Математическое моделирование и оптимизация формы термоупругих тел

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Математическое моделирование и оптимизация формы термоупругих тел

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Современная техника использует все более сложные механические конструкции, обеспечение прочности, надежности и высокой экономичности которых имеет первостепенное значение. Оптимальное и оперативное проектирование таких конструкций невозможно без создания математических моделей, позволяющих учитывать максимально возможное количество факторов, влияющих на их работоспособность. При этом достигаются значительное снижение веса, улучшение механических и тепловых характеристик летательных аппаратов и строительных сооружений.

Традиционно при математическом моделировании механических конструкций априори форма (конфигурация) конструкции считалась заданной и неизменной. Однако в последние годы все большее значение стали придавать поиску наилучшей конфигурации. Эти задачи требуют не только новых методов, но и новых понятий.

Данное направление получило принципиально новое развитие благодаря научным школам Н.В. Баничука, С.Б. Виндергауза, В.П. Малкова, Ю.В. Немировского, Л.В. Петухова, В.А. Троицкого, А.Г. Угодчикова, Н.М. Хуторянского, Г.П. Черепанова и др.

Наиболее полно задачи определения оптимальной формы конструкций среди отечественных ученых рассмотрены в работах Н.В. Баничука и его учеников, в которых, по сути, впервые получены соотношения для анализа чувствительности интегральных функционалов, каковыми являются функционалы податливости, полной потенциальной энергии и др., при вариации формы упругих тел.

Дальнейшим шагом в развитии методов оптимизации формы конструкций стало применение этих методов к тепловым и термоупругим задачам.

В отдельное направление можно выделить работы, в которых форма тела оптимизируется по чисто тепловым и температурным показателям. Задача создания желаемых распределений температуры и (или) ее градиентов в твердом теле посредством граничных тепловых потоков либо распределения внутри тела источников тепла при минимальных затратах рассматривалась Ю.В. Немировским, Ю.В. Чеботаревским, Р.А. Мериком, В. Эдельманом и другими учеными.

Очевидным фактом необходимости одновременного учета температурных и механических нагрузок является задача термоустойчивости стержней. В связи с этой проблемой отметим работы Н. Албул, Н.В. Баничука, М.В. Барсука, П.А. Кунташева, В.М. Картвелишвили.

Задачи оптимизации режимов нагружения конструкции при совместном воздействии механической нагрузки и температуры рассматривали Я.И. Бурак, Ю. Гольдштейн, Э.Л. Григолюк, Б.Я. Кантор, В.М. Картвелишвили, В. Прагер, Я.С. Подстригач, А.В. Ясинский, О.Н. Шаблий.

Долгое время считалось, что изменение формы в процессе оптимизации не влияет на распределение самого температурного поля. Для термоупругих конструкций чаще рассматривалось лишь управление источниками нагрева (правыми частями дифференциальных уравнений). Задачам оптимизации формы термоупругих тел уделялось существенно меньше внимания. Очень мало работ посвящено также вопросу существования решения в задачах оптимизации формы. Это связано с серьезными математическими трудностями из-за нелинейности условий оптимальности. Вопросы существования решения рассматривались В.Г. Литвиновым, Е.А. Рапоцевич, D. Chenais, J.J. Blair и др.

Факты взаимодействия температурных и механических полей при оптимизации формы конструкции до сих пор являются малоизученными с теоретической точки зрения. Необходимость создания новых математических моделей для оптимального проектирования формы термоупругих тел, учитывающих одновременное изменение температурных и механических полей, подтверждается также научной программой в гранте 2006-2008 гг. РФФИ №06-0801357.

Предметом исследований диссертационной работы являются задачи оптимизации формы термоупругих тел, в рамках которых учитывается влияние всех термомеханических факторов на оптимальный проект, в том числе и взаимозависимость в процессе реализации проекта температурных и деформационных полей.

Цель диссертационной работы: построение математических моделей оптимизации формы внешних и внутренних границ термоупругих тел, учитывающих одновременную зависимость как температурных, так и механических полей от формы этих границ; доказательство существования оптимальных решений; разработка эффективного алгоритма и комплекса программ для оптимизации формы в задачах теплопроводности, упругости и термоупругости и проведение на их основе численных экспериментов по оптимизации формы для ряда конкретных задач.

Направление исследований. Построение функционалов общего вида, основанных на слабой формулировке задач термоупругости и методе сопряженных переменных, которые позволяют получать необходимые условия оптимальности в задачах управления участками внутренних и внешних границ термоупругих областей.

Изучение условий существования и особенностей оптимальных решений при учете температурного поля. Создание алгоритмов и комплекса программ для решения таких задач на базе метода граничных элементов.

Методы исследований. При решении поставленных задач в диссертации использовались методы термодинамики сплошных сред, математической физики, функционального анализа, теории дифференциальных уравнений и методы компьютерного моделирования.

Научная новизна:

1. Выдвинут и обоснован новый принцип анализа чувствительности (вычисление градиентов функционалов цели и ограничений), основанный на слабой формулировке задач оптимального управления системами с распределенными параметрами, отличающийся использованием вместо дифференциальных связей соответствующих им вариационных принципов термоупругости с целью понижения требований гладкости и упрощения численного решения этих задач.

2. Предложена математическая модель, учитывающая эффекты взаимодействия температурных и механических полей при оптимизации формы термоупругих тел, что позволяет получать необходимые условия оптимальности в задачах управления участками внутренних и внешних границ термоупругих областей и вычислять вариации функционалов цели и ограничений общего вида, заданных на этих областях.

3. Показано, что даже если за исходную взята модель несвязной термоупругости, то есть решается задача о температурных напряжениях, при анализе чувствительности температурные и механические поля становятся связанными через сопряженные переменные. Показано, что этот факт связан с перераспределением энтропии в системе, которая изменяется за счет трансформирования формы тела.

4. Доказано существование решения для задачи оптимального распределения слоя изоляции по границе области и задачи оптимального размещения точек разрыва граничных условий в задачах теплопроводности плоской области.

5. Для задачи теплопроводности доказано существование оптимальной внешней границы двусвязной области при новых, более низких требованиях к гладкости границы.

6. В результате использования построенной математической модели получены новые критерии оптимальности. Эти критерии отличаются от известных, таких как равнонапряженность конструкции или постоянство потока тепла на границе области, наличием дополнительных членов, определяющих взаимозависимость температурных и механических полей и совпадают с ними лишь в частных случаях отсутствия температурного нагружения или определенного распределения поля температур.

7. Разработаны новый алгоритм и комплекс программ для решения задач оптимизации формы статических задач упругости, термоупругости и теплопроводности, основанные на методе граничных элементов и позволяющие точнее определить граничные значения производных функций состояния, необходимых при анализе чувствительности.

8. Получены оптимальные формы границ для нового класса задач: задача оптимального размещения термоизоляции по границе плоской области; задача оптимизации формы теплообменника; задача оптимизации формы поперечного сечения стержней максимальной жесткости при различных комбинациях тепловых полей; задачи минимизации концентрации напряжений и увеличения жесткости конструкции и др.

9. Показано, что учет изменяемости тепловых полей в процессе трансформации границы области существенно сказывается на оптимальной форме термоупругого тела.

10. Сформулирован новый класс задач оптимизации - задачи оптимального размещения точек сопряжения граничных условий в задачах термоупругости.

Достоверность результатов работы. Достоверность и обоснованность научных положений и выводов обеспечивается строгим соблюдением законов сохранения механики сплошной среды и определяющих уравнений, строгим применением аппарата математического анализа, а также согласованием модельных результатов с известными теоретическими результатами других исследователей, полученными другими методами.

Научная и практическая значимость работы. Теоретическая значимость работы заключается в построении математической модели, учитывающей эффекты взаимодействия температурных и механических полей при оптимизации формы термоупругих тел, доказательстве существования оптимальных решений, получении соотношений чувствительности к изменению формы тел для широкого класса функционалов с учетом влияния всех факторов на оптимальный проект и новых критериев оптимальности.

Практическая значимость работы заключается в получении результатов, объясняющих наблюдаемые экспериментально явления потери жесткости на скручивание нагреваемых стержней и изменении прочностных свойств конструкций, подверженных нагреву, появлении новой возможности управления термонапряженным состоянием за счет температурных эффектов, что позволяет получать новые конструкции, форму которых не всегда можно предсказать.

Результаты использовались в совместных работах с ОАО НПП «Контакт», имеется акт внедрения результатов работы. Кроме того, результаты работы используются: при подготовке кандидатских диссертаций (подготовлены два кандидата наук); в учебном процессе при чтении спецкурса в Саратовском государственном техническом университете.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Математическая модель трансформации области и выражения для первых производных различного вида функционалов, позволяющая проводить анализ чувствительности при управлении формой внешних и внутренних границ термоупругих областей.

2. Принцип анализа чувствительности функционалов цели и ограничений, основанный на слабой формулировке задачи термоупругости, позволяющий учитывать одновременное изменение в процессе оптимизации как температурных, так и деформационных полей и получать значения производных для функционалов общего вида в более широких функциональных пространствах, когда все решения соответствующих краевых задач удовлетворяют лишь вариационным уравнениям или неравенствам.

3. Новые критерии оптимальности, полученные на основе построенной математической модели оптимизации формы термоупругих тел, которые учитывают вариативность температурного поля при изменении конфигурации конструкции.

4. Доказательство существования решения для задач оптимального распределения термоизоляции плоской области.

5. Использование для анализа чувствительности метода граничных уравнений позволяет точнее определять граничные значения производных, необходимых при анализе чувствительности.

6. Разработанный численный метод решения задач оптимизации формы тел, подверженных одновременному воздействию как механических, так и температурных нагрузок с ограничениями, наложенными одновременно на механические и температурные поля, позволяющий на основе единого алгоритма решать широкий круг задач оптимизации формы двумерных тел.

Апробация результатов работы. Основные результаты исследований, выполненных в диссертации, докладывались на научных конференциях: 4 Всесоюзной конференции по оптимальному управлению в механических системах (Москва, ИПМ АН СССР, 1982), II Всесоюзной конференции «Численная реализация физико-механических задач прочности» (Горький, 1987), Int. Conf. «Optimization of Finite Element Approximations (St. Petersburg, Russia, 1995), ХVII Международной конференции по теории оболочек и пластин (Казань, 1996), «Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках» (Воронеж, 2000), 19-й международной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов» (С. Петербург, 2001), VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001); IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 22-28.08.2006); III Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2006); IV Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2007); систематически докладывались на научных семинарах госуниверситета и технического университета г. Саратова; применялись на договорных началах в НПО «ИСТОК» г. Фрязино, что отражено в совместных работах.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 43 научных работы, в том числе 12 работ в изданиях, рекомендованных ВАК РФ, и одна монография.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, списка использованной литературы и приложения. Общее количество страниц 381. Диссертация содержит 96 рисунков и 6 таблиц.

Краткое содержание работы

термоупругий алгоритм механический

Во введении представлен обзор основных работ по исследованию оптимальных форм конструкций и используемым методам оптимизации. Сформулированы цели исследования и положения, выносимые на защиту, дано краткое описание работы по главам.

В первой главе рассматриваются термодинамические основы термоупругости и приводятся основные уравнения механики и термодинамики необратимых процессов для деформируемого анизотропного тела, находящегося под действием температурных полей. Даются вариационные формулировки статической задачи термоупругости и приводится строгая формулировка этих задач в соответствующих пространствах.

Оптимизация формы области подразумевает поиск наилучшей в каком-либо смысле области последовательным перебором допустимых областей из некоторого заданного класса . Это тело претерпевает трансформацию за счет малых изменений границы в зависимости от параметра , которая осуществляется непрерывным образом и не вызывает при этом каких-либо напряжений. Полученную новую границу обозначим , а область .

Положение частиц в области при каждом значении параметра определяется функциями

. (1)

Эти функции будем называть законом трансформирования. Декартовы координаты - точки среды в ее начальном состоянии можно рассматривать как переменные, сопоставляемые этой точке. В этом состоянии им приписывается роль криволинейных координат.

По установившейся терминологии называют лагранжевыми или сопутствующими координатами, эйлеровыми координатами. Пусть имеется скалярная функция эйлеровых координат и параметра . По ней можно построить функцию лагранжевых координат . Определим «скорость» трансформирования объема и нормальную скорость преобразования поверхности следующим образом:

,

где координаты нормального вектора к поверхности . Таким образом, равна производной от перемещения точек области при постоянных лагранжевых координатах.

Далее вводится понятие полной производной . Она соответствует понятию полной вариации, широко используемому в теории упругости. Для функции теперь имеем

, (2)

где - обозначает производную по параметру при постоянных эйлеровых координатах. Эта производная соответствует понятию обычной или частной вариации функции.

При трансформации поверхности на каждом гладком куске поверхности введем систему криволинейных координат , так что пара ( заданное открытое подмножество). Полная производная при трансформировании поверхности имеет составляющие как по нормали, так и по касательным направлениям. Величина представляет скорость движения поверхности по частицам (при постоянных лагранжевых координатах ) и не зависит от способа параметризации поверхности. Для конструирования инвариантной производной на движущейся регулярной поверхности вводится производная , определяемая как производная на траектории движения нормальной к поверхности , то есть

, (3)

которая называется переносной производной.

Переносная производная произвольного пространственного поля , таким образом, определяется соотношением

. (4)

В общем случае для любого скалярного или векторного поля из (3) и (4) следует, что

. (5)

При математической постановке экстремальных задач термомеханики необходимо, в первую очередь, выбрать нужные критерии оптимизации (целевые функции) и виды ограничений. Для систем с распределенными параметрами в качестве таких критериев, как правило, принимается функционал (или множество функционалов - векторный критерий), который в интегральном смысле отражает цель оптимизации или вид ограничений.

Рассмотрены вопросы корректности выбора тех или иных наиболее часто используемых при оптимизации конструкций функционалов в задачах термоупругости. В частности, показано, что для задач термоупругости функционал податливости, который для изотермического случая имеет вид

, (6)

не является в общем случае мерой жесткости (минимума деформаций) и вместо него необходимо использовать функционал

. (7)

В заключение даны постановки наиболее типичных задач, сводящихся к задачам поиска наилучшей формы термоупругой области или ее подобластей.

Во второй главе на основании полученных результатов выводятся соотношения чувствительности, то есть зависимости исследуемых функционалов от изменения формы тела (проектной переменной), для различного вида функционалов.

В частности, получены выражения для производных от интегралов по области

, (8)

где , и по поверхности, ее ограничивающей

(9)

где сумма интегралов по движущимся регулярным поверхностям ; - гладкие части контуров, охватывающих , единичный вектор, который направлен по нормали к наружу от поверхности и лежащий в касательной плоскости к ; проекции скорости преобразования на вектор ; средняя кривизна поверхности.

Получено значение производной для поверхностного интеграла от потока некоторого заданного векторного поля

(10)

где направление внешней нормали к поверхности , которая также изменяется при изменении параметра . Эта производная для незамкнутой поверхности имеет вид

(11)

Для двумерных областей возникает необходимость вычисления производных от криволинейных интегралов

, (12)

где - гладкая кривая, положение которой в области зависит от параметра . Как и ранее, предполагаем, что движение пространственной кривой описывается некоторым вектором трансформации . Эта производная может быть записана в нескольких эквивалентных видах. Наиболее удобный из них для дальнейшего применения

, (13)

где вектор - единичный вектор, касательный к кривой; вектор скорости, который является составляющей перпендикулярной кривой .

Производная от функционала через подвижный плоский контур, где единичный вектор внешней нормали к контуру и , для незамкнутого контура определяется выражением

. (14)

Для использования выражений (9), (11), (13), (14) в конкретных задачах оптимизации при наличии дополнительных связей в виде дифференциальных уравнений состояния заметим, что функция , стоящая под знаком интеграла, зависит явно еще и от некоторой функции состояния , а также от градиента этой функции . Предполагается, что .

Рассмотрим функционал от поля , заданный на переменной области , , где . Используем выражение (8) для производной объемного интеграла при . Тогда, если обозначить , то , и, окончательно получаем

(15)

L , M , N. (16)

Если истинное поле переменной состояния соответствует экстремуму или точке стационарности функционала для фиксированной области , то в силу произвольности в области и на границах имеем в , на . В этом случае из равенства (15) следует

. (17)

Таким образом, производная становится выраженной в терминах граничных значений функции и нормальной составляющей вектора скорости преобразования области . Поэтому желательно, чтобы в качестве функционалов цели были использованы функционалы, стационарные на истинном решении задачи. Если это не так, то как мы увидим далее, такие функционалы всегда могут быть построены на основе слабой формулировки соответствующих дифференциальных задач.

Аналогичные выражения получены для производной объёмного функционала при наличии поверхности разрыва внутри фиксированной области в , которая составлена из двух переменных подобластей и , разделенных регулярной подвижной поверхностью . Изменение подобластей происходит в результате движения поверхности .

Выражение для первой производной суммы объёмного и поверхностного функционалов

. (18)

выводится в предположении, что функция задана на регулярных кусках независимыми выражениями. Для каждой регулярной части . Из соотношений (4) следует, что

. (19)

Используя соотношения (15) и (9), (19), получим

(20)

.

На регулярных поверхностях мы можем рассматривать как функцию независимых переменных . Тогда

. (21)

С учётом (21) преобразуем интеграл по от . Имеем теперь после применения теоремы Грина

(22)

.

Если поле доставляет стационарное значение функционалу при заданной (фиксированной) границе , то при должны выполняться следующие соотношения:

в ,

на , на

С учетом этого окончательно (22) принимает вид

. (23)

Полученные общие результаты применяются в последующих разделах к различным частным задачам механики. В частности, пусть требуется минимизировать полную энергию термоупругого тела

,

где - свободная энергия Гельмгольца, - плотность внутренней энергии и - плотность энтропии. В общем случае, когда изменением температурного поля , возникающим из-за трансформации области, пренебречь нельзя, производная функционала полной энергии определяется выражением

(24)

и сопряженное поле температуры , должно удовлетворять дополнительным связям в виде сопряжённой краевой задачи:

; (25)

на ; на ,

где энтропия. Уравнения (25) связывают значения переменной - сопряжённой температуры с энтропией и имеют вполне конкретную физическую интерпретацию. Если ввести потоки энтропии (энтропийные перемещения) согласно соотношениям , то уравнение (25) принимает вид

.

Таким образом, последние три слагаемых в (24) появляются за счет перераспределения энтропии в системе, которая изменяется за счет трансформирования формы тела.

Как уже отмечалось выше, для получения соотношений чувствительности естественным образом годятся функционалы цели, которые являются стационарными на допустимых полях функций состояния. Это, конечно, ограничивает круг рассматриваемых задач. Для исключения этого недостатка был использован новый принцип анализа чувствительности функционалов цели и ограничений, основанный на слабой формулировке задачи термоупругости.

Рассмотрим следующие функциональные пространства: пространство функций проектирования, включающих поля таких переменных, как геометрические переменные , характеризующие трансформацию области ; проектные нагрузки, такие как объемные силы , поверхностные нагрузки , объемные источники тепла и поверхностные потоки тепла ; а также внутренние начальные напряжения и деформации , начальные потоки тепла и градиенты температуры . К пространству функций проектирования относятся также подвижные контуры на границе, в которых происходит сопряжение различных типов граничных условий (граничное управление).

Пространство функций откликов включает переменные упругой и тепловой задач: смещения , деформации , упругие напряжения , температуру , градиенты температуры , температурные потоки и реакции поверхностных усилий, а также поверхностные потоки тепла.

Функциональное пространство неявно определяется пространством функций проектирования через уравнения равновесия, теплопроводности с соответствующими граничными условиями.

Функции отклика должны удовлетворять соотношениям Коши, уравнениям состояния и равновесия:

; (26)

где - тензоры начальных деформаций и напряжений;

(27)

на , на . (28)

Температурное поле удовлетворяет соотношениям:

, (29)

. (30)

Здесь , - векторы начальных температурных деформаций и потоков, полные потоки тепла, которые удовлетворяют следующей краевой задаче

, (31)

на , на . (32)

Пусть задан скалярный функционал (это может быть либо функционал цели, либо функционалы ограничений), зависящий как от механических, так и от температурных полей:

(33)

В этом функционале скалярные нелинейные функции. Основная трудность в вычислении состоит в определении производных от функций состояния . Эти производные неявно связаны со скоростью трансформации области посредством уравнений состояния (26) - (32). Для получения явной зависимости от скорости необходимо исключить зависимость от производных переменных состояния. Это осуществляется с помощью введения сопряженных переменных. Но в отличие от известного метода сопряженных переменных будем использовать слабую (вариационную) форму уравнений состояния, что дает определенные преимущества при применении численных методов решения.

Для получения выражения как через кинетические (температурные), так и силовые (тепловые) переменные использован функционал Ху-Васидзу для линейно-упругой структуры, подверженной нагреву, при наличии начальных напряжений и деформаций, который имеет вид

(34)

Для тепловой задачи (29) - (32) был построен функционал, аналогичный функционалу Ху-Васидзу, в котором в качестве независимых переменных приняты функции и :

(35)

Рассмотрим теперь упругое тело, подвергнутое действию двух независимых механических и тепловых нагрузок: реальных нагрузок и фиктивных сопряженных нагрузок . Взаимная энергия Ху-Васидзу есть разность между энергией от суммарного действия всех механических и тепловых нагрузок и суммы энергий реальных и сопряженных нагрузок, действующих отдельно

Такое же соотношение может быть записано для функционала . На полях реальной задачи для любых значений взаимная энергия может быть записана в более простой форме:

, (36)

(37)

Далее, так как , то можно записать и в виде

,

то

(38)

Сопряженные поля, отмеченные , должны при этом удовлетворять следующим соотношениям:

, ,

,

на , на .

Аналогичные соотношения для тепловой задачи определяются равенствами:

, ,

. (39)

на и на .

Как видно из (39), сопряженная задача становится связанной.

Заметим, что сами уравнения как прямых, так и сопряженных задач, должны удовлетворяться лишь в слабой форме как решения вариационных задач для функционалов и , полный вид которых здесь не приводится из-за громоздкости выражений.

В третьей главе полученные результаты применяются для оптимизации термоизоляции плоской области, когда отыскивается не только оптимальное распределение толщины теплоизолирующего слоя, но и граница его расположения. Пусть граница плоского изотропного твердого тела состоит из четырех частей: . На поверхности задана температура. На поверхности - нулевой поток тепла. На поверхностях и распределяются тонкие слои термоизоляции и, следовательно, граничное условие на этих поверхностях может быть задано в виде линейной комбинации температуры и потока тепла.

Отыскивается такое распределение неизвестной толщины на , чтобы суммарные потери тепла через поверхности были минимальными. Общая площадь изолирующего материала на задана.

в , (40)

с краевыми условиями

, , , , (41)

где и - искомая, а - заданная безразмерные толщины на границах соответственно.

Задача оптимизации теперь ставится таким образом: найти распределение - нормированной толщины изоляции на и положение точек , разделяющих границы , такие, чтобы функция цели

(42)

была наименьшей при условии, что выполняются соотношения (40) - (41) и ограничение

. (43)

Теорема. Пусть множество задано соотношением

почти всюду на ,

а - решение задачи (40), (41). Если функционал цели задан соотношением (42), то существует, по крайней мере, одно оптимальное управление , удовлетворяющее условию (43).

Прямая и сопряженная задачи теплопроводности решались методом граничных элементов (МГЭ). Предварительно алгоритм и программа тестировались на известных результатах, полученных А.И. Уздалевым методом возмущений для двух видов двухсвязных областей с криволинейной границей. Для симметричных областей получено полное совпадение, для несимметричных - расхождение не превышает 1%.

Достоверность результатов, получаемых для задачи оптимизации тонкого слоя термоизоляции, подтверждается совпадением результатов одного из вариантов расчетов для односвязной области как по достигнутому уменьшению потерь тепла, так и по распределению толщины слоя термоизоляции с результатами R.A. Meric.

В качестве примеров оптимизации рассматривались задачи для двусвязных областей с различным расположением полости внутри области и различной формой этой полости. На внутренней границе задана температура , а на внешней границе смешанное условие . На рис. 2 показано распределение толщины термоизоляции для двусвязной области при заданном расположении отверстия, при котором было получено наибольшее, на 22,7%, снижение потерь тепла по сравнению с равномерно распределенным слоем изоляции. При других рассмотренных формах отверстия и другом его местоположении выигрыш составлял от 3,1% (квадрат в центре) до 22,1% (узкая щель вблизи внешней границы).

Пусть имеется плоское двусвязное изотропное тело, занимающее область , которое окружает со всех сторон область . Требуется минимизировать потери тепла с поверхности тела через слой однородной изоляции, занимающей область и ограниченную с другой стороны границей , которая заранее неизвестна.

На границе задана температура (условие Дирихле), на - тепловой поток (условие Неймана), а на границе линейная связь потока и температуры. Тепло отводится, таким образом, через поверхность .

, , , . (44)

Задача оптимизации теперь состоит в отыскании такой границы и (или) такого положения точек , которые доставляют функции цели

 (45)

минимум при условии, что выполняются соотношения (40), (44) и ограничение .

Для этой задачи приведено доказательство существования оптимальной границы на множестве , где - есть множество замкнутых контуров в области , удовлетворяющих следующим условиям:

а) - невырожденная простая замкнутая кривая, имеющая конечную длину;

б) может быть задана в параметрическом виде:

в) функции , существует константа , такая, что и ;

г) существует константа , такая, что ;

д) выполняется неравенство .

Там же получено выражение для производной функционала (45):

, (46)

где и - реальные поля и и - сопряженные поля, удовлетворяющие уравнениям:

, в ,

, , , .

Показано, что лишь тогда, когда заданные температуры постоянны, критерий оптимальности принимает известный вид , то есть поток тепла на оптимизируемой границе для оптимального слоя термоизоляции должен быть постоянным на всей этой границе. В других случаях это условие может не выполняться.

В диссертации рассмотрено большое количество задач оптимизации внешней границы по критерию (45). Здесь приводятся результаты для трех из них.

Пусть внутренняя граница имеет форму квадрата, и ее расположение задано. Выполняются следующие граничные условия: на внешней границе задано значение температуры , а на внутренней .

Заметим, что после оптимизации значение потока тепла на оптимизируемой границе практически выравнивается.

Наибольший выигрыш был достигнут, когда отверстие находится в противоположном углу от заданной границы. Для данной задачи потери тепла уменьшились на 30,6%.

Если оптимизации подлежит вся внешняя граница, то, например, для области, когда малая щель расположена в непосредственной близости у одной из внешних границ, потери тепла из внутренней области уменьшились на 48,3% по сравнению с исходной формой.

Аналогичные задачи рассматривались и для других граничных условий. Выигрыш, однако, в этих задачах не превосходил 12%.

Кроме этих задач, получена оптимальная форма теплоприемника в замкнутом теплообменнике. Пусть требуется максимизировать тепловой поток с поверхности тела , который передается через среду, занимающую область , к поверхности .

Граница , которой ограничена область, теплоизолирована. Температурное поле внутри удовлетворяет однородному уравнению Лапласа. На границе задано распределение температуры, на границе - условие конвективного теплообмена:

.

Задача оптимизации состоит в определении формы границы , обеспечивающей максимальную передачу тепла с границы

при условии, что площадь области внутри контура неизменна и минимальное расстояние между точками границ , не меньше заданной величины.

Производная функционала получается из (46) и имеет вид

.

Здесь касательная составляющая потока на границе , которая в методе граничных элементов легко вычисляется через узловые значения температуры, кривизна границы. Сопряженные переменные и должны при этом удовлетворять следующей краевой задаче:

, в ,

, , .

Численное решение получено при , . Выигрыш от оптимизации - увеличение количества тепла, передаваемого к теплоприемнику, составил 21, 5%.

В четвертой главе рассмотрены задачи оптимизации формы стержней с начальными температурными напряжениями по критерию максимума крутильной жесткости.

Пусть поперечное сечение стержня занимает область из заданного семейства областей, ограниченную замкнутой поверхностью , которая состоит из регулярных поверхностей и , соединяющихся в точках . На этих поверхностях стержня заданы значения температуры поверхности на , и внешнего потока тепла на .

Эффективная крутильная жесткость может быть записана в виде

, (47)

где обозначено

функция напряжений Прандтля; поле температур в поперечном сечении стержня, которое определяется как решение соответствующей краевой задачи; термомеханические характеристики материала. Предполагается, что они не зависят от температуры. Здесь есть функция границы области и также подлежит варьированию при ее изменении.

Задача оптимизации состоит в определении такой формы области , которая максимизирует эффективную крутильную жесткость (47) стержня при заданных внешних воздействиях , точках раздела границ и ограничениях:

а) площадь поперечного сечения стержня не должна превосходить заданной величины

; (48)

б) погонный угол закрутки и удовлетворяют следующему неравенству: , где - характерный линейный размер стержня, - некоторая заданная величина.

Пространство функций откликов включает переменные упругой и тепловой задач: функцию напряжений , производные от неё , температуру , градиенты температуры , температурные потоки .

Для получения выражения применяется та же идея анализа соотношений чувствительности с использованием слабой формулировки задач теплопроводности и задачи определения функции напряжений , которая изложена в описании второй главы. В результате получено

(49)

Здесь сопряженные переменные , , должны удовлетворять следующей краевой задаче:

 , (50)

на , на

В отдельных частных случаях выражение (49) может быть упрощено. Если, например, , точки неподвижны и температура границы не изменяется при трансформации области по направлению нормали, то второе и четвертое слагаемые в (49) исчезают

Отсюда получаем новый критерий (необходимое условие) оптимальности

, (51)

который совпадает с известным лишь в случае, когда температурное поле отсутствует или является постоянным.

Ниже приведены результаты оптимизации формы внешней границы стержня, подверженного действию температурной нагрузки, с заданной площадью поперечного сечения. Рассматривались стержни симметричного по обеим осям поперечного сечения, как односвязные, так и двусвязные.

Все вычисления проводились МГЭ, процесс оптимизации осуществлялся методом проекции градиента. Достоверность результатов была проверена сравнением оптимального решения для стержня с прямоугольным отверстием в отсутствии температурного нагружения, полученного по данному алгоритму, с аналитическими результатами Н.В. Баничука и решением с использованием метода конечных элементов K. Dems. Все три результата практически не отличаются.

Задача 1. В качестве исходной формы выбран круглый вал с круглым отверстием. Оптимизации подлежит внешняя граница.

Рассмотрены два вида температурного нагружения:

а) температура на внешней границе изменяется по закону , на внутренней границе ;

б) на внутренней границе задан поток тепла, изменяющийся по закону . На внешней границе .

Увеличение эффективной жесткости от оптимизации в задаче а) составило 25.7%.

Задача 2. В качестве исходной формы выбран круглый вал с квадратным отверстием. Оптимизации подлежит внешняя граница.

Рассмотрены три вида температурного нагружения:

а) температурное поле отсутствует;

б) на внешней границе температура меняется по закону , на внутренней границе ;

в) температура на внешней границе изменяется по закону , на внутренней границе .

Оптимальная форма для случая а) совпадает с точностью до 1% с результатами Н.В. Баничука, полученными методом малого параметра (аналитическое решение).

Из результатов следует, что для увеличения жесткости сплошного стержня, подверженного нагреву, материал с части границы, на которой задана большая температура, в результате оптимизации перераспределяется на границу с меньшей температурой. Заметим также, что выигрыш от оптимизации больше тогда, когда градиент изменения температуры выше.

Анализ полученных результатов показывает существенное влияние температурных полей, особенно с большими градиентами, как на форму оптимального поперечного сечения, так и на получаемый выигрыш от оптимизации.

Кроме этих задач, в диссертации рассмотрены еще ряд задач для профилей крыловидной формы.

В пятой главе результаты, полученные во второй главе, применяются для решения конкретных задач оптимизации формы областей для двух типичных плоских статических задач термоупругости: о плоской деформации и плоском напряженном состоянии.

Задача 1 - оптимизация жесткости консоли, находящейся в плоском деформированном состоянии. Левый край консоли закреплен, на правом краю приложена нагрузка . По контуру консоли заданы либо поток тепла, либо температура. Внутри области источники тепла отсутствуют. Требуется минимизировать величину перемещения в точке А посредством трансформации

На основе изложенного выше подхода для этой задачи получено новое необходимое условие оптимальности

, (52)

в котором последнее слагаемое обусловлено вариативностью температурного поля при изменении формы конструкции.

Рассмотрены следующие виды термомеханического нагружения:

а) чисто упругая задача - температурное поле отсутствует;

б) комбинированное термомеханическое нагружение - на границах заданы следующие граничные условия ;

в) комбинированное термомеханическое нагружение - на границах заданы те же граничные условия , на границах задан поток тепла .

Задача 2 - оптимизация формы внутренней границы прямоугольного тоннеля, на перекрытие которого могут действовать различные нагрузки, а внутренняя граница полости свободна от нагрузок. Кроме этого, на внешней и внутренней границе могут быть заданы температура и (или) поток тепла. Нижний край конструкции закреплен к грунту. Требуется минимизировать величину максимального касательного напряжения за счет изменения формы полости при условии, что площадь поперечного сечения конструкции не превосходит заданной величины.

На основе изложенного выше подхода для этой задачи получено следующее новое выражение для производной функции цели:

, (53)

где - локальная система координат, заданное число и

.

Существенно отличается форма границы тоннеля, которая представлена на рис. 17б, для условий нагружения б), когда отсутствует механическая нагрузка. Выигрыш в этом случае несколько меньше - 58,3%.

В случае комбинированного термомеханического нагружения в) оптимальная форма отличается и от чисто упругой задачи а), и от температурной задачи б). Она приобретает черты средней конфигурации между этими двумя оптимальными границами. Максимальные касательные напряжения уменьшились в этом случае на 57% по сравнению с прямоугольной формой.

Отметим, что выигрыш и оптимальная форма сильно зависят как от распределения температурного поля в теле конструкции, так и от соотношений интенсивностей тепловых и механических нагрузок.

Задача 3 - оптимизация формы внешней границы прямоугольной пластины с отверстием, находящейся в плоском напряженном состоянии и растягиваемой нагрузкой, приложенной внутри отверстия, по тому же критерию, что и в задаче 2, с ограничением на площадь, занимаемую пластиной.

Край AB пластины закреплен, остальные границы - свободны от нагрузки. По контуру отверстия EF действует растягивающая сила в направлении оси ОХ, продольная составляющая которой изменяется по закону .

Приведем результаты оптимизации формы для двух видов термомеханического нагружения:

а) чисто упругая задача - действует только механическая нагрузка;

б) комбинированное термомеханическое нагружение - внутри отверстия задан поток тепла , на внешнем контуре .

Необходимое условие оптимальности в этой задаче то же, что и в задаче 2.

Уменьшение по сравнению с исходной формой пластины в этом случае составляет 19,4%. Эти результаты хорошо согласуются с результатами, полученными другими авторами методом конечных элементов. Для комбинированного нагружения оптимальная форма границы отличается от предыдущей (рис. 20). Полученное снижение максимальной величины касательных напряжений составляет уже 28%.

Таким образом, во всех трех задачах отмечается существенная разница оптимальных проектов, получаемых в отсутствии нагрева и при наличии температурного поля.

В заключении содержатся результаты, полученные в диссертационной работе.

Построена принципиально новая теория, основанная на методе сопряженных переменных, которая позволяет для функционалов общего вида получать необходимые условия оптимальности в задачах управления формой внутренних и внешних границ термоупругих областей, учитывающая одновременное изменение в процессе оптимизации как температурных, так и механических полей.

Эта теория основана на слабой формулировке задачи термоупругости, в которой уравнения равновесия и теплопроводности учитываются не в дифференциальной форме, а в виде вариационных уравнений, что позволяет получать значения производных для функционалов цели и ограничений в более широких функциональных пространствах, и упрощает построение численных алгоритмов.

Использование для анализа чувствительности метода граничных уравнений, в котором требуется только знание поля скоростей на границе изменяющейся области, позволяет точнее определять граничные значения производных, необходимых при анализе чувствительности.

Показано, что при учете изменяемости температурного поля в процессе оптимизации границ тел, даже если за исходную модель взята модель несвязной термоупругости, то есть решается задача о температурных напряжениях, при анализе чувствительности механические и температурные поля неизбежно становятся связанными через сопряженную задачу. Этот факт связан с перераспределением энтропии в системе, которая изменяется за счет трансформирования формы тела.

Полученные на основе построенной математической модели новые критерии оптимальности отличаются от известных критериев, таких как равнонапряженность конструкции или постоянство потока тепла на границе области. Они совпадают с ними лишь в частных случаях отсутствия нагружения или определенного типа распределения поля температур.

Предложено доказательство существования решения для задачи оптимального распределения слоя изоляции по границе области и задачи оптимального размещения точек разрыва граничных условий, которые позволяют определить класс гладкости допустимых областей при оптимизации.

Разработанные алгоритмы и комплекс программ для решения задач оптимизации формы тел, подверженных одновременному воздействию как механических, так и температурных нагрузок с ограничениями, наложенными на механические и температурные поля, показали высокую эффективность для различных классов статических задач теплопроводности, упругости и термоупругости.

Получены оптимальные проекты для ряда задач. Среди них: задача оптимального размещения термоизоляции по границе плоской области, задача оптимизации формы теплообменника, задачи минимизации концентрации напряжений и увеличения жесткости конструкции, задачи оптимизации формы поперечного сечения стержней максимальной жесткости при различных комбинациях тепловых полей.

Во всех перечисленных задачах отмечается существенная разница оптимальных проектов, получаемых с учетом и без учета влияния температурного поля. Эта разница обусловлена эффектом взаимодействия температурных и механических полей при изменении формы тела.

Основные публикации по теме диссертации

1. Павлов, С.П. Влияние начальных температурных напряжений на оптимальную форму скручиваемых стержней / С.П. Павлов, М.В. Жигалов // Вестник Саратовского государственного технического университета. - 2007. - №1 (22), вып. 2. - С. 14-21.

2. Павлов, С.П. Управление внешней границей изолирующего слоя нагретой полости / С.П. Павлов, М.В. Жигалов // Известия вузов. Машиностроение. - 2005. - №7. - С. 3-12.

3. Павлов, С.П. Оптимальная термоизоляция плоской области / С.П. Павлов // Вестник Саратовского государственного технического университета. - 2005. - №1 (6). - С. 5-12.

4. Павлов, С.П. Оптимизация толщины термоизоляции плоской области / С.П. Павлов, М.В. Жигалов // Известия вузов. Машиностроение. - 2004. - №9. - С. 17-24.

5. Павлов, С.П. Смешанная вариационная формулировка задачи о пластине, свободно опертой по криволинейному контуру / С.П. Павлов, В.А. Крысько // Известия вузов. Математика. - 2004. - №3. - С. 57-63.

6. Павлов, С.П. Расчет подкрепленной пластины в трехмерной постановке / С.П. Павлов, В.А. Крысько, А.Б. Перегудов // Известия вузов. Строительство и архитектура. - 1987. - №7. - С. 14-18.

7. Павлов, С.П. К вопросу существования решения в задаче о нелинейных колебаниях пологих оболочек с учетом инерции вращения / С.П. Павлов, В.А. Крысько // Дифференциальные уравнения. - 1984. - Т. 20, №5. - С. 830-838.

8. Павлов, С.П. Некоторые особенности задач синтеза оболочек в плане по динамическим характеристикам / С.П. Павлов, В.А. Крысько // Известия вузов. Математика. - 1983. - №5. - С. 48-52.

9. Павлов, С.П. Оптимизация по весу композитных пластинок при ограничении на основную частоту колебаний / C.П. Павлов, В.А. Крысько // Известия вузов. Строительство и архитектура. - 1982. - №2. - С. 46-50.

10. Павлов, С.П. Колебания пластинок и сферических оболочек произвольного плана // С.П. Павлов, В.А. Крысько // Известия вузов. Строительство и архитектура. - 1982. - №4. - С. 49-52.

11. Павлов, С.П. К решению задач синтеза с учетом стационарного представления функционалов / С.П. Павлов, Э.Л. Куликов, В.Ф. Кириченко // Дифференциальные уравнения. - 1979. - Т. 15, №4. - С. 738-739.

12. К вариационным методам решения задач электродинамики и статики / С.П. Павлов, Э.Л. Куликов, Ю.Ф. Рогожников // Радиотехника и электроника. - 1978. - T. 23, №7. - С. 1528-1531.

13. Вариационный принцип для задач анализа пьезоэлектрических устройств с акустоэлектрическим взаимодействием / С.П. Павлов, А.Н. Губенков, В.Ф. Кириченко, Э.Л. Куликов // Акустический журнал. - 1978. - Т. 24, вып. 2. - С. 195-202.

Другие публикации

1. Павлов, С.П. Математическая модель оптимизации формы приемника в замкнутом теплообменнике / С.П. Павлов, М.В. Жигалов // Математическое моделирование и краевые задачи: труды IV Всероссийской научной конференции с международным участием. - Самара, 2007. - С. 126-128.

2. Павлов, С.П. Влияние термомеханических характеристик припоя на термоупругие напряжения трехслойных пластин / С.П. Павлов, Т.В. Бабенкова // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред: межвуз. науч. сб. - Саратов: - СГТУ, - 2007. - С. 105 - 109.

3. Павлов, С.П. Оптимизация формы термоупругих тел / С.П. Павлов // Труды IX Всерос. съезда по теоретической и прикладной механике, Н. Новгород, 22-28 авг. 2006 г. - Н. Новгород, 2006. - С. 156.

4. Павлов, С.П. Оптимизация формы поперечного сечения стержня при начальных температурных напряжениях / С.П. Павлов, А.Б. Перегудов // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред: межвуз. науч. сб. / СГТУ. - Саратов, 2006. - С. 72-80.

5. Павлов, С.П. Численные результаты оптимизации формы поперечного сечения стержня при начальных температурных напряжениях / С.П. Павлов, А.Б. Перегудов // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред: межвуз. науч. сб. / СГТУ. - Саратов, 2006. - С. 88-93.

6. Павлов, С.П. Влияние температуры на форму оптимальной границы полости / С.П. Павлов // Математическое моделирование и краевые задачи: тр. III Всерос. науч. конф. - Самара, 2006. - С. 154-157.

...