Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство Образования и Науки Российской Федерации

Федеральное Агентство по Образованию

Елецкий Государственный Университет им. И.А. Бунина

Физико-математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Курсовая работа

на тему: «Геометрия Лобачевского и ее модели»

Выполнил: студент 4 курса

группы М-41: Зверева Д.А.

Научный руководитель:

Подаева Н.Г.

Елец 2009г.

Оглавление

Введение

1. Н.И. Лобачевский и его геометрия

2. Пятый постулат Евклида

3. Система аксиом Гильберта

4. Аксиома Лобачевского

5. Теорема о существовании параллельных прямых

6. Треугольники и четырехугольники на плоскости Лобачевского

7. Взаимное расположение двух прямых на плоскости Лобачевского

8. Три модели геометрии Лобачевского

8.1 Модель Пуанкаре

8.2 Модель Клейна

8.3 Отображение геометрии Лобачевского на псевдосфере (интерпретация Бельтрами)

9. Практическое применение геометрии Лобачевского

9.1 Теорема Пифагора

9.2 Замечание к теореме Пифагора

9.3 Площадь треугольника

9.4 Длина окружности и площадь круга

Вывод

Литература

Введение

лобачевский геометрия евклид пифагор

Геометрия - это одна из древнейших наук. Исследовать различные пространственные формы издавна побуждало людей их практическая деятельность. Древнегреческий ученый Эдем Родосский в IV веке до нашей эры писал: «Геометрия была открыта египтянами, и возникла при измерении Земли. Это измерение было им необходимо вследствие разлития реки Нил, постоянно смывавшей границы. Нет ничего удивительного, что эта наука, как и другие, возникла из потребности человека».

Многие первоначальные геометрические сведения получили также шумеро-вавилонские, китайские и другие ученые древнейших времен. Устанавливались они сначала только опытным путем, без логических доказательств.

Как наука, геометрия впервые сформировалась в Древней Греции, когда геометрические закономерности и зависимости, найденные ранее опытным путем, были приведены в надлежащую систему и доказаны.

В III веке до нашей эры греческий ученый Евклид привел в систему известные ему геометрические сведения в большом сочинении «Начала». Эта книга более двух тысяч лет служила учебником геометрии во всем мире.

Внимательное изучение системы Евклида привело ученых к выводу, что в «Началах» имеются довольно серьезные недоработки. Например, число аксиом, сформулированных Евклидом, является недостаточным для строгого изложения геометрии, поэтому Евклид при изложении некоторых своих доказательств опирался на непосредственную очевидность, наглядность, интуицию и чувственные восприятия.

Кроме геометрии, которую изучают в школе (Геометрии Евклида или употребительной геометрии), существует еще одна геометрия, геометрия Лобачевского. Эта геометрия существенно отличается от евклидовой, например, в ней утверждается, что через данную точку можно провести бесконечно много прямых, параллельных данной прямой, что сумма углов треугольника меньше 180^о. В геометрии Лобачевского не существует прямоугольников, подобных треугольников и так далее.

Данная тема интересна мне по нескольким причинам: теория геометрии Лобачевского помогает взглянуть по-другому на окружающий нас мир, это интересный, необычный и прогрессивный раздел современной геометрии, она дает материал для размышлений - в ней не все просто, не все ясно с первого взгляда, чтобы ее понять, нужно обладать фантазией и пространственным воображением. Ситуация с геометрией Лобачевского и геометрией Евклида во многом похожа на ситуацию с Теорией относительности Эйнштейна и классической физикой. Геометрия Лобачевского и ОТП Эйнштейна это прогрессивные взаимосвязанные теории, выполняющиеся на огромных величинах и расстояниях, и остающимися верными на приближениях к нулю. В пространственной модели ОТП используется не обычная евклидовая плоскость, а искривленное пространство, на котором верна теория Лобачевского.

Неевклидова геометрия появилась вследствие долгих попыток доказать V постулат Евклида, аксиому параллельности. Эта геометрия во многом удивительна, необычна и во многом не соответствует нашим привычным представлениям о реальном мире. Но в логическом отношении данная геометрия не уступает геометрии Евклида.

Попытки логически безупречно обосновать геометрию продолжались в течение многих сотен лет. Открытие в начале XIX века неевклидовой геометрии Н.И. Лобачевским, Я. Бойяи и К. Гауссом явились толчком к дальнейшему развитию аксиоматического метода, который привел к попыткам нового дедуктивного построения геометрии, отвечающего современным требованиям науки.

Так, немецкий математик М. Паш предложил аксиомы порядка, связанные с логически необоснованным до тех пор понятием «между». Итальянские математики Дж. Пеано, Дж. Веронезе, М. Пиери также внесли определенный вклад в дальнейшее обоснование геометрии в разработку аксиоматики обоснования арифметики. Г. Кантор и Р. Дедекинд исследовали аксиомы непрерывности.

В связи с этими достижениями перед наукой встала историческая задача, связанная со строгим обоснованием геометрии на рубеже XIX и XX столетий, решение которой было предложено, независимо друг от друга, рядом ученых. В истории развития аксиоматического метода важную роль сыграли аксиомы Д. Гильберта, немецкого ученого (1862-1943), выделявшегося среди плеяды ученых того периода. Эти аксиомы в свое время соответствовали уровню строгости геометрии. В 1899 г. Д. Гильберт писал: «Геометрия, так же как и арифметика, требует для своего построения только немногих простых основных положений. Эти основные положения называются аксиомами геометрии. Установление аксиом геометрии и исследование их взаимоотношений - это задача, которая со времен Евклида явилась темой многочисленных прекрасных произведений математической литературы. Задача эта сводится к логическому анализу нашего пространственного представления.

Аксиоматический метод, впервые разработанный Д. Гильбертом в геометрии с новых позиций, проник и в другие ветви математики: в теорию множеств, алгебру, топологию, теорию вероятностей и др. Кроме этого, аксиоматический метод стал использоваться и при построении других наук, в особенности физики. Эти достижения связаны с переворотом в геометрии, совершенным Н.И. Лобачевским. Исторически сложилось, что именно к пятому постулату Евклида на протяжении многих веков было привлечено внимание математиков. Глубоко проанализировав попытки доказательства пятого постулата, как свои, так и принадлежащие другим математикам, Н.И. Лобачевский пришел к убеждению о независимости этого постулата от остальных аксиом, т.е. к непротиворечивости геометрии, в которой аксиоматизируется существование двух различных прямых, проходящих через данную точку параллельно заданной прямой.

Н.И. Лобачевский не только предугадал существование новой геометрии - неевклидовой, но и детально ее разработал. Его точка зрения противоречила всем представлениям человека об окружающем мире. Новая геометрия резко расходилась с философским взглядом того времени на пространство (И.Кант), поэтому это открытие было ошеломляющим. Получалось так, что предположение о неевклидовости реального физического пространства не противоречило аксиомам Евклида, кроме пятого постулата.

В 70-е годы прошлого столетия была доказана непротиворечивость геометрии, по праву получившей имя Лобачевского. Доказательство это было построено с помощью моделей Кэли-Клейна и Пуанкаре.

1. Н.И. Лобачевский и его геометрия

До начала XIX столетия ни одна из попыток доказательства V постулата не увенчалась успехом. Таким образом, проблема V постулата оставалась неразрешимой. И только в начале XIX в. были получены результаты, которые привели к решению этой проблемы. Основная заслуга в этом принадлежит знаменитому русскому ученому Н. И. Лобачевскому.

Николай Иванович Лобачевский родился 2 декабря 1792 г. в Нижнем Новгороде (ныне г. Горький). Он окончил гимназию при Казанском университете, а затем и Казанский университет, после чего был оставлен там преподавателем. С 1816 г. Н. И. Лобачевский -- профессор того же университета, с 1827 по 1846 г.-- ректор университета. С 1846 по 1855 г.-- помощник попечителя Казанского учебного округа. Н. И. Лобачевский скончался 24 февраля 1856 г.

В течение первых лет преподавательской деятельности в Казанском университете Н. И. Лобачевский настойчиво пытался доказать V постулат. Неудачи этих попыток и попыток его предшественников привели его к выводу, что V постулат не может быть выведен из остальных постулатов геометрии. Чтобы это доказать, Н. И. Лобачевский построил логическую систему, в которой, сохраняя основные посылки Евклида, он отвергает V постулат и заменяет его противоположным допущением. Он пришел к выводу, что эта логическая схема представляет собой новую геометрию, которая может быть развита так же успешно, как и геометрия Евклида.

7 февраля (по старому стилю) 1826 г. Н. И. Лобачевский представил физико-математическому факультету Казанского университета доклад по теории параллельных под названием «Рассуждения о принципах геометрии». В 1829 г. в «Ученых записках Казанского университета» он поместил статью «О началах геометрии». Это была первая опубликованная работа по новой геометрии. В последующие годы Лобачевский издал еще ряд сочинений по геометрии. В этих сочинениях он первым отчетливо сформулировал и обосновал утверждение о том, что V постулат Евклида нельзя вывести из остальных аксиом геометрии.

Лобачевский развивает свою геометрию на плоскости и в пространстве до тех же пределов, до каких была развита Евклидова геометрия, включая и формулы тригонометрии. Эту новую геометрию он назвал «воображаемой» (впоследствии ее стали называть геометрией Лобачевского или гиперболической геометрией).

Открывая все новые и новые факты, Лобачевский не встретил в своей геометрии каких-либо логических противоречий. Исследования, проделанные им, привели к убеждению, что его логическая схема свободна от логических противоречий. Желая показать, что его геометрия никогда не приведет к противоречию, Лобачевский дает ее аналитическое исследование и решает проблему непротиворечивости своей геометрии вполне удовлетворительно для того времени. Лобачевский показал, что его геометрия может быть с пользой приложена в математическом анализе: он вычислил много интегралов, которые до него не поддавались вычислению.

2. Примерно в одно время с Н. И. Лобачевским теорией параллельных прямых занимались великий немецкий математик Гаусс (1777--1855) и выдающийся венгерский математик Я. Бояи (1802-- 1860). Но Гаусс не опубликовал ничего по теории параллельных, боясь, что его не поймут. После смерти Гаусса в его бумагах были найдены наброски отдельных наиболее простых теорем гиперболической геометрии. Я. Бояи опубликовал в 1832 г. (через три года после публикации Лобачевского и не зная о последней) на латинском языке произведение «Приложение, излагающее абсолютно верное учение о пространстве, независимое от правильности или ложности XI аксиомы Евклида...». В этой работе, составившей приложение к математическому трактату его отца Фаркаша Бояи, Янош Бояи изложил ту же теорию, что и Лобачевский, но в значительно менее развитой форме.

Результаты Лобачевского оказались настолько необычными для математиков, воспитанных на идеях геометрии Евклида, что не были поняты большинством из его современников (и даже академиком М.В.Остроградским -- одним из крупнейших математиков XIX в.). Лишь после смерти Гаусса, когда была опубликована переписка Гаусса с некоторыми его друзьями-математиками, в которой содержались восторженные отзывы об исследованиях Лобачевского и Бояи, внимание математиков всего мира было привлечено к геометрии Лобачевского; появились многочисленные исследования, связанные с ней. Особое впечатление произвела работа Бельтрами «Опыт интерпретации неевклидовой геометрии», опубликованная в 1868 г. В ней были указаны поверхности, на которых в малом осуществляется двумерная геометрия Лобачевского.

Наконец, в 1871 г. знаменитый немецкий математик Ф.Клейн (1849--1925) в работе «О так называемой неевклидовой геометрии» доказал непротиворечивость геометрии Лобачевского, чем устранил последние сомнения в ее правомерности.

Исследования Лобачевского получили широкое признание после его смерти. Оказалось, что работы Лобачевского по геометрии представляют собой новый этап в развитии естествознания (недаром английский математик XIXв. Клиффорд называл Лобачевского Коперником геометрии). До Лобачевского евклидову геометрию считали единственно возможным учением о пространстве. Работы Лобачевского опровергли такой взгляд, привели к широким обобщениям в геометрии и их важнейшим приложениям в различных разделах математики, механики, физики и астрономии.

3. Выше было отмечено, что с научной точки зрения систему аксиом и постулатов Евклида нельзя признать вполне удовлетворительной, так как у Евклида при изложении геометрии приходится в ряде случаев использовать утверждения, которые явно не высказаны и не доказаны.

В конце 60-х годов прошлого столетия перед математиками возникла задача построить такую систему аксиом элементарной геометрии, на базе которой, опираясь лишь на законы логики, без ссылок на наглядность и очевидность можно было бы изложить всю геометрию. Эта задача стала особенно актуальной после того, как идеи Лобачевского получили всеобщее признание и появились работы Б. Римана по эллиптической геометрии.

В конце XIX и в начале XX в. появились многочисленные работы по обоснованию геометрии ряда таких крупнейших математиков, как Паш, Пеано, Пиери, Гильберт, Вейль и др. Наиболее исчерпывающими явились работы Гильберта и Вейля. Эти исследования оказали большое влияние на формирование аксиоматического метода, который применяется во всех разделах современной математики.

Книга Гильберта «Основания геометрии», вышедшая в 1899 г., сыграла существенную роль в этой серии исследований. Она в 1903 г. была удостоена Международной премии имени Н. И. Лобачевского. В ней впервые дан список аксиом, достаточный для логического построения евклидовой геометрии. Можно сказать, что с «Оснований геометрии» Гильберта начинается современный аксиоматический метод в математике. Однако рассмотрим все по порядку.

2. Пятый постулат Евклида

Евклид так определяет параллельные прямые: две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общей точки.

Лемма 1. Если при пересечении двух прямых секущей накрест (лежащие углы (или соответственные углы) равны, то прямые не пересекаются.

? Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ накрест лежащие углы равны (например, 1 = 2 на рис. 206). Если допустить, что прямые а и b пересекаются в некоторой точке Р, то получим треугольник АВР, у которого один из углов при вершине А или В равен внешнему углу при другой вершине (см. рис.).

Но это противоречит теореме о внешнем угле треугольника. Второе утверждение теоремы непосредственно следует из доказанного. Чтд.

Возникает вопрос: сколько же через точку М, не лежащую на прямой а, проходит прямых, параллельных прямой а? Ответ на него дает следующая теорема.

Теорема 1. Если имеет место V постулат, то через каждую точку М, не лежащую на прямой а, проходит только одна прямая, параллельная прямой а.

? Проведем прямую MN, перпендикулярную к прямой а, N а, и прямую b, проходящую через точку М перпендикулярно к прямой MN (см. рис ниже). Тогда прямые а и b параллельны.

Проведем через точку М произвольную прямую b' отличную от прямой b. Один из смежных углов 1 либо 2, отмеченных на этом же рисунке , острый; пусть 1 острый. При пересечении прямых а и b' с прямой MN получаем внутренние односторонние углы: 1 и 3, сумма которых меньше двух прямых углов, значит, по V постулату прямые а и b' пересекаются. ¦

Существует и обратная теорема:

Теорема 2. Если принять, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной, то справедлив V постулат.

Итак, V постулат эквивалентен (равносилен) так называемой аксиоме параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не более чем одна прямая, параллельная данной.

Лемма 2. Для произвольного треугольника ABC можно построить треугольник А₁В₁С₁ так, чтобы _АВС = _А1В1С1 и А₁

Теорема 4. Сумма углов любого треугольника не больше 2d.

? Теорему докажем методом от противного. Пусть существует треугольник ABC, такой, что _АВС = 2d + , где > 0. Применяя предыдущую лемму к треугольнику ABC n раз, построим треугольник АпВпСп, удовлетворяющий условиям _АпВпСп = АВС и А_n А. Выберем п так, чтобы 1/2ⁿ А< . Тогда А_п < . Так как А_n + В_n + С_п = 2d + , то В_п + С_п> 2d.

С другой стороны, легко доказать, что В_п + С_п < 2d. В самом деле, если - мера внешнего угла треугольника А_пВ_пС_п, смежного с углом В_п, то > С_п, а по теореме о смежных углах + В_п = 2d, поэтому В_п + C_n <С 2d. Мы пришли к противоречию, следовательно, не существует такого треугольника ABC, сумма углов которого больше чем 2d. Чтд.

Итак, сумма углов любого треугольника не больше 2d. Но не может ли получиться так, что у одних треугольников эта сумма меньше 2d, а у других равна 2d? Отрицательный ответ на этот вопрос дает вторая теорема Саккери -- Лежандра.

Теорема 5. Если в одном треугольнике сумма углов равна 2d, то сумма углов любого треугольника равна 2d. \

Итак получаем еще одно предположение, эквивалентное V постулату: существует хотя бы один треугольник, сумма углов которого равна 2d.

3. Система аксиом Гильберта

По Гильберту, предполагается, что даны три различных множества. Элементы первого множества называются точками, элементы второго множества -- прямыми, а элементы третьего множества -- плоскостями (основные объекты). Точки, прямые и плоскости обозначаются соответственно буквами А, В, С, ...; а, b, с, ...; , , , ... . Элементы этих множеств находятся в определенных отношениях, которые называются: «принадлежность», «лежать между» и «конгруэнтность» (основные отношения). Природа основных понятий, т. е. основных объектов и основных отношений, может быть какой угодно, но они должны удовлетворять определенным аксиомам, которые я перечислю ниже.

Список Гильберта содержит 20 аксиом, которые разделяются на пять групп.

Группа 1. Аксиомы принадлежности.

Аксиомы этой группы определяют свойства взаимного расположения точек, прямых и плоскостей, выражаемые словом «принадлежит» (или «лежит ,на», «проходит через»). Группа I содержит следующие восемь аксиом.

1₁ Каковы бы ни были две точки А, В, существует прямая а, проходящая через эти точки.

2₂. Каковы бы ни были две точки А и В, существует не более одной прямой, проходящей через эти точки.

1₃. На каждой прямой лежат по крайней мере две точки. Существуют по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.

1₄. Каковы бы ни были три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, существует плоскость а, проходящая через эти точки. На каждой плоскости лежит хотя бы одна точка.

1_5. Каковы бы ни были три точки, не лежащие на одной прямой, существует не более одной плоскости, проходящей через эти точки.

1₆. Если две точки А и Б прямой а лежат в плоскости а, то каждая точка прямой а лежит в плоскости а.

В этом случае говорят, что прямая а лежит в плоскости а или плоскость а проходит через прямую а.

1₇. Если две плоскости а и b имеют общую точку А, то они имеют по крайней мере еще одну общую точку В.

1₈. Существуют по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости.

Исходя из этих аксиом, можно доказать ряд теорем, большинство из которых в школьном курсе геометрии не доказываются, так как они наглядно очевидны. Перечислю лишь некоторые из этих теорем.

1^о. Две прямые имеют не более одной общей точки.

2°. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих двух плоскостей.

3°. Через прямую и не лежащую на ней точку, так же как через две пересекающиеся прямые, проходит одна и только одна плоскость.

4°. На каждой плоскости существуют три точки, не лежащие на одной прямой.

Группа II. Аксиомы порядка.

Предполагается, что точка на прямой может находиться в известном отношении к двум другим точкам той же прямой; это отношение выражается словами «лежать между». Если точка В лежит между точкой А и точкой С, то мы запишем так: А -- В -- С. При этом должны быть удовлетворены следующие четыре аксиомы.

II₁. Если А -- В -- С, то А, В, С -- различные точки одной прямой и С - В - А.

II₂. Каковы бы ни были две точки А и В, существует по крайней мере одна точка С на прямой АВ, такая, что А -- В -- С.

II₃. Среди любых трех точек прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими.

По Гильберту, отрезком АВ (или В А) называется пара точек А и В. Точки А и В называются концами отрезка, а любая точка, лежащая между ними,-- внутренней точкой отрезка или просто точкой отрезка.

II_4. (аксиома Паша). Пусть А, В, С -- три точки, не лежащие на одной прямой, а а -- прямая в плоскости ABC, не проходящая ни через одну из точек А, В, С. Тогда если прямая а проходит через точку отрезка АВ, то она проходит также через точку отрезка АС или ВС.

С помощью аксиом групп I и II доказываются многие факты геометрии и вводится ряд основных определений. Прежде всего можно доказать, что между любыми точками существует по крайней мере одна точка, а отсюда легко прийти к выводу, что любой отрезок (а следовательно, и любая прямая) содержит бесконечное множество точек.

Группа III. Аксиомы конгруэнтности.

Предполагается, что отрезок (угол) находится в известном отношении к какому-то отрезку (углу). Это отношение выражается словом «конгруэнтен» или «равен» и обозначается символом « = ». Должны быть удовлетворены следующие пять аксиом.

III₁ Если даны отрезок АВ и луч, исходящий из точки А', то существует точка В', принадлежащая данному лучу, такая, что АВ = А'В'.

Можно доказать, что точка В' на данном луче единственная.

III₂. Если А'В' = АВ и А"В" = АВ, то А'В' = А" В".

III₃. Пусть А -- В -- С, А' - В' -- С, АВ = А'В' и ВС = В'С'. Тогда АС = А'С'.

III₄. Пусть даны hk и флаг (О', h', '). Тогда в полуплоскости ' существует один и только один луч к', исходящий из точки О', такой, что hk = h'k'.

Каждый угол конгруэнтен самому себе.

III₅. Пусть А, В, С -- три точки, не лежащие на одной прямой, и А', В', С' -- тоже три точки, не лежащие на одной прямой. Если при этом АВ = А'В', АС = А'С', BAC = В'А'С', то АВС = А'В'С'.

Вот некоторые теоремы, которые следуют из аксиом конгруэнтности.

1°. Отношение конгруэнтности отрезков является отношением эквивалентности на множестве отрезков.

2°. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

3°. Первый, второй и третий признаки равенства треугольников.

4^о . Отношение конгруэнтности углов является отношением эквивалентности на множестве углов.

5°. Внешний угол треугольника больше каждого угла треугольника, несмежного с ним.

6°. В каждом треугольнике против большей стороны лежит больший угол и обратно: против большего угла лежит большая сторона.

7°. Любой отрезок имеет одну и только одну середину.

8°. Любой угол имеет одну и только одну биссектрису.

Группа IV. Аксиомы непрерывности.

IV₁ (аксиома Архимеда). Пусть АВ и CD -- какие-нибудь отрезки. Тогда на прямой АВ существует конечное множество точек А₁, А₂, ..., А_п, таких, что выполняются условия:

а) А-- А₁ --- А_2, А₁ -- А₂ -- А₃, ..., А_n-2 -- A_n-1-- А_п

б) АА₁= А₁А₂ = ...= = А_п-1А_п = CD;

в) А -- В -- А_п.

IV₂ (аксиома Кантора). Пусть на произвольной прямой а дана бесконечная последовательность отрезков A₁B₁;. А₂ В₂, ..., из которых каждый последующий лежит внутри предыдущего и, кроме того, для любого отрезка CD найдется натуральное число n, такое, что А_пВ_п < CD. Тогда на прямой а существует точка М, принадлежащая каждому из отрезков данной последовательности.

Ясно, что такая точка М единственная. В самом деле, если предположить, что точка N, отличная от точки М, также принадлежит каждому из отрезков данной последовательности, то получим А_пВ_п MN при любом п, что противоречит аксиоме.

К важнейшим следствиям из аксиом групп I--IV относится теория измерения отрезков и углов.

Для обоснования евклидовой теории параллельных Гильберт к аксиомам групп I--IV добавляет еще одну аксиому параллельных прямых.

Группа V. Аксиома параллельности.

Пусть а -- произвольная прямая, а А--точка, не лежащая на этой прямой. Тогда в плоскости, определяемой точкой А и прямой а, существует не более одной прямой, проходящей через А и не пересекающей а, эта аксиома эквивалентна V постулату Евклида.

На основе всех аксиом групп I--V можно построить теорию параллельных прямых по Евклиду, доказать теоремы о сумме углов треугольника и выпуклого многоугольника, изучить свойства параллелограммов и трапеций, построить теорию подобия и т. д. Заметим еще, что аксиомы групп I--V позволяют обосновать обычную тригонометрию, изучаемую в средней школе, а также декартову аналитическую геометрию. В частности, пользуясь теоремой Пифагора, для доказательства которой необходимо использовать аксиому V, выводится известная формула для вычисления расстояния между двумя точками по координатам этих точек. Кроме того, доказывается, что плоскость в пространстве определяется уравнением первой степени, а прямая -- системой двух уравнений с тремя переменными. Таким образом, предоставляется возможность приложить алгебру к доказательству теорем геометрии.

Отмечу, пользуясь аксиомами групп I--V, можно ввести понятия площади многоугольника и объема многогранника.

Геометрию, построенную на аксиомах групп I--IV, называют абсолютной геометрией. Вышеуказанные теоремы и определения являются теоремами абсолютной геометрии.

4. Аксиома Лобачевского

Параллельные прямые по Лобачевскому.

1. Геометрия Лобачевского (или гиперболическая геометрия) основана на аксиомах групп I--IV абсолютной геометрии и на следующей аксиоме Лобачевского.

V*. Пусть а -- произвольная прямая, а A -- точка, не лежащая на этой прямой. Тогда в плоскости, определяемой точкой А и прямой а, существует не менее двух прямых, проходящих через точку А и не пересекающих прямую а.

рис 1 рис 2

Из аксиомы V* непосредственно следует, что если даны произвольная прямая а и точка А, не лежащая на ней, то существует бесконечное множество прямых, проходящих через точку А и не пересекающих прямую а. В самом деле, по аксиоме V* существуют две прямые, которые обозначим через b и с, проходящие через точку А и не пересекающие прямую а (рис. 1). Прямые b и с образуют две пары вертикальных углов, которые на рисунке 2 обозначены цифрами 1, 2 и 3, 4. Прямая а не пересекает прямые b и с, поэтому все ее точки принадлежат внутренней области одного из четырех углов 1, 2, 3, 4, например внутренней области угла 1. Тогда, очевидно, любая прямая, проходящая через точку А и лежащая внутри вертикальных углов 3 и 4, не пересекает прямую а (например, прямые L и d на рис. 1).

Условимся считать, что все прямые, рассматриваемые нами, являются направленными прямыми. Поэтому мы их будем обозначать двумя буквами, например UV, считая, что точка U предшествует точке V. Предполагается также, что точки U и V выбраны так, что рассматриваемые нами точки на этой прямой лежат между точками U и V.

2. Введем следующее определение. Прямая АВ называется параллельной прямой CD, если эти прямые не имеют общих точек и, каковы бы ни были точки Р и Q, лежащие соответственно на прямых АВ и CD, любой внутренний луч¹ угла QPB пересекает луч QD (рис. 2). Если прямая АВ параллельна прямой CD, то пишут так: AB||CD.

Имеет место следующий признак параллельности прямых.

Теорема 1. Если прямые АВ и CD не имеют общих точек и существуют точки Р и Q, такие, что Р АВ и Q CD, и любой внутренний луч угла QPB пересекает луч QD, то AB||CD.

Для доказательства теоремы достаточно установить, что, каковы бы ни были точки Р' и Q', лежащие соответственно на прямых АВ и CD, любой внутренний луч h угла Q'P'B пересекает луч Q'D. Возможны три случая: точка Р' совпадает с точкой Р; б) точка Р' принадлежит лучу РА; в) точка Р' принадлежит лучу РВ.

Рассмотрим первые два случая,

а)Точка Р' совпадает с точкой Р. Если Q' -- точка луча QC, то Q'P'B является объединением углов Q'PQ и QPB, по этому луч h либо лежит внутри угла Q'P'Q, либо совпадает с лучом PQ, либо лежит внутри угла QPB (рис. 3 а). В первом и во втором случаях луч h пересекает отрезок Q'Q, поэтому пересекает и луч Q'Q. В третьем случае луч h по условию теоремы пересекает луч QD и, следовательно, луч Q'D.

Если Q' -- точка луча QD, то угол Q'P'B является частью угла QPB (рис. 3, б). Поэтому луч h является внутренним лучом угла QPB и по условию теоремы пересекает луч QD. Точка пересечения является точкой луча Q'D, так как h не проходит внутри угла QPQ' и поэтому не пересекает отрезок QQ'.

б)Точка Р' принадлежит лучу РА. Луч h лежит внутри угла Q'P'P, поэтому h пересекает отрезок PQ' в некоторой точке М (рис. 4). Отложим от луча РВ в полуплоскость, содержащую прямую CD, угол ВРМ', равный углу РР'М. Так как BPQ' -- внешний угол треугольника PP'Q', то PP'Q' < LBPQ', поэтому РР'М < BPQ'. Отсюда следует, что РМ' -- внутренний луч угла BPQ'. Следовательно, по доказанному (см. случай а) ) этот луч пересекает луч Q'D в некоторой точке Mi (рис. 4). Прямая Р'М пересекает сторону PQ' треугольника PQ'M\ и не пересекает сторо ну РМ\ (так как ВРМ₁ = BP'M), поэтому по аксиоме Паша прямая Р'М пересекает отрезок Q'М₁. Таким образом, луч h пересекает луч Q'D. Чтд.

Рис 3 а Рис.3 б

Рис. 4

5. Теорема о существовании параллельных прямых

Теорема 2. Пусть АВ -- произвольная направленная прямая, а М -- точка, не лежащая на ней. Тогда в плоскости МАВ существует одна и только одна прямая CD, проходящая через точку М и параллельная прямой АВ, т. е. CD||AB.

рис 5 . рис 6.

2. Рассмотрим перпендикуляр MN, проведенный из точки М к прямой АВ, и прямую MP, перпендикулярную к прямой MN (рис. 5). Мы предполагаем, что точки Р и В лежат по одну сторону от прямой MN. По лемме 1 прямые MP и NB не пересекаются.

Точки отрезка NP разобьем на два класса К₁ и К₂ по следующему закону. К первому классу отнесем те точки X этого отрезка, которые удовлетворяют условию: луч MX пересекает луч NB, а ко второму классу -- все остальные точки отрезка NP. Докажем, что указанное разбиение удовлетворяет условиям а) и б) предложения Дедекинда.

а)Очевидно, N К₁ и Р К₂. Класс К₁ содержит точки, отличные от N, например, точки X пересечения луча МХ₁ с отрезком NP, где Х₁ -- произвольная точка луча NB (рис. 5). Класс K₂ содержит точки, отличные от Р. В самом деле, по аксиоме V* существует пря мая MS₁, отличная от прямой MP и не пересекающая прямую АВ. Прямая MS₂, симметричная прямой MS₁ относительно прямой MN, также не пересекает прямую АВ (рис. 5). Одна из прямых MS₁ или MS₂ проходит внутри угла NMP, поэтому пересекает отрезок NP в некоторой точке Y, принадлежащей классу К₂

б)Пусть X -- произвольная точка класса К₁, отличная от N, а Y -- точка второго класса. Тогда N -- X -- У, так как в противном случае имеем N -- Y -- X, что означает, что луч MY -- внутренний луч угла NMX. Отсюда следует, что луч MY пересекает отрезок NХ₁ т. е. У К₁.

Итак, на множестве точек отрезка NP имеем дедекиндово сечение. Пусть точка D производит это сечение. Докажем, что D К₂. Предположим противное: D К₁ . Тогда луч MD пересекает луч NB в некоторой точке D₁ (рис. 6). Возьмем на луче NB точку D'₁ так, чтобы N -- D₁-- D'₁. Луч MD'₁ пересекает отрезок DP в некоторой точке D' (рис. 6), которая принадлежит классу K₁. Полученный вывод противоречит предложению Дедекинда. Таким образом, D К₂. На прямой MD возьмем точку С так, чтобы С -- М -- D. По теореме 1 CD||AB.

Остается доказать, что CD -- единственная прямая, проходящая через точку М и параллельная прямой АВ. Пусть, напротив, C'D' -- другая прямая, проходящая через точку М и параллельная прямой АВ. По определению параллельных прямых внутренние лучи углов NMD и NMD' пересекают луч NB, поэтому лучи MD, MD' лежат в той же полуплоскости с границей MN, что и луч NB. Отсюда мы приходим к выводу, что либо MD -- внутренний луч угла NMD', либо MD' -- внутренний луч угла NMD.

Но тогда одна из прямых CD или C'D^r пересекает прямую АВ, что противоречит определению параллельности прямых.

^{рис. 7}

А N B

3. Пусть М -- точка, не лежащая на прямой a, a MN -- перпендикуляр, проведенный из точки М на прямую а. Выберем на прямой а две точки А и В так, чтобы А--N -- В. Из теоремы 2 следует, что через точку М проходит единственная прямая CD, параллельная направленной прямой АВ, и единственная прямая EF, параллельная направленной прямой ВА (рис. 7).

В ходе доказательства теоремы 2 мы установили, что углы DMN и FMN острые, поэтому CD и EF -- различные прямые. Докажем, что DMN = FMN. Пусть, напротив, DMN FMN, например DMN > FMN. Рассмотрим луч MF', симметричный лучу MF относительно прямой MN (луч MF' не изображен на рис. 7). Этот луч является внутренним лучом угла DMN. Так как MF не пересекает прямую АВ, то и MF' не пересекает эту прямую. Но это противоречит определению параллельности прямых CD и АВ.

Таким образом, через каждую точку М, не лежащую на данной прямой а, проходят две прямые, параллельные прямой а, в двух разных направлениях. Эти прямые образуют равные острые утлы с перпендикуляром MN, проведенным из точки М к прямой а. Каждый из этих углов называется углом параллельности в точке М относительно прямой а.

Докажем, что величина угла параллельности вполне определяется расстоянием от точки М до прямой а. Для этого обратимся к рисунку 219. На этом рисунке NMD -- угол параллельности в точке М относительно прямой a, a N'M'D' -- угол параллельности' в точке М'

относительно прямой а' , = NMD, x = MN, a^/ = N'M'D', x' =M^/N^/. Докажем, что если х = х', то = '. Пусть, напротив, ^/ , например а' > . Тогда существует внутренний луч h' угла N'M'D', такой, что угол между лучами M'N' и h равен . Луч h' пересекает прямую а' в некоторой точке F'. На прямой а от точки N отложим отрезок NF = N'F' так, чтобы точки F и D лежали в одной полуплоскости с границей MN. Получим треугольник MNF, равный треугольнику M'N'F' (треугольник MNF на рис. 8 не изображен). Так

М м

рис.8

как NMF = , то лучи MD и MF совпадают. Приходим к выводу, что прямые MD и пересекаются. Это противоречит определению параллельных прямых. Таким образом, = '.

Итак, -- функция от х: = П (х). Она называется функцией Лобачевского и играет существенную роль в гиперболической геометрии. Из предыдущего изложения ясно, что функция П (х) определена для каждого положительного х и что 0 < II (х) < П/2 .

Н. И. Лобачевский получил аналитическое выражение этой функции:

где k -- некоторое положительное число.

Из этой формулы следует, что П(х)-- монотонно убывающая непрерывная функция. Из этой формулы следует также, что П(х) принимает все значения, лежащие между 0 и П/2 . Другими словами, любой острый угол является углом параллельности в некоторой точке относительно данной прямой.

4. В геометрии Лобачевского существует зависимость между угловыми и линейными величинами; в этом существенное отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида. Так, в геометрии Лобачевского нет подобия фигур; в частности, треугольники с соответственно равными углами равны. Еще одна особенность геометрии Лобачевского связана с единицей измерения длин. В геометрии Евклида существуют абсолютные константы угловых величин, например прямой угол или радиан, в то время как линейных абсолютных констант не существует. Для того чтобы длины отрезков выразить числами, необходимо выбрать единицу измерения длин. В качестве такой единицы может быть выбран произвольный отрезок. В противоположность этому в геометрии Лобачевского нет в этом необходимости, так как, имея естественную единицу измерения углов, можно условиться о выборе естественной единицы длин. Например, за единицу длины можно выбрать отрезок, которому соответствует угол параллельности, равный П/4.

6. Треугольники и четырехугольники на плоскости Лобачевского

1. Все теоремы о треугольниках, которые в евклидовой геометрии доказывают без помощи аксиомы параллельности, имеют место также в геометрии Лобачевского. Подавляющее большинство теорем относится именно к этому типу. Теоремы о равнобедренных треугольниках, три признака равенства треугольников, теорема о внешнем угле треугольника, теоремы о соотношениях между сторонами и углами, теоремы о пересечении биссектрис внутренних углов треугольника и о пересечении

...