Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

• Введение
• Глава 1. Теоретические аспекты обучения координатно-векторному методу обучающихся 10-11 классов
• 1.1 Роль и место координатно-векторного метода в школьном курсе математики
• 1.2 Специфика использования координатно-векторного метода в школьном курсе математики
• 1.3 Этапы использования координатно-векторного метода при решении задач
• 1.4 Анализ ошибок учащихся при использовании координатно-векторного метода при решении задач
• Глава 2. Методические аспекты обучения координатно-векторному методу
• 2.1 Этапы формирования координатно-векторного метода
• 2.2 Задачи, обучающие координатно-вектоному методу
• 2.3 Конспекты уроков
• Тема урока: Прямоугольная система координат в пространстве. Векторы в пространстве
• Тема урока: Связь между координатами векторов и координат точек
• Тема урока: Простейшие задачи в координатах
• 2.4 Описание организации и результатов экспериментальной работы.
• Заключение
• Список используемой литературы


Введение

координатный векторный математика

В соответствии с концепцией Российского образования и, в частности, математического одной из задач обучения, развития и воспитания учащихся в средней школе является достижение следующих двух главных целей образования: воспитать личность, способную адаптироваться в быстро меняющихся условиях жизни и способную одновременно изменять эти условия. Соответственно, усилия школы должны быть сосредоточены в двух направлениях: создание условий для развития интеллекта и формирование творческих качеств личности обучающихся.

В стереометрии используется два основных метода решения задач. Первый метод основан на аксиомах, теоремах и свойствах фигур. Он требует логической последовательности практических рассуждений. Второй метод - это метод координат или координатно-векторный метод.

Одной из приоритетных целей математического образования в рамках выделенных направлений является «формирование представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, об идеях и методах математики».

Большую роль в развитии геометрии сыграло применение алгебры к изучению свойств геометрических фигур, разросшееся в самостоятельную науку - аналитическую геометрию. Возникновение аналитической геометрии связано с открытием метода координат, являющегося основным ее методом.

Главную ценность метода координат составляет перенесение в геометрию свойственных алгебре и поэтому обладающих большой общностью способов решения задач. Еще одно достоинство метода координат состоит в том, что его применение избавляет от необходимости прибегать к наглядному представлению сложных пространственных конфигураций.

Векторный метод является одним из основных методов геометрии. С его помощью можно эффективно решить ряд аффинных и метрических задач планиметрии и стереометрии, ряд прикладных задач физики и астрономии.

Так же изучение векторного метода представляет собой самостоятельный познавательный интерес, т.к. на его основе имеется возможность корректно ввести метод координат на плоскости и в пространстве.

В настоящее время существует несколько подходов к определению понятию вектора, определены операции с векторами, очерчен круг задач, решаемых векторным методом, выделены умения, входящие в состав векторного метода. Разработаны частные методики по обучению учащихся векторам и, в частности, векторному методу. Все они основаны на идее основного назначения векторов - использование алгебраического аппарата для решения геометрических задач.

Не смотря на все это, многие специалисты отмечают, что некоторые учителя, студенты, а тем более школьники, затрудняются в применении векторного метода к решению содержательных задач.

Стоит отметить, что изучение метода координат является неотъемлемой частью школьного курса геометрии, так как его можно успешно применять при решении большого числа задач, в том числе, задач Единого Государственного экзамена (задания С2). А так как, эти задания - повышенной сложности, то они приносят учащимся хорошие баллы при сдаче ЕГЭ.

Поэтому необходима методика обучению координатно-векторному методу, позволяющая обучить учащихся применять его при решении стереометрических задач.

Всем вышесказанным и определяется актуальность выбранной темы: «Методика обучения координатно-векторному методу обучающихся 10-11 классах».

Цель исследования - разработать методические рекомендации по формированию координатно-векторного метода в процессе обучения геометрии.

Объект исследования - процесс обучения геометрии обучающихся общеобразовательной школы.

Предметом исследования процесс формирования координатно-векторного метода в процессе обучения учащихся 10-11 классов.

Гипотеза исследования если целенаправленно обучать школьников умениям и действиям, входящих в состав координатно-векторного метода, формулировать частные эвристики по решению отдельных типов задач, то это будет способствовать эффективному усвоению учащимися этого метода.

Для достижения поставленной цели и проверки выдвинутой гипотезы необходимо было решить следующие задачи:

1. На основе анализа психолого-педагогической, методической литературы и нормативных документов раскрыть роль и место координатно-векторного метода в школьном курсе геометрии, специфику его использования; охарактеризовать этапы использования данного метода при решении задач; выявить типичные ошибки учащихся при использовании этого метода

2. Охарактеризовать этапы формирования координатно-векторного метода и рассмотреть задачи, обучающие координатно-векторному метод

3. Экспериментально проверить эффективность разработанных методических рекомендаций

Для решения поставленных задач использовались следующие методы:

- изучения и анализ литературы по исследуемой проблеме;

- беседа с учителями математики в старших классах общеобразовательной школы;

- тестирование учащихся;

- опытная работа.

Структура работы: работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованных источников и содержит 95 страниц

Глава 1. Теоретические аспекты обучения координатно-векторному методу обучающихся 10-11 классов

1.1 Роль и место координатно-векторного метода в школьном курсе математики

Одним из основных компонентов содержания обучения математике выступают задачи. В свою очередь одним из эффективных методов решения задач по геометрии является координатно-векторный метод. Координатно-векторный метод основан на введении прямоугольной системы координат и создании геометрически-алгебраической модели решения задач, тем самым упрощая громоздкие и иногда достаточно сложные преобразования и выкладки.

В стереометрии используется два основных метода решения задач. Первый метод основан на аксиомах, теоремах и свойствах фигур. Он требует логической последовательности практических рассуждений. Второй метод - это метод координат или координатно-векторный метод.

Способы решения задач с помощью координатно-векторного метода единообразны. В элементарной геометрии обучающиеся ищут особый путь решения для каждой задачи, а задачи решаются по определенному алгоритму, который легко приспосабливается к любой задаче. Главная ценность метода заключается в том, что при использовании его для решения задач не придходится прибегать к наглядному представлению сложных пространственных изображений.

Одной из приоритетных целей математического образования в рамках выделенных направлений является «формирование представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, об идеях и методах математики».

Большую роль в развитии геометрии сыграло применение алгебры к изучению свойств геометрических фигур, разросшееся в самостоятельную науку - аналитическую геометрию. Возникновение аналитической геометрии связано с открытием метода координат, являющегося основным ее методом.

Характерной особенностью метода координат является определение геометрических фигур аналитическими условиями, что позволяет производить геометрические исследования и решать геометрические задачи средствами алгебры.

Метод координат переносит в геометрию важную особенность алгебры - единообразие способов решения задач.

Главную ценность метода координат составляет перенесение в геометрию свойственных алгебре и поэтому обладающих большой общностью способов решения задач. Еще одно достоинство метода координат состоит в том, что его применение избавляет от необходимости прибегать к наглядному представлению сложных пространственных конфигураций.

Изучение метода координат преследует следующие цели:

- дать учащимся новый метод решения задач и доказательства ряда теорем:

- показать тесную связь между геометрией и алгеброй с помощью метода координат;

- способствовать развитию вычислительной и графической культуры учащихся.

.В школе изучение координатного метода и обучение его применению для решения различных математических задач происходит в несколько этапов.

На первом этапе вводится основной понятийный аппарат, который хорошо

отрабатывается в 5-6 классах и систематизируется в курсе геометрии. В 5 классе учащиеся знакомятся с координатным лучом, который в последствии, при изучении отрицательных чисел, дополняется до координатной прямой. И уже после введения рациональных чисел в 6 классе учащиеся изучают координатную плоскость. На втором этапе ученики знакомятся с уравнениями прямой и окружности. Данные понятия изучаются ими как в алгебре, так и в геометрии с разной содержательной целью, поэтому учащиеся часто не видят связи между ними, а, значит, и плохо усваивают суть метода. Так, в курсе алгебры 7 класса графики основных функций вводятся путем построения ряда точек, координаты которых вычисляются по аналитическому заданию функции. В курсе геометрии уравнения прямой и окружности вводится на основе геометрических характеристических свойств, как множество точек, обладающих определенным свойством (равноудаленности от 2 точек - для прямой, от одной точки - для окружности). Обучение применению самого метода координат для решения задач происходит в курсе геометрии 9 класса. Для этого сначала раскрываются основные этапы применения метода, а затем на примере ряда задач показывается непосредственное применение метода координат. В 10 классе уже метод координат начинает изучаться в пространстве. Добавляется большое количество формул и правил, появляются новые виды задач.

Необходимо отметить, что в школьном курсе математики тема «Векторы», а вместе с ней векторный метод, появилась относительно недавно, в начале шестидесятых годов прошлого века. Тем не менее, практически сразу же понятие вектора стало одним из ведущих понятий школьного курса математики, а векторный метод -одним из основных способов решения задач и доказательства теорем.

В любом школьном учебнике изложение темы «Векторы» состоит из двух этапов: изучение векторов и векторного метода 1) в планиметрии; 2) в стереометрии.

Изучение темы «Векторы в пространстве» дает возможность учащимся получить представление о широте применения векторов в различных областях человеческой деятельности, познакомиться с некоторыми фактами развития векторного исчисления, усвоить систематизированные сведения о векторах в пространстве, научиться проводить аналогии между плоскими и пространственными конфигурациями векторов, применять векторный метод для изучения плоских и пространственных форм, при решении задач.

Изучением темы «Векторы. Векторный метод решения задач» в разные периоды времени занимались многие ученые-физики, математики и методисты (К. Вессель, Р. Декарт, Ж. Арган, З.А. Скопец, А.Н. Колмогоров, А.Д. Александров, В.А Гусев, Ю.М Калягин, Т.А. Иванова). В настоящее время существует несколько подходов к определению понятию вектора, определены операции с векторами, очерчен круг задач, решаемых векторным методом, выделены умения, входящие в состав векторного метода. Разработаны частные методики по обучению учащихся векторам и, в частности, векторному методу. Все они основаны на идее основного назначения векторов - использование алгебраического аппарата для решения геометрических задач.

Не смотря на все это, многие специалисты отмечают, что некоторые учителя, студенты, а тем более школьники, затрудняются в применении векторного метода к решению содержательных задач.

Стоит отметить, что изучение метода координат является неотъемлемой частью школьного курса геометрии, так как его можно успешно применять при решении большого числа задач, в том числе, задач Единого Государственного экзамена (задания С2). А так как, эти задания - повышенной сложности, то они приносят учащимся хорошие баллы при сдаче ЕГЭ.

Векторно-координатный метод позволяет рассматривать множество самых трудных задач на вычисление всех видов углов (между прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями) и любых расстояний (от точки до плоскости, между параллельными плоскостями, между скрещивающимися прямыми). С тремя последними работать сложнее всего, ибо приходится затрагивать тему «уравнение плоскости».

Знание различных подходов к решению стереометрических задач позволяет выбрать предпочтительный для любого учащегося способ, т.е. тот, которым ученик владеет уверенно, помогает избежать ошибок, приводит к успешному решению задачи и получению хорошего балла на экзамене. Координатно-векторный метод имеет преимущество перед другими способами в том, что его применение требует меньше стереометрических соображений и пространственного видения, а основывается на применении формул, у которых много планиметрических и алгебраических аналогий, более привычных для учащихся.

1.2 Специфика использования координатно-векторного метода в школьном курсе математики

Особую актуальность в современных условиях координатно-векторный метод решения стереометрических задач приобрел в связи с включением в содержание ЕГЭ по математике задачи типа С2. Существует три основных метода решения подобных задач. Условно назовем их «методом построений», «векторно-координатным методом» и «методом объемов». Каждый из них удобен в том или ином случае, поэтому лучше знать и уметь использовать все три.

Наиболее универсальным является «метод построений», с его помощью можно решить практически любую задачу по стереометрии из тех, что предлагаются в вариантах ЕГЭ по математике. Однако, он не всегда целесообразен с точки зрения временных и вычислительных затрат. Учащийся должен иметь хорошее пространственное воображение, помнить алгоритмы решения для каждого вида задач. Чтобы решать задачи этим методом необходимым (но, конечно, не достаточным) условием является безупречное знание и понимание основных теорем стереометрии, связанных с взаимным расположением прямых и плоскостей в пространстве, которые непременно сопровождают решение практически любой задачи C2, без которых часть баллов за это задание на экзамене может быть потеряна.

Второй случай, когда не всегда целесообразно использовать «метод построений», связан с нахождением расстояний от точки до прямой или от точки до плоскости. Тогда на помощь приходят два оставшихся метода.

Векторно-координатный метод позволяют избежать такого рода трудностей. От учащегося требуются знания нескольких формул и навыки в решении простейших задач, основная нагрузка при решении задачи приходится на вычислительную часть.

Векторно-координатные приемы изучаются в школе в весьма ограниченном количестве. В базовый учебник стереометрии Л.С. Атанасяна включен целый параграф «скалярное произведение векторов» и даже отдельно рассматривается нахождение углов между объектами. Однако дальше темы «вычисление угла между прямыми» и осторожного намека на аналогичный алгоритм для прямой и плоскости материал не рассматривается. И даже не вводится такое понятие, как «нормаль».

Как правило учитель выбирает одну из трех стратегий подготовки к задаче С2 на ЕГЭ:

1) Полный отказ от векторно- координатных приемов

2) Изучение отдельных алгоритмов

3) Демонстрация всех приемов (без доказательств) для самых сильных учеников.

Преимущество методов аналитической геометрии перед альтернативным решением средствами дополнительных построений состоит в том, что удается полностью отстраниться от чертежа и заниматься исключительно числами (координатами). Поэтому в определенных условиях подготовки к ЕГЭ по математике удается натаскать ученика на стандартные решения. Причем за весьма короткий срок и в обход большого количества тем.

Если у школьника имеются серьезные проблемы с пониманием определений, с чтением или построением сложного стереометрического рисунка, если ему никак не удается подобрать необходимые дополнительные построения, то можно построить работу по С2 на векторах и координатах. Особенно это актуально в условиях экстренной помощи, когда на подготовку к ЕГЭ отводится всего лишь 2-3 месяца. Если у преподавателя нет времени на неспешный комплексный подход, то лучше всего сразу обратиться к координатам.

Три проблемы векторно-координатного метода:

О каких проблемных ситуациях необходимо помнить? Какие ошибки чаще всего допускаются школьниками?

1) От того, что забывают алгоритм поиска нормали.

2) Путаются с введением системы координат или с определением координат у точек (задающих прямые и плоскости) в разных многогранниках.

3) Не справляются с вычислениями, если в координаты вершин попадают квадратные корни. Обычно эта ситуация возникает в треугольных пирамидах.

Третью проблему снять не удается. Пирамиду не переделаешь. А вот получить практику нахождения нормали и научиться определять координаты вполне реально.

Практика показывает, что учащиеся быстро осваивают метод координат, так как при его использовании необходимо придерживаться общего алгоритма: вычислить координаты необходимых точек, расположенных на многогранниках, и применить соответствующую формулу. Для некоторых задач дополнительно требуется умение составлять уравнение плоскости.

Какую подготовку к восприятию векторно-координатных приемов должен провести учитель?

Необходимо повторить следующие темы:

1) Координаты точки и координаты вектора.

2) Длина вектора.

3) Скалярное произведение векторов.

4) Координаты середины отрезка (на случай, если плоскость или прямая будут заданы серединами каких-нибудь диагоналей или ребер у пирамид).

Удачный выбор системы координат (некоторые вершины многогранника находятся на координатных осях) позволяет значительно упростить вычисления.

Первая группа подготовительных задач формулируется следующим образом.

Изобразите многогранник, указанную прямоугольную систему координат и определите координаты вершин многогранника.

1. Куб A… с ребром a. Начало координат -- в точке A; прямая AD -- ось x; прямая AB -- ось y; прямая -- ось z.

2. Правильная треугольная призма, сторона основания которой равна a, а боковое ребро b. Начало координат -- в точке A; прямая AC -- ось x; прямая, проходящая через точку A в плоскости ABC перпендикулярно прямой AC, -- ось y; прямая -- ось z.

3. Правильная шестиугольная призма A…, сторона основания которой равна a, а боковое ребро b. Начало координат -- в центре O шестиугольника ABCDEF; прямая CF -- ось x; прямая, проходящая через точку O в плоскости ABC перпендикулярно прямой CF, -- ось y; прямая -- ось z, где -- центр шестиугольника.



4. Правильная треугольная пирамида MABC, сторона основания которой равна a, а высота h. Начало координат -- в точке A; прямая AC -- ось x; прямая, проходящая через точку A в плоскости ABC перпендикулярно прямой AC, -- ось y; прямая, проходящая через точку A перпендикулярно плоскости ABC, -- ось z.

5. Правильная четырехугольная пирамида MABCD, сторона основания которой равна a, а высота h. Начало координат -- в центре O квадрата ABCD; прямая, проходящая через точку O параллельно AD, -- ось x; прямая OM -- ось z.

6. Правильная шестиугольная пирамида MABCDEF, сторона основания которой равна a, а высота h. Начало координат -- в центре O шестиугольника ABCDEF; прямая CF -- ось x; прямая, проходящая через точку O в плоскости ABC перпендикулярно прямой CF, -- ось y; прямая OM -- ось z.

Векторно-координатный метод позволяет рассматривать множество самых трудных задач на вычисление всех видов углов (между прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями) и любых расстояний (от точки до плоскости, между параллельными плоскостями, между скрещивающимися прямыми). С тремя последними работать сложнее всего, ибо приходится затрагивать тему «уравнение плоскости».

1.3 Этапы использования координатно-векторного метода при решении задач

Координатно-векторный метод решения задач - очень популярный и эффективный метод в геометрии и не только. Однако его формальное применение может значительно затруднить решение даже самой простой задачи. Поэтому в данной статье мы рассмотрим эффективные приемы использования указанных методов и примеры решения задач. Для удобства работы в данной работе приводятся важнейшие определения и формулы. Однако более детальное и подробное изложение материала без труда можно найти в школьном учебнике по геометрии для 8-9 класса.

Как обычно, в конце статьи приводятся задачи для самостоятельного решения, которые составляют первую контрольную работу по математике для слушателей ХКЗФМШ, обучающихся в 9 классе.

1. Некоторые определения и вычислительные формулы

П.1 Координаты точки на плоскости

Существует два способа определять координаты точек. С первым вы познакомились еще в 5 классе, изучая координаты точки на числовой оси. Напомним, как тогда вводились координаты.

На плоскости строили две координатные прямые (оси ОХ и ОУ). Произвольная точка М проектировалась на каждую ось (в точки М_х и М_у). Затем находились координаты проекций (х и у) на соответствующих числовых осях. Пара этих координат и называлась координатами точки на плоскости. Такой метод очень удобен в том случае, когда нужно найти координаты построенной точки, или наоборот, по известным координатам нужно построить точку. Однако он не позволяет получать уравнения различных фигур на плоскости, проводить общие исследования их свойств.

Здесь нам на помощь приходит второй подход к определению координат, основанный на понятии координат радиус-вектора точки. Он основан на том факте, что любой вектор на плоскости единственным образом раскладывается по двум неколлинеарным векторам. Точнее, если и - два неколлинеарных вектора, а - произвольный вектор на плоскости, то всегда найдется единственная пара чисел (х,у), такая, что .

Теперь для определения координат точки поступим следующим образом. Выберем два неколлинеарных вектора , (будем называть их базисными), и точку О - начало координат. Начало координат и базисные векторы определяют на плоскости некоторую систему координат. Пусть М - произвольная точка на плоскости. Вектор будем называть радиус - вектором точки М. По указанному выше свойству, найдутся такие два числа х_М и у_М, что . Эту пару (х_М, у_М) мы и будем называть координатами точки М в системе координат {O,}.

На первый взгляд, такой подход может показаться не совсем удобным (Как координаты находить, как точку строить?), но он позволяет в дальнейших исследованиях применять векторную алгебру. Эффективность этого метода мы увидим уже в следующем пункте.

П.2. Деление отрезка в данном отношении

В учебнике предложена следующая задача.

Задача 1. На прямой М₁М₂ лежит точка М, такая, что . О - произвольная точка плоскости. Докажите, что

. (1)

Мы не будем решать здесь эту задачу, тем более, что ее решение приведено в учебнике. Нас будет интересовать формула (1).

Дадим определение. Будем говорить, что точка М, лежащая на прямой М₁М₂ делит отрезок М₁М₂ в отношении , если выполнено условие.

Задача 2. Пусть в некоторой системе координат известны координаты точек М₁(х₁,у₁) и М₂(х₂,у₂). Зная, чему равно число , нужно вычислить координаты точки М(х,у).

Решение. Используем второе определение координат. Пусть О - начало координат. Тогда для радиус-векторов точек М_{1 ,} М₂ и М выполнено соотношение (1) из предыдущей задачи. Заметим, что радиус-векторы точек имеют те же координаты, что и сами точки. Поэтому, переписав формулу (1) в координатной форме, получим следующие выражения:

. (2)

Замечание. Как видно, использование свойств векторов дало нам быстрое решение для данной задачи. Попробуйте получить аналогичную формулу, используя первое определение координат точки.

Мы вернемся к рассмотрению координат точек несколько позже, а в следующем пункте приведем сводку основных свойств и формул, относящихся к векторам.

П.3. Некоторые свойства векторов

3.1. Коллинеарность векторов

Два вектора называют коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых (обозначение: ). Есть два признака коллинеарности.

Первый признак: , тогда и только тогда, когда существует такое число , что . Используют в общем случае.

Если известны координаты векторов, то удобно использовать следующий признак.

Второй признак: тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны:

, (3)

где (a₁,a₂) - координаты первого вектора, а (b₁,b₂) - координаты второго вектора.

3.2. Вычисление координат вектора по координатам его начала и конца.

Если известны координаты начала и конца вектора, то координаты самого вектора можно вычислить по формуле:

, (4)

где - координаты точки А, а - координаты точки В.

Замечание. Вывод этой формулы легко получить, используя векторное определение координат точки. Вектор можно представить как разность радиус-векторов его конца и начала:

.

3.3. Вычисление длины вектора и длины отрезка.

Длина вектора, координаты которого в прямоугольной системе координат равны , вычисляется по формуле:

. (5)

Используя эту формулу и формулу (4), можно получить следующую формулу для вычисления длины отрезка:

. (6)

3.4. Скалярное произведение векторов в прямоугольной системе координат.

Скалярным произведением двух векторов называют число, которое равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

. (7)

Если известны координаты векторов , то их скалярное произведение можно вычислить по формуле:

. (8)

3.5. Признак перпендикулярности векторов.

Если два вектора перпендикулярны, то косинус угла между ними равен нулю. Поэтому скалярное произведение этих векторов равно нулю. Из этого рассуждения мы получаем следующий признак: два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Замечание. Если - ненулевой вектор, то вектор перпендикулярен ему и имеет такую же длину. (Проверьте это с помощью формул (8) и (5)).

3.6. Вычисление угла между векторами.

Пользуясь формулой скалярного произведения, мы можем выразить косинус угла между векторами:

. (9)

В координатной записи эта формула будет выглядеть так:

. (10)

3.7. Вычисление площади параллелограмма, построенного на двух векторах.

Если два вектора заданы своими координатами , то площадь параллелограмма, построенного на этих векторах можно найти по формуле:

. (11)

Получить ее можно, если вычислить скалярное произведение вектора на вектор . С одной стороны будет стоять произведение длин векторов и на синус угла между ними (так как вектор повернут к вектору на 90 градусов), а с другой стороны - выражение, стоящее в формуле (11) под знаком модуля.

П.4. Уравнения прямой и отрезка

В этом пункте мы продемонстрируем преимущества векторного подхода к определению координат точки.

4.1. Параметрические уравнения прямой.

Пусть нам известны координаты точки М₀(х₀,у₀), принадлежащей некоторой прямой а, и координаты вектора , который параллелен Такой вектор принято называть направляющим. этой прямой. Необходимо составить уравнения, которым удовлетворяют координаты всех точек этой прямой.

Предположим, что точка М(х,у) принадлежит прямой а. Очевидно, что тогда векторы и с коллениарны. Применив к ним первый признак, получим векторное равенство:

.

Переписав его в координатном виде, и перенеся в правую часть координаты точки М₀, получим следующие уравнения:

(12)

которые принято называть параметрическими уравнениями прямой. Придавая в этих уравнениях параметру t любые действительные значения, мы можем получить координаты всех точек, лежащих на прямой.

4.2. Канонические уравнения прямой.

Если в уравнениях (12) исключить параметр t, то мы получим уравнение:

, (13)

которое принято называть каноническим. Подставляя в это уравнение координаты произвольной точки, мы можем выяснить, принадлежит ли она данной прямой.

4.3. Общее уравнение прямой.

Избавляясь от знаменателей в уравнении (13), мы приведем его к виду:

, (14)

где a и b не равны нулю одновременно, которое называют общим уравнением прямой. Любая прямая может быть задана таким уравнением.

4.4. График линейной функции -прямая на плоскости.

Из курса алгебры вам известна линейная функция. Она задается уравнением:

. (15)

Нетрудно заметить, что это частный случай общего уравнения (14) прямой. Для нас важное значение имеет коэффициент k в этом уравнении. Превратим уравнение (15) в параметрические уравнения прямой, положив x=t. Мы получим следующие выражения:

Применив к ним пункт 4.1., найдем координаты направляющего вектора: . Заметим, что в прямоугольной системе координат для любого вектора отношение второй его координаты к первой равно тангенсу угла, который данный вектор составляет с координатной осью ОХ. В нашем случае этот тангенс равен коэффициенту k.

4.5. Условие перпендикулярности двух прямых, заданных как графики линейных функций.

Пусть прямая l задана уравнением , а прямая m задана уравнением . Координаты направляющих векторов этих прямых равны соответственно и . Прямые будут перпендикулярны, если перпендикулярны их направляющие векторы, те, в свою очередь, перпендикулярны, если их скалярное произведение . Отсюда получаем признак перпендикулярности прямых:

. (16)



П.6. Уравнение окружности

По определению, окружность представляет из себя множество точек плоскости, удаленных от данной точки О (центра окружности) на одинаковое расстояние R (радиус окружности). Получим уравнение окружности, считая, что ее центр - точка О(х₀,у₀), а радиус равен R.

Пусть М(х,у) - произвольная точка окружности. По формуле (6) выразим расстояние от М до центра окружности:

.

Возведем теперь левую и правую части в квадрат, и, учитывая, что МО=R, получим уравнение окружности:

. (17)

Замечание. В некоторых задачах мы можем получить уравнение второй степени с двумя неизвестными, имеющее вид:

. (18)

Выделив в нем полные квадраты относительно x и y, мы получим уравнение:

. (19)

Если правая часть этого уравнения положительна, то это есть уравнение окружности с центром и радиусом . Заметим также, что если правая часть уравнения (19) отрицательна, то оно не имеет решения, а если она равна нулю, то существует только одно решение .

1.4 Анализ ошибок учащихся при использовании координатно-векторного метода при решении задач

Задание С2 Единого государственного экзамена по математике с 2010 года представляет стереометрическую задачу на определение расстояний или углов в пространстве между объектами, связанными с некоторым многогранником. За этот период по итогам ЕГЭ - только около 5% представленных решений были оценены в два балла.

Основные проблемы: неумение строить линейные углы и проекции, ошибки в определении вида треугольника, непонимание нахождения угла между прямой и плоскостью, недостаточное представление о расположении перпендикуляра при нахождении расстояния от точки до прямой. Все отмеченное указывает на то, что учащиеся испытывают большие трудности при решении стереометрических задач. В отличие от планиметрии в стереометрии они не могут опереться на наглядность.

В 2014 году в ЕГЭ по математике приняли участие 16 311 человек.

Из них набрал не меньше минимального балла 16 081 участник, что составило 98,59% от количества участников ЕГЭ по математике 2014 г.

Набрали менее минимального балла 230 участников, что составило 1,41% от количества участников ЕГЭ по математике 2014 г.

Средний тестовый балл участников ЕГЭ по математике в крае - 44,90. За экзамен не получил 100 баллов ни один участник.

Контрольно-измерительные материалы ЕГЭ по математике 2014 года включают в себя 21 задание. Из них 10 заданий (В1-В10) имеют базовый уровень сложности, 9 заданий (В11-В15, С1-С4) имеют повышенный уровень сложности, 2 задания (С5, С6) имеют высокий уровень сложности. Результаты выполнения каждого задания представлены ниже (см. Таблица 1).

Таблица 1 - Решаемость заданий по математике

№ задания	Проверяемые элементы содержания	Максимальный первичный балл	Процент выполнения задания (все участники ЕГЭ)	Процент выполнения задания (выпускники 2014 года дневной формы обучения)
			набрали меньше максимального балла	набрали максимальный балл	набрали меньше максимального балла	набрали максимальный балл
С2	Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами	2	2,15	0,43	2,24	0,44

Анализируя данную таблицу, следует отметить то, что по каждому заданию процент решаемости выше у выпускников 2014 года дневной формы обучения, чем у участников ЕГЭ в целом.

На диаграмме графически представлена решаемость заданий. Информация об ожидаемой решаемости заданий отсутствует (см. Диаграмма 1).



Диаграмма 1- Решаемость заданий по математике

В Красноярском крае в течение последних четырёх лет наблюдается колебание среднего тестового балла ЕГЭ по математике. В 2012 г. (по сравнению с 2011 г.) средний тестовый балл понизился на 1,72 балла, в 2013 г. (по сравнению 2012 г.) повысился на 4,66 балла, в 2014 г. (по сравнению с 2013 г.) понизился на 2,74 балла. Доля не набравших минимального количества баллов после стабильного снижения в период с 2010 по 2012 гг. в 2013 году возросла на 0,78%. Долю не набравших минимального балла в 2014 году с этим же показателем в другие годы сравнивать не представляется возможным из-за изменения значения минимального балла с 24 на 20 баллов (см. Таблица 2).



Таблица 2 - Сравнительная таблица результатов ЕГЭ по математике в Красноярском крае за 2011 - 2014 гг.

	2011 год	2012 год	2013 год	2014 год
Количество участников ЕГЭ по математике	12 831	19 674	18 827	16 311
Доля (%) от общего количества участников ЕГЭ	94,7	96,89	96,18	97,17
Средний тестовый балл	44,70	42,98	47,64	44,90
Минимальный первичный / тестовый балл	4 / 24	5 / 24	5 / 24	3 / 20
Доля (%) сдавших экзамен	94,2	94,85	94,07	98,59
Доля (%) не сдавших экзамен	5,8	5,15	5,93	1,41

В течение последних четырёх лет наблюдается колебание доли участников, не приступивших к части С. В 2011 г. (по сравнению с 2010 г.) доля участников, не приступивших к части С, снизилась на 5,6%, в 2012 г. (по сравнению с 2011 г.) повысилась на 4,7%, в 2014 г. (по сравнению с 2012 г.) снизилась вновь на 2,86%. Качество выполнения заданий повышенного и высокого уровней данной группой участников в 2014 году (по сравнению с 2012 годом) ниже на 2,49% (сравнение по доле участников, набравших за выполнение части С более 0 баллов) (см. Таблица 3).

Таблица 3 - Данные о результатах выполнение заданий части С

	2011 год	2012	2013 год
Доля (%) не приступивших к части С	40,3	45,0	42,14
Доля (%) приступивших к части С	59,7	55,0	57,86
Доля (%) приступавших к части С и набравших 0 баллов	62,2	40,7	43,19
Доля (%) приступивших к части С и набравших более 0 баллов	37,8	59,3	56,81

Для участников экзамена, планирующих использовать результаты ЕГЭ по математике при поступлении в ссузы и вузы, предназначены задания B7-B15, C1-C6, требующие предметных математических знаний и направленные на ранжирование абитуриентов по уровню математической подготовки с учётом требований различных групп вузов. В указанных заданиях сделан акцент на:

· проверку владения алгебраическим аппаратом;

· проверку освоения базовых идей математического анализа;

· проверку умения логически грамотно излагать свои аргументы;

· оценку сформированности геометрических представлений, умения анализировать геометрическую конструкцию;

· оценку умения найти решение задачи повышенного и высокого уровня сложности.

Задание С2 представляло собой стереометрическую задачу на нахождение геометрической величины (угла между плоскостями).

Эксперты предметной комиссии ЕГЭ обратили внимание на следующее: в целом результаты по заданиям группы С более низкие по сравнению с прошлым годом. Вероятно, это связано с усилением мер информационной безопасности при проведении экзамена, и кроме того, задача С2 была явно труднее, чем задача С2 2013 года.

В задании С2 большое количество ошибок было допущено при построении линейного угла между плоскостями. Попытки применить при решении данного задания координатный метод не всегда были успешными: неправильно вводилась система координат, некорректно определялись координаты точек, неправильно составлялось уравнение плоскости. Поэтому на уроках геометрии в старшей школе необходимо целенаправленно работать над использованием различных методов решения стереометрических задач на нахождение геометрических величин.

В то же время анализ результатов выполнения заданий части 2 с развёрнутым ответом показывает, что отдельные школьники продемонстрировали различные способы решения математических заданий, отличающиеся от способов, предложенных в критериях к заданиям. Например: в задании С3 достаточно большое количество выпускников использовали метод рационализации, в задании С5 использовали графический метод, связанный с построением графиков функций, при решении геометрического задания С2 достаточно часто выпускники использовали метод координат. Однако в задании С2 значительная часть школьников ошибалась в выполнении построений линейного угла между плоскостями.

Анализ данных о результатах выполнения ЕГЭ по математике 2014 года показывает, что необходим переход на разноуровневое математическое образование: школьнику должна предоставляться возможность выбора того уровня математических знаний, который потребуется ему в дальнейшей учебной деятельности и в жизни.

На ступени основной и средней (полной) общей школы при организации преподавания математики необходимы следующие меры.

1. Выделение трёх уровней математической подготовки школьников:

· уровень, необходимый для успешной жизни в современном обществе;

· уровень, необходимый для прикладного использования математики в дальнейшей учёбе и профессиональной деятельности;

· уровень, необходимый для творческой работы в математике.

2. В школе необходимо увеличить вес геометрии, анализа данных, статистики и логики. При изучении курса геометрии следует повышать наглядность преподавания, уделять повышенное внимание формированию конструктивных умений и навыков. При изучении тем по теории вероятностей и статистике необходимо ориентироваться на практическое применение решаемых задач.

3. Для эффективной реализации уровневого обучения в математике необходимо разработать задания для мониторинга индивидуальных учебных достижений школьников.

4. Следует обратить внимание на компенсирующую поддержку математического образования школьников во внеурочное время, своевременную ликвидацию пробелов в знаниях и умениях.

5. Необходимо уйти от принципа «прохождения программы», добиваясь качественного усвоения знаний и умений на выбранном уровне подготовки учащихся по математике.



Глава 2. Методические аспекты обучения координатно-векторному методу

2.1 Этапы формирования координатно-векторного метода

Для решения геометрических задач с помощью координатно-векторного метода нужно знание простых формул, алгоритма и правил. Преимущество этого метод, состоит в том, что он упрощает и сокращает решение задач. Он не требую сложных посторенний в проекциях, так как сначала вводится декартовая система координат, затем производятся исчисления. Метод координат является сильным методом и с помощью него можно решить задачи разных уровней сложности. Но и у этого метода есть недостаток - большой объем вычислений.

Алгоритм применения метода координат состоит:

1. Выбор системы координат в пространстве

2. Нахождение координат необходимых точек и векторов, или уравнения кривых и фигур

3. Решение примера, используя ключевые задачи или формулы данной метода

4. Переход от аналитических соотношений к метрическим.

Но этот алгоритм является общим, и для некоторых видов задач приходиться использовать дополнительные шаги для решения задач [8].

Основные этапы формирования координатно-векторного метода у обучающихся.

Подготовительный этап. Его цель - овладение перечисленными основными понятиями и основными действиями.

Мотивационный этап. Его задача - показать необходимость овладения этим методом и добиться осознания того факта, что на следующих этапах целью деятельности учащихся будет именно усвоение этого метода решения задач. Приём, используемый при этом, - решение таких задач, которые векторным методом решаются проще, чем любым другим, или другим вообще решить невозможно.

Ориентировочный этап. Его цель - разъяснить суть метода и выделить его основные компоненты на примере анализа решенной этим методом задачи.

Этап овладения компонентами метода. Цель - используя специально подобранные задачи, формировать отдельные компоненты метода (сначала задачи на формирование одного компонента, потом двух, трёх и т.д.).

Этап формирования метода «в целом». Цель - решение задач, в которых работают все или большинство компонентов метода (в том числе и на материале физики, химии и др. предметов).

Деление форматирования метода на этапы здесь условно, т.к. они тесно взаимосвязаны. Очевидно, не стоит разделять ученикам четко задачи на формирование компонентов, но сам учитель должен четко знать, какой компонент с помощью какой из задач он будет формировать у учащихся. Однако цель каждого этапа должна быть ясна и учителю, и учащимся.

2.2 Задачи, обучающие координатно-вектоному методу

Для разработки методики формирования умения применять координатно-векторного метода важно выявить требования, которые предъявляет логическая структура решения задач мышлению решающего. Координатный предусматривает наличие у обучающихся умений и навыков, способствующих применению данного метода на практике. Проанализируем решение нескольких задач. В процессе этого анализа выделим умения, являющиеся компонентами умения использовать координатный метод при решении задач. Знание компонентов этого умения позволит осуществить его поэлементное формирование.

Решим две задачи для выявления умений и навыков, которые пригодятся для использования координатного метода.

Пример. В единичном кубе ABCD, (см. рис.1) найдите угол между плоскостями где точки Е и F-середины ребер соответственно [9].

Рисунок 1. Единичный куб ABCD

Решение:

1. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке A(0;0:0) (умение выбирать удобную нам систему координат).

2. Находим координаты точек, которые необходимы для составления уравнения плоскостей: (1;0;1), E(0:0.5; I), С(1;1;0), F(,5;1;1) (умение находить координаты необходимых точек и строить их по заданным координатам).

3. Составим уравнение плоскости , используя уравнение (умение составлять уравнения плоскости, прямой и пространственных кривых и фигур) Подставим координаты всех трех точек в это уравнение и решим систему из трех уравнений:



Получим, что А =- С, В =- 2С, D =0.

Таким образом, уравнение имеет вид:x+2y-z=0, следовательно

Составим уравнение плоскости (CF, используя уравнение A₂x+B₂y+z+=0. Подставим координаты всех трех точек в это уравнение п решим систему из трех уравнений:

Получим, что В =С, А =2С, D =- ЗС. Таким образом, уравнение примет вид:

2х +у +z -3 = 0. Значит, В₂ = 1, С₂= 1.

4. По формуле (знания формул и умение их применять):

Пример. В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ (см. рис.2) найдите расстояние от точки А до плоскости BD [10].

Решение:

1. Введем систему координат с началом координат A (0, 0, 0) и единичными векторами Следовательно, координаты точек (0,0,1), (1,0,0), (0,1,0). (умение оптимально выбирать систему координат)



Рисунок 2. Единичный куб ABCD

2. Составим уравнение плоскости

Уравнение плоскости будет иметь вид х + у + (z -- 1) = 0. т.е. х + у + z - 1=0 и координаты вектора нормали будут (умение составлять уравнение пространственных фигур и находить координаты векторов).

3. Теперь найдем расстояние от точки А до нашей плоскости по формуле для нахождения расстояния от точки до плоскости (знание формул и умение ими использовать):

. Ответ:

Задача. Дана прямоугольная трапеция с основаниями a и b. Найдите расстояние между серединами ее диагоналей.



Решение. 1. Введем систему координат как указано на рисунке 3. Тогда вершины трапеции будут иметь координаты: A(0,0), B(0,y), C(b,y) и D(a,0). (Здесь y - высота трапеции).

2. Найдем координаты середин диагоналей, используя формулу (2), и учитывая, что середина делит отрезок в отношении =1. Для точки О: . Для точки О₁: . По формуле (6) найдем расстояние между точками О и О₁:

.

Ответ: .

Замечание. Мы вводили в рассмотрение неизвестную нам высоту трапеции y. Но на этапе вычислений она сократилась.

Задача. Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 160 см, а основание треугольника равно 80 см. Найдите две другие медианы этого треугольника.



Решение. 1. Введем прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке 4. В этой системе вершины треугольника будут иметь координаты: А(-40,0), В(0, 160), С(40,0), а точка М₂(0,0). Используя, как и в предыдущей задаче, формулы(2), найдем координаты середин двух других сторон. Для М₃ получим:. Для М₁ аналогично находим: .

2. Вычислим длины отрезков АМ₁ и СМ₃, используя формулу (6). Для АМ₁ получим:

.

Длина второй медианы вычисляется аналогично.

Ответ: .

Задача. В прямоугольном равнобедренном треугольнике проведены медианы острых углов. Вычислите косинус угла между ними.



Решение. 1. Введем систему координат так, как показано на рисунке 5. В этом случае Вершины треугольника будут иметь координаты: С(0,0), А(а,0), В(0,а), а середины катетов: . (Здесь а - длина катета.)

2. По формуле (4) вычислим координаты векторов и .

3. Теперь используем формулу (10) для вычисления косинуса угла между векторами. (Этот угол совпадает с углом между медианами.)

.

Ответ: .

Задача. Дан ромб АВСD, диагонали которого равны 2а и 2b. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых выполняется условие: AM²+DM²=BM²+CM².

Решение. 1. Введем систему координат, взяв за ее начало центр ромба, а за оси - его диагонали. В этой системе вершины имеют координаты: A(-a;0), B(0;b), C(a;0) и D(0;-b).

2. Считая, что точка М имеет координаты (х;у), запишем условие AM²+DM²=BM²+CM² в координатной форме. Для этого используем формулу (6) при вычислении длин отрезков. Получим следующее выражение:

.

Раскрывая скобки и приводя подобные, получим следующее уравнение:

, или: (*).

В пункте 4.3 первого параграфа мы уже встречали такое уравнение - это общее уравнение прямой. И так, мы установили, что интересующее нас множество точек - это прямая линия. Попробуем теперь определить ее расположение относительно ромба.

3. Нетрудно заметить, что сторона АВ ромба может быть задана уравнением . Перепишем его в виде , а уравнение (*) в виде . Угловые коэффициенты в этих уравнениях в произведении дают -1. Это значит, что для данных прямых выполняется признак (16) перпендикулярности. Кроме того, очевидно, что полученная выше прямая проходит через начало координат - оно же - центр ромба. Таким образом, условию задачи удовлетворяют все точки, лежащие на прямой, проходящей через центр ромба и перпендикулярной прямой АВ.

Задача. Найти геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний от которых до двух данных точек есть величина постоянная.



Решение. 1. Введем прямоугольную систему координат как показано на чертеже. Тогда, считая, что длина отрезка равна b, получим следующие координаты точек А и В: А(0;0), В(b;0).

2. Пусть М(х;у) - произвольная точка плоскости, удовлетворяющая условию задачи: |AM|²+|BM|²=с². Тогда:

...