Многомерная геометрия

Правильная n-угольная пирамида состоит из n боковых рёбер, соединяющих вершину самой пирамиды с вершинами правильного n-угольника, являющегося основанием данной пирамиды. Так вот, эти « n боковых рёбер» и являются «рёбрами-измерениями» в любых трёхмерных проекциях n-мерных гиперкубов.

Причём, эти «исходные» n-угольные пирамиды можно чертить абсолютно в любой проекции, в любом ракурсе, тогда, составив (начертив) абрис (см. работу), вы легко начертите трёхмерную проекцию n-мерного гиперкуба в выбранной проекции, в выбранном ракурсе.

Желаю вам больших успехов.

С уважением,

Михайлова Людмила Михайловна. mihlm48@mail.ru

mihlm48@mail.r Михайлова Л.М.

«НАЧАЛА» ГЕОМЕТРИИ МНОГОМЕРНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Глава 2. Трёхмерная проекция четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4)

В работе «Постигая четырёхмерное измерение, мы приходим к геометрии n-мерных пространств» [3] я определила метод построения (черчения) трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) с помощью трёхмерной проекции осей координат для четырёхмерного измерения.

Метод определения трёхмерной проекции осей координат для четырёхмерного измерения

Идея принять большие диагонали куба за трёхмерную проекцию осей координат для четырёхмерного измерения возникла у меня в голове почти моментально. Для проверки этой идеи исследуем куб (рисунки 2.1 и 2.2), посмотрим, что он выдаст.

На рис. 2.1 изображён куб ABCDEFGH, примем длину ребра куба равной величине а. Через геометрический центр О куба и геометрические центры (1, 2, 3, 4, 5, 6) каждой из шести граней куба проведём оси +X -X, +Y-Y и +Z-Z, то есть получим Декартову систему координат, которой пользуются более 350 лет. Проведём четыре большие диагонали куба.

Исследуем все вершины куба на предмет их знакового значения (+ или -) относительно Декартовой системы координат. Результаты этого исследования сведены в таблицу 2.1.

Таблица 2.1.

	A	B	C	D	E	F	G	H
X	-	+	+	-	-	+	+	-
Y	-	-	-	-	+	+	+	+
Z	+	+	-	-	+	+	-	-

Проведём анализ знаковых значений вершин куба.

Сразу видно, что только две вершины D и F, являющиеся крайними точками большой диагонали куба FD, имеют все три одинаковых знака: вершина F (+X, +Y, +Z) и вершина D (-X, -Y, -Z).

А из этого следует, что куб сам указал на четвёртую ось в новой для нас трёхмерной проекции системы осей координат для четырёхмерного измерения, причём указал и её знаковое направление.

Предлагаю обозначить эту ось буквой «T» - от греческого слова «tetra», означающего «четыре».

Итак, в новой для нас трёхмерной проекции системы осей координат для четырёхмерного измерения определена главная ось, проходящая через вершины куба F и D, причём направление оси от центра О в сторону вершины F является положительным направлением (+T), а направление оси от центра О в сторону вершины D является отрицательным направлением (-T).

Для того, чтобы определить, как, в каком направлении расположатся три остальные оси в трёхмерной проекции системы осей координат для четырёхмерного измерения Xг, Yг и Zг (индекс «г» - от слова «гиперкуб»), проведём знаковый анализ остальных шести вершин A, B, C, E, G и H куба, пользуясь таблицей 2.1 и рисунком 2.2.

1. Положительное значение икса (+X) из оставшихся шести вершин A, B, C, E, G и H куба содержат вершины B, C и G, значит, это и является областью положительного икса, и ось +Xг проходит через среднюю между B, C и G вершину куба C.

Отрицательное значение икса (-X) из оставшихся шести вершин куба содержат вершины A, E и H, значит, это и является областью отрицательного икса, и ось -Xг проходит через среднюю между A, E и H вершину куба E.

2. Положительное значение игрека (+Y) из оставшихся шести вершин куба содержат вершины E, H и G, значит, это и является областью положительного игрека, и ось +Yг проходит через среднюю между E, H и G вершину H.

Отрицательное значение игрека (-Y) из оставшихся шести вершин куба содержат вершины A, B и C, значит, это и является областью отрицательного игрека, и ось -Yг проходит через среднюю между A, B и C вершину B.

3. Положительное значение зет (+Z) из оставшихся шести вершин куба содержат вершины E, A и B, значит, это и является областью положительного зет, и ось +Zг проходит через среднюю между E, A и B вершину A.

Отрицательное значение зет (-Z) из оставшихся шести вершин куба содержат вершины C, G и H, значит, это и является областью отрицательного зет, и ось -Zг проходит через среднюю между C, G и H вершину G.

Итак, определены все четыре оси трёхмерной проекции системы осей координат для четырёхмерного измерения: ось +T-T проходит через вершины куба F и D соответственно, ось +Xг-Xг проходит через вершины C и E, ось +Yг-Yг проходит через вершины H и B, ось +Zг-Zг проходит через вершины A и G.

Это великолепный подарок куба!

Теперь, чтобы определить углы между осями трёхмерной проекции системы осей координат для четырёхмерного измерения, обратимся к рисунку 2.2, где изображена плоскость ABGH, которая является плоскостью симметрии куба, в этой плоскости лежат две оси +Zг-Zг и +Yг-Yг трёхмерной проекции системы осей координат для четырёхмерного измерения.

1. Из треугольника AОB определим угол AОB по теореме косинусов:

. (2.1)

При принятой величине согласно теореме Пифагора:

и ; .

Подставив в уравнение (2.1) значения AB, AО и ОB, получим:

, а . (2.2)

2. Определим угол AОH, то есть угол, заключённый между осями +ZгО+Yг или -YгО-Zг:

. (2.3)

Таким образом, определены и углы между осями трёхмерной проекции системы осей координат для четырёхмерного измерения.

Замечательно то, что центр О является общей точкой для обеих систем координат, что очень удобно при переходе из одной системы координат в другую.

Четырёхмерное пространство имеет свои особенности и законы. В четырёхмерном пространстве меняются размерности всех единиц измерения, которыми мы пользуемся в нашем трёхмерном мире. Но, пользуясь логикой и рассуждениями по аналогии, можно проследить, выявить и вычислить эти изменения в размерностях.

Наш трёхмерный куб, такой всем близкий и знакомый, дарит нам ещё одну свою тайну - единицу длины ребра в четырёхмерном пространстве! Посмотрите на рис. 2.1: точками 1, 2, 3, 4, 5 и 6 обозначены геометрические центры каждой грани куба. Через эти точки проходят оси Декартовой системы координат, и при принятой величине длины ребра куба, равной «а», расстояние от центра О до всех точек 1, 2, 3, 4, 5 и 6 равно .

Большие диагонали куба AG, BH, CE и DF, являющиеся образующими оси трёхмерной проекции системы координат для четырёхмерного измерения, равны и, соответственно, половина длины этих диагоналей, то есть расстояние от центра О до всех точек (вершин куба) A, B, C, D, E, F, G и H, равно .

Мне кажется, что теперь не трудно догадаться, что отрезок OZ, например, расположенный на оси OX в Декартовой системе координат и равный величине , перемещаясь из трёхмерного пространства в четырёхмерное, превратится в отрезок OC, расположенный на оси O+Xг (или в отрезок OE (?), расположенный на оси O-Xг), и теперь длина его определится величиной .

Это говорит о том, что наш трёхмерный куб с длиной ребра «a», перемещаясь в четырёхмерное пространство, превратится в четырёхмерный гиперкуб с длиной ребра «aг», при этом:

. (2.4)

Метод построения трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) на чертеже

Итак, создав из трубочек и лески модель трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) (см. фотографию 1), приступим к построению 3ПГК-4 на чертеже, то есть перенесём 3ПГК-4 во второе измерение - на плоскость листа бумаги (см. рис. 2.3).

Фото 1

На чертеже строим куб ABCDEFGH, приняв длину ребра куба равной величине «a», и через вершины куба проводим оси +Т-Т, +Xг-Xг, +Yг-Yг и +Zг-Zг новой трёхмерной проекции системы координат для четырёхмерного измерения.

Так как на созданной мной модели 3ПГК-4 видно, что восемь внутренних рёбер модели сходятся в центре 3ПГК-4, причём своим взаимным положением относительно друг друга эти восемь внутренних рёбер полностью соответствуют всем осям трёхмерной проекции системы координат для четырёхмерного измерения, то, следовательно, на продолжении новых осей координат и расположатся восемь вершин (AГ, BГ , CГ , DГ , EГ , FГ , GГ и HГ) трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба.

Расстояние от центра O до этих вершин равно длине ребра 3ПГК-4 «aг», при этом , то есть удвоенному расстоянию от центра O до лежащей на этой оси вершины проекции исходного куба. При этом полученные восемь вершин 3ПГК-4 обозначены буквой, соответствующей вершине исходного куба, но с индексом «г» - от слова гиперкуб, т.е. AГ, BГ , CГ , DГ , EГ , FГ , GГ и HГ .

Например, строим вершину Аг: по оси О+Zг от точки А надо отложить отрезок, равный ОА, ставим точку Аг , и так как , то ; строим вершину Fг : по оси О+Т от точки F откладываем отрезок, равный OF, ставим точку Fг ; и т.д.

Итак, определены восемь вершин 3ПГК-4, причём координаты этих вершин легко определяются: так как эти вершины лежат непосредственно на осях, то они по этим осям имеют координату «аг» со знаком, соответствующим этой оси, а три остальные координаты - равны нулю.

Например, вершина Аг лежит на оси O+Zг , следовательно, вершина Аг имеет координаты: Т = 0, Xг = 0, Yг = 0, Zг = +aг ; вершина Dг лежит на оси О-Т, следовательно, вершина Dг имеет координаты: Т = -аг , Xг = 0, Yг = 0, Zг = 0 ; и т.д.

Теперь через все эти восемь вершин проводим вспомогательные линии, параллельные оставшимся трём осям координат, - для каждой точки отдельно. Причём, учитывая, что положительные части осей на чертеже проведены сплошными линиями, а отрицательные части осей проведены пунктирными линиями, и то, что в этих вершинах именно эти три оси имеют значение ноль, надо вспомогательные линии, параллельные осям, проводить в соответствии их знаковым значениям: то есть эти точки являются границами между положительными и отрицательными частями этих вспомогательных линий.

Проведя все эти вспомогательные линии через точки AГ , BГ , CГ , DГ , EГ , FГ , GГ и HГ , на чертеже появятся шесть точек, в которых пересеклись по четыре вспомогательных линии. Вот они-то, эти шесть точек, и являются теми вершинами, лежащими на поверхности трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба, в которых сходятся по четыре ребра, образующие четыре острых углов ромбов. Обозначим эти вершины: K, L, M, N, P и Q .

Итак, определены 14 вершин на поверхности трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба. Вспомним, что две вершины (О1 и О2) этой проекции (3ПГК-4) совместились с центром О. Координаты всех 16-ти вершин трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба сведены в таблицу 2.2.

Для того, чтобы проще было представить себе тело трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба, даю промежуточный чертёж (рис. 2.4), где соединены только вершины, лежащие на поверхности 3ПГК-4.

Таблица 2.2.

	0	0	0		0		0	0
	0	0		0		0	0	0
	0		0	0	0	0	0
		0	0	0	0	0		0

			K	L	M	N	P	Q
	0	0
	0	0
	0	0
	0	0



А на рисунке 2.5 уже показаны и восемь внутренних рёбер, и чертёж трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба представлен в полном виде.

Геометрические особенности трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4)

Давайте осмыслим геометрические особенности трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4), построенного с помощью трёхмерной проекции системы осей координат для четырёхмерного измерения.

На рис. 2.6 представлен чертёж 3ПГК-4, начерченный только по вершинам 3ПГК-4, без осей координат и вспомогательных линий; для удобства масштаб чертежа уменьшен в два раза.

Обратите внимание: через вершины трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) вписывается куб AгBгCгDгEгFгGгHг . Это очень важный факт для осмысления 3ПГК-4. Рисунок 2.7 даёт очень наглядное представление о расположении вершин, рёбер, граней 3ПГК-4. Смотрите: восемь внутренних рёбер 3ПГК-4 (AгO, BгO, CгO, DгO, EгO, FгO, GгO и HгO) расположены на больших диагоналях вписанного в 3ПГК-4 куба, а четыре ребра 3ПГК-4 (EгP, FгP, GгP и HгP) образуют четырёхугольную пирамиду PEгFгGгHг с основанием квадрата EгFгGгHг , который является одной из шести граней вписанного в 3ПГК-4 куба. Причём, (что очень важно!) рёбра этой пирамиды параллельны большим диагоналям вписанного в 3ПГК-4 куба, т.е. PEг || GгAг, PFг || HгBг, PGг || EгCг и PHг || FгDг , при этом PEг = GгO, PFг = HгO, PGг = EгO и PHг = FгO (разумеется, в точке О совмещены две вершины О1 и О2). А из этого следует, что пирамида PEгFгGгHг геометрически равна пирамиде OEгFгGгHг .

Вершина Р является общей для шести граней-ромбов, равных между собой, причём четыре ромба (PEгKFг , PFгNGг , PGгLHг и PHгQEг) являются внешними гранями 3ПГК-4, а два ромба (PEгOGг и PFгOHг) являются внутренними гранями.

В рисунке 1.1 показано, что 3ПГК-4 пересекают пять параллельных между собой плоскостей, равноотстоящих друг от друга. Так вот, по рисункам 2.6 и 2.7 расположение этих пяти плоскостей определится следующим образом: вторая плоскость (РII) проходит через вершины EГ , FГ , GГ и HГ ; четвёртая плоскость (РI V) проходит через вершины AГ , BГ, CГ и DГ ; третья плоскость (РШ) проходит через вершины Q, K, O1, O2, N и L ; а первая (PI) и пятая (РV) плоскости проходят через вершины P и M соответственно.

Итак, на примере только одной пирамиды PEгFгGгHг определены некоторые очень важные свойства трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4). Но если учесть, что остальные пять пирамид, построенные на других пяти гранях вписанного куба, геометрически равны пирамиде PEгFгGгHг , то, осмыслив безупречную симметрию и гармонию 3ПГК-4, можно только изумляться совершенству трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба.

Совершенство трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) подтверждается и тем, что через вершины 3ПГК-4 можно построить не только вписанный куб AгBгCгDгEгFгGгHг , но и описанный куб A'B'C'D'E'F'G'H' - через вершины P, Q, K, N, L и M (см. рис. 2.8). А через вершины нашего вписанного куба, как известно математикам, легко вписывается ещё одно «тело Платона» - тетраэдр. Кроме того, через шесть вершин 3ПГК-4 (P, Q, K, N, L и M) вписывается и ещё одно «тело Платона» - октаэдр (см. рис. 2.9). Рёбрами этого октаэдра являются 12 больших диагоналей ромбов - всех 12-ти внешних граней 3ПГК-4. А так как поверхность трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба состоит из 12-ти ромбов, то эта геометрическая фигура называется ещё ромбододекаэдром.

Предлагаю вашему вниманию рисунки 2.10, 2.11, 2.12 и 2.13. Это одна и та же геометрическая фигура - трёхмерная проекция четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4). В этих чертежах нет искажений, я старалась выполнить их точно. Вершины, обведённые кружками, - это совмещённые вершины. Не правда ли, как легко можно начертить 3ПГК-4 (рис. 2.12, рис. 2.13) ?!

Трёхмерная проекция четырёхмерного гиперкуба имеет 13 осей симметрии: семь осей симметрии проходят через 14 противоположных вершин, расположенных на поверхности 3ПГК-4 (PM, QN, LK, EгCг, FгDг, GгAг и HгBг), и шесть осей симметрии проходят через центры двенадцати противолежащих ромбов (граней), образующих поверхность 3ПГК-4.

Трёхмерная проекция четырёхмерного гиперкуба имеет 9 плоскостей симметрии: PGгCгMAгEг , PFгBгMDгHг , NCгDгQEгFг , NBгAгQHгGг , KAгDгLGгFг , KEгHгLCгBг , PNMQ, PKML и KNLQ.

Трёхмерная проекция четырёхмерного гиперкуба имеет три сферы с центром О1О2: большая сфера описывает вершины P, N, K, Q, L и M, средняя сфера описывает вершины Aг, Bг, Cг, Dг, Eг, Fг, Gг и Hг , а меньшая сфера вписывается через центры всех двенадцати граней (ромбов), образующих поверхность 3ПГК-4.

Об элементах, составляющих трёхмерную проекцию четырёхмерного гиперкуба. Математики давно просчитали, что четырёхмерный гиперкуб (ГК-4) состоит из 16-ти вершин, 32-х рёбер, 24-х граней и 8-и кубов. Предложенная мною трёхмерная проекция четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) полностью соответствует этим расчётам (см. рисунки 2.5, 2.6, 2.10). Причём все рёбра, все грани и все кубы абсолютно равны между собой (геометрически, а не физически).

Вершины 3ПГК-4. 3ПГК-4 содержит 16 вершин: Aг, Bг, Cг, Dг, Eг, Fг, Gг, Hг, O1, O2, K, L, M, N, P и Q. Координаты по четырём осям (Xг, Yг, Zг и T) всех 16-ти вершин 3ПГК-4 указаны в таблице 2.2. 14 вершин расположены на поверхности 3ПГК-4, а две вершины (О1 и О2) совмещены в центре 3ПГК-4.

Совмещённые две вершины О1 и О2 , я думаю, говорят нам о том, что (образно) наш трёхмерный куб в четырёхмерном пространстве под воздействием присущей этому пространству дополнительной, ещё неведомой нам энергии не просто перемещается, а ещё и вращается, вращается вокруг вершины (как, примерно, Земля, вращаясь вокруг своей оси, движется по орбите).

Говоря здесь о вершинах О1 и О2 , совмещённых в одну точку О, будем иметь в виду, что все ниже перечисленные свойства вершин присущи индивидуально и вершинам О1 и О2 , но совместившись в точке О, эти свойства количественно складываются.

Итак, каждая вершина 3ПГК-4 обладает следующими свойствами:

1) в каждой вершине 3ПГК-4 сходятся по четыре ребра. При этом: в вершинах K, L, M, N, P и Q сходятся 4 внешних ребра (например, в вершине K сходятся рёбра KAг, KBг, KFг и KEг); в вершинах Aг, Bг, Cг, Dг, Eг, Fг, Gг и Hг сходятся по три внешних ребра и одно внутреннее ребро (например, в вершине Аг сходятся рёбра AгK, AгM, AгQ и AгO); в вершинах О1 и О2 сходятся по 4 внутренних ребра, всего в точке О сходятся восемь внутренних рёбер;

2) в каждой вершине 3ПГК-4 сходятся по шесть граней, т.е. каждая вершина является общей вершиной для шести граней, например: а) в вершине Р сходятся грани PEгKFг, PFгNGг, PGгLHг, PHгQEг, PEгO1Gг и PFгO1Hг; б) в вершине Eг сходятся грани EгQAгK, EгKFгP, EгPHгQ , EгQDгO2, EгO1GгP и EгKBгO2 ; в) в вершине O (O1 и O2) сходятся все 12 внутренних граней: AгOFгK, AгOHгQ , AгOCгM, BгOEгK, BгODгM, BгOGгN, CгOHгL, CгOAгM, CгOFгN, DгOGгL, DгOEгQ и DгOBгM ;

3) в каждой вершине 3ПГК-4 сходятся по 4 куба. Например:

а) в вершине P сходятся 4 куба: PHгQEгFгO1AгK, PEгKFгGгO1BгN, PFгNGгEгKBгO1 и PGгLHгEгO1DгQ;

б) в вершине Aг сходятся 4 куба: AгKEгQO2FгPHг, AгMBгKO2CгNFг, AгQDгMKEгO2Bг и AгQDгMO2HгLCг; в) как видим, центр O, т.е. точка совмещённых вершин O1 и O2 , является общей вершиной для всех восьми кубов 3ПГК-4.

Р ё б р а 3ПГК-4

Ко всему, что сказано выше о рёбрах 3ПГК-4, можно добавить, что рёбра 3ПГК-4 обладают ещё и следующими свойствами:

1) каждое ребро 3ПГК-4 принадлежит трём граням. Например:

а) ребро PEг принадлежит граням PEгQHг, PEгKFг и PEгO1Gг ;

б) ребро AгK принадлежит граням AгKBгM, AгKFгQ и AгKFгO2 ;

в) ребро O2Аг принадлежит граням O2AгQHг, O2AгMCг и O2AгKFг;

2) каждое ребро 3ПГК-4 принадлежит трём кубам. Например:

а) ребро PEг принадлежит кубам PEгQHгGгO1DгL, PEгKFгHгQAгO1 и PEгO1GгFгKBгN ;

б) ребро AгK принадлежит кубам AгKBгMQEгO2Dг , AгKEгQO1FгPHг и AгKFгO2MBгNCг ;

в) ребро O2Aг принадлежит кубам O1AгQHгFгKEгP , O2AгMCгHгQDгL и O2AгKFгCгMBгN.

Единичная грань 3ПГК-4

Гранью трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) является ромб (см. рис. 2.15, 2.17).

Определимся с размерностью геометрических параметров ромба PEгKFг. Здесь нам очень помогут геометрические параметры вписанного в 3ПГК-4 куба AгBгCгDгEгFгGгHг. Примем, что длина ребра ромба PEгKFг, а следовательно, и самой трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) равна величине «а»; длину малой диагонали EгFг ромба обозначим через «d», а длину большой диагонали PK ромба обозначим через «D».

Из чертежа рис. 2.15 нетрудно заметить, что длина ребра «а» 3ПГК-4, а следовательно, и ромба, равна половине большой диагонали вписанного в 3ПГК-4 куба AгBгCгDгEгFгGгHг ; малой диагональю (EгFг) ромба является ребро этого вписанного куба, а большой диагональю ромба (PK = D) является диагональ боковой грани (квадрата) этого вписанного куба.

Из вышесказанного, пользуясь теоремой Пифагора, можно написать:

, т.е.

. (2.5)

Результаты простых расчётов взаимосоотношений главных определяющих параметров ромба (грани 3ПГК-4) a, d и D приведены в таблице 2.3.

Таблица 2.3

	a большой диагонали вписанного куба	d ребро вписанного куба	D малая диагональ вписанного куба
a	Ребро ЗПГК-4, ребро ромба
d		Малая диагональ ромба
D			Большая диагональ ромба

Результаты расчётов, приведённые в таблице 2.3, потребуются для вычисления других геометрических параметров 3ПГК-4.

Гранью трёхмерной проекции гиперкуба любого n-мерного измерения (3ПГК-4, 3ПГК-5, 3ПГК-6, …, 3ПГК-n) является ромб и только ромб. Очень важной геометрической характеристикой ромба является соотношение его большой и малой диагоналей (D/d). В многомерной геометрии это соотношение для каждого измерения строго определённо и неизменно. Так, в квадрате (символ второго измерения) соотношение его диагоналей равно единице (1); грань трёхмерного куба также сохраняет это соотношение (1), т.к. его гранью является квадрат. Невозможно хотя бы слегка изменить соотношение диагоналей в квадрате - иначе квадрат теряет своё звание.

В 3ПГК-4 отношение большей диагонали ромба (грани) к меньшей определится:

(2.6)

Ко всему, что сказано о единичных гранях (ромбах) 3ПГК-4 в этой главе, надо добавить, что каждая единичная грань 3ПГК-4 принадлежит одновременно двум кубам. Например: 1) грань PHгQEг принадлежит кубу PHгQEгGгLDгO1 и кубу PHгQEгFгO1AгK ; 2) грань PEгKFг принадлежит кубу PEгKFгHгQAгO1 и кубу PEгKFгGгO1BгN.

Единичный куб 3ПГК-4

Как видно из чертежей рисунков 2.14, 2.15 и 2.16, единичные кубы трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) можно построить не только при вершинах Aг и Bг вписанного в 3ПГК-4 куба AгBгCгDгEгFгGгHг, но и при остальных шести вершинах этого вписанного куба. Таким способом легко определить все восемь (8) единичных кубов, образующих 3ПГК-4.

Геометрические особенности единичного куба 3ПГК-4

Чтобы понять, как выглядит единичный куб 3ПГК-4, представьте себе трёхмерный куб с длиной ребра «а». Этот куб имеет 4 больших диагонали, равных между собой, длина которых равна . Так вот, теперь одну из этих больших диагоналей уменьшите до величины ребра куба (т.е. до величины «а») так, чтобы три других диагонали, увеличившись при этом по длине, были равны между собой. Вот вы и получили единичный куб 3ПГК-4.

Что-то мне не приходит на ум, как правильно назвать эту фигуру. Ромбогексаэдр? Или просто четырёхгранной призмой? Поправьте, пожалуйста, если я ошиблась.

Определим объём единичного куба BгNCгMKFгO2Aг трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба Vе.к. (см. рис. 2.18).

Так как по определению единичный куб 3ПГК-4 - это четырёхгранная призма, то её объём определится как произведение площади основания этой призмы на высоту этой призмы. Примем за основание этой призмы грань BгNCгM. Площадь единичной грани 3ПГК-4 (Sе.г.), которой является ромб BгNCгM, равна половине произведения диагоналей этого ромба, т.е.

. (2.8)

Из таблицы 2.3 возьмём значение D через d: и выразим Sе.г. только через d:

(2.9)

Высотой h в этой четырёхгранной призме является отрезок ВгТ, т.е. h = BгT. Из равнобедренного прямоугольного треугольника AгBгFг (где AгBг = BгFг = d и AгFг = D) легко определить, что отрезок BгT = h равен 1/2•AгFг и является собственно половиной диагонали BгEг = D (см. рис. 2.15) в грани (квадрате) AгBгFгEг вписанного в 3ПГК-4 куба. Следовательно,

. (2.10)

Тогда объём четырёхгранной призмы BгNCгMKFгO2Aг, т.е. объём единичного куба 3ПГК-4 (Vе.к.) определится:

. (2.11)

Замечательно, что величина «d3» - это объём вписанного в 3ПГК-4 куба AгBгCгDгEгFгGгHг, ребро которого обозначено через d.

Итак, вычислено, что объём единичного куба 3ПГК-4 (Vе.к.) равен половине объёма вписанного в 3ПГК-4 куба.

Объём всех восьми единичных кубов 3ПГК-4 соответственно определится:

. (2.12)

Определим объём тела трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (V3ПГК-4). Вернёмся к рис. 2.7 и 2.15.

При обсуждении чертежа на рис. 2.7 было доказано, что четырёхугольная пирамида PEгFгGгHг геометрически равна пирамиде O1EгFгGгHг. При этом следует иметь в виду, что пирамида PEгFгGгHг - внешняя по отношению к вписанному в 3ГПК-4 кубу и таких внешних пирамид - шесть, но ведь и сам вписанный в 3ПГК-4 куб состоит из шести внутренних четырёхугольных пирамид. А так как все двенадцать пирамид геометрически равны между собой, то общий объём шести внешних пирамид также равен объёму вписанного в 3ПГК-4 куба, следовательно, объём 3ПГК-4 равен удвоенному объёму вписанного в него куба, т.е.:

. (2.13)

Это самый лёгкий и очевидный способ определения объёма 3ПГК-4. Есть и другие способы.

Объём восьми единичных кубов (4d3) больше объёма самой трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (2d3) ровно в два раза. Почему? Давайте разберёмся, как размещены единичные кубы в теле 3ПГК-4 и между собой.

Чтобы понять, как размещены единичные кубы в теле 3ПГК-4, рассмотрим чертежи на рис. 2.19.

Из тела 3ПГК-4 (рис. 2.19, а) выделен единичный куб при вершине Bг (BгNCгMKFгO2Aг) (рис. 2.19, б), который, в свою очередь, состоит из трёх геометрически равных между собой четырёхугольных пирамид с общей вершиной O2: O2BгKAгM, O2BгNFгK и O2BгNCгM (рис. 2.19, в, г, д). Основаниями этих пирамид служат находящиеся на поверхности 3ПГК-4 грани (ромбы) выделенного единичного куба. Соблюдаются также следующие равенства боковых рёбер этих пирамид: O2Bг = O2Aг = O2Fг = = O2Cг = a и O2K = O2M = O2N = d. Все эти пирамиды имеют ту же высоту h, что и сам единичный куб, т.е. четырёхугольная призма.

Вычислим объём одной пирамиды Vпир. с помощью формул (2.9) и (2.10):

, (2.14)

что подтверждает, что объём пирамиды в три раза меньше объема единичного куба.

Так как внешних граней в 3ПГК-4, образующих её поверхность

(S3ПГК-4), 12 и каждая из этих 12-ти граней является основанием пирамиды с вершиной в точке O, то суммарный объём всех этих 12-ти пирамид определит объём 3ПГК-4:

. (2.15)

Вот вам второй способ определения объёма 3ПГК-4.

Площадь поверхности 3ПГК-4 определится таким образом:

. (2.16)

Но вернёмся к теме обсуждения.

Выделенный при вершине Bг единичный куб BгNFгKMCгO2Aг каждой третью своей делит (т.е. совмещает) свой объём с тремя единичными кубами, расположенными при вершинах Aг, Fг и Cг :

1) c единичным кубом AгMDгQKBгO2Eг - совмещённый объём в виде пирамиды O2BгKAгM ;

2) с единичным кубом FгNGгPKBгO1Eг - совмещённый объём в виде пирамиды O2BгNFгK ;

3) с единичным кубом CгMBгNLDгO2Gг - совмещённый объём в виде пирамиды O2BгNCгM. Следует заметить, что в вписанном в 3ПГК-4 кубе AгBгCгDгEгFгGгHг вершины Aг, Fг и Cг являются ближайшими к вершине.

Таким образом, доказано, что каждый единичный куб 3ПГК-4 каждой третью своего объёма совмещает своё пространство (объём) с тремя другими близлежащими единичными кубами.

Вот поэтому суммарный объём всех восьми единичных кубов 3ПГК-4 () больше объёма самой 3ПГК-4 () в два раза.

Ещё два свойства единичных кубов 3ПГК-4:

1) каждый единичный куб 3ПГК-4 имеет по одной грани, общей с шестью из семи других единичных кубов. Так, единичный куб BгNCгMKFгO2Aг не имеет общей грани только с единичным кубом HгQEгPLDгO1Gг , при этом заметим, что вершины в этих единичных кубах Bг и Hг , N и Q, Cг и Fг , M и P, K и L, Fг и Dг , Aг и Gг - диаметрально противоположные; и только восьмая пара вершин O1 и O2 в этих единичных кубах является одной совмещённой вершиной, т.е.:

2) все восемь единичных кубов 3ПГК-4 имеют общую вершину, в которой совмещены две вершины - O1 и O2 .

Результаты расчётов основных геометрических параметров 3ПГК-4, выраженные через элементы ромба (единичной грани 3ПГК-4), представлены в таблице 2.4.

Таблица 2.4

№ п/п	Наименование основных геометрических параметров и элементов ЗПГК-4	Обозначение	Основные геометрические параметры ЗПГК-4, выраженные через элементы ромба (грани):
			ребро,	малую диагональ,	большую диагональ,
1	2	3	4	5	6
1	Единичное ребро ЗПГК-4
2	Площадь единичной грани ЗПГК-4
3	Обьем единичного куба ЗПГК-4
4	Обьем ЗПГК-4
5	Площадь поверхности ЗПГК-4

Уважаемые профессиональные математики!

Следующими главами работы ««Начала» геометрии многомерных измерений» должны быть о пятимерном гиперкубе, шестимерном, семимерном гиперкубах и т.д., в которых надо определить все особенности их строения и вычислить все геометрические параметры трёхмерных проекций 3ПГК-5, 3ПГК-6, 3ПГК-7 и т.д., - как это было сделано в этой главе относительно 3ПГК-4.

Могу сообщить, что трёхмерная проекция уже шестимерного гиперкуба (3ПГК-6) откроет вам новые особенности строения 3ПГК-n.

Очень хочется, чтобы эта тема исследования кому-то стала интересной и близкой.

Мне очень хотелось бы узнать мнение об этой работе профессиональных математиков. Вы можете написать мне на мой электронный адрес.

С уважением,

Михайлова Л.М. mihlm48@mail.ru 03.04.2010г.

Размещено на Allbest.ru

...