Устойчивоподобные свойства инвариантных множеств динамических систем

1) V(x) xN и V(x)= xM; 2) V(xt)V(x) t и x[, t]N;

3) множество N\M не содержит отрицательных полутраекторий таких, что V()V(y).

Тогда, если множество Y₀={xN: V(x)=} компактно, а некоторое компактное множество К из N содержит Y₀, то КА(М). Более того, для всякого достаточно малого числа множество К ={xN: V(x)} содержит компактное положительно инвариантное подмножество Р такое, что Р==, FrP FrК. При этом множество Р является окрестностью Y₀ и Р А(М).

Теорема 5.4 [3]. Компактное положительно инвариантное подмножество М локально компактного метрического пространства Х глобально асимптотически устойчиво, если существует непрерывная функция V: XR⁺ такая, что:

1) V(x)0 xX и V(x)=0 xM; 2) V(xt)V(x) (x,t)XR⁺;

3) всякая окрестность U множества М обладает тем свойством, что множество U\M не содержит относительно компактных отрицательных полутраекторий таких, что V()V(x);

для любого числа r множество {xX: V(x)r} не содержит компактных замыканий .

Для случая, когда М замкнуто, получено следующее.

Теорема 5.5 [1]. Пусть Х локально компактно и М замкнутое положительно инвариантное подмножество М из Х типа (В) и типа (L). Тогда М является полуасимптотически устойчивым, если существуют окрестность В(М,), , и непрерывная функция V: В(М,)R⁺, удовлетворяющая условиям:

V(x)0 xВ(М,) и V(x)=0 xM;

V(xt)V(x) t и х[0,t]В(М,);

множество В(М,)\М не содержит относительно компактных отрицательных полутраекторий таких, что V()V(x).

Теорема 5.6 [1]. Пусть динамическая система (Х,R,) устойчива по Лагранжу в положительном направлении. Тогда замкнутое множество М типа (В) будет глобально полуасимптотически устойчивым, если существует непрерывная функция V: XR⁺ такая, что:

1) V(x)0 xХ и V(x)=0 xM; 2) V(xt)V(x) (хt)Х\МR⁺;

множество X\М не содержит относительно компактных отрицательных полутраекторий таких, что V()V(x).

Метод знакопостоянных функций Ляпунова развит в диссертации и на неавтономные дифференциальные уравнения. При этом предложено два подхода для формирования достаточных условий устойчивости точек покоя. Такая задача решалась также А.Я. Косовым с помощью прямого применения техники предельных уравнений, использованной по тому же поводу в работах Ц. Артстейна и А.С. Андреева. Наш первый подход связан с тем, что система неавтономных дифференциальных уравнений может быть рассмотрена как автономная динамическая система. Эта идея была впервые высказана в середине 60-ых годов XX в. в работах В.М. Миллионщикова, Б.А. Щербакова, Дж.Р. Селла и других ученых. При этом множество предельных уравнений порождается специальной динамической системой, связанной со сдвигами правой части исходных дифференциальных уравнений. Изложим лишь те необходимые сведения такого подхода, которые касаются формулировки результатов диссертации.

Пусть задано векторное дифференциальное уравнение

, (5.1)

где функция f: DRRⁿ ограничена и равномерно непрерывна на каждом множестве KR, где K компакт из D; D окрестность начала координат Rⁿ и f(0,t)=0 tR. Предполагается, что каждое решение (y,,): RRⁿ c начальным условием (y,,)=у уравнения (5.1) бесконечно продолжаемо в обе стороны и (5.1) обладает свойством единственности решений в D. Множество функций F={f: R}, где f(y,t)=f(y,t+), наделенное топологией равномерной сходимости на компактных подмножествах из DR, порождает так называемое семейство предельных уравнений для (5.1) в виде

, (5.2)

где замыкание F в указанной топологии.

Пусть U произвольное множество из Х и =(UR,R) класс функций V: URR, ограниченных и равномерно непрерывных на каждом множестве KR, где K компакт из U. Известно, что V и всякой последовательности чисел (t_n), t_n, можно выделить подпоследовательность (t_n(k))_k, для которой (V(x,t+t_n(k))) сходится к функции v(x,t) равномерно на каждом компакте KT из UR. Функцию v(x,t) будем в дальнейшем именовать предельной для V(x,t).

Теорема 5.7 [30]. Нулевое решение системы (5.1) равномерно устойчиво, если существует шар В, , и непрерывно дифференцируемая функция V из класса (ВR,R) такие, что:

1) V(y,t) (y,t)ВR и V(,t)= tR; 2) (y,t)ВR;

3) для любой предельной для V(y,t) функции v(y,t) и g в области В не существует решения (х,,t), x, системы (5.2) такого, что v((х,,t),t)= t.

Теорема 5.8 [30]. Нулевое решение системы (5.1) равномерно асимптотически устойчиво, если существует шар В, , и непрерывно дифференцируемая функция V из класса (ВR,R)такие, что:

V(y,t) (y,t) ВR и V(,t)= tR; (y,t)ВR;

для любой предельной функции v(y,t) и g в области В не существует решения (х,,t), x, системы (5.2) такого, что v((х,,t),t)=v(x,) t.

Теорема 5.9 [30]. Пусть D=Rⁿ. Нулевое решение (5.1) равномерно асимптотически устойчиво и глобально притягивающее, если существует непрерывно дифференцируемая функция V из класса (ВR,R) такая, что:

1) V(y,t) (y,t)Rⁿ⁺¹ и V(,t)= tR; 2) (y,t)Rⁿ⁺¹;

3) для любой предельной для V(x,t) функции v(y,t) и g не существует ограниченного при t решения (х,,t), x, системы (5.2) такого, что v((х,,t),t)=v(x,) t.

4) всякое решение (у,,t) из множества {yRⁿ: V(y,t) t} ограничено при t.

Второй подход относится к неавтономным системам вида

(5.3)

Предположим, что функции X и Y локально липшицевы по x и у равномерно по t и исчезают в точках х=0, у=0 для всех t0. Для каждой точки z₀=(x₀,y₀) из открытой окрестности U=(U_x,U_y)R^p+q и начального момента t₀0 через z(z₀,t₀,t)=(x(z₀,t₀,t),y(z₀,t₀,t)) будем обозначать решение системы (5.3) с начальными условиями z(z₀,t₀,t₀)=z₀. Пусть означает «шар» с центром в начале координат пространства R^m и радиусом .

Теорема 5.10 [20]. Пусть для системы (5.3) существует непрерывная локально липшицева по х равномерно по t функция : U_xR⁺R^q, (,t)=, и непрерывно дифференцируемая функция V: UR⁺R⁺ такие, что для каждой точки (x,y,t,) UR⁺ выполняются условия:

1) V(x,y,t,) и V(,,t)=; 2) ;

и условия:

если V(z_n,t_n) для z_n=(x_n,y_n)U и t_n при п, то y(t_n)(x(t_n),t_n);

3) нулевое решение системы

, (5.4)

равномерно асимптотически устойчиво.

Тогда решение х=0, у=0 системы (5.3) устойчиво.

Если, кроме того, выполняется условие

4) V(z_n,t) равномерно по t при z_n, то нулевое решение (5.3) равномерно устойчиво.

Теорема 5.11 [20]. Пусть существуют шар (, U), непрерывно дифференцируемая функция V: R⁺R⁺, непрерывная локально липшицева по х равномерно по t функция : R⁺R^q, (0,t)=0, а также функции Хана а, b, c такие, что для каждой точки (x,y,t)R⁺ выполняются условия:

1) а(y(x,t))V(x,y,t)b(y(x,t)); 2) c(y(x,t))

и условие

нулевое решение системы (5.4) равномерно асимптотически устойчиво.

Тогда решение х=0, у=0 системы (5.3) равномерно асимптотически устойчиво.

Теорема 5.12 [20]. Пусть U=Rⁿ. Предположим, что существуют непрерывно дифференцируемая функция V: R^p+qR⁺R⁺, непрерывная локально липшицева по х равномерно по t, функция : R^pR⁺R^q, (,t)=, а также функции Хана a, b, c такие, что для каждой точки (x,y,t)R^p+qR⁺ выполняются условия:

1) а(y(x,t))V(x,y,t) b(y (x,t)); 2) c(y(x,t))

и условия:

3) нулевое решение системы , равномерно асимптотически устойчиво в целом;

4) всякое решение системы (5.3) ограничено при t.

Тогда решение х=0, у=0 системы (5.3) равномерно асимптотически устойчиво в целом.

В диссертации получена теорема сравнения В.М. Матросова в классе знакопостоянных функций Ляпунова для периодических систем дифференциальных уравнений

(5.5)

где f: DRRⁿ непрерывная функция, f(x,t+)f(x,t) (x,t)DR, , D ок-

рестность нуля. Предполагается, что через каждую точку (x₀, t₀)D[0,] проходит единственное решение x(x₀,t₀,t), x(x₀,t₀,t₀)=x₀, системы (5.5). Наряду с этим рассматривается система сравнения

=F(u,t), uR^m, F(0,t)=0 tR, (5.6)

где F:RR^m непрерывная квазимонотонно возрастающая функция, периодическая по t с периодом 0, а окрестность нуля в положительном октанте {uR^m: U0}.

Теорема 5.13 [11]. Пусть существует окрестность W точки x=0 в D и непрерывная локально липшицева по х и периодическая по t с периодом вектор-функция V(x,t), V:WRR^m, такая, что:

V(x,t)0 (x,t)WR и V(0,t)=0 tR;

D⁺V(x,t)F(V(x,t),t) (x,t)WR;

множество W\{0} не содержит ограниченных отрицательных полутраекторий (y,), таких, что V(x(y,,t),t)=0 t.

Тогда справедливы утверждения:

устойчивость u=0 приводит к устойчивости x=0;

асимптотическая устойчивость u=0 обуславливает асимптотическую устойчивость x=0;

если W=DRⁿ, {uR^m: u0} и всякое решение (5.6) ограничено при t, то глобальная асимптотическая устойчивость u=0 влечет за собой глобальную асимптотическую устойчивость x=0.

В п. 5.5 проведена систематизация классов динамических систем, для которых может быть использован метод знакопостоянных функций Ляпунова [31]. Указывается, что для функции V: UR (UX) в зависимости от свойств многообразия нулевого уровня Y₀={xU: V(x)=0} сфера применения метода может быть условно разделена на три класса:

1) Y₀ компактно;

2) Y₀ определяется инвариантной поверхностью;

3) Y₀ задается с помощью первых интегралов [9].

Для каждого из этих классов приведены примеры конкретного построения знакопостоянных функций Ляпунова и получены условия устойчивости.

Последний раздел пятой главы диссертации содержит утверждения, относящиеся к задаче об устойчивости по части переменных, устойчивости при постоянно действующих возмущениях и другие сходные задачи.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе построены основы качественной теории устойчивости движения (КТУД) как специального раздела общей качественной теории динамических систем, который до исследований автора не был обозначен в научной литературе. Дан анализ центральной проблемы КТУД описание поведения траекторий как в окрестности инвариантного множества М (локальная проблема), так и поведение траекторий на всем фазовом пространстве (глобальная проблема) с точки зрения устойчивоподобных свойств М. Разработан метод знакопостоянных функций Ляпунова для решения практических задач теории устойчивости динамических систем.

Основные научные результаты диссертации

1. Введены и разработаны новые понятия «псевдоустойчивость» [1, 7, 15, 33], «псевдопролонгация» [1, 7, 13, 21, 38] и «B-устойчивость» [1, 5, 23], как инструменты исследования проблем КТУД. С их помощью решены задачи структурного анализа поведения траекторий в окрестности инвариантного множества М при наличии устойчивоподобных свойств: притяжение, слабое притяжение и неасимптотическая устойчивость [1, 14, 19, 22, 28]. Исследовано поведение траекторий в области притяжения A⁺(M) и в области слабого притяжения , а также свойства границ этих областей [1, 7, 10, 14, 19, 22, 26]. Это позволило глубже понять различие между асимптотической устойчивостью и притяжением и, в частности, выяснить особенности, возникающие при построении примеров притягивающих, но не устойчивых инвариантных множеств. Решена проблема В. В. Немыцкого в более общей постановке [1, 19] о существовании слабо эллиптических точек компактных инвариантных множеств динамических систем.

2. Дано новое решение проблемы Флорио Сейберта об относительной устойчивости инвариантных множеств [1, 5, 16, 23, 35], примыкающей к известным направлениям исследований теории критических случаев и принципа сведения.

3. Предложено решение задач классификации инвариантных множеств динамических систем [1, 12, 28, 33, 39, 43] с точки зрения их устойчивоподобных свойств.

4. На основе результатов глав 2, 3 и 4, разработан метод знакопостоянных функций для проблем устойчивости инвариантных множеств различных классов динамических систем [3, 5, 8, 11, 16, 18, 20, 25, 27, 30, 32, 36, 37, 42], являющийся естественным обобщением и развитием второго метода Ляпунова. Соответствующие теоремы метода сформулированы, в частности, для систем автономных, периодических по времени и неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений. Для неавтономных систем разработано два подхода: метод предельных уравнений [30] и метод разделения переменных [20].

Рекомендации по практическому использованию результатов

Полученные результаты глав 2, 3 и 4 по качественной теории устойчивости движения могут быть использованы при исследовании процессов динамики в полудинамических системах, системах с дискретным временем и других системах применительно к проблемам устойчивости движения.

В главе 5 дана иллюстрация примеров построения знакопостоянных функций Ляпунова, которые могут быть использованы для решения конкретных задач механики и теории автоматического регулирования, задач стабилизации, а также других проблем естествознания, связанных с исследованием процессов развития наблюдаемых явлений.

Выделены три класса систем, для которых построение классических знакоопределенных функций Ляпунова для решения задач устойчивости практически невозможно или представляет серьезную техническую проблему. Это позволяет расширить возможности научного познания задач устойчивости.

В идейном плане разработка метода знакопостоянных функций в совокупности с качественной теорией динамических систем дает возможность установить единую теоретическую основу неявных критериев устойчивости, полученных в работах Н.П. Еругина, В.И. Зубова, М.С. Измана, других ученых, и второго метода Ляпунова. Отмеченное обстоятельство в равной степени относится как к форме представления результатов, так и к способам доказательств, что дает почву для дальнейшего теоретического развития прямого метода Ляпунова.

Последнее еще раз подчеркивает структурную однородность КТУД и ее относительную самостоятельность в качественной теории динамических систем. Таким образом, получает поддержку жизнеспособность и перспективность нового направления качественной теории устойчивости движения, как составной части общей качественной теории динамических систем.

РАБОТЫ, ОПУБЛИКОВАННЫЕ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Монографии:

1. Калитин, Б.С. Качественная теория устойчивости движения динамических систем / Б.С. Калитин; рецензенты: д. ф.-м. н. В.В. Амелькин, д. ф.-м. н. Д.Я. Хусаинов. Минск: БГУ, 2002. 198 с.

Статьи в научных журналах:

2. Калитин, Б.С. Одна теорема о неустойчивости / Б.С. Калитин // Вестн. Белорус. унта. Сер. 1. 1980. № 3. С. 4950.

3. Kalitine, B.S. Sur la stabilitй des ensembles compacts positivement invariants des systиmes dynamiques / B.S. Kalitine // R.A.I.R.O. Automatique/Systems Analisys and Control. 1982. V. 16, № 3. P. 275286.

4. Калитин, Б.С. К устойчивости существенно нелинейных систем / Б.С. Калитин // Вестн. Белорус. унта. Сер. 1. 1983.№ 1. С. 3335.

5. Калитин, Б.С. К устойчивости компактных множеств / Б.С. Калитин // Вестн. Белорус. унта. Сер. 1. 1984. № 3. С. 6162.

6. Калитин, Б.С. Устойчивость неизолированной точки покоя / Б.С. Калитин // Вестн. Белорус. унта. Сер. 1. 1985. № 3. С. 3941.

7. Калитин, Б.С. Псевдоустойчивость замкнутых инвариантных множеств / Б.С. Калитин // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22, № 2. С. 187193.

8. Калитин, Б.С. О неасимптотической устойчивости инвариантных множеств / Б.С. Калитин // Известия. ВУЗов. Математика. 1986. № 8. С. 3134.

9. Калитин, Б.С. Устойчивость при наличии первых интегралов / Б.С. Калитин // Вестн. Белорус. унта. Сер. 1. 1986. № 3. С. 6970.

10. Калитин, Б.С. Относительная устойчивость компактных множеств / Б.С. Калитин // Вестн. Белорус. унта. Сер. 1. 1987. № 1. С. 3436.

11. Калитин, Б.С. К методу сравнения для задач устойчивости периодических систем / Б.С. Калитин // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, № 3. С. 423428.

12. Калитин, Б.С. Классификация компактных инвариантных множеств / Б.С. Калитин // Доклады АН БССР. 1987. Т. 31, № 11. С. 971974.

13. Калитин, Б.С. Псевдоустойчивость и первые продолжения / Б.С. Калитин // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24, № 4. С. 571574.

14. Калитин, Б.С. Характеристика компактных слабо притягивающих положительно инвариантных множеств / Б.С. Калитин // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24, № 6. С. 1085.

15. Калитин, Б.С. Инвариантность свойств устойчивости при гомоморфизме

динамических систем / Б.С. Калитин // Доклады АН БССР. 1988. Т. 32, № 10. С. 869871.

16. Калитин, Б.С. К задаче Флорио Сейберта / Б.С. Калитин // Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25, № 4. С. 727729.

17. Калитин, Б.С. Непрерывность псевдопролонгаций / Б.С. Калитин // Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25, № 12. С. 2187.

18. Калитин, Б.С. Развитие теоремы Ляпунова об устойчивости / Б.С. Калитин // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27, № 5. С. 758766.

19. Калитин, Б.С. О структуре окрестности слабо притягивающих компактных инвариантных множеств / Б.С. Калитин // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30, № 4. С. 565574.

20. Калитин, Б.С. К методу знакопостоянных функций Ляпунова для неавтономных дифференциальных систем / Б.С. Калитин // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, № 4. С. 583590.

21. Калитин, Б.С. Псевдопролонгация / Б.С. Калитин // Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32, № 8. С. 10431050.

22. Калитин, Б.С. Качественная характеристика траекторий в окрестности притягивающего компактного множества / Б.С. Калитин // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, № 7. С. 886893.

23. Калитин, Б.С. В-устойчивость и задача Флорио Сейберта / Б.С. Калитин // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, № 4. С. 453463.

24. Калитин, Б.С. Устойчивость замкнутых инвариантных множеств полудинамических систем. Метод знакопостоянных функций Ляпунова / Б.С. Калитин // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38, № 11. С. 1565-1566.

25. Kalitine, B. Sur le thйorиme de la stabilitй non asymptotique dans la mйthode directe de Lyapunov / B. Kalitine // Comptes Rendus Acad. Sci. Paris. Ser. 1, Mathйmatiques. 2004. -Vol. 338. P. 163166.

26. Калитин, Б.С. Устойчивость по Ляпунову и орбитальная устойчивость динамических систем / Б.С. Калитин // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40, № 8. С. 10331042.

27. Калитин, Б.С. Устойчивость неизолированных состояний равновесия / Б.С. Калитин // Вестн. Белорус. унта. Сер. 1. 2004. № 3. С. 7983.

28. Калитин, Б.С. О структуре окрестности устойчивых компактных инвариантных множеств / Б.С. Калитин // Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41, № 8. С. 10621073.

Статьи в сборниках научных трудов:

29. Калитин, Б.С. Устойчивость при наличии интегральной поверхности / Б.С. Калитин // Динамические процессы и их устойчивость. Якутск: Якутский государственный университет, 1987. С. 7886.

30. Калитин, Б.С. Устойчивость неавтономных динамических систем / Б.С. Калитин // Актуальные задачи теории динамических систем управления. Минск: ИМ АН БССР, 1989. С. 3746.

31. Калитин, Б.С. О решении задач устойчивости методом знакопостоянных функций Ляпунова / Б.С. Калитин // Проблемы аналитической механики, устойчивости и управления. Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1991. С. 7985.

32. Калитин, Б.С. Разитие метода знакопостоянных функций Ляпунова / Б.С. Калитин // Выбраныя навуковыя працы Беларускага дзяржаyнага университэта: в 7 т. Мiнск: БДУ, 2001. Т. VI: Матэматыка. С. 232257.

Депонированные статьи:

33. Калитин, Б.С. О построении знакопостоянных функций Ляпунова / Б.С. Калитин; акад. наук СССР. М., 1979. 12 с. Деп. в ВИНИТИ 17.05.79, № 1760-79 // Вестн. БГУ. Сер. 1. 1980. № 1. С. 75.

Препринты:

34. Kalitine, B.S. Pseudo-stabilitй et classification des ensembles fermйs invariants / B.S. Kalitine. Alger, 1983. 12 p. (Prйpublication USTHB, Institut de Math.; № 9).

Тезисы докладов:

35. Kalitine, B.S. Gйnйralisation d`un rйsultat de P. Seibert sur la stabilitй / B.S. Kalitine // II Rencontre National sur les йquations diffйrentielles ordinaires: resumй des exposйs. Alger, 1983. P. 3031.

36. Калитин, Б.С. Дополнение к одной теореме Г.В. Каменкова / Б.С. Калитин // Всесоюзная конференция «Метод функций А.М. Ляпунова в современной математике»: материалы научной конференции. Харьков, 1986. С. 152.

37. Калитин, Б.С. О решении задач устойчивости методом знакопостоянных функций Ляпунова / Б.С. Калитин // 6-я Всесоюзная конференция по КТДУ: материалы научной конференции. Иркутск, 1986. С. 8384.

38. Калитин, Б.С. Пролонгации и устойчивость динамических систем / Б.С. Калитин // 7-я Всесоюзная конференция по КТДУ: материалы научной конференции. Рига, 1989. С. 112.

39. Калитин, Б.С. Классификация устойчивых компактных множеств / Б.С. Калитин // Мат. Междунар. конф., посвященной 200-летию со дня рожд. Н. И. Лобачевского: материалы научной конференции. (в 2 ч.) Минск, 1992. Ч. 2. С. 32.

40. Iggidr, A. Lyapunov Theorems with semi-definite Functions / A. Iggidr, B. Kalitine and Gauthier Sallet // IFAC 14^th Triennial World Congress. Beijing, P.R. China, 1999. P. 231_236.

41. Iggidr, A. New Lyapunov-like theorems for non Lipschitz vector fields / A. Iggidr, B. Kalitine and Vivalda, J.-Claude // 38^th IEEE Conference on Decision and Control. Phoenix (Arizona, USA), 1999. P. 52355236.

42. Kalitine, B. Method of sign-constant Liapunov functions for nonautonomous differential systems / B. Kalitine // Colloque “Commande des systиmes nonlinйaires”: resumй des exposйs. Metz, 2002. P. 2324.

43. Калитин, Б.С. Классификация устойчивых компактных инвариантных множеств динамических систем / Б.С. Калитин // IX Белорусская математическая конференция: материалы. междунар. конф., Гродно, 36 ноября 2004. Гродно, 2004. С. 132133.

РЕЗЮМЕ

Калитин Борис Сергеевич

Устойчивоподобные свойства инвариантных множеств динамических систем

Ключевые слова. Устойчивость, инвариантное множество, динамическая система, движение, траектория, функция Ляпунова.

Объект исследования. Динамическая система, определенная на метрическом пространстве.

Цель работы. Создание качественной теории устойчивости движения как самостоятельного раздела общей качественной теории динамических систем.

Методы исследования. В работе используются методы топологической динамики и теории устойчивости движения.

Полученные результаты и их новизна. В работе решен ряд проблем, касающихся структуры расположения траекторий в окрестности инвариантных множеств динамических систем, предложены новые подходы к изучению проблем устойчивости движения, основанные на введенных автором новых понятий «псевдоустойчивость», «псевдопролонгация», «В-устойчивость»; разработан метод знакопостоянных функций Ляпунова для решения задач устойчивости движения автономных, периодических и неавтономных динамических систем.

Степень использования и область применения. Полученные результаты могут быть использованы в теории устойчивости, в качественной теории динамических систем, в теории дифференциальных уравнений и их приложений, в частности, для исследования проблем стабилизации.

РЕЗЮМЭ

Калiцiн Барыс Сяргеевiч

Устойлiвападобныя ўласцiвасцi iнварыянтных мностваў дынамiчных сicтэм

Ключавыя словы. Устойлiвасць, iнварыянтнае мноства, дынамiчная cicтэма, рух, траекторыя, функцыя Ляпунова.

Абекты даследавання. Дынамiчная cicтэма, зададзеная на метрычнай прасторы.

Мэта працы. Стварэнне якаснай тэорыi ўстойлiвасцi руху, як самастойнага раздзела агульнай якаснай тэорыi дынамiчных cicтэм.

Метады даследавання. У працы выкарыстоўваюцца метады тапалагiчнай дынамiкi i тэорыi ўстойлiвасцi руху.

Атрыманыя вынiкi i iх навiзна. У працы вырашаны шэраг праблем, якiя датычацца структуры размяшчэння траекторый у наваколлi iнварыянтных мностваў дынамiчных cicтэм, прапанаваны новыя падыходы да вывучэння праблем устойлiвасцi руху, заснаваныя на ўведзенных аўтарам новых паняццях «псеўдаўстойлiвасць», «псеўдапралангацыя», «В-устойлiвасць», распрацаваны метад знакапастаянных функцый Ляпунова для рашэння задач устойлiвасцi руху аўтаномных, перыядычных i неаўтаномных дынамiчных cicтэм.

Ступень выкарыстання i галiна прымянення. Атрыманныя вынiкi могуць быць выкарыстаны ў тэорыi ўстойлiвасцi, у якаснай тэорыi дынамiчных cicтэм, у тэорыi дыферэнцыяльных ураўненняў i iх прыкладанняў, у прыватнасцi, для даследавання праблем стабiлiзацыi.

SUMMARY

Kalitin Boris Sergueevich

Stability similar properties of invariant sets of dynamic systems

Key words. Stability, invariant set, dynamical system, motion, trajectory, Lyapunov function.

Object of research. The dynamic system in metric spaces.

Aim of research. Creation of the qualitative theory of stability of movement as independent section of the general qualitative theory of dynamic systems.

Method of research. Method of topological dynamic and the theory of stability of movement are used in this thesis.

The obtained results and their novelty. Problem the set of the description of flow near an invariant set of dynamical systems is received near approaches of studying motion stability problem on the basis of introduction the new definition «psevdostability», «psevdoprolongation», «B-stability» are proposed; the method of semi-definite Lyapunov function for research an autonomous and non-autonomous dynamical systems of stability problem is constructed.

Level of usage and application areas. The results obtained in the thesis may be used in the stability theory of dynamical systems in the qualitative theory and their applications, particular in the research of stabilization problem.

Размещено на Allbest.ru

...