(7.11)

i = 1, 2, …, N-1 при каждом j=0,1,…,M-1.

где

Выводы

На лекции 26 мы рассмотрели:

1) Конечно-разностный аналог решения задачи нестационарного теплообмена при перевозке нефти трубопроводом.

2) Построение сетки.

3) Сведение к системе алгебраических уравнений.

Лекция 27

Система (7.9) - (7.10) является системой линейных алгебраических уравнений с N-1 неизвестными. Полученная задача решается методом прогонки.

Пусть

. (7.12)

После подстановки в (7.11) получится рекуррентная формула

(7.13)

Для определения преобразуя (7.10) приводим его к виду

(7.14)

где

Сравнивая (7.14) с (7.12) получаем, что

(7.15)

Теперь из (7.12) , (7.15) определяются все

После этого рассматривая совместно (7.12) и (7.9) вычисляются все

В данном случае все условия теоремы 2 из §4 выполняются, поэтому метод прогонки для решения задачи (7.9) - (7.11) является устойчивой.

7.4 Расчетная схема

1) Используя заданные функций вычисляются

(7.16)

2) Из рекуррентного соотношения

определяются все

3) После этого используя формулу правой прогонки

определяются все .

7.5 Переменные и блок - схема

В данном случае искомая функция зависит от двух переменных t и х. Поэтому соответствующая сеточная функция зависит от двух дискретных переменных i и j. При программировании мы должны резервировать место в оперативной памяти компьютера для двухмерного массива.

БЛОК-СХЕМА

Ввод начальных данных и

описание термодинамических

характеристик грунта.

- - - - -

Вычисление параметров

разностной схемы и

начальной функций

- - - - -

J = 0, M - 1, 1

Начальные значения

коэффициента прогонки

- - - - - -

I = N-1, 1, -1

I = 0, N - 2, 1

рис. 3.

Если M и N достаточно большие величины, то в оперативной памяти компьютера может не хватит места для массива . Чтобы избежать этого, вводятся одномерные массивы . Вместо массивов Ai, B i, C iиспользуются идентификаторы A, B, C. Для отводятся одномерные массивы . В формуле (7.16) при определений Ai ,Ci ,B i используется отношение . Если это выражение очень большое, то вычислительный процесс будет не устойчивой. В этом случае не выполняется теорема 2.

Теорема 2. Пусть решение дифференциальной задачи (7.4)-(7.7) и обладает непрерывными производными до четвертого порядка и если , то решение разностной схемы (7.8) - (7.10) сходится к решению дифференциальной задачи (7.4) - (7.7).

Алгоритм реализации схемы расчета приведен на рис. 3.

7.6 Задания для лабораторной работы

Составить программу и произвести расчет при следующих начальных данных распределения температуры и теплопроводных характеристиках грунта.

Температура воздуха изменяется по закону

.

Варианты значений иmax и иmin:

Глубина заложения трубопровода Н = 1,5 м; tmax =24 час, считаем, что начальное распределение температуры от трубопровода до поверхности изменяется по закону

Температура на поверхности трубопровода равен и1 = 450.

Теплопроводные характеристики грунта приведены в таблице 1.

Выводы

На лекция 27 были рассмторены:

1) Метод прогонки для решения разностной схемы.

2) Алгоритм и блок-схема.

3) Переменные и константы для составления программы на языке Турбо-Паскаль.

Лекция 28

§8. Обратная задача для уравнения теплопроводности

Пусть - коэффициент теплопроводности,

- температура в точке z в момент времени t.

Тогда процесс распространения тепла на отрезке описывается уравнением

В прямой задаче надо найти по известной функции .

Для единственности решения прямой задачи необходимо задать начальные условия

и по одному условию на каждой из границ, например, поток

Если данные прямой задачи (1)-(4) достаточно гладкие и , то решение прямой задачи существует и единственно.

Обратная задача. Пусть о решении прямой задачи (1)-(4) известна дополнительная информация

Требуется определить один из коэффициентов уравнения (1) (или какую-либо их комбинацию) из соотношений (1)-(5).

Численное решение обратной задачи (1)-(5) будем искать при , минимизируя целевой функционал

Зададим начальное приближение .

Приближение будем вычислять методом простой итерации

Здесь - достаточно малое число, - градиент функционала .

Обратная задача 1: найти коэффициент из соотношений:

Найдем приращение функционала (6):

Здесь . является решением следующей задачи

Выводы

На лекции 28 были рассмотрены;

1) Постановка прямой и обратной задачи для уравнения теплопроводности.

2) Нахождение градиента функционала.

Лекция 29

Рассмотрим сопряженную задачу:

Умножим обе части равенства (12) на функцию и проинтегрируем по области :

Проинтегрируем по частям выражение

Имеем

Тогда учитывая условия (13)-(15) и (17)-(19), получим, что

Последние два слагаемых в правой части равенства (21) имеют второй порядок малости. Тогда получаем следующий градиент функционала

Здесь - решение сопряженной задачи.

Восстановление кусочно-постоянной среды

Предположим, что искомая функция q(x) кусочно-постоянна

В этом случае градиент функционала J(q) записывается в виде:

Решение обратной задачи, т.е. вектор ищем методом простой итерации

Алгоритм метода

1) Пусть приближение известно.

2) Решаем прямую задачу

3) Решаем сопряженную задачу

4) Находим значение градиента функционала

5) Находим следующее приближение .

Выводы

На лекции 29 были рассмотрены следующие пункты:

1) Решение сопряженной задачи.

2) Восстановление кусочно-постоянной среды в обратной задаче.

Лекция 30

Численная реализация

Введем в области равномерную сетку по времени и пространству с шагами , . Индексы узлов: , .

Решаем прямую задачу (17)-(20) конечно-разностным методом.

При аппроксимации воспользуемся неявными схемами для уравнения теплопроводности. Уравнения на каждом шаге решаются методом прогонки.

Разностная схема для прямой задачи (24)-(27):

Разностная схема для сопряженной задачи (28)-(31):

Выражение для градиента в случае кусочно-постоянного коэффициента:

Здесь - индекс точки разрыва коэффициента.

Связь между уравнениями

Рассмотрим, как от уравнения одного вида можно перейти к уравнению другого вида. Пусть

Предположим, что коэффициент имеет вид . Тогда подставив в уравнение (40), перейдем к следующему уравнению

.

Сделаем замену переменной в (41)

и введем новые функции

.

Тогда получим следующее уравнение

.

Если ввести новые функции

,

тогда от уравнения (42) перейдем к уравнению

.

Выводы

На лекции 30 были изучены:

1) Численное решение обратной задачи для уравнения теплопроводности.

2) Алгоритм и блок-схема численной реализации.

Литература

1. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. - М.: Наука, 1964.

2. Борисов Ю.П., Рябинина З.К., Воинов В.В., Особенности проектирования разработки нефтяных месторождений с учетом их неоднородности. - М.: Недра. 1976.

3. Желтов Ю.П., Стрижков И.Н. и др. Сборник задач по разработке нефтяных месторождений.- М.: Недра, 1985.

4. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Ряжик В.М. Теория нестационарной фильтраций жидкости и газа.- М.: Недра, 1972.

5. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. -3-е изд. - М.: Наука, 1989.

6. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. - М.: Наука, 1988.

7. Макаров В.Л., Хлобыстов В.В. Сплайн - аппроксимация функций. - М.: Высшая школа, 1983.

8. Самарский А.А. Теория разностных схем. - 2-е изд. - М.: Наука, 1983.

9. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. -
5-е изд. - М.: Наука, 1977.

10.Калиткин Н.Н. Численные методы. - М.: Наука, 1978.

11. Кабанихин С.И., Бектемесов М.А., Шишленин М.А. , Численные методы решения математических задач геофизики.-Алматы,2005 (интранет).

12. Владимиров Е.С. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1971.

Дополнительная литература

1. Н.В.Копченова, И.А.Марон. Вычислительная математика в примерах и задачах. - М.: Наука, 1972.

2. В.И.Дробышевич, В.П.Дымников, Г.С.Ривин. Задачи по вычислительной математике. - М.: Наука, 1980.

3. Куфуд, О. Зондирование методом сопротивлений. М.: Недра, 1980, 232 с.

4. Б.М.Будак, А.А. Самарский, А.Н.Тихонов. Сборник задач по математической физике.- М.: Наука, 1980.

5. Кошляков А.С., Глинпер Э.Б., Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения математической физики. - М.: Наука, 1999.

6. Смирнов М.М. Задачи по уравнениям математической физики. М.: Наука, 2000.

Размещено на Allbest.ru