Резонансные явления при пространственных колебаниях нелинейных систем

Размещено на http://www.allbest.ru//

6

Размещено на http://www.allbest.ru//

Специальность 01.02.06 - Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Резонансные явления при пространственных колебаниях нелинейных систем

Муницын Александр Иванович

Москва 2009

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Ивановский государственный энергетический университет» на кафедре «Теоретическая и прикладная механика»

Официальные оппоненты: доктор технических наук, с.н.с.

Банах Людмила Яковлевна

доктор технических наук, с.н.с. Тяпин Александр Георгиевич

доктор технических наук, профессор Подалков Валерий Владимирович

Ведущая организация: Ивановская государственная текстильная

академия

Защита состоится 16 октября 2009 г. в 15.00 часов на заседании диссертационного совета Д-212.157.11 при Московском энергетическом институте (техническом университете) по адресу:

111250, г. Москва, Красноказарменная ул., д.17, ауд. Б-407.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского энергетического института (технического университета).

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью организации, просим направлять по адресу: 111250, Москва, Красноказарменная ул., д. 14, Ученый совет МЭИ(ТУ).

Автореферат разослан 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор технических наук, профессор О.В.Трифонов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В диссертации рассмотрены вопросы, связанные с решением крупной научной проблемы исследования резонансных явлений при пространственных колебаниях нелинейных механических систем с «сопряженными» формами колебаний.

Актуальность темы диссертации. В современных условиях возрастает сложность проектируемых технических объектов, совершенствуются методы их расчета при сложных динамических режимах нагружения. Использование высокопроизводительных машин приводит к увеличению амплитуд колебаний и расширению спектра вибрационных нагрузок. Интенсификация колебаний может привести к полной расстройке и отказу динамической системы, с другой стороны колебания с большими амплитудами являются рабочим режимом большого числа современных машин. Для изучения этих явлений необходимо применять методы нелинейной теории колебаний.

Для решения большого ряда технических проблем представляет интерес исследование нелинейных резонансных явлений в механических системах при воздействии внешних периодических нагрузок. Для реализации подобных явлений необходимо выполнение определенных соотношений между частотами собственных колебаний нелинейно-связанных между собой парциальных систем, либо между собственными частотами и частотой внешнего возбуждения. В этих условиях создаются предпосылки для перераспределения энергии между различными обобщенными координатами системы, вследствие чего могут возбуждаться колебания по тем формам и в тех направлениях, по которым непосредственно не действуют внешние возмущающие нагрузки.

Внутренним свойством таких колебательных систем является скачкообразное изменение их поведения при непрерывном изменении внешних условий. Так струна или стержень под действием вибрационной нагрузки действующей в одной плоскости могут совершать как плоские, так и пространственные колебания в зависимости от значений параметров задачи. Для различных режимов движения характерны качественно различные поля напряжений и соответственно различные прочностные характеристики. Поэтому актуальной проблемой является создание математических моделей нелинейных систем и нахождение всех существующих решений.

Целью работы является выявление и практическое использование новых резонансных явлений в системах с «сопряженными» формами колебаний. Рассматриваются задачи о нелинейных пространственных колебаниях нити с натяжным устройством и пространственные колебания стержня с неподвижными шарнирными опорами и близкими значениями собственных частот изгибных колебаний в разных плоскостях. Под сопряженными формами в этих задачах подразумеваются формы колебаний в двух ортогональных плоскостях.

Для достижения этой цели были поставлены следующие основные задачи:

- составление математической модели рассматриваемых задач в виде системы дифференциальных уравнений и граничных условий,

- решение полученных уравнений для одномодового приближения по обеим сопряженным формам асимптотическим методом Крылова-Боголюбова. Для ряда случаев, в частности при отсутствии диссипации, это решение может быть получено в аналитическом виде,

- разработка и программная реализация численного метода решения приведенной системы нелинейных уравнений на основе метода продолжения решения по параметру,

- исследование устойчивости полученных решений на основе второго метода Ляпунова, пространственный колебание нелинейный устойчивость

- разработка и программная реализация численного метода решения систем дифференциальных уравнений с произвольными, в том числе нелинейными, граничными условиями на основе методов Бубнова-Галеркина и продолжения решения по параметру.

Методы исследования и достоверность полученных результатов. В качестве основных методов исследования в диссертационной работе применялись методы, принятые в теории нелинейных колебаний. В одномодовом приближении решения получены на основе методов возмущений и усреднения, решение с учетом нескольких форм колебаний получено методом Бубнова-Галеркина. В отдельных случаях получено аналитическое решение задачи. Для численного построения амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик использовался метод продолжения решения по параметру. Исследование устойчивости решений проведено на основе второго метода Ляпунова с использованием QR алгоритма.

Достоверность научных результатов подтверждается корректным использованием математического аппарата, адекватного решаемым задачам, удовлетворительным совпадением теоретических и экспериментальных результатов, опытом практического использования разработок в производственной и научной областях.

Основные результаты и их научная новизна.

Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

- сформулирована краевая задача, описывающая динамическое поведение нити с натяжным устройством. При учете упругих свойств нити одно из граничных условий является нелинейным.

- получено решение задачи о свободных колебаниях нерастяжимой нити. Установлено, что система имеет мягкую нелинейность и наряду с двумя плоскими формами колебаний в двух ортогональных плоскостях существует третья форма колебаний соответствующая вращению точек нити по окружности.

- решена задача о вынужденных колебаниях нити под действием кинематического возбуждения в окрестности главного резонанса. Для одномодового приближения и отсутствия диссипации решение получено в аналитическом виде. Установлено, что плоская форма колебаний нити устойчива при малых амплитудах, в области резонанса движение нити происходит по пространственной форме колебаний.

- эта же задача решена с учетом нескольких форм колебаний в двух ортогональных плоскостях. Результаты качественно совпадают с результатами, полученными с учетом одной формы. Для упругой нити определена сила натяжения, максимальное значение которой соответствует плоской форме движения. Пространственное движение нити в области резонанса приводит к значительному уменьшению силы натяжения, что снижает вероятность обрыва нити.

- получено решение задачи о колебаниях стержня с шарнирно неподвижными опорами и близкими значениями осевых моментов инерции сечения. В плоской постановке такая задача является классической. Для свободных колебаний обнаружены две формы плоских колебаний во взаимно ортогональных плоскостях и две пространственные формы, соответствующие движению точек средней линии стержня по эллипсу в противоположных направлениях. Пространственные формы колебаний реализуются только при превышении некоторого порогового значения амплитуд.

- при исследовании вынужденных колебаний стержня, наряду с существованием пространственной формы движения, выявлены ранее неизвестные резонансные явления. При возбуждении колебаний в плоскости большей изгибной жесткости обнаружено устойчивое решение, соответствующее плоской форме движения. Максимальные амплитуды реализуются именно на плоской форме колебаний, причем этот участок амплитудно-частотной характеристики изолирован и реализуется только при наличии внешних возмущений.

- похожие резонансные явления выявлены и для других случаев возбуждения колебаний. В некоторых диапазонах частот возможно одновременное существование до пяти устойчивых режимов колебаний стержня.

- получено решение задачи о колебаниях стержня на первом супергармоническом резонансе, соответствующей заменой переменных эта задача сводится к случаю колебаний в окрестности главного резонанса.

- рассмотрен вопрос практического применения полученных результатов на примере задачи вибрационного контроля вальцовочных соединений и динамического расчета гидроцилиндра выдвижения башни автомобильного подъемного крана КСТ-7.

- исследована задача о колебаниях стержня вращающегося вокруг своей оси. Взаимодействие сопряженных форм в этом случае происходит за счет нелинейных сил и сил Кориолиса. В этой задаче также обнаружено существование нескольких устойчивых режимов колебаний.

Научные результаты, выносимые на защиту.

- уравнения пространственных нелинейных колебаний нити и формулировка краевой задачи динамики нити с натяжным устройством.

- аналитическое и численное решение, полученное для нерастяжимой нити в одномодовом приближении и анализ резонансных явлений проявляющихся в неустойчивости плоской формы колебаний и существовании устойчивых пространственных форм колебаний нити.

- численное решение задачи о колебаниях упругой нити, позволяющее определять силу натяжения нити и явление значительного уменьшения силы натяжения при пространственном движении нити в области резонанса.

- численное и аналитическое решение задачи об изгибных колебаниях стержня с близкими значениями собственных частот колебаний в ортогональных плоскостях и ранее неизвестные резонансные явления, заключающиеся в возможности существования нескольких плоских и пространственных форм движения в области резонансов.

- постановка и решение задачи о колебаниях стержня с нелинейными опорами и ее практическое применение для нелинейной диагностики вальцовочных соединений теплообменных аппаратов.

- исследование задачи о колебаниях стержня, вращающегося вокруг своей оси и влияние угловой скорости на взаимодействие сопряженных форм колебаний.

Научная и практическая значимость работы.

Полученные результаты вносят вклад в развитие нелинейной теории колебаний систем с сопряженными формами колебаний. Выявлены новые резонансные явления в таких системах, в ряде случаев удалось строго установить их характеристики и области существования.

Практическое приложение полученные результаты находят в исследованиях различных технологических процессов текстильной промышленности, связанных с перемоткой нити. Предложенные алгоритмы расчетов позволяют учесть возможные резонансные явления и избежать чрезмерной вытяжки нити и ее обрывов на этапе производства.

Результаты исследования колебания стержня с близкими значениями частот изгибных колебаний использовались при проектировании автомобильного подъемного крана КСТ-7, в частности при расчете гидроцилиндра выдвижения башни. Установлено, что небольшие изменения конструкции крепления гидроцилиндра могут приводить к качественному изменению режима вынужденных колебаний и, следовательно, значительному увеличению амплитуд напряжений и перемещений.

Решение задачи о колебаниях стержня с нелинейными опорами использовано для диагностики технического состояния вальцовочных соединений теплообменных установок.

Результаты проведенных научных исследований внедрены на предприятиях г. Иваново: ОАО ИвНИИ Электропривод, ОАО «Ивэнергомаш», МП «Ивгортеплоэнерго» (акты внедрения прилагаются ).

Научно-методические результаты, полученные в диссертационной работе, используются в учебном процессе Ивановского государственного энергетического университета при чтении лекций студентам и аспирантам по дисциплинам «Устойчивость и управление движением», а также при выполнении курсовых и дипломных проектов.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на Международной научно-технической конференции «Вибрационные машины и технологии» - Курск, 1997г.; Международной научно-технической конференции «Современные наукоемкие технологии текстильной промышленности», Прогресс-2000, Иваново, 2000; Международной научно-технической конференции «Состояние и перспективы развития энерготехнологий» (III-ХII Бенардосовские Чтения), Иваново, 1989-2007; межвузовской научно-техническая конференции «Информационная среда ВУЗа», Иваново, 2000; 1-ой региональной научно-практической конференции «Наука. Экономика. Общество», Воскресенск, филиал МГОУ, 2006; 9th conference on dynamical systems. Theory and applications. Lodz, 2007, Poland; научно-технической конференции «Вибрация-2008. Вибрационные машины и технологии», Курск, 2008 г; 9th international conference «Dynamics of rigid and deformable bodies», Usti nad Labem, Czesh republic, 2008; «Проблемы машиноведения», конференции посвященной 70-летию Института машиноведения, Москва, 2008 г.; Международной научной конференции по механике. Пятые Поляховские чтения. Санкт-Петербург, 2009 г.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано: статей в центральных научных рецензируемых изданиях, входящих в «Перечень периодических научных и научно-технических изданий, выпускаемых в Российской Федерации, в которых рекомендуется публикация основных результатов диссертации на соискание ученой степени доктора наук» - 10; статей в журналах, сборниках трудов Международных, Всероссийских и региональных научно-технических конференций - 25.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из 6 глав, основных результатов и выводов, списка используемых источников из 173 наименований, содержит 206 страниц текста, 89 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, указана научная новизна, научная и практическая значимость результатов работы, приведены структура и содержание диссертации, перечислены результаты, выносимые на защиту.

В первой главе дается краткий обзор и анализ резонансных явлений в нелинейных системах. Из всех задач нелинейной динамики в отдельную группу можно выделить задачи исследования нелинейных резонансных явлений, обусловленных наличием в системе нелинейных взаимодействий между формами колебаний. Исходной предпосылкой для их реализации является выполнение определенных резонансных соотношений между частотами собственных колебаний парциальных систем. Для таких систем характерными особенностями являются неоднозначность решений, срывы амплитуд в резонансной зоне, затягивание колебаний по частоте и другие нелинейные эффекты.

Примером таких систем является твердое тело либо система твердых тел под действием системы периодических сил. При выполнении определенных условий возможно перераспределение энергии колебаний между обобщенными координатами и колебания тел могут иметь совершенно разные закономерности, в зависимости от того реализуется этот механизм перераспределения или нет. Аналогичные явления наблюдаются при рассмотрении колебаний и устойчивости движения твердых и упругих тел, полностью или частично заполненных жидкостью.

Еще одним классом задач, в которых наблюдается взаимовлияние различных форм колебаний, являются нелинейные колебания оболочек. При учете геометрической нелинейности происходит взаимосвязь колебаний по сопряженным (сдвинутым по фазе в окружном направлении) формам. В результате энергообмена между сопряженными формами могут появиться качественно новые виды колебательных движений оболочки, в частности эффект бегущей волны. Аналогичные эффекты наблюдаются в задаче о нелинейных колебаниях кольца. Вращение кольца либо оболочки приводит к возникновению прецессии возбужденных стоячих волн.

Существенный вклад в исследование резонансных явлений внесли работы И.И. Блехмана, В.В. Болотина, Р.Ф. Ганиева, В.О. Кононенко, П.С. Ковальчука, М.Я. Кушуля, Л.И. Маневича, В.Ф. Журавлева, Д.М.Климова, В.Д. Кубенко, Т.С. Краснопольской, В.А. Светлицкого и др.

В работах Л.Д. Акуленко, С.В. Нестерова и Г.В. Костина исследована задача о пространственных колебаниях струны с учетом геометрической нелинейности, обусловленной изменением длины при отсутствии осевых смещений на опорах. Взаимодействие различных форм колебаний наблюдается в задачах о колебаниях стержня, вращающегося относительно одной из опор, колебаниях быстровращающихся валов, трубопроводов под действием бегущих волн жидкости и т.д.

В этой же главе приводится краткий обзор основных работ по динамике текстильной нити и нелинейной вибродиагностике конструкций.

Во второй главе рассматриваются пространственные нелинейные колебания нити с натяжным устройством. В практических приложениях, в частности для большого числа текстильных машин, представляет интерес задача о вынужденных колебаниях нити в процессе ее перемотки по следующей схеме. В точке x=0 нить проходит через натяжное устройство, допускающее продольные перемещения нити и фиксирующее постоянное значение силы натяжения. В простейшем случае натяжное устройство представляет собой фрикционную пару, в которой натяжение нити обеспечивается силой сухого трения. В точке x=L нить совершает движение в плоскости Оyz по некоторому закону . Кроме этого, точки нити движутся со скоростью V, которую будем считать постоянной вдоль деформированной оси S.

В рассматриваемой схеме происходит кинематическое возбуждение колебаний нити в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Поскольку собственные частоты колебаний нити в плоскостях Oxy и Oxz одинаковы, в решении следует ожидать взаимодействия сопряженных форм колебаний.

Рассмотрим колебания нерастяжимой нити, то есть силу натяжения нити T считаем постоянной и равной ее значению в натяжном устройстве. Увеличение амплитуды колебаний происходит за счет продольного перемещения нити в натяжном устройстве и изменения длины нити, участвующей в движении. Обозначим через y(x,t) и z(x,t) перемещения нити в точке с эйлеровой координатой x в вертикальной и горизонтальной плоскостях. Диссипацию учитываем по модели внешнего трения. Полученные уравнения движения нити при сохранении величин третьего порядка малости относительно перемещений в безразмерной форме имеют вид

(1)

Второе уравнение получается заменой . Здесь и далее точкой обозначаем производную по безразмерному времени, штрихом - производную по безразмерной координате, перемещения y и z отнесены к длине L . Функции v и w представляют собой перемещения нити относительно прямой, соединяющей крайние точки нити

.

Все вычисления проводились для нулевого значения безразмерного параметра скорости V, что соответствует пренебрежимо малым скоростям перемотки нити по сравнению со скоростью распространения поперечных волн. В лабораторных условиях аналогичную задачу для неподвижной в продольном направлении нити можно смоделировать, пропустив нить в точке x=0 через пару вращающихся поджимных роликов.

Для одномодового приближения и гармонического закона движения правого конца нити, уравнения движения (1) принимают вид

,

где введен малый параметр и обозначения , т. е. нелинейность системы, диссипация и амплитуда кинематического возбуждения предполагаются асимптотически малыми.

Произведя замену переменных

и применяя метод усреднения, получаем систему уравнений в медленных переменных

(2)

где и , - амплитуды и фазы парциальных колебаний, колебания рассматриваются в малой окрестности единичной частоты . Далее будем рассматривать установившиеся колебания, что соответствует нулевым левым частям уравнений.

Уравнения свободных колебаний получаются из системы (2) при отсутствии диссипации и кинематического возбуждения . Система имеет три решения

Решения 1 и 2 описывают зависимость амплитуды от частоты свободных колебаний нити в плоскостях Оxz, Оxy. Третье решение представляет амплитудно-частотную зависимость пространственных колебаний нити, движение точек средней линии происходит по окружности в плоскости yz.

Для численного решения системы нелинейных алгебраических уравнений (2) с учетом диссипации воспользуемся методом продолжения решения по параметру. Если при некотором значении известно приближенное решение системы уравнений , то для значения приближенное решение представляется в виде Подставляя в систему и линеаризуя полученные уравнения, определяем приращения неизвестных из системы

(3)

где - вектор невязки на предыдущем шаге решения, .

Таким образом, решение системы нелинейных уравнений (2) сводится к решению последовательности систем линейных уравнений (3). На каждом шаге вычислений контролируется величина невязки, и если относительная погрешность превышает заданную точность, то шаг варьируемой переменной уменьшается. В точках ветвления решений за независимый параметр принимается переменная, имеющая наибольшее по модулю приращение на предыдущем шаге, что позволяет найти все существующие решения и построить многозначные амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики.

Для исследования устойчивости полученных решений на основе второго метода Ляпунова рассмотрим некоторое возмущенное решение системы уравнений (2) . После подстановки в систему и линеаризации получаем уравнения возмущенного движения первого приближения , где матрица G совпадает с матрицей, входящей в уравнение (3). Согласно теоремам об устойчивости по первому приближению знак действительной части всех собственных значений матрицы G позволяет сделать вывод об устойчивости решения. Поскольку матрица несимметрична, для решения проблемы собственных значений использовался QR-алгоритм.

Все вычисления проводились для значения параметров . Участки, соответствующие устойчивым решениям, показаны жирными линиями.

На рис. 1 представлены зависимости (кривые 1-3) и (кривая 4) для значений параметров . Кривой 1,3 представлена известная зависимость , соответствующая плоским колебаниям (). При уменьшении частоты возбуждения в точке (A1,B1) плоские колебания плавно переходят в пространственные, при которых точки осевой линии нити описывают эллипсы в плоскости, ортогональной оси x. Разность фаз на устойчивом участке решения 2 равна , что соответствует вращению нити в двух противоположных направлениях. Дальнейшее уменьшение частоты приводит к срыву в точке (A3,B3) на плоскую форму движения нити. При увеличении частоты возбуждения в точке (A4,B4) происходит срыв с плоской на пространственную форму движения.

Рис. 1. АЧХ нити в плоскости возбуждения колебаний (1-3) и в ортогональной плоскости (4).

Решение, соответствующее плоской форме (кривая 1), может быть получено из решения плоской задачи, при этом участок между точкой A1 и максимумом амплитудно-частотной характеристики в точке A2 будет соответствовать устойчивому решению.

Решение системы уравнений (1) получено также с учетом нескольких форм колебаний методом Бубнова-Галеркина. Результаты подтверждают все резонансные явления, выявленные в одномодовом приближении.

Возможность обрыва нити в процессе перемотки обусловлена величиной силы натяжения. Для ее определения необходимо рассматривать колебания упругой нити. Обозначим через y(x,t) и z(x,t) перемещения в вертикальной и горизонтальной плоскостях, а через u(x,t)- продольное перемещение в точке с эйлеровой координатой x. В качестве начального состояния принимаем прямолинейное положение нити растянутой силой , задаваемой натяжным устройством в точке x=0. В первом приближении продольная деформация нити определяется известным соотношением

.

Тогда сила натяжения

,

где E и F- модуль упругости и площадь поперечного сечения нити, .

Уравнения колебаний упругой нити при сохранении величин третьего порядка малости относительно перемещений в безразмерной форме имеют вид

(4)

Третье уравнение получается из второго взаимной перестановкой. Граничные условия формулируются в следующем виде

 (5)

Нелинейное граничное условие получено из предположения, что сила натяжения в натяжном устройстве постоянна .

Краевая задача (4),(5) состоит из системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных относительно функций u,v,w и граничных условий, одно из которых нелинейное. Непосредственное применение метода Бубнова-Галеркина к данной задаче невозможно, поскольку нельзя подобрать базисные функции, удовлетворяющие нелинейному граничному условию. Функции перемещений по координате x (0<x<1) приближенно могут быть заданы в виде

(6)

При этом удовлетворяются все линейные граничные условия. Введение дополнительной базисной функции (1-x) для продольного перемещения позволяет удовлетворить также нелинейному граничному условию. В результате ортогонализации к базисным функциям результата подстановки (6) в (4) получаем L+2N обыкновенных дифференциальных уравнений относительно функций . Еще одно уравнение получается в результате подстановки решения в нелинейное граничное условие (5).

Для решения полученной системы использовался метод продолжения решения по параметру. Вычисления проводились с учетом трех членов ряда в разложении (6) для функций v и w (N=3) и шести членов ряда для функции u (L=6). Значение параметра принималось , что соответствует продольной деформации нити при растяжении силой .

Рассмотрим вынужденные колебания нити в предположении, что точка x=1 движется вдоль фиксированной оси по гармоническому закону . На рис. 2 представлены АЧХ для амплитуд первой гармоники при первой моде функций v (кривые 1,2) и w (кривая 3). Амплитуда кинематического возбуждения h=0,01 и коэффициент диссипации =0,05. Кривая 1 соответствует плоским колебаниям, ее построение начиналось с достаточно малой частоты и в процессе продолжения решения по различным параметрам обнаружено несколько точек ветвления решений. Принимая одну из этих точек в качестве начального приближения, построены кривые 2 и 3. Это решение соответствует пространственным колебаниям, при которых точки нити движутся по эллипсу.

Кривые, соответствующие плоским и пространственным движениям нити, огибают соответствующую скелетную кривую. На рис. 3 представлена зависимость максимального, как по координате, так и по времени, значения натяжения нити от частоты кинематического возбуждения для тех же значений параметров задачи. Наибольшее значение силы не совпадает с максимумом амплитуд, как это следует из решения задачи о плоских колебаниях. В диапазоне частот между точками и пространственные колебания нити приводят к значительному уменьшению силы натяжения, при этом максимальное натяжение соответствует точке бифуркации .



Рис. 2. АЧХ упругой нити в плоскости Рис. 3. Зависимость максимальной силы возбуждения колебаний (1-2) и в ортогональной натяжения от частоты.плоскости (3).

Рассмотрен также случай кинематического возбуждения колебаний нити при движении точки x=1 по окружности . По такой схеме нить движется в кольцепрядильных и крутильных машинах, при осевом сматывании нити с початка или бобины. При этом нить образует так называемый баллон вращения, в котором все точки нити движутся по окружности. Проведено сравнение результатов численного моделирования с экспериментальными результатами, полученными на лабораторном стенде.

Третья глава посвящена исследованию вынужденных колебаний стержня с близкими значениями собственных частот в двух взаимно перпендикулярных направлениях, вследствие несовпадения изгибных жесткостей стержня либо жесткостей опор в разных направлениях. Рассмотрены изгибные колебания стержня с неподвижными шарнирными опорами. Учитывается геометрическая нелинейность, обусловленная изменением длины средней линии стержня при его пространственном движении.

Пусть центральная ось стержня в недеформированном состоянии совпадает с осью x прямоугольной системы координат, главные оси инерции поперечного сечения параллельны осям y и z. Концам стержня соответствуют координаты x=0 и x=L. Обозначим через перемещения точек средней линии стержня. Предполагая отсутствие относительного продольного смещения опор согласно граничным условиям, получаем

где- деформация средней линии стержня. Пусть на стержень действуют внешние гармонические нагрузки во взаимно перпендикулярных направлениях и , диссипацию учитываем по моделям внутреннего и внешнего трения. Пространственные колебания стержня описываются уравнениями в безразмерных переменных

(8)

Для одномодового приближения приходим к системе с двумя степенями свободы

(9)

где введен малый параметр и обозначения

,.

Система уравнений в медленных переменных имеет вид

(10)

где и , - амплитуды и фазы парциальных колебаний, колебания рассматриваются в малой окрестности единичной частоты .

Уравнения свободных колебаний получаются из системы (10) при и позволяют получить явные решения с помощью элементарных функций. Имеем три решения

(11)

Решение 1 описывает известную зависимость амплитуды от частоты свободных колебаний стержня в плоскости Оxz. Решение 2 представляет амплитудно-частотную зависимость колебаний стержня в плоскости Оxy. Третье решение представляет амплитудно-частотную зависимость пространственных колебаний стержня, соответствующую движению точек средней линии по эллипсу в плоскости yz. Действительным значениям a2 соответствует область частот, превышающих , и для возникновения пространственных колебаний необходимо, чтобы амплитуда превышала критическое значение .

При отсутствии диссипативных сил можно получить аналитическое решение для вынужденных колебаний. Без ограничения общности можно положить . Первое решение задачи существует при и значениях фазовых добавок и имеет вид

(12)

в этом случае вектор нагрузки описывает эллипс в плоскости yz.

Второе решение соответствует значениям,и имеет вид

, (13)

при этом вектор нагрузки направлен под углом к оси y.

На рис. 5 а) и б) представлены решения (12) и (13) в виде зависимостей для значений параметров , что соответствует возбуждению колебаний стержня в плоскости большей изгибной жесткости. Устойчивые решения показаны жирными линиями.

Решению (12) соответствуют кривые, отмеченные цифрами 1-6. Решение 1,2,3 соответствует движению точек средней линии стержня практически в плоскости действия нагрузки . Точка на этой кривой разделяет устойчивый и неустойчивый участки 2 и 3. Решение 4 это пространственные движения, при котором сечения стержня движутся по эллипсу в направлении, совпадающем с движением вектора нагрузки. Решение 5 это пространственное движение в противоположном направлении. Зарезонансному движению в плоскости силы соответствует кривая 6, решения 7 и 8 являются неустойчивыми.

Решение (13) имеет особенность при , ему соответствуют две кривые 1,2,9 и 3,10 и третья кривая 6. Оно совпадает с (12) всюду кроме точки и имеет неустойчивые участки 9 и 10, соответствующее движению сечений стержня в некоторой плоскости с постоянной амплитудой в плоскости возбуждения колебаний.

а) б)

Рис. 4. АЧХ стержня в плоскости возбуждения колебаний а)

и в ортогональной плоскости б)

Из условий устойчивости решений определены координаты точки

.(14)

При малых значениях частотной расстройки существует единственное решение, соответствующее движению сечений в плоскости действия нагрузки. При увеличении частоты это решение либо плавно переходит в пространственное движение, совпадающее с направлением нагрузки, либо в пространственное движение в направлении противоположном нагрузке. При оба эти движения равновероятны. При значениях частотной расстройки больших , в рассматриваемой системе возможны четыре режима колебаний. Это два движения в плоскости возбуждения колебаний с «большой» и «малой» амплитудами и два пространственных движения с вращением средней линии стержня в двух противоположных направлениях. Левее этой точки с уменьшением частоты возможны три, два и один режим колебаний.

Как следует из (14), уменьшение параметра сдвигает устойчивый участок плоского решения в область больших частот и амплитуд, так что для стержня с равными моментами инерции сечения, например круглого, такое движение невозможно.

При возбуждении колебаний в плоскости меньшей изгибной жесткости рассматриваем случай . В этом случае все выкладки справедливы с учетом замены.

Численное решение системы уравнений (10) при наличии диссипации получено методом продолжения решения по параметру. Все вычисления проводились для значения параметров .

а) б)

Рис. 5. АЧХ стержня в плоскости возбуждения колебаний (1,2) и в ортогональной плоскости (3): а) , б)

Результаты для случая возбуждения колебаний в плоскости большей изгибной жесткости сечения, при приведены на рис. 5 а). Кривой 1 соответствует зависимость плоской формы движения, кривым 2 и 3 - зависимости и пространственной формы. Точка A4, соответствующая максимальной амплитуде плоской формы движения, на рисунке не показана. В различных диапазонах частот возможно существование от одного до трех устойчивых решений - двух плоских движений и одного пространственного. Учет диссипации приводит к сдвигу точки ветвления решений (A2,B2) в сторону уменьшения частоты и стабилизации решения между точками 2 и 4.

На рис. 5б) представлены зависимости при , , что соответствует возбуждению колебаний в плоскости меньшей изгибной жесткости. Кривой 1 представлена зависимость , соответствующая плоским колебаниям (). На кривой 1 существуют две точки ветвления: A1 и A2, которым соответствуют точки B1 и B2 зависимости (на рисунке точки В1 и В2 сливаются). Решение на участке в этом случае является неустойчивым.

В третьей главе также построены АЧХ для случая нагрузки, располагающейся в плоскости под углом к осям y и z и постоянной по модулю нагрузки, вращающейся вокруг стержня с постоянной угловой скоростью. Исследованы колебания в окрестности первого супергармонического резонанса.

В четвертой главе объектом исследования является гидроцилиндр выдвижения башни специального автомобильного подъемного крана КСТ-7, выпускаемого ОАО «Ивэнергомаш».

В ходе испытаний промышленного образца были обнаружены значительные вибрации башенно-стрелового оборудования крана в процессе выдвижения и втягивания второй секции башни при переводе крана из транспортного положения в рабочее, и наоборот. Появление этих вибраций имело случайный характер.

Источником вибраций является двигатель шасси, работающий на первой передаче и вращающийся с угловой скоростью 1000 об/мин. Нижняя рама совершает колебания с основной частотой 17 Гц в вертикальном направлении и вдоль шасси автомобиля. Предварительный анализ собственных частот башенно-стрелового оборудования показал наличие форм колебаний с близкими к этому значению собственными частотами. Большая часть энергии при этих колебаниях приходится на изгибные колебания гидроцилиндра выдвижения второй секции башни по первой форме колебаний. В результате расчета собственных частот гидроцилиндра с учетом неравножесткости его крепления к основанию башни получены следующие значения. Первая частота колебаний в плоскости xz Гц, вторая частота колебаний в плоскости xy Гц.

При рассмотренной схеме закрепления гидроцилиндр является системой с близкими значениями изгибных жесткостей в двух ортогональных плоскостях. Параметр неравножесткости . В первоначальном варианте конструкции цилиндр был расположен так, что вибрационная нагрузка располагалась в плоскости большей изгибной жесткости xy. В этом случае, как показано в главе 3, в области резонанса возможны как плоские, так и пространственные формы колебаний.

Для устранения вибраций гидроцилиндр было предложено развернуть на вокруг его оси. В этом случае возбуждение колебаний происходит в плоскости меньшей изгибной жесткости и в системе возможны только пространственные формы колебаний. Амплитуды колебаний уменьшаются в два раза, а ширина области резонанса становится примерно в три раза уже. В результате принятых изменений в конструкции и при условии достаточно быстрого выдвижения башни, колебания башенно-стрелового оборудования крана в процессе его перевода в рабочее положение были практически полностью устранены.

Пятая глава посвящена практическому применению результатов, полученных в главе 3 к задаче технической диагностики вальцовочных соединений.

Опыт эксплуатации теплообменных установок в объектах энергетики, химической и газовой промышленности свидетельствует о необходимости дальнейшего совершенствования методов контроля вальцовочных соединений. Разгерметизация конструкций приводит к нарушениям технологии производства и аварийным последствиям. В данной главе рассматривается метод определения технического состояния вальцовочных соединений конструкции на основе анализа нелинейных колебаний стержня с неидеальными опорами.

В качестве расчетной модели трубы с вальцовочными соединениями в двух трубных решетках принимаем стержень кольцевого сечения, имеющий две неподвижные в продольном направлении опоры. Ось x направлена вдоль оси стержня. Перемещения в опорах вдоль осей y и z отсутствуют, а зависимость между углами поворота и изгибающими моментами Мy, Mz задается полиномами

.

Таким образом, дефект вальцовочного соединения моделируется нелинейностью опор и различными значениями угловых жесткостей в ортогональных направлениях.

Рассмотрим решение задачи в простейшем случае. Пусть на опоре выполняются условия жесткого защемления. На опоре граничные условия имеют вид

(15)

Из решения линейной задачи получаем первые формы колебаний в плоскостях xy и xz. Для того, чтобы удовлетворялись нелинейные граничные условия в точке x=1, введем в решение две дополнительные базисные функции

В качестве дополнительных базисных функций принимаем первую моду балки, жестко защемленной по обоим краям. При данных допущениях два нелинейных граничных условия имеют вид

откуда определяем функции .

В систему уравнений в медленных переменных входят параметры , которые зависят от параметра и нелинейности опор . Нелинейность системы определяется как наличием продольной силы вследствие относительной неподвижности опор, так и нелинейностью опор. Полученные результаты свидетельствуют о том, что нелинейная диагностика позволяет извлечь из экспериментальных данных дополнительную информацию, недоступную для интерпретации этих данных в рамках линейной теории.

В качестве объекта экспериментального исследования использовалась натурная бойлерная установка котельного оборудования с горизонтальным расположением пакета, состоящего из 85 латунных труб длиной 1000 мм, с наружным и внутренним диаметром соответственно 16 и 14 мм. В качестве вспомогательного элемента в экспериментальных исследованиях использовалась физическая модель - одиночная трубка с возможностью моделирования различных граничных условий на торцах.

В случае плоских колебаний задача имеет аналитическое решение и размерная амплитудно-частотная характеристика может быть построена с учетом соотношений

где - координата расположения датчика.

Значения параметров определяются методом наименьших квадратов по результатам сравнения с экспериментальными данными в окрестности резонанса.

В качестве примера на рис. 6 приведены некоторые из полученных на стенде амплитудно-частотных характеристик сборки при отсутствии дефектов в одной опоре. Амплитуда вынуждающей силы подбирались из условия не превышения максимальной амплитуды колебаний трубы величины 1,5 мм, что соответствует виброускорению датчика .

Рис. 6. Экспериментальные АЧХ

Рис. 6 а) соответствует дефекту геометрии стыка на второй опоре, по результатам идентификации получены следующие параметры

,

6 б) - наличие трещины во второй опоре,

,

6 в) - неполная развальцовка второй опоры

,

6 г) - бездефектная конечная сборка

.

Выявленными диагностическими признаками дефекта вальцовочного соединения по результатам анализа плоских колебаний, являются - резонансная частота, диссипация или добротность системы и параметр нелинейности.

Как следует из результатов экспериментальных исследований, все три параметра взаимосвязаны, и в первом приближении можно ограничиться одним параметром - добротностью системы. Для рассмотренного типоразмера бойлерной установки окончательная сборка считается номинально-качественной, если измеренная добротность заключена в пределах 1750250.

При необходимости получения более детальной информации о состоянии опор предлагается использовать показания двух датчиков, расположенных в плоскости возбуждения колебаний и в ортогональной к ней плоскости. В системе наблюдаются плоские и пространственные формы колебаний, при этом в системе с идеальными опорами и идеальным сечением трубы в области резонанса существует только одна плоская форма движения.

Анализ пространственных колебаний позволяет выявить шесть диагностических признаков, однако требует усложнения конструкции контроллера и более сложной процедуры идентификации параметров. Большое количество диагностических признаков затрудняет оценку качества соединения. Однако сам факт существования пространственных колебаний является признаком неравножесткости системы.

В шестой главе рассматривается задача о колебаниях стержня вращающегося вокруг своей оси. Вращение производится двигателем неограниченной мощности, способным поддерживать постоянную угловую скорость. Рассматриваются два варианта действия на стержень внешних гармонических нагрузок.

В первом случае нагрузки ортогональны продольной оси стержня и расположены в плоскости вращающейся вместе с ним. Такие нагрузки характерны для многих инженерных объектов. В частности, для некоторых конструкций станков и грузоподъемных машин, источником вибраций являются механизмы, расположенные на поворотной платформе, вращающейся вместе со стержнем. При работе бурильных машин, особенно при бурении твердых и скальных пород, сила сопротивления грунта неизменна по направлению относительно вращающегося бура. В этих случаях исследование колебаний производится во вращающейся системе координат.

Во втором случае нагрузка направлена вдоль одной из осей неподвижной системы координат. Так при бурении мягких пород сопротивлением грунта можно пренебречь. В этом случае источником вибраций являются механизмы привода бурильной машины и решение задачи удобнее находить в неподвижной системе координат.

Пусть ось x совпадает с осью стержня в недеформированном состоянии, а опорам стержня соответствуют точки x=0, x=L. Центр масс поперечных сечений совпадает с осью вращения. Во вращающейся с угловой скоростью системе координат обозначим через v и w перемещения точек средней линии вдоль осей y и z. Уравнения колебаний стержня в безразмерных переменных имеют вид

где безразмерное время , - первая частота изгибных колебаний в плоскости z, - безразмерная скорость вращения, вводимая соотношением .

В полученных уравнениях безразмерная угловая скорость вращения стержня введена таким образом, что соответствующая размерная скорость не превышает значения равного первой частоте изгибных колебаний. Поэтому явления связанные с потерей устойчивости на критических скоростях вращения в данной главе не рассматриваются.

После введения малого параметра, в одномодовом приближении получаем следующую систему уравнений

(16)

Уравнения движения в медленных переменных имеют аналитическое решение при отсутствии диссипации. При значениях фаз нагрузок и фазовых добавок , решения имеют вид

Рассмотрены случаи возбуждения колебаний стержня нагрузкой, расположенной в плоскости большей и меньшей изгибной жесткости сечения. При достаточно большом значении частотной расстройки, возможно существование до пяти режимов движения.

Амплитудно-частотные зависимости и , полученные численным решением уравнений (16) в одномодовом приближении, приведены на рис. 7 а), б) для неравножесткого стержня при значениях параметров . Эти значения параметров задачи соответствуют возбуждению колебаний в плоскости большей изгибной жесткости стержня. Решения представляют собой две кривые 1 и 2. Первое решение непрерывно во всем диапазоне частотной расстройки, второе представляет собой замкнутые кривые.

Устойчивым решениям соответствуют - участок кривой 1 слева от точки , участок справа от точки и участок кривой 2 между точками и . Еще один, четвертый устойчивый участок, находится на кривой 1 правее точки . Максимум этого участка и всей АЧХ (для амплитуды ) на рисунках не показан. Решения этой части амплитудно-частотной характеристики соответствуют движению средних точек сечения по эллипсу в направлении, противоположном вращению стержня. Большая ось эллипса расположена под углом к плоскости действия нагрузки. В случае равножесткого стержня зависимости и имеют похожий вид, однако, последний участок справа от точки является неустойчивым.

Диссипативные силы в первую очередь подавляют колебания, соответствующие вращательным формам движения сечений стержня. Малое различие изгибных жесткостей стержня в двух ортогональных направлениях, приводит к существованию режимов колебаний с большими амплитудами. В рассмотренных выше примерах, максимальная амплитуда колебаний неравножесткого стержня в два раза выше амплитуд колебаний стержня осесимметричного сечения.

а) б)

Рис.7 Зависимости в плоскости возбуждения колебаний а) и в ортогональной плоскости б).

В этой же главе рассмотрены колебания идеально сбалансированного вала осесимметричного сечения под действием гармонической нагрузки, компоненты которой в неподвижной системе координат равны и , а частота не зависит от угловой скорости. При скоростях вращения меньших угловой скорости асинхронной прецессии вала существуют два решения соответствующие прямой и обратной прецессии вала. При скоростях вращения больших критической, в системе одновременно возможны и чисто вынужденные колебания и почти периодические двухчастотные колебания.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В диссертационной работе решена крупная научно-техническая проблема исследования и практического использования новых резонансных явлений в системах с сопряженными формами колебаний, имеющая важное хозяйственное значение для проектирования и эксплуатации объектов текстильной промышленности, машиностроения и энергетики.

При решении поставленных задач получены следующие результаты:

Разработана математическая модель пространственных нелинейных колебаний нити в текстильных машинах с натяжным устройством. Для нерастяжимой нити в одномодовом приближении на основе методов возмущений и усреднения получены уравнения движения в медленных переменных и их решения. Составлен и программно реализован алгоритм решения краевой задачи методом Бубнова-Галеркина с учетом нескольких форм колебаний и при наличии нелинейного граничного условия.

Из анализа полученных численных и аналитических решений установлено, что нить с натяжным устройством обладает мягкой нелинейностью, что объясняет наличие больших амплитуд колебаний в текстильных машинах на малых частотах кинематического возбуждения колебаний. При достаточно больших амплитудах кинематического возбуждения колебаний нити в одной плоскости, плоские резонансные формы колебаний становятся неустойчивыми. На резонансе движение нити происходит по одной из двух пространственных форм, отличающихся вращением нити в двух направлениях. При этом значительно уменьшается сила натяжения нити, что снижает вероятность ее обрыва.

Результаты расчетов, в виде зависимостей амплитуд колебаний и силы натяжения от частоты кинематического возбуждения, позволяют сформулировать требования к системе привода мотальных и других текстильных машин, увеличить скорость перемотки нити и производительность машин, а также уменьшить вероятность обрыва нити и ее вытяжку в процессе перемотки.

Сформулирована краевая задача о колебаниях стержня с неподвижными в продольном направлении опорами и близкими значениями собственных частот изгибных колебаний в двух ортогональных плоскостях. При отсутствии диссипации получено аналитическое решение задачи о свободных и вынужденных колебаниях стержня, что позволило исследовать точки ветвления и смены устойчивости решений. Решение с учетом диссипативных сил получено численно методом продолжения решений по параметру.

При исследовании свободных колебаний, обнаружены две формы плоских колебаний во взаимно ортогональных плоскостях и две пространственные формы, соответствующие движению точек средней линии стержня по эллипсу в противоположных направлениях. Пространственные формы колебаний реализуются только при превышении некоторого порогового значения амплитуд.

При исследовании вынужденных колебаний стержня, наряду с существованием пространственной формы движения, выявлены ранее неизвестные резонансные явления. При возбуждении колебаний в плоскости большей изгибной жесткости, в области резонанса существуют плоские и пространственные режимы колебаний стержня. Максимальные амплитуды реализуются именно на плоской форме колебаний, причем этот участок амплитудно-частотной характеристики изолирован и реализуется только при наличии внешних возмущений. При определенных значениях параметров задачи изолированной является пространственная форма колебаний.

При возбуждении колебаний в плоскости меньшей изгибной жесткости в некоторых диапазонах частот возможно одновременное существование до пяти устойчивых режимов колебаний стержня, два из них это колебания преимущественно в плоскости ортогональной возбуждению. Похожие резонансные явления выявлены и для других случаев возбуждения колебаний. Получено также решение задачи о колебаниях стержня на первом супергармоническом резонансе, соответствующей заменой переменных эта задача сводится к случаю колебаний в окрестности главного резонанса.

Рассмотрен вопрос практического применения полученных результатов на примере динамического расчета гидроцилиндра выдвижения башни, установленного на автомобильном подъемном кране КСТ-7. Поворот неравножесткого гидроцилиндра на к плоскости действия нагрузки приводит к неустойчивости плоской формы колебаний. При этом амплитуды колебаний уменьшаются в два раза, а ширина области резонанса становится примерно в три раза уже.

Для проведения вибрационной диагностики вальцовочных соединений бойлерной установки предложена модель трубы, в которой дефект вальцовочного соединения моделируется нелинейностью опор и различными значениями угловых жесткостей в ортогональных направлениях. Выявленными диагностическими признаками дефекта вальцовочного соединения по результатам анализа плоских колебаний, являются резонансная частота, диссипация и параметр нелинейности. Анализ резонансных явлений с учетом пространственных форм колебаний позволяет идентифицировать параметр неравножесткости системы.

Решена краевая задача об изгибных колебаниях стержня, вращающегося вокруг своей оси. В этой задаче также найдены новые резонансные явления. При возбуждении колебаний в плоскости меньшей изгибной жесткости сечения, в области малых угловых скоростей вращения возможны сразу пять режимов движения. Кроме прямой и обратной прецессии, при определенных значениях параметров задачи, в системе существуют два режима колебаний преимущественно в плоскости ортогональной возбуждению. В случае возбуждения колебаний в плоскости большей изгибной жесткости сечения, для вала двоякой жесткости возможны три режима движения. Это прямая и обратная прецессии и эллиптические движения с большей амплитудой в плоскости действия нагрузки. Результаты расчетов позволяют сформулировать требования к системе привода бурильных машин, увеличить их производительность, а также уменьшить вероятность разрушения бура.

...