В случае, когда правая часть последнего равенства положительна, мы получаем окружность, центр которой лежит на середине отрезка АВ. Если правая часть равна нулю, то решением будет единственная точка - середина АВ. Если правая часть отрицательна, то задача не имеет решений.

Задача. Дана окружность радиуса r. Через одну из ее точек (точку А) проведены всевозможные хорды. Найти геометрическое место точек, делящих эти хорды пополам.

Решение. 1. Введем прямоугольную систему координат так, чтобы ее центр совпал с центром окружности, а ось ОУ прошла через точку А. Уравнение окружности будет иметь вид: (**).

У точки А координаты (0;r).

2. Далее, пусть - второй конец хорды. Координаты середины хорды (точки М(х;у)) найдем по известной формуле (см., например, задачу 2):

.

Выразим из них координаты точки В: . Эти координаты должны удовлетворять уравнению окружности. Подставим их в это уравнение. Получаем:

Раскрыв скобки, сократив уравнение на 4 и проведя группировку, получим следующее выражение: . Это уравнение окружности, центр которой лежит на середине радиуса, проведенного в точку А, а радиус полученной окружности в два раза меньше радиуса данной.

Разбирая данные задачи можно определить какие умения нужны для того, чтобы научиться использовать координатно-векторный метод. Итак,

1. переводить геометрический язык на аналитический;

2. строить точку по заданным координатам;

3. находить координаты заданных точек;

4. вычислять расстояние между точками, заданными координатами.

5. вычислять расстояние между прямой и плоскостью, прямыми и плоскостями;

6. вычислять угол между прямой и плоскостью, прямыми и плоскостями:

7. оптимально выбирать систему координат;

8. составлять уравнения заданных фигур (плоскости и прямые) и вычислять определитель;

9. видеть за уравнением конкретный геометрический образ;

10. выполнять преобразование алгебраических соотношений.

Следовательно, все задачи, которые развивают вышеуказанные умения, являются задачами, обучающими координатно-векторному методу.

Рассмотрим примеры решения задач С2.

Пример:

В правильной 6-угольной призме АВСDEFА1В1С1D1E1F (см. Рис.3) стороны основания которой равны 4, а боковые ребра равны 1, найти расстояние от точки В до прямой F₁E_1.

Рисунок 3. Правильная 6-угольная призма АВСDEFА1В1С1D1E1F



1 способ

СА=, A(;0;0)

B (; -2;0)

F1 (;4;1)

E1 (;6;1)

Напишем координаты направляющего вектора для прямой F1E1 (;-2;0), пусть F1 (;4;1) - точка на прямой.

Найдем расстояние по формуле:

Ответ: 7

2 способ:

Рассмотрим ?BF1E1

BF1 =

BE1=

cosB=, тогда sinB=

S?BF1E1=, зная площадь ?BF1E1 находим высоту 14=1/2*4 *BH, где BH - высота, проведенная из вершины B, т.е. расстояние от точки B до прямой F1E1.

BH=7

Ответ:7

Задачи:

1. В правильной 6-угольной призме АВСDEFА1В1С1D1E1Fстороны основания которой равны 4, а боковые ребра равны 3, найти расстояние от точки В до прямой С₁D_1.

Ответ:

2. от точки до плоскости

Пусть надо найти расстояние от точки Р(x1;y1;z1) до плоскости Ax+By+Cz+D=0, где (А;В;С) - координаты нормали плоскости.

Формула нахождения расстояния между точкой и плоскостью

Сложность может возникнуть при написании уравнения плоскости.

Составление уравнения плоскости сводится к решению системы из трех неизвестных, состоящее из уравнений, полученных подстановкой в формулу плоскости трех точек лежащих в плоскости.

Пример:

В правильной 3-угольной пирамиде (см. рис.4) сторона основания равна 12см. Найдите расстояние от центра основания до боковой грани, если двугранный угол при ребре основания равен р/3

Рисунок 4. Правильная 3-угольная пирамида

H (; 6; 0)

В(0;12;0); C (;6;0); S(;6;6)

Напишем уравнение плоскости:

В: 12В+D=0, тогда D= -12B

C: A+6B+D=0, A=

S: A+6B+6C+D=0; С=

Напишем уравнение плоскости:

см

Ответ: 3 см

Задачи

Длина ребра куба АС₁ равна 1. Найдите расстояние от вершины В до плоскости АСД₁

Ответ:

3. от прямой до плоскости и между плоскостями

Решение этих задач сводится к решению задачи на нахождение расстояния от точки до плоскости. Надо взять точку, принадлежащую прямой, а во втором случае - точку, принадлежащую одной из плоскостей и таким образом находим расстояние от точки до плоскости.

4. между скрещивающимися прямыми

Наиболее общим способом определения расстояния между скрещивающимися прямыми является применение векторного метода. Отыскивается вектор, равный по длине общему перпендикуляру к скрещивающимся прямым и перпендикулярный любому ненулевому вектору, расположенному на каждой из этих прямых. Исходя из равенства нулю скалярного произведения двух перпендикулярных векторов, мы получаем систему уравнений, позволяющую определить координаты отыскиваемого вектора.

Дан единичный куб ABCDA1B1С1D1(см. рис.5). Точка М - середина ребра ВВ₁. Найдите расстояние между прямыми АС₁ и DM.

Пусть точки Р и Q таковы, что отрезок PQ -- общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым АС1 и DM. Тогда PQ - вектор, который перпендикулярен векторам АС1 и DM Запишем верное равенство:

Из него получим, что PQ = MQ + BM + AB + РA

Рисунок 5. Единичный куб ABCDA1B1С1D1

Вектор коллинеарен вектору DM, т. е. существует такое число а, что.

(-1;1;1/2)

Следовательно, вектор MQ имеет координаты (a;-a;-1/2a)

Векторы ВМ (0;0;1/2) и АВ (0; 1; 0).

Вектор АР коллинеарен вектору AC1, т. е, существует такое число в, что и следовательно, вектор РА имеет координаты (-в;-в;-в). Складывая четыре вектора, получим, что координатами вектора PQ будут числа

(a-в;1-a-в;1/2-1/2a-в)

Величины а и в определим из системы:

; ;

PQ=

Ответ:

Задачи

В пирамиде DАВС известны длины ребер АВ = АС = DВ = DС = 13см, DA = 6см, ВС = 24см. Найдите расстояние между прямыми DА и ВС.

Ответ: 4см

В правильном тетраэдре ABCD с ребром, равным 1, точка М - середина ребра ВС, а точка N -- середина АВ. Найдите расстояние между прямыми CN и DM.

Ответ:

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, ребра которой равны l, найти расстояние между прямыми AB1 и BС1 .

Ответ;

Нахождение углов

1. Между прямыми

Данная задача сводится к нахождению косинуса угла между направляющими векторами этих прямых.

1. Берем две произвольные точки на прямых и из координаты одной точки вычитаем координату другой точки на одной прямой - это и будет направляющий вектор этой прямой. Также находим и направляющий вектор для второй прямой.

2. Пусть и направляющие вектора прямых, тогда находим косинус угла между векторами через скалярное произведение.

Задача

В кубе ABCDA1B1C1D1 (см. рис.6) найти угол между прямыми AD1 и DE1 ,

где E - середина ребра CC1



Рисунок 6. Куб ABCDA1B1C1D1

Для определенность примем ребро куба за 1.

А(1;0;0)

D1(0;0;1)

D (0;0;0)

E (0; 1; 0,5)

Ответ:

Задачи:

1. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 , ребра которой равны 1 , найти угол между прямыми AС1 и B1С

Ответ:

2. В правильной шестиугольной пирамиде MABCDEF , стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найти косинус угла между MB и AD .

Ответ: ј

2. Между прямой и плоскостью

Данная задача сводится к нахождению косинуса угла между нормалью к плоскости и направляющим вектором прямой.

Ax+By+Cz+D=0, где (А;В;С) - координаты нормали плоскости., координаты направляющего вектора прямой a (x1; y1;z1)

Чтобы найти координаты нормали надо написать уравнение плоскости по известным координатам трех точек (смотри задачу на нахождение расстояния от точки до плоскости)

|sin(плоск;прямой)=

Задача: В правильной четырехугольной пирамиде MABCD (см. рис.7) , все ребра которой равны 1, точка E середина ребра MC. Найти синус угла между прямой DE и плоскостью AMB .

Рисунок 7. Правильная четырехугольная пирамида MABCD

B (0;0;0): D=0

A (1;0;0): A=0

M (0,5; 0,5;): , тогда В= -

Уравнение плоскости AMB:

D (1;1;0)

E (1/4; ѕ; )

Ответ:

Задачи

1. В правильной шестиугольной пирамиде MABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 4, найти синус угла между прямой BC и плоскостью EMD

Ответ:

2. В правильной треугольной пирамиде MABC с основанием ABC известны ребра AB= ,

MC = 25 . Найти угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AM и BC .

Ответ: ;

Между плоскостями

Данная задача сводится к нахождению косинуса угла между нормалями к плоскостям.

A1x+B1y+C1z+D1=0, где (А1;В1;С1) - координаты нормали одной плоскости.

A2x+B2y+C2z+D2=0, где (А2;В2;С2) - координаты нормали второй плоскости.

Чтобы найти координаты нормали надо написать уравнение плоскости по известным координатам трех точек (смотри задачу на нахождение расстояния от точки до плоскости)

cos(плоск1;плоск2)=

Задача

В кубе ABCDA1B1C1D1(см. рис.8) найти угол между плоскостями сечений AB1C1D и CB1A1D.

Рисунок 8. Куб ABCDA1B1C1D1.

Для удобства примем ребро куба за 1.

Напишем уравнение плоскости AB1C1D:

А (1;0;0): А+D=0, A= -D

B1 (0;0;1): C+D=0, C= -D

D (1;1;0): A+B+D=0, B=0

-Dx-Dz+D=0

-1x-1z+1=0

Координаты нормали плоскости AB1C1D:

Напишем уравнение плоскости CB1A1D:

С (0;1;0): B+D=0; B=-D

B1 (0;0;1): C+D=0; C=-D

A1 (1;0;1): A+C+D=0; A=0

-Dy-Dz+D=0

-1y-1z+1=0

Координаты нормали плоскости CB1A1D:

cos(AB1C1D;CB1A1D)=

(AB1C1D;^CB1A1D)=60°

Ответ: (AB1C1D;^CB1A1D)=60°

Задачи:

1. В кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром, равным a, через точки M на ребре BB1 и N на DD1 такие, что BM=3a/4 и DN=a/4 , параллельно AC проведена секущая плоскость. Определить угол между секущей плоскостью и плоскостью ABC.

Ответ:

2. В правильной пирамиде MABCD ( M вершина) высота и сторона основания равны 4. Точка F середина ребра MC . Плоскость б проходит через середину ребра AM перпендикулярно прямой BF . Найти угол между:

а) плоскостью б и плоскостью основания; б) плоскостью б и прямой DM.

Ответ: а) ; б) 0

2.3 Конспекты уроков

Тема урока: Прямоугольная система координат в пространстве. Векторы в пространстве.

Цели урока:

Образовательная:

1) ввести определение прямоугольной системы координат в пространстве и вектора в пространстве и связанные с ним понятия;

2) дать определение равенства векторов;

3) научить решать задачи по данной теме.

Развивающая:

развитие пространственного воображения и логического мышления.

Воспитательная:

воспитание интереса к предмету и потребности в приобретении знаний.

Тип урока: изучение нового материала

Контингент учащихся: 11 класс

Задачи урока:

1. Дать определение вектора

2. Выяснить, какие векторы являются коллинеарными, компланарными

3. Ввести понятие системы координат в пространстве.

4. Выработать умение строить точку по заданным координатам и находить координаты точки, изображенной в заданной системе координат.

Оборудование: тетрадь, ручка, линейка, карандаш, ластик, компьютер

План урока:

1. Организационный момент (1-2 мин)

2. Актуализация знаний (5-7 мин)

3. Изучение нового материала (30-35 мин)

4. Закрепление (20-30 мин)

5. Самостоятельная работа (12-15 мин)

6. Итог урока (2-4 мин)

Ход урока

1. Приветствие. Проверка присутствующих. Сообщение темы урока. (слайд №1)

2. Формирование целей урока (слайд №2)

Актуализация знаний

Давайте вспомним сколькими координатами мы задавали точку в прямоугольной системы координат? (2-мя). Назовите их. (x и y).

Определите координаты у точек - Е (9; -3; 0), С (2; -6; 3), Р (0; 5; -7) (слайд №4)

Так как же задается система координат в пространстве? В пространстве точка задается тремя координатами (x,y,z).Давайте начертим эту систему координат.(слайд №5) Ось Ox-ось абцисс

Ось Оу-ось ординат

Ось Oz-ось аппликат

Кроме того, так как мы находимся в пространстве появляются еще координатные плоскости:xOy, yOz, xOz. Таким образом, теперь в пространстве мы можем указать три координаты, которые целиком определяют ее место положение.

В качестве примера найдем координаты точек A(-1; 3;-6), B(-2;-3; 4), C( 3;-2; 6). (слайд №6)

B(1,2,6)

А теперь давайте построим точку A(2,3,5) (строит учитель у доски) B(1,2,6) - ученик

A(2,3,5)

Давайте заполним следующую таблицу: (слайд №7)

Нахождение координат точек

Точка лежит

На оси В плоскости Oxy(x,y,0)

Ox(x,0,0) Oz(0,0,z) Oyz(0,y,z)

Oy(0,y,0) Oxz(x,0,z)

Решим следующую задачу: Даны координаты четырех вершин куба ABCDA₁B₁C₁D₁:A(0,0,0), B(0,0,1), D(0,1,0) и A₁(1,0,0). Найдите координаты остальных вершин куба. (уcтно) слайд №8

Открытия, обогащающие математику новыми понятиями, часто приходят из различных областей естествознания. Таким примером является понятие вектора, пришедшее из физики. Например, скорость, ускорение, перемещение, сила являются физическими величинами, которые имеют векторный характер. (Слайд № 3)

При изучении электрических и магнитных полей в пространстве появляются новые физические величины векторного характера: вектор напряженности электрического поля и вектор магнитной индукции. (Слайд № 4, № 5)

Впервые понятие вектора появилось в работах немецкого математика 19 века Г. Грассмана и ирландского математика У. Гамильтона; затем его использовали в своих открытиях многие ученые. (Слайд №6) Современная символика для обозначения вектора была введена в 1853 году французским математиком О. Коши. (Слайд №7) Применение векторов играет важнейшую роль в современной математике, химии, биологии, экономике и в других науках.

Векторы на плоскости были изучены в 9 классе в разделе “Планиметрия”. Сегодня на уроке рассмотрим векторы в пространстве. Определение вектора в пространстве и связанные с ним понятия сходны с определением вектора на плоскости и связанными с ним понятиями.

Так что же такое вектор? Давайте запишем определение. (слайд №8). Вектор может обозначаться двумя заглавными буквами или одной маленькой, например, .

Любую точку пространства можно рассматривать как вектор. Такой вектор называется нулевым. Он обозначается двумя одинаковыми буквами (слайд №9).

Любой вектор, так же, как и отрезок имеет длину. Как вы думаете, что принято принимать за длину вектора? (высказывают свои предположения). Запишите полное определение длины вектора. (слайд №10).

А как вы думаете, чему равна длина нулевого вектора? (0)

Так же как и на плоскости, в пространстве есть коллинеарные вектора. Запишите определение какие же вектора мы будем называть коллинеарными. (слайд №11).

Коллинеарные вектора бывают сонаправленными и противоположно направленными. Как вы думаете сонаправленные как расположены? (смотрят в одну сторону), а противоположно направленные (смотрят в разные стороны). (слайд №12)

Так же как и обычные отрезки вектора бывают равными.(слайд №13)

Закрепление:

1. На данном чертеже назовите сонаправленные и противоположно направленные вектора. Найдите длины векторов. (слайд №14)

2. Могут ли быть вектора на рисунке равными. Объясните ответ (слайд №15)

3. На рисунке назовите все пары сонаправленных векторов, противоположно направленныхи равных векторов. (слайд №16)

Отгадайте следующий кроссворд.(слайд №17)

1) Фамилия математика, в работе которого впервые появилось понятие вектора.

2) Как называется отрезок, для которого указано начало и конец?

3) Название двух ненулевых векторов, лежащих на одной прямой или на двух параллельных прямых.

4) Математик, который ввел современное обозначение вектора.

5) Чему равна длина вектора АВ?

6) Чем характеризуется в каждой точке пространства магнитное поле?

7) Как называются два вектора, если они сонаправлены и их длины равны?

Самостоятельная работа:

В системе координат в пространстве постройте следующие точки А(-2,3,5), В(2,2,2) С(-3,-4,-5) и D(6,8,5)

Итог урока: Итак, сегодня мы познакомились с прямоугольной системой координат, как построить точку в данной системе и найти координаты заданной точки, с понятием вектора, какие вектора называются сонаправленными, противоположно направленными.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Описание слайда:

Векторы в пространстве



№ слайда 1

Описание слайда:

Цели: Знать: определение вектора в пространстве и связанные с ним понятия; равенство векторов. Уметь: решать задачи по данной теме.

№ слайда 2

Описание слайда:

Физические величины Скорость Ускорение а Перемещение s Сила F v

№ слайда 3

Описание слайда:

Электрическое поле Е

№ слайда 4

Описание слайда:

Магнитное поле Направление тока в

№ слайда 5

Описание слайда:

Понятие вектора появилось в 19 веке в работах математиков Г. Грассмана У. Гамильтона

№ слайда 6



Описание слайда:

Современная символика для обозначения вектора r была введена в 1853 году французским математиком О. Коши.

№ слайда 7

Описание слайда:

Определение вектора в пространстве Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой- концом, называется вектором.

№ слайда 8

Описание слайда:

Т Любая точка пространства также может рассматриваться как вектор. Такой вектор называется нулевым.

№ слайда 9

Описание слайда:

Длина ненулевого вектора Длиной вектора АВ называется длина отрезка АВ. Длина вектора АВ (вектора а) обозначается так: АВ , а Длина нулевого вектора считается равной нулю: 0 = 0



№ слайд 10

Описание слайда:

Определение коллинеарности векторов Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

№ слайда 11

Описание слайда:

Коллинеарные векторы Противоположно направленные векторы Сонаправленные векторы

№ слайда 12

Описание слайда:

Какие векторы на рисунке сонаправленные? Какие векторы на рисунке противоположно направленные? Найти длины векторов АВ; ВС; СС1. A B C D В1 D1 A1 C1 Сонаправленные векторы: Противоположно-направленные: 5 см 3 см 9 см 5 см 3 см 9 см



№ слайда 13

Описание слайда:

Равенство векторов Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. А В С Е

№ слайда 14



Описание слайда:

Могут ли быть равными векторы на рисунке? Ответ обоснуйте. Рисунок № 1 Рисунок № 2 А В С М А Н О

№ слайда 15

Описание слайда:

Решение задач А В С Д А1 В1 С1 Д1 М К Укажите на этом рисунке все пары: а) сонаправленных векторов б) противоположно направленных векторов в) равных векторов



№ слайда 16

Описание слайда:

Решение задач А В С D А1 В1 С1 D1 М К

№ слайда 17



Описание слайда:

Самостоятельная работа В прямоугольной системе координат в пространстве постройте следующие точки А(-2,3,5), В(2,2,2) С(-3,-4,-5) и D(6,8,5) Самостоятельная работа

№ слайда 18

Описание слайда:

Кроссворд Г А М И Л Ь Т О Н В Е К Т О Р К О Л Л И Н Е А Р Н Ы Е К О Ш И Д Л И Н А И Н Д У К Ц И И Р А В Н Ы М И 1 2 4 5 6 7

№ слайда 19

Тема урока: Связь между координатами векторов и координат точек

Цели урока:

- ввести понятие радиус-вектора произвольной точки пространства;

- доказать, что координаты точки равны соответствующим координатам ее радиус-вектора, а координата любого вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала;

- отработать понятие равных векторов при решении задач;

- отработать понятие коллинеарных и компланарных векторов при решении задач.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания

Одного ученика из класса просим воспроизвести на доске решение № 415 а); д).

В это же время классу задаются вопросы:

1) Какие векторы называются коллинеарными?

2) Какие векторы называются компланарными?

Ответы иллюстрируем таблицей:

Коллинеарные векторы Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.	Компланарные векторы Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.



Задача № 415 а), д)

г) Дано: 

Установить: компланарность данных векторов.

Решение: Если вектор  можно разложить по векторам  то векторы  компланарны,    - единичные векторы. х = -3; у = -3; z = 0. (Ответ:  - компланарные векторы.)

д) Дано: 

Установить: компланарность данных векторов.

Решение:

1. Векторы  неколлинеарные, так как координаты этих векторов не пропорциональные друг другу числа.

2. 

(неверно, так как - 8 ? 4).

Ответ:  - некомпланарные векторы.

II. Объяснение нового материала

1. Вектор, конец которого совпадает с данной точкой, а начало - с началом координат, называется радиус-вектором данной точки.

2. Координаты любой точки равны соответствующим координатам ее радиус-вектора.



Пусть М (х; у; z) (рис. 7). Тогда М1 М2; М3 - точки пересечения с осями координат плоскостей, проходящих через точку М, перпендикулярно этим осям. Тогда по правилу параллелепипеда

Докажем, что 

а) Если М1 лежит на положительной полуоси абсцисс, то х = ОМ1, а векторы 

б) Если М1 лежит на отрицательной полуоси абсцисс, то  а векторы 

Поэтому 

в) Если М1 совпадает с нулем, то 

Аналогично 

Подставим эти выражения в равенство (1), получим  то есть 

3. Выразим координаты вектора  через координаты точек А(х1, у1; z1); В(х2, у2;z2) (рис. 8).



Значит, 

Итак, каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

III. Закрепление знаний, умений и навыков учащихся

1. Задачи № 416; 417 записываются на доске и разбираются устно в классе, «комментированная работа с места». Предложенная запись заданий позволяет быстро отработать алгоритм решения.

Задача № 416 (устно)

Дано: 

Задача № 417 (устно)

Дано: 

Найти: 

2. Далее, работая над № 418 а), наполняем алгебраическим содержанием задания такого типа

Уровень А

Задача № 418 а)

Дано:  

Найти: 

Решение:  (Ответ: .)

3. Переключаем внимание учащихся на заготовленный лист с тренировочными упражнениями по вариантам уровней Б и В. Проводим обучающую самостоятельную работу и коррекцию.

Уровень Б
I вариант	II вариант
1. Дано:  Найти: х; у; z.	1. Дано:  Найти: х; у; z.
Уровень В
2. Дано:  Найти: х; у; z.	2. Дано:  Найти: х; у; z.

Решение обучающей самостоятельной работы:

Вариант I

1. Дано: 

Найти: х; у; z.

Решение: 

2. Дано: 

Найти: x; у; z.

Решение:

Вариант II

1. Дано: 

Найти: x; y; z.

Решение:

2. Дано: 

Найти: x; y; z.

Решение:

4. Далее решается Задача № 420. Учитель ведет запись на доске, ученик комментирует решение с места.

Задача № 420.

Задача предваряется вопросами:

- Какие векторы называются равными?

- Каково свойство равных векторов?

Ожидаемые ответы:

- Два вектора называются равными, если их длины равны и они с отправлены.

- Координаты равных векторов соответственно равны.

Дано: А(3; -1; 5), В(2; 3; -4), С(7; 0; -1), D(8; -4; 8).

Доказать: 

Решение: 

5. Задача № 422 а) подводит итог урока, запись решения проводит вызванный к доске ученик.

Задача № 422 а). Дано: А(-2; -13; 3), В(1; 4: 1), С(-1; -1; -4), D(0; 0; 0).

Установить: А; В; С; D; лежат ли в одной плоскости.

Решение: 

Так как, сравнивая координаты векторов, мы видим, что они - непропорциональные числа, то делаем вывод, что векторы - неколлинеарные.

2) Проверим компланарность векторов.

Предположим, что вектор  можно разложить по векторам  и 

Если коэффициенты разложения х; у находятся однозначно, то векторы компланарны и данные точки лежат в одной плоскости.

Составим и решим систему уравнений.

Проверим справедливость (2) при найденных значениях х и у.

(верно).

Вывод: векторы  - компланарны.

(Ответ: точки А; В; С; D лежат в одной плоскости.)

IV. Подведение итогов

- Итак, в ходе урока мы изучили понятие радиус-вектора точки, правило нахождения координат вектора, понятие равных векторов. Повторили понятия коллинеарных и компланарных векторов.

Домашнее задание

Уровень А: № 418 б), в).

Уровень Б: ? № 419; 412 а), б).

Уровень В: ? № 422 (б); п. 24 (10 кл.) № 366, разобрать решение.

Тема урока: Простейшие задачи в координатах

Цели урока:

- Изучить определение и свойства вектора системы координат в пространстве

- Научить учащихся пользоваться этим определением на практике

- Уметь находить координаты векторов, середина отрезка, сумму и разность векторов

- Повторение ранее изученного материала.
- Формирование умения решать задачи.
- Реализация принципов связи теории и практики.
- Развитие памяти, речи, любознательности, познавательного интереса.

- Развитие аккуратности при выполнении чертежей.

Ход урока.

1) Дан прямоугольный параллелепипед, измерения которого равны 6;4;4 (см. рисунок).

Определите координаты его вершин.

Ответы: А (2;-3;0) А₁ (2;-3;4) В (-2;-3;0) В₁ (-2;-3;0) С (-2;3;4) С₁ (-2;3;4) D (2;3;0) D₁ (2;3;4)

2.) Задача Координаты треугольной призмы

Вводим систему координат:

1. Начало координат -- в точке A;

2. Сторону призмы принимаем за единичный отрезок, если иное не указано в условии задачи;

3. Ось x направляем по ребру AB, z -- по ребру AA₁, а ось y расположим так, чтобы плоскость OXY совпадала с плоскостью основания ABC.

Здесь требуются некоторые пояснения. Дело в том, что ось y НЕ совпадает с ребром AC, как многие считают. А почему не совпадает? Подумайте сами: треугольник ABC -- равносторонний, в нем все углы по 60°. А углы между осями координат должны быть по 90°, поэтому сверху картинка будет выглядеть так:

Надеюсь, теперь понятно, почему ось y не пойдет вдоль AC. Проведем в этом треугольнике высоту CH. Треугольник ACH -- прямоугольный, причем AC = 1, поэтому AH = 1 · cos A = cos 60°; CH = 1 · sin A = sin 60°. Эти факты нужны для вычисления координат точки C.

3.) Задача Координаты четырехугольной пирамиды

Мы разберем только самый простой случай -- правильную четырехугольную пирамиду, все ребра которой равны единице. Однако в настоящих задачах C2 длины ребер могут отличаться, поэтому ниже приведена и общая схема вычисления координат.

Итак, правильная четырехугольная пирамида. Обозначим ее SABCD, где S -- вершина. Введем систему координат: начало в точке A, единичный отрезок AB = 1, ось x направим вдоль AB, ось y -- вдоль AD, а ось z -- вверх, перпендикулярно плоскости OXY. Для дальнейших вычислений нам потребуется высота SH -- вот и построим ее. Получим следующую картинку:

Теперь найдем координаты точек. Для начала рассмотрим плоскость OXY. Здесь все просто: в основании лежит квадрат, его координаты известны. Проблемы возникают с точкой S. Поскольку SH -- высота к плоскости OXY, точки S и H отличаются лишь координатой z. Собственно, длина отрезка SH -- это и есть координата z для точки S, поскольку H = (0,5; 0,5; 0).

Заметим, что треугольники ABC и ASC равны по трем сторонам (AS = CS = AB = CB = 1, а сторона AC -- общая). Следовательно, SH = BH. Но BH -- половина диагонали квадрата ABCD, т.е. BH = AB · sin 45°. Получаем координаты всех точек:

Домашнее задание:

1.) Найти координаты вершин четырехугольной пирамиды, у которой в основании квадрат со стороной 2, боковые ребра равны 4.

2.) Найти координаты треугольной призмы, в основании равносторонний треугольник со стороной 3, боковые ребра равны 4



2.3 Описание организации и результатов экспериментальной работы

Опытная проверка по разработанной системе уроков проводилась в 10 классе МБОУ «Иланская СОШ №1» под руководством учителя математики - Морозовой Татьяны Николаевны.

Цель опытной проверки: обосновать актуальность проводимого исследования; подтвердить или опровергнуть его гипотезу: «Если, начиная с первых уроков изучения темы «Векторы» целенаправленно обучать учащихся умениям, необходимым для решения задач векторным методом, то это будет способствовать эффективному усвоению учащимися этого метода».

Достижение поставленной цели реализовывалось в три этапа.

Цель первого, констатирующего этапа - обосновать актуальность проводимого исследования.

Для этого были выбраны следующие методы исследования: беседа с учителями математики, тестирование учащихся.

В результате беседы с учителями математики были выявлены следующие типы упражнений, характерные для темы «Векторы», при выполнении которых ученики испытывают трудности:

- разложить вектор по 2-м неколлинеарным (3-м некомпланарным) векторам;

- выразить вектор через другие, используя определение и законы сложения и умножения векторов;

- представить геометрическое свойство фигуры на «векторный» язык;

- решить содержательную задачу векторным методом.

Для получения более объективной информации среди учеников 10 класса была проведена входная диагностика в форме тестирования.

Цель тестирования: выявить уровень остаточных знаний учащихся по теме «Векторы на плоскости».

Тестовые задания были составлены на основе методических рекомендаций учебного пособия [27, с.82-90].

Этап планирования тестовых заданий.

Лист требований по теме «Векторы на плоскости», 8-9 класс.
Элементы содержания	Кол-во заданий	Вид деятельности
Понятие вектора. Нулевой вектор. Длина вектора	3	Знает и понимает
Коллинеарные векторы (сонаправленные/ противоположно направленные)	2	Знает, понимает
Определение понятия равных векторов	1	Знает, понимает, умеет применять
Теорема об откладывании вектора от данной точки	1	Знает, понимает, умеет применять
Сложение векторов по правилу треугольника, параллелограмма, многоугольника	3	Знает, понимает, умеет применять

Законы сложения: 1.

Знает, понимает, умеет применять
Определение разности векторов	1	Знает, понимает, умеет применять

Свойства разности векторов:

Знает, понимает, умеет применять
Определение произведения вектора на число	2	Знает, понимает, умеет применять

Свойства операции произведения вектора на число: 1.

Знает, понимает, умеет применять
Лемма о коллинеарных векторах	1	Знает, понимает, умеет применять
Теорема о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам	1	Знает, понимает, умеет применять
Применение векторов к решению задач	1*	Умеет применять векторный метод при решении содержательных задач
ИТОГО:	23+1*

Таким образом, минимальное количество заданий обязательного уровня подготовки по теме «Векторы на плоскости» равно 24.

Найдем число заданий теста, учитывая коэффициент К1-критерий полноты отображения учебного материала.

,

Где Т-число заданий в тесте,

V-объем контролируемого материала.

Чтобы отображение проверяемого материала было полное, необходимо, чтобы 40% К1 70%. В нашем случае получаем:

0,4 0,7

,6 Т 16,8

Пусть тест будет содержать 10 заданий.

1. Определим процент заданий по видам деятельности (Знает и понимает 10%, применяет в знакомой ситуации-40%, применяет в измененной ситуации-30%, применяет в новой ситуации - 10%).

Виды деятельности	Число заданий	Максимальное число баллов
Знает и понимает 20%,	0,2*10=2	2*1=2
применяет в знакомой ситуации-40%	0,4*10=4	4*1=4
применяет в измененной ситуации-30%	0,3*10=3	3*2=6
применяет в новой ситуации - 10%).	0,1*10=1	1*4=4
ИТОГО	10	16

2. Определим процент заданий по уровню сложности (Б, П, В) в соответствии с критерием К3- коэффициента соответствия содержания теста содержанию стандарта.

Уровень сложности	Число заданий	Процент заданий
Базовый	2+4=6	60%
Повышенный	3	30%
Высокий	1	10%

Составим тестовые задания на основе выделенной спецификации.

II. Содержание теста

Инструкция. В заданиях №№ 1-3 обведите кружком букву (несколько букв), соответствующую правильному ответу.

Задание №1.

Выберите рисунок с изображением равных векторов

Эталон ответа а)

Задание №2

АВСD - параллелограмм. Найдите сумму векторов и .

а) б) в) г) нет верного ответа

Эталон ответа в)

Задание №3.

АВСD-прямоугольник со сторонами 4 и 3 см. Найдите длину вектора .

Эталон ответа в)

Инструкция. В заданиях №4,5 запишите ответ в специально отведенное место.

Задание №4.

Преобразуйте векторное выражение

ОТВЕТ: Эталон ответа .

Задание №5

Выразите вектор () через векторы и , если

ОТВЕТ: Эталон ответа

Задание №6

В треугольнике АВС точка Р делит медиану АМ в отношении 1:3, считая от вершины А. Поставьте вместо многоточия такое число, чтобы равенство было верным.

Эталон ответа а)1; б)-1; в); г)-1,5.

Инструкция. Запишите ответ в специально отведенное место.

Задание №7.

В треугольнике АВС Точка О-середина медианы АМ (см. рисунок к предыдущей задаче). Выразите вектор через векторы и .

ОТВЕТ: Эталон ответа

Инструкция. Для записи ответов на задания 8-10 используйте прилагаемый бланк ответов. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем решение.

Задание №8.

М - середина отрезка АВ, О - произвольная точка. Выразите векторчерез векторы и .

Эталон ответа

Задание №9

, . Что представляет собой фигура АВСD.

Эталон ответа

Возможны 2 случая

1) Векторы и лежат на параллельных прямых, 2) на одной прямой.

Тогда , что противоречит второму условию задачи

Итак, АВСD -параллелограмм.

Задание №10

Дан параллелограмм АВСD. Точки P,Q, R, S - середины сторон АВ, ВС, СD, DA соответственно. Прямые PC, QD, RA, SB пересекаются в точках К, L, M, N. Докажите, что КLMN-параллелограмм.



Эталон ответа.

1. Пусть =, =.

, =

AR||PC,

Аналогично, DQ||SB

Имеем, ML||NK, MN||LKMNKL-параллелограмм

Таким образом, тест включал в себя 10 вопросов, каждый из которых соответствовал одному из трех уровней усвоения знаний: 1 уровень - фактическое знание учебного материала проверяемой темы (формулировка основных определений понятий, теорем); 2 уровень - понимание, умение применять теоретические факты в стандартных ситуациях; 3 уровень - умение применять «новые» факты в измененных ситуациях (умение применять векторный метод при решении содержательных геометрических задач). В тестировании принимало участие 12 учеников 10 класса, отсутствующих не было.

Приведем результаты проведенного тестирования:

Номер задания	Ответили верно	Ответили неверно	Не приступили к заданию
1	12 (100%)	-	-
2	12	-	-
3	11	2	-
4	9	3	-
5	10	2	-
6	8	3	1
7	7	3	2
8	7	2	3
9	5	4	3
10	2	6	4

Анализ результатов тестирования позволил сделать следующие выводы:

Учащиеся достаточно хорошо владеют теоретическим материалом темы «Векторы на плоскости»: различают основные отношения между парами векторов, их взаимосвязь; формулируют теоремы-законы сложения векторов и произведения вектора на число. Успешно справляются с заданиями, в которых требуется преобразовать векторное равенство, построить результат сложения векторов по правилам треугольника и параллелограмма.

Около половины учащихся испытывает трудности при выполнении упражнений на представление вектора через другие, на разложение вектора по двум неколлинеарным векторам, а также на установлении взаимосвязи геометрических свойств фигур с их векторной записью.

Большая часть класса затрудняется в применении векторного метода к решению содержательных геометрических задач.

Таким образом, проведенный анализ результатов тестирования позволил выделить противоречие между необходимостью владения умениями, входящими в состав векторного метода и недостаточным уровнем их сформированности у учащихся в период изучения темы «Векторы на плоскости».

Выделенное противоречие позволило обосновать актуальность проводимого исследования и сформулировать его гипотезу, а именно: целенаправленное обучение школьников умениям, входящим в состав векторного метода, будет способствовать эффективному усвоению ими собственно векторного метода решения содержательных задач.

На втором, поисковом, этапе эксперимента решались следующие задачи:

1. Проведение логико-дидактического анализа темы «Векторы в пространстве» по учебному пособию [9] (параграф 2.1);

2. Разработка методических рекомендаций по обучению школьников векторному методу, основанных на идее целенаправленной предварительной работы по формированию умений, необходимых для успешного овладения учащимися этого метода.

3. Разработка системы уроков по теме в соответствии с планированием. Конспекты 5 уроков приведены в параграфах 2.2 и 2.3.

На третьем, формирующем, этапе была осуществлена апробация разработанных методических рекомендаций в личном опыте при обучении учащихся 10 класса МБОУ «Иланская СОШ №1» теме «Векторы в пространстве».

На этапе контролирующего эксперимента была проведена контрольная работа в форме тестирования, аналогичная работе перед изучением данной темы.

Цель тестирования: выявить у учащихся 1) уровень усвоения теоретического материала темы «Векторы на плоскости», 2) степень сформированности умения применять векторный метод к решению задач различного уровня.

Тест так же содержал 10 вопросов, каждый из которых соответствовал одному из трех уровней усвоения знаний. (Методика составления этого теста аналогична рассмотренной выше).

Приведем содержание теста.

Инструкция. Обведите кружком букву, соответствующую правильному ответу.

Задание №1

Дан параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁. Назовите вектор, равный сумме векторов

а) А₁D

б) А₁С

в) С₁А

г) А₁С₁

Эталон ответа б)

Инструкция Обведите ответ «да» или «нет» в клеточке таблицы ответов.

Задание №2

Установите, являются ли следующие утверждения истинными (ответ «да») или ложными (ответ «нет»).

Два коллинеарных вектора являются компланарными	да	нет
Два произвольных вектора не являются компланарными	да	нет
Три вектора, из которых два являются коллинеарными, компланарны	да	нет
Три произвольных вектора не всегда являются компланарными	да	нет

Эталон ответа да-нет-да-да

Инструкция. В заданиях № 3-7 запишите ответ в специально отведенное место.

Задание №3

В параллелепипеде АВСDA₁B₁C₁D₁ точка К - середина АВ, АМ : МD =2:3. , . Выразите вектор через векторы и .

ОТВЕТ: Эталон ответа

Задание №4.

Преобразуйте векторное выражение

ОТВЕТ:

Задание№5

Дана треугольная призма ABCDA₁B₁С₁. Укажите вектор , начало и конец которого совпадают с вершинами призмы, такой, что:

ОТВЕТ:

Задание №6

Основанием пирамиды с вершиной О является параллелограмм АВСD, диагонали которого пересекаются в точке М. Разложите вектор по векторам , ,

ОТВЕТ:

Задание№7

Дан параллелепипед АВСDA₁B₁C₁. Разложите вектор по векторам ,, .

ОТВЕТ:

Инструкция. Для записи ответов на задания 8-10 используйте прилагаемый бланк ответов. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем решение.

Задание №8

Доказать, что если т.М (АВС), то , х+y+z=1

Задание №9

Даны треугольники АВС и А₁В₁С_!. И две точки Р и О пространства. Известно, что , , . Докажите, что стороны треугольника А₁В₁С соответственно равны и параллельны стронам треугольника АВС,

Задание №10.

Точки А, В, С, D не принадлежат одной плоскости. Точки М, N, P, Q -середины отрезков АВ, ВС, CD, DA. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников АВР, ВСQ, CDM, DAN принадлежат одной плоскости.

Рассмотрим полученные результаты:

Номер задания	Ответили верно	Ответили неверно	Не приступили к заданию
1	12 (100%)	-	-
2	11	1	-
3	11	1	-
4	10	2	-
5	10	2	-
6	11	1	-
7	9	3	-
8	8	4	-
9	8	3	1
10	7	3	2

Анализ приведенных результатов показал, что учащиеся в достаточной мере овладели умениями и навыками, необходимых при решении задач векторным методом, что способствовало значительному увеличению доли учащихся, решивших содержательную задачу векторным методом.

Таким образом, содержание эксперимента и интерпретация его результатов позволили сделать вывод о правильности выдвинутой гипотезы: предложенные методические рекомендации по формированию у учащихся умений и навыков, входящих в состав векторного метода способствуют эффективному усвоению учащимися собственно векторного метода решения содержательных задач.

4. 

Заключение

Метод координат является необходимой составляющей при изучении геометрии в школе. Этот метод позволяет упростить процесс и сократить ход решения задачи, помогает учащимся при сдаче ЕГЭ, а, в дальнейшем, и при изучении математики в высших учебных заведениях.

В данной выпускной квалификационной работе:

- проанализированы учебники геометрии 10-11 классов;

- рассмотрен основной теоретический материал, необходимый для усвоения данного метода;

- рассмотрены метод координат, виды и этапы решения задач данным методом;

- выделены основные умения, необходимые для овладения методом координат;

- разработана система уроков для изучения данного метода.

Можно сделать вывод, что цель работы достигнута - разработанные методические рекомендации способствуют эффектному усвоению материала, также мы убедились, что метод координат:

- является одним из основных методов при решении задач;

- имеет больше достоинств, чем недостатков;

- дает учащимся эффективный способ решения задач и доказательств:

- показывает тесную связь алгебры и геометрии;

-способствует развитию вычислительной и графической культуры

учащихся.

В процессе исследования, в соответствии с его целями и задачами, были получены следующие основные выводы и результаты:

1. Анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы показал, что для успешного овладения учащимися общего метода решения задач, необходимо обучать их умениям и действиям, входящим в состав этого метода. К умениям и действиям, составляющих суть векторного метода относят следующие:

· умение преобразовывать векторные выражения;

· умение переводить геометрическое свойство фигуры на векторный язык и обратно;

· умение выражать вектор через другие.

Так же анализ учебно-методической литературы показал, что методика обучения школьников векторному методу очень широко обсуждается методистами, но, тем не менее, учащиеся до сих пор испытывают трудности в применении этого метода к решению задач и доказательству теорем. Между тем, векторные доказательства чаще оказываются более предпочтительнее традиционных.

2. В выпускной квалификационной работе охарактеризованы этапы формирования координатно-векторного метода и рассмотрены задачи, обучающие координатно-векторному методу которые широко используются педагогами на этапах формирования и усвоения новых знаний.

3. В исследовательской работе предложенные методические рекомендации по формированию у учащихся умений и навыков, входящих в состав векторного метода способствуют эффективному усвоению учащимися собственно векторного метода решения содержательных задач.

Была осуществлена опытная проверка разработанных методических рекомендаций в 10 классе МБОУ «Ианская СОШ №1». В качестве проверки эффективности применения разработанных методических рекомендаций было проведено тестирование учащихся.

Содержание эксперимента и интерпретация его результатов позволили сделать вывод о правильности выдвинутой гипотезы.

Вышесказанное позволяет утверждать, что цель исследования достигнута, гипотеза подтверждена.

Список используемой литературы

1. А.А Гусак Справочник по высшей математике / А.А Гусак, Г.М.Гусак, Е.А. Бричикова. - 9-е изд. - Минск: ТеатрСистема, 2009. - 640с.

2. Л.С.Атанасян Геометрия: Учеб.для 10-11 кл. общеобразоват. учредений. / Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б Кадомцев и др. - 13-е изд. - М.:Просвещение, 2004. - 255с.

3. Погорелов А. В. Геометрия 10-11 кл. / Погорелов А. В. -M:Просвещение 2005.- 324.

4. A.Д.Александров Геометрия / A.Д.Александров, А.Л. Вернер, В.И.Рыжик - М:Просвещение, 1999. - 271с.

5. И.М.Смирнова Геометрия / И.М.Смирнова, В.Ф.Смирнов - М,2008. - 201с.

6. Шарыгин И.Ф. Геометрия. 10-11 классы. Учебник для общеобразовательных учебных заведений. / Шарыгин И.Ф. - М:Дрофа, 1999.

- 208с.

7. Конева Г.П. Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2 Единого гоударственного экзамена по математике [Электронный ресурс] / Конева Г.П., Опубликовано 12.01.2013 - 6:51 /

http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/ispolzovanie-metoda-koordinat-v-prostranstve-dlya-resheniya-zadaniy-s-2

8. Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2 Единого государственного экзамена [Электронный ресурс] / http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/ispolzovanie-metoda-koordinat-v-prostranstve-dlya-resheniya-zadaniy-s-2

9. Геометрия: учеб. для 10-11 кл. сред. шк./Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.-М.:Просвещение, 1992.

10. Методика преподавания математики в средней школе. Частная методика. Сост. В.И. Мишин. - М.: Просвещение, 1987.

11. Роль и место задач в обучении математике: Сборник научных трудов/В.А.Оганесян, В.В. Пикан: Под ред. Ю.М. Колягина. - М.: НИИ школ МП РСФСР, 1978.

12. ФИПИ [Электронный ресурс] / http://www.fipi.ru/view/sections/228/docs/660.html

13. Гельфанд И. М. Метод координат / Гельфанд И. М., Глаголева Е. Г., Кириллов А. А., - МЦНМО, 2009. - 189с.

14. Мельникова Н. Б. Геометрия: векторы и координаты впространстве / Мельникова Н. Б., Литвиненко В. Н., Безрукова Г. К. - M:Просвещение, 2007. - 120c.

15. Вольфсон Б. Подготовка к ЕГЭ и ГИА-9: учимся решать задачи /Вольфсон Б. И., Резницкий Л. И. - Легион, 2011 г. - 129c.

16. Малкова А. Г. Подготовка к ЕГЭ по математике [Электронный ресурс] / Малкова А. Г. / Study ru.

17. Шарыгин И.Ф. Математика для поступающих в вузы: учебное пособие / И.Ф.Шарыгин. - М.: Дрофа, 2006. - 479 с.

18. Ященко И.В. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену / И.В.Ященко - М.: Айрис-прес, 2003. - 432 с.

19. Смоляков А. Н. ЕГЭ по математике: задания группы С / Смоляков А. Н., Сидельников В. И. - Москва , 2013. - 205 c.

20. Семенова А.В. ЕГЭ - 2012. Математика: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов / под редакцией А.В. Семенова,

21. И.В. Ященко. - М.: Национальное образование, 2011. - 192 с.

22. Титаренко А.М. Новейший полный справочник школьника 5-11 классы. Математика. / А.М.Титаренко, А.М. Роганин. - «Эксмо», 2008. - 304 с.

23. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Учебник для Вузов. Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника / Беклемишев Д. В. - М.: Физматлит, 2009. - 309 с.

24. Шафаревич И. Р. Линейная алгебра и геометрия. [Электронный ресурс] / Шафаревич И. Р. , М.: Физматлит, 2009. - 509 с./ http://www.biblioclub.ru/book/68387/

25. Полякова Т.В. Отчет о результатах единого государственного экзамена по математике в Красноярском крае в 2014 году. [Электронный ресурс]/сайт Министерство образования и науки красноярского края/ http://cok.cross-e.ru/wp-content/uploads/2014/09/Otchet_EGE_2014_matematika.pdf

Размещено на Allbest.ru

...