Многокомпонентные модели и алгоритмы анализа аномальных геофизических сигналов

Размещено на http://www.allbest.ru/

МНОГОКОМПОНЕНТНЫЕ МОДЕЛИ И АЛГОРИТМЫ АНАЛИЗА АНОМАЛЬНЫХ ГЕОФИЗИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

Специальность: 05.13.18 - математическое моделирование, численные

методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени

доктора технических наук

Мандрикова Оксана Викторовна

Санкт-Петербург 2009

Работа выполнена в Институте космофизических исследований и распространения радиоволн Дальневосточное отделение Российской Академии наук (ИКИР ДВО РАН)

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Куприянов М.С.

доктор технических наук, профессор Нечаев Ю. И.

доктор технических наук, профессор Емельянов Г.М.

Ведущая организация - ОАО "Концерн "Океанприбор"

Защита диссертации состоится "__" ______ 2009 г. в часов на заседании совета по защите докторских и кандидатских диссертаций Д 212.238.01 Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета "ЛЭТИ" имени В.И. Ульянова (Ленина) по адресу: 197376, Санкт-Петербург, ул. Проф. Попова, 5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан "__" _________ 2009 г.

Ученый секретарь совета Пантелеев М.Г.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Настоящая работа посвящена разработке математических моделей для аналитического описания природных сигналов со сложной структурой и построению автоматизированных систем моделирования и прогноза на их основе. Наличие модели природного сигнала, несущего информацию об исследуемом процессе либо явления природы, значительно расширяет возможности их изучения, и позволяет решать задачу предсказания их поведения во времени. Наряду с другими методами исследований, анализ временных рядов систем геофизического мониторинга, регистрирующих вариации геофизических полей, имеет крайне важное значение для решения целого ряда фундаментальных научных задач физики атмосферы, ионосферы, магнитосферы, распространения радиоволн и практических задач обеспечения, в конечном счете, безопасной жизнедеятельности на Земле. На основе прямых экспериментальных данных и на основе соответствующих модельных построений этот подход позволяет получить количественную оценку процессам, формирующимся в той или иной геосфере. Эта тема лежит в общем русле работ фундаментальных научных исследований в области мониторинга и прогнозирования состояния атмосферы, гидросферы и литосферы и технологии снижения риска и уменьшения последствий природных и техногенных катастроф.

Состояние среды является суперпозицией очень большого количества взаимодействий между различными процессами и перед исследователем стоит задача найти способ уменьшить размерность системы и выявить структурные компоненты, наиболее полно описывающие исследуемый природный процесс. В настоящее время наблюдается рост сети станций регистрации геофизических сигналов и вследствие чего возникновение больших массивов статистических данных, развиваются методы их анализа. Это позволяет на принципиально новом уровне решить данную проблему.

В диссертации в первую очередь рассматривается класс задач, связанных с обнаружением и классификацией аномальных эффектов в сигналах регистрации геофизических параметров. Аномальное поведение регистрируемых сигналов может содержать резкие всплески, сопровождаться серией пиков, иметь ступенеобразный вид. Относительная величина и временная протяженность таких аномалий зависит от многих факторов. Эти аномальные особенности содержат полезную информацию об изучаемом процессе и должны быть отображены в модели. Сложная структура возникновения аномалии, а также наличие мешающих факторов различной природы делают невозможным непосредственное применение к ним существующих регрессионных и других статистических моделей временных рядов. Естественным и наиболее эффективным способом представления таких сигналов является построение нелинейных адаптивных аппроксимирующих схем на основе экстраполирующих фильтров. Инструментом, позволяющим реализовать такую процедуру для сигналов с подобными особенностями, является вейвлет-преобразование. В настоящее время ведутся интенсивные исследования по применению этого метода в различных прикладных задачах, связанных с анализом сложных сигналов, возникающих в физике, медицине, финансовом анализе и др. областях. Несмотря на то, что данный метод в последнее время имеет распространение при обработке сигналов в геофизике, общей теории по применению этого аппарата в анализе регистрируемых природных сигналов нет. Данная диссертация восполняет ряд пробелов в этой области. Вейвлет-преобразование в работе является инструментом, лежащим в основе построения моделей сигналов со сложной структурой. Расширяя область традиционных методов моделирования, в диссертационной работе введены математические конструкции, позволяющие построить адаптивную многокомпонентную модель сигнала с учетом внутренней структуры исходных данных и выполнить отображение как характерных, так и изолированных особенностей его структуры. Это играет важную роль в задачах анализа сложных природных сигналов в геофизике, физике, геоэкологии и др. областях. Способы идентификации предложенных моделей основаны на совместном применении моделей авторегрессии-проинтегрированного скользящего среднего и методов нейронных сетей с вейвлет-преобразованием.

Цель работы заключается в разработке математических моделей для аналитического описания природных сигналов со сложной структурой, включающей локальные особенности различной формы и временной протяженности. Сигналы с такими особенностями имеют место в геофизике, физике, медицине, теории управления, финансовом анализе и др. областях.

Проведенные в работе исследования привели к созданию класса моделей, в основе которых лежит математическая конструкция, названная многокомпонентной моделью временного ряда, представляющая исходный временной ряд в виде разномасштабных компонент с различной формой и временной протяженностью. На основе данной конструкции построена общая теория построения модели временного ряда со сложной структурой. Разработаны методы идентификации и оценки моделей, описаны их свойства. Также разработан комплекс методов и алгоритмов обработки данных, основанный на предложенных моделях и служащий теоретической базой для построения автоматизированных систем анализа статистических данных и выполнения прогноза.

При этом решены следующие задачи:

Разработана новая математическая конструкция - многокомпонентная модель временного ряда (ММВР), позволяющая идентифицировать локальные особенности различной формы и временной протяженности в структуре сложного сигнала.

Разработаны способы идентификации ММВР для сигналов со сложной структурой, обеспечивающие выделение существенных компонентов структуры сигнала и эффективное вейвлетное подавление шума.

Разработаны методы оценки параметров ММВР, основанные на совмещении методов авторегрессии-проинтегрированного скользящего среднего (АРПСС) и методов нейронных сетей с вейвлет-преобразованием.

Разработаны численные методы и алгоритмы выявления и классификации изолированных особенностей в структуре сигнала и идентификации устойчивых характеристик временного ряда

Построенный аппарат применен к исследованию геофизических сигналов с широким спектром флуктуаций различных масштабов.

Предложено использование построенного аппарата для оценки плотности распределения случайной величины.

Разработано программное обеспечение для автоматического обнаружения и классификации локальных аномальных особенностей в геофизических сигналах на базе ПЭВМ.

Методы исследований. В развитых автором подходах использовались классические работы по теории вейвлетов, опубликованные на рубеже 90^х S. Mallat, L.K. Meyer, D.J. Lemarie, I. Daubechies, R.R. Chui и др., работы отечественных авторов, работы Donoho D. по минимаксным оценкам сигнала в смеси с шумом. В диссертационной работе также использовался аппарат теории случайных процессов, теории цифровой обработки сигналов, теории распознавания образов, теории построения математических моделей, методы вычислительной математики, основы функционального анализа. С целью проверки эффективности новых результатов и синтезируемых на их основе алгоритмов обработки данных, в среде МАТЛАБ выполнялись расчеты, и проводилось математическое моделирование с использованием реальных и модельных сигналов. геофизический сигнал математический модель

Научная новизна состоит в создании и исследовании класса моделей природных сигналов со сложной структурой, в основе которого лежит многокомпонентная модель временного ряда, представляющая исходный сигнал в виде разномасштабных компонент с различной формой и временной протяженностью, в частности:

1. На основе нелинейных аппроксимирующих схем разработаны методы идентификации структурных компонентов природного сигнала, содержащего изолированные особенности различной формы и временной протяженности. В качестве пространства-образа сигнала определено пространство вейвлет-коэффициентов, обеспечивающее отображение разномасштабных структурных компонентов сигнала в элементы модели. В качестве базовых конструкций, используемых для построения отображения, определены кратномасштабный анализ и вейвлет-пакеты.

2. Разработаны методы выделения устойчивых характеристик структуры сигнала и изолированных особенностей.

3. Разработаны численные методы и алгоритмы построения наилучшей аппроксимирующей схемы сложного природного сигнала, обеспечивающие выделение существенных компонентов структуры сигнала и эффективное вейвлетное подавление шума.

4. Предложен способ оценки многокомпонентной модели временного ряда на основе минимаксного подхода, разработаны способы диагностики и оптимизации модели.

5. Разработаны два способа оценки параметров модели сигнала: первый основан на совмещении методов АРПСС и вейвлет-преобразования - позволяет выполнить оценку параметров модели в случае, когда компоненты сигнала имеют линейную структуру; второй базируется на совмещении методов нейронных сетей и вейвлет-преобразования - позволяет построить аппроксимирующую функцию частного вида на дискретном множестве значений в случае, когда структура компонент сигнала существенно нелинейная.

А также:

1. На основе построенной аппроксимирующей схемы сигнала разработана техника идентификации характерных элементов структуры сигнала и выделения редковстречающихся особенностей.

2. Разработаны способы классификации выделенных локальных особенностей в структуре сигнала.

3. Впервые предложен метод оценки плотности распределения случайной величины на основе вейвлет-преобразования.

Научная и практическая ценность работы заключается в том, что:

созданы теоретические основы построения моделей сложных природных сигналов, содержащих локальные особенности различной формы и временной протяженности;

разработаны конкретные модели природных сигналов;

предложенный автором метод выделения изолированных особенностей в структуре сигнала стал заметным вкладом в компьютерные методы анализа сложных геофизических сигналов, применяемые в различных лабораториях;

разработанные автором способы классификации локальных особенностей в структуре сигнала используются в программном обеспечении по обработке данных регистрации подпочвенного радона и сигнала критической частоты f₀F₂;

на основе предложенных автором алгоритмов автоматического обнаружения изменения параметров модели построены системы по обработке ионосферных данных;

разработанный автором метод оценки плотности распределения случайной величины на основе вейвлет-преобразования нашел применение в обработке данных регистрации сейсмического каталога и позволил выявить аномальные изменения в распределении сейсмических событий по глубине накануне сильных землетрясений на Камчатке;

проведены экспериментальные исследования разработанных методов и алгоритмов на реальных и модельных сигналах, подтвердившие их эффективность при обработке сигналов со сложной структурой;

разработанные методы значительно расширяют область применения традиционных методов анализа сложных сигналов, они позволяют идентифицировать те особенности структуры сигнала, которые не попадают в область этих методов, и могут быть использованы для широкого круга задач, в которых необходим анализ сигналов со сложной структурой.

Результаты научных исследований, выполненные автором и представленные в пунктах 1-5, включены в важные научные достижения ДВО РАН в период 2005 - 2007 гг.

Научные положения, выносимые на защиту:

1. Теоретические и методические основы построения многокомпонентной модели сложного природного сигнала, содержащего изолированные особенности различной формы и временной протяженности.

2. Численный метод построения наилучшей аппроксимирующей схемы сложного сигнала, лежащий в основе построения многокомпонентной модели.

3. Способ оценки параметров многокомпонентной модели сигнала на основе совмещения конструкции вейвлет-преобразования и регрессионных методов.

4. Способ оценки параметров многокомпонентной модели на основе совмещения конструкции вейвлет-преобразования и методов нейронных сетей.

5. Численные методы и алгоритмы классификации выделенных изолированных особенностей в структуре сложного сигнала.

6. Методики идентификации моделей природных сигналов применительно к задаче выделения и классификации аномальных особенностей в их структуре.

7. Метод оценки плотности распределения случайной величины на основе вейвлет-преобразования.

Внедрение результатов работы.

Работа выполнялась в рамках:

1. Договора о научно-техническом сотрудничестве между Институтом вулканической геологии и геохимии ДВО РАН с одной стороны, Камчатским государственным техническим университетом, с другой стороны, и Санкт-Петербургским государственным электротехническим университетом, с третьей стороны по теме “Разработка алгоритмов и методов выделения средне и краткосрочных предвестников сильных землетрясений Петропавловск-Камчатского геодинамического полигона по данным геохимического мониторинга”. Тематика работы связана с программой ГНТП №16 «Безопасность населения и народно-хозяйственных объектов с учетом риска возникновения природных и техногенных катастроф», программа Президиума РАН «Изменение окружающей среды и климата: природные катастрофы».

2. Договора о научно-техническом сотрудничестве между Институтом космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН с одной стороны и Санкт-Петербургским государственным электротехническим университетом, с другой стороны. Тематика работы связана с программами фундаментальных исследований Президиума РАН и находятся на пересечении трех направлений: научная программа № 18 «Теплофизика и механика интенсивных энергетических воздействий» в части «Солнечный ветер: генерация и взаимодействие с Землей и другими планетами», научная программа № 13 «Изменение окружающей среды и климата: природные катастрофы» и программа №30 «Солнечная активность и физические процессы в системе Солнце-Земля».

Работа была поддержана грантом РФФИ №02-05-64467 «Выявление среднесрочных и краткосрочных предвестниковых аномалий перед сильными землетрясениями южной Камчатки с М>6 в вариациях динамики подпочвенного радона, водорода и пространственно - временных характеристик сейсмичности», грантом РФФИ для студентов, аспирантов и молодых ученых №03-05-06453а, грантом ДВО РАН №05-3-В-02-76 «Исследование механизмов ионосферного и литосферного взаимодействия», грантом ДВО РАН №06-3-В-02-059 «Исследование механизмов формирования вероятностной структуры распределения сейсмических событий на основе статистической модели сейсмического режима Камчатского региона».

Научные результаты и разработанное программное обеспечение внедрены в лаборатории ИКИР ДВО РАН, г. П.-Камчатский, а также используются в учебном процессе при проведении лабораторных и курсовых работ по курсу «Системы цифровой обработки сигналов», «Моделирование систем» для студентов специальностей «Управление и информатика в технических системах» и «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» в КамчатГТУ.

Апробация полученных результатов. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на научно-технических конференциях КамчатГТУ в 2000-2008 гг.; на Всероссийской научной конференции "Проектирование научных и инженерных приложений в среде Matlab".- Москва: ИПУ РАН 2002г; на Международной научно-практической конференции “Рыбохозяйственное образование Камчатки в XXI веке”. - Петропавловск-Камчатский, 15-16 октября 2002 г.; на Международной конференции по мягким вычислениям и измерениям, - С.-Петербург, 2003, 2005-2008 г.г.; на III международной конференции «Солнечно-земные связи и электромагнитные предвестники землетрясений», -П.-Камчатский, 2004г.; на IV международном совещании «Солнечно-земные связи и предвестники землетрясений», с. Паратунка, Камчатский р-он, 2007г.; на 8^ой международной конференции «Pattern recognition and image analysis: new information technologies», Йошкар-Ола, 2007г.; на 10^ой международной научной конференции «Проблемы эволюции открытых систем», Казахстан, Алматы, 2008г.; на 5^ой научной конференции «Управление и информационные технологии», (УИТ-2008), Санкт-Петербург, 2008г.

Материалы диссертации докладывались на семинарах в институте вулканической геологии и геохимии ДВО РАН (П.-Камчатский); институте космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН (П.-Камчатский).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 37 печатных работ, из них - 17 статей (9 статей, рекомендованных в Перечне ВАК Минобрнауки России), 18 докладов на международных и всероссийских научно-технических конференциях и 2 монографии. 2 статьи, определенные ВАК, находятся в печати.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы, включающего 134 наименования и 3 приложения. Основная часть работы изложена на 270 страницах машинописного текста и содержит 91 рисунок и 18 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Во введении показана и обоснована актуальность работы, сформулированы основные цели и задачи, научная новизна и практическая ценность диссертационной работы.

Первая глава посвящена анализу основных подходов к построению модели временного ряда и постановке задачи. Приведены традиционные стохастические методы с указанием имеющихся недостатков и рассмотрен способ построения модели временного ряда с использованием нейронных сетей. Выполнен анализ современных методов аппроксимации сигналов, основанных на разложении функции по базису. Приводятся аргументы в пользу того, что нелинейные аппроксимирующие схемы в базисе вейвлетов является наиболее эффективным методом, позволяющим решить поставленную задачу. Введена новая математическая конструкция - многокомпонентная модель временного ряда, позволяющая выявить и исследовать те особенности структуры данных, которые не попадают в область традиционных методов.

Предметом исследований являются природные сигналы, которые содержат изолированные аномальные особенности различной формы и временной протяженности, возникающие в случайные моменты времени. Примером являются сигналы регистрации геофизических параметров, которые включают в себя различного характера аномальные эффекты, возникающие накануне сейсмических явлений, связанные с активностью Солнца и другими процессами различной природы. Время появления и интенсивность этих аномалий является полезной для исследователей информацией. Выделение аномалий в вариациях геопараметров является сложной задачей и сталкивается с серьезными трудностями. Это связано с большим разнообразием и достаточно сложной формой аномалий и с отсутствием адекватных математических моделей. Анализ основных подходов к построению модели геофизических данных показывает, что традиционно для решения данной задачи применяют процедуру сглаживания, которая позволяет отфильтровать шум и выделить регулярную составляющую. Причем регулярная составляющая рассматривается двух видов: либо тренд, либо сезонная составляющая. В случае отсутствия теоретических обоснований предположения о том, что поведение данных описывается некоторым полиномом, модель тренда теряет смысл. В области экстраполяции доверительные границы для построения оценки быстро расходятся и довольно сильно отклоняются от найденного полинома. Популярным методом анализа временных рядов также является метод авторегрессии-проинтегрированного скользящего среднего. Практика подтвердила его мощность и гибкость при решении многих прикладных задач. Но он тоже имеет ограничения как на возможность его использования для отдельных временных рядов, так и на выявляемые при этом закономерности. Допущение, что временной ряд может быть описан линейным стохастическим дифференциальным уравнением, не позволяет учитывать некоторые характеристики структуры данных, и влечет потерю и искажение важной информации. Недостатком перечисленных методов, по отношению к решаемой задаче, также является предположение, что сигналы имеют нормальное распределение, которое не всегда оправдано. Методы оценки параметров модели, а также ее диагностика и оптимизация полностью базируются на этом предположении, что автоматически исключает возможность отображения в модели изолированных локальных особенностей и делает непосредственное применение перечисленных методов неэффективным для решения поставленной задачи. Получающие развитие в настоящее время современные методы обработки сигналов, такие как вейвлет-преобразование и методы нейронных сетей, хотя и позволяют частично справиться с данной проблемой, но отсутствие общей теории по их применению для природных сигналов с подобными особенностями не дает возможность в полной мере использовать их аппарат.

Предложено представление сигнала в виде разномасштабных компонент с различной структурой:

. (1)

Когда коэффициенты коррелируют между собой, вывод о том, какие аппроксимирующие функции использовать, сделать достаточно трудно. Естественным путем решения является представление сигнала в виде ортонормированных компонент:

,. (2)

Поскольку функции в (1) имеют разную структуру, подверженную изменению в случайные моменты времени, наиболее эффективным способом их идентификации является применение методов аппроксимации, основанных на разложении функции по базису:

(3)

где, - базисные функции пространства .

С целью возможности построения моделей, адаптирующихся к структуре сигнала, автором предложено использовать здесь нелинейные аппроксимирующие схемы. В этом случае приближение выполняется M векторами, зависящими от структуры сигнала:

, (4)

где - множество индексов, определяемое свойствами функции .

Конструкция (1) с учетом свойств (2) - (4) названа многокомпонентной моделью временного ряда.

Учитывая локальный характер анализируемых особенностей, их разномасштабность и разнообразие по форме, наиболее подходящим пространством для их представления является пространство, натянутое на базис смещенных функций или вейвлет-базис. Вейвлет-коэффициенты

, - ортонормированный вейвлет-базис,

рассматриваются как результат отображения в пространство с разрешением .

Предложенный подход к построению модели временного ряда со сложной структурой и использование вейвлет-преобразования в качестве метода идентификации его структурных компонентов предоставляет широкие возможности в задачах анализа природных сигналов. Некоторые общие вопросы и методы построения моделей природных сигналов на основе нелинейных аппроксимирующих схем в вейвлет-базисе подробно рассмотрены в монографиях [20, 31].

Задача исследования состоит в разработке

1. теоретических и методических основ построения многокомпонентной модели сложного природного сигнала;

2. численных методов и алгоритмов построения аппроксимирующей функции для сигнала с описанной структурой на основе нелинейной аппроксимирующей схемы в базисе вейвлетов;

3. методов оценки модели;

4. алгоритмов автоматического обнаружения изменения параметров модели применительно к задаче обнаружения аномального поведения геофизических компонентов;

5. методов и алгоритмов классификации выделенных аномальных особенностей;

6. методик построения модели природного сигнала на основе разработанного аппарата.

Во второй главе, основываясь на понятиях вейвлет-преобразования, автор определяет в качестве базовых конструкций, используемых для построения многокомпонентной модели сигнала - кратномасштабный анализ (КМА) и вейвлет-пакеты (ВП). Предложены критерии выбора базиса, обеспечивающие построение наилучшей аппроксимирующей схемы (НАС) сигнала, лежащей в основе построения многокомпонентной модели и обеспечивающей выделение существенных компонентов структуры сигнала. Разработаны способы идентификации устойчивых характеристик структуры сигнала и изолированных особенностей. Разработаны численные методы и алгоритмы построения НАС сигнала. Предложены методы диагностики и оптимизации полученной аппроксимирующей схемы сигнала.

В утверждении 1 диссертационной работы доказано, что конструкция дискретного вейвлет-преобразования (ДВП), осуществляет разложение функции на ортогональные компоненты и обеспечивает выполнение условия (2) ММВР, при условии, что , где - коэффициенты вейвлет-разложения.

Случайный сигнал представляет зависимость

,

где - истинное значение измеряемой величины, - ошибки измерений.

Вейвлет-образ случайной функции определен как

,, - базисный вейвлет.

Показано, что компоненты модели (1) в пространстве вейвлет-образов имеют вид

.

тогда вейвлет-образ функции определяется как

,

где .

Используя утверждение 1, доказано, структурные компоненты сигнала с шумом, принадлежащего пространству с разрешением

,

отображаются в компоненты ММВР вида

, где ,

Показано, на основе процедуры КМА, случайный сигнал в пространстве вейвлет-образов может быть представлен в виде:

, (5)

где , , , - белый шум, , , .

Каждая компонента (5) единственным образом определяется последовательностями коэффициентов , и : , и .

Этот способ идентификации компонентов модели (1) назван в работе конструкцией 1-го типа.

Конструкция 1-го типа построена на предположении, что полезная информация о сигнале находится в низкочастотной его составляющей. В случае необходимости идентификации различных типов частотно-временных структур более эффективным методом является конструкция вейвлет-пакетов (ВП).

В работе показано, аналогично конструкции 1-го типа, процедура разложения сигнала по базисам ВП позволяет идентифицировать компоненты ММВР. На основе конструкции ВП случайный сигнал имеет представление:

, (6)

где , , - пространства вейвлет-пакета.

Каждая компонента (6) единственным образом определяется последовательностями коэффициентов , и : , и .

Эта процедура идентификации компонентов ММВР названа в работе конструкцией 2-го типа.

Методы выделения изолированных особенностей в структуре сигнала построены на основе теоремы Жаффара. Используя эту теорему, в работе доказано утверждение 2:

Для случайной функции , имеющей вид (6), при уменьшении масштаба абсолютные значения коэффициентов , определяющих компоненту , являются малыми за исключением окрестностей, содержащих изолированные особенности структуры сигнала.

Постепенное уменьшение масштабного параметра позволяет фокусироваться на локальных структурах сложного сигнала и исследовать его структуру. Для каждого компонента дает локализованную частотно-временную информацию об в -й октаве (частотном диапазоне).

Метод выделения устойчивых характеристик в структуре случайного сигнала базируется на анализе компоненты . Скалярные произведения функции с функциями эквивалентны выполнению операции свертки с фильтром высоких частот. Когда функция имеет нулевых моментов и , то для вблизи

.

Получаем, что в компоненте сигнала мы имеем приближение аппроксимируемой функции с разрешением . Изолированные особенности структуры случайного сигнала отображаются в пространства и . Автокорреляционная функция от определяется как

,

где - автокорреляционная функция компоненты.

Следовательно, коэффициенты , соответствующие компоненте , содержат устойчивые характеристики структуры сигнала.

Вейвлет-преобразование предоставляет широкий спектр базисных функций, но качество обработки, определяется их свойствами. Решение проблемы выбора базисной функции является нелегким. В зависимости от задачи возможны различные способы формирования критериев.

С целью обеспечения численно устойчивых разложений сигнала, в диссертации, в качестве первого критерия, определено условие: является -функцией.

Решая задачу аппроксимации сигнала в базисе ортогональных функций в качестве следующих критериев логично определить:

1. минимизацию числа аппроксимирующих слагаемых;

2. минимизацию погрешности аппроксимации.

Минимизация числа аппроксимирующих слагаемых и минимизация погрешности аппроксимации достигается на основе выбора вейвлет-базиса, обеспечивающего как можно большее число вейвлет-коэффициентов , которые являются пренебрежимо малыми. Нелинейная аппроксимирующая схема, удовлетворяющая этим требованиям, определена в работе как наилучшая аппроксимирующая схема (НАС).

Показано, в этом случае определяющими, при выборе семейства базисов, будут характеристиками: гладкость, размер носителя, число нулевых моментов.

Предложена методика построения НАС сигнала, включающая операции:

1. удаление шума;

2. выбор базиса;

3. идентификация структурных компонентов сигнала.

В основе данной методики лежит следующий численный алгоритм:

1. построение полного дерева разложения: , есть базис пространства ;

2. определение ветвей дерева, соответствующих структурным компонентам сигнала путем выбора «наилучшего» базиса: «наилучший» базис пространства есть базис

,

где множества индексов определяются следующим образом:

индекс , порог .

Доказано, выделенные, на основе этих операций, детализирующие вейвлет-коэффициенты соответствуют изолированным особенностям структуры сигнала и определяют компоненты ММВР, а вейвлет-коэффициенты аппроксимирующей компоненты сигнала соответствуют устойчивым характеристикам его структуры и определяют компоненту ММВР.

Оценка модели в диссертационной работе выполняется на основе минимаксного подхода. Сигнал оценивается преобразованием зашумленных данных с помощью оператора решения . Результирующая оценка есть

.

Погрешность оценки составляет

.

Минимаксный риск - это нижняя граница, вычисленная по всем линейным и нелинейным операторам :

.

Оптимизация оценки выполняется в работе путем улучшения порога на основе алгоритма НОРШ-порога.

Также в работе предложен метод оптимизации модели путем определения наилучшего базиса. Определение наилучшего базиса основывается на результатах работы S. Mallat. Оценка получается пороговой обработкой разложения сигнала длины в базисе , :

,

где - пороговая функция.

Идеальный базис - это такой, который минимизирует погрешность оценки

.

Тогда, оценив погрешность в каждом базисе , логично определить в качестве наилучшего базиса тот, который ее минимизирует.

В основе метода диагностики модели лежит естественное предположение, что полезные составляющие сигнала более скоррелированы, чем случайные возмущения. Когда возрастает, есть вероятность, стремящаяся к 1, что

.

Корреляция сигнала с базисом определяется как

.

Тогда диагностика модели может быть построена на проверке условия:

,

где - множество векторов из , для которых не выполнено условие , - их количество.

В третьей главе описаны методы оценки параметров ММВР на основе совместного применения вейвлет-преобразования и модели АРПСС. Расширяя область традиционных методов анализа временных рядов, автором предложена новая математическая модель, представляющая собой линейную комбинацию составляющих двух видов: детализирующую и аппроксимирующую. Детализирующая составляющая модели аппроксимирует изолированные особенности в структуре сигнале. Методы оценки параметров данной составляющей основаны на вейвлет-теории. Аппроксимирующая составляющая содержит устойчивые характеристики структуры сигнала, оценка которых основана на методах АРПСС. Разработаны численные методы и алгоритмы идентификации новой модели, описаны ее свойства. Предложены методы автоматического обнаружения и классификации аномальных особенностей в структуре сложного сигнала, основанные на введенной математической конструкции.

Модель (6) может быть представлена в виде линейной комбинации составляющих двух видов:

,

где , , ,,

- множество индексов, определяемое свойствами функции .

Компоненты , соответствующие составляющей модели, являются детализирующими и включают в себя приращения порядка . Данная составляющая нацелена на выделение изолированных особенностей в структуре сигнала. Методы выделения и классификации этих особенностей основаны в работе на анализе наибольших абсолютных значений коэффициентов , которые определены в качестве параметров составляющей модели.

Для оценки параметром сглаженной компоненты модели в работе предложены методы АРПСС.

Общий вид модели сигнала, получаемый на основе совместного применения конструкции вейвлет-преобразования и методов АРПСС, имеет вид:

,

где , - множество индексов, определяемое свойствами функции ; - коэффициенты авторегрессии, ,

Эта модель названа в работе вейвлет-преобразование авторегрессия (ВПАР).

Показано, совместное применение методов вейвлет-преобразования и модели АРПСС обеспечивает выполнение следующих важных свойств:

· позволяет выделить изолированные особенности в структуре сигнала и идентифицировать их на основе вейвлет-преобразования;

· позволяет выделить стационарные характеристики временного ряда и идентифицировать их на основе модели АРПСС;

· обеспечивает понижение порядка модели АРПСС.

Таким образом, предложенная конструкция - ВПАР не только расширяет область использования класса моделей АРПСС, но и улучшает свойства результирующей АР-модели. Этапы идентификации модели ВПАР могут быть представлены в виде схемы, показанной на рис. 1.

Рис. 1 Этапы идентификации модели вейвлет-преобразование авторегрессия

Формальная постановка задачи обнаружения и классификации аномальных особенностей в сигнале следующая:

Пусть дана случайная последовательность значений функции , обладающая набором свойств. Предположим, что в момент времени последовательность меняет одно (или несколько) из своих свойств. Наблюдая , необходимо:

· обнаруживать момент изменения свойств ;

· классифицировать вид особенности и ее временную протяженность;

· формулировать заключение о поведении объекта исследования.

Методы обнаружения и классификации высокочастотных аномальных особенностей в сигнале построены на обработке детализирующие составляющей модели:

1. Обнаружение аномалии:

1.1. на каждом уровне детализации сохранение коэффициентов , абсолютные значения которых превышают пороговое значение : , если ;

1.2. в случае выполнения условия:

,

где - порог, определяющий наличие аномалии в сигнале, - пределы временного окна,

в момент времени имеем аномалию;

2. Классификация особенности:

2.1. по виду: на каждом уровне детальности для аномальной точки определяется гладкость Липшица по максимальному наклону как функции ;

2.2. по энергии: на каждом уровне детальности производится расчет энергии в пределах скользящего временного окна:

,

где - пределы временного окна;

2.3. по масштабу: для всех уровней детальности производится расчет общей энергии в пределах скользящего временного окна:

,

где - пределы временного окна;

Методы обнаружения и классификации аномальных особенностей в сигнале, соответствующих длительным периодам времени, построены на обработке сглаженной составляющей модели:

Пусть дана последовательность значений функции . Рассмотрим следующие гипотезы:

· порождаются - образуют конечное число изолированных точек наблюдаемой последовательности;

· порождаются порождаются моделью ;

· порождаются моделью порождаются моделью порождаются моделью , где - семейство моделей, параметризованных вектором .

В случае выполнения гипотезы дополнительной задачей становится задача определения моментов времени . В случае выполнения гипотезы помимо оценки времени изменения возникает задача определения . Поскольку обработка данных предполагается по мере их поступления, мы можем ограничиться рассмотрением гипотез .

Для получения оценки времени изменения в случае обработки блоков данных разумнее всего применять метод максимального правдоподобия. В соответствии с идеей Е.С. Пейджа проверяются гипотезы , состоящие в том, что , где - момент изменения свойств процесса. Вероятность ошибочной классификации будет минимальной, если гипотеза принимается при выполнении условия

,

где - функция правдоподобия, соответствующая гипотезе , - плотность распределения наблюдений . Все значения предполагаются равновероятными. Оценка получается заменой неизвестной величины оценкой максимального правдоподобия. Применительно к модели АРСС имеем:

В случае гауссовской модели, следуя Боксу и Дженкинсу, имеем:

где - ковариационная матрица последовательности авторегрессии, - матрица квадратичной формы нормального закона.

Общая схема решения задачи обнаружения и классификации аномальных особенностей в сигнале на основе модели вейвлет-преобразование авторегрессия представлена на рис.2.

Рис. 2 Схема решения задачи обнаружения и классификации аномальных эффектов в сигнале на основе конструкции ВПАР

Четвертая глава посвящена описанию методов оценки параметров ММВР на основе совместного применения вейвлет-преобразования и методов нейронных сетей (НС). Предложена новая математическая модель - вейвлет-преобразование нейронная сеть (ВПНС), позволяющая идентифицировать многокомпонентную модель сигнала, в случае, когда компоненты вейвлет-преобразования имеют нелинейную структуру. Синтезируются методы и алгоритмы формирования обучающего и тестового множеств для обучения НС, обеспечивающие адекватность модели для сигналов со сложной структурой.

В случае, когда для временного ряда сложной структуры идентифицировать модель общего вида не представляется возможным, стоит задача аппроксимации частного вида функций, принимающих дискретное множество значений. Существенная особенность НС состоит в том, что вид аналитической зависимости между переменными находится в процессе обучения сети. Показатели качества отображения во многом определяются характеристиками обучающего множества. В работах большинства авторов основное внимание уделено выбору архитектуры и способу обучения сети, а этап предобработки рассматривается, к сожалению, только в контексте решаемой задачи. Авторы этих работ не учитывают, что задача предобработки данных определяет не только конечный результат, но и влияет на все остальные этапы разработки НС. Удаляются избыточные и шумовые данных, понижается размерность пространства признаков, следовательно, сокращается размерность обучающего множества, упрощается архитектура сети и сокращается время ее обучения.

В диссертационной работе предложены следующие методы формирования обучающего и контрольного множеств:

1. понижение размерности пространства признаков на основе удаления шумовой компоненты;

2. выделение характерных особенностей структуры сигнала;

3. устранение несущественных и редковстречающихся признаков.

Первая процедура базируется на построении НАС сигнала и применению операции вейвлет-фильтрации. Для реализации второй процедуры общий массив данных делится на блоков длины :

.

Далее выполняется отображение каждого блока данных в пространство вейвлет-образов:

,

где - номер блока, .

Каждая выделенная компонента сигнала определяет подпространство пространства признаков сигнала: , . Компоненты, из которых далее будет сформирована обучающая выборка, определяются следующим образом: сравниваются структуры , соответствующие различным блокам данных : компонента является характерной для сигнала, если она выделена в каждом блоке , т.е. . Последовательный анализ узлов дерева вейвлет-пакета снизу вверх на основе этой методики позволяет определить характерные для аппроксимируемого сигнала компоненты.

Устранение несущественных и редковстречающихся признаков выполняется на основе анализа выделенных компонент сигнала : для каждой компоненты выполняется анализа гистограмм вейвлет-коэффициентов, построенных по данным всех блоков. Признак считается редковстречающимся и несущественным, если плотность вероятности в соответствующей точке пространства меньше, чем некоторое наперед заданное число . Для устранения такого признака вейвлет-коэффициенты, которые попадают в окрестность этих точек, заменяются нулями.

Предложенные методы выделяют информативные составляющие сложной функции с учетом ее внутренней структуры и не нарушает вероятностную структуру исходных данных.

Полученные на основе описанных процедур реконструированные сигналы :

,

где , - множество существенных признаков,

аппроксимируются нейронной сетью. Изолированные особенности сигнала отображаются в детализирующую компоненту модели. Общий вид модели временного ряда, получаемый на основе совместного применения конструкции вейвлет-преобразования и методов НС, имеет вид:

,

где- функция активации НС, - весовые коэффициенты НС, - коэффициенты вейвлет-преобразования, - вейвлет-базис, , - множество существенных признаков, - детализирующие коэффициенты вейвлет-преобразования, , - множество изолированных особенностей сигнала, превышающих пороговое значение , - вейвлет-базис.

Полученная модель названа в работе моделью вейвлет-преобразование нейронная сеть (ВПНС). Этапы ее идентификации представлены на рис. 3.



Рис. 3 Этапы идентификации модели сигнала на основе совместного применения конструкции вейвлет-преобразования и методов НС

В качестве приложения вейвлетов к обработке экспериментальных данных в пятой главе рассматривается метод оценки плотности распределения случайной величины на основе вейвлет-преобразования.

Оцениваемая функция представлена в виде:

,

где - шум, - гистограмма, построенная на основе выборки.

Функция оценивается преобразованием с помощью оператора решения . Результирующая оценка есть

.

Наша цель - это минимизация погрешности оценки. Оптимизация оператора зависит от априорной информации, имеющейся в нашем распоряжении. Освободившись от предположения о нормальности можно использовать минимаксную процедуру.

В работе, в качестве аппроксимирующей функции, рассматривается нелинейная аппроксимирующая схема. В этом случае, используя метод вейвлет-преобразования, на основе обширного словаря ортонормированных вейвлет-базисов мы имеем возможность подобрать функции, обеспечивающие наилучшую оценку функции .

Процедура выделения структурных составляющих функции выполняется на основе пороговой функции.

Оценка погрешности вычисляется по зашумленным данным и оптимизируется минимизацией .

Если

,

где , - вейвлет-базис,

то пороговая обработка делает этот коэффициент равным нулю, что приводит к погрешности равной.

Так как

,

то можно оценить с помощью .

Если , то погрешность равна энергии шума. Она оценивается величиной .

Результирующая оценка есть

, где .

Предложенный подход является весьма полезным в случае наличия малого числа наблюдений. Получение оценок в среднем на основе вейвлет-аппроксимации дает здесь более ценную информацию о законе распределения случайной величины, чем конкретные значения частот имеющейся выборки.

В случае наличия нескольких выборок, в работе предложены методы улучшения полученной оценки путем выделения характерных для функции признаков.

В качестве одного из примеров использования предложенного подхода в работе рассмотрена задача обработки данных сейсмического каталога п-ова Камчатка.

Рассматривая сейсмические события слабого энергетического класса в локальной области региона, произошедшие в пределах некоторого интервала времени и предполагая, что условия возникновения землетрясений не изменяются за анализируемый период, мы можем определить статистическое распределение этих событий по глубине. Можно сделать предположение, что пространственные характеристики землетрясений за анализируемый период отражают в среднем его сейсмический режим. Определив статистическое распределение событий по глубине для различных сейсмически активных областей, мы получаем возможность сравнить сейсмические режимы отдельных участков за различные периоды времени, и проанализировать реальные изменения в этих режимах, проявившиеся в локальной области за некоторый период времени.

На основе данной методики обработаны данные сейсмического каталога Камчатского региона за период 1990-1997гг. Обработке были подвержены 12 сейсмически активных восточных областей полуострова. Было выбрано временное окно - 1 год, и с шагом, равным одному году, осуществлялось скольжение по каталогу событий.

Используя предложенный метод оценки плотности распределения случайной величины, для каждого района определены аппроксимирующие функции за весь анализируемый период и в пределах временных окон:

и ,

где - номер района, - номер временного окна.

Результаты расчетов, произведенные для различных районов полуострова, показали наличие существенных вариаций функций в определенные периоды времени. На основе сравнения сейсмических режимов отдельных участков региона за различные периоды времени выделены признаки возрастания сейсмической активности в различных районах полуострова, которые проявлялись в виде значительного увеличения значений функции на определенных глубинах по сравнению со значениями функции .

Выделенные таким способом аномальные периоды предшествовали двум периодам резкого возрастания сейсмической активности на Камчатке. В период с 1992 по 1993 гг. в разных районах полуострова произошло 12 землетрясений энергетического класса ?13. Наиболее сильные события произошли на глубине 40км, два события с =14,6 и одно с =14,9. Второй, наиболее сильный поток землетрясений наблюдался на Камчатке в период с 1996 по 1997 гг. В этот период на полуострове произошло 26 землетрясений энергетического класса ?13, самым сильным из которых было Кроноцкое землетрясение (5 декабря 1997г, =14,9). В 1990г., накануне первого потока землетрясений, в шести районах полуострова, в окрестности глубин от 20-ти до 40 км, произошло превышение значений функции более чем в 2 раза. В 1996г. в восьми районах полуострова, в окрестности глубин от 5 до 10 км, также произошло превышение значений функции более чем в 1,5 раза.

На рис. 4, в качестве примера, показаны результаты расчета значений функций и для одного из анализируемых районов. Из графика значений функции (рис.4 (а)) видно, что в среднем большинство событий в этом районе происходит на малых глубинах. В период 1991-1992 гг. можно отметить значительное увеличение значений функций в окрестности глубины 40 км. В период 1996-1997 гг. в данном районе также наблюдается значительное увеличение значений функций , но в окрестности глубин от 5 до 10 км.



Рис. 4 Значения функций (а) и _, рассчитанные за период 1990-1997гг. для района с координатами 51-52 град.с.ш., 158,5-160 град.в.д

Значения коэффициентов вейвлет-преобразования

,

где ,

характеризуют распределение энергии процесса по масштабам . С целью анализа распределения энергии функции по глубине, для каждого района был выполнен расчет суммы абсолютных значений вейвлет-коэффициентов по всем масштабным уровням:

и

На основе этой методики была проанализирована область Кроноцкого землетрясения (параллелепипед с основанием 100x100 км и высотой H=100 км, центр основания имел координаты [54,2 - 162,2 град]). На рис.5 представлены результаты непрерывного вейвлет-преобразования функций

и ,

где - глубина, - номер района, - номер временного окна,

и, соответствующие им, значения функций и .

Результат обработки статистических данных показал, что наибольшая плотность распределения сейсмических событий в данном районе наблюдается на глубинах 20 - 40 км. Непосредственно перед Кроноцким землетрясением отмечено ярко выраженное резкое увеличение энергии сигнала на глубине 5 км, что указывает на область будущего события.



Рис. 5 Вейвлет-преобразования значений (вверху, слева) и (внизу слева). Соответствующие им значения функций и показаны на рисунке справа

Шестая глава полностью посвящена исследованию эффективности предложенных моделей и алгоритмов на примерах обработки реальных и модельных сигналов.

В диссертационной работе выполнена обработка геофизических сигналов с широким спектром флуктуаций различных масштабов. Рассмотрена эффективность предложенных методов и алгоритмов в сравнении с некоторыми другими известными подходами. Сущность обработки сигналов сводилась к задаче обнаружения и классификации аномальных особенностей в их структуре.

В процессе экспериментов синтезировались модельные сигналы, характеристики которых максимально приближены к характеристикам изучаемых процессов.

Структурная схема формирования модельного сигнала показана на рис.6. Она состоит из следующих элементов:

;

· - локальные особенности масштаба , имеющие вид:1)прямоугольный импульс высоты ;2) синусоида с амплитудой , модулированная функцией Гаусса;3)треугольное колебание с уровнем ;

- линейный процесс;

· - генерация данных со сложной нелинейной структурой;

· - операция вейвлет-восстановления сигнала .

Временная протяженность локальных особенностей является случайной величиной, имеющей равномерное распределение на интервале . Высота аномалии также является случайной величиной, имеющей равномерное распределение на интервале .



Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 6 Структурная схема модели проведения экспериментов

В процессе формирования модельных сигналов временной интервал , содержащий аномалию, принимает значения от 2 до 120, а высота аномалий принимает значения, начиная с уровня фоновых вариаций и заканчивая значением, превышающим в два раза фоновый уровень.

...