2

Размещено на http://www.allbest.ru/

Обыкновенные дифференциальные уравнения

1. Обыкновенные дифференциальные уравнения, порядок уравнения, решение (интеграл) уравнения

При рассмотрении всех задач нам не удалось непосредственно связать искомую функцию с исходными параметрами задачи. Мы составляли уравнения, устанавливающие связь между искомой функцией, ее производными и независимой переменной.

Определение: Уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее производные, называется дифференциальным уравнением.

В общем виде дифференциальное уравнение записывается следующим образом

или (1)

Примеры:

Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение

- уравнение второго порядка

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция, удовлетворяющая этому уравнению, т.е. обращающая его в тождество.

Примеры:

1) у^I = 2х

у = х² + 1

2) 3у - ху¹ = 0

у = Сх³

3) у^II + 4у = 0

у = С₁cos2х + С₂sin2х

Нахождение решения дифференциального уравнения всегда связано с необходимостью интегрировать входящие в это уравнение функции. Поэтому операцию нахождения решения дифференциального уравнения называют интегрированием дифференциального уравнения.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

2. Дифференциальное уравнение первого порядка. Задача Коши

Дифференциальное уравнение первого порядка связывает независимую переменную, искомую функцию и ее производную первого порядка.

В общем виде его можно записать

или (2)

Если это уравнение можно разрешить относительно , то оно примет вид

(х,у) (3)

От уравнений вида (2) и (3) всегда можно перейти к уравнению вида

U (х,у) d x - V (x,y) d y = 0 (4)

Пример.

x²у^I + у lnх = 0

Условия, при которых дифференциальное уравнение имеет решение, определяется теоремой существования и единственности решения дифференциального уравнения (теорема Коши).

Теорема Коши.

Если в уравнении у^I = (х,у) функция (х,у) и ее частная производная по у f / у непрерывны в некоторой области Д плоскости Хоу, содержащей некоторую точку (x₀, y₀), то существует единственное решение этого уравнения у = (х), удовлетворяющее условию при x=x₀ y=y₀ (без доказательства).

Геометрический смысл теоремы заключается в том, что через каждую точку (x₀, y₀), лежащую внутри области Д, проходит, (и притом только одна) интегральная кривая.

Из этой теоремы следует, что уравнение

у^I =(х,у)

имеет бесконечное множество решений.

Определение: Начальные условия.

Условие, указывающее, что при х=хо функция y должна равняться числу y₀, называется начальным условием.

Оно записывается

y=y₀ при x=x₀, или y (х₀)=y₀, или

3. Общее и частное решение

дифференциальный уравнение коши геометрический

Определение: Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция у = (х, с), которая зависит от произвольной постоянной с и удовлетворяет условиям:

1) она удовлетворяет дифференциальному уравнению при любом конкретном значении с;

2) каково бы ни было начальное условие y =y₀ при х = x₀, можно найти такое значение c=c₀,что функция

y=(х,с₀)

удовлетворяет данному начальному условию.

При нахождении общего решения дифференциального уравнения часто приходят к соотношению Ф (х,у,с) = 0. Это равенство, неявно задающее решение, называют общим интегралом дифференциального уравнения.

Определение: Частным решением дифференциального уравнения называется любая функция y =(х, c₀),которая получается из его общего решения y =ц(x,c), если произвольной постоянной c придать определенное значение c= c₀.

Если в общий интеграл

Ц(х,у,c)=0

подставить c=c₀, то получим частный интеграл

Ц (х,у,c₀)=0

который определяет частное решение в неявном виде.

Геометрически графиком общего решения интеграла является семейство интегральных кривых.

Графиком частного решения (интеграла) является одна интегральная кривая этого семейства, проходящая через данную точку (x₀,y₀).

Для уравнения 3у-ху^I=0 общим решением является семейство интегральных кривых y=cхі

Графиком частного решения, удовлетворяющего начальному условию y = 1 при х = 1, является одна кривая из этого семейства у = хі

Задача Коши.

Задача, в которой требуется найти решение уравнения

у^I=f(х,у),

удовлетворяющее начальному условию y = y₀ при х =x₀, называется задачей Коши.

y^I = (х,у)

y = y₀ при х = x₀

Решить задачу Коши - значит найти частное решение дифференциального уравнения, которое удовлетворяет заданному начальному условию.

Геометрически задача Коши формулируется следующим образом: среди всех интегральных кривых данного дифференциального уравнения выделить ту, которая проходит через заданную точку (x₀,y₀). Выясним геометрический смысл дифференциального уравнения

y^I = (х,у).

4. Геометрический смысл дифференциального уравнения и его решений

Пусть дано дифференциальное уравнение, разрешенное относительно производной,

(1)

и пусть

у = у (х, С)

есть общее решение уравнения ( I ). Это общее решение, как известно, определяет собой семейство интегральных кривых на плоскости хОу.

Если переменные х и у правой части (I) рассматривать как координаты точки М (х, у) плоскости хОу, то производная у в этом случае выражает угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в точке М (х, у). Следовательно, дифференциальное уравнение (I) определяет в каждой точке плоскости хОу, принадлежащей области существования функции ѓ(х, у), направление интегральной кривой, проходящей через эту точку, иными словами, уравнение (I) определяет поле направлений на плоскости хОy.

Изображая направление в каждой точке области существования функции ѓ(х, у) маленькой стрелкой, выходящей из этой точки, можно построить полe направлений дифференциального уравнения (I), которое дает приближенное представление о расположении интегральных кривых этого уравнения.

Определение. Изоклинами дифференциального уравнения (I) называются геометрические места точек плоскости хОу, в которых интегральные кривые имеют одно и то же направление.

Уравнение

ѓ(х, у) = к

является уравнением изоклины, соответствующей заданному направлению y' = к. Придавая к произвольные постоянные значения, получаем, что

ѓ (х, у) = к

определяет семейство изоклин для дифференциального уравнения ( I ).

Решение дифференциального уравнения (I) можно искать графически, используя поле направлений, определяемое этим уравнением. Поле направлений удобно построить, если предварительно построить изоклины уравнения.

Покажем это на следующем примере.

Пусть дано уравнение

и требуетcя построить поле направлений, определяемое этим уравнением. Уравнение семейства изоклин данного уравнения

или х = 2к.

Как видно, изоклинами для данного уравнения служат прямые, параллельные оси Оу. При к = 0 получаем изоклину х = 0 (ось О ), во всех точках которой направление поля параллельно оси Ох. При к = 1 получим изоклину х = 2, во всех точках которой направление поля образует с осью Ох угол в 45° (так как tg 45° = 1). При получаем изоклину , во всех точках которой направление поля образует с осью Ох угол в 60° (так как tg 60° = ). При к = - 1 получим изоклину х = - 2, во всех точках которой направление поля образует с осью Ох угол, равный 135°. На каждой изоклине выбираем ряд точек и указываем стрелкой направление поля (рис.2).

Если будет задана определенная точка, то можно приближенно построить интегральную кривую, проходящую через эту точку.

На рис. 2 построена интегральная кривая - парабола, - проходящая через точку M₀ ( 2, 3 ).

Размещено на Allbest.ru