Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

• Введение
• Точки Лагранжа. Ограниченная задача трех тел
• Миссии к точкам либрации L1 и L2
• Постановка задачи и ее актуальность
• Глава 1. Обзор проблематики исследования
• 1.1 Исследования перелетов КА между коллинеарными точками либрации
• 1.2 Исследования методик перелетов КА между коллинеарными точками либрации L1 и L2
• 1.3 Миссия GENESIS
• Глава 2. Теоретическая основа исследования
• 2.1 Уравнения движения тела наименьшей массы в круговой ограниченной задаче трех тел
• 2.2 Устойчивость точек либрации
• Глава 3. Описание примененных алгоритмов
• 3.1 Алгоритм вычисления начального вектора состояния КА, являющегося начальным условием ограниченной орбиты
• 3.2 Классификация ограниченных орбит в окрестностях точки либрации
• 3.3 Соответствие характеристик орбиты КА и класса порождаемой орбиты
• 3.4 Алгоритм расчета гало-орбиты в окрестности точки Лагранжа L2 в системе Солнце - Земля
• 3.5 Устойчивые и неустойчивые многообразия
• 3.6 Алгоритм расчета многообразий
• 3.7 Алгоритм перехода КА на ограниченную орбиту в окрестности точки либрации L1
• Глава 4. Результаты применения алгоритмов и их анализ
• Заключение
• Список литературы

Введение

Точки Лагранжа. Ограниченная задача трех тел

Гравитационное взаимодействие тел в космическом пространстве изучается уже несколько веков. Особое внимание уделено ограниченной задаче трех тел, где третье тело обладает массой, пренебрежимо малой по отношению к двум другим телам. Случай исследования движения третьего тела, в котором в задаче трех тел два из них движутся вокруг их центра масс по круговым орбитам, масса третьего тела пренебрежимо мала относительно масс двух других тел, называется круговой ограниченной задачей трех тел.

Орбиты Солнечной системы не являются круговыми, однако при рассмотрении орбит и масс тел в системе и их соотношений было выяснено, что ограниченная задача трех тел является прекрасным приближением, дающим возможность исследовать динамику тел сравнительно несложными методами.

В восемнадцатом веке математиком Жозефом Луи Лагранжем было введено понятие точек либрации (их также называют точками равновесия), определяющие область в пространстве, где тело с определенной скоростью в инерциальной системе будет оставаться неподвижным во вращающейся системе координат.

У круговой ограниченной задачи трех тел не существует аналитического решения, однако есть возможность найти специальные решения с помощью численных методов (численного интегрирования) [1]. Именно эти решения и являются точками либрации, которые можно использовать в качестве парковочных мест для космических аппаратов (КА), исследующих дальний космос и тела Солнечной системы [2-4].

Всего существует 5 точек либрации, которые лежат в плоскости орбит массивных тел. В исследуемой задаче масса одного из крупных тел (Солнца) больше массы второго тела (Земли). Точки Лагранжа обозначаются заглавной латинской буквой L с индексом от 1 до 5. Точки L1, L2, L3 являются коллинеарными точками неустойчивого орбитального равновесия. Данные точки расположены на прямой, соединяющей центры двух массивных тел, причем L1 располагается между двумя массивными телами, ближе к меньшему; L2 - снаружи системы, за менее массивным; L3 находится на орбите менее массивного тела, в точке противоположной относительно его положения. Неустойчивость коллинеарных точек обусловлена теоремой Ляпунова об устойчивости по первому приближению, поэтому при размещении КА в окрестности одной из этих точек, со временем неизбежно отдалится от нее, если не будет осуществлен коррекционный импульс.

Оставшиеся точки - L4, L5 - точки устойчивого равновесия, иначе их еще называют троянскими (треугольными) точками. Они располагаются на орбите одного из массивных тел (в данной работе - на орбите Земли) и образуют равнобедренный треугольник с вершинами в массивных телах. Равновесие в троянских точках объясняется тем, что стороны равнобедренного треугольника равны, поэтому силы притяжения пропорциональны массам тел, и результирующая сила направлена к барицентру системы. Результирующая сила равна той, которая требуется для удержания тела к треугольной точке либрации в орбитальном равновесии, так как барицентр является одновременно центром вращения [5-7].

Взаимное расположение точек либрации и массивных тел системы (Солнца и Земли) отражено на Рис. 1.



Рис. 1. Конфигурация точек Лагранжа и тел системы

В окрестности точек либрации могут быть рассчитаны траектории, при нахождении на которых космический аппарат (КА) в течении длительного времени расходы энергии на поддержание первоначальной орбиты будут минимальными. Класс периодических орбит в окрестности коллинеарных точек Лагранжа называется гало-орбитами, образующимися при совпадении периодов обращения КА около точки либрации в плоскости эклиптики (плоскости обращения Земли вокруг Солнца) и плоскости, ей перпендикулярной. Периоды обращения КА определяются амплитудой орбиты.

Как сказано выше, коллинеарные точки являются неустойчивыми точками орбитального равновесия. Периодические орбиты в окрестностях точек L1, L2, L3 прекрасно подходят для выполнения определенных задач в космических миссиях. Знание динамики и свойств периодических орбит является ключевым моментом в задаче моделирования траекторий перелета КА. Основное свойство рассматриваемых периодических орбит, которое наиболее полезно в данном исследовании - это наличие многообразий траекторий. Особое внимание отведено для рассмотрения траекторий перелета между ограниченными орбитами в окрестностях коллинеарных точек Лагранжа от L2 к L1.

Миссии к точкам либрации L1 и L2

Роберт Фаркуар первым предложил использование точек либрации для запуска КА, в своей диссертации в 1968 г. [2] он описал способ удержания КА на квазигало-орбите [8] в окрестности коллинеарных точек Лагранжа системы Земля - Луна, чтобы поддерживать обеспечение связи программы Апполон с Землей.

За промежуток времени с 1978 по 2017 годы было запущено 11 миссий к точкам Лагранжа в системе Солнце-Земля: ISEE-3/ICE (International Sun-Earth Explorer-3 / International Cometary Explorer), WIND, SOHO (The Solar & Heliospheric Observatory), ACE (Advanced Composition Explorer), WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe), Genesis, TRIANA (DSCOVR (Deep Space Climate Observatory)), FIRST/HERSCHEL (Far Infrared and Submillimetre Telescope), PLANCK, GAIA (Global Astrometric Interferometer for Astrophysics), LISA Pathfinder.

Задачами миссий, запущенных к точке L1 (ICE, WIND, SOHO, ACE, TRIANA, LISA Pathfinder), являются: изучение и исследование комет и магнитосферы Земли, атмосферы Земли и Солнца, солнечного ветра, ультрафиолетового и инфракрасного излучений, получение изображений небесных тел, целью одной из миссий являлась проверка ОТО (общей теории относительности).

WMAP, FIRST/HERSCHEL, PLANCK, GAIA - миссии, которые были запущены к точке Лагранжа L2, во время исполнения которых производилось сканирование небесной сферы, изучение реликтового и инфракрасного излучений, исследование в рамках химической космологии (химического состава атмосфер и поверхностей тел Солнечной системы), измерение галактического магнитного поля, выявление новых комет, астероидов и экзопланет [9].

Миссия GENESIS была направлена на сбор образцов солнечного ветра и является единственной миссией, в которой совершен перелет от L1 к L2 (рис. 2).

Постановка задачи и ее актуальность

Орбиты в окрестности точек либрации L1 и L2 неустойчивы, поэтому малые отклонения от обозначенного вектора состояния КА приводят к тому, что аппарат сходит с орбиты. Если для миссии необходимо длительное нахождение на орбите в окрестности неустойчивых точек либрации, то требуется применение коррекционных импульсов для движения КА. Для осуществления перелета между точками Лагранжа также необходимо осуществлять коррекцию скорости КА [4].

Актуальными задачами по изучению космического пространства, используя периодические орбиты в окрестности коллинеарных точек либрации являются:

1. Исследование атмосферы, магнитосферы и изменений климата Земли, околоземных объектов;

2. Исследование Солнца: его атмосферы, солнечной короны, солнечного ветра, околосолнечных объектов;

3. Поиск и изучение черных дыр, планет земного типа и внесолнечных систем, исследование межпланетной / межзвездной среды;

4. Изучение расположения звёздных тел и их сейсмологии [9].

Обозначенные выше цели можно будет охватить в миссиях, использующих перелет между точками Лагранжа L1 и L2, поэтому проведенное исследование является актуальным. Рассмотрены существующие алгоритмы перемещения КА между ограниченными периодическими орбитами в окрестности точек либрации.

Новизна заключается в предложенной методике расчета и анализа траекторий перелета.

Целью работы является расчет и анализ траекторий перелета, исходящих из гало-орбиты в окрестности точки L2 и завершающихся на орбите вокруг точки L1 системы Солнце-Земля.

Задачи работы:

1. Определение вектора состояния КА, соответствующего движению по гало-орбите;

2. Расчет траекторий движения КА по неустойчивому многообразию, и отделение тех из них, которые направлены в сторону окрестности L1;

3. Расчет импульса, необходимого для движения по орбите в окрестности L1;

4. Расчет движения на 30 оборотов орбиты вокруг L1 для оценки ее амплитуд;

5. Построение графиков и анализ результатов.

В первой главе приведен обзор проблематики в настоящее время, выделены основные методики, используемые при моделировании перелета космического аппарата между периодическими орбитами в окрестности коллинеарных точек либрации. Затем во второй главе описаны математические формулы, на основании которых построены численные расчеты. Третья глава являет собой описание примененных алгоритмов. В четвертой главе приведены полученные результаты и их анализ.



Глава 1. Обзор проблематики исследования

В данной главе приведен обзор научной литературы, в которой изучались возможные варианты построения перелета космического аппарата между коллинеарными точками либрации. Приведены методики использования динамики точек Лагранжа для моделирования орбит захоронения, которые так же в определенных случаях могут служит парковочными орбитами, с которых далее может быть продолжено освоение космоса. В последнем пункте главы описывается миссия Genesis, которая из ныне запущенных миссий является наиболее близкой к данному исследованию.

1.1 Исследования перелетов КА между коллинеарными точками либрации

В системе Солнце - Земля уже реализованы многие миссии, которые используют динамические эффекты точек либрации L1 и L2 (см. введение). Но наука продолжает развиваться, поэтому ученые проводят исследования возможности задействовать и точку L3 в системе Солнце - Земля, так как она является идеальным местом для постоянного наблюдения за обратной стороной Солнца.

Команда НАСА провела исследование по поводу использования точек L4 и L5 для осуществления перелета КА к L3 в системе Солнце - Земля. Было проведено численное моделирование в условиях круговой ограниченной задачи трех тел, полученные результаты относительно траектории переноса КА в Солнечной системе также применимы для реальной миссии. Точка либрации L3 мало используется при планировании миссий, так как расстояние между ней и Землей крайне велико, подобные миссии слишком затратны, также связь между КА в окрестности точки Лагранжа и Землей будет затруднена из-за огромного расстояния и по причине того, что КА будет закрыт Солнцем. Однако миссии с подобным перелетом моделируются, так как нахождение КА в L3 позволит создать наиболее полное видение Солнечной системы, постоянное наблюдение за обратной стороной Солнца. Так как движение КА по устойчивым и неустойчивым многообразиям займет нерелевантно долгое время, чтобы достигнуть окрестности точки L3, поэтому было предложено использовать точки L4 и L5 в качестве промежуточных пунктов для перелета КА в третью коллинеарную точку Лагранжа [10].

Исследуются возможности использования многообразий для совершения таких перелетов. Если удается склеить неустойчивое многообразие какой-то из орбит у одной точки Лагранжа с устойчивым многообразием орбиты у другой точки Лагранжа, то перелет по полученной траектории оказывается условно бесплатным, т.е. затраты характеристической скорости пренебрежимо малы.

Например, была создана методика проектирования межпланетных перелетов в ограниченной задаче трех тел при объединении многообразий с дугами малой тяги (low-thrust arc). Дуги малой тяги обеспечивают возможность значительного снижения массы топлива при движении от многообразия к многообразию. Подход основан на численном поиске по основным параметрам, определяющим решение для идентификации траекторий, движущихся внутри многообразных изображений на заданных сечениях Пуанкаре. В качестве условия применения импульса выбрано значение константы Якоби периодической орбиты [11]. А П. Пергола [12] предложил иной подход - соединить баллистические траектории многообразий для построения перелетов между гало-орбитами систем Солнце - Земля в окрестности точки либрации L1 и Солнце - Марс в окрестности точки либрации L1. Применение данной методики должно повлечь уменьшение используемого топлива.



1.2 Исследования методик перелетов КА между коллинеарными точками либрации L1 и L2

В исследовании [13] представлены карты Пуанкаре, используемые для визуализации четырех или более переменных состояния, которые демонстрируются и используются в различных сценариях проектирования миссий. Эти многомерные карты используются для поиска свободных от маневров перелетов между орбитами в окрестности точек либрации как в системе Земля - Луна, так и в системе Солнце - Земля. Пространственная карта Пуанкаре была использована для исследования доступных траекторий как в плоских, так и в пространственных задачах. Для полного представления пространственной карты с точки зрения Декартовых координат в пространственной задаче должны быть представлены все шесть координат вектора состояния (координаты КА и вектора скорости). Генерируются примеры шестимерных представлений пространственных карт и областей перелета, где появляются регионы долгосрочного захвата. Путем наблюдения пересечений на карте, связанных с транзитными траекториями в окрестности периодических орбит, происходит перенос образца с Земли на одну из вычисленных орбит в окрестности Луны.

Карта Пуанкаре представляет собой ценный инструмент для получения представления о перелетах в задаче трех тел. Карта генерируется путем интегрирования начальных условий и отображения пересечений результирующих траекторий с областью пересечения. Использование карт Пуанкаре, в дополнение к ограничению на значение константы Якоби, уменьшает размерность системы на два. В плоской задаче пространство целиком и полностью представлено в проекции на плоскость. В качестве примера рассмотрим карту Пуанкаре, которая изображает проекцию пересечения устойчивого многообразия орбиты Ляпунова в окрестности L1 и неустойчивого многообразия орбиты Ляпунова в окрестности L2 в системе Земля-Луна. Карта односторонняя, то есть пересечение происходит только в одном направлении, где существует гетероклиническая связь между L1 и L2.

В некоторых случаях алгоритм для нахождения переноса между периодическими орбитами не сходится (т. е. свободного перелета между периодическими орбитами не существует). Тогда ограничение, что ограниченные орбиты являются периодическими, ослабляется и ищется связь между квазипериодическими орбитами. В этом случае несколько оборотов вокруг орбит включены в начальное предположение, в дополнение к неустойчивым и устойчивым дугам многообразия от периодических орбит. Узлы, где берут начало траектории многообразий, распределены по орбитам и дугам многообразий, и вектор состояния в каждом узле может изменяться в дополнение к времени полета вдоль каждого сегмента. Непрерывность обеспечивается между последующими сегментами, где существует полностью непрерывный перелет между квазипериодическими орбитами в окрестности исходных периодических орбит.

В исследовании был показан метод представления информации в многомерных картах Пуанкаре с использованием плоской визуализации, который применяется для проектирования траекторий. Показано, что эти четырехмерные карты отображают многообразия. Пространственная карта используется для определения местоположения перелета между Землей и периодической орбитой вблизи Луны, связанной как с гало-орбитами, так и с вертикальными орбитами в пространственной задаче для систем Земля-Луна и Солнце-Земля. С помощью визуального контроля этих карт можно спроектировать перелет, включающий гетероклинические и гомоклинические связи, использующий различные периодические и квазипериодические орбиты. Альтернативные карты, такие как пространственные карты Пуанкаре, требуют, чтобы все шесть осей Декартовой системы были представлены (три оси для координаты КА, три оси для вектора скорости). Визуальное исследование карт выявляет расположения, которые предполагают существование близлежащих периодических орбит. Исходное предположение, вычисленное на основе карты, генерируется для облегчения процесса дифференциальных поправок, чтобы найти эти орбиты. Две симметричные лунные орбиты расположены и являются отправной точкой для генерации семейств периодических орбит в окрестности Луны через численное интегрирование. Многомерные пространственные карты используются для нахождения траекторий перелета [13].

Не меньший интерес представляет работа Понтани [14], которая посвящена определению и использованию специального изоморфного отображения траекторий для анализа низкоэнергетических миссий. Удобный набор цилиндрических координат используется для описания динамики космического аппарата (т. е. положения и скорости) в контексте круговой ограниченной задачи трех тел, используемой для моделирования движения космического аппарата в системе Земля-Луна. Это изоморфное отображение траекторий позволяет идентифицировать и интуитивное представление периодических орбит, и связанных с ними многообразий, которые соответствуют многообразиям, исходящим из траектории, связанной с периодической орбитой. Гетероклинические связи - это траектории, принадлежащие как устойчивому, так и неустойчивому многообразиям двух различных периодических орбит, могут быть легко обнаружены с помощью этого представления. Исследование Понтани иллюстрирует использование изоморфного отображения для поиска периодических орбит и гетероклинических связей между траекториями, соединяющих две орбиты Ляпунова, сначала около L1, а вторая орбита - в окрестности L2, и гетероклинических связей между траекториями, берущих начало на конкретной неустойчивой лунной орбите Ляпунова в окрестности точки либрации L1. Гетероклинические траектории - это асимптотические траектории, которые осуществляются при нулевых затратах топлива. На практике для осуществления перелетов вдоль многообразий в сложных миссиях действуют путем объединения различных типов траекторных дуг, принадлежащих многообразиям. В этой работе Понтани представлено возможное применение динамики многообразий для определения подходящих стратегий завершения жизненного цикла космических аппаратов, вращающихся вокруг Земли. В статье предложены семь различных вариантов размещения аппарата на орбите ликвидации (захоронения), в которых осуществляется захват лунной орбиты, или траектория формируется под влиянием лунного притяжения, или используются устойчивые периодические лунные орбиты или внешние орбиты, не приближаясь к Земле или Луне. Эффективность каждой стратегии завершения срока службы оценивается с точки зрения времени полета и бюджета топлива.

Для понимания 7 описанных ниже методик важно помнить определение круговой ограниченной задачи трех тел (CR3BP), которая моделирует движение трех тел с массами m1, m2 и m3 такими, что m1 > m2 >> m3 ? 0. Это означает, что масса третьего тела (КА), считается незначительной, тогда как остальные массивные тела, называемые первичными, описывают движение круговых орбит против часовой стрелки вокруг их центра масс. Эта математическая модель аппроксимирует динамику космического корабля, подверженного гравитационному притяжению Земли и Луны (которые представляют собой первичные тела), в предположении, что движение Луны вокруг Земли является плоским. Это означает, что вариациями наклона орбиты Луны (в основном за счет Солнца) пренебрегают. Затем, если движение космического аппарата приурочено к плоскости системы Земля - Луна, задача сводится к плоской ограниченной задаче трех тел.

В исследовании Понтани задача описана в синодических координатах, которые представляют собой систему координат, вращающуюся с двумя первичными телами. Ось x соединяет два первичных тела и направлена от Земли к Луне, ось y лежит в плоскости их движения. Был введен набор нормированных единиц:

· DU - единица расстояния (постоянная величина) - это расстояние между двумя Землей и Луной (1 DU = 384 400 km)

· TU - единица времени, при которой синодический период равен 2р TU (1 TU = 375 190 s)

· м_E и м_M - гравитационные параметры Земли и Луны

Из этого можно получить соотношения: м_E + м_M = 1 DU³ / TU². После введения параметра м = м_M/(м_E + м_M) получаем м_E = 1 - м и м_M = м (DU³ = TU²). Координаты Земли и Луны вдоль оси x: x_E = -м и x_M = 1 - м (DU).

В работе Понтани соотношения, с помощью которых описываются методики перелета КА на орбиту захоронения: вектор состояния КА - , производные координат скорости - , , где .

Для этой динамической системы существует интеграл Якоби, значение которого называется константой Якоби и обозначается C. Значение C остается неизменным и связано с энергией динамической системы: .

Кривые нулевой скорости это геометрическое место точек, где , и представляют собой границу области, где движение космического аппарата разрешено. Вдоль оси x для рассматриваемой задачи существуют три точки равновесия (коллинеарные точки Лагранжа) L1, L2 и L3, соответствующие им С1, С2, и С3, которые представляют значения постоянной Якоби, где C1 = 3,188383, C2 = 3,172196, C3 = 3,012152. Эти значения определяют четыре интервала для постоянной Якоби, соответствующие различной геометрии областей, где движение третьего тела допускается. Случай, рассмотренный в этом исследовании, где C = 3.17 DU²/TU².

Введем обозначения, которые для удобства применены при описании методик:

· ESO (Earth Stable Orbit) - устойчивая околоземная орбита;

· MUO (Moon Unstable Orbit) - неустойчивая окололунная орбита;

· MSO (Moon Stable Orbit) - устойчивая окололунная орбита;

· LY1(Lyapunov orbit at L1) - орбита Ляпунова в окрестности L1;

· LY2(Lyapunov orbit at L2) - орбита Ляпунова в окрестности L2;

· MCO (Moon Capture Orbit) - окололунная орбита захвата;

· ECO (Externally Confined Orbit) - внешне ограниченная орбита;

· RUMLY1 (right unstable manifold departing from LY1) and LSMLY2 (left stable manifold converging to LY2) - правое неустойчивое многообразие, берущее начало из LY1, (RUMLY1) и левое устойчивое многообразие, сходящееся в LY2 (LSMLY2);

· RUMLY1 (right unstable manifold departing from LY1) and LSMMUO (left stable manifold converging to MUO) - правое неустойчивое многообразие, берущее начало из LY1, (RUMLY1) и левое устойчивое многообразие, сходящееся в MUO (LSMMUO).

Методики размещения космического аппарата на орбите ликвидации:

1. Изначально КА находится на LY1, чтобы перейти на MCO, необходимо применить импульс для корректировки скорости аппарата, равный Дv₂. Применение импульса скорости, изменяющего значение константы Якоби C на значение C1.

В терминах Дv при применении наиболее удобного способа применения этого импульса сначала требуется нахождение точки на LY1, в которой скорость максимальна, рассматривается только ограниченная часть LY1, расположенной справа от кривых нулевой скорости после их замыкания на L1. Точки LY1 находятся на оси X, локальный максимум для скорости и скорости величины импульса определяется формулой , где C_old = 3.17 DU²/TU² и C_new = С1, Дv₂* = 0.083 м/с.

LY1 покрывается в течение 8,3 дней, затем КА переходит на MCO, а затем приземлится на Луну через 500,5 дней после нескольких близких подходов к ее поверхности.

2. КА находится на LY1, альтернативный вариант заключается в применении RUMLY1. Несколько траекторий, входящие в RUMLY1, достигают лунной поверхности. Космический корабль облетит орбиту LY1 за 10,5 дня, тогда КА окажется на Луне через 18,6 дня.

3. В третьей методике КА находится на LY1 (облет за 11,4 дня), тогда гетероклиническая связь между RUMLY1 и LSMMUO может быть использована для перелета корабля от LY1 в MUO за 32.3 дня. Затем вдоль MUO можно применить импульс скорости Дv₂ для изменения C = 3,17 DU²/TU² на C1 с целью получения орбиты захвата Луны (MCO). Это требует нахождения точки на MUO, в которой скорость максимальна. Данная точка расположена слева от Луны, на оси X. Минимальная величина импульса Дv₂* выводится снова и равна Дv₂* = 0,026 км / с. До применения импульса и перехода на MCO, MUO покрывается за 1.3 часа.

4. КА находится на LY1 (облет за 11.0 дней), гетероклиническая связь между RUMLY1 и LSMLY2 может быть использована для перелета корабля от LY1 до LY2 в течение 34.9 дней. Затем вдоль LY2 применяется импульс скорости Дv₂ с целью выведения космического аппарата на внешнюю ограниченную траекторию (ECO). Это ограничение может быть достигнуто путем изменения значения C = 3,17 DU²/TU² на C2. Фактически, значение C2 соответствует замыканию кривых нулевой скорости на L2. В результате космический корабль больше не войдет в регионы, где расположены Земля и Луна. Для применения импульса необходимо, чтобы КА находился на LY2, в которой скорость максимальна, но расположенной вне кривых нулевой скорости после их замыкания на L2. Эта точка располагается на оси X. Минимальная величина импульса выводит снова из и Дv₂* = 0.029 км/с. Траектория движения после применения импульса скорости показывает и то, что космический аппарат достигает все большего расстояния от системы Земля-Луна. До применения импульса и перехода на ECO, облет LY2 производится за 11.6 дня.

5. В пятой методике осуществляется переход КА с LY1 на RUMLY1. Каждая из траекторий, составляющих RUMLY1, рассматривается в течение 6 месяцев и может пересекать MSO. Подходящая стратегия окончания срока службы состоит в размещении космического аппарата в МSО с помощью применения корректирующего импульса скорости. Для минимизации его величины необходимо найти траекторию, входящую в RUMLY1, и точку на ней, в которой будет применяться импульс. Подходящее местоположение для применения импульса для перехода от ESO к LSMLY1 приводит к определению следующей минимальной величины импульса: Дv₂ = 0,019 км/с. До применения импульса и перехода на одну из траекторий RUMLY1 облет LY1 производится за 18.1 ч, далее движения корабля идет по передаточной дуге (вдоль RUMLY1) в течение 57,1 суток до перехода на МСО.

6. Эта стратегия похожа на стратегию 3, с той лишь разницей, что LSMMUO напрямую связано с ESO. Величина второго импульса задается Дv₂* = 0.026 км/с. До применения импульса и перехода на MCO, MUO покрывается за 2,9 дня.

7. Эта стратегия аналогична стратегии 4, с той лишь разницей, что LSMLY2 напрямую связано с ESO. Величина второго импульса задается уравнением и Дv₂ * = 0,029 км/с. До применения импульса и перехода КА на ECO LY2 покрывается за 7,6 дня.

В исследовании Понтани используются семь вариантов размещения космического аппарата на различных орбитах захоронения, используя динамику коллинеарных точек либрации, которые описаны выше. В двух из семи случаев космический аппарат совершает посадку на поверхность Луны, причем время полета существенно отличается. Стратегии 3 и 6 выводят космический аппарат на орбиту Луны по непериодическому пути. С точки зрения потребления топлива первый вариант более удобен, чем второй. Внешнее удержание является конечным результатом стратегий 4 и 7, которые переводят космический корабль на траекторию, которая не может приблизиться к Земле или Луне. Стратегия 4 требует меньше топлива, чем стратегия 7. Но наибольший интерес вызывает вариант 5, который завершается выводом космического аппарата на стабильную периодическую лунную орбиту, что может быть полезно в случае продления полета.

1.3 Миссия GENESIS

либрация лагранж коллинеарный

Более чем 4,5 миллиарда лет назад солнечная туманность превратилась в Солнечную систему. Учеными была поставлена цель смоделировать химические процессы, которые произошли в космическом пространстве и привели к образованию Солнечной системы. Для этого исследования требовались образцы первоначальной туманности, чтобы на ее основе моделировать процесс и наблюдать изменения.

Космическое агентство НАСА спроектировало миссию GENESIS для получения образцов базового состава туманности. Аппарат Genesis был построен Локхидом Мартином и запущен из космического центра Кеннеди в 2001 году. КА был отправлен на гало-орбиту в окрестности коллинеарной точки либрации L1 и находился на этой орбите в течение 866 дней (пять оборотов), пассивно собирая образцы солнечного ветра (окаменелость нашей туманности, т.к. преобладающее количество научных данных утверждает, что внешний слой Солнца оставался неизменным миллиарды лет) [15].

После окончания сбора солнечного ветра КА совершил петлю в окрестности точки Лагранжа L2, чтобы зайти на посадку на Землю [16]. Примечательно, что при совершении перелетов маршевые двигатели были включены лишь единожды, а маневровые двигатели не включались.

Рис.2. Траектория КА GENESIS.

Минусом данной миссии является аварийная посадка зонда. Аппарат врезался в Землю, однако после анализа обломков учеными были обнаружены частицы образцов, которые позволили ученым сделать выводы касательно химического и изотопного составов солнечной туманности.

Подведем краткие итоги по использованию коллинеарных точек либрации:

1. Обозначены цели, для выполнения которых выгодно использовать динамику точек либрации (моделирование межпланетных перелетов, проектирование орбит для «захоронения» КА, изучение космического пространства и истории возникновения Солнечной системы и т.д.).

2. Данный обзор существующих методик позволил ознакомиться с ранее примененными алгоритмами моделирования перелета КА между коллинеарными точками либрации в ограниченной задаче трех тел.

3. Миссия Genesis является наиболее близкой по методике моделирования перелета к алгоритму, представленному в данном исследовании (см. Глава 2).



Глава 2. Теоретическая основа исследования

Во второй главе рассматривается теоретическая подоплека исследования. Уделяется внимание уравнениям движения космического аппарата в круговой ограниченной задаче трех тел, показан вывод устойчивости/неустойчивости точек Лагранжа. Расписаны уравнения для моделирования перелета КА на гало-орбиту в окрестности точки L2.

2.1 Уравнения движения тела наименьшей массы в круговой ограниченной задаче трех тел

Круговая ограниченная задача трех тел - это задача об изучении гравитационного взаимодействия трех тел, где масса одного из них пренебрежимо мала по отношению к двум другим телам, при этом тела движутся вокруг их барицентра по круговым орбитам. Данная задача не имеет аналитического решения, поэтому для ее исследования применяются численные методы.

Показано каким образом ограниченная круговая задача трех тел описывает движение аппарата в системе Солнце - Земля (Рис. 3).

Рис. 3. Вращающаяся система координат

Два массивных тела движутся по круговым орбитам вокруг барицентра системы со скоростью, которая численно равна среднему движению n (стрелка показывает направление вращения). Необходимо для удобства вычислений ввести вращающуюся (инерциальную) систему координат, она связана с центром масс системы. Расстояние между двумя массивными телами примем за единицу, чтобы далее работать с обезразмеренными координатами. Ось OX выбирается таким образом, чтобы массивные тела располагались на ней. Положение тела P описывается координатами (x, y, z). Пусть первое тело по массе больше второго (и по умолчанию и третьего).

В безразмерной системе массы тел будут описаны формулами (1):

, , (1)

тогда .

Получаем, что координата первого тела - (,0,0), знак минус центр тела смещен относительно общего центра масс по отрицательной полуоси OX, второго - (,0,0). Расстояние от третьего тела системы до первых двух и (2):

(2)

Уравнения движения третьего тела в синодической (введенной нами) системе координат после преобразований принимают вид (3 - 5):

U не является истинным потенциалом, следует его рассматривать в качестве скалярной функции для выведения некоторых ускорений частицы во вращающейся системе координат. Функцию U называют «псевдопотенциалом.

- это скалярная функция, где задается выражением (6). Функция принимает только положительные значения:

, (6)

Интеграл Якоби, еще в научной литературе известен под названием константа Якоби, либо интеграл относительной энергии. рассчитывается по следующей формуле (7):

(7)

Где , - это постоянная движения, которая не является интегралом энергии, потому что в ограниченной задаче трёх тел энергия и момент количества энергии не сохраняются. Данная величина позволяет рассмотреть положения в тот момент времени, когда скорость тела наименьшей массы равна нулю.

В данной работе исследуется движение космического аппарата, совершающего перелет с гало-орбиты в окрестности L2 на гало-орбиту в окрестности L1 системы Солнце-Земля, перемещение КА рассматривается во вращающейся системе координат (Рис. 4). В синодической системе координат (x, y,z) начало координат совпадает с барицентром системы Солнце - Земля, ось OX совпадает с линией, на которой лежат центры массивных тел (направление - от Солнца к Земле), ось OY взаимно перпендикулярна с OX, OZ, а ось OZ направлена в северный полюс эклиптики.

Движение КА описано системой из трех дифференциальных уравнений второго порядка (8), но они не имеют решения аналитического, поэтому при моделировании будет применено численное интегрирование:

	(8)

где с - это параметр системы, зависящий от масс двух тел большей массы (Солнца и Земли), , и - это возмущающие ускорения, зависящие от координатных осей и от эксцентриситета траектории наименьшего тела.

После линеаризации системы (8) она примет вид (9):

	(9)

Отметим, что точки либрации являются частными решениями данной системы для динамической системы координат, а в инерциальной системе - траекториями космического аппарата. Решение системы имеет вид (10):

	(10)

При этом , - фаза колебаний (ф.к.) в плоскости XY, -ф.к. по оси OZ,,, и фазы колебаний , - это параметры, которые зависят от начальных условий. Другие параметры вычисляются с помощью выражений:

, ,

Отметим, что - ограниченные периодические компоненты; - неустойчивая компонента, возрастающая по модулю; - убывающая устойчивая компонента.

Для нахождения ограниченной орбиты, соответствующего ей начального вектора состояния необходимо неустойчивую компоненту свести к нулю.

Пусть , тогда решения образуют устойчивые многообразия (с течением времени КА будет оставаться в окрестности точки либрации). Если же , то возникнет неустойчивое многообразие, в которых КА с течением времени покидает окрестности точки Лагранжа [1].

2.2 Устойчивость точек либрации

В описанной выше круговой ограниченной задаче трёх тел есть пять положений равновесия, именуемых точками Лагранжа или точками либрации. В случае размещения тела в одной из точек, оно будет оставаться неподвижным во вращающейся системе координат, то есть у тела будет нулевая скорость и нулевое ускорение во вращающейся системе отсчёта.

Для определения точного расположения каждой точки либрации предположим, что все тела системы движутся в одной плоскости - плоскости XY. Расстояние между двумя массивными телами равно единице, тогда средняя скорость системы координат тоже равна единице.

Точка либрации L1 лежит между двумя массивными телами, т.е. в этой точке:

+ , z = 0, y = 0 .

Можно сделать вывод, что L₁ находится в точке с координатами ( , 0, 0), где определяется по формуле (11), выведенной с помощью метода Лагранжа для обращения рядов.

	(11)

Параметр определяется: по формуле (12).

	(12)

В точке либрации L2: - , z = 0, y = 0 .

Координаты второй точки Лагранжа - ( , 0, 0), где определяется по формуле (13), полученной с помощью метода Лагранжа для обращения рядов:

	(13)

В L3: , z = 0, y = 0.

Тогда координаты L₃ - (, 0, 0), где (14):

+	(14)

Координаты троянских точек либрации L₄ и L₅ во вращающейся системе координат:

L₄ = ,

L₅ = .

При размещении бесконечно малой частицы в окрестности точки либрации, с учетом того что скорость тела не велика, и оно с течением времени будет удаляться от точки либрации, то эта точка - положение неустойчивого равновесия. Если же частица будет находиться в окрестности точки, то рассматриваемая точка Лагранжа является устойчивой.

Для определения устойчивости точки нужно линеаризовать уравнения движения и провести линейный анализ устойчивости.

Линеаризуем уравнение движения (15).

,	(15)

где .

Уравнение (15) приведем к матричному виду (16), где , где X - вектор-столбец, A - матрица:

	(16)

По определению собственного вектора, если х удовлетворяет , то х - собственный вектор матрицы А.

Характеристическое уравнение для матрицы А имеет вид (17), которое преобразуется к виду (18):

	(17)
	(18)

Корни имеют вид (19) и (20):

	(19)
	(20)

Запишем решение для и X, и в виде (21, 22):

	(21)
	(22)

Тогда общий вид собственных значений, определяемых уравнениями (19, 20) можно записать в виде (23):

	(23)

где j₁, j₂, k₁, k₂ -- вещественные числа;

Общее решение включает линейную комбинацию компонент , то есть каждому из соответствует . В случае , решение будет периодическим, так как элементы выражения с и преобразуются к синусам и косинусам. Но при значении j больше нуля, возникает экспоненциальный рост по крайней мере одной моды, поэтому возмущенное решение неустойчиво, то есть точка Лагранжа признается устойчивой, если все собственные значения характеристического многочлена будут чисто мнимыми.

Исходя из этого в системе Солнце-Земля L₁, L₂, L₃ - это неустойчивые точки Лагранжа, так как собственные числа для характеристических многочленов для каждой точки, содержат и мнимые, и действительные значения. Троянские точки в рассматриваемой системе - L₄, L₅ - точки устойчивого равновесия, так как собственные числа являются мнимыми [1].



Глава 3. Описание примененных алгоритмов

В данной главе показаны виды ограниченных орбит в окрестности точки Лагранжа в зависимости от начального вектора состояния. Приведены описания алгоритмов расчета гало-орбиты в окрестности коллинеарной точки либрации, методика получения многообразий, с помощью которых КА может перейти на ограниченную орбиту в окрестности другой коллинеарной точки либрации.

3.1 Алгоритм вычисления начального вектора состояния КА, являющегося начальным условием ограниченной орбиты

В работе вектор состояния КА включает в себя шесть элементов: первые три - это координаты КА в системе координат (x, y, z), а вторые три - координаты вектора скорости аппарата в данной точке (величина проекций скорости на оси).

Алгоритм, примененный для поиска вектора состояния основан на методике, изложенной в препринте [17].

Начальные условия: момент времени t = 0, космический аппарат расположен в плоскости XZ, все координаты Y = 0. Движение КА производится перпендикулярно плоскости, поэтому проекции на оси OX и OZ будут равны 0. Величина проекции на ось OY обозначим через V_y0. Зададим ограничивающие плоскости, между которыми располагается моделируемая орбита: X = X_min - это левая плоскость, X = X_max - это правая плоскость. Далее применяется численное интегрирование уравнения движения КА до того момента, пока траектория не достигнет одну из ограничивающих плоскостей. Линия движения достигнет правой плоскости, если коэффициент при возрастающей компоненте положителен, если отрицателен - будет достигнута левая граница.

Задачей является отыскание такого значения V_y0, при котором траектория движения КА не достигнет ни левой, ни правой границы как можно дольше по времени, для этого применяется метод деления отрезка пополам. Поиск прекращается при достижении требуемой погрешности. Таким образом, итоговый вариант вектора состояния космического аппарата приобретает вид: (X₀, 0, Z₀, 0, V_y0, 0).

КА удерживается на орбите длительный промежуток времени благодаря осуществлению корректирующих импульсов, величина которых подбирается с помощью описанного выше алгоритма.

3.2 Классификация ограниченных орбит в окрестностях точки либрации

В препринте [17] описаны данные классы орбит, а также приведены цветовые карты, с помощью которых можно подбирать начальные условия для вектора состояния, чтобы получить определенный тип орбиты.

Классы орбит:

1. Гало-орбиты;

2. Квазигало-орбиты;

3. Орбиты Лиссажу;

4. Вертикальные и горизонтальные орбиты Ляпунова;

5. Долгопериодические орбиты (лепестковые).

В 2.1 приведена система (10), из анализа которой можно сделать вывод, что существует линейная зависимость между амплитудами орбиты КА по осям OX и OY, а амплитуда по оси OZ не зависима от них, также и колебания по оси аппликат происходят с другой частотой нежели по осям абсцисс и ординат. Данное заключение действительно лишь в малой окрестности точки Лагранжа в ограниченной задаче трех тел при моделировании движения КА.

Орбиты различных типов возникают из-за соотношения амплитуд и частот колебаний космического аппарата в окрестности точки либрации. Важно отметить, что амплитуда и частота определяются начальными условиями, поэтому важно осознавать какую орбиту породит тот или иной вектор начального состояния КА.

Далее описаны особенности каждого класса орбит:

1. Гало-орбиты - это ограниченные орбиты, у которых периоды по всем трем осям одинаковы и равны периоду одного оборота вокруг точки Лагранжа. Данная орбита симметрична относительно плоскости XZ.

Существует два подвида гало-орбит - северные и южные. Их различие заключается в том, что амплитуда движения в положительном/отрицательном (северном/южном) направлениях оси OZ различаются. Направление преобладания отклонения от плоскости эклиптики и определяет подвид гало-орбиты, т.е. северная или южная.

Гало-орбиты часто применяются для перелетов, потому что это периодическая орбита, то есть после первого оборота известны все характеристики орбиты.

2. Квазигало-орбиты - ограниченные периодические орбиты, возникают в случае рассогласования колебаний КА в окрестности точки либрации относительно координатных осей, то есть следующий от предыдущего виток траектории начинает существенного отличаться от первого, из-за чего происходит заметание определенной области в пространстве. Особенности квазигало-орбиты в том, что фигура, образуемая витками траектории КА, не является симметричной относительно плоскости эклиптики, и проекция траектории движения на плоскость YZ никогда не пересечет некоторой окрестности точки либрации.

3. Орбиты Лиссажу, аналогично квазигало-орбитам, возникают при рассогласовании колебаний КА в окрестности точки либрации, однако заметаемая ими фигура (фигура Лиссажу) является симметричной относительно плоскости эклиптики, также существует симметрия относительно плоскости XZ.

4. Характерная черта вертикальных орбит Ляпунова (ограниченных периодических) - период колебаний космического аппарата по оси OZ в два раза больше периода колебаний в плоскости XY. Из-за этого проекция орбиты на плоскость YZ получается в виде восьмерки.

5. Долгопериодические (лепестковые) орбиты тоже являются ограниченными периодическими орбитами в форме цветка при проекции на YZ. Период орбиты в несколько раз превышает время одного оборота вокруг точки либрации.

3.3 Соответствие характеристик орбиты КА и класса порождаемой орбиты

Амплитуды и частоты колебаний КА при движении в окрестности точки Лагранжа зависят от начальных условий (часть 2.1), поэтому для моделирования миссии необходимо знать наперед, какой орбите будет соответствовать определенный вектор состояния.

Если орбита заметает некоторую область пространства, то ее размеры ограничиваются амплитудами витков траектории: ???_??? < ??< ??_??+; ???_??- < ?? < ??_??+; ???_??? < ?? < ??_??+.

У орбиты определяют характеристики (24 - 27):

(24)

(25)

(26)

(27)

Значения по оси OZ дают представление об амплитуде орбиты, также позволяют проанализировать, к какому классу будет относиться полученная периодическая орбита.

Если характеристики Z_min+ и Z_max+ совпадают, а Z_max- = Z_min-, то это гало-орбита, если характеристики Z_min+ и Z_max- близки к 0, а Z_max+ = Z_min-, то это орбита Лиссажу (Рис. 4). Область внутри витков орбиты (от Z_max- до Z_min+) определим апертурой орбиты.

Рис. 4. Характеристики ограниченной орбиты

Квазигало-орбита характеризуется наличием апертуры. Если апертура отсутствует, то фигура Лиссажу.

В работе [5] приведены значения координат X₀ и Z₀ для начальных векторов состояния КА вида (X₀, 0, Z₀, 0, V_y0, 0) (по 3.1). Для исследования было выбрано три комплекта значений:

· X₀ = - 742916 км, Z₀ = 700000 км (большая гало-орбита).

· X₀ = - 408551 км, Z₀ = 450000 км (средняя гало-орбита).

· X₀ = - 248903 км, Z₀ = 50000 км (малая гало-орбита).

3.4 Алгоритм расчета гало-орбиты в окрестности точки Лагранжа L2 в системе Солнце - Земля

Начальная орбита для КА - это гало-орбита в окрестности коллинеарной точки либрации, чтобы с нее по траектории многообразия перейти на гало-орбиту в окрестности другой точки либрации.

Данный алгоритм дает возможность произвести расчет периодической орбиты в окрестности неустойчивой точки Лагранжа системы Солнце - Земля и визуализировать ее. Для реализации алгоритма использовался язык программирования Python.

Начальные параметры: масса Земли, масса Солнца, величина расстояния между массивными телами, чтобы обезразмерить координаты, которые изначально задавались в километрах.

Шаги алгоритма:

1. Интегрирование гало-орбиты, начиная с начального вектора состояния на промежуток времени, задающий один оборот (для интегратора используется scipy.integrate.ode с параметром - интегратором 'dopri5'). В результате получаем вектор состояния с теми шагами по времени, которые интегратор выбрал сам, исходя из заданной ему погрешности. Отсюда следует, что вычисленные вектора состояния распределены неравномерно по длине орбиты.

2. Для каждого вектора состояния рассчитывается длина орбиты от начала до этого вектора. Строится интерполяционный полином третьего порядка для функции S(l), где - это вектор состояния КА, l - длина от начала орбиты. Для значений l₀, l₁,…,l_n-1, равномерно распределенных на отрезке от 0 до L, где L - это длина всего периода орбиты. Вычисляется n векторов состояния, используя этот интерполяционный сплайн. Длина от начала орбиты - это длина ломаной от 0 до n-1 отрезков.



3.5 Устойчивые и неустойчивые многообразия

В работе рассматриваются точки Лагранжа L1 и L2, которые в ограниченной круговой задаче трех тел в системе Солнце - Земля являются неустойчивыми. Это означает, что при небольшом изменении вектора состояния от ограниченной периодической орбиты со временем одна из координат вектора неограниченно начнет возрастать/убывать. Из-за этого космический аппарат сойдет с ограниченной орбиты и удалится по некоторой траектории.

Неустойчивое многообразие - это совокупность траекторий, по которым космический аппарат удаляется от ограниченной орбиты. Аналогично определяется устойчивое многообразие - множество траекторий, по которым КА приближается к периодической орбите в окрестности точки Лагранжа.

Для моделирования и осуществления перелетов необходимо учитывать динамику рассматриваемой системы массивных тел и многообразий, берущих начало на ограниченных орбитах. В первой части первой главы рассмотрены работы, в которых исследовано применение многообразий.

Исследование многообразий актуально для моделирования миссий, в которых затраты импульса будут минимальны, в следствие чего будет использоваться меньшее количество топлива. В данной работе находит применение использование неустойчивого многообразия для гало-орбиты в окрестности точки Лагранжа L2 системы Солнце - Земля.

3.6 Алгоритм расчета многообразий

Приведенный ниже алгоритм дает возможность рассчитать совокупность траекторий, составляющих многообразие ограниченной периодической орбиты около точки Лагранжа в системе двух тел.

Конкретной задачей было вычисление неустойчивого многообразия, берущего свое начало на гало-орбите около неустойчивой точки L2 в системе Солнце - Земля. Алгоритм реализован на языке Python.

В алгоритме три расчетных этапа:

1. Начальный вектор состояния (X₀, Y₀, Z₀, V_x0, V_y0, V_z0), задающий периодическую орбиту, уже найден (применяется алгоритм, описанный в 3.1). Выполняется вычисление набора векторов состояния, равномерно распределенных по периодической орбите (гало-орбите) (алгоритм из 3.4). В результате работы данного этапа получается матрица начальных векторов, задающих орбиту, которая затем пересчитывается с равномерным шагом. В итоге получается матрица, состоящая из n векторов состояния.

...