Определение вычетов и функций

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Изолированные особые точки аналитической функции. Вычеты

1.1 Нули аналитической функции

Определение

Точка а называется нулём порядка k аналитической функции f(z), если f(a) = f ?(a) = f ?(a) = ... = f ^(k?1)(a) = 0, но f ^(k)(a) ? 0. Пример. Пусть . Точка a = 0 - нуль этой функции, так как f(0) = 0. Найдём порядок нуля: f ?(z) = ? sin z + z, f ?(0)= 0, f ^{( 3 )}(z) = ? cos z + 1,f ^{( 3 )}(0) = 0, f ^{( 4 )}(z) = sin z, f ^{( 4 )}(0) = 0, f ^{( 5 )}(z) = cos z, f ^{( 5 )}(0) = 1 ? 0,. Первая отличная от нуля производная функции в точке a = 0 - пятая, поэтому эта точка - нуль пятого порядка функции . Теорема. Для того, чтобы аналитическая в точке а функция f(z) имела в этой точке нуль k -го порядка, необходимо и достаточно, чтобы в окрестности этой точки функция f(z)представлялась в виде f( z) = (z ? a) ^k·ц(z), где ц(z) - аналитическая в точке а функция, и ц(a) ? 0.

Доказательство

Необходимость. Пусть точка а - нуль k-го порядка функции f(z), т.е. f(a) = f ?(a) = f ?(a) = ... = f ^(k?1)(a) = 0, и f ^(k)(a) ? 0. Тогда её разложение в ряд Тейлора имеет вид

,

где - аналитическая (как сумма степенного ряда с тем же кругом сходимости, что и у ряда для f(z)) функция, .

Достаточность

Пусть f( z) = (z ? a) ^k·ц(z), где ц(z) - аналитическая в точке а функция, и ц(a) ? 0. Находим производные этой функции по формуле Лейбница

( uv ) ⁽ⁿ⁾ = u ⁽ⁿ⁾ v + n u ^{(n - 1)} v ? + C_n² u ^{(n - 2 )} v ? + C_n³ u ^{(n - 3 )} v^{(3 )} + … + C_n² u ? v ^{(n - 2)} + n u ? v ^{(n - 1 )} + u v ^{(n )}: f ?(z) = k(z ? a)^{k - 1} ц(z) + (z ? a)^k ц ?(z), f ?(a) = 0; f ?(z) = k (k ? 1)(z ? a)^{(k - 2)} ц(z) + 2k (z ? a)^{(k - 1)} ц?(z) + (z ? a)^(k) ц?(z), f ?(a)=0; f ^{( k -1 )}(z) = k·( k -1 )·…2·(z ? a) ц(z) + C¹_k-1k·( k -1 )·…3·(z ? a)² ц ?(z) + … + (z ? a) ^k ц^{(k -1)}(z), f ^{( k -1)}(a)=0; f ^{( k)}(z) = k·( k -1 )·…2·1·ц(z) + C¹_k k·( k -1 )·…2·(z ? a) ц ?(z) + … + (z ? a) ^k ц^(k)(z), f ^{( k)}(a) = k!·ц(a) ? 0,

что и требовалось доказать. Из этой теоремы следует, что если многочлен P _n(z) = a₀ z ⁿ + a₁ z ^{n - 1} + a₂ z ^{n - 2} + … + a _{n - 1} z = 0 разложен на множители P _n(z) = a₀ (z ? z₁) ^k₁ (z ? z₂) ^k₂ … (z ? z_l) ^k_l , то корни z₁, z₂, …, z_lявляются нулями функции P _n(z) кратностей, соответственно, k₁, k₂, …, k_l.

1.2 Изолированные особые точки

1.2.1 Определение

Точка а называется изолированной особой точкой функции f(z), если существует окрестность этой точки, в которой f(z) аналитична во всех точках, за исключением точки а. Рассмотрим разложение функции f(z) в ряд Лорана в окрестности изолированной особой точки а. При этом возможны следующие случаи.

1. Главная часть ряда Лорана отсутствует:

В этом случае особая точка а называется устранимой. 2. Главная часть содержит конечное число членов:

В этом случае особая точка а называется полюсом n-го порядка. Если n =1, полюс называется простым, в остальных случаях - кратным. 3. Главная часть содержит бесконечно много членов. В этом случае особая точка а называется существенно особой точкой.

1.2.2 Признаки особых точек по значению

1. Для того, чтобы особая точка z = a была устранимой особой точкой функции f(z), необходимо и достаточно, чтобы существовал конечный предел = C, C ? ?.

Док-во

Выпишем разложение f(z) в ряд Лорана:

Очевидно, что может быть конечным тогда и только тогда, когда отсутствуют члены с отрицательными степенями, т.е. отсутствует главная часть, т.е. z = a - устранимая особая точка. В этом случае = A₀. 2. Для того, чтобы особая точка z = a была полюсом функции f(z), необходимо и достаточно, чтобы существовал бесконечный предел = ?. Докажем теорему, из которой следует это утверждение. Теорема. Для того, чтобы особая точка z = a была полюсом n-го порядка функции f(z), необходимо и достаточно, чтобы в некоторой окрестности этой точки f(z) представлялась в виде , где ц(z) аналитическая в точке а функция, ц(a) ? 0.

Док-во. Необходимость

Пусть f(z) имеет в точке z = a была полюс n-го порядка,т.е.

Преобразуем это выражение:

Обозначим ц(z) сумму ряда, стоящего в скобках:

ц(z) = A _-n + A _{-n + 1}(z ? a) + A _{-n + 2}(z ? a)² + … + A₀(z ? a) ⁿ + A₁(z ? a) ^{n + 1} + A₁(z ? a) ^{n + 2} + ….

Ряд Лорана функции f(z) сходится в некотором кольце 0 < | z - a | < r. Пусть точка z₁ принадлежит этому кольцу. Ряд для ц(z) сходится в этой точке, так как он отличается от сходящегося ряда для f(z) только постоянным множителем ; по теореме Абеля ряд для ц(z) сходится в круге | z - a | < | z₁ - a |, и ц(z) аналитична в этом круге как сумма степенного ряда.

Достаточность

Пусть , где ц(z) аналитическая в точке а функция, ц(a) ? 0. Разложим ц(z) в ряд Тейлора:

ц(z) = B₀ + B₁(z ? a) + B₂(z ? a)² + … + B_k(z ? a)^k + …

Тогда

,

т.е. главная часть ряда Лорана функции f(z) начинается с члена , где B₀ = ц(a) ? 0, т.е. точка z = a - полюс n-го порядка. Следствие. Точка z = a - полюс n-го порядка функции f(z) тогда и только тогда, когда существует конечный .

Теорема о связи нулей и полюсов

Функция f(z) имеет в точке z = a - полюс n-го порядка тогда и только тогда, когда функция имеет в этой точке нуль n-го порядка. Это теорема непосредственно следует из доказанной теоремы и теоремы предыдущего раздела. С её помощью легко определять порядок полюса. Так, мы доказали, что функция имеет в точке 0 нуль пятого порядка. Поэтому функция имеет в этой точке полюс пятого порядка.

3. Мы доказали, что в устранимой особой точке и в полюсе существует (конечный или бесконечный) . Поэтому в существенно особой точке этот предел существовать не может. Более того, верна теорема Пикара, которую мы приведём без доказательства: В любой сколь угодно малой окрестности своей существенно особой точки функция f(z) принимает (причём бесконечно много раз) любое конечное значение (за исключением, возможно, одного).

1.3 Вычет аналитической функции в особой точке

Пусть функция f(z) аналитична в области D за исключением точки a. Разложим f(z) в окрестности этой точки в ряд Лорана:

Коэффициент A_-1 называется вычетом функции f( z) в точке а и обозначается . Если г - произвольный кусочно-гладкий замкнутый контур, расположенный в области D и содержащий внутри себя точку а, то, согласно общей формуле для коэффициентов ряда Лорана (см. 19.8.3. Ряд Лорана), получаем другое, эквивалентное, определение вычета,

= A -₁.

1.3.1 Вычет в устранимой особой точке равен нулю

Это следует из определения устранимой особой точки: главная часть ряда Лорана отсутствует, все коэффициенты с отрицательными индексами равны нулю, A_-1 = 0.

1.3.2 Вычеты в полюсах

Если а - простой полюс функции f(z), то

Док-во. Простой полюс - полюс первого порядка, поэтому разложение в ряд Лорана начинается с минус первой степени:

Тогда(z ? a) f( z) = A _-1 + A ₀(z ? a) + A ₁(z ? a) ² + A ₂(z ? a) ³ + …, и .

Пусть , где ц( z), ш( z) - аналитические в окрестности точки а функции. Если а - простой нуль функции ш( z), и ц(a)?0, то

Док-во. Если а - простой нуль функции ш( z), и ц( a) ? 0, то а - простой полюс функции . Тогда, по предыдущему утверждению,



Если а - полюс функции f(z) n-го порядка, то

Док-во

Так как точка z = a - полюс n-го порядка функции f(z), то .

Для того, чтобы удалить особенность в точке а, умножим f(z) на (z - a)ⁿ: (z - a) ⁿ f( z) = A _{- n} + A _{-n + 1}(z ? a) + … + A _{- 1}(z ? a) ^{n - 1} + A ₀(z ? a) ⁿ + A ₁(z ? a) ^{n + 1} + ….

Теперь, чтобы убрать первые члены этой формулы и добраться до A _-1, дифференцируем это произведение n-1 раз:

,

,

откуда и следует доказываемая формула.

1.3.3 Примеры нахождения вычетов

Вычет в существенно особой точке находится из разложения функции в ряд Лорана

1. .

Эта функция имеет единственную особую точку - z = 0. Функция 1 - cos z при z > 0 - бесконечно малая второго порядка, (1 - cos z)² - четвертого, поэтому можно предположить, что существует конечный , т.е. z = 0 - устранимая особая точка. Доказываем строго:

z = 0 - устранимая особая точка.

Можно решить эту задачу по-другому. Так как cos z = 1 ? z ² /2! + z ⁴ /4! + … + (?1) ⁿ z ²ⁿ/(2 n)! + …, то(1 ? cos z)² = (z ² /2! ? z ⁴ /4! + … + (?1) ^{n + 1} z ²ⁿ/(2 n)! + …)² = z ⁴·(1/2! ? z² /4! + … + (?1) ^{n + 1} z ^{2n - 2}/(2 n)! + …)² , то f (z) = (1/2! ? z² /4! + … + (?1) ^{n + 1} z ^{2n - 2}/(2 n)! + …)². Понятно, что разложение этой функции по степеням z не будет содержать членов с отрицательными степенями, т.е. z = 0 - устранимая особая точка. 2. . Особая точка: z = 2. Разлагаем функцию в ряд по степеням

z - 2: z ² = [(z - 2) + 2] ² = (z - 2)² + 4(z - 2) + 4,

,

.

Разложение содержит бесконечное количество слагаемых с отрицательными степенями z - 2, следовательно, z = 2 - существенно особая точка. . 3. f(z)=ctg z. Особые точки - те, в которых sin z = 0: a_k = k р, k = 0, ±1, ±2, ±3, …. Эти точки являются простыми нулями знаменателя, так как (sin z)?|_{z = ak} = cos z|_{z = ak} = ± 1 ? 0. Числитель cos a_k ? 0, поэтому точки a_k - простые полюса. Вычеты находим по формуле

: . 4. .

Особые точки - те, в которых sin z = 0: a_k = k р. В этих точках предел знаменателя ; во всех точках a_k, за исключением a ₁ = р, числитель отличен от нуля, поэтому , следовательно, эти точки - полюса. Для определения порядка этих полюсов найдём порядок нуля знаменателя: ш(z) = sin ² z, ш(a _k ) = 0; ш? (z) = sin 2z, ш? (a_k ) = 0; ш? (z) = 2 cos 2z, ш? (a_k ) = 2 ? 0, следовательно, эти полюса имеют второй порядок (при k ? 1). В точке a ₁ = р функция представляет собой неопределённость , однако, если вспомнить, что sin z = sin(р ? z) = ? sin(z ? р), эта неопределённость раскрывается просто:

,

т.е. функция имеет конечный предел, следовательно, a ₁ = р - устранимая особая точка. Вычет в устранимой особой точке равен нулю, поэтому . В остальных точках применяем формулу

при n = 2: (меняем переменную t = z - a_k, sin z = sin(t + a_k ) = sin(t + kр) = (-1) ^k sin t ) =

(к последнему пределу применяем правило Лопиталя)

1.4 Основная теорема о вычетах

Пусть функция f(z) аналитична во всех точках ограниченной замкнутой области , границей которой является контур L, за исключением конечного числа особых точек z₁, z₂, z₃, …, z_n, расположенных внутри L.



Тогда .

Док-во

Окружим каждую особою точку z_k, k = 1, 2, …, n контуром г_k = {z || z ? z _k | = с _k} таким, чтобы все контуры лежали в области D и не пересекались. В области, ограниченной контурами L, г ₁, г ₂, г ₃, … г _n, функция аналитична, поэтому по Теореме Коши для многосвязной области

Из определения вычета следует, что , следовательно, , что и требовалось доказать.

Примеры вычисления интегралов с помощью основной теоремы о вычетах

,

где L - квадрат |x| + |y| = 2.

Обе особые точки подынтегральной функции: z₁= 0 и - расположены внутри контура L, поэтому

.

Точка z₁= 0 -полюс первого порядка,

.

Точка - нуль первого порядка и для числителя, и для знаменателя; докажем, что это - устранимая особая точка подынтегральной функции. Пусть , тогда , и , конечный предел существует, поэтому, действительно, это - устранимая особая точка, и . По основной теореме о вычетах .

2. . В примере 2 раздела



Примеры нахождения вычетов

мы доказали, что точка z = 2 - существенно особая точка подынтегральной функции, и , поэтому .

3. .

Здесь подынтегральная функция

имеет две особых точки, расположенных в области, находящейся внутри контура: z₁ = i (простой полюс) и z₂ = - i (полюс второго порядка).

,

;

.

4.

Внутри контура расположена одна особая точка подынтегральной функции f(z): z = 0. Это - существенно особая точка, поэтому для нахождения вычета необходимо найти коэффициент A _-1 разложения f(z) в ряд Лорана в окрестности этой точки.

;

.

,

однако нет необходимости выписывать произведение этих рядов, достаточно только собрать те попарные произведения, которые дают минус первую степень переменнойz:

Легко сообразить, что это ряд для sh z при , т.е. , и .

1.5 Бесконечно удалённая особая точка

Будем считать точку z = ? особой точкой любой аналитической функции. В разделе

Окрестности точек плоскости мы определили окрестности этой точки как внешности кругов с центром в начале координат: U(?, е) = {z ? | | z | > е}. Точка z = ? является изолированной особой точкой аналитической функции w = f(z), если в некоторой окрестности этой точки нет других особых точек этой функции. Для определения типа этой особой точки сделаем замену переменной , при этом точка z = ? переходит в точку z₁ = 0, функция w = f(z) примет вид . Типом особой точки z = ? функции w = f(z) будем называть тип особой точки z₁ = 0 функции w = ц(z₁). Если разложение функции w= f(z) по степеням z в окрестности точки z = ?, т.е. при достаточно больших по модулю значениях z, имеет вид

,

то, заменив z на , получим .

Таким образом, при такой замене переменной главная и правильная части ряда Лорана меняются местами, и тип особой точки z = ? определяется количеством слагаемых в правильной части разложения функции в ряд Лорана по степеням z в окрестности точки z = 0. Поэтому 1. Точка z = ? - устранимая особая точка, если в этом разложении правильная часть отсутствует (за исключением, возможно, члена A ₀); 2. Точка z = ? - полюс n-го порядка, если правильная часть заканчивается слагаемым A _n·z ⁿ; 3. Точка z = ? - существенно особая точка, если правильная часть содержит бесконечно много членов. При этом остаются справедливыми признаки типов особых точек по значению : если z = ? - устранимая особая точка, то этот предел существует и конечен, если z = ? - полюс, то этот предел бесконечен, если z = ? - существенно особая точка, то этот предел не существует (ни конечный, ни бесконечный). Примеры: 1. f (z) = -5 + 3 z² - z ⁶. Функция уже является многочленом по степеням z, старшая степень - шестая, поэтому z = ? - полюс шестого порядка. Этот же результат можно получить по-другому. Заменим z на , тогда

.

Для функции ц(z₁) точка z₁ = 0 - полюс шестого порядка, поэтому для f(z) точка z = ? - полюс шестого порядка. 2. . Для этой функции получить разложение по степеням z затруднительно, поэтому найдём

: ;

предел существует и конечен, поэтому точка z = ? - устранимая особая точка.

3.

Правильная часть разложения по степеням z содержит бесконечно много слагаемых, поэтому z = ? - существенно особая точка. По другому этот факт можно установить исходя из того, что не существует.

Вычет функции в бесконечно удалённой особой точке

Для конечной особой точки a , где г - контур, не содержащий других, кроме a, особых точек, проходимый так, что область, им ограниченная и содержащая особую точку, остаётся слева (против часовой стрелке). Определим аналогичным образом: , где Г ^? - контур, ограничивающий такую окрестность U(?, r) точки z = ?, которая не содержит других особых точек, и проходимый так, что эта окрестность остаётся слева (т.е. по часовой стрелке). Таким образом, все остальные (конечные) особые точки функции должны находиться внутри контура Г ^?. Изменим направление обхода контура Г ^?: . По основной теореме о вычетах , где суммирование ведётся по всем конечным особым точкам. Поэтому, окончательно, , т.е. вычет в бесконечно удалённой особой точке равен сумме вычетов по всем конечным особым точкам, взятой с противоположным знаком.

Как следствие, имеет место теорема о полной сумме вычетов: если функция w = f(z) аналитична всюду в плоскости С, за исключением конечного числа особых точек z₁, z₂, z₃, …, z_k, то сумма вычетов во всех конечных особых точках и вычета в бесконечности равна нулю. Отметим, что если z = ? - устранимая особая точка, то вычет в ней может быть отличен от нуля. Так для функции , очевидно, ; z = 0 - единственная конечная особая точка этой функции, поэтому , несмотря на то, что , т.е. z = ? - устранимая особая точка.

Литература

вычет функция теорема

1. Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного -- М., Наука, 1969.

2. Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ -- М., Наука, 1969.

3. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. -- М.: Наука, 1979.

4. Айзенберг Л. А., Южаков А. П. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе. -- Новосибирск: Наука, 1979.

5. Цих А. К. Многомерные вычеты и их применения. -- Новосибирск: Наука, 1988.

Размещено на Allbest.ru

...