Теория вероятностей
Понятие и примеры случайного события. Правила сложения и умножения в комбинаторике. Формулы вычисления вероятностей. Локальная и интегральная теоремы Муавра–Лапласа. Классы функций распределения. Непрерывные случайные величины. Закон больших чисел.
| Рубрика | Математика |
| Вид | краткое изложение |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 21.03.2018 |
| Размер файла | 1,4 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
, .
Следствие 3 (теорема Пуассона). При неограниченном увеличении числа n независимых испытаний, в которых событие A появляется с вероятностью , относительная частота события A сходится по вероятности к средней вероятности события, то есть,
, .
Доказательство. Так как , , где - число появления события A в i-ом эксперименте, тогда получаем частный случай теоремы Чебышева, дальнейшие рассуждения аналогичны доказательству следствия 2.
Теорема (Маркова). Если для последовательности случайных величин
,
то при неограниченном возрастании n среднее арифметическое значение случайных величин , , сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий, то есть,
.
Центральные предельные теоремы
При суммировании достаточно большого числа случайных величин закон распределения суммы неограниченно приближается к нормальному распределению при соблюдении некоторых условий. Эти условия по существу сводятся к требованию, чтобы влияние на сумму отдельных случайных величин было равномерно малым, то есть, чтобы в состав суммы не входили случайные величины, явно преобладающие над совокупностью остальных по своему влиянию на рассеивание суммы. Группа таких теорем носит общее название центральных предельных теорем. В настоящее время существуют теоремы, где сходимость последовательности случайных величин определяется другими распределениями (из класса безгранично делимых распределений) ….
Приведем две из таких теорем.
Теорема (Линдеберга-Леви).
Если последовательность независимых случайных величин, имеющих один и тот же закон распределения с математическими ожиданиями и дисперсиями , то при неограниченном возрастании n закон распределения нормированной суммы сходится по вероятности к нормальному закону с плотностью вероятностей , , для которой , , то есть, : и имеет место
,
где .
Теорема (Ляпунова).
Если в последовательности независимые случайные величины имеют математические ожидания , дисперсии и конечные абсолютные центральные моменты 3-го порядка , , удовлетворяющие условию
,
то при неограниченном увеличении n закон распределения нормированной суммы сходится по вероятности к нормальному закону с плотностью и равномерно по x имеет место
.
Замечание. В практических задачах центральную предельную теорему часто используют для вычисления вероятности того, что сумма нескольких случайных величин примет значение, принадлежащие некоторому заданному интервалу.
Список литературы
1. Павский, В.А. Лекции по теории вероятностей и элементам математической статистики /В.А. Павский. - Кемерово: КемТИПП, 2005. - 184 с.
2. Ахназарова С.Л., Кафаров В.В. Методы оптимизации эксперимента в химической технологии. - М.: Высшая школа, 1985. - 327 с.
3. Боровков А.А. Теория вероятностей, - М.: УРСС, 2003. - 472с.
4. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. - М.: Высшая школа, 2002. - 576 с.
5. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 2002. - 479 с.
6. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. - М.: Издательство ЛКИ, 2007. - 448 с.
7. Карлин С. Основы теории случайных процессов. - М, Мир, 1971. - 536 с.
8. Кафаров В.В., Дорохова И.Н., Арутюнов С.Ю. Системный анализ процессов химической технологии. - М.: Наука, 1985. - 440 с.
9. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. - М.: Ма-шиностроение, 1979. - 432 с.
10. Ширяев А.Н. Вероятность: Учебное пособие. - В 2-х книгах. - М.: Изд-во МНЦМО, 2007. - 968 с.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Вероятность и ее общее определение. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Дискретные случайные величины и их числовые характеристики. Закон больших чисел. Статистическое распределение выборки. Элементы корреляционного и регрессионного анализа.
курс лекций [759,3 K], добавлен 13.06.2015Случайные события, их классификация. Свойство статистической устойчивости относительной частоты события. Предельные теоремы в схеме Бернулли. Аксиоматическое и геометрическое определение вероятности. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
реферат [1,4 M], добавлен 18.02.2014Описание случайных ошибок методами теории вероятностей. Непрерывные случайные величины. Числовые характеристики случайных величин. Нормальный закон распределения. Понятие функции случайной величины. Центральная предельная теорема. Закон больших чисел.
реферат [146,5 K], добавлен 19.08.2015Функциональные и степенные ряды. Разложение функций в ряды Тейлора и Макларена. Теорема Дерихле. Основные понятия в теории вероятностей. Теорема умножения и сложения вероятностей независимых событий. Формулы Бейеса, Бернулли. Локальная теорема Лапласа.
методичка [96,6 K], добавлен 25.12.2010Вероятность события. Теоремы сложения и умножения событий. Теорема полной вероятности события. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли, формула Пуассона, формула Муавра-Лапласа. Закон распределения вероятностей случайных дискретных величин.
контрольная работа [55,2 K], добавлен 19.12.2013Закон распределения случайной величины дискретного типа (принимающей отдельные числовые значения). Предельные теоремы схемы Бернулли. Вычисление вероятности появления события по локальной теореме Муавра-Лапласа. Интегральная формула данной теоремы.
презентация [611,2 K], добавлен 17.08.2015Основные понятия, действия над случайными событиями. Классическое определение, свойства вероятностей. Правила вычисления вероятностей случайных событий. Построение законов распределения вероятностей случайных величин, вычисление числовых характеристик.
задача [82,0 K], добавлен 12.02.2011Статистическое, аксиоматическое и классическое определение вероятности. Дискретные случайные величины. Предельные теоремы Лапласа и Пуассона. Функция распределения вероятностей для многомерных случайных величин. Формула Байеса. Точечная оценка дисперсии.
шпаргалка [328,7 K], добавлен 04.05.2015Принципы решения задач по основным разделам теории вероятностей: случайные события и их допустимость, непроизвольные величины, распределения и числовые характеристики градировки, основные предельные теоремы для сумм независимых вероятностных величин.
контрольная работа [129,1 K], добавлен 03.12.2010Функция распределения вероятностей двух случайных величин. Функция и плотность распределения вероятностей случайного вектора. Многомерное нормальное распределение. Коэффициент корреляции. Распределение вероятностей функции одной случайной величины.
реферат [241,8 K], добавлен 03.12.2007Теорема Бернулли как простейшая форма закона больших чисел. Предельные теоремы теории вероятностей и объяснение природы устойчивости частоты появлений события. Качественные и количественные утверждения закона больших чисел, его практическое применение.
курсовая работа [75,2 K], добавлен 17.12.2009Классическое определение вероятности. Формулы сложения и умножения вероятностей. Дисперсия случайной величины. Число равновозможных событий . Матрица распределения вероятностей системы. Среднее квадратическое отклонение, доверительный интервал.
контрольная работа [89,7 K], добавлен 07.09.2010Пространство элементарных событий. Понятие совместных и несовместных событий и их вероятностей. Плотность распределения вероятностей системы двух случайных величин. Числовые характеристики системы. Закон генеральной совокупности и его параметры.
контрольная работа [98,1 K], добавлен 15.06.2012- Закон больших чисел. Проверка статистических гипотез (критерий согласия w2 Мизеса: простая гипотеза)
Предельные теоремы теории вероятностей. Сходимость последовательностей случайных величин и вероятностных распределений. Метод характеристических функций. Закон больших чисел. Особенности проверки статистических гипотез (критерия согласия w2 Мизеса).
курсовая работа [1,0 M], добавлен 27.01.2012 Случайная функция, случайный процесс, случайное поле. Функция, плотность распределения вероятностей случайного процесса и их математические модели. Моментные функции случайного процесса. Условные распределения вероятностей. Стационарные процессы.
реферат [54,7 K], добавлен 03.12.2007Опыт со случайным исходом. Статистическая устойчивость. Понятие вероятности. Алгебра событий. Принцип двойственности для событий. Условные вероятности. Формулы сложения и умножения вероятностей. Формула Байеса. Пространство элементарных событий.
реферат [402,7 K], добавлен 03.12.2007Поиск искомой вероятности через противоположное событие. Интегральная формула Муавра–Лапласа. Нахождение вероятности попадания в заданный интервал распределенной случайной величины по ее математическому ожиданию и среднему квадратическому отклонению.
контрольная работа [102,5 K], добавлен 17.03.2011Вычисление математического ожидания, дисперсии, функции распределения и среднеквадратического отклонения случайной величины. Закон распределения случайной величины. Классическое определение вероятности события. Нахождение плотности распределения.
контрольная работа [38,5 K], добавлен 25.03.2015Определение числа исходов, благоприятствующих данному событию. Теорема умножения вероятностей и сложения несовместных событий, локальная теорема Лапласа. Расчет среднеквадратического отклонения величин. Несмещенная оценка генеральной средней и дисперсии.
контрольная работа [91,0 K], добавлен 31.01.2011История и основные этапы становления и развития основ теории вероятности, ее яркие представители и их вклад в развитие данного научного направления. Классификация случайных событий, их разновидности и отличия. Формулы умножения и сложения вероятностей.
контрольная работа [22,6 K], добавлен 20.12.2009
