О структуре AP-многообразия на кораспределении Сасакиева многообразия

Размещено на http://www.allbest.ru/

Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского

О структуре ap-многообразия на кораспределении Сасакиева многообразия

Галаев Сергей Васильевич



Вводится понятие AP-многообразия, частным случаем которого является SQS-многообразие. На кораспределении D* контактной метрической структуры (M, ?о, з, ц, g, D) определяется продолженная почти контактная метрическая структура (D, ?u = ?n, м = з€ р*, J, G, DЮ). Доказывается, что продолженная структура является SQS-структурой тогда и только тогда, когда в качестве исходного многообразия выбирается сасакиево многообразие с распределением нулевой кривизны.

Похожие материалы

· О структуре ap-многообразия на распределении контактного метрического многообразия

· О некоторых свойствах продолженных почти ap-структур

· Связность над распределением в главном расслоенном пространстве допустимых реперов

· О геометрии распределения косимплектического би-метрического многообразия

· Об одном примере почти контактной пара-гиперкомплексной структуры

Введение

Пусть M - гладкое многообразие нечетной размерности n=2m+1, с заданной на нем почти контактной метрической структурой . В работе [14] с помощью внутренней и N-продолженной связностей на распределении D была определена почти контактная метрическая структура, названная продолженной почти контактной метрической структурой. Результаты исследования продолженных почти контактных метрических структур и их обобщений отражены, также, в работах [1, 2, 4, 6, 10-15, 20, 23-26, 30, 32, 34]. Так, в частности, в [15] на распределении D определяется геодезическая пульверизация связности над распределением, являющаяся аналогом геодезической пульверизации, заданной на пространстве касательного расслоения TM, и имеющая ясную физическую интерпретацию: проекции интегральных кривых геодезической пульверизации связности над распределением совпадают с допустимыми геодезическими (траекториями движения механической системы со связями). В настоящей статье понятие продолженной почти контактной метрической структуры рассматривается применительно к кораспределению D*. Кораспределение D* образовано всеми допустимыми 1-формами: и является нечетномерным аналогом кокасательного расслоения T*. Несмотря на то, что при изучении геометрии кокасательного расслоения T*M, как правило, используются те же методы, что и при изучении касательного расслоения TM [48, 55-58, 63], пространство кокасательного расслоения наделено канонической симплектической структурой, что является важным обстоятельством с точки рения применения геометрии кокасательного расслоения в механике и физике [36, 40, 41, 47, 50, 53, 54, 59, 60]. Как показано в [15], кораспределение D*, в свою очередь, наделено допустимой симплектической структурой и, те самым, может представлять интерес для специалистов в области неголономной механики.

Предположим, что распределение D почти контактной метрической структуры разлагается в прямую сумму вида , где , K - ядро формы , распределение L ортогонально распределению и инвариантно относительно действия эндоморфизма . Таким образом, . Если, дополнительно, распределение - интегрируемо и имеет место равенство , , где - модуль сечений распределения L, то многообразие M будем называть AP-многообразием. AP-многообразие локально эквивалентно прямому произведению контактного метрического многообразия и почти эрмитова многообразия. Квази-сасакиево AP-многообразие названо в статье специальным квази-сасакиевым многообразием (SQS-многообразием). SQS-многообразие локально эквивалентно произведению сасакиева и кэлерова многообразий.

Интересным примером SQS-структур являются структуры (продолженные почти контактные метрические структуры), естественным образом возникающие на распределениях нулевой кривизны сасакиевых многообразий. В настоящей статье показывается, что SQS-структуры могут быть естественным образом определены на кораспределении сасакиева многообразия с нулевым тензором кривизны Схоутена.

Почти контактные метрические многообразия специального вида

Пусть M - гладкое многообразие нечетной размерности n=2m+1, - модуль гладких векторных полей на M. Все многообразия, тензорные поля и другие геометрические объекты предполагаются гладкими класса . Предположим, что на M задана почти контактная метрическая структура , где - тензор типа (1,1), называемый структурным эндоморфизмом или допустимой почти комплексной структурой, и - вектор и ковектор, называемые, соответственно, структурным вектором и контактной формой, g - (псевдо) риманова метрика. При этом выполняются следующие условия:

1. ,

2. ,

3. ,

4. , где .

Гладкое распределение называется распределением почти контактной структуры.

В качестве следствия условий 1) - 4) получаем:

5. ,

6. ,

7. , .



Если , где , вектор однозначно определяется из условий , .

Кососимметрический тензор называется фундаментальной формой структуры. Почти контактная метрическая структура называется контактной метрической структурой, если выполняется равенство . Гладкое распределение , ортогональное распределению D, называется оснащением распределения D. Имеет место разложение .

Многообразие Сасаки - контактное метрическое пространство, удовлетворяющее дополнительному условию , где - тензор Нейенхейса эндоморфизма . Выполнение условия означает, что пространство Сасаки является нормальным пространством. Символы будем использовать для обозначения модуля сечений распределения

Предположим, что , . Хорошо известно, что ядро формы является интегрируемым распределением, которое в дальнейшем будем обозначать символом K. Пусть , , , - проекторы, определяемые разложением , где , а L - ортогональное ему распределение в D.

Имеет место

Предложение 1

Распределение интегрируемо.

Доказательство. Пусть . Покажем, что . Имеем, . Отсюда следует, . Далее, для произвольного получаем: . Таким образом, , что и доказывает предложение.

Многообразие M с почти контактной метрической структурой назовем AP-многообразием, если выполняются следующие три условия:

1. Распределение L инвариантно относительно действия эндоморфизма

2. Распределение - интегрируемо;

3. Имеет место равенство .

Квази-сасакиево многообразие, являющееся одновременно AP-многообразием, назовем специальным квази-сасакиевым многообразием (SQS-многообразием).

Используя интегрируемость распределения K, определим на многообразии M адаптированную карту , полагая , . Мы здесь использовали обозначение .

Пусть и - адаптированные карты, тогда получаем следующие формулы преобразования координат:

.

Векторные поля линейно независимы и в области определения соответствующей карты порождают распределение L: . Таким образом, мы имеем на многообразии M неголономное поле базисов и соответствующее ему поле кобазисов

.

Непосредственно проверяется, что в случае почти контактного метрического многообразия первого рода , .

Используя интегрируемость распределения , потребуем, дополнительно, выполнение равенства .

Пример SQS-многообразия

Пусть , - стандартный базис арифметического пространства. Определим на M 1-форму , полагая, . Очевидно, что , , где . Структуру риманова многообразия на M определим, считая базис ортонормированным. И, наконец, положим , , , , .

Тензор кривизны Схоутена

Тензорное поле t типа (p,q), заданное на почти контактном метрическом многообразии, назовем допустимым (к распределению D), если t обращается в нуль каждый раз, когда среди его аргументов встречаются или . Координатное представление допустимого тензорного поля в адаптированной карте имеет вид:

.

Преобразование компонент допустимого тензорного поля в адаптированных координатах подчиняется следующему закону: , где . кривизна кососимметрический тензор координата

Из формул преобразования компонент допустимого тензорного поля следует, что производные компонент допустимого тензорного поля являются компонентами допустимого тензорного поля того же типа. Заметим, что обращение в нуль производных не зависит от выбора адаптированных координат.

Внутренней линейной связностью [5, 11, 14, 15, 17-19, 20-23] на многообразии с почти контактной структурой называется отображение , удовлетворяющее следующим условиям:

,

,

,

где - модуль допустимых векторных полей.

Внутренняя связность определяет дифференцирования допустимых тензорных полей. Так, например, для допустимой почти комплексной структуры выполняется равенство

.

Коэффициенты внутренней линейной связности определяются из соотношения . Из равенства , где , обычным образом следует формула преобразования для коэффициентов внутренней связности:

.

Кручением внутренней связности назовем допустимое тензорное поле

.

Внутреннюю связность будем называть симметричной, если ее кручение равно нулю. В случае симметричности внутренней связности в адаптированных координатах получаем:



, или, .

Допустимое тензорное поле, определяемое равенством

,

где Q=I-P, названо Вагнером [16, 17] тензором кривизны Схоутена. Тензор Схоутена будем называть тензором кривизны внутренней связности. Координатное представление тензора Схоутена в адаптированных координатах имеет вид:

.

Тензор кривизны внутренней связности возникает в результате альтернирования вторых ковариантных производных:

.

Назовем тензор кривизны внутренней связности тензором кривизны распределения D, а распределение D, в случае обращения в нуль тензора Схоутена, - распределением нулевой кривизны.

Аналогом связности Леви-Чивита является внутренняя симметричная связность такая, что , где g - допустимое тензорное поле, определяемое метрическим тензором исходной почти контактной метрической структуры. Назовем связность внутренней метрической связностью. Известно, что внутренняя симметричная метрическая связность существует и определена единственным образом. Ее коэффициенты задаются равенствами



.

Предложение 2

Контактное метрическое многообразие размерности с распределением нулевой кривизны является K-контактным пространством.

Доказательство. Пусть - внутренняя метрическая связность: , . Дифференцируя последнее равенство повторно и альтернируя полученный результат, получаем: . Учитывая невырожденность формы , заключаем, что равенство влечет равенство . Что и доказывает предложение.

Используя равенство , получаем

Следствие

Пусть M - многообразие, наделенное контактной метрической структурой, тогда обращение в нуль тензора кривизны Схоутена влечет равенство .

Следующая теорема позволяет сформулировать более сильный результат.

Теорема 1

Пусть - контактная метрическая структура, заданная на многообразии M. Тогда, обращение в нуль тензора Схоутена эквивалентно существованию такого атласа, состоящего из адаптированных карт, для которого выполняются равенства .

Доказательство

Достаточность утверждения непосредственно подтверждается координатным представлением тензора Схоутена в адаптированных координатах. Докажем необходимость. Обращение в нуль тензора Схоутена влечет независимость коэффициентов связности от последней координаты: . Покажем, что на многообразии M можно построить атлас адаптированных карт, в которых коэффициенты связности равны нулю. Составим систему уравнений в полных дифференциалах:

.

Условия интегрируемости полученной системы сводятся к следующим соотношениям:

,

которые выполняются тождественно. Следовательно, рассматриваемая система вполне интегрируема и имеет решение с произвольными начальными условиями, что и завершает доказательство теоремы.

Продолженные почти контактные метрические структуры

Пусть M - гладкое многообразие нечетной размерности n=2m+1 с заданной на нем контактной метрической структурой [19]. В работе [14] с помощью внутренней и N-продолженной связностей на распределении D была определена почти контактная метрическая структура, названная в работе продолженной почти контактной метрической структурой. В настоящей статье понятие продолженной почти контактной метрической структуры рассматривается применительно к кораспределению D*. Кораспределение D* образовано всеми допустимыми 1-формами: . Введем на кораспределении D* структуру гладкого многообразия, поставив в соответствие каждой адаптированной карте [19] многообразия M сверхкарту на многообразии D*, где - координаты допустимого ковектора в кобазисе



,

сопряженном базису

.

Построенную сверхкарту также будем называть адаптированной.

Поставим каждому допустимому векторному полю , , и каждому допустимому ковекторному полю , , векторные поля , соответственно, где

.

На тотальном пространстве D* векторного расслоения , где - естественная проекция, таким образом, возникает гладкое распределение , где , . Определим на пространстве D* метрический тензор G, полагая

,

,

и допустимую почти комплексную структуру J, таким образом, что

.

Имеют место следующие структурные уравнения:



,

,

.

Здесь - компоненты тензора Схоутена:

.

Проводя необходимые рассуждения, убеждаемся в справедливости следующей теоремы.

Теорема 2

Система является почти контактной метрической структурой.

Назовем полученную структуру продолженной (до распределения D*) почти контактной метрической структурой.

Имеет место следующее

Предложение 3

Почти контактная метрическая структура задает структуру AP-многообразия тогда и только тогда, когда тензор кривизны Схоутена равен нулю.

Доказательство.

1. Распределение H инвариантно относительно действия эндоморфизма J в следствии с определением J:

2. Как следует из равенств

,

.



распределение , где , - интегрируемо тогда и только тогда, когда , . Как следует из предложения 2, второе из последних двух равенств является следствием первого;

3. Справедливость равенства следует из того, что исходное многообразие является контактным метрическим пространством.

Воспользовавшись структурными уравнениями, получаем выражения для компонент тензора Нейенхейса эндоморфизма J, которые затем могут использоваться при доказательстве следующей теоремы.

Теорема 3

Почти контактная метрическая структура определяет структуру АP-многообразия тогда и только тогда, когда распределение D является распределением нулевой кривизны сасакиева многообразия.



Список литературы

1. Букушева А.В. Об алгебре Ли преобразований продолженной почти контактной метрической структуры // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 4-1(48). С. 11-13.

2. Букушева А.В. Об инфинитезимальных изометриях продолженных почти контактных метрических структур // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 5-1 (49). С. 23-24.

3. Букушева А.В. Об инфинитезимальных эндоморфизмах допустимой почти симплектической структуры // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 7-1(51). С. 14-16.

4. Букушева А.В. Об одном примере гиперкэлеровой структуры на контактных кэлеровых распределениях // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 8-1 (52). С. 21-22.

5. Букушева А.В. О геометрии контактных метрических пространств с ц-связностью // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. 2015. Т. 40. №17. С. 20-24.

6. Букушева А.В. О некоторых классах продолженных почти параконтактных метрических структур // Сборник научных статей международной конференции "Ломоносовские чтения на Алтае: фундаментальные проблемы науки и образования", Барнаул, 20-24 октября 2015. - Барнаул : Изд-во Алтайского ун-та, 2015. С. 471-474.

7. Букушева А.В. О некоторых классах распределений с финслеровой структурой // Математика. Механика. 2012. №.14. С. 13-16.

8. Букушева А.В. О некоторых классах почти параконтактных метрических многообразий // Математика. Механика. 2013. №.15. С. 8-11.

9. Букушева А.В. Когомологии оснащенных распределений // Математика. Механика. 2014. №.16. С.15-18.

10. Букушева А.В. Слоения на распределениях с финслеровой метрикой // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т.14. №.3. С. 247-251.

11. Букушева А.В. Нелинейные связности и внутренние полупульверизации на распределении почти контактной метрической структуры // Математика. Механика. 2015. №.17. С. 6-8.

12. Букушева А.В., Галаев С.В. О допустимой келеровой структуре на касательном расслоении к неголономному многообразию // Математика. Механика. 2005. №7. С. 12-14.

13. Букушева А.В., Галаев С.В., Иванченко И.П. О почти контактных метрических структурах, определяемых связностью над распределением с финслеровой метрикой // Механика. Математика. 2011. №13. С.10-14.

14. Букушева А.В., Галаев С. В. Почти контактные метрические структуры, определяемые связностью над распределением с допустимой финслеровой метрикой // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12. №. 3. С. 17-22.

15. Букушева А.В., Галаев С. В. Связности над распределением и геодезические пульверизации // Известия высших учебных заведений. Математика. 2013. №4. С. 10-18.

16. Вагнер В.В. Геометрическая интерпретация движения неголономных динамических систем, Тр. семинара по векторному и тензорному анализу, №5, 301-327 (1941).

17. Вагнер В.В. Геометрия (n ? 1)-мерного неголономного многообразия в n-мерном пространстве, Тр. семинара по векторному и тензорному анализу, вып. 5, 173-255 (1941).

18. Галаев С.В. О некоторых классах N-продолженных связностей // Математика. Механика. 2015. №.17. С. 12-15.

19. Галаев С.В. Внутренняя геометрия метрических почти контактных многообразий // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12. №1. С. 16-22.

20. Галаев С.В. Почти контактные кэлеровы многообразия постоянной голоморфной секционной кривизны // Известия высших учебных заведений. Математика. 2014. №8. С. 42-52.

21. Галаев С.В. Почти контактные метрические структуры, определяемые N-продолженной связностью // Математические заметки СВФУ. 2015. Т. 22. №1. С. 25-34.

22. Галаев С.В. Почти контактные метрические пространства с N-связностью // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15. №3. С. 258-263.

23. Галаев С.В. Геометрическая интерпретация тензора кривизны Вагнера для случая многообразия с контактной метрической структурой // Сибирский математический журнал. 2016. Т. 57. № 3(337). С. 632-640.

24. Галаев С.В. Допустимые гиперкомплексные структуры на распределениях сасакиевых многообразий // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16. №3. С. 263-272.

25. Галаев С.В. Гладкие распределения с допустимой гиперкомплексной псевдо-эрмитовой структурой // Вестник Башкирского университета. 2016. Т. 21. №3. С. 551-555.

26. Галаев С.В. Обобщенный тензор кривизны Вагнера почти контактных метрических пространств // Чебышевский сборник. 2016. Т. 17. №3(59). С. 53-63.

27. Галаев С.В. О почти контактных метрических пространствах с метрической N-связностью // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 4-1(48). С.14-16.

28. Галаев С.В. О метрической N-продолженной связности на почти контактном метрическом пространстве // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 5-1(49). С. 20-22.

29. Галаев С.В. Связности, совместимые с допустимой почти симплектической структурой // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 7-1(51). С. 17-19.

30. Галаев С.В. Допустимые гиперкомплексные структуры на контактных кэлеровых распределениях // Современные проблемы математических и естественных наук в мире. Сборник научных трудов по итогам международной научно-практической конференции. Казань. Изд-во: Инновационный центр развития образования и науки. 2015. С. 22-24.

31. Галаев С.В. Замечания о контактно-геодезических преобразованиях почти контактных метрических многообразий // Фундаментальные и прикладные исследования в современном мире. 2016. №15-1. С. 54-57.

32. Галаев С.В. Обобщенные би-контактные структуры на распределениях сасакиевых многообразий // Фундаментальные и прикладные исследования в современном мире. 2016. №15-1. С. 57-59.

33. Галаев С.В. Примеры многообразий со специальной квази-сасакиевой структурой // Новая наука: Теоретический и практический взгляд. 2016. №10-2. С. 31-33.

34. Галаев С.В. Об одном примере допустимой гиперкомплексной псевдо-эрмитовой структуры с метрикой полного лифта // Новая наука: Теоретический и практический взгляд. 2016. №10-2. С. 28-31.

35. Галаев С.В. N-продолженные симплектические связности в почти контактных метрических пространствах // Известия высших учебных заведений. Математика. 2017. №3. С. 15-23.

Размещено на Allbest.ru

...