, (1.3)

(1.4)

В случае точных предельных установок (при ) выражение (1.4) переходит в формулу

(1.5)

где - половина расстояния между питающими электродами.

3. Трехточечная установка.

Если в прямолинейной четырехточечной установке электрод В отнести на бесконечность (), получающаяся схема измерений носит название трехточечной установки (рис.3). Такая установка возникает на практике, если электрод В удален настолько далеко от точек измерения, что создаваемое им электрическое мало по сравнению с полем электрода А. На поверхности однородного полупространства разность потенциалов, измеряемая трехточечной установкой, определяется формулой, получаемой из (1.1) при и :

(1.6)

Предельная трехточечная установка называется установкой Гуммеля. Для нее формула (1.2) записывается как

, (1.7)

где - расстояние от точки А до точки измерения поля О.

Формулы (1.1) - (1.7) показывают, что измеряемые разности потенциалов и электрическое поле на поверхности однородной Земли прямо пропорциональны . Конечная цель геоэлектрических исследований - определение удельного электрического сопротивления земли по результатам геофизических измерений, поэтому выразим удельное сопротивление из (1.1) через остальные величины:

, (1.8)

где - геометрический коэффициент установки:

(1.9)

В случае установки Шлюмберже из (1.3)

, (1.10)

Для трехточечной установки из (1.6) получаем

(1.11)

Из (1.2) для предельных установок

(1.12)

где для симметричной предельной установки (Шлюмберже) из (1.5) имеем:

, (1.13)

а для установки Гуммеля из (1.7):

. (1.14)

Формулы (1.8 - 1.14) позволяют по известной силе тока I в питающей цепи и разности потенциалов между измерительными электродами, расположенными на поверхности однородной сферы, или величине напряженности поля определить удельное электрическое сопротивление этой среды.

Однако реальный разрез земли далеко не однороден. Поэтому при подстановке, например в (1.8) результатов реальных измерений мы получаем не истинное удельное сопротивление какого-либо слоя земли, а некоторую фиктивную кажущуюся величину , называемую кажущимся удельным электрическим сопротивлением:

(1.15)

Кажущееся удельное электрическое сопротивление заведомо отличается от истинного сопротивления слоев земли и носит фиктивный характер. Тем не менее, он позволяет в конечном итоге после соответствующего анализа судить об ис тинном сопротивлении земли.

Выводы

На лекции 18 мы рассмотрели;

1) Установку Шлюмберже.

2) Трехточечную установку Гуммеля.

3) Кажущееся электрическое сопротивление.

4) Прямые и обратные задачи электроразведки.

5) Граничные условия.

Лекция 19

В качестве примера рассмотрим геологический разрез земли, состоящий из трех горизонтальных слоев различного удельного сопротивления . Расположим на поверхности земли установку Шлюмберже. Глубина проникновения постоянного электрического поля в землю определяется половиной расстояния между питающими электродами и . Предположим вначале, что расстояние АВ намного меньше толщины 1-слоя. Тогда все поле, посылаемое в землю, затухает, не достигая второго слоя. Иными словами, поле «не чувствует» второго и тем более третьего слоев, для него весь разрез как бы состоит из пород первого слоя, т.е. является однородным с сопротивлением . Следовательно, кажущееся сопротивление, вычисленное для такой установки, совпадает с сопротивлением первого слоя: .

Если увеличить расстояние (разнос) между питающими электродами и , причем так, чтобы было соизмеримо с толщиной первого слоя, то поле проникает во второй слой, и на величину будет оказывать влияние как , так и . При дальнейшем увеличении разносов АВ поле проникает в третий слой и сопротивление так же начинает влиять на. Таким образом, по мере увеличения разносов питающих электродов электрическое поле все глубже проникает в землю. Это методика получила название вертикального электрического зондирования (ВЭЗ). Основной полевой материал работ методом ВЭЗ - полевые кривые кажущихся сопротивлений: графики зависимости от параметра глубинности исследования . При построении этих графиков с целью удобства по вертикальным и горизонтальным осям декартовой системы координат откладывают не сами значения и , а их логарифмы. Поэтому кривые ВЭЗ строят на билогарифмических бланках с модулем М=6,25 см.

Длина приемной линии не должна превышать . С увеличением разноса сигнал ослабевает и приходится переходить с малой линии на большую. Иногда делают три-четыре перехода. Во время перехода замеры выполняют дважды: на малой и большой линиях MN. Таким образом осуществляется перекрытие измерений в местах стыка двух различных показаний. Кривая кажущегося сопротивления качественно отражает изменение удельного сопротивления пород по вертикали.

Постановка прямой задачи электроразведки для горизонтально-слоистой модели земли

Теория электроразведки базируется на решении прямых и обратных задач электродинамики.

Прямой задачей называют отыскание элементов поля на поверхности или внутри заданной модели среды при известном расположении источников поля. Форму модели подбирают такой, чтобы она максимально соответствовала типичным геологическим моделям среды и в то же время допускала строгое математическое решение, на основе которого можно было бы производить количественные расчеты. Например, контакт двух сред, вертикальный или наклонный пласт, горизонтально-слоистое полупространство, шар, эллипсоид и другие.

Обратной задачей называют воссоздание внутренней структуры модели среды по найденному распределению элементов поля на ее поверхности или внутри среды. Например, по наблюденной аномалии потенциала естественного электрического поля определяют местоположение, форму и глубину залегания рудного тела, являющегося природным источником наблюдаемой аномалии; по результатам ВЭЗ делают заключение о последовательности залегания пластов с различной электропроводностью и находят глубину залегания границ пластов.

Таким образом, прямые и обратные задачи в совокупности составляют физико-математическое обеспечение приемов интерпретации.

Найдем потенциал электрического поля при следующих условиях:

среда состоит из конечного числа слоев, разделенных плоскими горизонтальными границами; в основании лежит слой, который простирается на бесконечную глубину, остальные слои имеют конечную мощность;

каждый слой электрически однороден и изотропен;

поле возбуждается точечным источником тока, который расположен на земной поверхности;

ток является постоянным или низкочастотным переменным;

При этом должны быть соблюдены следующие граничные условия:

на всех границах в земле электрический потенциал должен быть непрерывен;

на всех границах в земле вертикальная компонента плотности тока должна быть непрерывна;

3) на земной поверхности вертикальная компонента плотности тока должна быть равна нулю, за исключением бесконечно малой окрестности источника тока; причина этого состоит в том, что плотность тока в воздухе равна нулю и по условию (2) вертикальная компонента плотности тока в земле на нулевой глубине также должна быть равна нулю.

4) вблизи источника тока потенциал должен приближаться к бесконечности, как а на бесконечной глубине потенциал должен стремиться к нулю.

Электрический потенциал U в условиях постоянного тока удовлетворяет дифференциальному уравнению Лапласа U =0.

В данном случае, потенциал должен быть цилиндрически симметричен по отношению к вертикальной линии, проходящей через источник тока, поэтому удобнее перейти к цилиндрическим координатам z, r, (рис.4):

Рис.4.

.

Если мы хотим, чтобы решение этого уравнения было симметрическим по отношению вертикальной оси, то . Тогда уравнение упрощается:

(2.1)

Общее решение уравнение (2.1) можно представить в виде

, (2.2)

где - функция Бесселя нулевого порядка, - произвольные функции от .

В случае расположения точечного источника на поверхности горизонтально-слоистой земли, для каждого i-слоя можно написать

(2.3).

С учетом граничных условий (1)-(4) потенциал на земной поверхности имеет вид

, (2.4)

где I - сила тока, - удельное сопротивление 1-слоя, -переменная интегрирования, r - расстояния от источника тока до точки измерения,

- керн-функция Стефанеску, зависит от удельных сопротивлений - и глубин замечания границы i- слоя.

Если ввести керн-функцию Слихтера

(2.5)

то уравнение (2.4) можно записать в более компактном виде:

(2.6)

Для керн-функций Слихтера можно ввести более удобные рекурентные соотношения Пекериса. На рис.5 слева изображена

Рис.5.

первоначальная совокупность слоев, а справа показано, как действуют рекурентные соотношения Пекериса: новый слой добавляется сверху, а электроды переносятся на верхнюю поверхность нового слоя. Тогда на верхнем слое можно определить из соотношений:

(2.7)

- для основания, где - мощность i-слоя. Уравнения (2.7) может быть обращено, т.е.

(2.8).

В такой форме рекурентное соотношение Пекериса описывает удаление верхнего слоя, сопровождаемое переносом электродов на поверхность подстилающего слоя, т.е. рекурцией к нижней границе.

Согласно О.Куфуду введем трансформанту сопротивления.

(2.9)

Выразив рекурентные соотношения Пекериса через трансформанту сопротивления, получим

(2.10)

и в обращенной форме

 (2.11)

Трансформанта сопротивления имеет физическую размерность удельного сопротивления. Эта функция параметров слоев и параметра , который имеет размерность обратного расстояния. Теперь можно определить соотношение между кажущимся сопротивлениям и трансформантой сопротивления для установки Шлюмберже. Для этого в формулу

где - полуразносы питающих и измерительных электродов (рис.6), надо вместо подставить выражение из (2.4).

Тогда получим Рис.6.

(2.12)

где

Это уравнения согласно (2.5), (2.8) удобно записать в виде

(2.13)

По последнему уравнению можно теоретически определять , т.е. решать прямую задачу ВЭЗ.

Выводы

На лекции 19 были рассмотрены:

1) Постановка прямой задачи электроразведки для горизонтально-слоистой модели земли.

2) Решение уравнения Лапласа.

3) Трансформанта сопротивления.

4) Соотношения Пекериса

Лекция 20

Численное решение прямой задачи с помощью линейных фильтров

В начале мы преобразуем полученные уравнения для , вводя логарифмические переменные. Преимущество логарифмического масштаба перед линейным заключается в том, что кривые кажущегося сопротивления и трансформанты сопротивления становятся более регулярными, т.е периоды оссиляций функций не очень сильно изменяются вдоль кривых. Вводя независимые логарифмические переменные, надо учесть, что имеет физическую размерность обратного расстояния, и чтобы независимые переменные в функциях сопротивления и трансформанты сопротивления были сопоставимы по размерности. В связи с этим определяем переменные x и y следующим образом:

Тогда для теоретической установки Шлюмберже из (2.12) имеем

, (3.1).

Для расчета значений кажущегося сопротивления применим метод линейных фильтров, разработанный Гошем. При линейной фильтрации мы определяем значения как линейную комбинацию дискретных значений (отсчетов )

Дискретизация ведется с постоянным шагом по оси абсцисс, коэффициенты линейной комбинации называются коэффициентами фильтра. Для нахождения коэффициентов фильтра используем следующую теорему Котельникова:

Если функция представлена ее дискретными значениями в точках с абсциссами , то при любой абсциссе y

, (3.2)

где - начало отчета на оси абсцисс.

В качестве примера, рассмотрим соотношения между кажущимся сопротивлением и трансформантой сопротивления в установке Шлюмберже. Подставим в уравнение (2.12) функцию из (3.2):

(3.3)

Это можно записать так

(3.4)

где -интегралы из уравнения (3.3) являются коэффициентами фильтра.

Введем обозначение и представим коэффициенты фильтра в виде:

, (3.5)

из этого уравнения видно, что коэффициент фильтра зависит только от , т.е. от расстояния по оси абсцисс от точки отсчета до точки , в которой определяется . Следовательно, эту функцию можно рассматривать как непрерывную функцию от ; эту функцию будем называть - откликом фильтра. Функция при приближается к нулю. Практически это означает, что в (3.4) достаточно просуммировать конечное число членов, т.е. фильтр может быть ограничен конечным числом коэффициентов (число коэффициентов будем называть длиной фильтра).

Расчет теоретических кривых состоит из двух этапов. На первом этапе по параметрам слоев вычисляются дискретные значения трансформанты сопротивления. Расчет ведется с помощью рекуррентных соотношений Пекериса (2.9).

Второй этап вычислений состоит в применении линейных фильтров, преобразующих дискретные значения кажущегося сопротивления. Эту операцию можно определить уравнением

, (3.6)

Здесь - абсцисса точки выходной функции (кажущегося сопротивления), - абсцисса первой точки входной функции (трансформанты сопротивления); если сдвиг между отсчетами входной и выходной функции отсутствует, то .

Выводы

На лекции 20 мы исследовали:

1) Численное решение прямой задачи электроразведки с помощью линейных фильтров.

2) Алгоритм и блок-схема решения прямой задачи.

3) Переменные и константы для составления программы на языке Турбо-Паскаль.

Лекция 21

Постановка обратной задачи электроразведки для горизонтально-слоистой модели земли. Численное решение обратной задачи градиентным методом

В настоящее время численные методы интерпретации электроразведочных данных с использованием компьютера повсеместно вытесняют палеточные (ручные) способы. В основе большинства автоматизированных методов интерпретации лежит та же идея подбора, которая является основой палеточного способа. При этом, компьютер не хранит в своей памяти различные кривые зондирования, т. е. не располагает альбомом палеток, как это было при ручной интерпретации, а непосредственно рассчитывает все необходимые по ходу подбора теоретические кривые по специально заложенным в компьютер программам.

Создание автоматизированных систем интерпретации электроразведочных данных связано с принципиальными трудностями. Одна из них - некорректность обратной задачи ВЭЗ, характеризующейся неустойчивостью решения относительно малых изменений исходных данных. Однако благодаря исследованиям ученых А. Н. Тихонова, М. М. Лаврентьева, В. К. Иванова, В. Н. Страхова и других был разработан принципиально новый подход к решению некорректных задач. Он позволил на основе использования различной дополнительной информации получать приближенные решения, устойчивые к малым изменениям исходных данных, что открыло новые перспективы в создании автоматизированных систем интерпретации.

Обозначим через теоретическую кривую кажущегося сопротивления, отвечающую N-слойному разрезу с толщиной и удельными электрическими сопротивлениями . Обозначим через соответствующую полевую кривую, которую необходимо проинтерпретировать, т. е. определить параметры разреза, над которым она получена. Пусть далее обозначает величину в j-й отсчетной точке на полевой кривой, а - соответствующее значение теоретической кривой в j-й отсчетной точке. Тогда задача подбора искомых параметров разреза может быть сведена к минимизации функции Е, равной сумме квадратов разностей и :

, (4.1)

где M - общее число отсчетных точек, вектор, составленный из параметров геоэлектрического разреза. При этом требуется, чтобы выполнялось условие .

Выводы

на лекции 21 были рассмотрены

1) Постановка обратной задачи для горизонтально-слоистой модели земли.

2) Понятие корректности задачи.

3) Регуляризация задачи по А.Н.Тихонову

Лекция 22

Задача подбора решается на основе итерационной процедуры, состоящей в последовательной коррекции вектора параметров и образовании последовательности , , наборов этих параметров, минимизирующей Е. При этом корректировка параметров осуществляется с помощью градиентных методов, при которых теоретические кривые зондирования, полученные на каждом последующем итерационном шаге, лежат ближе (в смысле уменьшения функционала Е) к полевой кривой, чем кривые, найденные на предыдущем шаге. Итерационная процедура завершается тогда, когда функционал Е становится соизмеримым с величиной , характеризующей среднеквадратическую точность определения .

Если обратная задача решается в классе одномерных геоэлектрических моделей с небольшим числом N слоев, причем каждый из слоев предполагается достаточно «толстым» настолько, чтобы избежать действия принципа эквивалентности, ее решение в соответствии с теорией регуляризации Тихонова получается устойчивым. Иными словами, минимизация функционала невязки в классе моделей с небольшим числом достаточно толстых слоев - это простейшая форма регуляризации.

Рассмотрим градиентный метод для решения обратной задачи в случае горизонтально-слоистой среды. Основная идея метода - изменить значения параметров разреза в направлении, противоположном градиенту функционала невязки Е, т. е. частным производным Е по параметрам :

(4.2),

где - изменение параметра , параметр, зависящий от конкретной реализации метода. После внесения корректив в параметры надо вычислить новые значения функционала Е и его частных производных и повторить процедуру. Итерационный процесс корректировки параметров продолжается до тех пор, пока Е не достигнет заданного уровня точности .

В применении градиентного метода к интерпретации результатов зондирования существуют следующие аспекты, допускающие различные модификации:

определение функционала невязки (критерия погрешности);

определение параметров;

определение параметра в уравнении (4.2);

использование имеющейся геологической информации.

Например, в методе наискорейшего спуска параметр выбирается из условия :

(4.3)

Однако точное определение величины из (4.3) затруднительно. Поэтому на практике ограничиваются нахождением величины , приближенно удовлетворяющим условиям (4.3). Следует заметить, что антиградиент указывает направление быстрейшего спуска лишь в достаточно малой окрестности точки . Это означает, что в следующей точке направление антиградиента может сильно отличатся от направления . Поэтому, слишком точное определение величины из (4.3) не всегда целесообразно.

Выводы

На лекции 22 мы изучили:

1) Понятие о функционале.

2) Минимизацию функционала.

3) Метод наискорейшего спуска.

Лекция 23

Для разработки прикладной программы на языке Турбо-Паскаль 7.0 и решения обратной задачи, будем использовать следующую версию градиентного метода. Функционал невязки вычисляется как среднее квадратов относительных разностей между дискретными значениями кажущегося сопротивления, полученными по полевым данным и для теоретической модели. Таким образом

(4.4)

(4.5)

В качестве градиента невязки Е берется вектор с компонентами .

Выводы

На лекции 23 мы рассмотрели:

1) Решение обратной задачи электроразведки градиентным методом.

2) Функционал невязки

Лекция 24

Частные производные функционала Е находятся путем дифференцирования кажущихся сопротивлений по параметрам модели. Для этого надо дифференцировать трансформанту сопротивления по параметрам модели. Из рекуррентных соотношений Пекериса

(4.6)

видно, что параметры и не влияют на , если i>k. Если же i=k, то имеем

(4.7)

(4.8)

Если i<k, то и влияют на только через . Следовательно, для этих значений i имеем

(4.9)

Первые множители в правой части (4.9) могут быть получены путем дифференцирования уравнения (4.6)