Методика побудови емпіричної кривої, обчислення її параметрів і характеристик

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти та науки України

Національний технічний університет України

"Київський політехнічний інститут ім. І. Сікорського"

Практична робота

за темою: "Методика побудови емпіричної кривої, обчислення її параметрів і характеристик"

з дисципліни: "Основи наукових досліджень"

Виконала: студентка гр. ОМ-61м

V курсу ІЕЕ

Лисюк А.В.

Перевірив: Шевченко О.В.

2017

Зміст

1. Побудова емпіричної кривої

2. Техніка обчислень параметрів емпіричного розподілу

3. Методика визначення поля допуску за емпіричним розподілом

4. Обчислення коефіцієнтів відносної асиметрії та відносного розсіювання

5. Критерії для неприйняття спостережень (помилок вимірювання), що різко виділяються

6. Функції щільності теоретичних і емпіричних розподілів

7. Порівняння емпіричних і теоретичних функцій розподілу частот за критеріями узгодженості

Висновок

1. Побудова емпіричної кривої

Наведена таблиця результатів вимірювання розміру 40 мм (діаметр вала) в партії 50 шт. деталей і подальша обробка результатів вимірювання.

В даному прикладі зона розсіювання R = х_мах-х_мiн = 0,079- (-0,152) = 0,231 мм. Розділимо її на 11 груп з інтервалами h = 0,021 мм і підрахуємо число відхилень розмірів, розташованих в кожному інтервалі. Для цього всі значення табл. 3 заносяться у вигляді умовних позначень до відповідних інтервали.

Таблиця відхилень діаметра 40 мм.

Таблиця 1

Для графічного зображення емпіричних розподілів будуються гістограми та полігони розподілу.

Для випадкових величин дискретного типу вживаються зазвичай полігони розподілів, для випадкових величин безперервного типу - гістограми.

Полігони розподілів і гістограми можуть бути побудовані як по частотах, так і по частостей. Будувати полігони краще за частостей.

Рисунок 1.1 - Гістограма

Для побудови полігону розподілів по осі абсцис (рис. 6) відкладаються значення випадкової величини, а по осі ординат - величини, пропорційні частостей. Сума ординат дорівнює одиниці. Гістограма зображує диференційний закон розподілу випадкової величини.

В таблиці 2 показані границі кожної групи відхилень в вигляді "більше…до…" середини інтервалів та спосіб підрахунку частот.

Таблиця 2

2. Техніка обчислень параметрів емпіричного розподілу

У випадках, коли значення випадкової величини (хi) задані багатозначними числами і об'єм вибірки N25, розрахунок параметрів доцільно вести шляхом введення нової випадкової величини

,

де х'і - нова випадкова величина; h - величина інтервалу; хо - деяке початкове значення (зазвичай приймають середнє значення середнього інтервалу хi). Послідовність обчислення розглянемо на прикладі табл.6. Обчислимо середнє значення, середнє квадратичне відхилення, асиметрію і ексцес. У таблиці 3 через х_і позначені середини інтервалів. Складемо таблицю 3.

Таблиця 3

Визначаємо початкові моменти (а ₁, а ₂, а ₃, а ₄), що дорівнюють:

Визначаємо центральні моменти (m₂, m₃, m₄),

m₂ = a₂ - a₁² = 4,86- (0,38)² = 4,71;

m₃ = a_3-3a₁a₂ + 2a₁³ = 6,26-3 (0,38)+ 2 (0,38)³ = 0,829;

m₄ = a_4-4a₁a₃ + 6a₁²a_2-3a₁⁴ = 69,94-4(0,38)(6,26) + 6(0,38)² 4,86-3(0,38)⁴=63,57.

Обчислюємо середнє значення і середнє квадратичне відхилення величини Х

Обчислюємо показник асиметрії , тобто крива має позитивну асиметрію, і показник ексцесу (крутизни) , тобто ексцес негативний і вершина кривої знаходиться нижче вершини кривої нормального розподілу.

Дані зносимо в таблицю 4:

Таблиця 4

3. Методика визначення поля допуску за емпіричним розподілом

Багато експериментів проводяться з метою визначення поля допуску, яке характерне для технологічних процесів виготовлення виробів і дає імовірність ризику (браку) не більше деякого числа, що наперед задається. Цю імовірність надалі позначатимемо через 2. Математичне очікування і дисперсія апріорі (до дослідження) невідомі, а є лише можливість отримати із вибірки значення і S², які є оцінками для МХ і DX.

В цьому випадку приймати за поле допуску величину розмаху R не можна, оскільки практично граничне поле розсіювання в загальному випадку ніколи не дорівнює розмаху. емпіричний розподіл асиметрія функція

Якщо ж за поле допуску приймати значення x 3S, то границі поля допуску коливатимуться від однієї вибірки до іншої, і в одних випадках вони охоплюватимуть більше 99,73 % усієї площі, що обмежена кривою розподілення, в інших - менше, оскільки х і S є випадковими величинами.

Завдання полягає в тому, щоб вибране поле допуску охоплювало не менше 99,73 % усієї площі, обмеженої генеральною кривою. Для цього слід знайти таке l, щоб із заданою імовірністю, близькою до одиниці (надійністю Р), x l S містило не менше (1-2) 100 % усієї нормальної генеральної сукупності.

Значення коефіцієнту l розраховані для вибірки з нормальної сукупності. Розглянемо приклад визначення поля допуску. Для емпіричного розподілу визначаємо і S. Припустимо 1-2 = 0,95.

Находимо з методички, що для Р = 0,95, 1-2 = 0,95 і k = 50. Звідси l = 2,37.

Визначаємо границі поля допуска:

t₁ = - l S = = -0,1365,

t₂ = + l S = = 0,0795.

Знаходимо координату середини поля допуску і половину поля допуску:

.

Таким чином, якщо за поле допуску брати величину t₂ - t₁ = 0,2161, то з імовірністю 0,95 з усіх майбутніх спостережень 95 % лежатимуть в цьому інтервалі.

4. Обчислення коефіцієнтів відносної асиметрії та відносного розсіювання

Для визначення коефіцієнтів _э, К_э спочатку по виборці визначаються та S

Задане нижнє відхилення НВ= t₁ = -0,1365 мм,

Задане верхнє відхилення ВВ= t₂ = 0,0795 мм.

Визначаємо координату середини поля допуска

та половину поля допуска

.

5. Критерії для неприйняття спостережень (помилок вимірювання), що різко виділяються

Часто на практиці стає питання про те, чи слід відкинути деякі результати експерименту, що різко виділяються від інших. Якщо відомо, що цей результат отриманий через грубу помилку, то його необхідно відкинути, не піддаючи ніяким статистичним оцінкам. У тих же випадках, коли є лише підозра на те, що один або декілька результатів отримано помилково, необхідно перевірити цю підозру.

У даній вибірці (п.2.1.) Значень викликають підозр немає.

Рисунок 1.2 - Гістограма

Аналіз гістограми. В даному випадку розміри деталей з вибірки знаходяться в межах допустимих відхилень, і, так як 2-3 стовпчики гістограми віддалені від верхньої і нижньої меж допустимих відхилень, то є певний запас (до виходу бракованих деталей).

Середня частина гістограми говорить про недоліки в обслуговуванні обладнання або про циклічної його роботі.

Перепад в лівій частині говорить про можливу короткочасної незначній поломці робочого інструмента.

6. Функції щільності теоретичних і емпіричних розподілів

а) Підбір теоретичної функції для емпіричного розподілу Розглянемо випадок, коли експеримент проводиться з метою встановлення виду функції густини імовірності. Апріорі ця функція невідома і можна лише імовірно судити про її вид. Обробка результатів експериментальних спостережень здійснюється в наступній послідовності:

а) за експериментальними даними будується емпірична крива;

б) визначаються параметри емпіричного розподілу;

в) висувається одна або декілька гіпотез про функцію густини досліджуваної випадкової величини, виходячи із зовнішнього вигляду експериментальної кривої, зі значень її параметрів і технологічних чинників, що впливають на її вид;

г) емпірична крива вирівнюється по одній або послідовно по декількох прийнятих теоретичних кривих;

д) проводиться порівняння по одному з критеріїв згоди емпіричної і теоретичної (вирівняної емпіричної) кривих;

е) вибирається функція, що дає найкраще узгодження.

б). Вирівнювання емпіричного розподілу за гіпотетичними теоретичними Загальне правило вирівнювання полягає в наступному. В кожен теоретичний розподіл (в його диференціальну або інтегральну функції) входить декілька величин, що називаються параметрами (математичне очікування, дисперсія та ін.). Оскільки ці величини апріорі невідомі, то їх необхідно визначити за емпіричним розподілом, підставити у функцію густину замість теоретичних значень цих величин, а потім розрахувати імовірність середин усіх інтервалів. Помноживши цю імовірність на число дослідів N, отримаємо теоретичні значення частот випадкової величини, які дають вирівняну криву. Для прикладу розглянемо вирівнювання емпіричного розподілу за нормальним законом (Гауса). Цей закон двопараметричний. Тому заздалегідь необхідно вичислити середнє значення x і середнє квадратичне відхилення S.

Для обчислення скористаємося даними.

Визначаємо= -0,2852 и S= 0,0456. Підставляємо ці значення у функцію густини імовірності (12), замінюючи на і на S.

Результати вирівнювання приведені в табл.5. Зробимо деякі пояснення до цієї таблиці. В колонці 5 визначається:

,

де i x - середина i-го інтервалу; - середнє значення; S - середнє квадратичне відхилення. За обчисленими значеннями t в додатку 1 знаходимо значення:

, e ,

які проставляються в колонці 6.

Таблиця 5

Помноживши на , отримаємо значення частот кривої, вирівняної по закону Гауса (колонка 8). Графіки емпіричної і вирівняної кривих будуються в координатах: mi - № інтервалу; ' mi - № інтервалу.

Рисунок 1.3 - Графік емпіричної кривої

7. Порівняння емпіричних і теоретичних функцій розподілу частот за критеріями узгодженості

Після того, як емпірична крива вирівняна по теоретичній, необхідно знайти імовірність того, що досліджувана емпірична крива відповідає вибраному теоретичному закону. Зазвичай вважають, що емпірична крива узгоджується з теоретичною, якщо рівень значимості більше б=0,05. Іноді за рівень значимості приймають 0,01 або 0,001. Якщо рівень значимості більше прийнятого рівня (0,05; 0,01, чи 0,001), то вважають, що емпіричний розподіл узгоджується з теоретичним. Якщо ж рівень значимості виявляється менше 0,05 (чи 0,01 і 0,001), то розбіжність вважається істотною і необхідно підібрати іншу теоретичну криву. В тих же випадках, коли декілька теоретичних кривих не дають істотної розбіжності з емпіричною, приймається та крива, яка дає найбільшу імовірність узгодженості. Нижче приведена методика порівняння емпіричного і теоретичного розподілу за двома загальновизнаними критеріями.

а) Критерій узгодженості Пірсона . Критерій узгодженості Пірсона застосовують для перевірки гіпотези про відповідність емпіричного розподілу передбачуваному теоретичному розподілу F(x) при великому об'ємі вибірки (N ? 100). Критерій може бути застосований для будь-яких видів функції F(x), навіть при невідомих значеннях їх параметрів, що зазвичай має місце при аналізі результатів механічних випробувань. У цьому полягає його універсальність. Використання критерію передбачає розбиття розмаху варіювання вибірки на інтервали n і визначення числа спостережень (частот) mi для кожного з інтервалів. Для зручності оцінок параметрів розподілу інтервали вибирають однакової довжини. Інтервали, що містять менше п'яти спостережень, об'єднують з сусідніми. Проте, якщо число таких інтервалів складає менше 20 % від їх загальної кількості, допускаються інтервали з частотою m_i ? 2. 28 Послідовність обчислень приведена в табл.5. У колонках 2 і 3 приведені відповідно емпіричні і теоретичні частоти. Перш ніж робити подальші обчислення, необхідно об'єднати частоти, що зустрічаються менше 5 разів

Значення:

.

Таблиця 5

Після знаходження величини ч2 необхідно визначити число степенів вільності:

k n r 1,

де k - число степенів вільності; n - число інтервалів (об'єднані інтервали на кінцях беруться за один інтервал); r - число параметрів теоретичної функції розподілення. У даному випадку n = 7, r = 3, оскільки нормальний закон розподілу двопараметричний. Тому k 7 31=3. Далі, користуючись додатком 2, знаходимо, що для k = 3 і 4,24 найближче значення імовірності , тобто емпіричні дані не протирічать нормальному закону розподілу.

б) Критерій узгодженості Колмогорова На практиці окрім критерію ч2 часто використовується критерій Колмогорова, в якому як міру розбіжності між теоретичним і емпіричним розподілами розглядають максимальне значення абсолютної величини різниці між емпіричною функцією розподілу F_n (x) і відповідною теоретичною функцією розподілу F(x)

Застосування цього критерію розглянемо на тому ж прикладі.

Таблиця 6

В колонках 4 і 5 табл. 6 наведені накопичені суми, які утворюються шляхом додавання наступних частот до суми попередніх. Потім складається різниця між накопиченими теоретичними і накопиченими емпіричними сумами (колонка 6) та знаходиться максимальне значення цієї різниці. В даному прикладі вона дорівнює 11,0505

Після цього знаходимо, .

где .

Коефіцієнт знаходиться по формулі:

.

Користуючись додатком 3 для даного значення , знаходимо P як імовірність того, що гіпотетична функція вибрана правильно. Для = 0,3 маємо P 1,000, тобто емпіричні дані не протирічать нормальному закону розподілу і добре узгоджуються з теоретичним розподілом.

Висновок

В даній практичній роботі було проведено визначення закону зміни випадкових величин за результатами досвіду. В даному випадку розміри деталей (розмір D = 40 мм) з вибірки знаходяться в межах допустимих відхилень, і, так як крайні стовпчики гістограми віддалені від верхньої і нижньої меж допустимих відхилень, то є певний запас (до виходу бракованих деталей).

Так як А> 0 крива має позитивну асиметрію і Е <0 - є негативний ексцес.

За методикою порівняння емпіричного та теоретичного розподілу за двома загальновизнаним критеріям було встановлено, що емпірична і теоретична криві узгоджуються: за критерієм Пірсона - добре, за критерієм Колмогорова - добре.

Размещено на Allbest.ru