Точки Лагранжа. Ограниченная задача трех тел
Миссии к точкам либрации L1 и L2. Исследования перелетов КА между коллинеарными точками либрации. Миссия GENESIS. Уравнения движения тела наименьшей массы в круговой ограниченной задаче трех тел. Устойчивые и неустойчивые многообразия - алгоритм расчета.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 09.08.2018 |
| Размер файла | 1,1 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
2. Для всех полученных векторов производится изменение координаты скорости космического аппарата вектором по оси OX величиной 10-6.
3. Все n рассчитанных на предыдущем шаге векторов состояния являются начальными для траекторий, входящих в многообразие. Интегрирование движения КА осуществляется в течение периода 4р (два года), потому что это подходящий промежуток времени для практического применения. Интегрированию подвергается каждый вектор состояния (после 2 шага алгоритма) до достижения ограничивающей плоскости, которая расположена в 100 тыс. км от точки либрации (точки L1 и L2 находятся в 1,5 млн км от Земли в системе Солнце - Земля, выбранное расстояние позволяет не отсечь возможные орбиты, которые будут целиком располагаться справа от L1). В результате получаем набор из N траекторий (отсечены все траектории, которые проходят ближе 8000 тыс. км к Земле). Траектории записываются в список вместе с соответствующими им моментами времени отлета.
3.7 Алгоритм перехода КА на ограниченную орбиту в окрестности точки либрации L1
После расчета неустойчивого многообразия необходимо выбрать подходящие траектории, чтобы после применения импульса КА перешел на ограниченную орбиту в окрестности точки L1.
Ниже представлены шаги алгоритма для перехода космического аппарата на ограниченную периодическую орбиту в окрестности неустойчивой точки либрации.
1. Производится расчет геометрии ограниченной орбиты, на которую может быть переведен КА в окрестности точки либрации L1. После применения импульса перехода на ограниченную орбиту проводится удержание КА в окрестности точки Лагранжа L1. Интегрирование орбиты осуществляется до пересечения с одной из ограничивающих плоскостей, которые находятся на расстоянии 800 тыс. км от точки L1. Импульс применяется в направлении неустойчивости вдоль оси OX, т.к. орбита наиболее чувствительна к возмущению по этому направлению [17].
2. Выполняется расчет 30 полных витков КА на данной орбите, по полученным ZL1 были вычислены амплитуды орбиты и построены графики, по которым можно судить о геометрии орбиты, так как амплитуда орбиты по оси OZ позволяет отнести каждую из орбит к гало-орбитам, квазигало-орбитам или орбитам Лиссажу.
3. Визуализация траектории перелета между двумя ограниченными орбитами производится при помощи библиотеки matplotlib.
Глава 4. Результаты применения алгоритмов и их анализ
Реализованные алгоритмы были применены для расчета перелетов с трех гало-орбит с амплитудами в = 700, 450, 50 тыс. км. в окрестности L2.
1. На Рис. 5 а), Рис. 6 а) представлены результаты для гало-орбиты с начальным вектором состояния X0 = - 742916 км, Z0 = 70000 км, Vy0 = 25.9 м/с (большая гало-орбита).
2. На Рис. 5 б), Рис. 6 б) представлены результаты для X0 = - 408551 км, Z0 = 450000 км, Vy0 = 17.3 м/с (средняя гало-орбита).
3. На Рис. 5 в), Рис. 6 в) представлены результаты для X0 = - 248903 км, Z0 = 50000 км, Vy0 = 13 м/с (малая гало-орбита).
Координаты Y0 = 0, Vx0 = Vz0 = 0, таким образом известны стартовые вектора начального состояния для каждой их гало-орбит (X0, Y0, Z0, Vx0, Vy0, Vz0).
Ниже на рисунке 5 проиллюстрированы перелеты с наименьшими из рассчитанных импульсов.
а)
б)
в)
Рис. 5. Проекция на плоскость XY траекторий перелета с гало-орбиты в окрестности неустойчивой L2 на орбиту в окрестности L1 для двух моментов отлета с наименьшими импульсами (в безразмерных координатах)
Значения наименьших импульсов скорости и соответствующие периоды времени перелета для каждой из орбит:
1. Большая гало-орбита:
Наименьший импульс: dv = 0.0003311 (? 43.85 см/с), T = 6.52214800294 (? 378 дня), орбита, на которую переходит КА изображена красным цветом.
Для сравнения был выбран следующий вариант: dv = 0.00110331 (? 146,13 см/с), T = 6.46960496891 (? 375 дня) - орбита в окрестности L1 синего цвета. В обоих случаях КА совершает пролет мимо Земли.
2. Средняя гало-орбита:
Наименьший импульс: dv = 0.00000725 (? 0.96 см/с), T = 6.3067615079 (? 366 дня), орбита, на которую переходит КА изображена красным цветом. КА совершает облет Земли.
Для сравнения - dv = 0.00010136 (? 13.4 см/с), T = 5.44125462101 (? 316 дня) - орбита в окрестности L1 изображена синим цветом. КА совершает пролет мимо Земли.
3. Малая гало-орбита:
Наименьший импульс: dv = 0.00001168 (? 1.5 см/с), T = 7.12917560516 (? 414 дней), орбита, на которую переходит КА изображена красным цветом, КА совершает двойной облет Земли.
Для сравнения приведен вариант c иным временем перелета: dv = 0.00012336 (? 16 см/с), T = 5.97959930811 (? 347 дней), - орбита в окрестности L1 изображена синим цветом. КА совершает облет Земли.
Интересно, что независимо от начальной орбиты перелет осуществляется не на симметричную орбиту, как может показаться при рассмотрении Рис. 5 в), а на малую/среднюю квазигало-орбиту или орбиту Лиссажу. На изображениях показаны первые витки ограниченной орбиты в окрестности коллинеарной точки L1, которые были получены при интегрировании на период 2р.
Далее приведены графики (Рис. 6), которые интересны с точки определения формы орбиты после 30 витков. Красная горизонтальная линия показывает амплитуду по оси OZ периодической орбиты в окрестности точки либрации L2. Красные вертикальные отрезки соединяют минимальное и максимальное значение орбиты в окрестности L1 по оси OZ. Чем ближе нижняя точка отрезка расположена к 0, тем ближе ограниченная орбита к орбите Лиссажу. Если нижняя точка отрезка лежит гораздо выше нуля (т.е. присутствует апертура орбиты), то квазигало-орбита.
а)
б)
в)
Рис. 6. График зависимости амплитуды орбиты по оси OZ (шкала красного цвета справа) в окрестности точки L1 от времени (шкала черного цвета снизу) и соотношение импульса (логарифмическая шкала синего цвета слева) для перехода на соответствующую орбиту
На графиках видна хаотическая природа системы. Из-за нее при сильно разнесенных временах отлета КА с гало-орбиты в окрестности L2 траектории перелета могут сильно отличаться. Для большой гало-орбиты в окрестности L2 соответствующие возможные орбиты в окрестности точки либрации L1 являются квазигало-орбитами; для средней - квазигало-орбиты и чаще возникают фигуры Лиссажу; для малой гало-орбиты в окрестности L2 - орбиты в виде фигур Лиссажу наиболее вероятны.
Заключение
В выпускной квалификационной работе рассмотрена ограниченная круговая задача трех тел, рассказано о ранее запущенных миссиях к точкам Лагранжа и методиках, которые применяются для моделирования перелетов при использовании естественной динамики точек Лагранжа.
Работа является актуальной, потому что полученные результаты могут быть применены для расчета траектории КА, на котором может располагаться обсерватория, собирающая частицы солнечного ветра (подобно миссии GENESIS). Алгоритмы, которые были применены, можно использовать и для расчетов в системе Земля - Луна. Новизна заключается в предложенной методике расчета и анализа траекторий перелета.
Все поставленные задачи выполнены. Были определены три вектора состояния КА, соответствующих движению по гало-орбите в окрестности точки либрации L2. Рассчитаны три набора траекторий неустойчивого многообразия для каждой из начальных гало-орбит. Из них отобраны те траектории, движение по которым обеспечивает попадание КА в окрестность точки L1. Вычислены коррекционные импульсы для движения КА по ограниченной орбите в окрестности L1. Расчет движения КА на ограниченной орбите рассчитан для 30 витков, чтобы определить амплитуды орбиты. В главе 4 приведены графики зависимости амплитуды орбиты по оси OZ, необходимого импульса для перехода на ограниченную орбиту в окрестности L1 от времени, представлены варианты возможных перелетов между ограниченными орбитами при наименьших затратах импульса из рассмотренных. Вследствие этого, цель исследования достигнута, траектории перелета рассчитаны, величина коррекционного импульса и время перелета проанализированы.
Список литературы
[1] Мюррей К., Дермотт С. Динамика Солнечной системы. М.: Физматлит, 2009.
[2] Farquhar, R.W., The Control and Use of Libration-Point Satellites // NASA TR R-346, 1970.
[3] Dunham D.W., Roberts C.E. Stationkeeping Techniques for Libration-Point Satellites // The Journal of the Astronautical Sciences, V.49, N. 1, January-March 2001, P.127-144
[4] Gomez G., Howell K., Masdemont J., Simo C. Station-keeping Strategies for Translunar Libration Points Orbits // AAS 98-168.
[5] Simo C., Gomez, G. Llibre, J., Martinez R., Rodriguez J. On the Optimal Station Keeping Conrol of Halo Orbits // Acta Astrinautica, V. 15, N. 6/7, 1987, P. 391-397.
[6] H. Hechler, J. Cobos. Herschel, Planck and Gaia Orbit Design // Proceedings of the Conference “Libration Point Orbits and Applications”, Aiguablava, Spain, 10-14 June 2002.
[7] C.E. Roberts. Long term missions at the Sun-Earth libration point L1: ACE, SOHO, and WIND // AAS / AIAA Astrodynamics Specialist Conference; 31 Jul. - 4 Aug. 2011; Girdwood, AK; United States.
[8] Заславский Г.С., Ильин И.С., Лавренов С.М., В.В., Степаньянц В.А., Тучин А.Г., Тучин Д.А., Ярошевский В.С. Баллистическое проектирование траекторий перелёта с орбиты искусственного спутника земли на гало-орбиту в окрестности точки L2 системы Солнце-Земля, 2014.
[9] E. Canalias, G. Gomez, M. Marcote, JJ. Masdemont. Assessment of Mission Design Including Utilization of Libration Points and Weak Stability Boundaries, 2005. URL: https://www.esa.int/gsp/ACT/doc/ARI/ARI%20Study%20Report/ACT-RPT-MAD-ARI-03-4103b-InterplanetaryHighways-Milano.pdf (дата обращения: 13.12.2017).
[10] Hou XY, Tang JS, Liu L Transfer to the collinear libration point L3 in the Sun-Earth+Moon system // Technical Report 20080012700, NASA, 2007.
[11] Finocchietti C, Pergola P, Andrenucci M. Venus transfer design by combining invariant manifolds and low-thrust arcs // Acta Astronautica. N. 94(1), 2014, P. 351 - 362.
[12] Pergola P, Geurts K, Casaregola C, Andrenucci M. Earth-Mars halo to halo low thrust manifold transfers // Celest Mech Dyn Astron, N. 105(1-3), 2009, P. 19 - 32.
[13] A.F. Haapala, K.C. Howell. Representations of higher-dimensional Poincarй maps with applications to spacecraft trajectory design // Acta Astronautica. N. 96, 2014, P. 23 - 41.
[14] M. Pontani, M. Giancotti, P. Teofilatto. Manifold dynamicsintheEarth-Moon systemviaisomorphic mapping withapplicationtospacecraftend-of-lifestrategies // Acta Astronautica. N. 105, 2014, P. 218 - 229.
[15] Genesis Web Archive Overview 10/7/09 // Website NASA.
URL: https://genesismission.jpl.nasa.gov/gm2/news/features/wrapup.htm (дата обращения: 11.02.2018).
[16] Mission overview // Website NASA.
URL: https://genesismission.jpl.nasa.gov/gm2/mission/index.htm (дата обращения: 13.02.2018).
[17] С.А. Аксенов, С.А. Бобер, Ю.А. Николаева, П.В. Николаев, Ю.В. Федоренко. Компьютерное моделирование движения космического аппарата в окрестности точки либрации L2 системы Солнце-Земля // Препринт, 2015.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Теория инвариантов уравнения линии второго порядка от трех переменных, определение канонического уравнения. Общий пример решения задачи на определение вида и расположения поверхности, заданной относительно декартовой прямоугольной системы координат.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 02.06.2013Использование системы MathCAD как средства описания алгоритмов решения основных математических задач. Рассмотрение законов Кеплера и понятия о всемирном тяготении. Аналитические и численные решения задачи трех тел (материальных точек), вывод уравнений.
курсовая работа [287,2 K], добавлен 04.06.2013Треугольник как геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки. Основные элементы данной фигуры: вершины и стороны. Классификация и разновидности треугольников по различным признакам.
презентация [343,2 K], добавлен 28.11.2013Применение функции Лагранжа в выпуклом и линейном программировании. Простейшая задача Больца и классического вариационного исчисления. Использование уравнения Эйлера-Лагранжа для решения изопериметрической задачи. Краевые условия для нахождения констант.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 16.01.2013Решение системы трех уравнений с тремя неизвестными при помощи определителей. Исследование системы на совместность, составление канонического уравнения эллипса. Изучение функции методами дифференциального исчисления, поиск точки разрыва функции.
контрольная работа [1,1 M], добавлен 16.04.2010Модельная задача уравнения колебаний струны и деформации системы из трех струн. Вариационные методы решения: экстремум функционала, пробные функции, метод Ритца. Подпространства сплайнов и тестирование программы решения системы алгебраических уравнений.
дипломная работа [1,1 M], добавлен 29.06.2012Обобщенные координаты, силы и скорости. Условия равновесия системы в обобщенных координатах. Уравнения Лагранжа. Системы с голономными связями (геометрические и интегрируемые дифференциальные). Доказательство уравнения движения механической системы.
презентация [1,4 M], добавлен 26.09.2013Определение и примеры симметрических многочленов от трех и нескольких переменных. Решение систем уравнений с тремя неизвестными. Освобождение от иррациональности в знаменателе. Разложение на множители. Основная теорема об антисимметрических многочленах.
курсовая работа [303,5 K], добавлен 12.04.2012Применение теоремы Лагранжа при решении задач. Ее использование при решении неравенств и уравнений, при нахождении числа корней некоторого уравнения. Решение задач с использованием условия монотонности. Связи между возрастанием или убыванием функции.
реферат [726,8 K], добавлен 14.03.2013Суть інтерполяції - у відшуканні значень функції в деякій проміжній точці. Лінійна інтерполяція, в основі якої лежить наближення кривої на ділянці між заданими точками прямою, що проходить через ті ж точки. Інтерполяція за Лагранжем. Практична формула.
презентация [92,6 K], добавлен 06.02.2014Составление четкого алгоритма, следуя которому, можно решить большое количество задач на нахождение угла между прямыми, заданными точками на ребрах многогранника. Условия задач по теме и примеры их решения. Упражнения для решения подобного рода задач.
практическая работа [1,5 M], добавлен 15.12.2013Метод разделения переменных в задаче Штурма-Лиувилля. Единственность решения смешанной краевой задачи, реализуемая методом априорных оценок. Постановка и решение смешанной краевой задачи для нелокального волнового уравнения с дробной производной.
курсовая работа [1003,8 K], добавлен 29.11.2014Общий интеграл уравнения, применение метода Лагранжа для решения неоднородного линейного уравнения с неизвестной функцией. Решение дифференциального уравнения в параметрической форме. Условие Эйлера, уравнение первого порядка в полных дифференциалах.
контрольная работа [94,3 K], добавлен 02.11.2011Понятие движения как преобразования одной фигуры в другую при сохранении расстояния между точками. Характеристика видов движения (центральная и осевая симметрия, поворот и параллельный перенос). Переход фигуры в равную ей фигуру, сохранение углов.
презентация [315,9 K], добавлен 09.03.2012Проведение статистического анализа зависимости массы тела (кг) новорожденных детенышей гамадрилов от массы тела их матерей. Графическое представление экспериментальных данных. Определение границы доверительных интервалов для генеральных средних значений.
контрольная работа [1,3 M], добавлен 18.01.2011Поиск площади фигуры, ограниченной графиками функций с помощью двойного интеграла. Получение вращением объема тела вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной указанными линиями. Пределы интегрирования в двойном интеграле по области, ограниченной линиями.
контрольная работа [166,9 K], добавлен 28.03.2014Понятие числовой прямой. Типы числовых промежутков. Определение координатами положения точки на прямой, на плоскости, в пространстве, система координат. Единицы измерения для осей. Определение расстояния между двумя точками плоскости и в пространстве.
реферат [123,9 K], добавлен 19.01.2012Эйлеровы цепи и циклы, теоремы. Алгоритм построения эйлерова цикла. Обоснование алгоритма. Нахождение кратчайших путей в графе. Алгоритм Форда отыскания кратчайшего пути. Задача отыскания кратчайших расстояний между всеми парами вершин. Алгоритм Флойда.
реферат [108,4 K], добавлен 01.12.2008Нахождение интерполяционных многочленов Лагранжа и Ньютона, проходящих через четыре точки заданной функции, сравнение их степенных представлений. Решение нелинейного дифференциального уравнения методом Эйлера. Решение систем алгебраических уравнений.
задача [226,9 K], добавлен 21.06.2009Обзор краевых задач для уравнения смешанного эллептико-гиперболического типа. Доказательство существования единственного решения краевой задачи для одного уравнения гиперболического типа со специальными условиями сопряжения на линии изменения типа.
контрольная работа [253,5 K], добавлен 23.04.2014
