Многомерная геометрия

Размещено на http://www.allbest.ru/

МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Михайлова Л.М.

Глава 1. Универсальный метод построения (черчения) трёхмерных проекций гиперкубов любых n-мерных измерений (3ПГК-n) в любых проекциях и ракурсах

Бог действует по геометрическим линиям. Платон

Вообще сама идея четвёртого измерения не раз привлекала к себе внимание крайних мистиков. Любопытно, что происхождение этой идеи связано с Платоном (427-347 гг. до н.э.), самым крупным древнегреческим философом-идеалистом. Впервые же слова «n-мерное пространство» прозвучали в 1854 году в речи Бернгарда Римана (1826-66) при вступлении его на должность преподавателя Геттингенского университета.

В современном учебнике по геометрии написано: «Многомерная геометрия - один из самых сложных разделов науки». И до сих пор решение этой темы не давалось профессиональным математикам, хотя ещё в 1910 году был проведён конкурс на лучшую работу о четвёртом измерении, в котором приняли участие 245 математиков из разных стран мира.

Тогда профессиональным математикам удалось теоретически рассчитать количество единичных элементов (вершин, рёбер, граней и кубов) в четырёхмерном гиперкубе, даже определить некоторые принципы расположения этих «единичных элементов» гиперкуба. Но две их ошибочные геометрические версии трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба до сих пор используются в работах на эту тему.

Спустя ровно 100 лет (!), - в 2010 году - я определила «Универсальный метод построения (черчения) трёхмерных проекций гиперкубов любых n-мерных измерений в любых проекциях и ракурсах». Вот действительно, - мистика какая-то …

В n-мерной геометрии, где n = 0, 1, 2, 3,4, 5, 6, 7,…, геометрическим символом каждого измерения служат так называемые единичные геометрические фигуры. Так, геометрическим символом 0-мерного измерения является точка, 1-мерного измерения - отрезок прямой, 2-мерного измерения - квадрат, 3-мерного измерения - куб. Геометрический символ 4-мерного измерения получил удачное название «гиперкуб» [гипер- (от греч. hyper - над, сверх), часть сложных слов, обозначающая превышение нормы].

А ещё геометрический символ 4-мерного измерения получил название тессеракт, геометрический символ 5-мерного измерения - пентеракт, шестимерного измерения - хексеракт, и т.д.

Занимаясь этой темой с 2004 года и создавая из трубочек и лески модели трёхмерных проекций геометрических символов 4-мерного и 5-мерного измерений, я назвала их соответственно: трёхмерная проекция четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) и трёхмерная проекция пятимерного гиперкуба (3ПГК-5), то есть гиперкуб любого n-мерного измерения удобно называть «гиперкуб-n » ( ГК-n ), - сразу понятно о гиперкубе какого измерения идёт речь. Зачем усложнять геометрию, придумывая для гиперкубов четвёртого, пятого, шестого и т.д. измерений новые специальные названия?

Да, конечно, представить себе именно гиперкуб-4, гиперкуб-5 и т.д. в их родном n-мерном пространстве - трудно, но осмыслить и определить трёхмерные проекции гиперкубов высших измерений и их геометрические особенности - дело вполне реальное. Из трубочек и лески мною уже созданы модели трёхмерных проекций гиперкубов 4-го, 5-го и 6-го измерений. В случае надобности можно создавать модели трёхмерных проекций гиперкубов и более высоких измерений.

Осмысливать геометрические особенности трёхмерных проекций гиперкубов-n намного легче не по чертежам, а по моделям их трёхмерных проекций.

В работе [4] мною выведены алгебраические формулы для определения количества единичных геометрических элементов, составляющих n-мерные гиперкубы и их проекции (вершин, рёбер, граней, кубов). Эти данные приведены в таблице 1.1.

Таблица 1.1.

А вот теперь, для начала предлагаю вам чертёж (рис.1.1), где на одной странице представлены во фронтальной проекции геометрические символы семи измерений. Это наиболее простой и достаточно удобный способ черчения трёхмерных проекций n-мерных гиперкубов.

Более того, эта фронтальная проекция важна тем, что именно эта проекция очень наглядно подскажет любому профессиональному геометру, как начертить трёхмерные проекции гиперкубов и следующих измерений: седьмого (3ПГК-7), восьмого (3ПГК-8), девятого (3ПГК-9) и т.д.

Давайте осмысливать рис. 1.1. Смотрите, в какое «интересное», «особое» положение поставлены куб, квадрат и отрезок прямой. Евклидова геометрия определила этим геометрическим фигурам более «устойчивое» положение. Многомерная же геометрия требует рассматривать положение этих геометрических символов измерений именно в такой позиции - для определения «h» в проекциях геометрических символов каждого (абсолютно любого) измерения.



трехмерный проекция гиперкуб

Именно эта фронтальная проекция даёт возможность определить схему (принцип, закон) строения проекций геометрических символов любого измерения.

Именно эта фронтальная проекция даёт возможность схематично провести через вершины проекций всех n-мерных геометрических символов параллельные плоскости ( Р ), которые на рис. 1.1 изображены в виде пунктирных линий (прямых). Каждая пунктирная прямая (плоскость Р) пронумерована римскими цифрами.

На рис. 1.1. семь таких плоскостей: PI, PII, PIII, PIV, PV, PVI и PVII, причём, что очень важно, эти параллельные между собой плоскости отстоят друг от друга на равную величину ( h ).

Величину ( h ) назовём «ярусом». Количество этих «ярусов» в n-мерном геометрическом символе соответствует числовому значению именно этой мерности, т.е. числу n.

В трёхмерных проекциях всех n-мерных гиперкубов ни одна вершина не может находиться вне этих плоскостей.

Для осмысления трёхмерных проекций гиперкубов-n эти плоскости очень важны - эти плоскости делят фигуры символов всех n-мерных измерений на хорошо известные геометрические фигуры: пирамиды, прямоугольные призмы, скошенные призмы, параллелепипеды и др.

А это значит, что через вершины трёхмерных проекций гиперкубов-n можно вписать разные хорошо известные геометрические фигуры и с их помощью определить (рассчитать) все геометрические параметры трёхмерных проекций гиперкубов-n.

Для пояснения вышесказанного сначала рассмотрим эту особенность плоскостей на примере трёхмерного куба.

Поставим куб в «интересное» положение, но для наглядности слегка изменим ракурс (рис. 1.2).

В рис. 1.2 куб «поставлен» на одну из его больших диагоналей - АН. Но куб имеет четыре больших диагонали: АН, ВЕ, СF и DG, и если мы вместо диагонали АН используем любую из оставшихся диагоналей, это не изменит геометрического смысла рис. 1.2. С таким же успехом мы можем поменять вершины А и Н. Это может говорить о том, что на рис. 1.2 в первой плоскости (Р1) может оказаться любая из восьми вершин куба ABCDEFGH, что не изменит геометрического (но не физического!) смысла рис. 1.2.

Итак, в первой плоскости (Р1) может оказаться любая из восьми вершин куба.

В трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) таких вершин шесть.

А вот в трёхмерной проекции пятимерного гиперкуба (3ПГК-5) и во всех (!) последующих 3ПГК-6, 3ПГК-7,…, 3ПГК-n таких вершин только две. Об этом будет рассказано позже.



а) Куб ABCDEFGH, через вершины которого проведены параллельные плоскости PI, PII, PIII, PIV;

б) Верхняя треугольная пирамида ABFD, где рёбра основания BFD равны диагонали грани куба;

в) Скошенная треугольная призма. Её основания ДBFD и ДCEG, а её шесть боковых граней-треугольников образованы шестью рёбрами куба;

г) Нижняя треугольная пирамида HCEG, геометрически равная верхней пирамиде ABFD.

Продолжим осмысливать рис 1.1. Вы видите в чертеже фронтальной проекции трёхмерной проекции пятимерного гиперкуба (3ПГК-5) две вершины, обведённые кружочками. В этих двух вершинах сходятся по девять рёбер, во всех остальных вершинах - по пять. Что это такое?

Это - визуальное совмещение вершин, а так как эти совмещённые на чертеже вершины соединены между собой и ребром, то это значит, что в данном чертеже 3ПГК-5 визуально совмещёнными оказались не только две пары вершин, но и два ребра. Следовательно, если вы подсчитаете количество вершин на этом чертеже 3ПГК-5, то их окажется 30, а не 32, и количество рёбер на чертеже 79, а не 80. А вот чертёж той же трёхмерной проекции пятимерного гиперкуба (3ПГК-5), и тоже во фронтальной проекции, но только со слегка смещённым ракурсом (рис. 1.3).



На этом чертеже нет ни одного совмещения вершин, т.е. данный чертёж 3ПГК-5 содержит все 32 вершины и 80 рёбер.

Давайте рассмотрим ситуацию совмещения вершин и рёбер на примере трёхмерного куба ABCDEFGH (рис. 1.4).

На рис.1.4 куб ABCDEFGH представлен в четырех проекциях: а), б), в), г). Комментировать рис. 1.4 излишне, - геометру легко понять, почему некоторые вершины обведены кружочками, и что из этого следует.

Итак, в зависимости от выбранного ракурса изображения в чертежах трёхмерных проекций гиперкубов-n могут совместиться и вершины, и рёбра, и грани, и кубы (например, 3ПГК-6 на рис. 1.1). Всё это происходит не хаотично, а потому, что все эти геометрические фигуры (3ПГК-n) идеально правильны по своей сути.

Прошу учесть также, что начертить «по клеткам», как это сделано здесь, абсолютно точно, без искажений возможно лишь трёхмерную проекцию четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4). Начертить «по клеткам» трёхмерные проекции гиперкубов более высоких измерений (3ПГК-5, 3ПГК-6, 3ПГК-7 и т.д.) возможно лишь с большей или меньшей погрешностью по той простой причине, что на листе бумаги «в клетку» через вершины клеток невозможно начертить правильные пятиугольник, шестиугольник, семиугольник и т.д. Компьютерная графика была бы здесь более уместна.

Давайте вновь обратимся к рис. 1.1, где на одной странице начерчены проекции символов семи измерений во фронтальной проекции.

Профильные проекции этих геометрических фигур почти аналогичны фронтальным, а горизонтальные проекции будут представлены ниже.

Создав из трубочек и лески модели трёхмерных проекций четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) и пятимерного гиперкуба (3ПГК-5), я осмыслила принцип, метод создания моделей всех последующих (3ПГК-6), (3ПГК-7), …, (3ПГК-n).

Осмысление уже имеющихся в моём распоряжении моделей куба, 3ПГК-4 и 3ПГК-5 позволило выявить очень важную (главную!) особенность трёхмерных моделей и куба, поставленного в «интересное положение», и всех 3ПГК-n: все они в первом и в последнем «ярусах» представлены ввиде правильных n-угольных пирамид, где «n» соответствует n-мерности данной геометрической фигуры - данного n-мерного символа измерения.

Начнём с нашего куба - геометрического символа трёхмерного измерения. Рис. 1.2 более наглядно показывает верхнюю правильную треугольную пирамиду ABFD, расположенную (заключённую) в первом ярусе между параллельными плоскостями РI и РII [рис. 1.2 (б)], и нижнюю правильную треугольную пирамиду HCEG, расположенную (заключённую) в последнем, третьем «ярусе» между параллельными плоскостями РIII и PIV [рис. 1.2 (г)].

Выбрав любой ракурс изображения (фронтальную, горизонтальную, профильную прямоугольные проекции или общий вид) правильной треугольной пирамиды ABFD, мы по трём боковым рёбрам AB, AF и AD этой пирамиды, которые являются собственно рёбрами куба ABCDEFGH, можем построить этот куб именно в данном выбранном ракурсе (рис. 3.1).

Построение горизонтальной (H'), вертикальной (V') и профильной (W') проекций куба ABCDEFGH по соответствующим проекциям правильной треугольной пирамиды ABDF.

Требуется ли пояснять рис. 3.1 ? Думаю, любой геометр по трём рёбрам куба, сходящимся в одной вершине, сможет достроить сам куб. И не важно, в каком ракурсе изображены эти рёбра.

Например, я стараюсь рассмотреть и такой ракурс (т.н. «уклон»), когда геометрические символы n-мерного измерения (квадрат, куб, 3ПГК-4, 3ПГК-5, 3ПГК-6 и т.д.) рассматриваются в ракурсе наибольшего визуального совмещения вершин (и рёбер соответственно).

Этот ракурс достигается, когда направление линии «уклона» параллельно одному из боковых рёбер «исходной» n-угольной пирамиды: таким образом, это боковое ребро пирамиды и, соответственно, все остальные параллельные ему рёбра этого n-мерного геометрического символа на чертеже проецируются в виде точки - совмещённой вершины.

Именно в таком ракурсе выполнены чертежи куба (рис. 3.2), 3ПГК-4 (рис. 3.11), 3ПГК-5, 3ПГК-6 (рис. 3.24), 3ПГК-7 (рис. 3.36). Этот ракурс я ещё называю: «оригинальный ракурс».



Построение горизонтальной (H'), вертикальной (V') и профильной (W') проекций куба ABCDEFGH по соответствующим проекциями правильной треугольной пирамиды ABDE в ракурсе наибольшего совмещения вершин.

Почему при черчении столь хорошо известного куба я уделяю большое внимание совмещению вершин и рёбер? - потому что куб проще и более понятен для осмысления.

А вот при черчении более сложных геометрических фигур - 3ПГК-4, 3ПГК-5, 3ПГК-6, и т.д., в которых количество вершин и рёбер значительно больше, чем в кубе, вероятность совмещения вершин и рёбер значительно возрастает, а точнее - в большинстве случаев избежать совмещения вершин и рёбер практически невозможно.

В этой работе требуются расчётные данные количества единичных элементов, составляющих 3ПГК-n. Поэтому ввожу табл. 2 из моих прошлых работ.

Таблица 2

Главные принципы и особенности строения трёхмерных проекций n-мерных гиперкубов. Прежде чем приступить к построению (черчению) трёхмерных проекций n-мерных гиперкубов, оговорим некоторые закономерности, особенности, главные принципы строения этих геометрических фигур.

Предлагаю вашему вниманию главные геометрические свойства и особенности трёхмерных проекций всех n-мерных гиперкубов (3ПГК-n) и разработанные принципы, методы, правила создания, построения и черчения трёхмерных проекций n-мерных гиперкубов (3ПГК-n).

1. Во всех n-мерных гиперкубах, а также и в их трёхмерных проекциях, в каждой вершине сходятся по n рёбер. То есть: в каждой из 16-ти вершин 3ПГК-4 сходятся по 4 ребра, в каждой из 32-х вершин 3ПГК-5 сходятся по 5 рёбер, в каждой из 64-х вершин 3ПГК-6 сходятся по 6 рёбер, и т.д.

2. Во всех трёхмерных проекциях n-мерных гиперкубов (см. рис. 1.1) в первом «ярусе» (то есть между параллельными плоскостями РI и РII) и в последнем «ярусе» (между параллельными плоскостями Рn и Рn+I) находятся по n рёбер, сходящихся в верхней вершине, расположенной в плоскости РI, и в нижней вершине, расположенной в плоскости Рn+I.

Эти n рёбер можно (и нужно) представить как боковые рёбра правильной n-угольной пирамиды. Эти пирамиды назовём «исходными» пирамидами.

Вот это и есть очень важная ( главная ! ) для построения и черчения трёхмерных проекций n-мерных гиперкубов особенность:

а) в любой 3ПГК-n в первом и в последнем «ярусах» заключена часть тела 3ПГК-n в виде правильной n-угольной пирамиды;

б) по построенной «исходной» правильной n-угольной пирамиде в любом ракурсе, в любой проекции можно построить (начертить) и 3ПГК-n в выбранных ракурсах и проекциях.

3. Любое ребро n-мерного гиперкуба (ГК-n), а также его трёхмерной проекции (3ПГК-n) геометрически равно по длине и параллельно одному из n боковых рёбер т.н. «исходной» правильной n-угольной пирамиды, расположенной в первом или последнем «ярусе» ГК-n или 3ПГК-n.

4. Отрезок прямой в теле 3ПГК-n, соединяющий вершины, расположенные в параллельных плоскостях РI и Рn+I , т.е. вершины верхней и нижней «исходных» правильных n-угольных пирамид (см. рис. 1.1), перпендикулярен этим плоскостям РI и Рn+I и является главной осью симметрии 3ПГК-n.

5. В n-мерных гиперкубах, где n - чётное число, а также в их трёхмерных проекциях (т.е. в 3ПГК-4, 3ПГК-6, 3ПГК-8, 3ПГК-10, и т.д.), обязательно существуют геометрически обусловленные совмещённые (сдвоенные) вершины, расположенные в точках пересечения визуально проведённой главной оси симметрии 3ПГК-n с визуально обозначенными на рис. 1.1 параллельными плоскостями: РIII - в 3ПГК-4; РIII и РV - в 3ПГК-6; РIII , РV и РVII - в 3ПГК-8, и т.д.

В этих геометрически обусловленных совмещённых (сдвоенных) вершинах 3ПГК-n соответственно сходятся по 2n рёбер, вот почему я написала фразу: «… в большинстве случаев избежать совмещения вершин и рёбер практически невозможно».

6. При изображении 3ПГК-n (черчении или фотографировании их моделей) в разных ракурсах возможны визуальные совмещения любых вершин, а также визуальные совмещения рёбер, граней и даже кубов.

Построение (черчение) трёхмерных проекций

четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4)

На рис. 3.3 представлено построение горизонтальной (HI), фронтальной (VI) и профильной (WI) проекций четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) по соответствующим проекциям «исходной» правильной четырёхугольной пирамиды.

А на рис. 3.4 показана последовательность построения (черчения) на рис. 3.3 фронтальной (VI) проекции 3ПГК-4 по фронтальной (V) проекции «исходной» правильной четырёхугольной пирамиды.

Данный метод (принцип, способ) построения (черчения) горизонтальной, фронтальной и профильной проекций 3ПГК-4 состоит в том, что в соответствующих им горизонтальной, фронтальной и профильной проекциях «исходной» пирамиды к каждой вершине последовательно достраиваются ещё три недостающих боковых ребра этой пирамиды.

Построение горизонтальной (H'), вертикальной (V') и профильной (W') проекций четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) по соответствующим проекциям правильной «исходной» четырёхугольной пирамиды PгEгFгGгHг



Последовательность построения (черчения) фронтальной проекции VI 3ПГК-4 по фронтальной проекции V «исходной» правильной четырехугольной пирамиды P'E'гF'гG'гH'г . а) - фронтальная проекция «исходной» правильной четырёхугольной пирамиды PEгFгGгНг .

Последовательность построения (черчения) фронтальной проекции VI 3ПГК-4 по фронтальной проекции V «исходной» правильной четырехугольной пирамиды P'E'гF'гG'гH'г . а) - фронтальная проекция правильной четырёхугольной пирамиды PEгFгGгНг . кружком обозначены вершины проекции V' 3ПГК-4, к которым в данном чертеже (б,в,г,...,н) были построены недостающие ребра проекции V пирамиды; эти ребра отмечены «галочками».

Предлагаю вашему вниманию важный для понимания 3ПГК-4 ракурс (рис. 3.5.). В этом ракурсе в «исходной» пирамиде 3ПГК-4 во фронтальной и профильной проекциях визуально совмещены две пары боковых рёбер пирамиды, в результате чего в чертежах фронтальной, профильной и даже горизонтальной проекциях 3ПГК-4 произошло визуальное совмещение пяти пар вершин, и соответственно, шестнадцати пар рёбер!



Построение горизонтальной (H'), фронтальной (V') и профильной (W') проекций трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) по соответствующим проекциям правильной четырёхугольной «исходной» пирамиды P'E'гF'гG'гH'г в выбранном ракурсе.

Для наглядности: в проекциях H' и H'1 - небольшое изменение ракурса.

Кружками отмечены совмещённые вершины.

В этом же рис. 3.5 для наглядности, т.е. лучшего понимания расположения вершин и рёбер проекций 3ПГК-4, дополнительно начерчены в горизонтальных проекциях «исходная» пирамида и 3ПГК-4 в слегка изменённом ракурсе.

Этот способ построения (черчения) проекций 3ПГК-n - лёгкое, очень небольшое изменение ракурса - очень удобно применять, особенно при построении горизонтальных проекций 3ПГК-4.

Все горизонтальные проекции 3ПГК-n в идеально правильном исполнении чертежа, построенные (начерченные) с помощью соответствующей горизонтальной проекции «исходной» правильной n-угольной пирамиды, обязательно имеют совмещения вершин (визуальные или реальные, фактические - геометрически обусловленные) и рёбер (только визуально полностью или частично совмещённые).

В самих n-мерных гиперкубах (ГК-n) могут быть совмещены вершины, но не может быть совмещённых рёбер, граней, кубов.

Я не рекомендовала бы вам, уважаемые геометры, сразу приступать к черчению идеально правильных горизонтальных проекций 3ПГК-n, потому что очень трудно осмыслить как, в какой последовательности происходит совмещение вершин, рёбер и даже граней в чертеже.

Вот поэтому я сначала выбираю горизонтальную проекцию «исходной» правильной n-угольной пирамиды в слегка изменённом ракурсе и последовательно, как показано на рис. 3.6, строю (черчу) соответствующую проекцию 3ПГК-n.

Заметьте, что при последовательном черчении проекций 3ПГК-4 на рис. 3.6 я, так сказать, иду по крайним вершинам.

Последовательность построения (черчения) проекций Н'1 3ПГК-4 в рис. 3.5 (слегка изменённого ракурса горизонтальной проекции Н') по соответствующей проекции Н1 «исходной» правильной четырёхугольной пирамиды P1Eг1Fг1Gг1Hг1. См. продолжение рис. 3.6 на след. стр.



Затемнёнными кружками отмечены вершины, к которым в данном чертеже (б, в, с, …, н) были построены недостающие рёбра; эти рёбра отмечены «галочками». Думаю, представляет интерес следующий ракурс изображения (черчения) фронтальной (VI) и профильной (WI) проекций 3ПГК-4 на рис. 3.7.

Построение горизонтальной (H'), вертикальной (V') и профильной (W') проекций трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) по соответствующим проекциям «исходной» правильной четырёхугольной пирамиды PEгFгGгHг.

Для осмысления, например, фронтальной проекции 3ПГК-4 достаточно слегка изменить ракурс (см. рис. 3.8) и фронтальная проекция "исходной" пирамиды (а) на рис. 3.8 примет вид (а1).

а) и б) - из рис. 3.7 - фронтальные проекции «исходной» пирамиды (V) и 3ПГК-4 (V'); а1) и б1) - то же, в слегка изменённом ракурсе - для наглядности; «кружочками» отмечены совмещённые вершины.

На рисунках 3.9, 3.10 и 3.11 предлагаю вашему вниманию чертежи трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) в наиболее важных ракурсах. Причём для наглядности и лучшего понимания расположения на чертежах вершин и рёбер 3ПГК-4 в этих рисунках справа представлены чертежи 3ПГК-4 в слегка изменённом ракурсе.

Кстати, на рис. 3.11 (б) 3ПГК-4 представлена в «самом оригинальном ракурсе» - на чертеже все вершины 3ПГК-4 визуально совмещены.



б) - чертёж 3ПГК-4 в оригинальном ракурсе, построенный с помощью проекции пирамиды (а); б1) - для наглядности: то же, в слегка измёненном ракурсе.

б) - чертёж 3ПГК-4 в оригинальном ракурсе, построенный с помощью проекции пирамиды (а); б1) - для наглядности: то же, в слегка изменённом ракурсе.

б) - чертёж 3ПГК-4 в важном ракурсе, построенный с помощью проекции пирамиды [a)]; б1) - для наглядности: то же, в слегка изменённом ракурсе.

Глядя на чертежи, возможно, вам трудно будет поверить, что это действительно чертежи 3ПГК-4. Но я из трубочек и лески создала несколько экземпляров моделей 3ПГК-4 и 3ПГК-5 и развесила их по всей квартире, чтобы они везде были на виду, и поэтому я имею возможность рассматривать их в разных ракурсах.

Вы можете сами начертить «исходную» правильную n-угольную пирамиду 3ПГК-n в абсолютно любом ракурсе и, пользуясь тем или иным методом, начертить соответствующую проекцию 3ПГК-n. И вовсе не обязательно в одном чертеже классически строить одновременно горизонтальную, фронтальную и профильную проекции, - профессиональному геометру по виду начерченной «исходной» правильной n-угольной пирамиды 3ПГК-n уже понятно, в каком ракурсе начерчена проекция 3ПГК-n.

О внешнем виде всех 3ПГК-n :

Вот аналогия: все 3ПГК-n как на их чертежах, так и в самих моделях, своей внешней геометрической формой напоминают «юлу» (или волчок). И чем выше измерение, тем всё более и более 3ПГК-n напоминает форму «юлы».

В идеально построенных чертежах 3ПГК-n, где n ? 5, существует только одна горизонтальная проекция 3ПГК-n, фронтальных и профильных проекций - сколь угодно много, а проекций в ракурсах под определённым углом зрения - бесчисленное множество.

Итак, чтобы построить горизонтальную проекцию 3ПГК-n, надо сначала построить горизонтальную проекцию её «исходной» правильной n-угольной пирамиды, то есть построить правильный n-угольник. - Всего-то!

Ещё раз обращаю ваше внимание на факт, что на тетрадном листе бумаги «в клетку» через вершины квадратных «клеток», кроме самого квадрата, невозможно построить все остальные правильные многоугольники (треугольник, пятиугольник, шестиугольник, …, десятиугольник, …, и т.д.).

Я каждое ребро многоугольника в моих чертежах рассматриваю как гипотенузу и проверяю её теоремой Пифагора. Пытаясь построить эти правильные многоугольники «по вершинам «клеток»», я добиваюсь наименьшей погрешности в чертежах.

Казалось бы, черчение 3ПГК-n «по вершинам клеток» - недостаток. Но! Но этот «недостаток» можно превратить в «достоинство» данного способа построения проекций 3ПГК-n, особенно при построении горизонтальных проекций 3ПГК-n. Как я уже писала, я не советовала бы вам начинать построение горизонтальных проекций 3ПГК-n, пользуясь идеально правильной проекцией «исходной» правильной n-угольной пирамиды, - у вас будет на чертежах (особенно при n = чётному числу) совмещение вершин, рёбер, граней и даже кубов. Это нормально, правильно. Чаще всего это - визуальное совмещение.

Рёбра - измерения

Поясняю, что я называю рёбрами-измерениями. Итак, (см. рис. 1.1) в каждой 3ПГК-n я определила две «исходные» правильные n-угольные пирамиды: верхнюю «исходную» пирамиду с вершиной +S, расположенную в первом «ярусе» между параллельными плоскостями РI и РII, и нижнюю «исходную» пирамиду с вершиной -S, расположенную в последнем, n- «ярусе», между параллельными плоскостями Рn и Рn+I .

Боковые рёбра этих двух «исходных» пирамид я назвала рёбрами-измерениями. Если принять направления в пространстве n рёбер-измерений, исходящих из вершины +S верхней пирамиды, положительно направленными рёбрами-измерениями (+), то, соответственно, n рёбер-измерений, исходящих из вершины -S нижней пирамиды, надо считать отрицательно направленными рёбрами-измерениями (-). - Это с одной стороны.

А с другой стороны, я думаю так: рёбра-измерения имеют свою векторную направленность относительно именно данной рассматриваемой вершины в 3ПГК-n.

Поясняю, как я это понимаю: любое ребро в 3ПГК-n соединяет две вершины 3ПГК-n; если для одной из этих двух вершин это ребро является положительным ребром-вектором, то для второй вершины (или относительно второй вершины) это же ребро является отрицательным ребром-вектором. Всё в Мироздании относительно. Всё познаётся в сравнении.

Поэтому, когда вы начертите горизонтальную проекцию «исходной» правильной n-угольной пирамиды с вершиной в точке +S, вы должны мысленно или на чертеже сразу же обозначить (начертить) противоположные рёбра-измерения нижней «исходной» пирамиды с вершиной в точке -S.

Обращаю особое внимание на следующее:

1) в 3ПГК-n, где n - чётное число (т.е. n = 4, 6, 8, 10, …), основания «исходных» пирамид (т.е. правильные n-угольники) геометрически зеркальны, то есть при строго вертикальном совмещении этих двух правильных n-угольников их вершины и рёбра совместятся.

В этом случае горизонтальная проекция двух «исходных» пирамид (ввожу аббревиатуру: ГП 2ИП-n ) на чертеже (см. рис. 3.13) представлена в виде n рёбер-измерений, но каждое из этих n рёбер-измерений содержит в себе два ребра-измерения различных между собою по знаку;

2) в 3ПГК-n, где n - нечётное число (т.е. n = 3, 5, 7, 9, …), при строго вертикальном совмещении оснований верхней и нижней «исходных» пирамид - и вершины, и, соответственно, рёбра этих правильных n-угольников геометрически не совмещены. В этом случае горизонтальная проекция двух «исходных» пирамид (ГП2ИП-n) на чертеже представлена в виде 2n рёбер-измерений, где n рёбер-измерений являются положительными векторами-измерениями и, соответственно, другие n рёбер-измерений являются отрицательными векторами измерениями.

Вот поэтому в первом случае, когда n равно чётному числу (n = 4, 6, 8, 10, 12, …), в самих гиперкубах-n (ГК-n) и в их 3ПГК-n образуются реальные геометрически совмещённые вершины, и в любой проекции, в любом ракурсе, на всех чертежах именно эти вершины будут всегда совмещены.

Во втором случае, когда n равно нечётному числу (n = 3, 5, 7, 9, …), в самих гиперкубах-n (ГК-n) и в их 3ПГК-n нет ни одной геометрически совмещённой вершины, в горизонтальной проекции совмещены только две вершины: +S и -S, но это - визуальное совмещение, необходимое при построении именно этой проекции. В зависимости от выбранного ракурса изображения можно достичь на чертежах много визуально совмещённых вершин, даже рёбер, граней и кубов, но это будет лишь визуальное совмещение.

Полигон измерений

Выражение, понятие «ребро-измерение» подразумевает, что это векторная величина. Следовательно, из этих векторных величин («рёбер-измерений») можно составить полигон измерений.

Полигон измерений, составленный из n «рёбер-измерений» в горизонтальных проекциях «исходных» правильных n-угольных пирамид всегда будет замкнутым («обнулёванным»).

Понятие «горизонтальная проекция 3ПГК-n» предусматривает совмещение на чертеже вершин +S и -S «исходных» пирамид.

Если же полигон измерений не будет замкнутым, «обнулёванным», т.е. если между началом и концом полигона измерения будет «какое-то» расстояние, то это означает, что на это же «какое-то» расстояние на чертеже будут разъединены вершины +S и -S, следовательно, это уже не будет именно горизонтальная проекция 3ПГК-n, а получится просто «другой ракурс» 3ПГК-n.

А б р и с

Абрис - это контур, очертание внешней границы любой начерченной проекции 3ПГК-n. Составными частями абриса для данного чертежа проекции 3ПГК-n являются 2n рёбер-измерений верхней и нижней «исходных» пирамид, причём проекции n боковых рёбер верхней «исходной» пирамиды с вершиной +S считаются положительно направленными рёбрами, а проекции n боковых рёбер нижней «исходной» пирамиды с вершиной -S считаются отрицательно направленными рёбрами. Последовательность расположения этих рёбер-измерений в абрисе строго обусловлена. На рис. 3.13 представлен метод построения абриса горизонтальных проекций 3ПГК-n «по клеткам»:

(а) строится горизонтальная проекция полигона n-мерного измерения (в идеале это правильный n-угольник). Пронумеровать «рёбра-измерения». (Ввожу аббревиатуру: ГП ПИ-n);

(б) используя «рёбра-измерения», образующие полигон измерений, чертим горизонтальную проекцию двух «исходных» правильных n-угольных пирамид 3ПГК-n. (Ввожу аббревиатуру: ГП 2ИП-n).

В этой проекции вершины пирамид +S и -S совмещены, при этом: n «рёбер-измерений», исходящих из вершины +S, будут положительно направленными, а другие n «рёбер-измерений», исходящих из вершины -S, будут отрицательно направленными.

Горизонтальные проекции:

а) - полигона n-мерных измерений (ГП ПИ-n);

б) - двух «исходных» пирамид (ГП 2ИП-n);

в) - Абрис горизонтальной проекции 3ПГК-n.



Горизонтальные проекции:

а) - полигона n-мерных измерений (ГП ПИ-n);

б) - двух «исходных» пирамид (ГП 2ИП-n);

в) - Абрис горизонтальной проекции 3ПГК-n.

Обратите внимание: в ГП 2ИП-n положительно направленные «рёбра-измерения» и отрицательно направленные «рёбра-измерения» всегда лежат на одной прямой, но:

- в ГП 2ИП-n, где n - нечётное число (т.е. n = 3, 5, 7, 9, …), положительно и отрицательно направленные «рёбра-измерения» лежат на одной прямой, но отдельно от соседних «рёбер-измерений»;

- в ГП 2ИП-n, где n - чётное число (т.е. n = 4, 6, 8, 10, …), положительно и отрицательно направленные «рёбра-измерения» лежат тоже на одной прямой, но ввиду «зеркальности» «исходных» пирамид - эти «рёбра-измерения» ещё и сдвоены, т.е. совмещены;

(в) создаётся абрис горизонтальной проекции 3ПГК-n из «рёбер-измерений» ГП 2ИП-n, при этом:

- при n, равном нечётному числу (т.е. n = 3, 5, 7, 9, …), абрис выглядит в виде 2n-угольника (в идеале - правильного);

- при n, равном чётному числу (т.е. n = 4, 6, 8, 10, 12, …), абрис выглядит в виде n-угольника, но каждая сторона этого n-угольника состоит из двух разнознаковых «рёбер-измерений».

Метод построения горизонтальной проекции 3ПГК-n с помощью а б р и с а представлен на рис. 3.15 на примере построения трёхмерной проекции пятимерного гиперкуба (3ПГК-5).



Этапы построения горизонтальной проекции 3ПГК-5.

Этапы построения горизонтальной проекции 3ПГК-5.



Создание абриса с помощью начерченных «исходных» правильных n-угольных пирамид в любом ракурсе, в любой другой проекции я несколько упростила (см. рисунки 3.16, 3.18, 3.19, 3.20, 3.23, 3.26, 3.27, 3.28, 3.29, 3.30 и др.), т.е. достаточно начертить «исходную» правильную n-угольную пирамиду в любом ракурсе, в любой проекции, пронумеровать n её боковых рёбер в определённом направлении (слева направо или справа налево) и, начиная с вершины +S, в том же выбранном направлении последовательно, ребро за ребром, соединить все n рёбер, - поставить точку -S; теперь от вершины -S в той же последовательности ребро за ребром соединить все n рёбер, - абрис в виде замкнутого круга готов.

В случаях, когда проекция «исходной» пирамиды содержит совмещённые на чертеже боковые рёбра, то именно эти рёбра и в абрисе, и в данной проекции 3ПГК-n всегда откладываются дважды (см. рисунки 3.19, 3.20, 3.28, 3.29, 3.35 ).

Метод построения (черчения) по созданному абрису всех 3ПГК-n представлен на рис. 3.15.

На рис. 3.17 (б) представлен идеальный чертёж горизонтальной проекции трёхмерной проекции пятимерного гиперкуба (3ПГК-5).

Думаю, вы согласитесь со мной, что осмыслить идеальный чертёж 3ПГК-5 намного легче с помощью вспомогательного (рабочего) чертежа 3ПГК-5 (рис. 3.17, а), построенного «по клеткам», где все вершины, рёбра, грани индивидуально выражены. Вот это и есть достоинство строения (черчения) всех проекций 3ПГК-n «по клеткам».

Чертежи горизонтальной проекции трёхмерной проекции пятимерного гиперкуба (3ПГК-5)



Чертежи трёхмерной проекции пятимерного гиперкуба (3ПГК-5) в трёх проекциях (H', V' и W'), построенные с помощью «исходной» пирамиды +SABCDE и полигона измерений.

Чертежи трёхмерной проекции пятимерного гиперкуба (3ПГК-5) в трёх проекциях (H', V' и W'), построенные с помощью «исходной» пирамиды +SABCDE в трёх соответствующих проекциях (H, V и W) и полигона измерений.

Чертежи трёхмерной проекции пятимерного гиперкуба (3ПГК-5) в трёх проекциях (H', V' и W'), построенные с помощью «исходной» пирамиды +SABCDE и полигона измерений.

Уважаемые геометры! У вас есть компьютеры. Прежде, чем оценивать мою работу, пожалуйста, с помощью компьютерной графики достройте чертёж ГП 3ПГК-9 на рис. 3.14 - это очень интересно. Чертить этот чертёж на бумаге карандашом, как это делаю я, очень трудно - от обилия линий (2304 ребра) не выдерживает, вспучивается бумага (см. рис. 3.39 и 3.41) и подводит зрение. А вы на компьютере можете каждую деталь чертежа увеличить в масштабе.

Итак, чертежи трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) уже представлены в этой работе во всех проекциях и интересных ракурсах.

Предлагаю вашему вниманию чертежи трёхмерной проекции пятимерного гиперкуба (3ПГК-5) в трёх проекциях: горизонтальной (HI), фронтальной (VI) и профильной (WI), построенных с помощью соответствующих трёх проекций (H, V и W) «исходной» правильной пятиугольной пирамиды SADCDE, горизонтальной проекции полигона измерений и созданных соответствующих данным проекциям абрисов (см. рис. 3.18, 3.19 и 3.20).

На рис. 3.21 представлены чертежи трёхмерной проекции пятимерного гиперкуба (3ПГК-5) во фронтальной (или профильной) проекции, причём в одном чертеже 3ПГК-5 есть визуальное совмещение двух рёбер, а следовательно, и вершин; во втором случае - чертёж 3ПГК-5 представлен без совмещения рёбер и вершин; и первый и второй ракурсы изображения вполне реальны.

Чертежи трёхмерной проекции пятимерного гиперкуба (3ПГК-5)во фронтальной (или профильной) проекции.

Рис., надеюсь, укрепит вашу уверенность в возможности построения 3ПГК-n в разных ракурсах.

Чертить на одной странице 3ПГК-n, где n больше пяти (т.е. 3ПГК-6, 3ПГК-7 и т.д.) в трёх проекциях (горизонтальной, фронтальной и профильной) трудно из-за тесноты площади страницы, поэтому различные 3ПГК-n в различных ракурсах и проекциях предлагаю вам избирательно и обзорно.

Надеюсь, по полигону измерений или по виду проекции «исходной» пирамиды, начерченных к каждому чертежу 3ПГК-n, вам не трудно будет сориентироваться в проекциях, методах и способах построения самих чертежей 3ПГК-n.

Чертежи трёхмерной проекции пятимерного гиперкуба (3ПГК-5) в разных ракурсах.

В этой работе я хочу убедить вас, что с помощью изображения «исходной» правильной n-угольной пирамиды в любой проекции, в любом ракурсе (что не составит труда для любого геометра) можно начертить соответствующий чертёж 3ПГК-n в той же проекции и в том же ракурсе - что и является универсальным методом построения (черчения) 3ПГК-n.



Чертежи трёхмерных проекций:

а) - четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) ,

б) - пятимерного гиперкуба (3ПГК-5) ,

в) - шестимерного гиперкуба (3ПГК-6) .

Ракурс: вид сбоку-сверху

Самый оригинальный ракурс черчения 3ПГК-n: параллельный одному ребру «исходной» пирамиды.

Чертежи трёхмерной проекции шестимерного гиперкуба (3ПГК-6).

Ракурсы: а) вид сверху - слегка смещённый;

б) горизонтальная проекция 3ПГК-6.

Чертёж трёхмерной проекции шестимерного гиперкуба (3ПГК-6).

Фронтальная проекция.



Чертёж трёхмерной проекции шестимерного гиперкуба (3ПГК-6). Фронтальная проекция.

Чертёж трёхмерной проекции шестимерного гиперкуба (3ПГК-6).

Фронтальная проекция.

Чертёж трёхмерной проекции шестимерного гиперкуба (3ПГК-6). Фронтальная проекция.



Чертеж трёхмерной проекции шестимерного гиперкуба (3ПГК-6).

Ракурс: вид сбоку-сверху.

По любой проекции «исходной» правильной n-угольной пирамиды стройте абрис !!! АБРИС УЖЕ СОДЕРЖИТ ВСЮ НЕОБХОДИМУЮ ИНФОРМАЦИЮ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ (ЧЕРЧЕНИЯ) 3ПГК-n В ВЫБРАННЫХ ПРОЕКЦИЯХ ИЛИ РАКУРСАХ.

Продолжим обзор построения (черчения) 3ПГК-n в различных ракурсах, разумеется, переходя к более высоким измерениям.

Среди множества созданных чертежей 3ПГК-n я ищу чертежи наиболее интересных ракурсов.

Предлагаю вашему вниманию рис. 3.23 и рис.3.24. Чертежи рис. 3.23 радуют меня своей элегантностью, совершенством линий - воистину, это - Геометрия Высших Миров.

Ракурс же чертежей рис. 3.24 оригинален тем, что чертежи 3ПГК-4 и 3ПГК-5 содержат минимально возможные количества вершин и рёбер, а чертёж 3ПГК-6 по минимальности количества вершин и рёбер уступает только чертежу своей горизонтальной проекции.

Чертёж горизонтальной проекции 3ПГК-6 представлен на рис. 3.25 (б). Чертёж прост, как пять копеек. Но что стоит за этой простотой? Чтобы понять это, надо (помните? - я это уже писала) слегка, чуть-чуть изменить ракурс [см. чертёж (а)], и вот этот чертёж (а) покажет что скрывается за этой величественной простотой. Какое колоссальное визуальное совмещение вершин, рёбер, граней, кубов!

Повторяю: горизонтальная проекция у всех 3ПГК-n только одна. При построении (черчении) горизонтальных проекций 3ПГК-n следует помнить, что:

1) при n равном чётному числу (т.е. n = 4, 6, 8, 10, 12, …) горизонтальная проекция 3ПГК-n будет содержать кроме собственных геометрически обусловленных совмещённых вершин ещё очень значительное визуальное совмещение вершин, рёбер, граней, кубов (см. рис. 3.25, 3.37, 3.40, 3.42);

2) при n равном нечётному числу (т.е. n = 5, 7, 9, 11, …) горизонтальная проекция 3ПГК-n имеет только две совмещённые вершины: +S и -S, но это - визуальное совмещение, необходимое при построении именно этой проекции; однако в этих горизонтальных проекциях 3ПГК-n будет очень большое число частичных совмещений рёбер на чертеже, т.е. одно ребро визуально совмещается с другим ребром только частью своей длины (см. рис. 3.17, 3.32).

Предлагаю вашему вниманию 4 чертежа трёхмерной проекции шестимерного гиперкуба (3ПГК-6) в разных ракурсах её фронтальных проекций (см. рис. 3.26, 3.27, 3.28 и 3.29). Обратите внимание: в этих чертежах взяты основные ракурсы фронтальной проекции «исходной» пирамиды - и как разительно при этом меняется сама фронтальная проекция 3ПГК-6 !

А вот очень интересный ракурс изображения 3ПГК-6 (см. рис. 3.30). Этот чертёж даёт очень наглядное представление о расположении граней и кубов в 3ПГК-6, а также о расположении геометрически обусловленных совмещённых вершин.

Считаю, что и 3ПГК-4, и 3ПГК-5, и 3ПГК-6 достаточно представлены в разных своих ракурсах и проекциях.

Переходим к чертежам трёхмерной проекции семимерного гиперкуба (3ПГК-7)

Горизонтальная проекция 3ПГК-7 представлена в виде рабочего чертежа (см. рис. 3.31), построенного «по клеткам», и так называемого мною «идеального» чертежа (см. рис. 3.32). Правильные многоугольники для построения «идеальных» чертежей я строю с помощью линейки, циркуля и транспортира.

Рабочий чертёж горизонтальной проекции 3ПГК-n даёт возможность проследить не только расположение каждого ребра в отдельности, но и выявить схему построения её «идеальной» проекции.

Рабочий чертёж горизонтальной проекции трёхмерной проекции семимерного гиперкуба (3ПГК-7).

Идеальный чертёж трёхмерной проекции семимерного гиперкуба (3ПГК-7).

Чертёж трёхмерной проекции семимерного гиперкуба (3ПГК-7).

Горизонтальная проекция.

Рабочие чертежи фронтальных проекций трёхмерных проекций семимерных гиперкубов (3ПГК-7) представлены на рис. 3.33, 3.34 и 3.35.

Чертёж трёхмерной проекции семимерного гиперкуба (3ПГК-7).

Фронтальная проекция.



Чертёж трёхмерной проекции семимерного гиперкуба (3ПГК-7).

Фронтальная (или профильная) проекция.

Чертёж трёхмерной проекции семимерного гиперкуба (3ПГК-7).

Фронтальная проекция.

А на рис. 3.36 трёхмерная проекция семимерного гиперкуба (3ПГК-7) изображена в «самом оригинальном ракурсе»: все вершины, рёбра, грани - визуально совмещены! Чертёж изумительной красоты! Я люблю эти чертежи. Заметили? В основном, все они приводят меня в восторг своей грацией, элегантностью, совершенством. Воистину, это - Геометрия Высших Миров!

Трёхмерная проекция восьмимерного гиперкуба (3ПГК-8) представлена рабочими чертежами её горизонтальной проекции (рис. 3.37) и фронтальной проекции (рис. 3.38).

Чертёж трёхмерной проекции семимерного гиперкуба (3ПГК-7).

Оригинальный ракурс: визуальное совмещение вершины (+S) «исходной» пирамиды с вершиной (1) основания этой пирамиды.

Чертёж горизонтальной проекции трёхмерной проекции восьмимерного гиперкуба (3ПГК-8).



Чертёж трёхмерной проекции восьмимерного гиперкуба (3ПГК-8).

Фронтальная проекция.

Трёхмерная проекция десятимерного гиперкуба (3ПГК-10) представлена идеальным чертежом её горизонтальной проекции (рис. 3.40) и рабочим чертежом (рис. 3.39) для построения этой проекции.

Рабочий чертёж горизонтальной проекции трёхмерной проекции десятимерного гиперкуба (3ПГК-10.)

Идеальный чертёж горизонтальной проекции трёхмерной проекции десятимерного гиперкуба (3ПГК-10)



Идеальный чертёж трёхмерной проекции десятимерного гиперкуба (3ПГК-10). Горизонтальная проекция.

Трёхмерная проекция двенадцатимерного гиперкуба (3ПГК-12) представлена идеальным чертежом её горизонтальной проекции (3.42) и рабочим чертежом (рис. 3.41) для построения этой проекции.

Рабочий чертёж горизонтальной проекции трёхмерной проекции двенадцатимерного гиперкуба (3ПГК-12).

Идеальный чертёж горизонтальной проекции трёхмерной проекции двенадцатимерного гиперкуба (3ПГК-12)



Чертёж горизонтальной проекции трёхмерной проекции двенадцатимерного гиперкуба (3ПГК-12).

Забавы ради предлагаю вам мою версию четырёхмерного кубоида (см. рис. 3.43). n-мерные кубоиды существуют только в двумерном пространстве (рис. 3.43).

Рис. 3.43.

Кубоиды. Уважаемые геометры! Надеюсь, вы согласитесь, что с помощью предложенного мною «Универсального метода построения (черчения) трёхмерных проекций гиперкубов любых измерений (3ПГК-n) в любых проекциях и ракурсах» можно чертить все 3ПГК-n в любых проекциях и ракурсах, а с помощью компьютерной графики, надеюсь, чертить будет намного легче.

Более того, из трубочек и лески вполне реально можно создавать все модели 3ПГК-n.

Уважаемые геометры!

Ваши отзывы о моей работе вы можете написать на мой электронный адрес: mihlm48@mail.ru .

С уважением,

Михайлова Л.М.

Туркмения Январь, 2011г.

ОТ АВТОРА

Я, Михайлова Людмила Михайловна, 1948 г.р., не профессиональный математик - я это указываю в каждой моей работе, чтобы профессиональные математики были чуть снисходительнее к моему стилю изложения работ. Ведь главное - всё-таки математическая идея, а не изящная математическая словесность.

Образование у меня - высшее, по специальности я - инженер-экономист, по жизненным обстоятельствам - бывшая домохозяйка.

До февраля 2011 г. я жила в Туркмении, имея и там Российское гражданство с 1994 г. В феврале 2011 г., продав свою квартиру, я выехала из Туркмении в Россию, к брату, в г. Грязи Липецкой обл., прописалась там у него, получила внутренний Российский паспорт, мне начислили пенсию (спасибо России). Но моих денег не хватило на покупку квартиры в России, и я по приглашению сестры приехала на Украину в Ивано-Франковск. Здесь я купила квартиру, оформила «Вид на жительство», сохраняя Российское гражданство, которым я очень дорожу.

2-го ноября 2000 года умер мой муж - рак. Детей нет. Мой муж был смыслом моей жизни. 26 месяцев я провалялась на могилочке мужа, рыдая и упрекая Бога в Его жестокости, что я оставлена жить, - я просила у Бога смерти…

И вот, 2-го января 2003 года, вернувшись домой с кладбища, я сидела на веранде и отчаянно рыдала, - 26 месяцев прошло, а боль жгучая, неуёмная! Как с этим жить, зачем?..

И вдруг меня пронзила мысль: не упрекать Бога в Его жестокости, а попросить у Бога пощады, милости. Рухнула я на колени (а на колени меня трудно поставить) и, рыдая взмолилась: «Господи! Если Ты заставляешь меня дышать, жить, то дай мне хоть какое-нибудь утешение, чтобы я видела смысл в оставшейся жизни!».

Как-то удивительно стало легче дышать, я села на диванчик, смогла унять слёзы. И посидев немного, решила хоть чем-то заняться.

Взяла недочитанную книгу, открываю по закладке, и первая фраза, которая бросилась мне в глаза, это - эпиграф к главе: «Бог действует по геометрическим линиям. Платон» !!! Меня пронзило: это ответ Бога!, это «ЗНАК» Бога !

Как заворожённая читаю название главы: «Геометрический аспект научного миропонимания», - о, да, это же интереснейшая для меня тема! Название книги: «Кардинальный поворот»! Авторы: Тихоплавы В.Ю. и Т.С., - как я им безмерно благодарна за их книги!

Да, так ответить мог только Бог !

И вспомнила я, что когда-то в школе геометрия была моим любимым предметом… Я была так потрясена поданным мне Богом «Знаком», что опять бухнулась на колени и уже с радостю сказала: «Господи! Благодарю Тебя за поданный мне «Знак»! Обещаю Тебе: я пойду к Тебе «по геометрическим линиям», я займусь математикой !». Уже через час-два я определила для себя область математики для исследований.

Хочу отметить: я - набожна, очень набожна, но принципиально нерелигиозна.

Вот так в одночасье произошёл в моей жизни «кардинальный поворот», и вот почему я так неожиданно для себя почти в 55 лет занялась математикой.

Две темы для исследования и написания работ были «поданы» мне как бы «случайно».

Первым «случайным» подарком мне была услышанная мной по телевизору фраза «золотое сечение». К моему удивлению я ещё не знала, что это такое. Пришлось нырнуть в «Энциклопедию» и по одному энциклопедическому определению в 2003-2004 годах разработать «Уникальный ряд «золотого сечения, золотой пропорции»», [1], (заверен нотариально 08.04.2004г.).

Я очень люблю эту работу. Её не надо доказывать, - математические формулы в ней безупречны и очень легко проверяемы. Ну, нет в математике более совершенного числового ряда, обладающего такими обширнейшими математическими свойствами!

С помощью «Уникального ряда «золотого сечения, золотой пропорции»» можно описывать законы и макромира (вплоть до параметров орбит планет, звёзд, галактик), и микромира (свойства «Уникального ряда» пригодятся и в ядерной физике). Воистину «золотая пропорция» - это Божественная пропорция, пропорция Мироздания!

Вторым подарком Бога (это было в 2003 году) стала книга, «случайно» попавшая мне в руки. Это произведения Э.Эбботта «Флатландия» и Д. Бюргера «Сферландия», М. «Мир», 1976г. Эта книга дополнена шестью научно-популярными статьями о четвёртом измерении, написанными математиками ещё в 1910 году.

Я опять очень удивилась себе, что до этой книги я почему-то не имела никакого понятия о четвёртом измерении.



Кстати, по ходу чтения этих статей, ещё не все шесть их прочитав, я сразу же предположительно определила трёхмерную проекцию системы осей координат для четырёхмерного измерения. Я заинтересовалась этой темой. Ровно через девять месяцев после прочтения этой книги я впервые создала из трубочек и лески модель трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4).

Так как там, в Туркмении, у меня не было компьютера и возможности посмотреть в интернете, что наработано человечеством по моим темам, а также не было никаких учебных пособий, то мне пришлось самой выводить формулы для определения количества единичных элементов (вершин, рёбер, граней, кубов ) в гиперкубах любых измерений.

На осмысление и создание модели трёхмерной проекции пятимерного гиперкуба (3ПГК-5) у меня ушло три года. За эти годы я начертила около сотни чертежей и создала десятки предполагаемых, но неправильных моделей 3ПГК-5. И наконец-то в марте 2008 года я впервые создала модель трёхмерной проекции пятимерного гиперкуба (3ПГК-5)!

К этому времени у меня сложилось твёрдое убеждение, что человеческий мозг не может сам даже подумать о чём-то, чего ещё нет в Мироздании. Я просто знала, что в Мироздании существует какой-то «метод построения (и черчения) трёхмерных проекций гиперкубов любых измерений».

Я знала, что этот метод должен быть какой-то оригинальный, простой… Но я и предположить не могла, что этот метод может оказаться столь изумительно простым!!! Мне пришлось ещё два года «ломать» мозги…

Работа « «Начала» геометрии многомерных измерений» была написана с перепугу - боялась не успеть написать. Дело в том, что там, в Туркмении, у меня стало резко «скакать» давление, приходилось часто вызывать «скорую», и соседи, посоветовавшись, пришли спросить как и где меня хоронить. Я дала соседям деньги на свои похороны, попросила похоронить рядом с мужем и решила написать работу хотя бы так, как я её понимала на тот момент.

Поэтому работа написана спонтанно, а сам изумительно простой «Универсальный метод построения (черчения) трёхмерных проекций гиперкубов любых измерений в любых проекциях и ракурсах» был выявлен мною в декабре 2010 года только в процессе написания этой третьей главы работы. Восемь лет, восемь лет я искала этот метод!!!

Сейчас бы эту работу я написала бы по-другому, но, выехав из Туркмении, у меня почему-то пропало желание писать.

Примите, пожалуйста, то, что написано.

Уважаемые геометры!

Пожалуйста, сначала примите, что все трёхмерные проекции гиперкубов любых измерений, как начерченные, так и созданные мною их модели из трубочек и лески, своей внешней геометрической формой напоминают детскую игрушку «юлу, или волчок». И чем выше измерение, тем всё более и более трёхмерные проекции многомерных гиперкубов своей внешней формой принимают форму «юлы».

Вот теперь вам не составит труда геометрически изобразить как «юлу», так и трёхмерную проекцию n-мерного гиперкуба - в любой проекции и в любом ракурсе. Надо только принять, что в теле «юлы» верхняя и нижняя часть - это конусы, а в телах трёхмерных проекций гиперкубов n-ного измерения эти «конусы» следует считать правильными n-угольными пирамидами (в работе они названы «исходными» пирамидами).

...