Устойчивоподобные свойства инвариантных множеств динамических систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

Белорусский государственный университет

УСТОЙЧИВОПОДОБНЫЕ СВОЙСТВА ИНВАРИАНТНЫХ МНОЖЕСТВ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени

доктора физико-математических наук

по специальности 01.01.02 дифференциальные уравнения

КАЛИТИН Борис Сергеевич

Минск, 2009

Работа выполнена в Белорусском государственном университете.

Официальные оппоненты: Борухов Валентин Терентьевич, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник отдела математической теории систем ГНУ «Институт математики НАН Беларуси»;

Мазаник Сергей Алексеевич, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики Белорусского государственного университета;

Максимов Вячеслав Иванович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий отделом "Дифференциальные уравнения" Института математики и механики УрО РАН

Оппонирующая организация Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН.

Защита состоится 12 февраля 2010 г. в 10.00 часов на заседании совета по защите диссертаций Д 02.01.07 при Белорусском государственном университете по адресу: 220030, Минск, ул. Ленинградская 8 (корпус юридического факультета), ауд. 407. Телефон ученого секретаря: 209-57-09.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке Белорусского государственного университета.

Автореферат разослан «22» декабря 2009 г.

Ученый секретарь

совета по защите диссертаций

доктор физ.-мат. наук, профессор Н.В. Лазакович

КРАТКОЕ ВВЕДЕНИЕ

Теория устойчивости движения берет свое начало с работ классиков естествознания трудов А.М. Ляпунова и А. Пуанкаре. В своей докторской диссертации в 1892 году А.М. Ляпунов ввел основополагающие концепции понятий устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости, создал два метода решения этих задач для систем дифференциальных уравнений: разложение решений системы в ряды специального вида и использование вспомогательных функций (функций Ляпунова).

Основные постановки задач об устойчивости, фундаментальные исследования в этой области, сделанные самим Ляпуновым, сохранили до наших дней свое первозданное теоретическое и практическое значение, получили мощное развитие во многих отраслях научного естествознания. В дальнейшем потребности человеческой практики привлекли всевозрастающее внимание к задачам устойчивости движения, послужили толчком к обогащению теоретических основ методов Ляпунова при анализе тех, или иных проблем устойчивости. Это оказалось возможным благодаря разработке качественных методов исследования, в которых наряду с изучением поведения решений в течение заданного отрезка времени анализируется поведение решений на бесконечности.

Основателем качественной теории по праву считают А. Пуанкаре. Им введены в обиход понятия траектории, фазовой плоскости, изучено поведение в целом неинтегрируемых автономных дифференциальных систем второго порядка, дана классификация. А. Пуанкаре сформулировал ряд топологических проблем теории дифференциальных уравнений, пришел к понятию абстрактной динамической системы, которая в последствии была обогащена в работах А.А. Маркова, Г. Уитнея и представлена в окончательном виде Дж. Биркгофом в его известной монографии «Динамические системы» (1941 г.).

К целесообразности обобщения понятия динамической системы, определяемой дифференциальными уравнениями, привел анализ накопленных результатов и их доказательств. Такой объект, как динамическая система, заданная на метрическом пространстве, с одной стороны, не утратил специфики свойств решений дифференциальных уравнений, а с другой стороны, дал приток новых сил и возможностей, используемых при изучении бесконечномерных пространств. В частности, стало возможным применение топологических методов в изучении проблем динамики движений. В связи с этим единение задач качественной теории динамических систем с топологическими методами получило специальное название «топологическая динамика». По сложившейся традиции всякая система дифференциальных уравнений, правые части которой не зависят явно от времени, называют динамической системой.

Начиная с 30-х годов XX в. в разработке теории динамических систем приняли участие такие известные математики как А.А. Марков, В.В. Степанов, А.Н. Колмогоров, А.Я. Хинчин, Н.Н. Боголюбов, Н.Н. Крылов, В.В. Немыцкий, Г.Ф. Хильми, М.В. Бебутов, А.Г. Майер и др. Их усилиями создан ряд новых положений теории, разработаны современные математические методы. Итоги этих исследований подведены в завоевавшей популярность книге В.В. Немыцкого и В.В. Степанова «Качественная теория дифференциальных уравнений» (1949 г.), которая отражает уровень развития теории динамических систем до конца 40-х годов и содержит исчерпывающую библиографию.

Вопросами устойчивости по Ляпунову, поведением решений в окрестности особых точек интенсивно занимались ученые Казанской математической школы: Н.Г. Четаев, И.Г. Малкин, Г.В. Каменков, К.П. Персидский. Значитель-ные исследования в СССР в этом направлении выполнены Н.П. Еругиным, Е.А. Барбашиным, Н.Н. Красовским, В.И. Зубовым, А.А. Шестаковым, В.А. Плиссом, В.В. Румянцевым, В.М. Матросовым, С.Н. Васильевым; а также _ Ж.Л. Массерой, Ж.П. Ля-Саллем и С. Лефшецем, Т. Йошизавой, В. Ханом, Н.П. Бхатия и Г. Сегё, П. Сейбертом и др.

Разработке общей качественной теории абстрактных динамических систем посвящены работы Е.А. Барбашина, В.И. Зубова, К.С. Сибирского, Б.А. Щербакова, И.У. Бронштейна, Н.Н. Ладиса, Д.Н. Чебана, К.С. Сибирского и А.С. Шубэ, а также В.Х. Готшалка и Ж.А. Хедлунга, Р. Эллиса, С. Лефшеца, Ж. Фурстенберга, Ж. Аусландера, Х. Чу, Ф. Хана, С. Какутани, П. Сейберта, Н.П. Бхатия, О. Хайека, Ж.П. Сегё, и Ж. Трекани, Т. Ура.

В работах С. Смэйла, Д.В. Аносова, Ж. Мозера, М. Пейхото, Л. Маркуса изучаются вопросы структурной устойчивости дифференциальных уравнений, где широко используются методы дифференциальной топологии.

В последнее время интенсивно развивается метод редукции, предложенный С.Н. Васильевым. Метод позволяет решать важные проблемы качественной теории динамических систем. В частности, здесь успешно решаются вопросы алгоритмизируемости вывода теорем сравнения в терминах векторных функций сравнения, вопросы сохранения динамических свойств при переходе от одной системы обыкновенных дифференциальных уравнений к другой, которая получается путем замены переменных и другие проблемы.

Развитие идей и методов качественной теории динамических систем внесли за последние 80 лет огромный вклад в создание методов топологической динамики применительно к задачам устойчивости движения. Так в 1957 году появилась в свет монография В.И. Зубова, в которой представлены качественные методы исследования задач устойчивости движения динамических систем, определенных на метрическом пространстве. Здесь впервые излагаются основы метода функций Ляпунова для абстрактных динамических систем, положено начало качественному исследованию структуры окрестности замкнутых инвариантных множеств с точки зрения их свойств устойчивости. Приведены неявные критерии устойчивости, асимптотической устойчивости, дана исчерпывающая характеристика области притяжения в рамках второго метода Ляпунова и на основе этого исследованы конкретные классы и ситуации в динамических системах (однородные системы, критические случаи и многое другое).

Результаты исследований устойчивости движения показали, что назрела необходимость в создании общей качественной теории устойчивости движения динамических систем, включающей в себя исследование структуры окрестности инвариантных множеств, обладающих тем или иным устойчивоподобным свойством. И такая работа проводилась в дальнейшем многими математиками. Так в 1967 году В.В. Немыцким была предложена классификация простых точек покоя, а также была высказана идея об использовании обобщенных функций Ляпунова для характеристики поведения решений в окрестности особых точек. В этом же направлении были продолжены работы Кишиневской научной школы под руководством К.С. Сибирского, Б.А. Щербакова, И.У. Бронштейна в статьях Л.А. Челышевой, М.И. Измана и др.

Проблеме классификации посвящены статьи А.А. Андронова, С.Э. Хайкина и Н. Минорского для линейных систем второго порядка, а также классификации для нелинейного случая на плоскости, данные С. Лефшецем и С. Барочио. В общем случае систем n дифференциальных уравнений проблемой классификации занимались Д. Гробман, А.И. Перов, П. Хартман, а также Н.П. Папуш, М.Б. Кудаев и др. Для абстрактных динамических систем близкие к классификационным результаты содержатся в работах Т. Ура и И. Кимура, Н.П. Бхатия; для полудинамических систем _ Н.П. Бхатия, Т. Сайто, Н.П. Бхатия и О. Хайек; для полудинамических систем без единственности _ Ж. П. Сегё и Ж. Трекани.

А.А. Шестаковым и Ю.Н. Меренковым проведены исследования по проблеме локализации предельных множеств, соответствующих принципу инвариантности Ж. Ля-Салля.

Тем не менее, необходимо отметить, что при наличии несомненных достижений создание общей качественной теории устойчивости движения еще далеко от своего завершения. Одной из основных нерешенных проблем является задача полного описания структуры окрестности устойчивых инвариантных множеств. Сюда можно отнести проблему Флорио Сейберта об относительной устойчивости, которая требует своего развития в случае неасимптотической устойчивости; ее успешное решение позволит получить новые направления совершенствования второго метода Ляпунова. Кроме того, представляется возможным развитие метода функций Ляпунова на основе определения взаимосвязей с неявными критериями устойчивости, разрабатываемыми средствами качественной теории динамических систем. Представленные факты свидетельствуют о необходимости исследований, относящихся к теме диссертации.

Тема диссертации утверждена Ученым Советом Белорусского государственного университета и включена в план научно-исследовательских работ, выполняемых в Белгосуниверситете в 1989_1996 гг.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Связь работы с крупными научными программами (проектами) и темами

Исследования по теме диссертации проводились в соответствии с планом научно-исследовательских работ кафедры методов оптимального управления Белорусского государственного университета и планом научно-исследователь-ских работ, выполняемых в рамках программы Национальной Академии наук Беларуси «Дифференциал 4».

Цель и задачи исследования

Цель работы заключается в создании качественной теории устойчивости движения, как самостоятельного раздела общей качественной теории динамических систем, а именно:

- решить проблему о структуре окрестности притягивающих, слабо притягивающих и неасимптотически устойчивых инвариантных множеств;

- дать классификацию компактных и замкнутых инвариантных множеств с точки зрения их устойчивоподобных свойств;

- разработать метод знакопостоянных функций Ляпунова для динамических систем. инвариантный множество функция притягивающий

Объектом исследования является динамическая система, определенная на метрическом пространстве и, в частности, системы обыкновенных автономных и неавтономных дифференциальных уравнений, описывающих поведение разнообразных процессов современного естествознания. Для достижения поставленной цели в диссертации использовались методы топологической динамики и теории устойчивости движения.

Положения, выносимые на защиту

Все представленные в диссертации результаты являются новыми в качественной теории динамических систем. В работе впервые введены и всесторонне исследованы понятия «псевдоустойчивость», «псевдопролонгация» и «В-устой-чивость», вскрыты взаимосвязи таких понятий с известными определениями теории устойчивости. Это позволило найти новое решение задачи Флорио Сейберта об относительной устойчивости и решить проблему В.В. Немыцкого о существовании слабо эллиптических компактных инвариантных множеств. Кроме того, введение таких понятий дало возможность решить задачи о структуре окрестности притягивающих, слабо притягивающих, а также неасимптотически устойчивых компактных инвариантных множеств. На основании определения B-устойчивости выделены классы замкнутых инвариантных множеств, для которых поведение траекторий в достаточно малой окрестности аналогично компактным инвариантным множествам. Дана классификация компактных и замкнутых инвариантных множеств с точки зрения их устойчивоподобных свойств.

Разработана общая теория метода знакопостоянных функций Ляпунова для решения задач устойчивости динамических систем. Приведены соответствующие иллюстрации метода для систем автономных, периодических и неавтономных дифференциальных уравнений, для которых применение известных методов с использованием определенно положительных функций Ляпунова либо невозможно, либо представляет непреодолимые технические трудности.

Диссертация имеет теоретический характер. В работе развиваются основные направления качественной теории проблем устойчивости движения, теоретических основ метода функций Ляпунова. Полученные результаты могут быть использованы в исследовании полудинамических систем, динамических систем с дискретным временем и других динамических процессов, как качественными методами, так и методом функций Ляпунова, в научных коллективах, занимающихся проблемами устойчивости движения, в Институте математики НАН Беларуси и НАН Украины, в Иркутском вычислительном центре СО РАН, в Московском, Киевском, Кишиневском, Латвийском, Белорусском государственных университетах.

Результаты диссертации использовались автором в течение ряда лет при чтении специальных курсов для студентов и аспирантов Белорусского университета и университетов городов Алжир (Алжир), Мюлюз и Мец (Франция), Мехико (Мексика).

Автором диссертации защищаются следующие основные положения:

- критерии псевдоустойчивости;

- свойства B-устойчивости;

- качественная характеристика окрестности притягивающих, слабо притягивающих и неасимптотически устойчивых инвариантных множеств;

- решение проблемы В. В. Немыцкого в более общей постановке о существовании слабо эллиптических компактных инвариантных множеств;

- новое решение задачи Флорио _ Сейберта об относительной устойчивости для компактных и замкнутых положительно инвариантных множеств;

- классификация компактных и замкнутых множеств с точки зрения их устойчивоподобных свойств;

- теоремы об устойчивости, асимптотической устойчивости и глобальной асимптотической устойчивости на основе метода знакопостоянных функций Ляпунова для различных типов инвариантных множеств динамических систем.

Личный вклад соискателя

В диссертацию включены только те результаты, которые получены лично диссертантом в опубликованных статьях и монографии. Совместные работы приведены для полноты изложения материала, и подчеркивания актуальности темы исследований.

Апробация результатов диссертации

Результаты настоящей диссертации докладывались на: 2-ом Национальном симпозиуме по обыкновенным дифференциальным уравнениям (Алжир, 1983); третьей научной школе «Метод функций Ляпунова и его приложения» (Иркутск, 1985); Всесоюзной научной конференции «Метод функций Ляпунова в современной математике» (Харьков, 1986); 6-ой Всесоюзной конференции по качественной теории дифференциальных уравнений (Иркутск, 1986); 45-ой научной конференции ЛГУ им. П. Стучки (Рига, 1986); научных чтениях «Динамические системы: устойчивость, управление и оптимизация», посвященные 70-летнему юбилею Е. А. Барбашина (Минск, 1988); 7-ой Всесоюзной конференции по качественной теории дифференциальных уравнений (Рига, 1989); 14-м Международном Конгрессе ИФАК (Пекин, 1999); 38-й Международной Конференции по управлению (Феникс (США), 1999); научных семинарах в МГУ (1988, 1989) рук. проф. В.А. Кондратьев, проф. В.М. Миллионщиков, (1979, 1984) рук. академик РАН В.В. Румянцев; научном семинаре в Киевском государственном университете им. Т. Шевченко (1987) рук. академик АНУ А.М. Самойленко; научном семинаре в Институте математики АНУ (1987) рук. академик АНУ А.Н. Шарковский; Кишиневском городском семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений (1987, 1989) рук. академик АНМ К.С. Сибирский, проф. Б.А. Щербаков; научном семинаре ЛГУ им. П. Стучки (Рига, 1988) рук. проф. Л.Э. Рейзинь; научном семинаре ВЦ СО РАН (Иркутск, 1989) рук. академик РАН В.М. Матросов; научном семинаре Института математики АНБ (1989_1991) рук. академик АНБ И.В. Гайшун (1987, 2005); Белорусском Республиканском семинаре по дифференциальным уравнениям (1984) рук. проф. Ю.С. Богданов, академик НАН РБ Н.А. Изобов, проф. Л.А. Черкас; научном семинаре кафедры методов оптимального управления (Минск, Белгосуниверситет); научном семинаре по функциональному анализу и дифференциальным уравнениям Белорусского государственного университета (Минск, 19912009) рук. проф. А.Б. Антоневич, проф. П.П. Забрейко, член-корр. НАН РБ Я.В. Радыно; научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Санкт-Петербургского государственного университета (Санкт-Петербург, 1991) рук. член-корр. РАН В.А. Плисс; научном семинаре университета Верхний Альзас (Франция, г. Мюлюз, 1994_1997) рук. проф. Р. Лютц; научном семинаре университета г. Метц (Франция, 1994_1995) рук. проф. Ж. Салле; научном семинаре Мексиканского Автономного университета (Мехико, 1996) рук. проф. П. Сейберт; научном семинаре Мексиканского Национального университета (Мехико, 1996) рук. проф. У. Карилье; научном семинаре по качественным методам оптимального управления (Минск, 1990_1998) рук. проф. Р. Габасов, Ф.М. Кириллова; научном семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений (Минск, 20052008) - рук. проф. В.И. Громак, проф. А.П. Садовский; научном семинаре Белорусского математического общества (Минск, 1997, 2005) рук. академик НАН РБ И.В. Гайшун и член-корр. НАН РБ Я.В. Радыно.

Опубликованность результатов диссертации

Результаты диссертации опубликованы в 43 научных работах, из которых 1 монография, прошедшая научное рецензирование двумя докторами физико-математических наук, и 27 статей в научных журналах в соответствии с п. 18 Положения о присуждении ученых степеней и присвоении ученых званий в Республике Беларусь (общим объемом 31 авторских листов); 4 статьи в сборниках научных трудов; 1 депонированная статья; 1 препринт; 9 тезисов.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, пяти глав, включающих в себя 34 раздела, заключения и библиографического списка, состоящего из списка использованных источников и списка публикаций соискателя.

Объем диссертации 223 страниц, в том числе 8 рисунков на 3 страницах. Библиографический список содержит 255 наименований на 23 страницах, из которых 43 собственные публикации автора.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе дается краткий обзор научных достижений в области качественной теории динамических систем, которые наиболее близко примыкают к исследованиям, проводимым в диссертации.

Рассматривается динамическая система (Х,R,), определенная на метрическом пространстве (X,d), фазовым отображением : XRX ((x,t)=xt) удовлетворяющая трем аксиомам: (I) х0=х хХ; (II) xt()= =x(t+) xX, (t,)R²; (III) отображение : XR X непрерывно. Для каждого элемента х из Х отображение (х,): RX называется движением, проходящим через точку х; ⁺(x)=xR⁺, ^-_(x)=xR^_ и (x)=xR соответственно положительной полутраекторией, отрицательной полутраекторией и траекторией, проходящие через точку хХ. Множество Y из Х называется инвариантным, положительно инвариантным или отрицательно инвариантным, если соответственно YR=Y, YR⁺=Y или YR=Y. Если Y подмножество Х, то символы intY и FrY означают, соответственно, замыкание, внутренность и границу Y в Х. Через L⁺(x) (L(x)) обозначается множество всех -предельных (соответственно -предельных) точек для элемента хХ.

Определение 1.1. Пусть Х локально компактно и М компактное подмножество Х. Тогда М называется:

- устойчивым, если всякая окрестность М содержит ее положительно инвариантную окрестность;

- слабо притягивающим, если множество ={xX: L⁺(x)M} является окрестностью М;

- притягивающим, если множество A(M)={xX: L⁺(X) и L⁺(X)M} является окрестностью М;

- асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и притягивающее.

Пусть B(M,)={xX: d(M,x)}, , для МХ.

Определение 1.2. Замкнутое множество М из Х называется:

- устойчивым, если ( mM)( m mR⁺М

- равномерно устойчивым, если ( МR⁺М

- эквиустойчивым, если xМ x x

- полупритягивающим, если xМx yx dytМ при t

- слабо притягивающим, если yМ t_n t_n при n dyt_n

- притягивающим, если yМ dytМ при t

- равномерно притягивающим, если x x[[М

- эквипритягивающим, если х dxМ x[]М

- полуасимптотически устойчивым, если оно устойчиво и полупритягивающее;

- асимптотически устойчивым, если оно равномерно устойчиво и притягивающее;

- равномерно асимптотически устойчивым, если оно равномерно устойчиво и равномерно притягивающее.

Определение 1.3. Если М замкнутое подмножество Х, то множество ={xX: t_nR⁺ t_n что dxt_nМ} называется областью слабого притяжения М, а множество AМ{xX dxt М при t} областью притяжения М.

Уделено внимание методам топологической динамики, позволяющим исследовать основную задачу качественной теории устойчивости динамических систем. Отмечены отправные моменты в истории этой проблемы: критерии В.И. Зубова и М.С. Измана об асимптотической устойчивости компактного инвариантного множества M, целостное описание Н.П. Бхатия локальной структуры компактного инвариантного множества M. Последнее утверждение в определенном смысле означает классификацию компактных инвариантных множеств. Тем не менее, оно не дает полного представления о возможных типах поведения траекторий в окрестности изучаемого инвариантного множества.

Приведенные теоремы подчеркивают важность рассмотрения отрицательных полутраекторий в изучении свойств устойчивости движений при t+. Однако, неясным оказался вопрос о возможности использования этих идей для изучения свойства неасимптотической устойчивости компактных и замкнутых множеств.

Приведено утверждение Д. Десброва, посвященное анализу структуры самого инвариантного множества М. Тем не менее, дальнейшие исследования структуры множества М, обладающего тем или иным устойчивоподобным свойством, не были продолжены последователями.

Отмечено открытое Т. Ура (19531959 гг.) принципиально новое направление в качественной теории динамических систем теория пролонгаций. Один из основных результатов этой теории состоит в том, что компактное инвариантное подмножество М локально компактной динамической системы (Х,R,) устойчиво тогда и только тогда, когда М=D⁺(M). Более того, Т. Ура ввел понятие пролонгаций высших порядков, рассмотрел свойство устойчивости инвариантных множеств порядка , а также понятия абсолютной устойчивости (устойчивости любого порядка). Для абсолютной устойчивости оказалась обратимой теорема Ляпунова о неасимптотической устойчивости в классе непрерывных вспомогательных функций, доказанная Ж. Аусландером и П. Сейбертом, что, как отмечал Н.Н. Красовский, вообще говоря, неверно в общем случае для классического определения устойчивости по Ляпунову.

Введенное понятие пролонгаций с успехом было использовано Н.Н. Ладисом при решении задачи о топологической эквивалентности систем дифференциальных уравнений, а также Л.Э. Рейзинем при исследовании проблем различения; динамические системы с устойчивой пролонгацией изучались в работах А.Н. Шарковского, В.А. Добрынского. Теория пролонгаций развивалась в работах Ж. Аусландера, П. Сейберта, О. Хайека, С. Саперстона и М. Нишигама, в которых обобщаются понятие пролонгаций высших порядков и определение рекуррентных движений.

На основе использования теории пролонгаций П. Сейбертом представлено решение оригинальной задачи Ж.-С. Флорио, имеющей прямое отношение к принципу сведения Ляпунова Плисса. Последняя задача состоит в следующем. Для заданной динамической системы на метрическом пространстве Х с инвариантным подмножеством Y содержащем компактное множество М, определить условия, гарантирующие: а) устойчивость М, в) асимптотическую устойчивость М, с) глобальную асимптотическую устойчивость М относительно всего пространства Х, если М устойчиво, соответственно, асимптотически устойчиво или глобально асимптотически устойчиво относительно Y. Искомым условием по П. Сейберту является требование притяжения (соответственно глобального притяжения) M относительно множества Y.

Отметим, что проблема Флорио Сейберта не была решена до недавнего времени для случая замкнутого множества М. Кроме того, требование асимптотической устойчивости М относительно Y для утверждения об устойчивости М является относительно «жестким».

Итогом этих исследований явилось создание единого подхода топологической динамики теории пролонгаций , явившейся весьма удобным средством решения широкого круга вопросов качественной теории динамических систем.

Оба описанных направления исследований классические качественные методы и метод пролонгаций имеют определенные связи топологического характера. Этому обстоятельству специально посвящена диссертация М. Бендиб.

В качественной теории динамических систем используется идея расщепления определения Ляпунова об асимптотической устойчивости на два составляющих его понятия: устойчивость и притяжение, начало которому положено построением примеров дифференциальных систем, обладающих притягивающими, но не устойчивыми точками покоя. Для абстрактных динамических систем этот вопрос анализировался П. Мендельсоном, а для неавтономных дифференциальных уравнений Г. Антосиевичем. Впоследствии притягивающие инвариантные множества (аттракторы) стали интенсивно изучаться. Появились понятия равномерного аттрактора, слабого аттрактора и др., которые в свою очередь привели к определению новых устойчивоподобных свойств, таких как полуасимптотическая устойчивость, равномерная асимптотическая устойчивость инвариантных множеств и их исследованию методом функций Ляпунова.

Следующий результат касается структуры окрестности слабо притягивающих множеств, впервые доказанный для случая притягивающих множеств Ж. Аусландером, Н.П. Бхатия и П. Сейбертом в 1964 г.

Теорема (Н.П. Бхатия). Пусть Х локально компактно и М компактное слабо притягивающее подмножество Х. Тогда первое пролонгационное множество D⁺(M) является наименьшим компактным асимптотически устойчивым множеством, содержащим М.

Приведенное утверждение подчеркивает различие между асимптотически устойчивыми и притягивающими множествами. Однако следует заметить, что ни утверждение теоремы, ни конструкция ее доказательства не поясняют структуру множества D⁺(M).

Вместе с определением фундаментальных понятий теории устойчивости движения А.М. Ляпунов предложил и один из основных методов исследования

метод вспомогательных функций , который до сих пор занимает главенствующее положение в общей теории динамических систем. Универсальность метода функций Ляпунова подтверждается важной практической направленностью при решении конкретных задач механики, физики, химии, а также биологии, медицины, экономики и других наук. Вторым важным положительным фактором этого метода является его независимость от необходимости непосредственного интегрирования решений дифференциальных систем, описывающих изучаемые динамические процессы. Это обстоятельство прочно связывает метод функций Ляпунова с качественной теорией динамических систем. По мере развития и совершенствования самого метода такая связь носит все более тесный характер. Большой вклад в этом сделан Н.Г. Четаевым, Г.В. Каменковым, И.Г. Малкиным, К.П. Персидским, Е.А. Барбашиным, В.И. Зубовым, Н.Н. Красовским, В.В. Румянцевым, В.М. Матросовым, Л.Ю. Анапольским, С.Н. Васильевым, Ж. Ля-Саллем и С. Лефшецем, Х.Л. Массерой, В. Ханом, Н.П. Бхатия и Г. Сегё, П. Сейбертом и другими.

Для динамических систем (X,R,) основу метода функций Ляпунова составляют следующие утверждения.

Теорема (В.И. Зубов). Пусть М компактное инвариантное подмножество локально компактного метрического пространства Х. Предположим, что существуют окрестность U множества М и непрерывная функция V: UR⁺ такие, что: 1) V(x)>0 xU\M и V(x)=0 xM; 2) V(xt)V(x) t 0 и x[0,t]U.

Тогда М устойчиво.

Теорема (В.И. Зубов). Пусть М компактно инвариантно, а Х локально компактно. Предположим, что существуют окрестность N множества М и непрерывная функция V: NR⁺ такие, что:

1) V(x)>0 xN\M и V(x)=0 xM; 2) V(xt)<V(x) t 0 и x]0,t]N.

Тогда М асимптотически устойчиво.

В дальнейшем развитие шло по пути ослабления требований к функции V. Первым шагом в этом направлении явились работы Е.А. Барбашина, Н.Н. Красовского. Здесь для второй из теорем были ослаблены условия, налагаемые на функцию Ляпунова требованием 2). Результаты были получены для автономных и периодических по времени динамических систем. Для общей динамической системы соответствующее утверждение принимает следующий вид.

Теорема 1.1 [32]. Пусть М компактное инвариантное подмножество локально компактного метрического пространства Х. Предположим, что существуют окрестность N для М и непрерывная функция V: N R⁺ такие, что:

1) V(x)>0 xN\M и V(x)=0 xM; 2) V(xt)V(x) t 0 и x[0,t]N;

3) множество N\M не содержит положительных полутраекторий таких, что V()V(x).

Тогда М асимптотически устойчиво.

При этом если функция V непрерывно дифференцируема вдоль движений динамической системы, т. е. существует производная функции по времени :

NR, определяемая равенством то условие 3) можно заменить требованием отсутствия в N\M полутраекторий таких, что ()0.

Теоретической основой возможности отмеченного обобщения теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости является, по сути дела, топологическая связь между наличием функции Ляпунова, подчиненной требованиям теоремы, и множествами - и -предельных точек движений динамических систем. Это обстоятельство, по-видимому, впервые было отмечено Ж. Ля-Саллем при доказательстве принципа инвариантности и выделено отдельным утверждением в монографиях Е.А. Барбашина. Опираясь на эти рассуждения можно показать, что требование отсутствия положительных полутраекторий в теореме можно заменить условием отсутствия траекторий или отрицательных полутраекторий. С практической точки зрения обобщенная теорема об асимптотической устойчивости заметно расширила возможности классической теоремы Ляпунова, поскольку при исследовании конкретных дифференциальных систем часто удается построить функцию Ляпунова со знакопостоянной, а не знакоопределенной производной по времени.

Для неавтономных дифференциальных уравнений ослаблением требований к производной функции Ляпунова занимались Н.Н. Красовский, В.М. Матросов, Ц. Артстейн, А.С. Андреев, А.Я. Савченко, А.О. Игнатьев, И.В. Гайшун, Л.Б. Княжище, Н.А. Раптунович и др.

До начала 80-х годов XX в. неясным оставался вопрос о том, возможно ли в теоремах второго метода Ляпунова отказаться от строгих неравенств в условиях 1). Первая публикация на эту тему появилась в 1978 году в работах Н.Г. Булгакова и автора, что послужило основанием для создания метода знакопостоянных функций Ляпунова.

В т о р а я глава посвящена исследованию новых понятий «псевдоустой-чивость» и «псевдопролонгация» и выяснению их роли в исследовании проблем устойчивости динамических систем.

Определение 2.1 [34]. Множество М из Х называется:

- псевдоустойчивым, если ( xM)( mM)( =(x,m)0): xB(m,)R⁺;

- равномерно псевдоустойчивым, если ( xM)( =(х)0): xB(M,)R⁺.

Определение 2.2. Замкнутое множество М называется:

- изолированным, если для любой точки mFrM существует число =(m)>0, такое, что если N компактное инвариантное подмножество В(т,), то NM;

- равномерно изолированным [7] если можно указать число такое, что если N компактное инвариантное подмножество В(М,), то NM.

В работе исследуется взаимосвязь понятия псевдоустойчивости замкнутых инвариантных множеств со свойствами изолированности, равномерной изолированности и предельными множествами траекторий. Приведены достаточные условия псевдоустойчивости и равномерной изолированности, гарантированные наличием функций Ляпунова с определенными свойствами монотонного изменения вдоль движений динамической системы.

Определение 2.3 [34]. Для произвольного множества Y из Х множество

={xX: yY и (t_n)R такие, что xt_ny}

называется псевдопролонгацией, а множество

={xX: yY и (t_n)R такая, что d(xt_n,Y)} _

равномерной псевдопролонгацией Y.

Нетрудно видеть, что множества и положительно инвариантны. Менее очевидным является то, что если Y положительно инвариантно, то \Y и ⁺(Y)\Y отрицательно инвариантны, причем \Y={xX: L(x)Y=}. Если же Y инвариантно, то и ⁺(Y) также инвариантны.

Выяснены свойства псевдопролонгации и равномерной псевдопролонгации в их взаимодействии с предельными множествами траекторий, первой пролонгацией и первой предельной пролонгацией Т. Ура. Установлены условия, при которых псевдопролонгация или ее компоненты обладают свойством компактности, связности, псевдоустойчивости. Выведены условия полунепрерывности сверху и снизу псевдопролонгации как многозначного отображения ⁺: 2^Х множества всех компактных подмножеств из Х во множество 2^Х всех подмножеств Х и установлена связь свойств полунепрерывности со свойством устойчивости компактных инвариантных множеств. Доказана следующая теорема Т. Ура для свойства псевдоустойчивости.

Теорема 2.1 [13]. Подмножество М из Х псевдоустойчиво (равномерно псевдоустойчиво) тогда и только тогда, когда ⁺(М)=М (соответственно =М).

Теорема 2.2 [13]. Для М из Х псевдопролонгация ⁺(М) является наименьшим псевдоустойчивым множеством, содержащим М.

Т р е т ь я глава посвящена исследованию задач устойчивости компактных множеств. Приведены достаточные условия устойчивости и неустойчивости, критерии асимптотической устойчивости относительно замкнутого положительно инвариантного множества Y в Х. Исследовано поведение траекторий в окрестности притягивающих, слабо притягивающих и неасимптотически устойчивых инвариантных множеств. Доказаны, в частности, утверждения.

Теорема 3.1 [10]. Пусть М и Y два положительно инвариантных подмножества локально компактного метрического пространства Х, из которых М компактно, а Y замкнуто и содержит М. Окрестность Н множества М в Y является областью притяжения асимптотически устойчивого относительно Y множества М в том и только в том случае, когда выполняются два условия:

1) для любого хН L⁺(x) компактное подмножество Н;

2) для любого хН\М множество L(x)Н не содержит компактных инвариантных подмножеств.

Теорема 3.2 [10]. Пусть М и Y два положительно инвариантных подмножества локально компактного метрического пространства Х, из которых М компактно, а Y замкнуто и содержит М, а динамическая система (Х,R,) устойчива по Лагранжу в положительном направлении. Тогда для того, чтобы М было глобально асимптотически устойчивым относительно Y необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее условие: замыкание всякой отрицательной полутраектории , содержащейся в Y, не является компактом.

Теорема 3.3 [7]. Пусть метрическое пространство Х локально компактно и М компактное положительно инвариантное подмножество Х. Тогда следующие условия эквивалентны:

а) М асимптотически устойчиво;

б) М равномерно изолировано и псевдоустойчиво;

в) выполняется условие (1);

г) М псевдоустойчиво и притягивающее.

Определение 3.1 [22]. Пусть М замкнутое инвариантное подмножество Х. Точка х из Х называется:

- слабо эллиптической точкой М, если L⁺(M)M, L(M)M;

- эллиптической точкой M, если L⁺(M), L(M) и L⁺(M)М, L(M)М.

Обозначим через (Е(М)) множество всех слабо эллиптических (соответственно эллиптических) точек множества М.

Доказаны следующие теоремы о структуре окрестности притягивающих и слабо притягивающих компактных инвариантных множеств.

Теорема 3.4 [1]. Пусть Х локально компактное метрическое пространство и М компактное инвариантное притягивающее подмножество Х. Тогда есть наименьшее компактное инвариантное асимптотически устойчивое множество, содержащее М. Кроме того, A⁺()=A⁺(M).

Следствие 3.1 [1]. Пусть Х локально компактно и М компактное инвариантное притягивающее подмножество Х. Тогда имеют место равенства D⁺(M)= =⁺(М)=.

Теорема 3.5 [1]. Пусть Х локально компактное метрическое пространство и М компактное инвариантное слабо притягивающее подмножество Х. Тогда множество E(M) компактно инвариантно и слабо притягивающее. Кроме того, справедливо равенство =.

Следствие 3.2 [1]. Для компактного инвариантного слабо притягивающего подмножества локально компактного метрического пространства Х имеют место соотношени Е(М)⁺(М)=D⁺(М)=⁺(Е(М))=D⁺(Е(М)).

Относительно структуры компактного положительно инавариантного притягивающего множества М в сепарабельном метрическом пространстве X установлено, что оно может иметь не более чем счетное множество компонент. Здесь выяснено также, что граница области притяжения FrA⁺(M) множества M является асимптотически устойчивым при t множеством относительно замыкания , причем справедливо равенство A(FrА⁺(М))=.

Определение 3.2 [22]. Компактное инвариантное множество М будем называть слабо эллиптическим, если есть окрестность М.

Следующие утверждения дают решение проблемы В.В. Немыцкого в наиболее общей ее постановке.

Теорема 3.6 [19]. В связном локально компактном, но не компактном метрическом пространстве Х не существует компактных инвариантных множеств слабо эллиптического типа.

Предложение 3.1 [1]. Существуют динамические системы с не локально компактным фазовым пространством, содержащие компактные инвариантные подмножества эллиптического типа.

Структуре окрестности неасимптотически устойчивых компактных инвариантных множеств посвящен следующий основной результат.

Теорема 3.7 [28]. Пусть M неасимптотически устойчивое связное компактное инвариантное подмножество X. Тогда существует замкнутое связное инвариантное подмножество D(M) из X, содержащее M в качестве своего собственного подмножества, относительно которого M является двусторонне устойчивым множеством.

В работе приведена классификация множества всех компактных подмножеств, т. е. такое разбиение на классы (они названы составляющими классами), которые удовлетворяют трем условиям: а) каждый из классов не пуст; б) составляющие классы попарно не пересекаются; в) объединение всего множества составляющих классов дает . Введем сокращенные обозначения устойчивости, псевдоустойчивости и притяжения при t: У устойчивость, ПУ псевдоустойчивость, ПР притяжение.

Теорема 3.8 [12]. Множества

=ПРПУ, =ПР⁺ПР,

=У(\ПР)(\ПУ), =(\У⁺)(\У)(ПУ⁺ПУ),

=УПУ(\У), =(\У)(\ПУ) ПУ,

=У⁺У, =(\ПУ⁺)(\ПУ).

=(ПР\ПУ)(\ПР),

являются составляющими классами множества . Основные классы можно представить следующим образом:

У=, ПР=_, ПУ=\().

Задача Флорио Сейберта. В диссертации дается другое решение этой задачи на основе введения следующего нового понятия.

Определение 3.3 [5]. Пусть М и Y два подмножества Х, имеющих непустое пересечение и MY. Будем говорить, что окрестность W множества М является выталкивающей при t относительно Y, если для любой точки xYFrW существует число такое, что х.

Определение 3.4 [5]. Пусть М и Y два подмножества Х, таких, что MY. Будем говорить, что М является В-устойчивым относительно Y, если всякая окрестность U множества М в Х содержит положительно инвариантную, выталкивающую при t окрестность М относительно Y. Если при этом Y=X, то будем говорить, что М В-устойчиво.

В работах автора показано, что свойство В-устойчивости занимает промежуточное значение между определениями устойчивости и асимптотической устойчивости.

Отметим, что в работах M. Харлей и С.Ю. Пилюгина используется близкое к определению В-устойчивости понятие квазиаттрактора для исследования проблем структурной устойчивости динамических систем на дифференцируемых многообразиях. Непустое множество М называется квазиаттрактором, если существует счетный набор компактных инвариантных асимптотически устойчивых множеств М_n таких, что М=M_n.

В работах автора установлены результаты, отвечающие на вопрос об эквивалентности отмеченных двух свойств.

В заключении третьей главы диссертации приводятся утверждения, касающиеся устойчивости пролонгационных множеств. Предварительно дадим введенное С. Саперстоном и М. Нишигама определение финальной устойчивости. Множество М из Х называется финально устойчивым, если для любой окрестности W множества М можно указать окрестность U для М такую, что уU T=T(y)0, для которого ⁺(уТ)W. В диссертации установлена взаимосвязь свойства финальной устойчивости с первым пролонгационным множеством D⁺(x), а также зависимость свойства устойчивости псевдопролонгации ⁺(М) от свойств компактности L⁺(M) и ⁺(М).

Ч е т в е р т а я глава посвящена качественной теории устойчивости замкнутых инвариантных множеств. Здесь установлен ряд свойств, связывающих понятия устойчивости, равномерной устойчивости с притяжением. Выяснена роль свойства (А) Н.Н. Красовского и его модификаций для формирования критерия равномерной асимптотической устойчивости замкнутых множеств. Отмечена важная роль множеств типа (В), (L), (L_U) введенных автором.

Определение 4.1 [16]. Замкнутое подмножество М называется множеством типа (В), если всякая его граничная точка принадлежит некоторому компактному В-устойчивому относительно М подмножеству М.

Определение 4.2 [16]. Замкнутое множество М есть множество типа (L), если (тFrM)(=(m))(xB(m,)\M): множество компактно. Замкнутое множество М есть множество типа (L_U), если

( )( xB(M,)\M): множество компактно.

Свойства множеств указанного типа характеризуются следующим образом.

Установлено, что для замкнутых множеств типа (В) справедлива теорема Т. Ура, а именно, замкнутое положительно инвариантное множество МХ типа (В) устойчиво тогда и только тогда, когда D⁺(M)=M. Кроме того, для множеств типа (В), (L), (L_U) установлена взаимосвязь свойств притяжения, псевдоустойчивости, изолированности и равномерной изолированности. Для таких множеств доказаны: критерий М.С. Измана об асимптотической устойчивости, критерий полуасимптотической устойчивости и критерий глобальной асимптотической устойчивости.

В этой же главе дается развитие задачи Флорио Сейберта при следующих предположениях: а) Y лишь положительно инвариантно; б) М не предполагается компактным.

Теорема 4.1 [16]. Пусть М и Y два замкнутых положительно инвариант-ных подмножества Х, из которых М типа (В) и содержится в Y. Предположим, что имеют место условия:

1) Y устойчиво;

2) М полуасимптотически устойчиво относительно Y.

Тогда М устойчиво.

Теорема 4.2 [16]. Пусть М и Y два замкнутых положительно инвариант-ных подмножества Х, из которых М типа (В) и содержится в Y. Предположим, что выполнены следующие условия:

1) Y полупритягивающее; 2) М устойчиво;

3) М притягивающее относительно Y.

Тогда М полуасимптотически устойчиво.

Теорема 4.3 [16]. Пусть М и Y два замкнутых положительно инвариант-ных подмножества Х, из которых М типа (В) и содержится в Y. Предположим, что всякое движение x: txt, xX\M, устойчиво по Лагранжу в положительном направлении и выполнены следующие условия:

1) Y глобально полупритягивающее;

2) М устойчиво;

3) М глобально притягивающее относительно Y.

Тогда М глобально полуасимптотически устойчиво.

Четвертая глава снабжена примерами, подтверждающими, что в доказанных утверждениях требования к множеству М быть множеством типов (В), (L) или (L_U) являются существенными.

Рассмотрен случай задачи Флорио Сейберта для проблемы устойчивости неизолированной точки покоя [6] динамической системы на X=Rⁿ. Получены достаточные условия устойчивости и неустойчивости нулевого решения автономной системы дифференциальных уравнений, выделены и полностью изучены два критических случая неасимптотической устойчивости систем вида

,

где : RR знакоопределенная функция, исчезающая в нуле, А постоянная (пп)-матрица, b и с п-мерные постоянные векторы.

Пусть D множество всех замкнутых положительно инвариантных подмножеств пространства X. В диссертации дано решение задачи о классификации в виде следующих утверждений.

Теорема 4.4 [34]. Множества

C=D\(ПУ), С₄=((РПУ)(У))\(ЭУ),

С₁=(ПУ)\((У)(РПУ)), С₅=((ЭУ)(У))\(РУ),

С₂=(У)\(РПУ), С₆=(ЭУ)\(У),

С₃=(РПУ)\((У)(ЭУ)), С₇=(РУ)

являются составляющими классами множества D всех замкнутых положительно инвариантных подмножеств. Основные классы можно представить следующим образом:

(У)=(С₂)(С₄)(С₅)(С₇), (ПУ)= ,

(РПУ)=(С₃)(С₄)(С₅)(С₆)(С₇), (ЭУ)=(С₅)(С₆) (С₇), (РУ)=(С₇).

Здесь приняты сокращения: (РПУ) равномерная устойчивость, (Э) эквиустойчивость, (РУ) равномерная устойчивость.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Доказана справедливость диаграммы свойств, представленных на рисунке 1.

В конце четвертой главы приведены исследования инвариантности устойчивоподобных свойств при гомоморфизме динамических систем [15].

Пусть (Х,R,) и (Y,R,) две динамические системы, заданные соот-ветственно на метрических пространствах (X,d) и (Y,). Отображение h: XY, X на Y, осуществляет гомоморфизм систем (Х,R,) и (Y,R,), если h непрерывно и выполняется тождество h((x,t))(h(x),t) для любых (x,t)XR причем Y=h(X). Пусть означает множество всех замкнутых подмножеств из Х. Будем говорить, что отображение h: XY, X на Y, является -равномерным гомоморфизмом Х на Y, если М имеют место условия:

=(М,), что d(x,M) (h(x),h(M));

если (у_п,h(M)), то (х_п)Х, h(x_n)=y_n n1, что d(x_n,M).

В диссертации доказано, что если h: X Y является -равномерным гомоморфизмом (Х,R,) и (Y,R,), то в дополнение к уже известным результатам при таком отображении сохраняются следующие свойства: псевдоустойчивость, равномерная устойчивость (она переходит в устойчивость), полупритяжение.

В п я т о й главе излагается теория метода знакопостоянных функций Ляпунова, разработанная на основе результатов предыдущих глав. Приведены различные варианты утверждений второго метода в зависимости от свойств инвариантного множества М. Основные утверждения снабжены примерами.

Теорема 5.1 [25]. Компактное положительно инвариантное подмножество M локально компактного метрического пространства X устойчиво, если существует окрестность U множества M и функция V: UR такие, что выполняются следующие условия:

1) V(x_n)0, если d(x_n,M)0; 2) V(x)=0, если V(x_n)0, а x_nx;

3) V(xt)V(x) t0 и x[0,t]{xU: V(x)0};

4) M является B-устойчивым относительно границы множества Y₀={xX: V(x)=0} и устойчивым относительно множества Y₀;

5) M устойчиво относительно множества Y={xX: V(x)<0}.

В диссертации приведены варианты теорем об устойчивости, где не накладывается жестких ограничений на знак функции Ляпунова. Для свойств асимптотической устойчивости получены следующие результаты.

Теорема 5.2 [3]. Пусть Х локально компактно и М _ компактное положительно инвариантное подмножество Х. Предположим, что существуют окрестность N для М и непрерывная функция V: NR⁺ такие, что выполняются условия:

1) V(x) xN и V(x)= xM; 2) V(xt)V(x) t и x[,t]N;

3) множество N\M не содержит отрицательных полутраекторий таких, что V()V(y).

Тогда М асимптотически устойчиво.

Если функция Ляпунова V дифференцируема вдоль движений, то из результатов третьей главы следует, что требование 3) теоремы 20 равносильно требованию асимптотической устойчивости М относительно множества {xN: .

Теорема 5.3 [1]. Пусть Х локально компактно и М компактное подмножество Х. Предположим, что существуют открытая окрестность N множества М и непрерывная функция V: NR⁺ такие, что:

...