Теория вероятности
Формулы комбинаторики и вероятность. Классическое определение вероятности. Непрерывные и дискретные случайные величины. Закон распределения случайных дискретных величин, их числовые характеристики. Статистические методы обработки экспериментальных данных.
| Рубрика | Математика |
| Вид | учебное пособие |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 29.09.2017 |
| Размер файла | 190,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Определение. Случайная величина X называется нормированной, если
и
Из любой случайной величины с помощью линейного преобразования можно получить нормированную.
Теорема. Если X произвольная случайная величина и , то случайная величина - нормированная.
Доказательство.
Воспользовавшись свойствами математического ожидания и дисперсии, получим
Теорема доказана.
Тема 7. Статистические методы обработки экспериментальных данных. Выборка, генеральная совокупность. Относительные частоты. Гистограмма. Статистическая средняя и дисперсия. Статистическое оценивание и проверка гипотез. Случайные процессы
7.1 Определение характеристик случайных величин на основе опытных данных
Предположим, что изучается некоторая случайная величина X. С этой целью производится ряд независимых испытаний, в каждом из которых величина X принимает то или иное значение. Совокупность полученных значений x1, x2, ..., xn величины X, где n - число испытаний, называют выборкой или статистическим рядом. Этот ряд играет роль числового материала, подлежащего дальнейшей обработке и анализу. Разработкой методов, позволяющих по результатам обследования выборки делать обоснованные заключения о характере случайной величины X, занимается математическая статистика. Эта наука возникла в 17 веке и развивалась параллельно с теорией вероятностей. На практике методы математической статистики используются в тех случаях, когда требуется изучить распределение большой совокупности предметов по некоторому признаку, например, распределение множества людей по возрасту и т.д. Так как практически любой признак допускает количественную оценку, то, вместо того чтобы говорить о распределении предметов по признаку, можно говорить о распределении некоторой случайной величины. С этой точки зрения, испытание, с которым связана случайная величина, заключается в выборе наугад одного представителя данной совокупности, а значение, принимаемое случайной величиной, есть значение признака для этого представителя. Введем следующее определение.
Определение 1. Выборочной совокупностью (выборкой или статистическим рядом) называется совокупность случайно отобранных объектов. Генеральной совокупностью называется совокупность всех объектов, из которых производится выборка. Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называется число всех объектов этой совокупности.
Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объемом n. Расположим результаты выборки в таблице.
|
i (номер испытания) |
1 |
2 |
... |
n |
|
|
значение лi случайной величины X в i-м испытании |
л1 |
л2 |
... |
лn |
Среди приведенных значений случайной величины X могут быть и равные. Объединив равные значения случайной величины X, получим следующую таблицу:
|
значение xi случайной величины X |
x1 |
x2 |
... |
xk |
|
|
число xi появлений значения xi |
n1 |
n2 |
... |
nk |
где k - число различных возможных значений величины X.
Определение 2. Наблюдаемые в выборке значения x1, x2, ..., xk случайной величины X называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке - вариационным рядом.
Числа n1, n2, ..., nk называют частотами соответствующих значений случайной величины X. Отношение частоты ni к объему выборки n называется относительной частотой значения xi и обозначается через wi, т. е.
, .
Очевидно, что сумма частот всех значений случайной величины равна объему выборки, т.е. n1 + n2 + ... + nk = n. Отметим также, что
,
т.е. сумма относительных частот всех значений случайной величины X равна единице.
Определение 3. Статистическим распределением случайной величины X называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.
Как правило, статистическое распределение записывают в виде таблицы (1):
|
X |
x1 |
x2 |
... |
xk |
|
|
w |
w1 |
w2 |
... |
wk |
Если X - непрерывная случайная величина, то ее статистическое распределение целесообразно представить в виде:
|
X |
(c1,c2) |
[c2,c3) |
... |
[cs-1,cs) |
|
|
W |
w1 |
w2 |
... |
wk |
где (cs-1,cs) (или [cs-1,cs)) - промежуток, которому принадлежат все возможные значения случайной величины X, а wi - относительная частота попаданий случайной величины X в данный промежуток.
Для наглядности статистическое распределение дискретной случайной величины иллюстрируется полигоном распределения: точки с координатами (x1, w1), (x2, w2), ... , (xk, wk) изображают на координатной плоскости и соединяют их прямолинейными отрезками:
Для иллюстрации распределения непрерывной случайной величины используются гистограммы - ступенчатые фигуры, состоящие из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы (ci,ci+1), , а площади прямоугольников равны соответственно wi, :
Гистограмма представляет собой приближение графика плотности распределения непрерывной случайной величины.
Рассмотрим числовые характеристики дискретной случайной величины, заданной статистическим распределением.
Определение 4. Средним значением случайной величины X, заданной статистическим распределением (1), называют число , равное
(2)
Число определяет среднее значение X для выборки. Если в качестве выборки рассматривать всю генеральную совокупность (объема N), то число будет представлять собой вероятность, с которой случайная величина X принимает значение , , и равенство (2) можно записать в виде
.
Это означает, что для выборочной совокупности достаточно большого объема справедливо .
Определение 5. Статистической дисперсией случайной величины X, заданной статистически распределением (1), называется число
(3)
Из равенства (3) следует, что число является средним значением случайной величины . Поэтому при большом объеме выборки имеет место приближенное равенство .
Определение 6. Число называют средним квадратическим отклонением случайной величины X, заданной статистическим распределением (1).
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Классическое, статистическое и геометрическое определения вероятности. Дискретные случайные величины и законы их распределения. Числовые характеристики системы случайных величин. Законы равномерного и нормального распределения систем случайных величин.
дипломная работа [797,0 K], добавлен 25.02.2011Описание случайных ошибок методами теории вероятностей. Непрерывные случайные величины. Числовые характеристики случайных величин. Нормальный закон распределения. Понятие функции случайной величины. Центральная предельная теорема. Закон больших чисел.
реферат [146,5 K], добавлен 19.08.2015Дискретные случайные величины и их распределения. Формула полной вероятности и формула Байеса. Общие свойства математического ожидания. Дисперсия случайной величины. Функция распределения случайной величины. Классическое определение вероятностей.
контрольная работа [33,8 K], добавлен 13.12.2010Понятие и направления исследования случайных величин в математике, их классификация и типы: дискретные и непрерывные. Их основные числовые характеристики, отличительные признаки и свойства. Законы распределения случайных величин, их содержание и роль.
презентация [1,4 M], добавлен 19.07.2015Статистическое, аксиоматическое и классическое определение вероятности. Дискретные случайные величины. Предельные теоремы Лапласа и Пуассона. Функция распределения вероятностей для многомерных случайных величин. Формула Байеса. Точечная оценка дисперсии.
шпаргалка [328,7 K], добавлен 04.05.2015Элементы линейной алгебры. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной. Биномиальный закон распределения. Комбинаторные формулы. Статистическое определение вероятности. Формула полной вероятности. Дискретные случайные величины.
творческая работа [686,3 K], добавлен 30.04.2009Классификация случайных событий. Функция распределения. Числовые характеристики дискретных случайных величин. Закон равномерного распределения вероятностей. Распределение Стьюдента. Задачи математической статистики. Оценки параметров совокупности.
лекция [387,7 K], добавлен 12.12.2011Дискретные системы двух случайных величин. Композиция законов распределения, входящих в систему. Определение вероятности попадания случайной величины в интервал; числовые характеристики функции; математическое ожидание и дисперсия случайной величины.
контрольная работа [705,1 K], добавлен 22.11.2013Классическое определение вероятности события. Способы вычисления наступления предполагаемого события. Построение многоугольника распределения. Поиск случайных величин с заданной плотностью распределения. Решение задач, связанных с темой вероятности.
задача [104,1 K], добавлен 14.01.2011Теория вероятностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Методы решения задач по теории вероятности, определение математического ожидания и дисперсии.
контрольная работа [157,5 K], добавлен 04.02.2012Определение вероятности появления события в каждом из независимых испытаний. Случайные величины, заданные функцией распределения (интегральной функцией), нахождение дифференциальной функции (плотности вероятности), математического ожидания и дисперсии.
контрольная работа [59,7 K], добавлен 26.07.2010Случайное событие и его вероятность. Теорема сложения вероятностей. Закон равномерной плотности вероятности. Случайные величины. Функция распределения и ее свойства. Как наука теория вероятности зародилась в 17 веке.
реферат [96,2 K], добавлен 12.02.2005Вероятность события. Теоремы сложения и умножения событий. Теорема полной вероятности события. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли, формула Пуассона, формула Муавра-Лапласа. Закон распределения вероятностей случайных дискретных величин.
контрольная работа [55,2 K], добавлен 19.12.2013События и случайные величины. Функция распределения и ее характерные свойства. Сущность и определение основных числовых характеристик случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, моменты. Критерии и факторы, влияющие на их формирование.
контрольная работа [118,5 K], добавлен 30.01.2015Изучение сути и выдвижение предположения о законе распределения вероятности экспериментальных данных. Понятие и оценка асимметрии. Принятие решения о виде закона распределения вероятности результата. Переход от случайного значения к неслучайной величине.
курсовая работа [126,0 K], добавлен 27.04.2013Бесконечное число возможных значений непрерывных случайных величин. Рассмотрение непрерывной случайной величины Х с функцией распределения F(x). Кривая, изображающая плотность вероятности. Определение вероятности попадания на участок a до b через f(x).
презентация [64,0 K], добавлен 01.11.2013Знакомство с основными понятиями и формулами комбинаторики как науки. Методы решения комбинаторных задач. Размещение и сочетание элементов, правила их перестановки. Характеристики теории вероятности, ее классическое определение, свойства и теоремы.
презентация [1,3 M], добавлен 21.01.2014Вероятность совместного выполнения двух неравенств в системе двух случайных величин. Свойства функции распределения. Определение плотности вероятности системы через производную от соответствующей функции распределения. Условия закона распределения.
презентация [57,9 K], добавлен 01.11.2013Вероятность и ее общее определение. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Дискретные случайные величины и их числовые характеристики. Закон больших чисел. Статистическое распределение выборки. Элементы корреляционного и регрессионного анализа.
курс лекций [759,3 K], добавлен 13.06.2015Возможные варианты расчета вероятности событий. Выборочное пространство и события, их взаимосвязь. Общее правило сложения вероятностей. Законы распределения дискретных случайных величин, их математическое ожидание. Свойства биномиального распределения.
презентация [1,4 M], добавлен 19.07.2015
