Теория вероятности

Размещено на http://www.allbest.ru/

Тема 1. Формулы комбинаторики и вероятность, аксиомы Колмогорова. Алгебра событий. Классическое определение вероятности

1.1 Основные понятия

В жизни часто встречаются ситуации, когда результат проводимого опыта (испытания, наблюдения) нельзя предсказать заранее с полной уверенностью. Так, при бросании монеты нельзя точно сказать, какой стороной она упадет, при покупке лотерейного билета нельзя точно знать, выпадет ли на него выигрыш, при раздаче карт нельзя знать определенно, сколько козырей окажется у вас в руках. Во всех таких случаях результат опыта рассматривают как случайное событие.

Мы будем использовать следующее определение.

Определение 1. Некоторое событие называется случайным по отношению к данному опыту, если оно может как наступить, так и не наступить в результате проведения данного опыта.

Примерами случайных событий являются : присутствие нечетного числа студентов на лекции, выпадение герба при бросании монеты, выигрыш при игре в лотерею, попадание в цель при выстреле и т. д.

Перечисленные выше события могут произойти в опытах, которые можно повторить (в принципе) неограниченное число раз (подсчитать количество студентов на лекции, подбросить монету, купить лотерейный билет, произвести выстрел).

Случайные события, которые могут наступить в таких опытах, называют массовыми.

Примером не массового (единичного) события является такое случайное событие: "15 мая 2002 года в Брянске будет дождь". Это событие не массовое, поскольку данный опыт воспроизвести еще раз невозможно, так как 15 мая 2002 года наступает только один раз.

Предметом теории вероятностей является изучение закономерностей, присущих массовым случайным событиям.

Пример такой закономерности дает опыт с бросанием игрального кубика, на гранях которого написаны числа от 1 до 6. Исход каждого отдельного бросания является случайным. Однако средний результат большого числа испытаний утрачивает случайный характер, становится закономерным. Например, "доля" выпадений числа "1" (т. е. отношение количества раз выпадения "1" к общему числу бросаний) с увеличением числа бросаний приближается к 1/6 .

Условимся обозначать случайные события заглавными латинскими буквами.

Определение 2. Два случайных события называют несовместными, если наступление одного из них исключает наступление другого в одном и том же опыте. Несколько случайных событий несовместны, если они попарно несовместны.

Пример 1. Опыт состоит в бросании игрального кубика. Событие - выпадение четного числа очков. Событие - выпадение 5. Очевидно, что события и несовместны.

Определение 3. Два случайных события называют совместными в данном опыте, если наступление одного из них не исключает наступление другого.

Пример 2. Опыт и событие те же, что в примере 1. Событие - выпадение числа, делящегося на 3. События и совместны , поскольку могут произойти одновременно при выпадении "6".

Определение 4. Через обозначим событие, заключающееся в том, что событие не произошло. называют также противоположным к событием

Пример 3. Опыт: один выстрел по мишени. Событие - попадание в мишень. Тогда - это промах.

Определение 5. Суммой двух случайных событий и называют случайное событие, которое состоит в том, что произошло хотя бы одно из событий или .

Пример 4. Опыт состоит в том, чтобы произвести два выстрела по мишени. Событие - попадание при первом выстреле. Событие - попадание при втором выстреле. Тогда событие состоит в попадании хотя бы при одном выстреле.

Определение 6. Произведением двух случайных событий и называют событие, состоящее в том, что в результате данного опыта события и наступают одновременно.

Пример 5. В ящике лежат бракованные и небракованные детали, изготовленные на двух заводах №1 и №2. Опыт состоит в извлечении наугад из ящика одной детали. Случайное событие Aпоявление небракованной детали, событие Bизвлечение детали, изготовленной на первом заводе. Тогда событие AB состоит в извлечении небракованной детали, изготовленной на первом заводе.

Пример 6.Игра в покер. Игроку раздаётся пять карт. Событие A состоит в получении пяти последовательно идущих по старшинству карт (например, 8, 9, 10, Валет, Дама). Эта комбинация называется “стрит”. Событие B состоит в получении пяти карт одной масти. Событие AB состоит в получении пяти последовательно идущих по старшинству карт одной масти и называется “флеш”.

Определение 7. Случайное событие называют достоверным, если оно обязательно наступает в данном опыте.

Пример 7. Опыт: Бросание игральной кости. Случайное событие A состоит в выпадении целого числа очков. Очевидно, что Aвсегда наступает,то есть является достоверным событием.

Определение 8. Случайное событие называют невозможным, если оно не произойдёт в данном опыте.

1.2 Классическое определение вероятности

Определение 9. Случайное событие, которое может произойти в результате данного опыта, называется элементарным, если оно не может быть представлено в виде суммы двух несовместных случайных событий. Множество всех элементарных событий для данного опыта называется пространством элементарных событий, которое мы будем обозначать буквой .

Мы будем рассматривать только такие опыты (испытания), для которых выполняются следующие два условия:

а) Общее число несовместных элементарных событий конечно (то есть множество конечно);

б) Осуществление каждого элементарного события равновозможно, то есть условия испытания не создают преимущества в появлении какого-либо элементарного события перед другими.

Пример 8.Опыт состоит в бросании двух игральных кубиков. Элементарное событие состоит в выпадении упорядоченной пары (m, n) на первом и втором кубике соответственно, где m, nN и m6, n6. Пространство ={(1,1),(1,2),(1,3),,(6,6)} состоит из 36 элементарных событий.

Будем обозначать элементарные события ₁,₂,,_n.Тогда ={₁,₂,,_n}.

Замечание 1. Легко видеть, что любое случайное событие A является подмножеством пространства элементарных событий .

Например, если в опыте из примера 8 рассмотреть событие A, состоящее в том, что сумма выпавших очков не меньше 10, то

A={(5,5), (5,6), (6,5), (6,6),(4,6),(6,4)}. (1)

Определение 10. Говорят, что элементарное событие _k благоприятствует событию A, если наступление события _k влечёт за собой наступление события A (то есть _kA).

Например, элементарное событие (5,6) благоприятствует случайному событию A из предыдущего примера.

Замечание 2.Согласно замечанию 1 случайное событие A как подмножество состоит из случайных элементарных событий, благоприятствующих A .

Определение 11. (Классическое определение вероятности)

Вероятностью P(A) события A называется отношение числа элементарных событий, благоприятствующих событию A, к числу всех элементарных событий, т. е.

. (2)

Замечание 3. Если воспользоваться обозначениями из пункта 2 §2, то

. (3)

Напомним, что числа A и есть количество элементов во множествах

A и соответственно.

Пример 9. Найти вероятность того, что при бросании двух игральных кубиков выпадает в сумме не более 10 очков.

При рассмотрении примера 8 мы доказали, что =36. Из (1) следует, что =6. Поэтому согласно (3) получим

.

Пример10. Какова вероятность того, что при двух бросках монеты оба раза может выпасть герб?

Иногда предлагается такое решение этой задачи. Так как число гербов может быть равно 0,1 или 2, то общее число вариантов равно 3, из них один вариант является благоприятным, следовательно . Однако в этих рассуждениях содержится ошибка. Здесь нарушено условие равновозможности рассматриваемых исходов.

Решение.

Обозначим Г“герб”, Р“решка”. В этом опыте пространство элементарных событий ={(Г,Р), (Р,Г), (Р,Р), (Г,Г)} , все возможные исходы равновероятны и A={(Г,Г)}.Следовательно,

.

1.3 Свойства вероятности

Из классического определения 11 вероятности вытекают следующие ёё свойства:

Вероятность любого события A удовлетворяет неравенству: 0P(A)1. Действительно, так как (Замечание 1), то . Поэтому

.

Вероятность невозможного события равна 0. Действительно, пусть невозможное событие. Тогда ему не благоприятствует ни одно элементарное событие, то есть m=0. Поэтому,

.

Если достоверное событие, то P(A)=1.

Действительно, в этом случае благоприятствуют все элементарные события, то есть m=n . Следовательно,

.

1.4 Относительная частота

Статистическое определение вероятности.

Пусть есть случайное событие, которое может наступить в данном опыте. Напомним, что мы рассматриваем опыты, удовлетворяющие условиям а),б) пункта 2.

Предположим, что после повторения опыта N раз, событие произошло раз.

Определение 12. Частотой наступления события называется выражение

.

Результаты многочисленных опытов и наблюдений помогают заключить, что с увеличением числа опытов частота * стабилизируется и приближается к постоянной величине, которая и является вероятностью события .

Это соображение приводит к “статистическому определению вероятности”:

Определение 13. Вероятность случайного события это связанное с данным событием постоянное число, около которого колеблется частота наступления этого события в данных сериях опытов.

Это определение не является, конечно, математическим в широком смысле этого слова. Однако оно играет чрезвычайную роль для применения теории вероятности на практике. Так, если нам удаётся путём строгого математического подсчёта определить вероятность p наступления события , то на основе определения 12 мы можем сделать такое предсказание: при большом числе опытов частота наступления события будет близка к p и значит в опытах событие наступит примерно p раз.

1.5 Формулы комбинаторики

Комбинаторика это раздел математики, основной задачей которой является подсчёт числа вариантов, возникающих в той или иной ситуации. При решении задач с использованием классического определения вероятности нам понадобятся некоторые формулы комбинаторики.

Размещения.

Определение 1. Размещением без повторений из n элементов по k называется всякое упорядоченное подмножество данного множества M={a₁,a₂,,a_n}, содержащее k элементов.

Отметим, что из определения сразу следует, что, во-первых, все элементы в размещении без повторений различны (в противном случае найдется два одинаковых элемента), во-вторых, k n, в-третьих, два различных размещения без повторений различаются либо составом входящих в них элементов, либо порядком их расположения. То есть порядок следования существенен.

Теорема 1. Число различных размещений без повторений из n элементов по k (k n) равно

(4)

Доказательство.

Пусть ={a₁,a₂,,a_n}. Требуется определить число различных строк вида (x₁,x₂,,x_k), где все элементы x₁,x₂,,x_k и различны. Первый элемент x₁ можно выбрать n способами. Если x₁ уже выбран, то для выбора x₂ осталось n1 элементов. Аналогично, x₃ можно выбрать n2 способами и т.д. Последний элемент x_k можно выбрать nk+1 способами. Перемножая эти числа, получим формулу (4).Теорема доказана.

Пример 1. В классе 12 учебных предметов и в понедельник 5 разных уроков. Сколькими способами может быть составлено расписание занятий на понедельник?

Решение.

Число всевозможных вариантов расписания есть, очевидно, число различных размещений из 12 элементов по 5, то есть

Важным частным случаем, является случай, когда n=k, то есть когда в строке (x₁,x₂,,x_n) участвуют все элементы множества . Строки без повторений, составленные из n элементов множества называют перестановками из n элементов. Напомним, что в математике через n! обозначают произведение всех натуральных чисел от 1 до n, то есть и по определению считают, что 0!=1.

Следствие 1. Пользуясь формулой (4), находим, что число различных перестановок P_n из n элементов равно P_n = n!.

Определение 2. Размещением с повторениями из n элементов по k называется любая упорядоченная строка из k элементов множества ={a₁,a₂,,a_n}, некоторые из которых могут повторяться.

Например, слово “мама” есть размещение с повторениями из 2х элементов ={м, а} по 4.

Теорема 2. Число различных размещений с повторениями из n элементов по k

(5)

Доказательство.

Первый элемент в строку из k элементов может быть выбран n способами, поскольку =n. Точно также 2-й, 3-й, …,k-й элементы могут быть выбраны n способами. Перемножая эти числа, получим

k раз

Теорема доказана.

Пример 2. Сколько можно составить различных двузначных чисел из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

Решение.

В этой задаче {1, 2, 3, 4, 5}, n=5, k=2.Поэтому ответом является число

Пример 3. Сколькими способами k пассажиров могут распределиться по n вагонам, если для каждого пассажира существенным является только номер вагона, а не занимаемое им в вагоне место?

Решение. Перенумеруем всех пассажиров. Пусть x₁ номер вагона, выбранного первым пассажиром, x₂ номер вагона второго пассажира, …, x_k номер вагона kго пассажира. Строка (x₁,x₂,,x_k) полностью характеризует распределение пассажиров по вагонам. Каждое из чисел x₁,x₂,,x_k может принимать любое целое значение от 1 до n. Поэтому в этом примере

M={1, 2,…,n} и различных распределений по вагонам будет столько же, сколько строк длиной k можно составить из элементов множества M, то есть

.

Отметим ещё раз, что в размещениях с повторениями и без повторений важен порядок следования элементов. Если порядок следования элементов не существенен, то в этом случае говорят о сочетаниях.

Сочетания (без повторения).

Определение 3. Пусть ={a₁,a₂,,a_n}.Любое подмножество X мно-жества , содержащее k элементов, называется сочетанием k элементов из n.

Отметим сразу, что в этом определении порядок следования элементов множества X несущественен и, что kn, поскольку k=X, n=M и XM.

Теорема 3. Число различных сочетаний k элементов из n равно

. (6)

Доказательство.

Каждое сочетание k элементов из n порождает k! различных размещений без повторений из n по k с помощью различных перестановок (см. следствие 1). Таким образом, все сочетаний из k элементов из n после различных k! перестановок порождают все размещений без повторений из n по k. Поэтому . Следовательно,

.

Теорема доказана.

Отметим, что в ходе доказательства мы получили ещё одно выражение для :

. (7)

Пример 4. Сколько различных вариантов хоккейной команды можно составить из 9 нападающих, 5 защитников и 3 вратарей, если в состав команды должны войти 3 нападающих, 2 защитника и 1 вратарь?

Решение.

Трёх нападающих можно выбрать числом способов. Двух защитников из 5 можно выбрать числом способов. Комбинируя каждую тройку нападающих с каждой парой защитников, получим различных команд без вратаря. Комбинируя эти команды с каждым из 3-х вратарей, получим различных команд. (При вычислении и были использованы формулы 7).

1.6 Применение формул комбинаторики при решении задач по теории вероятности

Пример 1. В записанном номере телефона оказались стёртыми две последние цифры, но абонент помнит, что они различные. Найти вероятность того, что набирая номер наугад, он попадёт к нужному лицу?

Решение.

Пространством элементарных событий в этой задаче будет множество ={(0,1),(0,2),…,(8,9)} всевозможных упорядоченных пар различных цифр. Число таких пар, очевидно, равно числу размещений без повторений из 10 по 2 , поскольку всего цифр n=10 штук, а k=2. Пусть есть случайное событие, состоящее в том, что абонент набрал нужный номер. Очевидно, что состоит из какой-то одной пары (m,n), где m и n различные цифры, то есть есть элементарное событие. Следовательно =1. А поскольку по условию все исходы равновозможны, то из формулы (3), найдём . (Из 90 равновозможных исходов событию благоприятствует только одно).

Пример 2. Найти вероятность того, что при случайном выборе четырёх букв из слова “история” будут получены буквы, из которых можно составить слово “сито”.

Первое решение.

Общее число равновозможных исходов (то есть различных выборов 4-х букв данного слова) равно числу сочетаний 4 букв из 7 букв, составляющих слово “история”, то есть

.

Так как буквы “с” “т” и “о” в слове “история” могут быть выбраны одним способом, а буква “и” двумя способами, то число благоприятных исходов равно 1112=2. Следовательно, искомая вероятность .

Второе решение.

В этом примере пространство элементарных событий ={(т,я,и,и),(р,о,с,т),…} состоит из всевозможных четвёрок букв из слова “история” и порядок следования букв в четвёрках роли не играет. Поэтому =. Из этих четвёрок только две могут составить слово “сито”, поскольку буква “и” в слове “история” встречается два раза. Пусть есть случайное событие, состоящее в получении слова “сито”. Тогда =2, поскольку ={(с,и,т,о), (с,и,т,о)} (буквы “и” разные).А так как все четвёрки равновероятны, то

.

Известно, что теория вероятностей родилась в XVII веке, когда такие учёные, как Б. Паскаль, П. Ферма и Х. Гюйгенс, впервые стали подсчитывать вероятность появления различных комбинаций в азартных играх, таких как игра в кости и в карты. Рассмотрим пример из игры в “покер”.

Пример 3. Игра в “покер”. В колоде 52 карты от 2 до туза, четырёх мастей. Каждому игроку сдаётся 5 карт. Найти вероятность того, что данный игрок получит “три два”, то есть “три дамы и два туза”, или “три семёрки и два короля”, или “три двойки и две девятки” и т. д.

Решение.

Пять карт из 52 можно выбрать способами. Три карты из 4-х одинаковых (4 туза, 4 короля, и т. д.) можно выбрать способами. Всего имеется 13 четвёрок. Поэтому различные тройки можно выбрать 413 способами. Если тройка выбрана, то осталось 12 четвёрок. В каждой четвёрке две карты можно выбрать способами. Поэтому различные двойки можно выбрать 612 способами. Таким образом, различные комбинации “32” можно получить 413612 различными способами. Поэтому искомая вероятность равна .

1.7 Общие определения вероятности. Аксиомы А.Н. Колмогорова. Алгебра событий

В предыдущем параграфе мы рассмотрели классическое определение вероятности для случая, когда пространство элементарных событий конечно. Однако во многих практических ситуациях пространство является бесконечным (даже несчетным ).

Например, пусть опыт состоит в произведении выстрела по круглой мишени . В этом случае пространство элементарных событий бесконечно. Оно совпадает с множеством точек .

Определение вероятности событий в общем случае (для произвольных пространств ) строится аксиоматическим методом.

Система аксиом теории вероятности была построена в веке выдающимся советским математиком, академиком А. Н. Колмогоровым.

В аксиоматике А. Н. Колмогорова случайное событие отождествляется с соответствующим подмножеством пространства элементарных событий. Например, случайное событие, состоящее в том, что «на игральном кубике выпало нечетное число очков» есть подмножество пространства элементарных событий

Такой подход удобен тем, что благодаря ему операциям над случайными событиями, таким как, сумма и произведение, соответствуют операции объединения (или суммы) и пересечения (произведения) множеств.

Пусть задано некоторое множество . Его будем называть пространством элементарных событий, а элементы будем называть элементарными событиями.

Для любого подмножества будем обозначать через - дополнение множества .

Случайными событиями будем называть систему подмножеств множества , такую что

1. ;

2. Если , то ;

3. Если , то и

Напомним, что и также обозначаются, как и соответственно.

Замечание. Если конечно, то система представляет собой все возможные подмножества .

Определим в общем случае понятия совместных, несовместных, достоверных и недостоверных событий.

Определение. Рассмотрим случайные события Они называются несовместными, если

Определение. Пусть . Тогда события и называют противоположными. Событие называется достоверным, а событие (пустое множество) называется невозможным.

Определение. Система подмножеств со свойствами 1, 2, 3 называется алгеброй событий.

Аксиомы, задающие вероятность.

Пусть есть алгебра событий, определенная в пункте 1.

Определение. Вероятностью называется функция (на ), которая каждому случайному событию ставит в соответствие число и удовлетворяет следующим аксиомам:

Аксиома 1.

Аксиома 2.

Аксиома 3. Если случайные события попарно несовместимы (то есть т. ч. ) то

Замечание. Если имеется бесконечное число попарно несовместных событий то в правой части последнего ряда стоит сумма ряда.

Аксиомы 1-3 вместе с понятием алгебры событий являются фундаментом всей теории вероятности. Все утверждения и теоремы выводятся из них логическим путем.

Приведем некоторые из этих утверждений и теорем.

Утверждение 1.

Доказательство.

Так как и события и несовместимы, то из аксиом 1, 2, 3 следует

Утверждение доказано.

Замечание. При доказательстве утверждения 1 выведена полезная формула

Утверждение 2. (Вероятность суммы событий).

Доказательство.

Заметим сначала, что множества и можно представить в виде суммы непересекающихся множеств:

и

Далее из аксиомы сложения следует, что

и

Если из второго равенства вычесть первое, то получим требуемое равенство. Утверждение доказано.

Тема 2. Условная вероятность. Независимые события. Формула полной вероятности и Байеса

2.1 Условная вероятность. Независимые события

Пусть и случайные события из алгебры событий .

Определение. Вероятностью события при условии, что событие наступило, или просто условной вероятностью события называют выражение

(1)

Проиллюстрируем это понятие в случае, когда пространство элементарных событий конечно. Пусть , то есть есть число всевозможных исходов опыта. Пусть k, m есть количество исходов опыта при которых наступают события и соответственно (очевидно, что ). Тогда

и по определению

Это соответствует классическому определению вероятности для нового опыта, в котором общее количество исходов равно (в стольких случаях наступает событие ), а число случаев, когда еще наступает событие (то есть и наступают одновременно) равно .

Замечание. Условная вероятность обладает всеми свойствами обычной вероятности. Из формулы (1) следует также, что

(2)

Пример. Какова вероятность того, что вытащенная кость домино окажется «дуплем», если известно, что сумма очков на этой кости является четным числом?

Решение.

Пусть событие состоит в том, что вытащенная кость есть дупль, а событие состоит в том, что сумма очков на ней четна. Из 28 костей домино 16 имеют четную сумму и на 7 дублях сумма очков четна. Поэтому

Заметим, что безусловная вероятность

Определение. Случайные события и независимы, если наступление события не изменит вероятности наступления события :

(3)

Замечание. Если случайные события и независимы, то из формул (1), (2) следует следующее правило умножения вероятностей:

(4)

В дальнейшем независимость случайных событий и будет пониматься, как выполнение равенства (4).

Задача. Доказать, что если и независимы, то независимы также события и , и , и .

Пример. Брошены монета и игральная кость. Найти вероятность того, что выпадет «герб» или «6».

Решение.

Пусть и есть случайные события, состоящие в падении герба и шестерки соответственно. Пусть есть искомое случайное событие. Очевидно, что

Появление герба не влияет на появление шестерки. Поэтому события и независимы и

По формуле вероятности суммы событий

Замечание. При решении многих задач на вероятность мы будем следовать по такому же плану, как в последнем примере.

Приведем этот план:

1) Обозначить буквами события, рассматриваемые в задаче.

2) С помощью введенных обозначений выразить случайное событие, вероятность которого требуется найти.

3) Выбрать необходимую для решения формулу и выполнить необходимые вычисления.

2.2 Формула полной вероятности и Байеса

Пусть - пространство элементарных событий с алгеброй случайных событий .

Определение. Говорят, что случайные события образуют полную группу событий, если они попарно несовместны (то есть и

Такие случайные события называют также гипотезами. Заметим, что для полной группы событий из аксиом 2, 3 следует, что

Теорема. Пусть полная группа событий. Тогда

(5)

Доказательство.

Так как полная группа событий, то не трудно доказать, что

При этом события как и события попарно несовместны. Из последнего равенства, аксиомы 3 и формулы (2) следует (5). Теорема доказана.

Формула (5) называется формулой полной вероятности.

Пример. В первой урне находится три белых и четыре черных шара, а во второй - пять белых и два черных. Из первой урны во вторую перекладывается один шар. Какова вероятность того, что шар, вынутый наугад из второй урны, окажется белым?

Решение. Обозначим искомое событие через . Состав второй урны зависит от того, какой шар переложили из первой урны.

Обозначим через случайные события, состоящие в том, что из первой урны переложен белый и черный шары соответственно. Очевидно, что и составляют полную группу событий. Найдем

Если переложили белый шар (то есть верна гипотеза ), то во второй урне окажется 6 белых и 2 черных шара. Поэтому

Аналогично,

По формуле полной вероятности

В качестве следствия из формулы полной вероятности выведем формулу Байеса, которая в некотором смысле решает обратную задачу. Пусть полная группа событий. Допустим, что в результате некоторого опыта наступило случайное событие . Требуется найти вероятности выполнения гипотез то есть вычислить

Найдем вероятность , где Из формулы (2) следуют равенства

; ;

Приравнивая правые части, получим

; .

Выразив P(A) по формуле полной вероятности, выведем формулу

,

которая называется формулой Байеса.

Тема 3. Схема Бернулли. Формулы Муавра-Лапласа. Функция Лапласа и ее свойства

В этом параграфе мы рассмотрим одну стандартную ситуацию, которая может возникнуть при решении практических задач.

3.1 Последовательность независимых испытаний

Пусть A есть некоторое случайное событие по отношению к некоторому опыту у. Обозначим ; , где . В качестве примера рассмотрим опыт, состоящий в бросании игрального кубика, а в качестве A возьмем случайное событие, состоящее в выпадении 6^и очков. Очевидно, что в этом примере ; .

Пусть опыт у повторяется независимо n раз. В каждом испытании событие A может как наступить, так и не наступить. Обозначим через P_n(k) вероятность того, что при n независимых испытаниях событие A произойдет k раз, где k ? n.

Теорема (Бернулли). Имеет место формула.

. (1)

Определение. Формула (1) называется формулой Бернулли, а многократное повторение опыта у, при каждом из которых может наступить с одной и той же вероятностью событие A называется схемой Бернулли.

Задача. Доказать формулу (1).

Пример. Вернемся к первому примеру. Пусть игральный кубик бросается 3 раза. Найти вероятность того, что шестерка выпадет 2 раза.

Ответ дается формулой (1), в которой , , , :

.

Приведем еще две формулы, применяемые в задачах, связанных со схемой Бернулли.

Вероятность не наступления события A в течение n испытаний согласно формуле Бернулли равна

.

Пусть B есть событие, состоящее в том, что в n опытах событие A ни разу не произойдет. Пусть C есть случайное событие, состоящее в том, что в n опытах событие A произойдет хотя бы один раз. Очевидно, что B и C образуют полную группу событий. Поэтому .

По доказанному

.

Следовательно,

.

Определение. Число k = k₀, при котором вероятность P_n(k) является наибольшей, называется наивероятнейшим числом наступления события A в n испытаниях.

Теорема. Если и , то число k₀ удовлетворяет двойному неравенству

. (2)

Замечание. Если , то имеются два наивероятнейших значения и .

Пример. Игральный кубик бросается 20 раз. Каково наиболее вероятное число выпадений 6^и очков.

Решение.

В данном случае , , . Вычислим ; . Поэтому . Так как , то . Следовательно, наиболее вероятное число выпаданий шестерки равно 3.

Замечание. Из последней теоремы следует, что одно из двух целых чисел (а иногда оба), ближайших к числу np, являются наиболее вероятным числом успехов. Число np допускает и другую важную интерпретацию. А именно, np можно рассматривать в определенном смысле как среднее число наступлений события A в n опытах. Этот факт точно формулируется и строго обосновывается в предельных теоремах теории вероятности.

3.2 Приближенные формулы для P_n(k) при больших значениях n и k

Часто при решении задач приходится вычислять вероятности P_n(k) при больших значениях n и k, при которых вычисления по формуле Бернулли (1) сложно и громоздко. В этом случае используют приближенные формулы Муавра-Лапласса для случая, когда оба числа p и q не являются малыми. Приведем эти формулы.

Если n велико, то из локальной теоремы Муавра-Лапласса следует приближенная формула

, , (3) где

.

В конце пособия приведена таблица значений функции ц(x). Заметим, что ц(x) - четная функция, то есть ц(-x) = ц(x). Поэтому в таблице приводятся значения ц (x) только для положительных значений аргумента.

При больших n вероятности P_n(k) близки к 0. Поэтому на практике вычисляют вероятность попадания числа успехов в заданный промежуток.

Пусть k есть число наступлений события A в n опытах. Обозначим через P_n(k₁,k₂) вероятность того, что .

Если n велико, то из интегральной теоремы Муавра-Лапласса следует приближенная формула

, (4)

где , , (5)

а есть функция Лапласса:

. (6)

Таблица значений функции Ф приведена в конце пособия.

Перечислим без доказательства известные свойства функции Ф(x):

1. Ф(x) - нечетная функция.

2. Ф(x) - возрастает.

комбинаторика вероятность случайный величина

3. , .

График функции y = Ф(x) изображен на рисунке

Пример. Вероятность поражения мишени стрелком равна . Какова вероятность того, что при 300 выстрелах мишень будет поражена.

а) ровно 72 раз; б) от 66 до 84 раз?

Решение.

В этом примере n = 300, p = 1.25, q = 1 - 0.25 = 1.75, k = 72. В соответствии с формулами (3) вычисляем

;

По таблице значений ц (x) находим значение ц (-0,4) = ц (0.4) = 0.368. Тогда по формуле (3)

Далее по условию k₁ = 66, k₂ = 84. По формулам (5) вычислим

, .

Значение функции найдено по таблице.

Замечание. Если одно из чисел p или q близко к 0, то значения P_n(k), вычисленные по приближенным формулам, сильно отличаются от точных значений. В этом случае рекомендуется использовать приближенную формулу Пуассона. Приведем эту формулу.

Пусть вероятность p мала. Тогда

, где .

Тема 4. Случайные величины. Непрерывные и дискретные случайные величины. Закон распределения случайных дискретных величин. Бином распределения, распределение Пуассона

4.1 Определение случайной величины

Понятие случайной величины является одним из основных понятий теории вероятностей. Приведем сначала нестрогое определение случайной величины (точнее, не определение, а описание случайной величины).

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта принимает то или иное числовое значение, заранее не известно, какое именно (это зависит от случая).

Случайные величины обычно обозначают заглавными латинскими буквами X, Y, Z и т.д.

Примерами случайных величин являются:

1) количество покупателей в магазине в период времени с 10⁰⁰ до 12⁰⁰;

2) сумма очков, выпавших на двух игральных кубиках;

3) выручка магазина за день.

Сформулируем точное определение случайной величины.

Пусть есть пространство элементарных событий, а - алгебра случайных событий на .

Определение. Случайной величиной X называется действительная функция () на пространстве элементарных событий

,

такая, что при всех .

Принято различать два типа случайных величин. Они называются дискретными и непрерывными случайными величинами.

4.2 Дискретные случайные величины

Определение. Случайная величина X называется дискретной, если она принимает конечное или счетное число значений.

Пусть X - дискретная случайная величина, принимающая значения

x₁, x₂, …, x_n, …

В этом списке конечное или счетное число элементов.

Введем случайные события

.

(Из определения случайного события и свойств можно доказать, что ).

Обозначим p_n = P(A_n). p_n есть вероятность, с которой случайная величина X принимает значения x₁, x₂, …, x_n, … .

Таким образом, случайная величина X принимает значения x₁, x₂, …, x_n, … с вероятностями p₁, p₂, …, p_n, … .

Легко видеть, что события A₁, A₂, …, A_n, … образуют полную группу событий. Поэтому

p₁ + p₂ + … + p_n +… = 1 (1)

Определение. Таблица.

X	x1	x2	...	xn	...	(2)
P	p1	p2	...	pn	...

называется законом распределения дискретной случайной величины X.

Пример. Монета бросается два раза. Случайная величина X равна количеству появлений герба. Найти закон распределения X.

Решение.

Обозначим через Г и Р «герб» и «решку» соответственно. В этом примере

, где

w₁ = (Р, Р); w₂ = (Р, Г); w₃ = (Г, Р); w₄ = (Г, Г).

Случайная величина X принимает значения

x₁ = 0, x₂ = 1, x₃ = 2.

Составим соответствующие случайные события

A₁ = {w₁}, A₂ = {w₂, w₃}, A₃ = {w₄}.

Пользуясь классическим определением вероятности, найдем

, , .

(Заметим, что эти вероятности можно найти и по формуле Бернулли).

Закон распределения имеет вид

X	0	1	2	(3)
P	0.25	0.5	0.25

Заметим, что равенство (1) здесь принимает вид 0.25 + 0.5 + 0.25 = 1. Равенство (1) можно проверять как контрольную сумму при решении задач такого типа.

4.3 Характеристики случайных величин

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины X с законом распределения (2) называется величина

M[X] = p₁x₁ + p₂x₂ + ... + p₃x₃ + ... (4)

Замечание. Математическое ожидание представляет взвешенное среднее значение случайной величины с весовыми коэффициентами равными соответствующим вероятностям. Математическое ожидание часто также называют средним значением случайной величины.

В дальнейшем, наряду с обозначением (4), для математического ожидания M[X] будем использовать обозначение .

Заметим, что если X и Y случайные величины, то X ², Y ², CX, X + C, X - C ( где ) и X + Y также являются случайными величинами.

Перечислим основные свойства математического ожидания.

1⁰. M[C] = C, где С есть случайная величина, принимающая только постоянное значение С, то есть величина с законом распределения

X	C
P	1

2⁰. M[CX] = C M[X] ;

3⁰. M[X + Y] = M[X] + M[Y].

Определение. Дисперсией дискретной случайной величины X с законом распределения (2) называется величина

(5)

Величина называется среднеквадратическим отклонением случайной величины X.

Заметим, что дисперсия характеризует величину отклонения (рассеивания) случайной величины X от ее среднего значения .

Если рассмотреть случайную величину , то очевидно, что

(7)

Утверждение. Если X дискретная случайная величина, то

(8)

Доказательство.

Из (7) и свойств 1⁰ - 3⁰ следует

Утверждение доказано.

Сформулируем основные свойства дисперсии дискретной случайной величины:

1⁰. D[C] = 0;

2⁰. D[CX] = C² D[X];

3⁰. D[бX + в] = б² D[X].

4.4 Примеры дискретных случайных величин

Приведем примеры часто встречающихся случайных величин.

1. Равномерно распределенная случайная величина.

Определение. Случайная величина X называется равномерно распределенной, если она принимает конечное число значений с одинаковой вероятностью, то есть закон распределения имеет вид.

X	x1	x2	...	xn
P	p	p	...	p

где pn = 1, то есть

.

Задача. Доказать, что

.

Пример. Бросается игральный кубик. Случайная величина X равна числу выпавших очков. Закон распределения X имеет вид

X	1	2	3	4	5	6
P

2. Биномиальное распределение.

Производится n независимых опытов. В каждом из них с одной и той же вероятностью p может наступить некоторое событие A. Случайная величина X равна числу наступлений события A в n опытах. Закон распределения случайной величины X имеет вид

X	0	1	2	...	k	...	n - 1	n
P	Pn(0)	Pn(1)	Pn(2)	...	Pn(k)	...	Pn(n - 1)	Pn(n)

где по формуле Бернулли

.

Задача.

Доказать, что

3. Геометрическое распределение.

Рассмотрим схему Бернулли. Пусть и Случайная величина X равна количеству испытаний до первого наступления события .

Очевидно, что X может принимать любое значение Легко видеть, что случайная величина X примет значение если наступит событие Так как все испытания независимы, то

Поэтому закон распределения имеет вид

Задача. Доказать, что

4. Распределение Пуассона.

Определение. Говорят, что дискретная случайная величина распределена по закону Пуассона, если ее закон распределения имеет вид

Здесь л > 0.

Задача. Доказать, что

Тема 5. Функция распределения случайной величины. Нормально распределенные случайные величины

Пусть X случайная величина на пространстве элементарных событий с алгеброй случайных событий .

Определение.

Функцией распределения случайной величины X называется функция , определяемая равенством

В дальнейшем будем использовать следующие обозначения:

Аналогично определяются вероятности

Сформулируем без доказательства основные свойства функции распределения.

не убывает.

То есть непрерывна слева.

Заметим, что свойство является очевидным следствием свойства .

Задача. Доказать свойства

Если X дискретная случайная величина с таблицей распределения (2), то не трудно построить график ее функции распределения

Графиком является ступенчатая функция, изображенная на рисунке. Из этого графика видно, что закон распределения случайной величины можно найти через значения функции распределения:

где (или , если - наибольшее значение X).

Таким образом, дискретная случайная величина полностью определяется своей функцией распределения.

Непрерывная случайная величина.

Определение. Случайная величина X называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна при всех .

Утверждение. Если X непрерывная случайная величина, то , то есть вероятность каждого отдельного значения непрерывной случайной величины равна 0.

Доказательство.

Легко видеть, что

Утверждение доказано.

Определение. Пусть функция дифференцируемая на всей , за исключением, быть может, конечного или счетного множества точек . Плотностью вероятности случайной величины X называется функция

Для большинства непрерывных случайных величин имеет место формула

(9)

где справа в формуле стоит несобственный интеграл.

Задача. Доказать формулу (9) в случае, когда непрерывна на .

Из свойств функции распределения вытекают следующие свойства плотности вероятности.

Если есть плотность вероятности непрерывной случайной величины X, то

Примеры непрерывных случайных величин.

Равномерное распределение на отрезке.

Определение. Случайная величина X называется равномерно распределенной на отрезке , если она имеет плотность вероятности следующего вида:

где График изображен на рисунке.

Пусть отрезок и длина его равна Тогда

Таким образом, вероятность попаданий значений X в любую часть отрезка пропорционально длине этой части.

Приведем пример равномерно распределенной случайной величины.

Пусть есть интервал движения между троллейбусами на городской линии. Пусть случайная величина X равна времени ожидания троллейбуса на остановке. Случайная величина X равномерно распределена на отрезке

Нормально распределенная величина.

На практике широко распространены случайные величины, плотность распределения вероятности которых определяется функцией

где и - некоторые постоянные числа и . В этом случае говорят, что случайная величина X распределена по закону Гаусса или по нормальному закону.

Утверждение. Плотность вероятности нормально распределенной случайной величины удовлетворяет свойству .

Доказательство.

.

(см. замечание на стр. 18). Утверждение доказано.

Если X есть нормально распределенная величина с параметрами и , то говорят, что X распределена по закону

График плотности вероятности нормального распределения называют нормальной кривой.

Он симметричен относительно прямой и при достигает максимума. При увеличении кривая становится более пологой. На рисунке представлены нормальные кривые при При любом площадь под кривой, согласно свойства , равна 1.

Задача. Доказать, что точки являются точками перегиба.

Утверждение. Если X распределена по закону , то

(10)

где есть функция Лапласа, определенная на стр. 62.

Доказательство.

=

Утверждение доказано.

Следствие. Если X распределена по закону , то

(11)

Доказательство.

Согласно (10)

где найдено по таблице.

Утверждение доказано.

Таким образом, событие, состоящее в том, что является практически достоверным. Это правило называется «правилом трех сигм».

Нормально распределенные случайные величины играют важную роль в теории вероятностей. Дело в том, что распределение многих случайных величин, встречающихся в жизни, близко к нормальному распределению. Этот факт является следствием Центральной предельной теоремы теории вероятностей, которую доказал в 1901 году выдающийся русский математик А.М. Ляпунов. В общих чертах содержание формулировки Центральной предельной теоремы может быть высказано следующим образом.

Распределение суммы большого числа независимых случайных величин (не обязательно нормально распределенных) при весьма общих условиях близко к нормальному распределению.

Этим и определяется особая роль, нормально распределенных случайных величин, поскольку с суммами большого числа случайных слагаемых приходится часто иметь дело и в самой теории вероятностей и в ее приложениях.

Проиллюстрируем вышесказанное на следующем примере. Рассмотрим производство, на котором изготовляются большие партии однотипных изделий. Все наиболее существенные характеристики выпускаемых изделий должны соответствовать определенному стандарту. Однако в действительности наблюдаются отклонение от стандарта, которые порождаются причинами случайного характера (следует учесть, что выпуск изделий связан , как правило, со многими операциями, некоторые из которых не могут быть выполнены абсолютно точно). Каждая из этих причин сама по себе порождает ничтожную ошибку X , но, складываясь, такие ошибки, могут давать ощутимые отклонения от стандарта. Здесь, опираясь на Центральную предельную теорему, можно утверждать, что суммарное отклонение от стандарта представляет случайную величину, закон распределения которой близок к нормальному закону распределения.

Можно привести много подобных примеров из жизни. Они объясняют, почему нормальный закон так часто встречается в практических задачах.

Тема 6. Числовые характеристики случайных дискретных величин: математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратичное отклонение

6.1 Математическое ожидание и дисперсия

Определение. Пусть X непрерывная случайная величина, имеющая

плотность вероятности такую, что интегралы

и

сходятся.

Определение. Математическим ожиданием случайной величины X называется выражение

Определение. Дисперсией случайной величины X называется

Определение. Величина называется среднеквадратическим отклонением.

Теорема. Для справедливы следующие формулы:

и

Для математического ожидания и дисперсии непрерывной случайной величины справедливы свойства математического ожидания и дисперсии дискретной случайной величины.

Сформулируем еще одно свойство.

Теорема. Если X и Y независимые случайные величины, то

и

Математическое ожидание и дисперсия нормально распределенной величины определяются в следующей теореме.

Теорема. Если X есть нормально распределенная величина, распределенная по закону , то

Задача. Найти математическое ожидание и дисперсию равномерно распределенной случайной величины.

6.2 Нормированные случайные величины

...