Построение аналитических решений уравнений динамического и теплового пограничных слоев

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Построение аналитических решений уравнений динамического и теплового пограничных слоев

При обтекании тела потоком жидкости, имеющей скорость (скорость невозмущенного потока), вблизи поверхности тела образуется динамический пограничный слой, в пределах которого скорость течения изменяется от нуля на стенке до скорости невозмущенного потока.

При наличии разности температур между стенкой и набегающим потоком вблизи стенки наряду с динамическим образуется также тепловой пограничный слой, в пределах которого температура среды изменяется от до температуры невозмущенного потока .

Теория пограничного слоя была предложена Л. Прандтлем в 1904 г., и в настоящее время на ней базируются основные современные представления о процессах переноса теплоты и массы. Теория пограничного слоя связана с гидродинамической теорией теплообмена, основывающейся на идее О. Рейнольдса о единстве механизма конвективного переноса тепла и механической энергии в пограничном слое. Такое представление позволяет установить связь между теплоотдачей и гидравлическим сопротивлением трения, что, в свою очередь, дает возможность на основе гидродинамических расчетов или экспериментов получать формулы для определения коэффициентов теплоотдачи [1?3].

Для теоретического определения коэффициентов теплоотдачи и сопротивления трения необходимо иметь описание скоростного и температурного полей в виде аналитических зависимостей и . Таким образом, для расчета коэффициента теплоотдачи необходимо иметь аналитическое решение задачи теплового пограничного слоя, а для его получения нужно иметь аналитическое решение задачи динамического пограничного слоя. Получение аналитических решений таких задач рассматривается ниже.

Приближенное решение динамической задачи

Математическая постановка задачи для динамического слоя включает систему уравнений Прандтля с соответствующими граничными условиями [1-3]:

; (1) ; (2)

; (3) ; (4)

; (5) , (6)

дифференциальный уравнение прандтль польгаузен

где - составляющие скорости по соответствующим координатным осям; - координаты; - толщина динамического пограничного слоя; - скорость невозмущенного потока вдоль оси ; - кинематическая вязкость жидкости.

Применительно к тепловому пограничному слою уравнение энергии приводится к виду (уравнение Польгаузена)

(7)

где - температура;- коэффициент температуропроводности; - толщина теплового пограничного слоя.

Граничные условия для уравнения (7) имеют вид

; (8)

; (9)

; (10)

, (11)

где - коэффициент теплоотдачи; - коэффициент теплопроводности жидкости; - температура невозмущенного потока; - температура среды с противоположной поверхности стенки (теплопроводность стенки принимаем бесконечной, а ее толщиной пренебрегаем).

При использовании рассматриваемых ниже методов получения решений задач (1) - (6) и (7) - (11) предполагается, что толщины гидродинамического и теплового пограничных слоев должны подчинятся условию [1-4].

Ввиду нелинейности задач (1) - (6) и (7) - (11) их точные аналитические решения в настоящее время не получены. Решения этих задач найдены лишь путем численного интегрирования [1-3].

Для получения приближенных аналитических решений дифференциальные уравнения задач (1) - (6), (7) - (11) путем их осреднения в пределах толщин соответствующих слоев сводятся к интегральным уравнениям, решение которых существенно упрощается. Определяя интегралы от уравнений (1), (2) в пределах от до , после некоторых преобразований с учетом закона Ньютона для касательного напряжения в жидкости приходим к следующему интегральному уравнению для динамического пограничного слоя, впервые полученному Карманом в 1921 г.:

. (12)

Осредняя уравнение (7) в пределах толщины теплового пограничного слоя, получаем интегральное уравнение (уравнение Г.Н. Кружилина):

. (13)

Рассмотрим применение интегрального метода к решению задачи (1) - (6) с использованием уравнения (12). Решение задачи принимается в виде ряда

, (14)

где - неизвестные коэффициенты, определяемые из граничных условий (3) - (6).

После определения неизвестных и подстановки их в (14) находим

. (15)

Подставляя (15) в интегральное уравнение (12), относительно неизвестной функции будем иметь обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Его решение при начальном условии имеет вид

, (16)

где .

Соотношения (15), (16) представляют решение задачи (1) - (6) в первом приближении с использованием одного дополнительного граничного условия вида (6). Результаты расчетов безразмерной скорости по формуле (15) в сравнении с результатами точного решения (численное интегрирование уравнений) [1] позволяют заключить, что максимальное расхождение составляет 11%.

Для повышения точности решения задачи (1) - (6) следует увеличивать степень аппроксимирующего полинома (14). Для определения возникающих при этом неизвестных коэффициентов будем привлекать дополнительные граничные условия [3, 4]. Принцип их нахождения заключается в следующем. Для получения первого из них уравнение (1) применяется в точке . Именно таким путем было получено первое дополнительное граничное условие (6). Для получения второго дополнительного граничного условия применим уравнение (1) в точке

. (17)

Продифференцируем граничное условие (4) по переменной . Так как из (4) требуется находить значение в точке , то является функцией , и, следовательно, будет сложной функцией. Тогда по правилу определения производной от сложной функции будем иметь

.

Последнее соотношение с учетом граничного условия (5) примет вид

. (18)

Уравнение (17) с учетом (15) и (18) запишется как

. (19)

Соотношение (19) представляет второе дополнительное граничное условие, из которого следует, что подчинение решения вида (14) этому условию равносильно выполнению уравнения (1) во всех точках .

Для получения последующих дополнительных граничных условий необходимо дифференцировать (многократно) уравнение (1) по переменной , а граничные условия (основные и дополнительные) - по переменной . Сравнивая получающиеся при этом соотношения, можно получить какое угодно количество дополнительных граничных условий, необходимых для получения как можно более точных аналитических решений уравнений (1), (2).

Решение задачи (1) - (6) во втором приближении имеет вид

. (20)

Подставляя (20) в интегральное уравнение (19), относительно неизвестной функции будем иметь следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:

. (21)

Интегрируя уравнение (21), при начальном условии находим

. (22)

Соотношения (20), (22) представляют решение задачи (1) - (6) во втором приближении. Результаты расчетов по формуле (20) в сравнении с точным решением [1] позволяют сделать вывод о том, что их расхождение составляет около 2%.

Аналогично были получены решения в третьем и четвертом приближениях. Результаты расчетов безразмерных скоростей в четвертом приближении в сравнении с точным решением [1] даны в табл. 1. Их анализ позволяет заключить, что расхождение результатов не превышает 0,01%.

Таблица 1

Приближенное решение тепловой задачи

Аналогичным способом решается и задача для теплового пограничного слоя с использованием в качестве в уравнении (13) соотношений (15), (20).

Применительно к интегральному уравнению (13) с граничными условиями (8) - (11) с целью приведения граничного условия (8) к однородному введем избыточную температуру по формуле . Тогда . Уравнение (13) и граничные условия (8) - (11) примут вид

; (23)

; (24)

; (25)

; (26)

. (27)

Решение задачи (23) - (27) принимается в виде следующего полинома:

. (28)

После определения неизвестных из граничных условий (24) - (27) соотношение (28) примет вид

, (29)

где .

Подставляя (15) и (29) в интегральное уравнение (13), относительно неизвестной функции получаем следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:

. (30)

Так как , то первым членом в левой части уравнения (30) можно пренебречь. Подставляя (16) в (30), а также учитывая, что [1, 2], получаем соотношение для толщины теплового пограничного слоя

, (31)

где ; ; ; ; ; ; .

Соотношение (31) для любых конкретных исходных данных позволяет найти .

Соотношения (29), (31) представляют решение задачи (23) - (27) в первом приближении. Результаты расчетов по формуле (29) в сравнении с точным решением [2] (численное интегрирование уравнения (7)) позволяют заключить, что их максимальное расхождение не превышает 7%.

Отметим, что аналитическое или приближенное аналитическое решение задачи (23) - (27) в известной литературе отсутствует. Решение этой задачи найдено лишь для случая, когда вместо граничного условия третьего рода вида (24) используется граничное условие первого рода , и к тому же это решение получено лишь в первом приближении.

Для задачи (23) - (27) было также найдено решение во втором, третьем и четвертом приближениях. Дополнительные граничные условия определялись так же, как и для динамической задачи.

Результаты решения задачи (23) - (27) в четвертом приближении в сравнении с точным решением [2] даны в табл. 2. Анализ результатов позволяет сделать вывод о том, что их расхождение не превышает 0,01%.

Таблица 2

Если положить , то , т.е. получаем граничное условие первого рода. Результаты расчетов для этого случая отличаются от точного решения не более чем на 0,01%.

В случае граничных условий первого рода для определения коэффициентов теплоотдачи в четвертом приближении получено критериальное уравнение

, (32)

где - критерий Нуссельта; - коэффициент теплопроводности жидкости; .

В критериальном уравнении (32) числовой коэффициент, полученный на основе решения в первом приближении, составляет 0,3233 (приведен в известной литературе [1, 2]). Расхождение коэффициентов первого и четвертого приближений составляет 2,01%.

Выводы

1. На основе математических моделей динамического и теплового пограничных слоев, включающих интегральные уравнения Кармана и Г.Н. Кружилина, путем использования дополнительных граничных условий получены уточненные аналитические решения исходных дифференциальных уравнений пограничного слоя, предложенных Прандтлем и Польгаузеном.

2. Дополнительные граничные условия находятся из дифференциальных уравнений Прандтля и Польгаузена с использованием основных граничных условий краевых задач динамического и теплового пограничных слоев. Подчинение решения дополнительным граничным условиям равносильно выполнению уравнений Прандтля и Польгаузена в граничной точке и на фронте гидравлического (теплового) возмущения (на границе пограничных слоев). Ввиду того, что диапазоны изменения фронтов возмущения охватывают весь диапазон изменения координаты у, с увеличением числа приближений (числа дополнительных условий) точность выполнения дифференциальных уравнений Прандтля и Польгаузена возрастает.

3. С использованием полученных в настоящей работе решений в четвертом приближении выполнено уточнение числового коэффициента в формуле для определения коэффициентов теплоотдачи (на 2,01%) (для случая теплообмена с внешней средой при граничных условиях первого рода).

Библиографический список

1. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. - М.: Наука, 1969. - 742 с.

2. Abdul Aziz A similarity solution for laminar thermal doundary layer over a flat plate with a convective surface boundary condition // Commun Nonlinear Sci Numer Simulat 14 (2009). - 1064-1068.

3. Стефанюк Е.В., Аверин Б.В., Кудинов И.В. Получение аналитического решения уравнений гидродинамического пограничного слоя на основе введения дополнительных граничных условий // Известия СНЦ РАН. Спец. выпуск «Актуальные вопросы тепло- и массообмена, энергоэффективность, исследование вихревых закрученных потоков». - Самара: Изд-во СНЦ РАН, 2008. - С. 39-46.

4. Кудинов В.А., Аверин Б.В., Стефанюк Е.В. Теплопроводность и термоупругость в многослойных конструкциях. - М.: Высшая школа, 2008. - 391 с.

Размещено на Allbest.ru