Теория вероятностей
Понятие и примеры случайного события. Правила сложения и умножения в комбинаторике. Формулы вычисления вероятностей. Локальная и интегральная теоремы Муавра–Лапласа. Классы функций распределения. Непрерывные случайные величины. Закон больших чисел.
| Рубрика | Математика |
| Вид | краткое изложение |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 21.03.2018 |
| Размер файла | 1,4 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Теория вероятностей
Теория вероятностей - наука о случайных событиях, явлениях. В основании теории вероятностей лежат понятия «случайное событие», «вероятность случайного события», которые в рамках теории считаются интуитивно ясными.
Понятие случайного события
Под случайными будем понимать совокупность наблюдаемых событий, каждое из которых (при данном комплексе условий) в данном испытании обладает возможностью произойти, однако происходит только одно из них.
Примеры случайных событий.
1. Из большого числа произведенных изделий выбираем наудачу одно. Изделие оказалось бракованным, а могло быть стандартным. Наудачу отобранное изделие оказалось бракованным - случайное событие.
2. На факультете обучаются - 1/3 юношей, остальные девушки. Для поздравления ветеранов выбирается группа из 3-х человек. В выборке оказалось 3 молодых человека, а могло быть только 2, только 1 или ни одного. В выбранной группе из 3-х студентов оказалось 3 юноши - случайное событие.
3. Билеты экзамена по математике содержат два теоретических вопроса. При подготовке к экзамену студент выучил не все вопросы. На экзамене, он взял билет, в котором все вопросы ему известны, а мог содержать оба неизвестных вопроса или только один известный. Наудачу отобранный билет содержит два известных вопроса - случайное событие.
Из примеров следует, что для всякого случайного события важно знать не только факт его появления, но и как часто это появление имеет место. Таким образом, всякое случайное событие обладает некоторой мерой своего появления. В теории вероятностей такой мерой принято считать действительные числа из промежутка , чем число ближе к 1, тем чаще появляется событие. Если при соблюдении одних и тех же условий при испытании событие появляется каждый раз, и в будущем, при сохранении тех же условиях, нет оснований считать, что событие не будет появляться каждый раз, то такое событие считают достоверным и вероятность его появления считают равной 1.
Действия над случайными событиями
Всякий мыслимый результат (неразложимый исход) эксперимента (испытания) будем называть элементарным случайным событием или элементарным событием, и обозначать .
Пр. 1 Монета подбрасывается два раза. Неразложимый исход эксперимента - возможные результаты двухкратного подбрасывания монеты (а не однократного, как может показаться на первый взгляд). Таким образом, неразложимый исход эксперимента зависит от условий поставленной задачи.
Пространством элементарных событий будем называть совокупность элементарных событий , для которых
1) в результате реализации эксперимента всегда происходит одно из элементарных событий ;
2) все элементарные события взаимно исключают друг друга.
Пространство элементарных событий считается заданным, если указаны все его элементы
или
.
Пр. 2 Монета подбрасывается два раза. Построить пространство элементарных событий.
Решение. Будем считать, что при однократном подбрасывании монеты возможно выпадение одной из ее сторон: либо «герб», либо «решетка» (ребро не учитываем). Рассмотрим всевозможные исходы реализации эксперимента, который состоит в подбрасывании монеты дважды:
1 - выпадение «герба» два раза;
2 - выпадение «герба» и «решетки»;
3 - выпадение «решетки» и «герба»;
4 - выпадение «решетки» два раза.
Других мыслимых результатов эксперимента нет. Таким образом, пространство элементарных событий состоит из четырех элементарных событий
.
Замечание. Почему события и следует считать различными? Искать логического объяснения, пожалуй, не стоит. Десятки и даже сотни тысяч экспериментов с монетой, да и не только с ней, показали, что в подавляющем большинстве случаев, если не оговорено противное, разумно учитывать порядок, в котором появляется то или иное событие.
Любое подмножество пространства элементарных событий будем называть случайным событием или просто событием и обозначать буквами A, B, C, … . Событие A происходит, если произошло какое - то одно из элементарных событий его составляющих.
Элементарные события, составляющие некоторое событие A, называются элементарными событиями, благоприятствующими появлению события A.
Пр. 3 Событие A состоит в появлении не более 3-х очков при однократном подбрасывании игральной кости. Построить пространство элементарных событий и описать событие A.
Решение. В данном случае, пространство элементарных событий состоит из 6 элементарных событий , где - выпадение i очков (числа i) при однократном подбрасывании игральной кости, . Поскольку появление не более 3-х очков при подбрасывании игральной кости равносильно появлению одной из 3-х граней кости с цифрами 1, 2 или 3, то будем считать, что событие A состоит из трех элементарных событий
.
Опр. Событие, которое всегда происходит, называется достоверным.
Достоверное событие содержит все элементарные события пространства . Пространство элементарных событий является достоверным событием, поэтому часто для обозначения достоверного события используется символ .
Опр. Событие, которое никогда не происходит, называется невозможным.
Невозможное событие не содержит ни одного элементарного события из . Не нарушая общности, можно считать, что невозможное событие содержится в любом случайном событии. Аналогично обозначениям, принятым в теории множеств, для невозможного события принято использовать символ . Таким образом, для любого события A выполняется .
Замечание. Строго говоря, достоверное и невозможное события не являются случайными, однако в теории вероятностей их рассматривают в целях конструктивности построения теории.
Пр. 4 Выпадение не более 6 очков при подбрасывании игральной кости - достоверное событие.
Пр. 5 Произведено 2 выстрела по мишени, при этом произошло 3 попадания - невозможное событие.
Для более отчетливого представления событий будем изображать (рис. 1) пространство элементарных событий в виде некоторой области на плоскости. Элементарные события - точками, а события A, B, C, … - областями внутри .
Опр. Событие A принадлежит событию B (рис. 2), если событие A состоит только из элементарных событий, принадлежащих событию B, и обозначается . Таким образом, появление событие A всегда за собой влечет появление события B.
Опр. События A и B называются равными (равносильными), если они состоят из одних и тех же элементарных событий, что записывается как (рис. 3).
случайный вероятность комбинаторика
Действия над событиями
1. Объединением (суммой) событий A и B (рис. 4) называется событие, которое состоит из элементарных событий принадлежащих либо событию A, либо событию B, либо тому и другому одновременно, и обозначается символом (читается: A объединение B). Говорят, что появилось, если появилось хотя бы одно из событий A или B.
2. Пересечением (произведением) событий A и B (рис. 5) называется событие, которое состоит из элементарных событий принадлежащих и событию A, и событию B, и обозначается символом (читается: A пересечение B). Говорят, что событие появилось, если появились одновременно события A и B.
3. Событие (читается: A с чертой) называется противоположным к событию A (рис. 6), если оно состоит из тех элементарных событий, которые не принадлежат событию A. Таким образом, событие происходит тогда и только тогда, когда событие A не происходит.
4. Разностью событий A и B называется событие, которое состоит из элементарных событий, принадлежащих событию A, но не принадлежащих событию B, и обозначается (читается: A минус B).
5.
Опр. События A и B называются несовместными, если они не содержат общих элементарных событий, то есть, (другими словами, появление A исключает появление B).
Опр. События A1, A2, …, An образуют полную группу событий, если их объединение совпадает с пространством элементарных событий . Если также эти события попарно несовместны, т.е.
, , ,
то события A1, A2, …, An образуют полную группу несовместных событий.
Вероятность события
Зададим класс событий , являющийся некоторым множеством подмножеств конечного пространства элементарных событий , удовлетворяющий условиям:
1) ;
2) если , то ;
3) если , то , , .
Класс событий , удовлетворяющий приведенным условиям для конечного числа событий, называется алгеброй событий.
Таким образом, алгеброй событий над пространством называется конечное множество, элементами которого являются все подмножества пространства , включая само и невозможное событие .
Алгебра событий называется - алгеброй, если , , следует, что , , .
Если определено пространство элементарных событий с заданной в нем некоторой - алгеброй его подмножеств, то говорят, что задано измеримое пространство […].
Опр. Число, определяющее меру объективной возможности события, называется вероятностью события A на измеримом пространстве , если оно удовлетворяет следующим аксиомам:
1) ;
2) ;
3) если , , , то
.
Опр. Пространство элементарных событий с выделенной в нем -алгеброй событий и определенной на измеримом пространстве вероятностной мерой , , образуют вероятностное пространство .
Таким образом, в общем случае
а) - произвольное множество элементарных событий.
б) - некоторая -алгебра подмножеств .
в) P - вероятность (или мера) определенная на -алгебре , удовлетворяющая условию .
Дальнейшие построения будем проводить на вероятностном пространстве. Обобщение аксиом на - алгебру событий вероятностного пространства приведет к формализации теории вероятностей, которая, в сущности, являясь разделом теории интегрирования в настоящее время выделилась в самостоятельную математическую науку. Основные результаты в этом направлении принадлежат Колмогорову Н.А. и его школе ….
Замечание. Под аксиоматикой Колмогорова понимается перечисление свойств объектов вероятностного пространства в любой форме ….
В этой части теории вероятностей мы будем изучать конечное вероятностное пространство , за исключением отдельных задач, являющихся естественным обобщением на счетное число элементарных событий пространства
Прежде чем переходить к вычислению вероятностей случайных событий, напомним некоторые необходимые в дальнейшем сведения из комбинаторного анализа.
Элементы комбинаторики
Пусть задана некоторая конечная совокупность различных элементов, которую будем называть генеральной совокупностью . Любой конечный набор, даже повторяющихся, элементов генеральной совокупности будем называть выборкой. Количество элементов, составляющих выборку, назовем ее объемом. Задача состоит в нахождении числа всех выборок, заданного объема, составленных из элементов данной генеральной совокупности, удовлетворяющих определенным условиям. Решением таких задач занимается раздел математики именуемый комбинаторикой ….
Рассмотрим два правила, часто используемых в комбинаторике.
Правило сложения. Если некоторое событие A может появиться n способами, а событие B - k способами, то событие A или B может появиться способами.
Пр. 6 Пусть в одном ящике находятся 3 шара, а в другом - 5 шаров. Сколькими способами можно извлечь один шар.
Решение. Один шар можно извлечь из 1-го или 2-го ящика, таким образом,
A - шар извлекается из 1-го ящика,
B - шар извлекается из 2-го ящика.
Причем событие A появляется при извлечении любого из 3 шаров, принадлежащих 1-му ящику, событие B - при извлечении любого из 5 шаров 2-го ящика, т.е. , . В соответствие с правилом сложения, событие A или B может появиться способами.
Правило умножения. Если некоторое событие A может появиться n способами, а событие B - k способами, то событие A и B может появиться способами.
Пр. 7 Между городами A и B существует 2 дороги, а между B и C - 3 дороги. Сколькими способами можно добраться из города A в C?
Решение. Если выбрать 1-ую дорогу между городами A и B, то в город C можно добраться 3 способами, для 2-ой дороги аналогично (рис. 10). То есть, добраться из города A в город C можно 6 способами.
Воспользуемся правилом умножения, чтобы добраться из города A в C, необходимо из города A добраться в город B (событие A) и из города B в город C (событие B), при этом, событие A может произойти 2 способами, событие B - 3 способами, т.е. , . Событие A и B может появиться способами (то есть из города A в город C можно попасть шесть способами).
Замечание. Правила сложения и умножения справедливы и в теоретико-множественных преобразованиях: если в предложении между описаниями событий присутствует союз или/либо, то имеет место объединение (сумма) событий, если - союз и, то - пересечение (умножение) событий.
В зависимости от условий, которым подчиняются элементы выборки, обычно рассматриваются два способа выбора элементов: с возвращением, без возвращения. Выборка элементов множества называется упорядоченной, если учитывается не только состав выборки, но и порядок следования ее элементов. В противном случае, выборка считается неупорядоченной. Таким образом, различают выборки: упорядоченные с возвращением и без, неупорядоченные - с возвращением и без.
На практике не всегда возможно и удобно выписывать все выборки, чтобы определить их число, поэтому получим формулы, позволяющие определять число различных выборок элементов множества для различных способов выбора.
В качестве базовых при выводе различных формул пересчета введем размещения и перестановки.
Пусть задано множество, состоящее из конечного числа n элементов, .
Размещения.
Всякая упорядоченная выборка без возвращений, состоящая из k, , элементов этого множества, называется размещением без повторений из n элементов по k.
Число всех размещений из n элементов по k обозначается символом и равно произведению последовательных чисел от n до n - k +1 включительно, то есть
, . (1)
Если , то разделив и домножая правую часть последнего равенства на , получаем
, . (2)
Замечание. Напомним, что произведение всех натуральных чисел от 1 до n читается «эн - факториал» и обозначается символом
,
причем , по определению.
Например, .
Пр. 8 Рассмотрим множество, элементами которого являются числа 1, 2, 3. Составим всевозможные размещения из элементов этого множества по два элемента без повторений.
Решение. Задано множество . Размещения из 3-х элементов по 2 будут следующими: , , , , , . Таким образом, получилось 6 выборок.
Вычислим число выборок по формуле (1), полагая , , имеем
.
Пр. 9 Вычислить
.
Решение. Воспользуемся формулой (1), имеем
.\
Перестановки.
Размещения из n элементов по n называются перестановками из n элементов.
Число перестановок из n элементов можно получить из формулы (1) или (2):
. (3)
Пр. 10 Задано множество . Перестановками из элементов этого множества будут следующими: , , , , , . Таким образом, получилось 6 выборок.
Вычислим число выборок по формуле (3). Полагая , получаем
.
Сочетания.
Всякая неупорядоченная без возвращения выборка, состоящая из k, , элементов множества, называется сочетанием из n элементов по k.
Число всех сочетаний из n элементов по k равно произведению последовательных чисел от n до включительно деленному на
, . (4)
Из формулы (4) следует, что
, . (5)
При вычислении полезно пользоваться следующими частными случаями:
1. ; 2. ; 3. ;
и свойствами:
I. , ;
Доказательство.
Из формулы (5) следует
.
, .
Доказательство.
Из формулы (5) имеем:
.
Пр. 11 Задано множество . Сочетания из 3-х элементов по 2 будут следующими: , , . Таким образом, получилось 3 выборок.
Вычислим число выборок по формуле (4):
.
Пр. 12 Вычислить .
Решение.
.
Размещения с повторениями.
Всякая упорядоченная с возвращением выборка, состоящая из k, , элементов множества, причем каждый элемент множества может повториться в выборке до k раз, называется размещением с повторением из n элементов по k.
Число всех размещений с повторениями из n элементов по k равно произведению числа n на себя k раз
. (6)
Пр. 13 Рассмотрим множество, элементами которого являются числа 1, 2, 3. Составим всевозможные размещения из элементов этого множества по два элемента с повторениями.
Решение. Задано множество . Размещения с повторениями из 3-х элементов по 2 будут следующими: , , , , , , , , . Таким образом, получилось 9 выборок.
Вычислим число выборок по формуле (6): .
Перестановки с повторениями.
Всякая упорядоченная с возвращением выборка, в которую 1-ый элемент множества входит раз, 2-ой - раз, n-ый - , причем , называется перестановкой с возвращением из n элементов.
Число всех перестановок с повторениями из n элементов при условии, что , вычисляется по формуле
, . (7)
Доказательство.
В соответствие с определением получаем
.
Сочетания с повторениями.
Всякая неупорядоченная с возвращениями выборка, в которую 1-ый элемент множества входит раз, 2-ой - раз, n-ый - , причем , , называется сочетанием с повторением из n элементов по k.
Число всех сочетаний с повторениями из n элементов по k вычисляется по формуле
, . (8)
Пр. 14 Число целых неотрицательных решений уравнения вычисляется по формуле (8).
Формулы вычисления вероятностей
1. Классическое определение вероятности.
Пусть задано вероятностное пространство , в котором пространство элементарных событий состоит из конечного числа n элементов, то есть . Для каждого элементарного события пространства существует вероятность , , такая, что
.
В случае если события равновозможные, то
, .
Если событие подразделяется на m частных случаев, входящих в полную группу из n равновозможных и попарно несовместных событий, тогда по аксиоме 3 определения вероятности события вероятность события A вычисляется по формуле …
,
называемой классическим определением вероятности, то есть вероятность события A равна отношению числа элементарных событий, благоприятствующих появлению события A к общему числу элементарных событий .
Замечание. Если пространство элементарных событий бесконечно или его элементарные события неравновозможны, то формула классического определения вероятности не применима.
Пр. 15 В ящике 4 белых и 7 черных шаров. Какова вероятность того, что наудачу вынутые 2 шара окажутся белыми?
Решение. Поскольку пространство элементарных событий конечное, его составляют равновозможные и несовместны элементарные события, соответствующие 4-м возможным результатам, то вероятность события A найдем по формуле классической вероятности
.
Начнем решение задачи с описания события, вероятность которого необходимо найти:
A - извлечение 2-х белых шаров.
Число элементарных событий пространства и благоприятствующих появлению события A, определим с помощью формул из комбинаторики. При вычислении общего числа элементарных событий не учитывается свойство, которому они удовлетворяют. В нашем случае в ящике 11 шаров, необходимо определить число способов извлечения любых двух из них. Так как порядок следования элементов в выборке не важен, а сами элементы не повторяются, то воспользуемся формулой (4)
.
Теперь учтем то свойство, которому удовлетворяют элементы выборки, в нашем случае - это цвет. Чтобы при извлечении 2-х шаров появились 2 белых шара, необходимо их извлечь именно из белых шаров, которых в ящике 4, а черные шары не извлекать, которых 7. Аналогично, по формуле (4) имеем
.
Окончательно получаем
.
2. Геометрическое определение вероятности.
Геометрическое определение вероятности является естественным обобщением классического определения вероятности на более чем счетные множества.
Пусть в пространстве задана некоторая область G, внутри которой выделена область g (рис. 11). Из бесконечности в область G бросается точка (т.е. попадание точки в любое место области G совместимо с условиями классического определения вероятности).
Если область G рассматривать как пространство элементарных событий, то в данном случае число элементарных событий бесконечно (более того, оно более чем счетно …) и формула классического определения вероятности не применима. Однако если в качестве характеристики области использовать ее меру, то идеи классического определения вероятности можно применять и на геометрических образах.
Тогда вероятность попадания в область наудачу брошенной точки в область G равна отношению меры g к мере G, то есть,
.
Замечание. Отметим, что мерой области в одномерном пространстве является длина, в двумерном - площадь, в трехмерном - объем и т.д.
Пр. 16 Два лица A и B условились встретиться в определенном месте между двумя и тремя часами дня. Пришедший первым ждет другого в течение 10 мин., после чего уходит. Чему равна вероятность встречи этих лиц, если приход каждого из них в течение указанного часа произойдет в любое время?
Решение.
Пусть
A - в течение указанного часа встреча состоится,
x - время прихода на встречу, в течение указанного часа, лица A,
y - время прихода на встречу, в течение указанного часа, лица B.
Так как первый пришедший ждет второго только 10 мин. или 1/6 часа, то для их встречи необходимо, чтобы выполнялось неравенство , которое эквивалентно, в силу определения модуля, двум неравенствам
,
.
Если x и y рассматривать как декартовые координаты плоскости Oxy, то элементарные события, составляющие событие A, лежат внутри квадрата со стороной равной 1 и являются элементами с двойной штриховкой (рис. 12).
Вероятность события A найдем по формуле геометрической вероятности
.
Вычислим площади фигур S и . Площадь квадрата , для определения площади фигуры вычислим площади треугольников, расположенных выше и ниже фигуры , и вычтем из площади S
.
Окончательно
.
3. Статистическое определение вероятности.
Из аксиом, определяющих вероятность события, следует, что для всякого события из поставлено в соответствие единственное число, являющееся его вероятностной мерой. Однако не всегда возможно построить пространство элементарных событий и определить вероятность конкретного события, например, при помощи формул классического или геометрического определения вероятности. Проще говоря, далеко не всегда для вычисления вероятности события можно пользоваться теоретической схемой. Да и сама схема часто вызывает сомнения в правомерности ее применения. В общем случае используют статистическую вероятность, опирающуюся на результаты эксперимента.
Пусть результатом эксперимента является появление одного из двух событий A или . Проведем n независимых повторений эксперимента (т.е. все повторения эксперимента проводятся при одних и тех же условиях или хотя бы при субъективном ощущении неизменности этих условий) и подсчитаем количество m появлений события A.
Тогда отношение
называется частотой или частостью появления события A.
При большом числе повторенных экспериментов (), частота появления события обладает свойством устойчивости, то есть редко сколько-нибудь значительно откланяется от некоторого числа, в среднем неуклонно приближаясь к нему, то есть
,
то число p называется статистической вероятностью события A.
Свойства вероятностей. Теорема сложения вероятностей
Пусть задано вероятностное пространство . Из аксиом, определяющих вероятность события, получаем следующие свойства вероятностей событий:
1. Пусть , тогда .
Доказательство.
Имеем , тогда . Так как и , то по аксиоме 3 получаем
,
.
2. .
3.
Доказательство.
Пусть . Так как , а , то по аксиоме 3 получаем
,
.
4. Для , .
Доказательство.
Пусть . Так как , то . Тогда по аксиоме 2 и свойству 2 получаем .
Если , то , а если , то . Следовательно, .
5. Пусть образуют полную группу несовместных событий, то .
Доказательство.
Пусть образуют полную группу несовместных событий, тогда по определению , , , и . Переходя к вероятностям в последнем равенстве получаем . С учетом аксиомы 3 окончательно имеем
.
6. Теорема сложения вероятностей
Если , то .
Доказательство.
Пусть , имеем , . Тогда по аксиоме 3 получаем
,
.
Следовательно,
.
Замечание. Теорему сложения вероятностей можно распространить на любое число событий, например, теорема сложения вероятностей трех событий формулируется следующим образом
Если , то
.
Пр. 17 В ящике 10 деталей, среди которых 2 нестандартные. Найти вероятность того, что в наудачу отобранных 3 деталях окажется не более одной нестандартной детали.
Решение. Пусть
A - из 3-х извлеченных деталей не более одной нестандартной,
A1 - из 3-х извлеченных деталей ноль нестандартных,
A2 - из 3-х извлеченных деталей одна нестандартная,
тогда , так как среди 3-х отобранных деталей будет не более одной нестандартной только в том случае, если среди отобранных 3-х деталей будет либо одна стандартная, либо не будет ни одной (см с. 19, замечание). Переходя к вероятностям, по теореме сложения вероятностей получаем
.
Так как события A1, A2 несовместны, то
.
Опр. События называются независимыми, если вероятность их совместного осуществления равна произведению вероятностей этих событий, т.е.
.
Пр. 18 Симметричная монета подбрасывается два раза. Пусть события A - «герб» выпал один раз, B - «решетка» выпала один раз. Выяснить независимость событий A и B.
Решение. Построим пространство элементарных событий, пространство элементарных событий состоит из четырех элементарных событий (см пр. 2)
,
где 1 - выпадение «герба» два раза; 2 - выпадение «герба» и «решетки»; 3 - выпадение «решетки» и «герба»; 4 - выпадение «решетки» два раза. Тогда, используя классическое определение вероятности, получаем
, , .
Однако . Следовательно , т.е. события A и B зависимы, что видно и непосредственно, так как появление каждого из элементарных событий из A события определяют появление элементарных событий B.
Пр. 19 Игральная кость подбрасывается один раз. Событие A - выпадение на верней грани игральной кости четного числа очков, B - выпадение на верней грани игральной кости числа очков кратного 3. Выяснить независимость событий A и B.
Решение. Пространство элементарных событий состоит из шести элементарных событий , где - выпадение i очков (числа i) при подбрасывании игральной кости, . Тогда получаем , , . С другой стороны . Следовательно, по определению события A и B являются независимыми. Однако, явных причин, по которым события A и B можно было бы считать зависимыми или независимыми, нет.
Такие курьезы случаются, впрочем, они не оказывают влияния на дальнейшее построение теории и никак ей не противоречат, а скорее подтверждают ее.
Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей
При вычислении вероятностей случайных событий, часто возникают ситуации, когда вся информация о случайном событии A содержится в некотором подмножестве пространства , не совпадающего с ним. В этом случае, считая это подмножество за новое пространство элементарных событий, можно более эффективно вычислить вероятность реализации события A в пространстве .
Опр. Пусть дано вероятностное пространство и . Если , то условной вероятностью появления события A, при условии, что событие B произошло, называется число, определяемое формулой
.
Теорема (умножения вероятностей). Вероятность совместного наступления двух событий равна произведению вероятности одного из них и соответствующей условной вероятности другого. То есть, если , то
.
Замечание. Аналогично формулируется теорема умножения вероятностей для любого числа событий, например, если , то
.
Учитывая определение условной вероятности, для независимых событий A и B выполняются равенства
и .
Пр. 20 В ящике 10 деталей, среди которых 2 нестандартные. Найти вероятность того, что среди 2-х отобранных деталей ни одной нестандартной.
Решение.
Пусть
A - из 2-х отобранных деталей ни одной нестандартной,
A1 - 1-ая, из 2-х отобранных деталей, стандартная,
A2 - 2-ая, из 2-х отобранных деталей, стандартная,
тогда , поскольку из 2-х отобранных деталей не будет ни одной нестандартной только в том случае, если и 1-ая, и 2-ая отобранная деталь будут стандартными (см с. 19, замечание). По теореме умножения вероятностей получаем
.
Для вычисления вероятностей , воспользуемся формулой классической вероятности. Так как способов извлечь 1-ую деталь 10, а именно стандартную - 8, то получаем
.
Поскольку событие A1 произошло, то есть, извлечена одна стандартная деталь, то способов извлечь 2-ую деталь - только 9, при этом стандартную - уже 7, поэтому
.
Пр. 21 Рабочий обслуживает четыре станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа внимания рабочего потребует первый станок, равна 0,1, второй - 0,2, третий - 0,15 и четвертый - 0,12.Какова вероятность того, что в течение часа ни один из станков не потребует внимания рабочего?
Решение.
Пусть
A - в течение часа ни один из 4-х станков не потребует внимания рабочего,
A1 - в течение часа 1-ый станок не потребует внимания рабочего,
A2 - в течение часа 2-ой станок не потребует внимания рабочего,
A3 - в течение часа 3-ий станок не потребует внимания рабочего,
A4 - в течение часа 4-ый станок не потребует внимания рабочего,
тогда , поскольку из 4-х станков ни один не потребует внимания только в том случае, если и 1-ый, и 2-ой, и 3-ий, и 4-ыйстанок не потребует внимания рабочего (см с. 19, замечание). По теореме умножения вероятностей, с учетом независимости событий , получаем
,
,
,
,.
Пр. 22 Устройство состоит из трех элементов, работающих независимо. Вероятности безотказной работы первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что безотказно будут работать только два элемента.
Решение.
Пусть
A - безотказно работают два элемента устройства,
A1 - безотказно работает 1-ый элемент устройства,
A2 - безотказно работает 2-ой элемент устройства,
A3 - безотказно работает 3-ий элемент устройства,
тогда
,
поскольку из трех элементов устройства безотказно работают два только в том случае, если 1-ый работает, и 2-ой работает, и 3-ий не работает, либо 1-ый работает, и 2-ой не работает, и 3-ий работает, либо 1-ый не работает, и 2-ой работает, и 3-ий работает. По теоремам сложения и умножения вероятностей, с учетом независимости событий получаем
,
так как , , .
Формула полной вероятности. Формула Байеса
С формулой условной вероятности связана формула полной вероятности, основанная на разбиении события A на непересекающиеся части: . Если событие A состоит из бесконечного числа элементарных событий, то допустимо разбиение . Если событие , то
.
Теорема (формула полной вероятности).
Вероятность события A, которое может наступить только в результате появления одного из несовместных событий , , равна сумме произведений вероятностей этих событий на соответствующую условную вероятность события A, то есть, если для выполняются условия
1) , , ;
2) ; то
.
Доказательство.
Пусть для выполняются условия , тогда
.
Переходя к вероятностям в последнем равенстве, имеем
.
Так как попарно несовместные события, то события , , …, также несовместные. По аксиоме 3 определения вероятности события и теореме умножения вероятностей получаем
.
Замечание. Несовместные события называются априорными гипотезами, поскольку их вероятности задаются до проведения эксперимента, а, так как , то сумма вероятностей гипотез не превосходит единицы, то есть, …. В общем случае имеет место
.
Пусть в результате проведения эксперимента появилось событие A. Если необходимо изучить, при условиях предыдущей теоремы, вклад каждого или какого-либо одного из событий на реализацию события A, то используется формула Байеса …
, .
Доказательство.
Пусть имеют место условия предыдущей теоремы. По теореме умножения вероятностей для любого имеем
.
Следовательно
,
,
где вероятность находится по формуле полной вероятности
.
«Условные» события , , называются апостериорные гипотезы. Смысл такого названия станет понятен из следующего примера.
Пр. 23 Поломка прибора может быть вызвана одной из трех причин, вероятности наступления которых, соответственно, равны 0,7; 0,2; 0,1. При наличии этих причин поломка прибора происходит с вероятностью 0,1; 0,2; 0,99. Найти вероятность того, что прибор вышел из строя, а также вероятность того, что прибор вышел из строя в результате третьей причины.
Решение.
Пусть A - прибор вышел из строя,
H1 - имеет место 1-ая причина поломки,
H2 - имеет место 2-ая причина поломки,
H3 - имеет место 3-ая причина поломки,
тогда по формуле полной вероятности имеем
,
где , , , , , .
По формуле Байеса получаем
.
Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли
Пусть производится серия из n независимых повторений эксперимента, в каждом из которых происходит либо событие A, либо противоположное к нему . При этом вероятность появления события A в каждом испытании постоянна (равна p) и не зависит от исходов других испытаний (соответственно, вероятность не наступления события A также постоянна и равна ). Такая последовательность независимых испытаний называется испытаниями Бернулли. В силу идеализации условий, испытания Бернулли - схема теоретическая.
Вероятность появления события A ровно k раз в n испытаниях Бернулли вычисляется по формуле Бернулли
.
Доказательство.
Составим всевозможные выборки из n элементов, которые соответствуют появлению события A k раз и события раз, таких выборок может быть столько, сколько сочетаний из n элементов по k …. По теореме умножения вероятностей для каждого из полученных вариантов (где событие A появилось ровно k раз) вероятность равна . Так как каждая цепочка из n символов есть результат эксперимента, по теореме сложения вероятностей, получаем
.
Пр. 24 Пусть вероятность поражения мишени при одном выстреле равна . Найти вероятность того, что из 6 выстрелов мишень поразят ровно 3.
Решение.
Пусть
A - поражение мишени 3 раза при 6 выстрелах,
тогда, так как вероятность поражения цели при каждом выстреле постоянна (, ), по формуле Бернулли имеем
.
Так как всевозможные несовместные между собой исходы n испытаний состоят в появлении события A 0, 1, 2, …, n раз, то должно выполняться равенство
.
Доказательство. Пусть , тогда
;
;
,
;
.
Исследуем поведение функции при изменяющихся k. Рассмотрим серию испытаний Бернулли, связанных с подбрасыванием монеты. Вычислим вероятности , где - число появления герба. Так как вероятность появления герба при однократном подбрасывании симметричной монеты равна , то получаем
;
;
;
;
;
;
.
Результаты вычислений отобразим на рис. 13. Наибольшее значение вероятностей соответствует . В общем случае для любых n, функция ведет себя аналогично, то есть имеет одно наибольшее значение, но не более чем при двух значениях k. Определим то значение , для которого функция принимает наибольшее значение.
Так как дискретна (определены значения только для целых положительных значений аргумента k, ), то рассмотрим отношение двух соседних значений и
.
1). Наибольшее значение вероятности достигается в точке , если , то есть,
, , ,
,
,
, .
2). Наибольшее значение вероятности достигается в точке если , то есть,
, , ,
, , .
3). Если , то наибольшее значение вероятности достигается в двух точках , то есть, имеем
, , ;
, .
Других вариантов нет. Таким образом, получаем
.
Число называется наивероятнейшим числом появления события A в n испытаниях Бернулли.
Пр. 25 Отдел технического контроля проверяет партию из 12 деталей. Вероятность того, что деталь стандартная, равна . Найти наивероятнейшее число деталей, которые будут признаны стандартными, и его вероятность.
Решение. Найдем наивероятнейшее число стандартных деталей из неравенства с учетом, что может принимать только целые положительные значения, т.е. . Для нашей задачи , , получаем
,
,
,
.
Пусть
A - из партии в 12 деталей стандартными признаны 9,
тогда по формуле Бернулли имеем
.
Пр. 26 Вероятность того, что одно изделие будет бракованным равна 0,002. Найти вероятность того, что из 1000 выбранных изделий 5 будет бракованных.
Решение.
Пусть
A - из 1000 выбранных изделий бракованных 5,
тогда по формуле Бернулли имеем
.
Очевидно, что вычисление вероятности, в данном случае, сопряжено с техническими сложностями. Поэтому для выполнения подобных вычислений желательно иметь формулы, которые позволят определить значение искомой вероятности пусть приближенно, но с наименьшей погрешностью.
Формула Пуассона
Пусть в испытаниях Бернулли вероятность появления события A мала (), число испытаний n велико, а произведение в совокупности ограничено, то есть . Тогда для любого фиксированного имеет место приближенная формула
, (9)
, , , .
Формула (9) опирается на следующую теорему Пуассона
Теорема (формула Пуассона).
Пусть в независимых испытаниях вероятность появления событие A в испытании n равна . Если при вероятность , так что , , то для каждого фиксированного k имеет место асимптотическая оценка
.
Доказательство. По условию, при достаточно больших n, имеем
, где - б.м.
Для каждого фиксированного k имеем
тогда и достаточно больших n имеем
.
Далее, так как k фиксировано, то
1)
при .
2)
, при .
Окончательно имеем
,
, .
Полагая , , получаем формулу (9).
Справедливость оценки (9) удивительно часто дает хорошее приближение уже при , .
Формула
, ,
называется формулой Пуассона, имеет исключительно важное значение как в теоретических исследованиях, так и в приложениях.
Рассмотрим последовательность .
Каждый член последовательности является вероятностью (формула Пуассона), а сумма ее членов равна 1. В самом деле
.
Учитывая последнее, формула Пуассона рассматривается как распределение вероятностей.
Замечание. Скорость сходимости вероятностей к , , если , при определяется оценкой
.
Оценка получена Ю.В. Прохоровым ….
Локальная теорема Муавра - Лапласа
Рассмотрим функцию вида , которая называется кривой Гаусса. График этой функции представлен на рис. 14.
Построим график функции (с. 39). Сдвинем кривую Гаусса на единиц вправо и «сожмем» по вертикали в раз. Получим функцию от переменной k
.
Построим график этой функции в этой же системе координат (рис. 15). Из рисунка видно, что графики этих функций приближенно совпадают.
Теорема. При и , для схемы Бернулли справедлива асимптотическая оценка
,
, .
Значения функции определяются по таблице (приложение 2) с учетом четности этой функции, то есть , при полагаем .
Для решения практических задач будем пользоваться приближенным равенством
.
Оценка вероятности тем точнее, чем ближе .
Пр. 26 Вернемся к ранее рассмотренному примеру (с. 41)
.
Искомую вероятность определим приближенно и по формуле Пуассона, и по формуле Муавра - Лапласа.
1. Воспользуемся формулой Пуассона, тогда , получаем
.
2. Воспользуемся формулой Муавра - Лапласа
.
Замечание. Если сравнить полученные приближенные значения с точным значением вероятности, вычисленной по формуле Бернулли , то меньшую погрешность, в данном случае, дает формула Пуассона. Если n велико, p мало и не мало, не велико, то используется формула Пуассона. Если велико, то можно пользоваться и формулой Пуассона и локальной теоремой Муавра-Лапласа, что подтверждается многочисленными примерами.
Интегральная теорема Муавра - Лапласа
Кроме вышеописанных трудностей при вычислении вероятностей событий по формуле Бернулли иногда необходимо не только вычислить эти значения, но и суммировать их, причем число слагаемых в этой сумме может быть значительным. В этом случае используют интегральную теорему Муавра - Лапласа.
Теорема. Пусть в испытаниях Бернулли вероятность появления события равна p (). Тогда для любых действительных чисел имеет место сходимость
,
где .
Для практических расчетов будем использовать приближенное равенство
,
где , , - целые, а .
Построим график функции (рис. 16).
Будем считать для , для , значения функции для определяются по таблице (приложение 3) с учетом свойства, которому удовлетворяет эта функция
.
Доказательство.
Пусть
,
тогда
.
Пр. 27 Вероятность изготовления бракованной детали равна 0,015. Найти вероятность того, что из 5000, изготовленных на станке, деталей бракованных не более 50.
Решение.
Если события
A - из 5000 деталей, изготовленных на станке, бракованных не более 50,
A0 -из 5000 деталей, изготовленных на станке, бракованных 0,
A1 -из 5000 деталей, изготовленных на станке, бракованных 1,
…
A50 - из 5000 деталей, изготовленных на станке, бракованных 50,
то .
Переходя к вероятностям, по теореме сложения вероятностей и аксиоме 3 вероятности для несовместных события, получаем
.
Замечание. При использовании таблиц значений функции из других литературных источников следует обращать внимание как эта функция определяется, если , то таблицы составлены для . Для отрицательных x используется нечетность функции, то есть .
Приложение интегральной теоремы Муавра - Лапласа.
Пусть в испытаниях Бернулли - число появления события A в n испытаниях. Обозначим через частоту появления события A. Оценим вероятность, где >0. Воспользуемся интегральной теоремой Муавра - Лапласа:
.
Имеем
.
Таким образом, искомая оценка имеет вид
.
Полученное трансцендентное уравнение всегда имеет единственное решение, если известны значения всех параметров кроме одного. Этим фактом подтверждается многочисленные применения интегральной теоремы Муавра-Лапласа.
Пр. 28 Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,5. Найти число испытаний n, при котором с вероятностью =0,7698 можно ожидать, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,02.
Решение. Из условия задачи следует, что имеет место схема испытаний Бернулли с , . Найдем число испытаний n, при котором с вероятностью можно ожидать, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на . Имеем цепочку равенств
,
,
,
, , .
Случайные величины
Математической моделью стохастического (вероятностного) эксперимента является вероятностное пространство . Его объекты , (или ), P составляют аксиоматику Колмогорова:
1. - пространство элементарных случайных событий (выборочное пространство). Является начальным объектом при формализации любого вероятностного эксперимента и, следовательно, не определяемым. Рассматривались , состоящие из конечного или счетного числа элементарных событий. В общем случае, физическая природа элементарных событий пространства для нас не существенна.
2. - алгебра случайных событий. Элементы - всевозможные подмножества (случайные события) пространства (включая невозможное событие и само ). Если число элементов счетно, то говорят о -алгебре событий. Более сложные случаи не рассматривались.
3. P - вероятностная мера или распределение вероятностей, заданная на подмножествах пространства . По определению (условие нормировки).
Для вероятности выполняется свойство аддитивности, т.е. если события , , …, попарно несовместны, то
.
Пр. 29 Симметричная монета подбрасывается n раз. Описать вероятностное пространство.
Пространство элементарных событий , где принимает значение 1 (выпал герб) или 0 (не выпал герб). Элементарные события интерпретируются как n-мерный вектор с координатами равными 0 и 1, число которых равно , .
Алгебра событий состоит из всех подмножеств пространства , число которых - . Алгебра замкнута относительно основных теоретико-множественных операций (объединение, пересечение, разность и дополнение).
Распределение вероятностей P, в силу равновозможности всех исходов,
.
Вероятностное пространство описано.
Из примера видно, что принципиальных проблем с построением вероятностного пространства для такого класса задач, за исключением технических трудностей, не возникает. В сущности, здесь достаточно аксиомы 3, аддитивности вероятности. Сложности возникают тогда, когда появляются задачи с очень большим числом возможных исходов эксперимента или например, некоторые исходы эксперимента могут не представлять практического интереса, а их вероятности приходится вычислять, допустим, статистическим путем. Может оказаться, что каждый такой исход имеет исчезающе малую вероятность, которую трудно оценить. Трудности становятся принципиальными, когда речь идет о задачах, в которых число возможных исходов эксперимента неограниченно. Наконец, число исходов эксперимента может быть более чем счетно, например, иметь мощность континуум и даже больше (как например, пространство всех случайных функций).
Пр. 30 Рассмотрим эксперимент с подбрасыванием симметричной монеты при . Пространство элементарных событий . Элементарные события будем интерпретировать как множество всех последовательностей, члены которых равны 0 или 1.
Возьмем полуинтервал . Известно, что любое его число однозначно представимо в двоичной системе последовательностью нулей и единиц. Но множество чисел из имеет мощность континуум, следовательно, в силу взаимной однозначности, множество всех последовательностей также имеет мощность континуум.
Таким образом, задача с бесконечным подбрасыванием симметричной монеты свелась к задаче о случайном выборе действительного числа из промежутка .
Имеем ; положим . Очевидно, что вероятность выбора конкретного числа из равна 0, то есть , . Ясно, что из такого подхода что-либо содержательное извлечь трудно.
Из примеров следует, что пространство может состоять из счетного (конечного или бесконечного) числа элементов, иметь мощность континуум и даже больше, то есть множество точек достаточно общего вида. Но и отказаться от модели случайного выбора точки из промежутка было бы неразумно, поскольку у нас есть алгебра случайных событий, элементами которой являются подмножества . Ясно, что обобщения состоят в рассмотрении не отдельных точек, а их множества (различных интервалов или полуинтервалов) , , где каждый интервал содержит только те точки, которые объединены общим признаком. Тогда за вероятность можно взять длину интервала. Это означает, что вероятность является функцией длины (меры) интервала. Заметим, что здесь мы имеем отображение (функцию), элементами которого являются не точки, а множества точек.
Опр. Множество, элементами которого являются какие-либо другие множества, называется системой множеств.
Алгебра и -алгебра событий являются примерами системы множеств.
Пр. 31 Пусть из промежутка случайно выбирается число. Пространство элементарных событий все действительные числа.
...Подобные документы
Вероятность и ее общее определение. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Дискретные случайные величины и их числовые характеристики. Закон больших чисел. Статистическое распределение выборки. Элементы корреляционного и регрессионного анализа.
курс лекций [759,3 K], добавлен 13.06.2015Случайные события, их классификация. Свойство статистической устойчивости относительной частоты события. Предельные теоремы в схеме Бернулли. Аксиоматическое и геометрическое определение вероятности. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
реферат [1,4 M], добавлен 18.02.2014Описание случайных ошибок методами теории вероятностей. Непрерывные случайные величины. Числовые характеристики случайных величин. Нормальный закон распределения. Понятие функции случайной величины. Центральная предельная теорема. Закон больших чисел.
реферат [146,5 K], добавлен 19.08.2015Функциональные и степенные ряды. Разложение функций в ряды Тейлора и Макларена. Теорема Дерихле. Основные понятия в теории вероятностей. Теорема умножения и сложения вероятностей независимых событий. Формулы Бейеса, Бернулли. Локальная теорема Лапласа.
методичка [96,6 K], добавлен 25.12.2010Вероятность события. Теоремы сложения и умножения событий. Теорема полной вероятности события. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли, формула Пуассона, формула Муавра-Лапласа. Закон распределения вероятностей случайных дискретных величин.
контрольная работа [55,2 K], добавлен 19.12.2013Закон распределения случайной величины дискретного типа (принимающей отдельные числовые значения). Предельные теоремы схемы Бернулли. Вычисление вероятности появления события по локальной теореме Муавра-Лапласа. Интегральная формула данной теоремы.
презентация [611,2 K], добавлен 17.08.2015Основные понятия, действия над случайными событиями. Классическое определение, свойства вероятностей. Правила вычисления вероятностей случайных событий. Построение законов распределения вероятностей случайных величин, вычисление числовых характеристик.
задача [82,0 K], добавлен 12.02.2011Статистическое, аксиоматическое и классическое определение вероятности. Дискретные случайные величины. Предельные теоремы Лапласа и Пуассона. Функция распределения вероятностей для многомерных случайных величин. Формула Байеса. Точечная оценка дисперсии.
шпаргалка [328,7 K], добавлен 04.05.2015Принципы решения задач по основным разделам теории вероятностей: случайные события и их допустимость, непроизвольные величины, распределения и числовые характеристики градировки, основные предельные теоремы для сумм независимых вероятностных величин.
контрольная работа [129,1 K], добавлен 03.12.2010Функция распределения вероятностей двух случайных величин. Функция и плотность распределения вероятностей случайного вектора. Многомерное нормальное распределение. Коэффициент корреляции. Распределение вероятностей функции одной случайной величины.
реферат [241,8 K], добавлен 03.12.2007Теорема Бернулли как простейшая форма закона больших чисел. Предельные теоремы теории вероятностей и объяснение природы устойчивости частоты появлений события. Качественные и количественные утверждения закона больших чисел, его практическое применение.
курсовая работа [75,2 K], добавлен 17.12.2009Классическое определение вероятности. Формулы сложения и умножения вероятностей. Дисперсия случайной величины. Число равновозможных событий . Матрица распределения вероятностей системы. Среднее квадратическое отклонение, доверительный интервал.
контрольная работа [89,7 K], добавлен 07.09.2010Пространство элементарных событий. Понятие совместных и несовместных событий и их вероятностей. Плотность распределения вероятностей системы двух случайных величин. Числовые характеристики системы. Закон генеральной совокупности и его параметры.
контрольная работа [98,1 K], добавлен 15.06.2012- Закон больших чисел. Проверка статистических гипотез (критерий согласия w2 Мизеса: простая гипотеза)
Предельные теоремы теории вероятностей. Сходимость последовательностей случайных величин и вероятностных распределений. Метод характеристических функций. Закон больших чисел. Особенности проверки статистических гипотез (критерия согласия w2 Мизеса).
курсовая работа [1,0 M], добавлен 27.01.2012 Случайная функция, случайный процесс, случайное поле. Функция, плотность распределения вероятностей случайного процесса и их математические модели. Моментные функции случайного процесса. Условные распределения вероятностей. Стационарные процессы.
реферат [54,7 K], добавлен 03.12.2007Опыт со случайным исходом. Статистическая устойчивость. Понятие вероятности. Алгебра событий. Принцип двойственности для событий. Условные вероятности. Формулы сложения и умножения вероятностей. Формула Байеса. Пространство элементарных событий.
реферат [402,7 K], добавлен 03.12.2007Поиск искомой вероятности через противоположное событие. Интегральная формула Муавра–Лапласа. Нахождение вероятности попадания в заданный интервал распределенной случайной величины по ее математическому ожиданию и среднему квадратическому отклонению.
контрольная работа [102,5 K], добавлен 17.03.2011Вычисление математического ожидания, дисперсии, функции распределения и среднеквадратического отклонения случайной величины. Закон распределения случайной величины. Классическое определение вероятности события. Нахождение плотности распределения.
контрольная работа [38,5 K], добавлен 25.03.2015Определение числа исходов, благоприятствующих данному событию. Теорема умножения вероятностей и сложения несовместных событий, локальная теорема Лапласа. Расчет среднеквадратического отклонения величин. Несмещенная оценка генеральной средней и дисперсии.
контрольная работа [91,0 K], добавлен 31.01.2011История и основные этапы становления и развития основ теории вероятности, ее яркие представители и их вклад в развитие данного научного направления. Классификация случайных событий, их разновидности и отличия. Формулы умножения и сложения вероятностей.
контрольная работа [22,6 K], добавлен 20.12.2009
