемая большая) представляет собой простое высказывание, связывающее M и P;

- вторая посылка (называемая малая) связывает M и S;

- следствие связывает S и P, причем в следствии всегда S выступает в качестве субъекта, а P - в качестве предиката.

В зависимости от расположения "связующего" свойства M может быть четыре вида силлогизмов (по Аристотелю - четыре фигуры модусов силлогизмов), которые схематически представляются следующим образом:

Поскольку каждое из трех суждений фигуры независимо одно от другого может иметь один из четырех видов, то каждая фигура доставляет следующее количество силлогизмов (схем): 4?4?4=64 Поскольку фигур 4, то получаем 4?64=2564?64=256 силлогизмов.

Задача аристотелевой силлогистики, блестяще решенная самим Аристотелем, состоит в том, чтобы обнаружить все те силлогизмы (схемы умозаключений), которые справедливы, т.е. представляют собой логические следования. Таких силлогизмов, как установил Аристотель, имеется ровно 19, остальные - неверны. При этом 4 из 19 правильных силлогизмов оказываются условно правильными.

В фигуре 1 средний термин является подлежащим в большей посылке, сказуемым - в меньшей. В фигуре 2 он является сказуемым в большей посылке, сказуемым же и в меньшей посылке. В фигуре 3 он является подлежащим и в большей и в меньшей посылке, и, наконец, в фигуре 4 он является сказуемым в большей посылке и подлежащим - в меньшей.

Теперь возьмём возможные сочетания и предположим, что каждое сочетание изменяет положение среднего термина указанными четырьмя способами..

Рассмотрим, какие из них возможны. Чтобы показать, как производится такого рода исследование, возьмём для примера сочетание AEE, изобразим его по первой фигуре.

A: Все M суть P.

E: Ни одно S не есть M.

E: Ни одно S не есть P.

Если мы обратим внимание на термин P, то окажется, что в большей посылке как сказуемое общеутвердительного суждения он не распределён, между тем в заключении как сказуемое общеотрицательного суждения он распределён. Это противоречит правилу 4, а следовательно, такое сочетание невозможно. Рассмотрим далее, какой вид может принять это сочетание по фигуре 2:

A: все M суть P

E: ни одно M не есть S

E: ни одно S не есть P

Здесь нет нарушения правил силлогизма, а потому заключение правильно. Но если это заключение мы рассмотрим по фигуре 3, то заключение будет нарушать правило 4. Силлогизм примет такой вид:

A: Все M суть P.

E: Ни одно M не есть S.

E: Ни одно S не есть P.

По фигуре 4 это сочетание будет правильно.

Если мы указанным только что способом исследуем все сочетания, то получим следующие 19 правильных видов силлогизма, или модусов, распределённых по фигурам:

Фигура 1	Фигура 2	Фигура 3	Фигура 4
ААА	EAE	AAI	AAI
ЕАЕ	AEE	IAI	AEE
AII	EIO	AII	IAI
EIO	AOO	EAO	EAO
		OAO	EIO
		EIO

Знание модусов позволяет определить форму истинного заключения, если даны посылки и известно, какова фигура данного силлогизма. Главная трудность при проверке правильности того или иного силлогизма заключается в том, чтобы правильно построить умозаключение. Правила силлогизма не дают возможности определить содержание посылок, но указывают на то, каким требованиям эти посылки должны удовлетворять, чтобы их можно было связать между собой и сделать необходимое заключение.



2.5 Аристотелева силлогистика и логика предикатов

Итак, все аристотелевы силлогизмы переводятся на язык логики предикатов: каждому силлогизму сопоставляется формула логики предикатов, при этом правильным силлогизмам соответствуют тавтологии логики предикатов, а неправильным силлогизмам - формулы, не являющиеся тавтологиями.

Тем не менее при более пристальном рассмотрении этих формул выясняется, что так происходит не для всех правильных аристотелевых силлогизмов: тавтологии соответствуют лишь пятнадцати из них. Остальным четырем правильным силлогизмам (модусы ААI и ЕАО в третьей и четвертой фигуре)соответствуют формулы логики предикатов, не являющиеся общезначимыми, т.е. тавтологиями. Проследим на примере, каким образом это получается.

Силлогизм Bramantip (ААI в четвертой фигуре) имеет вид:

PaMMaSSiPP?M (P?M=P)M?S (M?S=M)S?P?0

Из условий получаем (P?M)?(M?S)=P?M, т. е. S?(P?M)=P, откуда S?P=P. Это означает, что если P??, то S?P?0, и заключение силлогизма выполняется. Если же P=0, то при выполнении условий силлогизма его заключение может и не выполняться: S?P=0

Силлогизм Felaption (ЕАО в четвертой фигуре) имеет вид:

MePMaSSoPM?P=?M?SS?P

Допустим, что условия верны, но S?P. Тогда M?P, т. е. M?P=M, а значит, 

M=0. Таким образом, при M=0 из выполнимости условий силлогизма может не следовать выполнимость его заключения.

Итак, из рассмотренных силлогизмов условия не выполняются в тех случаях, когда в них участвуют пустые множества. С точки зрения логики предикатов это означает, что мы не исключаем тождественно ложных предикатов. Это означает, что в теоретико-множественной теории силлогизмов, находящейся в рамках логики предикатов, имеется лишь 15 верных силлогизмов. Если же мы исключим из рассмотрения в логике предикатов тождественно ложные предикаты, то мы будем иметь 19 верных силлогизмов.

Дело с том, что в классической аристотелевской силлогистики, изначально не предполагались пустые термины, т.е. предикаты с пустым множеством субъектов, или, в нашей терминологии, тождественно ложные предикаты. Поэтому классическая аристотелевская силлогистика включает 19 верных силлогизмов.

Аристотелевская силлогистика охватывает далеко не все типы умозаключений логики предикатов. Рассмотрим другие умозаключения основанные на тавтологии логики предикатов.

2.6 Построение противоположный утверждений

Пусть дано некоторое математическое утверждение А. Ему будет противоположным будет утверждение . Логика предикатов позволяет путем равносильных преобразований формулы придать ей хорошо обозримый вид.

Определение неограниченной функции мы получим, беря отрицание этой формулы и проводя равносильные преобразования: 



Последняя формула дает не негативное, а положительное определение неограниченной функции. 

Из приведенного определения видно, что для построения противоположного утверждения к утверждению, заданному формулой логики предикатов, содержащей все кванторы впереди, необходимо заменить все кванторы на противоположные и взять отрицание от предиката, стоящего под знаком кванторов.

Особый интерес представляет построение утверждения, отрицающего справедливость некоторой теоремы: . Это будет утверждение: 

Следовательно, чтобы доказать, что теорема неверна, достаточно указать такой элемент , для которого - истина, a - ложь, то есть привести контрпример.

2.7 Прямая, обратная и противоположная теоремы

, (1) , (2)	, (3) . (4)

Рассмотрим четыре теоремы:

Определение 1: Пара теорем, у которых условие одной является заключением второй, а условие второй является заключением первой, называются взаимно обратными друг другу.

Так, теоремы (1)и (2), а также (3) и (4)- взаимно обратные теоремы. При этом, если одну из них называют прямой теоремой, то вторая называется обратной.

Определение 2: Пара теорем, у которых условие и заключение одной являются отрицанием соответственно условия и заключения другой, называются взаимно противоположными.

Так, теоремы (1) и (3), а также (2) и (4) являются взаимно противоположными теоремами.

Например, для теоремы“Если в четырехугольнике диагонали равны, то четырехугольник является прямоугольником” (1) обратной является теорема “Если четырехугольник является прямоугольником, то его диагонали равны”(2).

Для теоремы (1) противоположной является теорема“Если в четырехугольнике диагонали не равны, то четырехугольник не является прямоугольником” (3), а для теоремы (2) противоположной является теорема“Если четырехугольникне является прямоугольником, то его диагонали не равны”(4).

В рассмотренном примере теоремы (1) и (4) являются одновременно ложными, а теоремы (2) и (3) одновременно истинными. Контрпримером к теореме (1) является равнобочная трапеция.

Ясно, что прямая и обратная теоремы, вообще говоря, не равносильны, т. е. одна из них может быть истинной, а другая - ложной. Однако легко показать, что теоремы (1) и (4), а также (2) и (3) всегда равносильны.

Действительно: .

Из этих равносильностей следует, что, если доказана теорема (1), то доказана и теорема (4), а если доказана теорема (2), то доказана и теорема (3).



2.8. Необходимые и достаточные условия

Рассмотрим теорему 

 (1)

Как отмечалось, множество истинности предиката  есть множество . Но тогда множеством ложности этого предиката будет . Последнее множество будет пустым лишь в случае, когда  (см. рисунок).

Итак, предикат  является истинным для всех в том и только в том случае, когда множество истинности предиката Р(х) содержится в множестве истинности предиката Q(x). При этом говорят, что предикат Q(x) логически следует из предиката Р(х), и предикат Q(x) называют необходимым условием для предиката Р(х), а предикат Р(х) - достаточным условием для Q(x).Так, в теореме “Если х - число натуральное, то оно целое”предикат Q(x): “ х - число целое” логически следует из предиката Р(х): “х - число натуральное”, а предикат “х- число натуральное” является достаточным условием для предиката “ х - целое число”.

В таком случае из теоремы (1) следует, что условия Р(х)являются достаточными для Q(x), а из теоремы (2) следует, что условие Р(х)является необходимым для Q(x).

Таким образом, если истинны теоремы (1) и (2), то условие Р(х) является и необходимым, и достаточным для Q(x). Аналогично в этом случае условие Q(х)является необходимым и достаточным для Р(x).

Иногда вместо логической связки “необходимо и достаточно” употребляют логическую связку “тогда и только тогда”.

Так как здесь истинны высказывания (1) и (2), то истинно высказывание 

2.9 Доказательство теорем методом от противного

Доказательство теорем методом от противного обычно проводится по следующей схеме: предполагается, что теорема(1)не верна, т. е., существует такой объект х, что условие Р(х) истинно, а заключение Q(x) -ложно. Если из этих предложений путем логических рассуждений приходят к противоречивому утверждению, то делают вывод о том, что исходное предположение неверно, и верна теорема (1).

Покажем, что такой подход дает доказательство истинности теоремы (1). Действительно, предположение о том, что теорема (1) не справедлива, означаетистинность ее отрицания, т. е. формулы. Можно показать, что противоречивое утверждение, которое получается из допущенного предположения, как мы видели из ранее рассмотренных примеров, может быть записано как конъюнкция , где С - некоторое высказывание



3. Решение задач, используя метод аристотелевой силлогистики

Для решения задач по анализу утверждения на предмет их правильности воспользуемся алгоритмом анализа силлогизма.

3.1 Алгоритм анализа силлогизма на предмет его правильности

Прежде всего надо, конечно, убедиться, что данное умозаключение относится к категорическому силлогизму. Для этого необходимо выделить посылки и заключение и представить их в стандартной форме. Не осуществив последнего, мы не можем даже установить, какие термины и сколько их имеется в данном умозаключении. Удобно представить само умозаключение в стандартной форме: над чертой - посылки, под чертой - заключение. Положим, что нам дан действительно категорический силлогизм. Тогда, далее производим следующие действия:

1) определяем субъект и предикат заключения, обозначив их, соответственно, буквами S и P (составные S и Pподчеркнуть одной сплошной чертой);

2) переносим обозначения S и P в посылки и определяем средний термин, обозначив его буквой М;

Если необходимо, преобразуйте посылки и заключение, так чтобы их грамматическая форма соответствовала логической форме;

3) проверяем идентичность среднего термина в обеих посылках. Если средний термин не идентичен, анализ силлогизма прекращается и делается вывод, что умозаключение (силлогизм) неправильное, поскольку нарушено первое правило терминов силлогизма, так как произошло учетверение термина;

Если средний термин выражен противоречащими понятиями (М и не-М), то необходимо произвести с одной из посылок операцию превращения;

Если средний термин идентичен в обеих посылках, анализ продолжается;

4) проверяем последовательность посылок (большая посылка должна стоять первой). Если необходимо, то следует поменять посылки местами;

5) слева от каждого суждения, входящего в силлогизм, указываем его тип (А, Е, I или О) и распределенность терминов в нем, обозначая распределенность термина знаком «+», а нераспределенность - знаком «-»;

6) определяем фигуру и модус силлогизма. Если модус соответствует правильным модусам данной фигуры силлогизма, анализ прекращается и делается вывод, что умозаключение правильно. Если модус не соответствует правильным модусам фигуры силлогизма, это означает, что умозаключение неправильно;

7) если оказалось, что силлогизм неправилен, начинаем искать допущенную ошибку, проверяя последовательно выполнение каждого общего правила силлогизма, пока не обнаружим, какое именно правило нарушено.

На этом анализ силлогизма заканчивается.

Итак, приступим к решению задачи.

3.2 Задача.10.9

Проанализировать утверждения на предмет их правильности. Выявить логические схемы, на которых они основаны, и выяснить, справедлмвы ли они.

А. Все люди смертны, Сократ - человек. Следовательно, Сократ смертен. Проведем анализ согласно алгоритму.

Все люди смертны (большая посылка)

Сократ - человек. (меньшая посылка)

Сократ смертен. (заключение)

1) Все люди (М +) смертны (Р -) предикат заключения (Р), нераспределен.

Сократ (S +) -человек (М -). субъект заключения (S), распределен.

Сократ (S +) смертен. (Р -) (заключение)

2) Человек - средний термин (М)

3) Средний термин идентичен в обеих посылках, значит анализ продолжаем.

4) Последовательность посылок правильная, т.к. большая стоит первой.

5) Определяем тип каждого суждения.

Все люди смертны. (Общеутвердительное, обозначаем А).

Сократ - человек. (Общеутвердительное, обозначаем А).

Следовательно, Сократ смертен. (Общеутвердительное, обозначаем А).

6) Определяем фигуру и модус силогизма.

Фигура первая, модус ААА.

Модус соответствует правильным модусам данной фигуры силлогизма, следовательно, делаем вывод, что умозаключение правильное.

Аналогичным порядком проанализируем следующие силлогизмы.

Б. Некоторые люди взошли на Зверест. Эдмунд Хиллари -человек. Следовательно, Эдмунд Хиллари взошел на Эверест.

Некоторые люди взошли на Зверест. (большая посылка)

Эдмунд Хиллари -человек. (меньшая посылка)

Следовательно, Эдмунд Хиллари взошел на Эверест. (заключение)

1)Некоторые люди (М -) взошли на Зверест (Р -). предикат заелючения Р нераспределен

Эдмунд Хиллари (S +) -человек (М -). субъект заключения (S)распределен

Следовательно, Эдмунд Хиллари (S +) взошел на Эверест (Р -).

2) Человек - средний термин (М)

3) Средний термин идентичен в обеих посылках, значит анализ продолжаем.

4) Последовательность посылок правильная, т.к. большая стоит первой.

5) Определяем тип каждого суждения.

Некоторые люди взошли на Зверест (Частноутвердительное I)

Эдмунд Хиллари (S +) -человек (Общеутвердительное, А).

Следовательно, Эдмунд Хиллари взошел на Эверест (Общеутвердительное, А).

6) Определяем фигуру и модус силогизма.

Фигура первая, модус IAA.

Модус не соответствует правильным модусам данной фигуры силлогизма, следовательно, делаем вывод, что умозаключение неправильное.

7) Найдем допущенную ошибку, проверяя последовательно выполнение каждого общего правила силлогизма, пока не обнаружим, какое именно правило нарушено. В данном случае нарушено одно из общих правил: «Средний термин должен быть распределен хотя бы в одной из посылок»; и «Если одна из посылок - частное суждение, то и заключение должно быть частным».

В. Во всех городах за Полярным кругом бывают белые ночи. Петербург не находится за Полярным кругом. Следовательно, в Петербурге не бывает белых ночей.

Во всех городах за Полярным кругом бывают белые ночи. (большая посылка)

Петербург не находится за Полярным кругом. (меньшая посылка)

Следовательно, в Петербурге не бывает белых ночей. (заключение)

1) Во всех городах за Полярным кругом (М +) бывают белые ночи. (Р ), предикат заключения нераспределен.

Петербург (S +) не находится за Полярным кругом (М+), субъект заключения распределен.

Следовательно, в Петербурге (S +) не бывает белых ночей. (Р+)

2) Полярный круг - средний термин (М)

3) Средний термин идентичен в обеих посылках, значит анализ продолжаем.

4) Последовательность посылок правильная, т.к. большая стоит первой.

5) Определяем тип каждого суждения:

Во всех городах за Полярным кругом бывают белые ночи. (Общеутвердительное, А)

Петербург не находится за Полярным кругом. (Общеотрицательное Е)

Следовательно, в Петербурге не бывает белых ночей. (Общеотрицательное Е)

6) Определяем фигуру и модус силогизма.

Фигура первая, модус АЕЕ.

Модус не соответствует правильным модусам данной фигуры силлогизма, следовательно, делаем вывод, что умозаключение неправильное.

7) Найдем допущенную ошибку, проверяя последовательно выполнение каждого общего правила силлогизма, пока не обнаружим, какое именно правило нарушено. В данном случае нарушено одно из общих правил: «Какова распределенность терминов в посылках, такова она и в заключении». Предикат в посылке нераспределен, а в заключении распределен. Следовательно, произошло расширение большего термина.

Г. Все сильные шахматисты знают теорию шахматной игры. Иванов не является сильным шахматистом. Следовательно, Иванов не знает теорию шахматной игры.

Все сильные шахматисты знают теорию шахматной игры. (большая посылка)

Иванов не является сильным шахматистом. (меньшая посылка)

Следовательно, Иванов не знает теорию шахматной игры. (заключение)

1) Все сильные шахматисты (М +) знают теорию шахматной игры. (Р -),

предикат заключения нераспределен.

Иванов (S+) не является сильным шахматистом (М+), субъект заключения распределен.

Следовательно, Иванов (S +) не знает теорию шахматной игры. (Р+)

2) Сильные шахматисты- средний термин (М)

3) Средний термин идентичен в обеих посылках, значит анализ продолжаем.

4) Последовательность посылок правильная, т.к. большая стоит первой.

5) Определяем тип каждого суждения:

Все сильные шахматисты знают теорию шахматной игры. (Общеутвердительное, А)

Иванов не является сильным шахматистом. (Общеотрицательное Е)

Следовательно, Иванов не знает теорию шахматной игры. (Общеотрицательное Е)

6) Определяем фигуру и модус силогизма.

Фигура первая, модус АЕЕ.

Модус не соответствует правильным модусам данной фигуры силлогизма, следовательно, делаем вывод, что умозаключение неправильное.

7) Найдем допущенную ошибку, проверяя последовательно выполнение каждого общего правила силлогизма, пока не обнаружим, какое именно правило нарушено. В данном случае нарушено одно из общих правил: «Какова распределенность терминов в посылках, такова она и в заключении». Предикат в посылке нераспределен, а в заключении распределен. Следовательно, произошло расширение большего термина.

Д. Некоторые змеи ядовиты. Ужи - змеи. Следовательно, ужи ядовиты.

Некоторые змеи ядовиты (большая посылка)

Ужи - змеи (меньшая посылка)

Следовательно, ужи ядовиты (заключение)

1) Некоторые змеи (М -) ядовиты (Р -), предикат заключения нераспределен

Ужи (S +)- змеи (М -), субъект заключения распределен

Следовательно, ужи (S+) ядовиты (Р -)

2) Змеи - средний термин.

3) Средний термин идентичен в обеих посылках, значит анализ продолжаем.

4) Последовательность посылок правильная, т.к. большая стоит первой.

5) Определяем тип каждого суждения:

Некоторые змеиядовиты (Частноутвердительное, I)

Ужи- змеи (Общеутвердительное, А)

Следовательно, ужи ядовиты (Общеутвердительное, А)

6) Определяем фигуру и модус силогизма.

Фигура первая, модус IAA.

Модус не соответствует правильным модусам данной фигуры силлогизма, следовательно, делаем вывод, что умозаключение неправильное.

7) Найдем допущенную ошибку, проверяя последовательно выполнение каждого общего правила силлогизма, пока не обнаружим, какое именно правило нарушено. В данном случае нарушено одно из общих правил: «Средний термин должен быть распределен хотя бы в одной из посылок»; и «Если одна из посылок - частное суждение, то и заключение должно быть частным».

Е.Всякий металл является твердым веществом. Ртуть не твердое вещество. Следовательно, ртуть не металл.

Всякий металл является твердым веществом. (большая посылка)

Ртуть не твердое вещество. (меньшая посылка)

Следовательно, ртуть не металл. (заключение)

1) Всякий металл (Р -) является твердым веществом. (М -)

Ртуть (S+) не твердое вещество. (М +)

Следовательно, ртуть (S +) неметалл. (Р +)

2) Твердое вещество - средний термин

3) Средний термин идентичен в обеих посылках, значит анализ продолжаем.

4) Последовательность посылок правильная, т.к. большая стоит первой.

5) Определяем тип каждого суждения:

Всякий металл является твердым веществом. (Общеутвердительное, А)

Ртуть не твердое вещество. (Общеотрицательное Е)

Следовательно, ртуть не металл. (Общеотрицательное Е)

6) Определяем фигуру и модус силогизма.

Фигура вторая, модус AЕЕ.

Модуссоответствует правильным модусам данной фигуры силлогизма, следовательно, делаем вывод, что умозаключение правильное.

В этом случае мы столкнулись с различием понятий «истинность» и «правильность». Истинность относится к содержанию мыслей, а правильность - к их форме. Истинность есть соответствие мысли действительности, а правильность мышления - соблюдение законов и правил логики. В этом случае логически правильное высказывание не является истинным, т.к. одна из посылок (Всякий металл является твердым веществом)- ложжная. А из ложной посылки не может следовать истинное заключение. И в этом примере формальная правильность рассуждения относится лишь к логическим действиям и операциям мышления.

3.3 Задача.10.10

Проанализировать утверждения на предмет их правильности. Выявить логические схемы, на которых они основаны, и выяснить, справедлмвы ли они.

А. Все рациональные числа - действительные. Все целые числа - рациональные. Следовательно, все целые числа - действительные

Все рациональные числа -действительные. (большая посылка)

Все целые числа- рациональные. (меньшая посылка)

Следовательно, все целые числа- действительные (заключение)

1) Все рациональные числа (М +) - действительные. (Р -)

Все целые числа (S +) - рациональные. (М -)

Следовательно, все целые числа (S +) - действительные (Р -)

2) Рациональные - средний термин (М)

3) Средний термин идентичен в обеих посылках, значит анализ продолжаем.

4) Последовательность посылок правильная, т.к. большая стоит первой.

5) Определяем тип каждого суждения.

Все рациональные числа - действительные. (Общеутвердительное, обозначаем А).

Все целые числа - рациональные. (Общеутвердительное, обозначаем А).

Следовательно, все целые числа- действительные. (Общеутвердительное, обозначаем А).

6) Определяем фигуру и модус силогизма.

Фигура первая, модус ААА.

Модус соответствует правильным модусам данной фигуры силлогизма, следовательно, делаем вывод, что умозаключение правильное.

Б. Ни одно действительное число не является мнимым числом. Все целые числа - действительные. Следовательно, ни одно, целое число ни есть мнимое.

Ни одно действительное число не является мнимым числом. (большая посылка)

Все целые числа - действительные. (меньшая посылка)

Следовательно, ни одно, целое число ни есть мнимое. (заключение)

1) Ни одно действительное число (М +) не является мнимым числом (Р +)

Все целые числа (S +) - действительные. (М -)

Следовательно, ни одно, целое число (S +) ни есть мнимое (Р +)

2) Действительные - средний термин (М)

3) Средний термин идентичен в обеих посылках, значит анализ продолжаем.

4) Последовательность посылок правильная, т.к. большая стоит первой.

5) Определяем тип каждого суждения.

Ни одно действительное число не является мнимым числом. (Общеотрицательное, обозначаем Е).

Все целые числа - действительные. (Общеутвердительное, обозначаем А).

Следовательно, ни одно, целое число ни есть мнимое. (Общеотрицательное, обозначаем Е).

6) Определяем фигуру и модус силогизма.

Фигура первая, модус ЕАЕ.

Модус соответствует правильным модусам данной фигуры силлогизма, следовательно, делаем вывод, что умозаключение правильное.

В. Все целые числа - рациональные. Некоторые вещественные числа - целые. Следовательно, некоторые вещественные числа - рациональные.

Все целые числа - рациональные. (большая посылка)

Некоторые вещественные числа - целые. (меньшая посылка)

Следовательно, некоторые вещественные числа - рациональные (заключение)

1) Все целые числа (М +) - рациональные. (Р -),

Некоторые вещественные числа (S -) - целые. (М-)

Следовательно, некоторые вещественные числа (S -) - рациональные (Р -)

2) Целые. - средний термин (М)

...